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I TemperamentiL'incontro fra suoni ed esigenzecompositive

IndiceVoci

Premessa 1

Prerequisiti 3

Intervallo 3Semitono 6Tono 7Cent 8Scala musicale 9Scala diatonica 11Scala cromatica 14Circolo delle quinte 15

Dalla fisica alla musica 18

Rapporto tra musica e matematica 18Battimenti 25Consonanza e dissonanza 28

Temperamenti 33

Temperamento 33Armonici naturali 39Armonici artificiali 41Comma 42Scala pitagorica 43Temperamento equabile 46Temperamento mesotonico 50Temperamento naturale 52

Esempi di musica di diversi temperamenti 53

Musica nell'antica Grecia 53Il clavicembalo ben temperato 59Musica microtonale 63

Appendice 72

Onda sonora 72Altezza dei suoni 74

Accordatura 79Intonazione 81Principio di indeterminazione tonale 83Andreas Werckmeister 84

NoteFonti e autori delle voci 86Fonti, licenze e autori delle immagini 87

Licenze della voceLicenza 88

Premessa 1

Premessa

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Wikipedia, 1/03/2012

Premessa 2

Note[1] http:/ / it. wikipedia. org[2] http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/[3][3] A causa di un problema tecnico, la licenza di alcune immagini potrebbe risultare sconosciuta ("unknown"). Alcune di queste immagini

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3

Prerequisiti

IntervalloIn musica si dice intervallo la distanza tra due note o suoni. A causa della fisiologia della percezione del suono,l'intervallo musicale non è proporzionale alla differenza tra le frequenze dei suoni, ma alla differenza tra i lorologaritmi, cioè al rapporto tra le frequenze.Tale distanza si può verificare tra due suoni prodotti consecutivamente, e in tal caso si parlerà di intervallo melodicoo diacronico o salto, oppure tra due suoni prodotti simultaneamente, e si dirà intervallo armonico o sincronico obicordo.• Un intervallo melodico si distingue anche per la direzione, ascendente o discendente, a seconda che il secondo

suono sia rispettivamente più acuto o più grave rispetto al primo.• Un intervallo armonico è caratterizzato anche da consonanza e dissonanza, fenomeni legati all'interferenza

generata dai due suoni in questione.Si noti che l'intervallo musicale è una classificazione teorica delle distanze musicali e non delle distanze acusticheche separano un suono dall'altro. Per tale motivo, non rientra nel campo dell'accordatura e del temperamento.

ClassificazioneChiamando per necessità di chiarezza il suono più grave 1º termine e il suono più acuto 2º termine, per calcolaresenza possibilità di confusione un intervallo è necessario stabilire la "distanza" e la "specie".

DistanzaLa distanza identifica quanti gradi intercorrono tra i due termini contando anche i due in questione, attraverso unaggettivo numerale ordinale al genere femminile (ad es.: Do3-Re3 = intervallo di seconda o di 2ª; Do4-Mi4 =intervallo di terza o di 3ª ); gli intervalli che vanno da quello di prima a quello di ottava vengono detti primari osemplici; quelli superiori all'ottava vengono detti multipli o composti dei precedenti, vale a dire che essi sonoconsiderati trasposizioni degli intervalli primari alle ottave superiori (ad es.: l'intervallo di 10ª è il multiplo di quellodi 3ª). Solitamente nella classificazione gli intervalli multipli vengono ricondotti ai loro corrispettivi primari, trannecasi particolari riguardanti lo studio dell'armonia

SpecieLa specie è la distanza effettiva tra i termini. Essa viene calcolata sulla base della scala maggiore avente per tonica il1º termine;1. se il 2º termine appartiene a quella scala, l'intervallo si dirà Giusto (abbr. in G) nel caso dell'unisono, 4ª, 5ª e 8ª

(ad es.: Do-Sol = intervallo di 5ªG), Maggiore (abbr. in M) nel caso dalla 2ª, 3ª, 6ª e 7ª; ad esempio l'intervalloDo-Mi equivale ad un intervallo di 3ªM (terza maggiore) in quanto il Mi costituisce il terzo grado della scala diDo maggiore. L'intervallo di 1ª Giusta è detto anche unisono.

2.2. se il 2º termine non appartiene alla scala maggiore del 1º termine, la specie viene modificata a seconda che i duetermini si siano tra loro allontanati o ravvicinati rispetto allo stesso intervallo G o M:• se essi si sono allontanati, l'intervallo diventa progressivamente aumentato (A), più che aumentato (pA),

eccedente (E), più che eccedente (pE), ultra eccedente (uE); ad esempio l'intervallo Do-Fa# è un intervallo di 4ªA (quarta aumentata) perché è più ampio di un semitono rispetto a Do-Fa che è il corrispettivo intervallo

Intervallo 4

giusto;• se essi si sono ravvicinati, l'intervallo passerà a diminuito (D), più che diminuito (pD), deficiente (DF), più che

deficiente (pDF), ultra deficiente (uDF); gli intervalli maggiori, prima di passare allo stadio di diminuiti,diventano minori (m); ad esempio l'intervallo Do-Fab è un intervallo di 4ªD (quarta diminuita) in quanto piùpiccolo di un semitono rispetto a Do-Fa che è l'intervallo giusto; invece Do-Mib è un intervallo di 3ªm (terzaminore) perché più piccolo di un semitono rispetto a Do-Mi che è l'intervallo maggiore.

Tavola degli intervalliSegue una tavola degli intervalli maggiormente usati. Per scelta e per limitare l'esempio, il primo termine non vienemai modificato. Questo comporta che si possono ottenere solo intervalli da più che diminuito a più che eccedente.

intervalli musicali ottenibili senza modificare il 1° termine

Nel caso il primo termine venisse modificato si potrebbero ottenere tutti i tipi di intervalli da ultra deficiente a ultraeccedente.

Intervallo 5

Tavola figurata degli intervalli tra due note sul pentagramma

Tavola degli intervalli tra due note sul pentagramma

Voci correlate•• Intervalli musicali•• Quantità di intervallo•• Gaspard de Prony

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Collegamenti esterni• (EN) Anatomia di un'ottava [1] di Kyle Gannbg:Музикален интервал ca:Interval musical cs:Interval (hudba) da:Toneinterval de:Intervall (Musik) en:Interval(music) eo:Intervalo (muziko) es:Intervalo (música) et:Intervall (muusika) fa:(موسیقی) فاصله fi:Intervalli fr:Intervalle(musique) fy:Ynterval gl:Intervalo he:מרווח (מוזיקה) hr:Interval (glazbena teorija) hu:Hangköz id:Interval (musik)is:Tónbil ja:音 程 ka:ინტერვალი (მუსიკა) ko:음정 la:Intervallum (musica) lt:Intervalas (muzika) lv:Intervāls(mūzika) nl:Interval (muziek) no:Intervall (musikk) pl:Interwał pt:Intervalo (música) ro:Interval (muzică)ru:Интервал (музыка) simple:Interval (music) sk:Interval (hudba) sl:Interval (glasba) sr:Интервал (музика)sv:Intervall (musik) uk:Музичний інтервал zh:音 程

Intervallo 6

Note[1] http:/ / www. kylegann. com/ Octave. html

SemitonoIl semitono (ovvero seconda minore) è l'intervallo musicale più piccolo che può intercorrere fra due suoni, se siconsidera il moderno sistema musicale occidentale, ove è dato per scontato l'utilizzo del temperamento equabile.In realtà tutti i musicisti che hanno a che fare con strumenti a corda senza tasti (denominati comunemente fretless),con strumenti a fiato come il trombone e con la voce hanno familiarità anche con frazioni di semitono (che possonoessere definite in vari modi come comma o cent o quarti di tono).I semitoni possono essere cromatici (l'intervallo che passa fra due suoni consecutivi dello stesso nome, di cui unoalterato, ad esempio Reb e Re), oppure diatonici (l'intervallo che passa fra due suoni consecutivi di nome diverso,come per esempio Do# e Re).Nel temperamento equabile (quello correntemente utilizzato nella musica occidentale, ma non per esempio neltemperamento pitagorico) due semitoni costituiscono un tono e non vi è distinzione tra semitono cromatico esemitono diatonico, e quindi per esempio Do# e Reb sono omofoni. In questo sistema un semitono si può definiresemplicemente come un rapporto fra due suoni di 100 cent, mentre un'ottava si compone di 12 semitoni:

Un'ottava composta da 12 semitoni

1.1. Do (Si#) - Do# (Reb)2.2. Do# (Reb) - Re3.3. Re - Re# (Mib)4.4. Re# (Mib) - Mi (Fab)5.5. Mi (Fab) - Fa (Mi#)6.6. Fa (Mi#) - Fa# (Solb)7.7. Fa# (Solb) - Sol8.8. Sol - Sol# (Lab)9.9. Sol# (Lab) - La10.10. La - La# (Sib)11.11. La# (Sib) - Si (Dob)

12.12. Si (Dob) - Do (Si#)Per visualizzare questo intervallo basta considerare che un'ottava sulla tastiera del pianoforte è composta da 7 tastibianchi inframmezzati da 5 tasti neri (5+7=12). Sugli strumenti a corda con capotasto (come la chitarra) laprogressione per semitoni è ancora più evidente: ogni spostamento a un tasto adiacente costituisce uno spostamentodi un semitono.Nonostante questo è di uso comune fra alcuni musicisti, ed il cui strumento non pone limiti di accordatura,considerare i semitoni cromatici composti da 5 comma e quelli diatonici da 4 (e suddividendo quindi l'ottava in 6*9= 54 comma). In realtà questa divisione non ha alcuna base teorica ed è il risultato di un atteggiamento divulgativo dialcuni studiosi che, per facilitare l'apprendimento delle teorie sull'accordatura, favorirono tale approssimazione.Abbiamo visto che l'ottava è composta da 12 semitoni, quindi il rapporto delle frequenze di due note musicali chedistano di un semitono vale radice dodicesima di 2 ossia circa 1,059463.

Semitono 7

Voci correlate•• Intervallo (musica)•• Intervalli musicali•• Alterazione•• Comma (musica)•• Cent•• Musica e matematica

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ca:Semitò cs:Půltón de:Halbton en:Semitone eo:Duontono es:Semitono et:Pooltoon fr:Demi-ton ja:半 音 lt:Pustonislv:Pustonis no:Halvtone oc:Miei ton (solfegi) pl:Półton pt:Semitom ro:Semiton ru:Полутон simple:Semitonesl:Polton sv:Halvton uk:Півтон zh:半 音

TonoIl tono (ovvero intervallo di seconda maggiore) è generalmente definito come l'intervallo musicale composto dadue semitoni.In realtà questa definizione è una semplificazione valida per il sistema temperato in cui gli intervalli fra gradiadiacenti della scala sono costanti. In questo sistema un tono si può definire semplicemente come un rapporto fra duesuoni di 200 cent.Un'altra definizione, un po' più precisa (ma dipende dal temperamento usato), indica il tono come l'intervallo tra duesuoni la cui frequenza è in rapporto 8:9, ovvero ~203,9100017 cent. Questo intervallo è approssimativamente 1/6 diottava.È di uso comune fra alcuni musicisti definirlo anche come somma di semitono diatonico e semitono cromatico eintenderlo composto di 9 comma generici. In realtà questa divisione del tono non ha alcuna base teorica ed è ilrisultato di un atteggiamento divulgativo di alcuni studiosi che, per facilitare l'apprendimento delle teoriesull'accordatura, favorirono tale approssimazione.

Voci correlate•• Sopratonica•• Intervallo (musica)•• Intervalli musicali•• Cent•• Musica e matematica

Tono 8

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bg:Секунда (интервал) ca:Segona (música) cs:Sekunda (hudba) de:Sekunde (Musik) el:Τόνος (ήχος) en:Majorsecond eo:Plenduto es:Tono (acústica) et:Sekund (muusika) fa:دوم بزرگ fi:Sekunti (intervalli) fr:Seconde (musique)hr:Sekunda (interval) lt:Didžioji sekunda lv:Tonis nl:Secunde no:Stor sekund pl:Sekunda (interwał) pt:Tomru:Секунда (интервал) sl:Velika sekunda sv:Sekund (musik) uk:Секунда (музичний інтервал)

CentIn musica, un centesimo di semitono o abbreviato cst è la centesima parte di un semitono (come definito daltemperamento equabile) ovvero la milleduecentesima parte di una ottava. Tale misura fu suggerita per la prima voltada Alexander Ellis (che la chiamò "cent" che in inglese significa appunto "centesimo" o "centesima parte") e apparvein appendice alla sua traduzione di un testo di Hermann von Helmholtz nel 1875.Pur essendo una differenza assolutamente inudibile per l'orecchio umano, la suddivisione in centesimi è utilizzata adesempio nell'accordatura dei pianoforti, alzando leggermente le note estremamente gravi e abbassando quelleestremamente acute. È importante notare che il centesimo di semitono è in scala logaritmica e quindi è una misuramoltiplicativa e non additiva: in pratica questo significa che ad esempio ciascuno dei dodici semitoni in cui si dividel'ottava ha lunghezza 100 centesimi, o se si preferisce che la differenza in frequenza tra una nota e la stessa nota piùun centesimo è maggiore man mano che la nota diventa più acuta, mentre il rapporto è costante. Il numero dicentesimi corrispondente a un rapporto tra due frequenze è dato infatti dalla formula

Quindi per esempio il rapporto tra due note a e b con una differenza in frequenza di un centesimo di semitono è

ovvero ~1.0005777895

Voci correlate•• Temperamento•• Temperamento equabile•• Temperamento naturale•• Temperamento pitagorico•• Comma•• Rapporto tra musica e matematica

Collegamenti esterni• Nuova musica antica - Appunti di temperamento [1] di Nicola Ferroni.cs:Cent (hudba) de:Cent (Musik) en:Cent (music) eo:Cendo (muziko) es:Cent et:Tsent fr:Cent et savart he:סנטhu:Cent (zene) id:Sen (musik) ja:セ ン ト (音 楽) kk:Цент (Өлшеу техникасы) ko:센트 (음악) lt:Centas (מוזיקה)(muzika) nl:Cent (muziek) pl:Cent (muzyka) pt:Cent (música) ro:Centisunet ru:Цент (музыка) sl:Cent (glasba)sv:Cent (musik) uk:Цент (музика) zh:音 分

Cent 9

Note[1] http:/ / www. nicolaferroni. com/ ?cat=12

Scala musicale

Scala di Do maggiore

Nel linguaggio musicale, una scala èuna successione ascendente odiscendente di suoni (note ossiafrequenze) compresi nell'ambito di unao più ottave. La scala, vista come unaserie di intervalli invece, viene correntemente definita come modo anche se il concetto di modo implica anche unparticolare comportamento melodico delle note componenti la scala, dato dal maggiore o minor grado di attrazione.Le note di una scala sono anche definite come gradi della scala.

Il numero di scale conosciute è molto ampio: scale diverse si caratterizzano per un diverso numero di suoni (scale acinque suoni, a sette suoni, ...) e per le diverse specie di intervalli che le compongono. Popolazioni diverseadoperano scale diverse e una stessa popolazione può aver adottato differenti scale nel corso della storia, per motiviculturali e per l'utilizzo di differenti sistemi di accordatura (o temperamenti).Spesso le scale sono dei costrutti teorici, costruiti "a tavolino" a volte sulla base di complesse relazioni matematicheo formali, sebbene molta musica (soprattutto contemporanea o extraeuropea) sia costruita con un approccio menoteorico.

