i sistemi lineari molti, problemi per poter essere risolti, hanno bisogno dellintroduzione di uno o...
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I Sistemi Lineari
• Molti, problemi per poter essere risolti, hanno bisogno dell’introduzione di uno o più elementi incogniti.
• Ad esempio consideriamo il problema di “trovare due numeri data la loro somma uguale ad 8 e la loro differenza uguale a 2”.
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• Risolviamo il semplice problema con una equazione di primo grado in una incognita.
• Indicando con x il numero maggiore, quello minore sarà 8-x.
• Sapendo che la loro differenza deve essere uguale a 2, si ha l’equazione
x-(8-x)=2
2x-8=2
2x=10
X=5
che rappresenta il numero maggiore. Il minore sarà di conseguenza 8-x = 8-5 = 3
Pertanto la coppia di numeri richiesta è (5,3).
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• Consideriamo, ora, un altro problema: “trovare due numeri tali che del primo è uguale ai del secondo e che la differenza tra i del secondo e i del primo sia uguale a 9
• Gli alunni non riescono a risolverlo con un’equazione ad una incognita e saranno essi stessi a suggerire di introdurre due incognite .
9
2 7
1
6
5
8
3
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• Indicando con x e y, rispettivamente il primo ed il secondo numero, traduciamo in forma algebrica le due condizioni cui i due numeri devono soddisfare cioè
• Gli alunni si rendono conto della difficoltà di pervenire alla soluzione del problema posto, l’insegnate li tranquillizza annunciando che esistono procedimenti semplici che conducono alla soluzione del problema.
98
3
6
59
2
7
1
xy
yx
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• Consideriamo un’equazione lineare in due incognite del tipo ax+by = c e facciamo vedere che esistono infinite coppie di numeri x e y che verificano l’equazione data.
• Per esempio, data l’equazione
2y = x+8
2
8x
y
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• Attribuendo valori diversi alla x si ottengono i corrispondenti valori di y. Si ha la seguente tabella
dalla quale si deduce che le coppie ordinate (0,4) (1, 9/2) (2, 5), (3, 11/2), (4, 6), etc.sono soluzioni dell’equazione data e se ne possono trovare quante se ne vogliano
x 0 1 2 3 4 ……
y 4 9/2 5 11/2 6 ……
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• Allo stesso modo una qualunque altra equazione in due incognite ad esempio
y = x + 3
ammette infinite soluzioni
x 0 1 2 3 4 ……
y 3 4 5 6 7 ……
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• Se tra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite della seconda ne esiste una comune,allora si dirà che tale coppia è la soluzione del sistema formato dalle due equazioni date, le quali si associano con una parentesi graffa
• Dalle tabelle precedenti si ricava che la coppia (2,5) è soluzione di entrambe le equazioni del sistema e, quindi, è soluzione del sistema
82
3
xy
xy
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Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite
un insieme formato da due equazioni
che devono essere verificate contemporaneamente
e avere dunque soluzioni comuni.
Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un sistema, si chiama
soluzione del sistema.
Risolvere un sistema,
significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.
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Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo:
''' cybxa
cbyax
Dove indicano numeri noti.
I numeri si chiamano
coefficienti delle incognite,
mentre si chiamano termini noti.
',',',,, cbacba
',',, baba
',cc
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Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado
si dice
SISTEMA LINEARE
Vediamo un esempio di sistema
che risolviamo con il metodo di Cramer:
043
93)7(3
yx
yx
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Per ridurre a forma normale il sistema
dividiamo ambo i membri della prima equazione per 3
ottenendo il sistema equivalente:
043
317
yx
yx
dove:
a b c 'a 'b 'c
7 1 31 3 -4 0
043
93)7(3
yx
yx
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Un metodo per risolvere un sistema lineare
di due equazioni in due incognite:
METODO DI CRAMER …
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MATRICE DEI COEFFICIENTI.
'' ba
ba
''' cybxa
cbyax
Dato il sistema
il simbolo
il simbolo'' ba
ba
si chiama
si chiama
DETERMINANTE DELLA MATRICE
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ba 'a'b
'' ba
ba
diagonale principale
diagonale secondaria
Il DETERMINANTE DEL SISTEMA
lo indicheremo con ed esso è dato da:
='' ba
ba= -
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Adesso
indichiamo
con
x
y =
='' bc
bc=
'' ca
ca=
c 'b b 'c-
- 'ac
abbiamo sostituito nel a, a’ con c, c’
'ca
abbiamo sostituito nel b, b’ con c, c’
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VALE LA SEGUENTE REGOLA:
SE 0
la soluzione del sistema è
y
x
y
x
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=
03
317
10)4(31 40
131
a b c'a 'b 'c
7 1 31
3 -4 0
NEL NOSTRO CASO, DOVE
SI HA:
= = -31
X = = = -124
Y =
43
17
= = -93
13)4(7
31307
PERTANTO …
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… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’:
y
x
y
x
31
9331
124
y
x
3
4
y
x
;
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• Risolviamo lo stesso sistema con il metodo di sostituzione che si applica seguendo la seguente regola:
1)Si risolve una delle equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y
2)Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della y nell’altra equazione.
3)Si risolve questa equazione rispetto all’incognita y e si viene così ad determinare il valore di questa incognita.
4)Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata
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Esplicitiamo la y dalla prima equazione e si ha
043
317
yx
yx
043
317
yx
xy
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Sostituiamo il valore trovato nell’altra equazione
0)317(43
317
xx
xy
0124283
317
xx
xy
012431
317
x
xy
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Si risolve la seconda equazione
431
124
317
x
xy
3147
4
y
x
E sostituendo il vaolre nell’altra equazione
3128
4
y
x
3
4
y
x
La soluzione è (4;3)