Le scale nella musica occidentaleLa musica occidentale, dall'età greca ad oggi, si è tradizionalmente basata su scale diatoniche a sette suoni chedividono l'ottava in cinque toni e due semitoni. In grecia, per un certo periodo, venne seguito il genere enarmonicoche prevedeva scale con intervalli di 1/4 di tono. In epoca barocco-classica, fece invece la sua apparizione l'intervallodi 1 tono e 1/2 (2ª aumentata). Al periodo barocco risale il perfezionamento della scala detta "temperata" dovuto allateorizzazione di Werckmeister nel 1691 e che in seguito trovò conferma con l'opera di Johann Sebastian Bach, il"Clavicembalo ben temperato" del 1722 e 1744. Alla fine del secolo XIX lo studio della musica popolare e anticaspinse i compositori a scegliere scale diverse dalle due impiegate correntemente: la scala maggiore e la scala minore.Nel XX secolo questa tendenza fu rafforzata a causa del blues. La musica pop ha favorito la diffusione di altre scale,utilizzate in particolari generi musicali o da specifiche etnie.

Cenni sull'accordaturaAttraverso i secoli l'accordatura della scala diatonica tradizionale, costruita secondo l'intonazione pitagorica, hasubito diverse rettifiche, che ne hanno modificato l'ampiezza di alcuni intervalli: tali correzioni hanno via via portatoa modulare la scala diatonica prima seguendo gli armonici naturali (dando vita all'intonazione naturale) e poiguardando alla comodità di esecuzione (col temperamento equabile).

Le scale più note•• Scala diatonica•• Scala maggiore•• Scala minore naturale•• Scala minore armonica•• Scala minore melodica

Scala musicale 10

•• Scala minore napoletana•• Scala cromatica•• Scala modale

• Modo ionico (vedi scala maggiore)•• Modo dorico•• Modo frigio•• Modo lidio•• Modo misolidio• Modo eolio (vedi Scala minore naturale)•• Modo locrio

• Scala esatonale (o per toni interi)•• Scala pentatonica•• Scala aumentata•• Scala diminuita•• Scala alternata•• Scala enigmatica•• Scala bebop•• Scala blues•• Scala araba•• Scala cinese•• Scala orientale•• Scala temperata•• Scala bachiana•• Scala di quarta aumentata•• Scala di sesta minore•• Scala di Alexander Skrjabin

Bibliografia• (EN) Burns, Edward M. (1999). "Intervals, Scales, and Tuning", The Psychology of Music second edition.

Deutsch, Diana, ed. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-213564-4.• (EN) Zonis, E. (1973). Classical Persian music: An Introduction. Cambridge, MA: Harvard University Press.

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Collegamenti esterni• Software specifico [1]

ar:سلم موسيقي br:Skeulenn ca:Escala musical cs:Stupnice (hudba) da:Skala (musik) de:Tonleiter el:Κλίμακα(μουσική) en:Musical scale eo:Gamo es:Escala musical et:Helirida fa:(موسیقی) گام fi:Sävelasteikko fr:Gammemusicale gl:Escala musical he:סולם (מוזיקה) hr:Glazbena ljestvica hu:Hangsor id:Tangga nada io:Gamo is:Tónstigija:音 階 jv:Tangga nada ko:음계 ku:Gam lt:Gama lv:Gamma ml:മ്യൂസിക്കല് സ്കെയില് nl:Toonladderno:Skala (musikk) oc:Escala musicau pl:Skala (muzyka) pt:Escala musical ro:Gamă muzicală ru:Гамма (музыка)simple:Scale (music) sk:Stupnica (hudba) sr:Музичка лествица sv:Skala (musik) th:บันไดเสียง tr:Gamuk:Звукоряд vi:Âm giai zh:音 阶

Scala musicale 11

Note[1] http:/ / www. voicetrainer. org

Scala diatonicaUna scala diatonica è una scala musicale formata da sette delle dodici note che compongono la scala cromatica,susseguentisi secondo una precisa successione di sette intervalli, cinque toni due semitoni.Tale successione caratteristica non è univoca, ma può essere specificata in sette diverse combinazioni definite modiaventi la caratteristica che ognuna di queste può essere costruita a partire dalle altre, usando come prima nota(solitamente chiamata Tonica) una delle note intermedie delle altre.La successione caratteristica viene generalmente rappresentata nella sua applicazione al cosiddetto modo maggiore,costituito dalla seguente successione di intervalli:

T - T - s - T - T - T - sdove T=tono e s=semitono. Tuttavia la successione caratteristica può essere rappresentata senza ambiguità da unoqualsiasi dei sette modi possibili, ad esempio considerando il modo minore si ha:

T - s - T - T - s - T - Tove si può notare che questa successione può essere ottenuta da quella del modo maggiore partendo dalla sua sestanota (sesto grado) (naturalmente reiniziando non appena la successione originale termina).Sinteticamente si può dire che una scala di sette intervalli di cui cinque toni e due semitoni può essere definitadiatonica solamente se i due semitoni si trovano ad inquadrare due toni, oppure (condizione assolutamenteequivalente) se i due semitoni si trovano ad inquadrare tre toni.Le due scale musicali indicate, scala maggiore e minore, sono le più note alla musica occidentale, tanto che su diesse sono formate le denominazioni delle note: la successione Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do (usata dalle lingueromanze) è infatti una scala maggiore (quella "di Do"), mentre la successione A-B-C-D-E-F-G-A (utilizzata inambito anglosassone) è una scala minore (quella "di La"), le altre note della scala cromatica non hanno nomi proprima utilizzano il nome delle altre note vicine accompagnato dagli aggettivi diesis (per note più alte di un semitonorispetto a quella di cui si prende il nome) oppure bemolle (per note più basse di un semitono).Rispettano inoltre le successioni diatoniche i tasti bianchi della tradizionale tastiera di pianoforti ed organi, nonché lasuccessione di righe e spazi che costituisce il pentagramma.La scala diatonica prende il nome da uno dei tre generi della musica greca antica (diatonico, enarmonico ecromatico) ed è la base per creare le formule di numerose scale musicali. La sua struttura fu studiata per la primavolta nella Grecia Antica a seguito degli studi della scuola di Pitagora.Questa scala all'interno della musica occidentale prende spesso il nome di scala temperata purché il sistema tonalesia precisamente intonato come sistema temperato equabile, se invece si utilizza un'intonazione basatasull'intonazione naturale la scala diatonica prende talvolta il nome di scala naturale (o zarliniana).Le note, o meglio le posizioni lungo la scala diatonica, vengono chiamate gradi della scala: dal primo al settimo.La scala diatonica è una pietra miliare su cui la storia della musica occidentale si è a lungo sviluppata.La diatonica maggiore (ovvero di modo maggiore) è detta anche di modo ionico. La diatonica minore (spessoindicata come Scala minore naturale per distinguerla da altre scale alterate ottenute a partire da essa) è costruibile apartire dal sesto grado della maggiore ed è detta di modo eolio.Sempre in riferimento alla scala maggiore, si possono costruire i modi: Dorico a partire dal secondo grado; Frigio apartire dal terzo grado; Lidio a partire dal quarto grado; Misolidio a partire dal quinto grado; Locrio a partire dalsettimo grado.

Scala diatonica 12

Solo i modi maggiore e minore vengono generalmente utilizzati per le tonalità dei brani musicali occidentali, inquesto ambito gli altri modi sono utilizzati alcuni solo raramente (come il modo Lidio), e altri praticamente mai(come il modo Locrio). Scale di qualsiasi modo sono tuttavia identificabili all'interno della struttura melodica deibrani, ed in particolare un uso peculiare e caratteristico dei modi più disparati è presente nel Jazz, soprattutto nellasua corrente definita per l'appunto jazz modale.Per calcolare i diesis ed i bemolle da inserire in chiave in una qualunque scala diatonica maggiore ci si può avvaleredell'aiuto schematico del Circolo delle quinte.

Ascoltare le note

Il rigo musicale qui sopra riporta una scala di do, prima ascendente (dalla nota più bassa a quella più alta) e poidiscendente (dalla nota più alta a quella più bassa). È possibile ascoltare queste note1. La prima nota di ogni scala è chiamata tonica.2. La seconda nota viene chiamata sopratonica.3. La terza nota può assumere tre nomi: mediante, modale o caratteristica, poiché stabilisce il discriminemaggiormente significativo tra i modi maggiore e minore, i più diffusi.4. La quarta nota sottodominante.5. La quinta nota è chiamata dominante.6. La sesta nota è chiamata sopradominante.7. La settima nota può assumere due nomi: sensibile o sottotonica.Queste denominazioni dei gradi sono valide sia per modo maggiore (o ionico) che per modo minore (eolico), per altrimodi l'utilizzo è controverso e comunque non frequente: in qualche caso infatti la denominazione del grado verrebbea perdere il proprio significato da un punto di vista semantico.Ad esempio nel caso della scala di Do, Do è la tonica, Sol è la dominante, Si la sensibile.• La tonica è la prima nota di una scala, e se la scala costituisce una tonalità serve a darle il nome. In una tonalità di

modo maggiore o minore (gli altri modi sono praticamente delle eccezioni nelle tonalità utilizzate dalla musicaoccidentale) è generalmente il punto d'arrivo della frase musicale (talvolta è chiamata nota di riposo) nonché laradice dell'accordo che nella progressione armonica è l'accordo di risoluzione più importante.

• La sopratonica chiamata così perché sta sopra la tonica.• La terza della scala si chiama mediante quando viene considerata come la nota che sta a metà tra la tonica e la

dominante all'interno di una triade; si chiama modale quando viene vista come la nota che stabilisce il modo dellascala (Se la tonica è DO: Mi naturale "modo maggiore"; Mi bemolle "modo minore"); si chiama caratteristicaquando si prendono in considerazione i gradi caratteristici della scala (1º, 3º, 4º, 5º).

• La sottodominante secondo alcuni si chiama così sia perché sta sotto la dominante, secondo altri perché ad unaquinta da questa si trova la tonica 'superiore' (che viene ad essere la sua dominante, pertanto, come chiarito subitosotto), tuttavia questa seconda definizione, che si basa su quella di dominante, è suscettibile di non poter essereapplicata al modo Lidio.

• La dominante o quinta è la nota attorno alla quale si muove la creazione musicale. Secondo alcuni la quinta puòchiamarsi dominante solo se tra questa e la tonica vi sia un intervallo di quinta giusta: tale condizione si verificaper tutti i modi escluso il Locrio.

• La sopradominante viene chiamata così perché sta sopra la dominante.• La sensibile o sottotonica o settima è la nota che, per la sensazione che crea, dà un forte senso di instabilità; tende

infatti a risolversi nella nota seguente, che è la tonica dell'ottava superiore.

Scala diatonica 13

La settima viene chiamata sottotonica quando si trova ad un tono sotto la tonica, mentre è chiamata sensibile se sitrova un semitono sotto, ed in questo caso la sensazione di instabilità è maggiore.Per tenere conto delle diverse intonazioni relative che si osservano tra le sette note nei sette diversi modi, si è solitiattribuire a ciascun grado della scala uno fra gli aggettivi Maggiore, Minore, Giusta, Aumentata o Diminuita,secondo lo schema seguente:1. Primo grado, tonica: definisce la tonalita e non ha variazioni per definizione.2. Secondo grado, sopratonica: è chiamato Giusto se dista un tono dalla tonica, Diminuito se dista mezzo tono dallatonica (ciò accade solo nei modi Frigio e Locrio).3. Terzo grado: è chiamato Minore se dista un tono e mezzo dalla tonica (modi Minore/Eolio, Dorico, Frigio,Locrio), mentre è chiamato Maggiore se dista due toni dalla tonica (modi Maggiore/Ionico, Lidio e Misolidio).4. Quarto grado: è chiamato Giusto se dista due toni e mezzo dalla tonica, Aumentato se ne dista tre (ciò solo nelmodo Lidio).5. Quinto grado: è chiamato Giusto se dista tre toni e mezzo dalla tonica, Diminuito se ne dista solo tre (solo nelmodo Locrio), Aumentato se dista quattro toni dalla tonica.6. Sesto grado: è chiamato Giusto se dista quattro toni e mezzo dalla tonica, Diminuito se ne dista solo quattro (modiMinore/Eolio, Frigio e Locrio).7. Settimo grado, sensibile o sottotonica: è detto Minore (o semplicemente Sottotonica) se dista cinque toni dallatonica (ossia un tono dalla tonica successiva), è detto Maggiore (o semplicemente Sensibile) se ne dista cinque emezzo (ossia dista mezzo tono dalla tonica successiva: accade solo per i modi Maggiore/Ionico e Lidio).In una tonalità di modo Maggiore o Lidio (ma anche nelle tonalità di modo Minore, con opportune alterazioni),quando alla sensibile succede la tonica, si determina un effetto emotivo nell'ascoltatore corrispondente ad unasensazione di maggiore calma, pace e rilassatezza: per questo motivo tale passaggio viene detto "passaggio dirisoluzione" (o "di cadenza", anche se il concetto di cadenza è più generale e riguarda tipicamente interi accordi enon singole note). Tale denominazione è condivisa anche dalle successioni quinta giusta-tonica e quartagiusta-tonica, che provocano sensazioni analoghe ma meno nette (in particolare la prima è detta "cadenza perfetta" ela seconda "cadenza plagale"). Le altre generiche successioni tra due note di una scala diatonica sono invece dette"successioni di tensione"; successioni che invece investono non solo note della scala diatonica ma anche ulteriorinote della scala cromatica (purché prossime) sono detti "cromatismi".Le tre "cadenze" sono fondamentali nella musica occidentale, si noti tuttavia che non sono tutte presenti in ognimodo della scala diatonica: in particolare la scala di modo minore, molto importante perché definisce il modo dellatonalità di moltissimi brani, risulta priva della cadenza sensibile-tonica. Proprio per ovviare a questa caratteristica latradizione europea rinascimentale ha elaborato scale minori alterate che contengano il settimo grado maggioreanziché minore: fra tutte la scala minore armonica e la scala minore melodica: tali scale, si faccia attenzione, nonsono più scale diatoniche in senso stretto, ossia come sono state qui definite, poiché la successione di toni e semitoninon rispetta più le regole tradizionali delle scale diatoniche (ad esempio la minore armonica contiene tre toni, tresemitoni ed un intervallo da un tono e mezzo).

Voci correlate•• Scala musicale•• Modo musicale•• Temperamento (musica)ca:Escala diatònica cs:Diatonická stupnice da:Diatonisk skala de:Diatonik en:Diatonic scale eo:Diatona gamoes:Escala diatónica et:Diatoonika fa:گام دیاتونیک fi:Diatoninen asteikko fr:Échelle diatonique gl:Diatónica he:סולםhu:Diatonikus hangsor id:Tangga nada diatonik ja:全 音 階 jv:Tangga nada diatonik kk:Диатоника דיאטוניlt:Dermė nl:Diatoniek nn:Diatonisk skala no:Diatonisk skala oc:Escala diatonica pl:Skala diatoniczna pt:Escaladiatônica ru:Диатоника sk:Diatonická stupnica sv:Diatonik (musik) uk:Діатоніка

Scala cromatica 14

Scala cromaticaUna scala cromatica è una scala musicale composta da tutti e dodici i semitoni del sistema temperato, in cui ilsemitono è considerato l'intervallo minimo tra due note.Il termine "cromatico" deriva dal greco chroma (colore): in genere le note cromatiche sono intese comearmonicamente poco significanti e utilizzate per dare "colore" alle scale diatoniche.

Teoria musicaleA differenza delle scale diatoniche, composte da toni e semitoni, la scala cromatica o semitonata è composta da solisemitoni cromatici (l'intervallo che passa fra due suoni consecutivi dello stesso nome, di cui uno alterato, ad esempioReb e Re), è appunto da questo che la scala cromatica prende il suo nome. Essa è formata da 12 suoni equidistanti fraloro (all'interno di un'ottava): è per questo perfettamente simmetrica ed ha una unica trasposizione possibile, rimanecioè identica a sé stessa a prescindere dalla nota di partenza. Tale scala non è dunque associabile ad alcun modomusicale o tonalità specifiche.Benché nella pratica i musicisti ed i compositori siano spesso poco congruenti, i teorici della musica hanno suddivisola notazione delle scale cromatiche in vari modi: scala cromatica ascendente, discendente, melodica e armonica.La scelta tra due note omofone (ovvero scritte diversamente ma con suono uguale) è subordinata sia a precise regolearmoniche (che sono trattate nello studio dell'armonia tradizionale), sia a principi di economia grafica.Normalmente nelle scale ascendenti si usano i diesis, in quelle discendenti i bemolle. La scala cromatica armonicautilizza invece un insieme di note e alterazioni che rimane invariato sia scendendo che salendo, o variando ditonalità. La scala cromatica melodica, su cui vi sono discordanze di opinione, utilizza alterazioni differenti a secondadella tonalità (maggiore o minore) e a seconda del suo andamento discendente o ascendente.

Scala cromatica ascendente e discendente

Scala armonica cromatica

Esempio di scala melodica cromatica di Do

CromatismiIn pratica la scala cromatica completa non viene quasi mai usata nella sua intera estensione, se non nei casi in cui siintende riprodurre l'effetto di un glissando con strumenti che non possono modulare in maniera continua i suoni.È piuttosto comune trovare esempi con frammenti di scala cromatica, o passaggi cromatici fra diverse note dellascala diatonica (denominati appunto "cromatismi"). I cromatismi cominciarono ad apparire nel Medioevo,sviluppandosi nel XVI secolo con compositori come Carlo Gesualdo. Un secolo dopo essi erano ormai parte delsistema musicale, in quanto alla base delle modulazioni. Nella musica tardo-romantica assunsero grande importanzanella tessitura armonica dei brani (ben noti i cromatismi wagneriani), ma indebolendo in parte la percezione delsenso di tonalità e contribuendo, nel XX secolo, al crollo del sistema tonale e alla nascita della dodecafonia.Per quanto riguarda la musica tonale esistono numerosi esempi di come la scala cromatica possa essere inclusa inprogressioni armoniche. Un esempio di melodia cromatica è lo Studio op 10 n° 2 di Frédéric Chopin, in cui il temava eseguito con una tecnica di pianoforte particolarmente difficile [1].Un esempio più moderno può essere riscontrato in Hotel California degli Eagles, in cui, sugli accordi Si- / Fa# / La /Mi / Sol / Re, la melodia dell'assolo di chitarra è basato sulle note cromatiche discendenti Si / La# / La / Sol# / Sol /Fa#.

Scala cromatica 15

Un altro esempio nella musica moderna è la progressione discendente nel coro di Astronomy domine (huuu hu huuhuu...) dal La fino al Re.Infine, un esempio generico, in cui il cromatismo non coinvolge la melodia, può essere una scala discendentesuonata al basso. Ad esempio l'introduzione di Stairway to Heaven dei Led Zeppelin è basata sulla progressione diaccordi La- / Fa7+ con la linea di basso cromatica discendente La / Lab / Sol / Solb / Fa.

Note[1] Gastone Belotti, Chopin, EDT srl (1984); ISBN 9788870630336

ar:سلم كروماتيكي br:Skeulenn gromatek ca:Escala cromàtica cs:Chromatická stupnice da:Kromatisk skala de:Chromatiken:Chromatic scale eo:Kromata gamo es:Escala cromática eu:Eskala kromatiko fa:گام کروماتیک fr:Échelle chromatiquehe:סולם כרומטי hu:Kromatikus hangsor id:Skala kromatik ja:半 音 階 ko:반음계 lt:Chromatinė dermėlv:Hromatiskā gamma nl:Chromatische toonladder nn:Kromatisk skala no:Kromatisk skala oc:Escala cromaticapl:Skala dwunastodźwiękowa pt:Escala cromática ru:Хроматизм (музыка) simple:Chromatic sv:Kromatisk skalauk:Хроматична гама vi:Âm giai nửa cung zh:半 音 阶

Circolo delle quinte

Circolo delle quinte

Circolo delle quinte

Il circolo delle quinte o ciclo delle quinte è un graficoutilizzato nella teoria musicale per mostrare le relazionitra le dodici note che compongono la scala cromatica.

L'intervallo di quinta perfetta ha molti significati inteoria musicale: esso è alla base del temperamentopitagorico ed è l'intervallo che suona meglio ed inmodo più naturale per l'orecchio umano.

Per illustrare tutti questi significati facciamoriferimento alla seguente illustrazione visiva, dove inun quadrante di orologio sono inserite in senso orario lenote a partire dal Do in successione di quinte giuste. Inquesto modo tutte e dodici le note sono rappresentate, ein senso orario ogni nota è adiacente alla sua dominantementre in senso antiorario alla sua sottodominante (nelcaso di do: fa è sottodominante e sol è dominante).

Per determinare il numero di diesis o bemolle che sonoinseriti in chiave per una determinata tonalità ci simuove in senso orario per i diesis ed in senso antiorarioi bemolle.

Per esempio partendo dal Do maggiore, che non haaccidenti (alterazioni) in chiave, ci spostiamo sul Solche ha un diesis in chiave (Fa#), il Re maggiore ha due diesis (Fa# e Do#) e così via.

Circolo delle quinte 16

circolo delle quinte

Nell'altro verso spostandoci sul Famaggiore abbiamo un bemolle inchiave (il Sib), il Sib maggiore ne hadue (il Sib ed il Mib) e così via.Il circolo delle quinte si può ancheusare per definire le scale: 7 noteconsecutive adiacenti formano unascala maggiore, 5 note consecutivecompongono una scala pentatonica.Per esempio le note dal Fa in sensoorario fino al Si formano la scala di Domaggiore.

Se invece consideriamo i nomi dellenote come accordi questi possonoaiutare a visualizzare i movimentiarmonici di una progressione tipicacome la cosiddettaseconda-quinta-prima (rappresentataspesso come ii-V-I, ovvero: secondaminore - quinta maggiore dominante -tonica). Per esempio la tipica

progressione Sol-7 / Do7 / Fa si visualizza in senso antiorario partendo dal Sol.

Considerando sempre le note come accordi, quelle che si trovano agli opposti della circonferenza (per esempio Do eFa#) sono separate da un tritono, un intervallo particolarmente delicato. Tale intervallo spesso è utilizzato per crearetensione nel brano musicale, mediante la sostituzione di tritono, ovvero si sostituisce ad una progressione un accordodi settima dominante con il suo tritono, ad esempio nella progressione Sol-7 / Do7 / Fa si sostituisce il Do7 con unSolb7).

Ciclo diatonico delle quinteIl cosiddetto ciclo diatonico delle quinte è un ciclo delle quinte che utilizza solo le note di una scala maggiore, odiatonica. Ciò implica che un passaggio sia di quinta diminuita, anziché di quinta giusta. Ad esempio nella scala diDo il ciclo diatonico delle quinte è il seguente: Do Fa Si Mi La Re Sol Do. Il passaggio da Fa a Si è di una quintadiminuita discendente anziché di una quinta giusta discendente.Rispettando gli accordi derivati dall'armonizzazione della scala di Do maggiore si ottiene il seguente ciclo diatonicodelle quinte armonizzato:Domaj7 Famaj7 Sim7/b5 Mim7 Lam7 Rem7 Sol7 Do7.

Circolo delle quinte 17

Voci correlate•• Scala diatonica•• Modo musicale•• Scala pitagoricaca:Cercle de quintes cs:Kvintový kruh da:Kvintcirkel de:Quintenzirkel en:Circle of fifths eo:Kvintociklo es:Círculode quintas et:Kvindiring fr:Cycle des quintes he:מעגל הקווינטות hu:Kvintkör is:Fimmundahringurinn ja:五 度 圏

lt:Kvintų ratas lv:Kvintu aplis nl:Kwintencirkel nn:Kvintsirkel no:Kvintsirkel pl:Koło kwintowe pt:Círculo dequintas rm:Circul da quintas ru:Квинтовый круг simple:Circle of fifths sr:Квинтни и квартни круг sv:Kvintcirkelnuk:Квінтове коло vec:Sírcoło de quinte zh:五 度 圈

18

Dalla fisica alla musica

Rapporto tra musica e matematica

Busto di Pitagora

« La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere estratte da un principio evidente, che non puòessere conosciuto senza l'aiuto della matematica. Devo ammettere che, nonostante tutta l'esperienza che ho potuto acquisirecon una lunga pratica musicale, è solo con l'aiuto della matematica che le mie idee si sono sistemate, e che la luce ne hadissipato le oscurità »(Jean-Philippe Rameau, Trattato dell'armonia ridotto ai suoi principi fondamentali (1722))

Lo stretto rapporto che intercorre tra la musica e la matematica fu studiato sin dall'antichità: un esempio classicoè dato dalla Scuola Pitagorica, a cui si deve la scoperta (i pitagorici vi assegnavano significati mistici) secondo laquale i differenti toni di una scala sono legati ai rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata suona l'ottavasuperiore, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, e così via.Molta matematica applicata in campo musicale deriva infatti dallo studio della fisica acustica e dai problemi ad essacollegata. Se la stessa divisione ritmica del metro musicale è indicata con una frazione matematica, oggi sappiamoche alla base di qualunque rumore vi è un contributo di innumerevoli onde stazionarie, e che qualunque suono puòessere scomposto in onde sinuisodali mediante l'analisi armonica (espressa matematicamente con l'algoritmo dellatrasformata di Fourier).In modo più astratto la musica fu posta in relazione alla matematica anche nel suo aspetto compositivo (che richiededi ripartire i suoni tra le varie altezze, in diversi istanti temporali e tra le diverse voci degli esecutori). Questo tipo dianalisi musicale ha avuto illustri cultori in tutti i secoli (si pensi alle geometrie musicali dei canoni di Bach) ed haconosciuto nuove fortune anche in tempi vicini a noi (nel '900 sorsero ad esempio l'Istituto Kranischstein diRasmstadt, lo Studio di musica elettronica della Radio di Colonia, il Centro di Fonologia Musicale di Milano el'IRCAM di Parigi).A partire dal XVII secolo molti musicisti hanno dato prova di solide conoscenze matematiche (ad esempio Giuseppe Tartini ne diede prova in Trattato di musica secondo la vera scienza dell'armonia nel 1754 e così Iannis Xenakis in

Rapporto tra musica e matematica 19

Musica formalizzata nel 1971; gli stessi Pierre Boulez e Philip Glass sono laureati in matematica e da essa hannotratto ispirazione per la loro arte).

Battimenti

Battimenti con due onde di frequenza diversa per l'1%

Il fenomeno dei battimenti si ha quando vengonosuonate due note di frequenza simile (ma non identica).Si ha allora l'impressione di sentire un suono difrequenza vicina a quelle dei primi due, la cui intensitàoscilla però nel tempo tanto più lentamente quanto piùle frequenze dei primi due suoni erano ravvicinate. Perquesto motivo, i battimenti sono utilizzati perdeterminare la presenza di note calanti o crescentiquando si intona uno strumento.La spiegazione di questo fenomeno risiede in partenella natura fisica delle onde sonore, e in parte nelmodo in cui il nostro orecchio percepisce i suoni. Sefissiamo la nostra attenzione sulla sovrapposizione didue toni puri (tali cioè da poter essere rappresentati daonde sinusoidali) e supponendoli, per semplicità, di ampiezza uguale, possiamo applicare le formule di prostaferesial suono risultante:

Ove si è posto

Se , (cioè se e sono vicine), si può esprimere la somma dei due suoni come un suono di frequenzaintermedia, pari a , la cui ampiezza sia modulata alla frequenza molto più bassa .

Metodi di intonazioneLe scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione la nostra percezione dei suoni con grandezze misurabili (inquesto caso la lunghezza della corda messa in vibrazione). In altre parole, se consideriamo i modi di vibrare(armonici) di una corda tesa fissata agli estremi e detta n la frequenza fondamentale si hanno le seguenticorrispondenze (dove f(x) indica la frequenza della nota x):

Nota (x): Do1 Do2 Sol2 Do3 Mi3 Sol3 Sib3 Do4

f(x): n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n

L'intervallo tra Do1 e Do2 (raddoppio della frequenza), viene detto intervallo di ottava. Si noti che la parola intervalloriferito alle altezze dei suoni, si riferisce al rapporto tra le frequenze, non alla loro differenza.Da queste si possono dedurre le frequenze da assegnare a tutte le note della scale di Do: il metodo adottato (che viene detto comunemente temperamento, anche se questo termine si riferirebbe solo ai metodi di intonazione che si discostano da quelli "naturali") ha importanti conseguenze per la costruzione degli strumenti musicali a intonazione fissa (come il pianoforte) e anche per i metodi di composizioni musicale stessi (ad esempio la dodecafonia ideata da Arnold Schoenberg è una conseguenza, portata all'estremo, dell'utilizzo del temperamento equabile). Nella storia il

Rapporto tra musica e matematica 20

problema del temperamento musicale è stato risolto con coerenza (almeno nella musica occidentale) solo nel XVIIsecolo da Andreas Werckmeister.

Intonazione pitagoricaIl metodo pitagorico consiste nel calcolare inizialmente il rapporto di quinta, cioè la frequenza della nota Sol1, comesegue:Sol1: si riduce alla prima ottava Sol2 dividendone la frequenza per due, ottenendo: :

Analogamente Re1 è la quinta di Sol1 (Re2) abbassata di un'ottava: f(Re1) = f(Re2):2 =(3:2 f(Sol1)):2 = 9:8 nDiviene ora possibile utilizzare i rapporti di quinta e ottava per ricavare le altre note della scala.Proseguendo con questo metodo, in definitiva, la successione delle note nella scala pitagorica è definita dallasuccessione delle frequenze che segue (indicate in rapporto alla fondamentale):

Nota: Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2

Frequenza: 1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2

Si noti che in questo modo esistono due soli intervalli (rapporti di frequenza) tra suoni consecutivi: il tono,corrispondente a 9:8, e il semitono o limma pari a 256:243.La scala pitagorica presenta però l'inconveniente che gli intervalli adottati non si conciliano con l'esigenza didividere l'ottava in parti proporzionali (per evitare di dover modificare l'intonazione delle singole note al cambiaredella tonalità).

Intonazione naturaleUno degli inconvenienti della scala pitagorica è che i rapporti di terza e sesta, utilizzando numeratori e denominatorielevati, danno luogo ad accordi poco consonanti quando sono utilizzati assieme ad altre note della scala.Utilizzando anche gli armonici superiori, e in particolare il quinto armonico - Mi3 -della fondamentale, è possibileottenere rapporti più consonanti, come segue:Mi1

Viene ottenuto abbassando di due ottave il quinto armonico della fondamentale:f(Mi1) = 1/2 (1/2 (5 n)) = 5/4 n

La1Si ottiene come quinta discendente di Mi2 (quinto armonico abbassato di un'ottava):

f(La1) = 2/3 (1/2 (5 n)) = 5/3 nSi1

È la quinta di Mi1:f(Si1) = 3/2 (5/4 n) = 15/8 n

In definitiva:

Rapporto tra musica e matematica 21

Nota Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2

Frequenza (scala naturale) 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Frequenza (scala pitagorica) 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

Riconducendo le note a frazioni più semplici, si ottiene anche un'ottima consonanza della sesta (La1) e migliora ilrapporto con la settima (Si1). Si perde però omogeneità negli intervalli: abbiamo ora rapporti di 9/8 (tonomaggiore)), 10/9 (tono minore) e 16/15 (semitono diatonico). I rapporti (intervalli) tra tono maggiore e tono minore,pari a 81/80 viene detto comma di Didimo; il rapporto tra tono minore e semitono diatonico, pari a 25/24, viene dettosemitono cromatico. Si noti che in questo sistema, l'intervallo Re1-La1 (una quinta) non vale più 3/2, ma 40/27(detto intervallo di quinta stretta). Il rapporto tra i due intervalli di quinta, che vale 80/81, è l'inverso del comma diDidimo ed è anche detto comma sintonico.A fronte di una maggior consonanza tra le note la scala naturale introduce, quindi, un certo numero di irregolaritànella successione degli intervalli, che la rende ancora più inadatta di quella pitagorica per l'accordatura deglistrumenti ad intonazione fissa (mentre è quella più vicina alle esigenze degli strumenti ad intonazione variabile).

Ciclo delle quinte

Il ciclo delle quinte

Il problema dell'intonazione, come accennato più sopra, derivadalla necessità di poter accordare strumenti a corda come ilpianoforte in modo da poter suonare in diverse tonalità. Nessunodei due metodi visti finora permette di risolvere con esattezzaquesto problema, come si può vedere dal seguente procedimento.

Un modo per accordare uno strumento ad accordatura fissaconsiste nel preservare gli intervalli di quinta a partire da unacorda base. In questo modo si accorda percorrendo il cosiddettociclo delle quinte: Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯,La♯, Fa (o Mi♯), Do, che dopo otto ottave ritorna alla notafondamentale. È facile vedere che nessuno dei metodi fin quiesaminati può fare sì che il Do8 coincida con quello ottenuto dalciclo delle quinte: infatti, sia per il temperamento naturale, sia perquello pitagorico, le frequenze delle ottave sono multiple di potenze di due, mentre nel ciclo delle quinte lefrequenze sono multiple di potenze di 3/2: nessuna potenza di due è anche una potenza di 3/2. Questo ragionamentovale anche per gli altri rapporti considerati.

Si vede quindi che un accordatore che volesse accordare uno strumento cercando di preservare tutti gli intervalligiusti (terze, quarte, quinte) si troverebbe di fronte ad un problema insolubile e dovrebbe comunque cercare uncompromesso: è questo quanto offre il temperamento equabile.

Rapporto tra musica e matematica 22

Temperamento equabile

Grafico frequenze/cents, temperamento equabile: Lafreccia rossa indica la nota base (La 440Hz)

Deviazione relativa dal temperamento equabile. Verde:temperamento pitagorico, rosso: temperamento

naturale.

Trovare una soluzione stabile al problema del temperamentorichiese diversi secoli. Oltre ai due temperamenti illustrati, nevennero suggeriti diversi altri: ad esempio il temperamentomesotonico (detto temperamento del tono medio), che conserva gliintervalli di terza (e fu usato attorno al Rinascimento).

Un metodo alternativo a quelli finora considerati (che cercano dipreservare esattamente un certo numero di intervalli razionali,oltre a quello d'ottava) è quello di imporre la divisione dell'ottavain un certo numero d'intervalli costanti. (Abbiamo visto che itemperamenti esaminati richiedono almeno due intervalli per lacomposizione di un'ottava). La soluzione adottata modernamente,detta sistema temperato equabile stabilisce che ogni ottava siadivisa in 12 intervalli, detti semitoni, e distribuisce le note (gradidella scala diatonica) lungo una curva logaritmica: il rapporto diottava è fissato pari a due come di consueto. L'uso di una scalalogaritmica deriva dal fatto fisiologico che il nostro orecchiopercepisce come uguali intervalli tra suoni in cui è costante ilrapporto tra le frequenze. Questo fatto individua una distribuzionelogaritmica dei gradi rispetto alle frequenze per tutti itemperamenti fin qui esaminati: ma mentre il temperamentoequabile adotta la stessa distribuzione omogenea su un intervallodi ottava, gli altri cercano di combinare sequenze di intervalli o dimantenere lo stesso intervallo senza rispettare l'intervallo di ottava.

Da quanto si è detto, è facile vedere che un intervallo di unsemitono (ottenuto inserendo 12 medi geometrici tra 1 e 2) è pari a

.

In questo modo, la frequenza di ogni nota corrispondente al tasto di un pianoforte è uguale alla frequenza della notacorrispondente al tasto immediatamente precedente, moltiplicata per . Dodici tasti più a destra, si giunge a unanota che ha frequenza , cioè esattamente doppia rispetto alla nota di partenza.Questo sistema equabile stabilisce rapporti di frequenza identici a partire da qualsiasi nota individuata dalla tastieradel pianoforte (o del clavicembalo). In questo modo, si può passare da una tonalità all'altra (cioè effettuaremodulazioni) senza problemi di accordatura. Le modulazioni sono appunto una caratteristica tipica della musica diJohann Sebastian Bach, che supportò l'introduzione del temperamento equabile con la raccolta "Il clavicembalo bentemperato": quarantotto preludi e fughe (due per ogni tonalità maggiore e minore) da suonarsi, appunto, su unclavicembalo accordato secondo il temperamento equabile[1].Il metodo di costruzione del temperamento equabile fa sì che le frequenze di tutte le note possano essere espressecome:

dove è la frequenza fondamentale (tipicamente, La4 = 440 Hz) e c esprime lo scostamento da essa, espresso incent (un'ottava contiene 1200 cent).Il temperamento equabile, dunque, consente di avere le ottave intonate e composte tramite la ripetizione di un unico intervallo, ma ha l'inconveniente di non utilizzare nessun altro intervallo giusto. D'altra parte si può vedere come, considerando tutte le possibili divisioni dell'ottava fino a 24, si può vedere che esistono solo tre possibili suddivisioni

Rapporto tra musica e matematica 23

che permettono di comporre la triade maggiore (Do, Sol, Mi) mantenendo un errore complessivo inferiore all'1%:queste sono quella in 12 (corrispondente al temperamento equabile) quella in 24 (corrispondente a una suddivisionein quarti di tono ancora nel temperamento equabile) e quella in 19, che corrisponde ad una suddivisione in terzi ditono che ha suscitato qualche interesse in passato.A questo proposito, tramite lo sviluppo in frazione continua (i cui convergenti forniscono la successione dellemigliori approssimazioni tramite rapporti di numeri interi il più piccoli possibile) del numero log23 (che è la"soluzione" del problema di ottenere un numero intero di ottave tramite successioni di quinte), si vede che il numerodi suddivisioni dell'ottava che permette di avvicinarsi di più all'ideale del temperamento (cioè l'equidistanza tra igradi), senza scostarsi troppo dalla consonanza (cioè usando valori che siano quanto più vicini possibili a rapporti dinumeri piccoli) è la suddivisione in 5 gradi, oppure in 12 o in 41 o in 53. Un ragionamento analogo su può faresviluppando il numero log25 , che invece viene fuori dallo stesso problema quando si usino le terze invece dellequinte. Per una trattazione completa, vedi (EN) [2], (in cui si afferma anche che la suddivisione in 53 gradi è statateorizzata anche in Cina oltre che nei primi del '900 in Europa).

Confronto tra i metodi di intonazioneLa tabella illustra le altezze (espresse in cent) dei gradi della scala maggiore secondo i vari metodi di intonazione.

Gradodella scala

Temperamentoequabile

Interv. Intonazionenaturale

Interv. Intonazionepitagorica

Interv.

I 0 - 0 - 0 -

II 200 200 204 204 204 204

III 400 200 386 182 408 204

IV 500 100 498 112 498 90

V 700 200 702 204 702 204

VI 900 200 884 182 906 204

VII 1100 200 1088 204 1110 204

VIII 1200 100 1200 112 1200 90

Come si vede, in tutti e tre i metodi l'intervallo di ottava è identico (1200 cents) e sono praticamente uguali anche gliintervalli di quarta (498-500 cents) e di quinta (700-702 cents). Il discorso è ben diverso per gli intervalli di terzamaggiore e di sesta maggiore. L'intervallo di terza maggiore naturale vale 386 cents, mentre quello pitagorico è assaicrescente: 408 cents; un discorso analogo vale per la sesta. Si può dunque ben capire come mai un intervalloperfettamente consonante secondo la nostra sensibilità come quello di terza maggiore venisse consideratointollerabilmente dissonante agli inizi della polifonia, quando si usava il temperamento pitagorico: la "colpa" erainsita nella costruzione pitagorica della scala.La tabella mostra anche che le approssimazioni introdotte con il temperamento equabile sono più modeste di quellepitagoriche (l'intervallo di terza maggiore vale 400 cents invece dei 386 cents naturali) e tali da essere ormaiampiamente tollerate. Ciò spiega come mai al nostro orecchio intervalli di terza suonino consonanti anche quandosuonati al pianoforte (che è intonato secondo il temperamento equabile).Nella seguente tabella viene riportato anche il temperamento mesotonico (o medio o del tono di mezzo), raffrontatocon gli altri e le relative proporzioni pitagoriche:

Rapporto tra musica e matematica 24

Nºsemitoni

Nomeintervallo

Intervallonaturale

Intervalli in cent

Temperamentoequabile

Intonazionenaturale

Intonazionepitagorica

Temperamentomesotonico

0 Unisono 1:1 0 0 0 0

1 Seconda minore 16:15 100 112 90 117

2 Secondamaggiore

9:8 200 204 204 193

3 Terza minore 6:5 300 316 294 310

4 Terza maggiore 5:4 400 386 408 386

5 Quarta giusta 4:3 500 498 498 503

6 Quartaaumentata

Quintadiminuita

45:3264:45

Tritono 600 590610

612 579621

7 Quinta giusta 3:2 700 702 702 697Quinta del lupo: 737

8 Sesta minore 8:5 800 814 792 814

9 Sesta maggiore 5:3 900 884 906 889

10 Settima minore 9:5 1000 1018 996 1007

11 Settimamaggiore

15:8 1100 1088 1110 1083

12 Ottava 2:1 1200 1200 1200 1200

Note[1][1] In realtà il termine "temperato", all'epoca di J. S. Bach, non significava affatto "equabilmente temperato": tra i temperamenti in uso allora,

quello equabile era ancora lontano dall'affermarsi. E raccolte simili a quella bachiana, compilate in quegli stessi anni, testimonianol'esplorazione di tutte le tonalità possibili anche su strumenti "normalmente" (ovvero non equabilmente) temperati. In tempi recenti, perciò, ladeterminazione del temperamento cui si riferiva Bach è stata messa in discussione.

[2] http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ DUNNE/ TEMPERAMENT. HTML

Bibliografia• Dave Benson, Mathematics and music, Cambridge University Press (2006)• Piergiorgio Odifreddi, Penna, pennello, bacchetta: le tre invidie del matematico, Laterza (2005), ISBN

8842079693• G. Assayag, H.G. Feichtinger, Mathematics and music. A Diderot mathematical forum, Springer (2002)• Andrea Frova, Fisica nella musica, Zanichelli (1999)• Giuseppe Gerbino, Canoni ed enigmi, Torre d'Orfeo (1995)• James Jeans, Science and music, Cambridge University Press (1937)• John Pierce, La scienza del suono, Zanichelli (1987)

Rapporto tra musica e matematica 25

Voci correlate•• Terzo suono di Tartini•• Rapporto tra musica e informatica•• Risonanza acustica•• Scala diatonica•• Sezione aurea nella musica•• Temperamento (musica)

Collegamenti esterni• Nuova musica antica - Appunti di temperamento (http:/ / www. nicolaferroni. com/ accorda/ accorda. php) di

Nicola Ferroni.• Calcolo delle frequenze delle note (http:/ / dmr. ath. cx/ sound/ note-freq. html)• Appunti di acustica (http:/ / www. soloclassica. it/ acustica. htm) di Marco Mottaen:Music and mathematics es:Música y matemáticas pt:Música e matemática

Battimenti

La curva inviluppo del battimento

Nella teoria musicale ma più precisamente in acustica ilfenomeno dei battimenti è determinato da una piccoladifferenza di vibrazioni tra due suoni della stessaaltezza.

Descrizione

Entrando più in dettaglio, ne risulta un effettovibratorio particolare, caratterizzato da rapideondulazioni acustiche. L'effetto è un rafforzamentoseguito da un indebolimento del suono a seconda chele frequenze siano in concordanza o in discordanza di fase. I battimenti si distinguono con difficoltà neglistrumenti a corde percosse come il Pianoforte, a causa della breve durata dei suoni. Si rileva con minore difficoltànegli strumenti a vento ed a serbatoio d'aria come ad esempio l'organo in quanto hanno una sonorità più ampia.Questo effetto è anche facilmente riscontrabile nel cosiddetto vibrato degli archi. Infatti siccome il vibrato si ottienespostando leggermente il dito sulla corda del violino causa dei suoni leggermente diversi l'uno dall'altrodeterminando con la sovrapposizione delle vibrazioni, i battimenti.

Approccio fisico

Battimenti 26

Battimenti tra due suoni con una differenza in frequenza pari al 10% (esagerata permaggiore chiarezza)

Supponiamo di avere due corpi chevibrano simultaneamente, i cui suoni sipossano rappresentare con ondesinusoidali con la stessa frequenza e lastessa ampiezza. Queste due ondepossono sovrapporsi in diversemaniere: in fase (interferenzacostruttiva), in opposizione di fase(interferenza distruttiva), o in una viadi mezzo. Essendo il suono risultante la somma dei due suoni, nel primo caso questo sarà identico ai primi due, madi ampiezza doppia (le creste si sommano e le valli si sommano); nel secondo caso non si avrà alcun suono risultante(le creste e le valli si compensano in ogni punto annullandosi tra di loro); nel terzo si avrà un suono di intensitàintermedia, a seconda di quanto è lo sfasamento tra i due suoni iniziali. Naturalmente, avendo i due suoni la stessafrequenza, lo sfasamento sarà costante nel tempo: se ad esempio la prima cresta del primo suono è perfettamentesovrapposta alla prima cresta del secondo, lo stesso avverrà per le seconde creste, per le terze, e così via(analogamente nel caso di sfasamento arbitrario).

Supponendo ora che le due frequenze non siano proprio identiche, ma che ci sia una piccola differenza tra di esse, losfasamento questa volta non sarà più costante, ma varierà nel tempo: se ad esempio le prime creste dei due suonicoincidevano perfettamente (l'intensità totale quindi era il doppio), le seconde non saranno perfettamentesovrapposte, perché una arriverà un po' prima dell'altra; per le terze creste questa differenza di fase sarà ancora piùmarcata e così via, fino a quando la cresta del primo suono non sarà sovrapposta a una valle del secondo: i due suonisono passati in opposizione di fase, e l'intensità totale è zero. Procedendo ancora in maniera analoga, dopo un certonumero di periodi (dipendente dalla differenza relativa tra le due frequenze iniziali) i due suoni ritorneranno in fase.In altri termini si hanno battimenti quando lo sfasamento (e quindi il tipo di interferenza) tra due suoni di frequenzesimili varia nel tempo. Questo meccanismo si vede chiaramente nell'immagine.Una elegante spiegazione matematica del fenomeno si dà tramite le formule di prostaferesi: se rappresentiamo i duesuoni con due onde sinusoidali di ampiezza unitaria (per semplicità), possiamo applicare le formule al suonorisultante:

Ove si è posto , .

Se , (cioè se e sono vicine), si può esprimere la somma dei due suoni come un suono di frequenzaintermedia, pari a , la cui ampiezza sia modulata alla frequenza molto più bassa .

Esempi pratici di battimentiIl fenomeno dei battimenti è facilmente riscontrabile se facciamo vibrare contemporaneamente due corpi che hanno fra loro una leggera differenza di frequenza (per esempio di una sola vibrazione al secondo), nel primo istante i due moti arriveranno all'orecchio nella stessa fase di vibrazione; ma dopo mezzo secondo la prima origine sonora avrà compiuto mezza vibrazione in più della seconda e i due moti saranno in fase opposta. Nel successivo mezzo secondo le vibrazioni si rimetteranno gradatamente in fase e l'orecchio riceverà nuovamente due moti concordi. L'intensità del suono quindi, nell'alternarsi delle diverse fasi oscillerà continuamente, sì che nel miscuglio dei due suoni, leggermente disuguali d'altezza, si avrà, ad intervalli uguali, un susseguirsi di periodici rinforzamenti e di periodici indebolimenti che sono chiamati battimenti. Vi sono degli strumenti che producono quasi sempre dei battimenti: così sono le campane che, presentando diversità di spessore in diversi punti, producono battimenti assai intensi che conferiscono loro la caratteristica sonorità ondulante. Spesso i battimenti sono appositamente impiegati per

Battimenti 27

conseguire effetti speciali; nell'esempio dell'organo, il registro della voce umana è formato da due tubi nonperfettamente intonati, allo scopo di ottenere una specie di tremolio che imita la voce dei cantanti.

Suoni di differenza, addizioneSuonando due note contemporaneamente, l'orecchio percepisce note aggiuntive di varie frequenze pari ad opportunesomme e differenze delle due note emesse: si parla in questi casi di suoni di combinazione. Fra questi il piùimportante da un punto di vista pratico è il cosiddetto terzo suono di Tartini, scoperto appunto dal Tartini nel ‘700. Ilcelebre violinista constatò infatti che suonando un bicordo ad un intervallo di 5a (ovvero con rapporto di frequenze3:2) si sentiva al basso un'altra nota la cui frequenza corrispondeva a un numero di vibrazioni pari alla differenza fraquelle dei due suoni originari. Così, ad esempio, se un suono aveva 900 vibrazioni e l'altro 600, il suono ulteriore chesi sentiva aveva 300 vibrazioni al secondo ed era, quindi, di un'ottava più grave.Da un punto di vista fisico il fenomeno risulta particolarmente evidente suonando due note ad un intervallo di 5a

poiché i prodotti di intermodulazione (v. nel seguito) del second'ordine f2-f1 e del terz'ordine 2f1-f2, che sononormalmente disgiunti, in questo caso coincidono esattamente sommandosi.Il fenomeno dei suoni di combinazione è ormai noto da oltre mezzo secolo nell'elettronica applicata alletelecomunicazioni dove questi vengono denominati "prodotti di intermodulazione": si generano in ogni amplificatoreche produce una forte distorsione su due segnali in ingresso, in particolare quindi anche all'interno del nostroorecchio quando questo percepisce due suoni da sorgenti distinte.

Due suoni di frequenza ed sommati in un amplificatore ad alta distorsione come il nostro orecchio,producono infatti i prodotti di intermodulazione del second'ordine: ; del terz'ordine:

e degli ordini successivi; oltre alle armoniche ... multiple delle frequenze fondamentali. Sono tali frequenze generate all'interno dell'orecchio a produrre i suonidifferenza e addizione, i primi a lungo confusi con inesistenti "armonici inferiori" o "ipotoni".Termini come "ipotoni", "suoni di moltiplicazione", "subarmonici", che si trovano sovente in letteratura non hannoalcun significato in fisica. Il fenomeno dei cosiddetti subarmonici, ad esempio, deriva non tanto da un fenomenofisico reale, quanto da un errore indotto dall'orecchio quando percepisce due suoni da sorgenti distinte producendo alproprio interno i prodotti di intermodulazione sopra citati.

Applicazioni praticheIl fenomeno del "terzo suono" trova una sua applicazione pratica nella costruzione degli organi: talvolta, invece dicostruire canne enormi per frequenza molto basse si creano registri in cui due canne a distanza di quinta suonanocontemporaneamente creando l'illusione di un terzo suono più profondo; tali registri sono spesso riconoscibili per illoro nome, solitamente Acustico, Risultante o Gravissima. Anche il theremin sfrutta il battimento tra due frequenzenon udibili (nel campo degli ultrasuoni) per ottenere un suono udibile e modulabile cambiando la frequenza di unadelle due onde.I registri di Voce umana, Voce celeste, Unda maris, Voce eterea, Timballi degli organi e molti registri dellefisarmoniche sfruttano il fenomeno dei battimenti per ottenere un suono più caldo ed espressivo. Questi registrifanno suonare contemporaneamente due canne (o ance): una intonata correttamente ed una leggermente calante ocrescente, in modo da ottenere un certo numero di oscillazioni di intensità al secondo.

Battimenti 28

Toni binauraliI toni binaurali sono dei battimenti che vengono generati direttamente dal cervello quando le due onde sonorevengono ascoltate separatamente tramite degli auricolari (quindi non vi è sovrapposizione fisica delle due ondesonore).

Voci correlate•• Rapporto tra musica e matematica

Collegamenti esterni• [1], Università di Modena e Reggio Emilia, con esempi ascoltabili.

de:Schwebung en:Beat (acoustics) es:Batimiento fi:Huojunta fr:Battement hu:Lebegés (hangtan) ja:う な り

pl:Dudnienie pt:Batimentos ru:Биения sv:Svävning uk:Биття

Note[1] http:/ / fisicaondemusica. unimore. it/ Battimenti. html

Consonanza e dissonanzaNel linguaggio ordinario con il termine consonanza (dal latino consonare, "suonare insieme") si indica in genere uninsieme di suoni eseguiti simultaneamente e tali che l'effetto complessivo risulti morbido e gradevole, mentre con iltermine dissonanza, all'opposto, si indica un agglomerato di suoni dall'effetto aspro e stridente.In realtà si definisceconsonante un intervallo caratterizzato da "stasi armonica"(non ha bisogno di risolvere su un ulteriore intervallo),dissonante quell'intervallo che, all'orecchio, dà l'impressione di "movimento armonico", di dovere cioè risolvere suun intervallo consonante. Nel linguaggio tecnico della teoria musicale, e in particolare dell'armonia, le due parolehanno significati ben precisi, e anzi si può dire che la contrapposizione tra consonanza e dissonanza, insieme alprincipio della tonalità, rappresenta la base della teoria armonica occidentale.

Basi acustiche e fisiologichePrima di esporre i principi dell'armonia tonale su consonanze e dissonanze consideriamo i principali risultaticonseguiti nel tentativo di interpretare i fenomeni attraverso l'acustica e la fisiologia.Galileo, nei Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze, propone una spiegazione molto semplice deifenomeni di consonanza e dissonanza. Se consideriamo il segnale costituito dalla sovrapposizione dei due suoni delbicordo, in prima approssimazione la lunghezza del suo periodo sarà tanto minore quanto più il rapporto tra lefrequenze fondamentali che costituiscono i due suoni sarà semplice, ossia espresso da una frazione intera connumeratore e denominatore non troppo grandi. Ebbene, l'idea di Galileo è che il grado di consonanza risultiinversamente proporzionale alla lunghezza del periodo del suono complessivo, e analogamente il grado didissonanza risulti proporzionale a questo periodo. L'orecchio, secondo Galileo, apprezza finemente la maggiore ominore regolarità del suono risultante.Un'obiezione all'idea di Galileo sorge qualora il rapporto tra le frequenze di due suoni sia irrazionale, ma vicinissimoa una frazione molto semplice. Il suono risultante sarà ovviamente non periodico, il che rappresenterebbe il massimogrado di dissonanza nell'ottica galileiana, ma sarà anche assai prossimo, anzi volendo anche del tutto indistinguibiledall'orecchio, a un suono consonante. Questa obiezione è importante, ma non sarebbe difficile complicareleggermente l'idea galileiana, conservandone il nocciolo, al fine di superarla. Vedremo inoltre che l'idea di Galileo

Consonanza e dissonanza 29

contiene, nella sua semplicità, anche aspetti profondi.Una trattazione sperimentale sistematica dei fenomeni che stiamo considerando è dovuta a von Helmholtz. Eglicominciò a considerare l'effetto di due suoni puri, cioè di frequenze ben precise che non danno origine a ipertoni.L'esperimento base di Helmholtz consisteva nell'emettere due suoni puri simultaneamente, di altezza inizialmenteuguale, e poi, tenendo fissa la frequenza di uno di essi, far variare l'altra all'interno di un piccolo intervallosimmetrico su scala logaritmica rispetto alla frequenza di partenza. Si poteva così notare che i due suoni, perdifferenze di frequenza molto piccole, producono una consonanza, mentre man mano che la differenza cresce ilsuono risultante acquista un colore sempre più aspro fino a un certo limite, per poi tornare ad essere gradualmentesempre più consonante. L'ampiezza dell'intervallo tra la frequenza di partenza e la fine della zona dissonante era,nella zona di frequenze corrispondente alla parte centrale della tastiera di un pianoforte, leggermente più piccola diuna terza minore temperata.Helmholtz interpretò questi dati immaginando che responsabili della dissonanza fossero i battimenti. Poiché essisono molto lenti quando le frequenze sono molto simili, inizialmente si ha una sensazione generale di consonanza.La massima dissonanza corrisponde alla zona in cui si producono circa 30 battimenti al secondo, mentre perdifferenze di frequenza ancora superiori i battimenti diventano così rapidi da non essere percettibili, e il lorocontributo alla sensazione di dissonanza diminuisce.Il seguente file sonoro illustra la diminuzione graduale dell'effetto di asprezza e della velocità dei battimenti alprocedere dell'intervallo tra due suoni (relativamente puri) da una seconda maggiore all'unisono:L'idea di Helmholtz, in questa forma base, spiega abbastanza bene la fenomenologia relativa ai suoni puri non troppodistanti in frequenza, ma, anche nell'ambito dell'ottava, rimangono dei problemi con i suoni reali dotati di ipertoni.Infatti questi suoni (come ad esempio quelli di un pianoforte) risultano dissonanti, in particolare, anche per il tritono,e anzi tanto più dissonanti quanto più il sistema di amplificazione dello strumento usato mette in risalto gli armonici(ad esempio più nel pianoforte che nei legni).Se, come fece Helmholtz, applichiamo l'idea base sopra descritta, oltre che al suono fondamentale, anche ai suoiarmonici più vicini (e quindi maggiormente percettibili), avremo una teoria che spiega abbastanza bene, in primaapprossimazione, il fenomeno della dissonanza del tritono. Infatti il primo armonico della nota superiore del tritono eil secondo della fondamentale cadono proprio nella zona in cui i battimenti sono più frequenti. Allo stesso modo sispiega la dissonanza di intervalli come la settima maggiore e la nona minore.Nel prossimo file i due suoni divergono dall'unisono all'ottava; come si noterà, intervalli prossimi all'ottava, vicinialla settima minore e maggiore, risultano assai poco dissonanti. Ciò è dovuto alla relativa purezza dei suoni(eventuali ipertoni possono essere generati dall'apparato di amplificazione usato):L'applicazione dell'idea fondamentale ai suoni armonici è giustificata dal fatto che il meccanismo di percezione deisuoni, come ha dimostrato lo stesso Helmholtz, effettua un'analisi spettrale molto simile a quella di Fourier, cheapplicata alle onde sonore corrisponde proprio alla loro analisi armonica.I suoni che hanno i primi armonici simili e che quindi, secondo la teoria di Helmholtz, sono consonanti poichépresentano in genere battimenti molto lenti (o molto deboli, perché provocati da armonici molto lontani dai suonifondamentali), hanno rapporti di frequenze semplici, e quindi risultano anche consonanti secondo la teoria diGalileo, che viene così ad essere non contraddetta, ma inclusa in quella di Helmholtz. Per analisi più raffinate delconcetto di consonanza, relative anche al caso di più di due suoni simultanei, si rimanda alla bibliografia.

Consonanza e dissonanza 30

La teoria armonica tonaleIn questa sezione verranno trattati gli aspetti più elementari della teoria armonica tradizionale che si occupano diconsonanza e dissonanza. Per maggiore semplicità la trattazione è limitata all'armonia tonale che impiega iltemperamento equabile, che è anche quella studiata di regola nei corsi dei conservatori, e quella cui è dedicata lamaggior parte della trattatistica classica.Nell'ambito della nona, intervallo in cui con buona approssimazione è contenuta la distanza tra voci adiacenti nellascrittura a parti late, gli intervalli consonanti sono l'unisono, l'ottava, la quarta e la quinta giuste, la terza e la sestamaggiori e minori. Sono invece dissonanti la seconda, la settima e la nona maggiori e minori, (si noterà qui lacoerenza con la teoria di Helmholtz) e tutti gli intervalli aumentati o diminuiti (che includono il tritono, che è unaquarta aumentata o una quinta diminuita). Un accordo è dissonante se contiene un intervallo dissonante; altrimenti èconsonante. Osserviamo esplicitamente che alcuni intervalli, come ad esempio la sesta minore e la quinta aumentata,possono coincidere enarmonicamente, e tuttavia risultare l'uno consonante e l'altro dissonante. D'altra parte lafunzione armonica di un suono della scala cromatica è il più delle volte deducibile dal contesto, e quindi di regola inun accordo che è parte di una sequenza armonica non ci dovrebbero essere dubbi sull'identità di un suonoenarmonicamente ambiguo. Esistono naturalmente eccezioni a questa constatazione, la più notevole delle quali èl'accordo di settima diminuita, che proprio per questo è assai usato come mezzo modulante enarmonico. In generalele dissonanze devono essere preparate; questo vuol dire che uno dei due suoni che producono dissonanza (ingenerale quello superiore) deve venire sentito, con un valore ritmico almeno pari a quello della dissonanza stessa,nell'accordo che precede quello in cui la dissonanza si verifica, e deve in esso costituire consonanza. La dissonanzadeve inoltre essere risolta; ciò significa che il suono dissonante che era stato preparato deve procedere per gradocongiunto, generalmente discendente, verso una consonanza.

Preparazione, dissonanza e risoluzione in una Cadenza d'inganno. La dissonanza è la settimaminore tra le voci esterne.

Questo principio base, che è seguito abbastanza fedelmente dalla musica corale tardo-medioevale, rinascimentale edel primo Seicento, serve a smorzare l'effetto di asprezza provocato dalla dissonanza, facendo in modo che essa siacircondata da un ambiente accordale consonante e non troppo dissimile. La principale eccezione a questo principio ècostituita dalla settima minore, intervallo che, se sentito nell'ambito dell'accordo di settima di prima specie, nonnecessita di preparazione. Ciò è in buon accordo con la teoria di Helmholtz, in quanto la settima minore è, tra ledissonanze, l'intervallo in cui la nota superiore costituisce l'armonico più vicino di quella inferiore.Ci si potrebbe chiedere perché questo bisogno di attenuare l'effetto della dissonanza non si sia storicamente risolto nella sua semplice esclusione dalla pratica musicale. La risposta a questa domanda non è semplice, e qui ci si limiterà a riportare una sintesi del pensiero di Schoenberg sull'argomento. Si tenga presente, innanzitutto, che per

Consonanza e dissonanza 31

lungo tempo la polifonia vocale medioevale aveva scelto proprio l'eliminazione totale della dissonanza, e anzi, più omeno fino all'avvento della Scuola di Notre Dame, aveva considerato consonanti solo unisoni, ottave, quarte equinte. A un certo punto, però, l'esigenza di varietà implicita in ogni forma d'arte e l'assuefazione progressiva a suoniarmonicamente più lontani costituirono una componente abbastanza rilevante da far muovere la composizionemusicale verso la situazione di equilibrio illustrata dal principio base prima esposto. Tale assuefazione, secondoSchoenberg, fu dovuta in gran parte all'utilizzo sempre più frequente di note di passaggio nelle voci superiori alcantus firmus, che rispetto all'armonia della nota fondamentale, per il fatto stesso di procedere in genere per gradocongiunto, rappresentavano armonici abbastanza lontani. Nell'opera citata in bibliografia Schoenberg definiscequesta compresenza di esigenze melodiche e armoniche in contrasto tra di loro una fortunata combinazione.Anche quando la pratica viva dell'arte musicale (soprattutto nella tradizione strumentale) ha pian piano superato larigidità del principio base che è stato enunciato, esso ha continuato a costituire un importante punto di riferimento siaper l'analisi armonica, sia perché rappresenta (anche grazie all'illustre tradizione corale cui si accennava) la formuladi base che spesso opera a livello profondo, quasi inconsapevole, nella mente del compositore.

La dissonanza nella musica del XX secoloL'armonia wagneriana, che fu di capitale importanza per la storia della musica, portò la densità sonora media dellatrama accordale a un livello nettamente più alto rispetto alle generazioni precedenti. Mentre l'armonia precedente eracioè fondata sulla triade, l'armonia tardoromantica si fonda essenzialmente sulla quadriade. Ciò contiene giàintrinsecamente una rivisitazione del concetto di dissonanza, in quanto non esiste una quadriade consonante formatada suoni temperati. Uno dei fenomeni collegati all'aumento di densità sonora (ma è difficile su tali questioni trovareil giusto rapporto di causa-effetto) fu l'abbandono sempre più regolare delle regole classiche di condotta delle parti;nella musica tardoromantica gli accordi, infatti, si trasformano in genere per scivolamento cromatico, basato in granparte sul principio di sensibilizzazione dei suoni.L'assuefazione ad un universo accordale più denso portò una sempre maggior frequenza di accordi di cinque o piùsuoni, che, ad esempio, nell'opera tarda di Aleksandr Skrjabin e nelle composizioni giovanili di Schoenbergcostituiscono la norma. Il fenomeno di progressiva liberazione dalla necessità di trattare la dissonanza in modospeciale (attutendone gli effetti) viene chiamato dagli storici della musica emancipazione della dissonanza, ed haportato alla musica atonale in genere, e quindi a quella dodecafonica. Per quanto riguarda gli sviluppi successivi allaseconda generazione di compositori dodecafonici (e siamo ormai agli anni '60 del secolo scorso), l'abbandono delletecniche compositive tradizionali e l'utilizzo di principi come l'alea e la manipolazione elettronica del suono fannoperdere significato al concetto di condotta delle parti, e quindi, in questi contesti, il trattamento della dissonanza nonè più, sostanzialmente, argomento della teoria armonica dal punto di vista tradizionale. L'abbandono della distinzionetra dissonanza e consonanza, e l'utilizzo di strutture fondamentalmente dissonanti limita fortemente le possibilità dellinguaggio scelto dal compositore. Durante la seconda metà del secolo ventesimo l'idea di una emancipazione delladissonanza, e le tecniche dodecafoniche/seriali, furono rifiutata da un vasto numero di compositori. Le tendenzecompositive moderne rivalutano una attenta calibrazione tra effetti di consonanza e dissonanza.

Bibliografia• Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638);• Hermann von Helmholtz, On the sensations of tone (1877) (traduzione inglese di A.J. Ellis), New York, Dover,

1954;• R. Plomp, W. J. Levelt, Tonal consonance and critical bandwidth, in Journal of Acoustical Society of America,

vol. 38 (1965);• A. Kameoka, M. Kuiyagawa, Consonance theory, first part: consonance of dyads, ibidem vol. 45 (1969);• Andrea Frova, Fisica nella musica, Zanichelli, 2003;• Arnold Schoenberg, Manuale di armonia, Milano, Il Saggiatore, 1997;

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• Diether de la Motte, Manuale di armonia, La Nuova Italia, 1998.• Diether de la Motte, Manuale di armonia, Casa editrice Astrolabio-Ubaldini, Roma 2007

Voci correlate•• Armonia (musica)•• Temperamento (musica)•• Acusticabe-x-old:Кансананс ca:Consonància de:Konsonanz en:Consonance and dissonance eo:Kunsonantaĵo es:Consonanciaet:Konsonants fi:Konsonanssi he:דיסוננס ja:子 音 韻 nl:Consonantie pl:Konsonans pt:Consonância e dissonânciaru:Консонанс и диссонанс sl:Konsonanca in disonanca sq:Kansonanca sv:Konsonans uk:Консонанс

33

Temperamenti

TemperamentoIn musica, con temperamento si intende l'alterazione di alcuni intervalli di quinta e di quarta nell'accordatura di unostrumento musicale. Diversi schemi di alterazione di questo tipo sono stati introdotti nella musica europea a partiredal tardo Medioevo, al fine di ottenere una scala musicale più adatta alle esigenze della composizione. Perestensione, sono detti temperamenti le scale musicali risultanti da queste alterazioni. La questione deltemperamento è sempre stata al centro dell'interesse dei teorici musicali e spesso è stata motivo di accesi dibattiti.

StoriaNella musica della Grecia antica (così come nelle principali culture musicali extraeuropee) la coesistenza di scalediverse fu considerata perfettamente naturale e utile ai fini espressivi. La costruzione delle scale musicali potevaavvenire secondo un principio ciclico oppure secondo un principio divisivo. Nel primo caso, derivato dalla praticadell'accordatura di strumenti come le arpe e le cetre, la scala era ottenuta attraverso una successione di quinteascendenti e quarte discendenti, che potevano essere intonate esattamente grazie al fenomeno acustico dei battimenti.Il principio divisivo, viceversa, definiva gli intervalli fra i gradi successivi della scala come suddivisione di unintervallo fondamentale (la quarta, nel caso della Grecia antica).Nell'Europa medioevale i teorici descrissero un solo tipo di scala, costruita con il metodo ciclico e attribuita aPitagora. A Pitagora si attribuisce tradizionalmente l'osservazione che gli intervalli musicali corrispondono a rapportinumerici (valutati attraverso la divisione del monocordo). Nella scala pitagorica (di sette note) le quinte e le quartecorrispondono esattamente alle frazioni 2/3 e 3/4, rispettivamente, mentre l'intervallo di tono corrisponde a 8/9 el'intervallo di semitono a 243/256.

Nel corso del Medioevo furono introdotte le note alterate e l'ottava risultò suddivisa in dodici note (scala cromatica),sempre ottenute con il metodo ciclico:

La scala pitagorica cromatica così costruita presenta due peculiarità. La prima è che l'intervallo di tono non risulta diviso in due semitoni uguali (il semitono pitagorico non è la "metà" di un tono), la seconda è che il ciclo delle quinte (e quarte) dopo dodici suoni non si chiude esattamente sulla nota di partenza: l'intervallo residuo è detto comma pitagorico. Queste proprietà derivano entrambe dal fatto che il principio ciclico (basato sul rapporto 2/3) è matematicamente inconciliabile con l'equidivisione dell'ottava (rappresentata dal rapporto 1/2), per la semplice ragione che nessun numero naturale può essere contemporaneamente una potenza intera di 2 e una potenza intera di

Temperamento 34

3. Il problema si può risolvere con una definizione puramente divisiva della scala, di cui esistono esempinell'antichità classica, tuttavia fino a tempi molto recenti non esisteva alcun metodo pratico per applicare un criteriodivisivo all'accordatura di uno strumento musicale.Nel corso del XV secolo si afferma nella composizione polifonica un uso sempre più sistematico degli intervalli diterza in accordi non di passaggio (anche se fino alla fine del secolo molti compositori evitano la terza negli accordifinali); la terza maggiore nella scala pitagorica è poco consonante, e i trattatisti della fine del XV secolo riportano perla prima volta l'uso, nell'accordatura degli organi, di "temperare" le quinte (ossia accordarle calanti), verosimilmenteallo scopo di ottenere terze maggiori più consonanti, cioè più vicine al rapporto 4/5. Nella scala pitagorica cromaticagli intervalli FA#-SIb e DO#-FA, che a stretto rigore non sono terze maggiori, sono vicinissimi al rapporto 4/5, eforse proprio l'ascolto occasionale di questi intervalli ha innescato la ricerca di un modo per ottenere lo stessorapporto in corrispondenza delle "vere" terze maggiori.Nel corso del XVI secolo è largamente attestata dai trattatisti la pratica del temperamento mesotonico, in cui tutte lequinte sono ugualmente calanti e il riferimento per l'accordatura è costituito dall'assenza di battimenti nelle terzemaggiori. Questo temperamento era ancora correntemente utilizzato dagli organari inglesi intorno al 1850.Il temperamento mesotonico, tuttavia, non permette a sua volta di chiudere esattamente il ciclo delle quinte, epertanto produce nella scala un intervallo molto crescente ("quinta del lupo"), usualmente fra le note SOL# e MIb;più in generale, non permette di usare alcune note alterate (se i "tasti neri" sono accordati come DO#, MIb, FA#,SOL# e SIb, non possono essere utilizzati per suonare le note REb, RE#, SOLb, LAb e LA#). Poiché lacomposizione musicale, dalla seconda metà del XVI secolo, prevedeva sempre più frequentemente l'uso di più dicinque note alterate (per i cosiddetti "cromatismi", e dal secolo successivo per la modulazione in tonalità diverse), iltemperamento mesotonico poneva un problema a cui si cercò talora di ovviare con la costruzione di tastiere in cuialcuni tasti neri erano suddivisi per ottenere separatamente le note MIb/RE# e SOL#/LAb (già il monumentaleorgano di Lorenzo da Prato nella Basilica di San Petronio a Bologna, 1475, presenta alcuni tasti divisi in questomodo).Nel 1558 il teorico musicale Gioseffo Zarlino propose una radicale riforma della costruzione della scala musicale,allo scopo di includere i rapporti 4/5 e 5/6 (terza maggiore e minore) come intervalli fondamentali accanto ad ottava,quinta e quarta. Nella scala di Zarlino (o scala naturale) compaiono due diversi intervalli di tono, il tono maggiore(8/9) e il tono minore (9/10).

La scala di Zarlino non è - a rigor di termini - un temperamento, in quanto non è ottenibile con un procedimentociclico. Inoltre, nella scala naturale gli intervalli sono "giusti" solo rispetto alla tonica della scala, altri intervalli (adesempio RE-LA) sono del tutto stonati. Lo stesso Zarlino, in effetti, cita nella sua opera il temperamento mesotonicocome schema di accordatura di uso pratico. La proposta di Zarlino fu ulteriormente modificata dal suo discepoloVincenzo Galilei (padre di Galileo), che propose l'adozione di un semitono corrispondente a 17/18. Nel tentativo direndere disponibili al musicista gli intervalli giusti (indicati da Zarlino) a partire da qualsiasi nota, furono propostistrumenti a tastiera (archicembalo e arciorgano) in cui erano presenti 31 tasti per ottava: per evidenti motivi talistrumenti non divennero di uso comune.Il punto di vista di Zarlino e Galilei fu duramente contestato dal matematico e ingegnere fiammingo Simone Stevino, che in un'opera scritta fra la fine del XVI e l'inizio del XVII secolo (rimasta manoscritta) descrisse una scala basata

Temperamento 35

sulla divisione dell'ottava in dodici semitoni uguali. La scala di Stevino, basata su un principio divisivo, non èpraticamente ottenibile come "temperamento" in un'accordatura ciclica (per mancanza di intervalli giusti diriferimento); ciononostante, essa è oggi universalmente nota con il nome di temperamento equabile. Gli intervalli ditono e semitono propri della scala di Stevino sono peraltro identici a quelli indicati già da Aristosseno di Taranto(circa 320 a.C.) nella divisione del tetracordo detta "diàtonon syntonon".Alla ricerca di una soluzione pratica agli inconvenienti del temperamento mesotonico, il tedesco AndreasWerckmeister scoprì nel 1691 che un'accordatura ciclica che contenga cinque quinte "mesotoniche" e sette quinte"giuste" (ossia "pitagoriche") chiude (quasi) perfettamente il ciclo delle quinte e pertanto elimina la "quinta dellupo", permettendo di suonare in tutte le tonalità. Di questo sistema furono introdotte numerose varianti, note in areatedesca come buoni temperamenti e oggi spesso chiamate temperamenti inequabili. Il Clavicembalo ben temperatodi J.S. Bach (1722) fu la prima opera che ne esplorò sistematicamente le potenzialità. È tuttora oggetto di vivacicontroversie fra gli studiosi quale temperamento fosse adottato da Bach, ma c'è generale consenso intorno all'ideache Bach intendesse mostrare la superiorità di una qualche variante di temperamento inequabile rispetto altemperamento mesotonico, ancora diffuso ai suoi tempi. Nei sistemi di accordatura "ben temperati", le tonalità hannocaratteri diversi tra di loro, poiché le ampiezze degli intervalli non sono costanti.Nel corso dei secoli XVIII e XIX un numero crescente di teorici e musicisti sembra considerare i vantaggi deltemperamento equabile superiori agli svantaggi dovuti all'assenza di intervalli giusti. Se ancora nel 1754 GiuseppeTartini giudicava il temperamento un inaccettabile compromesso, già nel 1709 Leibniz scriveva in una lettera aConrad Henfling:

« Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmes l'ancienne division de l'octave en 12 parties egales qu'Aristoxenesuivoit deja; et ayant remarqué combien ces intervalles egalement pris approchent des plus utiles de ceux de l'echelleordinaire; j'ay cru que pour l'ordinaire on pourroit s'y tenir dans la practique; et quoyque les Musiciens et les oreillesdelicates y trouveront quelque defaut sensible, presque tous les auditeurs n'en trouveront point, et en seront charmés. »(Gottfried Wilhelm von Leibniz)

« Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo dei Logaritmi l'antica suddivisione dell'ottava in 12 parti uguali,che Aristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto gli intervalli equalizzati che si ottengono in tal modo approssimano ipiù utili fra quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo più vi si potrebbe attenere nella pratica; e benché imusicisti e le orecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezione percepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non neavvertiranno alcuna, e ne saranno estasiati. »(Gottfried Wilhelm von Leibniz)

Tuttavia, il temperamento equabile continuava ad essere un riferimento teorico non esattamente realizzabile inpratica. Nel 1743 un geniale artigiano svedese, Daniel Strähle, propose un sistema per dividere geometricamente latastiera di una chitarra in modo da produrre un'eccellente approssimazione del temperamento equabile, ma questosistema non fu preso in considerazione a causa della stroncatura da parte del matematico Jacob Faggot (stroncaturabasata su un calcolo errato da parte di Faggot). Solo verso la fine del XIX secolo furono trovati metodi chepermettono di realizzare con precisione un'accordatura equabile.Nei secoli XVII e XVIII diversi autori, fra cui Mersenne, Rameau e d'Alembert, posero la modellizzazionefisico-matematica dei fenomeni acustici (e specificamente la teoria dei suoni armonici) a fondamento della teoriamusicale, indicando una spiegazione scientifica della "giustezza" degli intervalli basati su "rapporti semplici", cosìcome erano stati costruiti da Pitagora e Zarlino. Il concetto di intonazione giusta fu successivamente approfonditonei suoi aspetti percettivi da Hermann von Helmholtz. Nel corso del XIX secolo, contemporaneamente all'adozionegeneralizzata del temperamento equabile, persistono tentativi di realizzare strumenti a tastiera che producanointervalli giusti (ad esempio l' harmonium enarmonico di Bosanquet, 1876), con tasti suddivisi in modoconcettualmente simile all'archicembalo descritto nel 1555 da Nicola Vicentino.

Temperamento 36

La situazione attualeDal XX secolo tutti gli strumenti dell'orchestra sinfonica sono costruiti e accordati secondo la scala temperataequabile. I complessi formati da sole voci o soli strumenti a intonazione non fissa (ad esempio i quartetti d'archi) nonsono vincolati a un particolare temperamento, e spesso tendono ad adattare l'intonazione dei singoli accordi in mododa avvicinarsi agli intervalli "giusti"; tuttavia l'abitudine alle terze della scala equabile è oggi così fortemente radicatache anche cantanti e violinisti generalmente percepiscono le terze maggiori giuste come nettamente calanti.A partire dagli anni '70-'80 i complessi musicali specializzati nell'esecuzione del repertorio preromantico con l'uso distrumenti d'epoca hanno ricominciato ad utilizzare le accordature storicamente appropriate: pitagorica per lapolifonia prerinascimentale, mesotonica per la musica dei secoli XVI e XVII, inequabile per la musica barocca.Numerosi organi di epoca rinascimentale o barocca sono stati riaccordati secondo i temperamenti (e l'altezza del La)originali. Si può così osservare, ad esempio, che l'adozione del temperamento mesotonico in luogo di quelloequabile, se da un lato limita il repertorio che può essere eseguito, d'altro lato produce una differenza timbrica moltomarcata, avvertibile anche da un ascoltatore inesperto.Gli strumenti musicali elettronici hanno aperto nuove prospettive di uso di scale alternative, inclusa la possibilità, alungo ricercata nel passato, di usare una molteplicità di intervalli (scale microtonali) senza dover ricorrere a tastierecomplicate come quelle dell'archicembalo o dell'harmonium enarmonico. Le tastiere elettroniche di produzione piùrecente includono spesso la possibilità di scegliere fra diverse accordature, di carattere storico o di origineextraeuropea. È stato inoltre prodotto software dedicato alla costruzione e manipolazione di scale musicali, chepermette anche di eseguire files MIDI con accordature diverse da quella temperata equabile.

Confronto tra i temperamentiLa tabella illustra le altezze (espresse in cent) dei gradi della scala maggiore secondo i vari temperamenti.

Gradodella scala

Temperamentoequabile

Interv. Scalanaturale

Interv. Scalapitagorica

Interv.

I 0 - 0 - 0 -

II 200 200 204 204 204 204

III 400 200 386 182 408 204

IV 500 100 498 112 498 90

V 700 200 702 204 702 204

VI 900 200 884 182 906 204

VII 1100 200 1088 204 1110 204

VIII 1200 100 1200 112 1200 90

Come si vede, in tutti e tre i temperamenti l’intervallo di ottava è identico (1200 cents) e sono praticamente ugualianche gli intervalli di quarta (498-500 cents) e di quinta (700-702 cents). Il discorso è ben diverso per gli intervalli diterza maggiore e di sesta maggiore. L’intervallo di terza maggiore naturale vale 386 cents, mentre quello pitagorico èassai crescente: 408 cents; un discorso analogo vale per la sesta. Si può dunque ben capire come mai un intervalloperfettamente consonante secondo la nostra sensibilità come quello di terza maggiore venisse consideratointollerabilmente dissonante agli inizi della polifonia, quando si usava il temperamento pitagorico: la "colpa" erainsita nella costruzione pitagorica della scala.La tabella mostra anche che le approssimazioni introdotte con il temperamento equabile sono più modeste di quellepitagoriche (l’intervallo di terza maggiore vale 400 cents invece dei 386 cents naturali) e tali da essere ormaiampiamente tollerate. Ciò spiega come mai al nostro orecchio intervalli di terza suonino consonanti anche quandosuonati al pianoforte (che è intonato secondo il temperamento equabile).

Temperamento 37

Nella seguente tabella viene riportato anche il temperamento mesotonico (o tono medio o del quarto di comma),raffrontato con gli altri e le relative proporzioni pitagoriche:

NOTA: in questa tabella sono indicati i rapporti fra frequenze corrispondenti agli intervalli, mentre nellasezione "storica" di questa voce figurano i rapporti inversi (ad esempio 2:3 per la quinta, invece di 3:2), inaccordo con il fatto che fino al XVII secolo non si consideravano le frequenze, bensì le lunghezze della cordadel monocordo.

N°semitoni

Nome intervallo Intervallonaturale

Intervalli in cent

Temperamentoequabile

Scalanaturale

Scalapitagorica

Temperamentomesotonico

0 Unisono 1:1 0 0 0 0

1 Seconda minore 16:15 100 112 90 117

2 Secondamaggiore

9:8 200 204 204 193

3 Terza minore 6:5 300 316 294 310

4 Terza maggiore 5:4 400 386 408 386

5 Quarta giusta 4:3 500 498 498 503

6 Quarta aumentataQuinta diminuita

45:3264:45

Tritono 600 590610

612 579621

7 Quinta giusta 3:2 700 702 702 697Quinta del lupo: 737

8 Sesta minore 8:5 800 814 792 814

9 Sesta maggiore 5:3 900 884 906 889

10 Settima minore 9:5 1000 1018 996 1007

11 Settima maggiore 15:8 1100 1088 1110 1083

12 Ottava 2:1 1200 1200 1200 1200

Voci correlate•• Comma (musica)•• Scala diatonica•• Microtuner•• Temperamenti Werckmeister•• Scala pitagorica•• Tasto spezzato•• Temperamento naturale•• Temperamento equabile•• Temperamento del tono medio

Temperamento 38

Bibliografia• J. Fauvel Music and Mathematics from Pythagoras to Fractals, R, Flood & R. Wilson eds., Oxford University

Press 2003, ISBN 0-19-851187-6• S. Isacoff, Temperamento. Storia di un enigma musicale, EDT 2005, ISBN 88-7063-696-8• D. Benson, Music: a Mathematical Offering, Cambridge University Press 2006, ISBN 0-52-161999-8, versione

PDF [1]

• M. Lindley, Temperaments, in The New Grove Dictionary, XVIII, London, 1980, ed. Macmillan, p.660• M. Lindley , Temperaments: A Brief Survey, Bate Collection Handbook, Oxford, 1993•• A. Frova, Fisica nella musica, Bologna, 1999, ed. Zanichelli ISBN 9788808090126• D. Devie, Le Tempérament musical: Philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale,

Marsiglia, 2004• R. Covey-Crump , Pythagoras at the forge: Tuning in early music, in T. Knighton and D. Fallows, Companion to

Medieval and Renaissance Music, University of California Press, 1997 ISBN 9780520210813• Roberto Airoldi, La teoria del temperamento nell'etá di Gioseffo Zarlino, ed. Turris, 1989 ISBN 8885635598• Florindo Gazzola, L'accordatura degli antichi strumenti da tasto", ed. Armelin Musica, Padova, 2003-2007

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Collegamenti esterni• Nuova musica antica: l'accordatura [2] di Nicola Ferroni• (EN) Anatomia di un'ottava [1] di Kyle Gann• Bibliografia su scale e temperamenti [3] a cura di Manuel Op de Coul & al.ca:Afinació cs:Ladění de:Stimmung (Musik) en:Musical tuning eo:Agordoj (muziko) es:Afinación et:Häälestusfi:Viritys (musiikki) fr:Gammes et tempéraments gl:Afinación ja:調 律 ko:조율 nl:Stemmen (muziek) pl:Strojenieinstrumentów muzycznych pt:Afinação ru:Музыкальный строй simple:Musical tuning sv:Stämning (musik)uk:Музичний стрій

Note[1] http:/ / www. maths. abdn. ac. uk/ ~bensondj/ html/ music. pdf[2] http:/ / www. nicolaferroni. com/ ?cat=13[3] http:/ / www. huygens-fokker. org/ docs/ bibliography. html

Armonici naturali 39

Armonici naturali

Armonici naturali

Gli armonici naturali sono i suoni (ipertoni) emessi ingenere dagli strumenti a corda e dagli ottoni.

Un suono prodotto da un corpo vibrante non è maipuro, ma è costituito da un amalgama in cui al suonofondamentale se ne aggiungono altri più acuti e menointensi: questi sono gli armonici, che hanno unaimportanza fondamentale nella determinazione deltimbro di uno strumento e nella determinazione degliintervalli musicali.

I suoni armonici corrispondono ai possibili modinaturali di vibrazione di un corpo sonoro (secondo unmoto armonico).

Ad esempio, se una corda di lunghezza L emette un Mi(primo armonico), la stessa corda vibra con menointensità anche a frequenza doppia (pari alla lunghezzaL/2, secondo armonico), emettendo un Mi all'ottavasuperiore, e così via, suddividendo la lunghezza d'onda in multipli interi L/3, L/4, eccetera. Lo stesso principio valeper le colonne d'aria che vibrano all'interno di tubi (come negli ottoni).

La serie armonica naturale è la seguente:

Serie degli armonici naturali. Il 7° 11° e 14° armonico sono calanti, il 13° è crescente.

in cui il suono fondamentale è un Do. Questa serie di note è la base fisica che ha dato origine all'intonazionenaturale. Notare che il 7°, l'11° e 14° armonico suonano calanti ed il 13° è crescente in relazione agli analoghi suoninel temperamento equabile.

Armonici naturali 40

Tecnica musicaleI chitarristi sfruttano questi armonici naturali per produrre suoni particolari, pizzicando una corda con la mano destrae sfiorandola (senza frenarla) con la sinistra all'altezza: del XII tasto per ottenere un armonico di ottava; del V per unarmonico di due ottave; del XVII per un armonico di tre ottave; del VII del XIX per un armonico di quinta; del IVper un armonico di terza maggiore; del X per un armonico di settima minore (anche se poco avvertibile). Tutti glistrumenti a corda possono sfruttare questo principio.

Tavola degli armonici di una chitarra. I pallini colorati indicano le posizioni che possono essere pressati leggermente con il dito per forzare modi divibrazione (e relativi armonici) particolari

Voci correlate•• Intonazione naturale•• Cent (musica)•• Armonici artificiali•• Moodswinger

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Armonici artificiali 41

Armonici artificialiGli armonici artificiali sono particolari suoni che possono essere prodotti su un qualsiasi strumento a corda, inparticolare sugli strumenti ad arco e sulla chitarra.Così come gli armonici naturali possono essere udibili pizzicando una corda con la mano destra e sfiorandola (senzafrenarla) con la sinistra all'altezza del XII tasto (per ottenere un armonico di ottava) o del VII (o anche del XIX o VIIper ottenere un armonico di quinta, IV o IX per ottenere un armonico di terza etc.), allo stesso modo gli armoniciartificiali si ottengono premendo una corda con la mano sinistra su un qualsiasi tasto ed effettuando la manovra"pizzicare-sfiorare" (Armonico Pinch) con la destra - tramite una particolare tecnica - in un punto equivalente a: XIItasto (per ottenere l'ottava) + tasto premuto.Esempio: se si pizzica il Mi basso pigiando il III tasto si ottiene un Sol; mantenendo la posizione ed effettuando lamanovra "pizzicare-sfiorare" al XII+ III tasto - ovvero al XV tasto - si otterrà un armonico artificiale accordato sulSol dell'ottava superiore.Un altro Esempio è quello degli strumenti ad arco: il più sfruttato è quello che si definisce armonico di quarta: sipreme, solitamente con l'indice della mano sinistra, la posizione per la nota interessata, si sfiora la stessa corda con ilmignolo della mano sinistra ad una quarta ascendente dalla nota interessata e si ottiene attraverso la frizione dell'arcouna nota a due ottave da quella premuta. Ad esempio si preme il La sulla quarta corda, si sfiora il Re sempre sullaquarta corda e si ottiene un La due ottave sopra.Talvolta viene chiamato armonico artificiale il suono prodotto dalla chitarra elettrica grazie ad un forte volume. Ilsuono riprodotto dall'amplificatore entra in risonanza con il corpo della chitarra elettrica innescando il cosiddettofeedback che mette in risonanza (in un loop teoricamente infinito) una o più corde dello strumento generando unsuono che può essere quello proprio della corda in vibrazione oppure di una sua armonica componente.Un esempio può essere quello ottenuto suonando su una chitarra elettrica un Sol (corda a vuoto con accordaturastandard) magari utilizzando anche degli effetti di compressione e distorsione che favoriscono il fenomeno: èpossibile ottenere un feedback della corda stessa - quindi un Sol - oppure si può udire un Re dell'ottava superiore(quinta).Il risultato dipende da diversi fattori tra cui i materiali utilizzati per la fabbricazione dello strumento, il volume e lecaratteristiche dell'amplificatore, l'effettistica utilizzata ed anche la posizione dello strumento rispetto al conodell'altoparlante.

Voci correlate•• Armonici naturali•• Ipertoni (musica)•• Pinch harmonic•• Tap harmonic

Bibliografia• Stanley Sadie (a cura di), The New Grove Dictionary of Music and Musicians.• Alfredo Casella, La tecnica dell'orchestrazione contemporanea, Ricordi, Roma, 1950.• Dick De Ruiter, Harmonic Overtones: Magical Vibrations in Voice and Music, Binkey Kok, Holland. ISBN

978-90-74597-58-6

Armonici artificiali 42

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CommaIn musica il termine comma indica la differenza di frequenza che si ha a seconda del temperamento. La causa delcomma deriva dal fatto che i rapporti tra le frequenze dei gradi della scala all'interno dell'ottava sono numeriindefiniti o irrazionali, e occorre approssimarli. È un problema simile a dover proiettare una semisfera su un piano.In conseguenza il temperamento dipende dal gusto musicale, dallo strumento e dall'epoca storica.Se ci si basa sugli armonici naturali e prendiamo la scala diatonica di do maggiore, abbiamo che il re si può ricavarecome quinta di quinta (cioè la quinta di sol maggiore, a sua volta quinta della scala di do maggiore) e ha pertanto unrapporto di 9/8 rispetto al do; il la si può vedere come una terza minore sotto il do, e il rapporto è 5/3. Ma il rapportoreciproco tra il re e il la, che sono a distanza di una quinta, non è 3/2 ma 40/27, che è un po' di meno (quinta stretta).Il rapporto tra questi due valori, cioè 80/81 (o se si preferisce, circa 21,5 cent) viene chiamato comma sintonico.Se per completare le note all'interno dell'ottava si preferisce continuare a fare salti di quinta, abbassandoci diun'ottava quando serve, non è che la situazione migliori. Arrivati al si diesis dovremmo essere di nuovo al do: invecenotiamo che abbiamo esagerato, e la differenza tra il si diesis e il do è data dal rapporto 531441/524288, pari a circa23,46 cent. Questo è il comma pitagorico; la differenza tra i commi pitagorico e sintonico vale meno di 2 cent ed èdetta schisma. Arrotondando, con 11 schismi si ottiene un comma sintonico, e con 12 schismi uno pitagorico. Insintesi il comma pitagorico rappresenta il rapporto tra semitono cromatico e diatonico.Esiste infine un terzo comma, il comma enarmonico che si ottiene accordando per terze maggiori: do-mi-sol#-si#.In questo caso la differenza tra il si diesis e il do è ancora maggiore: il rapporto è infatti 128/125, pari a più di 41cent, che è davvero troppo per essere usato in pratica.Nel caso del temperamento equabile naturalmente non si parla di comma: nessun intervallo segue gli armonici, e ci siaccontenta di avere un'approssimazione costante.

Divisione in comma del tono da Do a Re

Tuttavia è di uso comune fra alcuni musicisti parlare di un commagenerico inteso come la nona parte di un tono (o lacinquantaquattresima parte di ottava), il quale è inteso anche comesomma di un semitono cromatico (5 comma) e uno diatonico (4comma). In realtà questa divisione del tono non ha alcuna base teoricaed è il risultato di un atteggiamento divulgativo di alcuni studiosi che, per facilitare l'apprendimento delle teoriesull'accordatura, favorirono tale approssimazione.

Comma 43

Voci correlate•• Temperamento (musica)•• Temperamento naturale•• Temperamento pitagorico•• Temperamento equabile•• Cent•• Rapporto tra musica e matematica

Collegamenti esterni• Nuova musica antica - Appunti di temperamento [1] di Nicola Ferroni.ca:Coma (música) cs:Koma (hudba) de:Komma (Musik) en:Comma (music) es:Coma (música) fi:Komma io:Komaoko:콤마 (음악) nl:Komma (muziektheorie) pl:Komat ru:Комма tr:Koma uk:Кома (музика)

Note[1] http:/ / www. nicolaferroni. com/ accorda/ appunti. php

Scala pitagorica

Intervallo Rapporto

Unisono 1:1

Seconda maggiore 9:8

Terza maggiore 81:64

Quarta giusta 4:3

Quinta giusta 3:2

Sesta maggiore 27:16

Settima maggiore 243:128

Ottava 2:1

La scala pitagorica (a volte impropriamente chiamata temperamento pitagorico) è il sistema musicale usato nellamusica antica per la costruzione della scala.Nata in Cina ed in seguito utilizzata dai teorici giapponesi[1], la scala pitagorica fu usata (con autonoma invenzione)anche nell'antica Grecia[2], e dai trattatisti europei medievali fu attribuita a Pitagora. Essa si fonda sulla progressionedegli intervalli di quinta, con trasposizione dei suoni acuti all'ottava di partenza. Per esempio, cominciando dal Do2si costruisce la progressione delle quinte (Sol2, Re3, La3, Mi4, Si4) e si dividono per un'ottava le note che si trovanoad ottave superiori a quella di partenza (Re3 diventa Re2, La3 diventa La2, ecc.). Per ottenere il Fa si scende invecedi una quinta (Fa1) e si moltiplica per un'ottava in modo da ricondursi all'ottava di partenza (Fa1 diventa Fa2).

Scala pitagorica 44

Gradodella scala

Scalapitagorica

Interv. Nomeinterv.

I 0 - -

II 204 204 Tono

III 408 204 Tono

IV 498 90 Semitono

V 702 204 Tono

VI 906 204 Tono

VII 1110 204 Tono

VIII 1200 90 Semitono

La scala maggiore pitagorica(intervalli espressi in cent)

Vantaggi e svantaggiLa scala musicale costruita secondo il temperamento pitagorico è quindi basata con rigore matematico sull'intervallodi quinta (rappresentato dal rapporto 3/2) e di ottava (rapporto 2/1). Le due principali conseguenze di ciò sono:• uniformità: vi sono solo due tipi di intervallo: il tono (sintetizzato dal rapporto 9/8) e il semitono, detto limma

(rapporto 256/243, pari a circa 20/19);• consonanza degli intervalli di ottava e quinta.Il sistema pitagorico rimase in uso fino al basso Medioevo, soddisfacendo le esigenze della composizione monodicae della polifonia medievale, in cui gli accordi conclusivi contenevano solo ottave e quinte. Nel corso del XV secolosi affermò un uso sempre più frequente degli intervalli armonici di terza e sesta, che nella scala pitagorica risultanopoco consonanti. Tuttavia, nella scala pitagorica cromatica (di dodici suoni, con l'aggiunta delle note alterate DO#,MIb, FA#, SOL# oppure LAb, SIb), si può ascoltare una terza maggiore quasi perfettamente consonante fra le noteFA# e SIb (in effetti si tratta di una quarta diminuita, non di una terza maggiore). Gli strumentisti iniziarono quindi amodificare empiricamente l'accordatura dei loro strumenti, alterando gli intervalli di quinta, per ottenere la stessaconsonanza fra i veri intervalli di terza maggiore. Nel XVI secolo il teorico Gioseffo Zarlino nel suo Le istitutioniharmoniche (1558) propose di utilizzare gli intervalli consonanti della scala naturale, ossia - oltre alle quinte e quartepitagoriche - le terze maggiori rappresentate dal rapporto 5/4 e quelle minori rappresentate dal rapporto 6/5. Il primodei due intervalli compariva già nel temperamento mesotonico, che nel XVI secolo soppiantò la scala pitagoricacome metodo di accordatura degli strumenti.

Scala pitagorica 45

Note[1] Ma Hiao-tsiun (La musique chinoise) e Armand Hauchecorne (Musique japonaise), in: Histoire de la Musique - Encyclopédie de la Pléiade,

Vol. 1, Gallimard (Parigi 1960)[2] Curt Sachs, The Rise of Music in the Ancient World - East and West, W.W. Norton &Co., (New York 1943)

Voci correlate•• Comma (musica)•• Intonazione naturale•• Temperamento (musica)•• Temperamento mesotonico•• Temperamento equabile•• Temperamenti Werckmeister•• Circolo delle quinte

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Collegamenti esterni• (EN) Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony (http:/ / www. medieval. org/ emfaq/ harmony/ pyth. html) di

M. Schulterca:Escala pitagòrica cs:Pythagorejské ladění de:Pythagoreische Stimmung en:Pythagorean tuning eo:Pitagora agordoes:Afinación pitagórica fr:Gamme pythagoricienne hu:Püthagoraszi hangolás ja:ピ タ ゴ ラ ス 音 律

ko:피타고라스 음률 lt:Pitagoro darna nl:Stemming van Pythagoras nn:Pythagoreisk stemming ro:Sistemul Pitagora(muzică) ru:Пифагорейский строй sv:Pythagoreisk stämning uk:Піфагорійський стрій zh:五 度 相 生 律

Temperamento equabile 46

Temperamento equabileIl temperamento equabile è il sistema musicale per la costruzione della scala fondato sulla suddivisione dell'ottavain intervalli tra di loro uguali. Nell'uso più frequente, l'ottava è suddivisa in 12 parti (semitoni). Il temperamento cosìcostituito è denominato 12-TET, ed è identificato come "temperamento equabile" per antonomasia dalla maggiorparte dei musicisti occidentali.Già descritto da Aristosseno di Taranto intorno al 320 a.C., questo sistema fu caldeggiato da numerosi intellettuali,tra cui spiccano il matematico fiammingo Simone Stevino verso la fine del XVI secolo, ed il musicista VincenzoGalilei (padre di Galileo Galilei) nel 1581. Tuttavia la sua adozione fu graduale, a causa sia dell'estrema difficoltà diottenere questo temperamento nell'accordatura degli strumenti (per mancanza di intervalli giusti di riferimento), siadel fatto che l'estetica musicale pre-romantica richiedeva nella scala la presenza di alcuni intervalli giusti, di cuiveniva fatto uso per via del loro carattere "puro", pur essendo essi incompatibili con la suddivisione dell'ottava inparti uguali. Solo nella seconda metà del XIX secolo, con il graduale rilassamento della necessità di intervalli giusti afavore della flessibilità nel cambiamento di tonalità (modulazione), il temperamento equabile si affermògradualmente in tutta Europa, sostituendo i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l'ottava non èdivisa in parti uguali, quali quelli descritti dal tedesco Andreas Werckmeister nel 1691, Johann Georg Neidhart,Francesco Antonio Vallotti e da molti altri autori. Bisogna attendere fino al 1917 perché William Braid White arrivia sviluppare un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabilerigoroso.

La costruzione della scala equabile 12-TET

Intervallo Rapporto

Unisono 1

Seconda maggiore

Terza maggiore

Quarta giusta

Quinta giusta

Sesta maggiore

Settima maggiore

Ottava 2

Il temperamento equabile, nella variante 12-TET, può essere riguardato come "aggiustamento" dei gradi della scalanaturale, in modo da dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore osemitono diatonico e cromatico. Proprio per questo, tra i temperamenti equabili, esso è quello di maggiore diffusionein occidente.L’idea di base è semplice: suddividere l’ottava in 12 intervalli "elementari" (semitoni temperati) tutti esattamentedella stessa ampiezza. Ricordiamo che l'ampiezza di un intervallo corrisponde al rapporto fra le frequenzefondamentali delle due note (e non alla differenza delle frequenze). Poiché l’intervallo di ottava è espresso dallafrazione 2/1 (in quanto la frequenza raddoppia ad ogni ottava), il rapporto di frequenze che identifica il semitonotemperato è il numero (irrazionale) : in questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo diun’ottava.Poiché , il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. Il tono invece vale , cioè è

Temperamento equabile 47

molto più vicino al tono maggiore naturale ( ) che al tono minore ( ). Come conseguenza, la terza maggioretemperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale (che è formata da un tono maggiore e un tonominore).

Temperamento equabile e scala logaritmicaBenché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto dilogaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascunintervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo illogaritmo di tale rapporto. In questo modo, infatti, la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio duetoni, che formano una terza maggiore) anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenzecorrispondenti, è rappresentato dalla somma dei rispettivi logaritmi. In questo modo, la suddivisione dell'ottava insemitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione diuna radice dodicesima. Come si può leggere nella citazione riportata più sotto, già nei primi anni del XVIII secoloGottfried Leibniz aveva ben presente la possibile applicazione di logaritmi alla scala musicale. Solo nel 1875,tuttavia, fu proposta da Alexander Ellis la misura logaritmica degli intervalli musicali oggi correntemente adottata:se le frequenze fondamentali di due note sono rispettivamente e , al loro intervallo viene associato il valore in

cent dato da . Il valore in cent dell'ottava è quindi 1200, e il semitono equabile vale esattamente

un dodicesimo dell'ottava, ossia 100 cent (il nome cent deriva appunto dal fatto che 1 cent rappresenta un centesimodi semitono equabile). La notazione in cent può essere applicata a qualunque scala musicale, ma usa comunque comeriferimento la scala temperata equabile, mentre l'uso dei rapporti fra frequenze agevola il confronto con gli intervallidella scala naturale[1].

Vantaggi e svantaggi

Gradodella scala

Scalatemperata

Interv. Nomeinterv.

I 0 - -

II 200 200 Tono

III 400 200 Tono

IV 500 100 Semitono

V 700 200 Tono

VI 900 200 Tono

VII 1100 200 Tono

VIII 1200 100 Semitono

La scala maggiore temperata(intervalli espressi in cent)

Il temperamento equabile è dunque un espediente teorico che, eliminando la distinzione tra tono maggiore/minore e semitono diatonico/cromatico, fa coincidere il suono di diesis e bemolli (es. Sol# = Lab), ottenendo che il tono si divida in due semitoni uguali. In questo modo anche su strumenti ad intonazione fissa il grado di consonanza degli accordi rimane lo stesso in tutte le tonalità, diversamente da quanto accadeva con i temperamenti inequabili (tra i quali, alcuni permettevano di suonare in tutte le tonalità, come esemplificato dal Clavicembalo ben temperato di J.S. Bach, ma con effetti volutamente diversi a seconda della tonalità). Il maggiore svantaggio è l'alterazione di tutti gli intervalli giusti (particolarmente rilevante e avvertibile negli intervalli di terza). Tale compromesso è spesso

Temperamento equabile 48

necessario nella prassi musicale occidentale contemporanea, ed è quindi tollerato, se pure distintamente avvertibile.Il filosofo e matematico Leibniz sottolineava, già nel 1709, che solo ascoltatori allenati riescono a cogliere icompromessi di intonazione della scala equabile:

(FR)« Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmesl'ancienne division de l'octave en 12 parties egalesqu'Aristoxene suivoit deja; et ayant remarqué combien cesintervalles egalement pris approchent des plus utiles deceux de l'echelle ordinaire; j'ay cru que pour l'ordinaire onpourroit s'y tenir dans la practique; et quoyque lesMusiciens et les oreilles delicates y trouveront quelquedefaut sensible, presque tous les auditeurs n'en trouverontpoint, et en seront charmés. »

(IT)« Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo deiLogaritmi l'antica suddivisione dell'ottava in 12 parti uguali, cheAristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto gli intervalliequalizzati che si ottengono in tal modo approssimano i più utilifra quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo piùvi si potrebbe attenere nella pratica; e benché i musicisti e leorecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezionepercepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non ne avvertirannoalcuna, e ne saranno estasiati »

( Gottfried Wilhelm von Leibniz)

Nota Frequenza con il temperamento equabile

Do 261,6 Hz

Re 293,7 Hz

Mi 329,6 Hz

Fa 349,2 Hz

Sol 392,0 Hz

La 440,0 Hz

Si 493,9 Hz

Le frequenze di un'ottava approssimate a 0,1 Hz.In realtà, nella prassi musicale contemporanea, il temperamento equabile, più che soppiantare, ha affiancato itemperamenti inequabili. A causa della loro complessità di accordatura, e vista la necessità di eseguirefrequentemente musica contemporanea, alcuni strumenti ad intonazione fissa (pianoforte, arpa moderna) lo adottanoquasi sempre, pur con la conseguente perdita di espressività nella musica precedente il Novecento. Altri strumenti adintonazione fissa (organo, arpe antiche, clavicembalo), più legati a tradizioni musicali precedenti, adottano a tutt'oggitemperamenti inequabili, in quanto solo così è possibile evidenziare contrasti che altrimenti andrebbero perduti. Glistrumenti ad arco ed i legni possono suonare sia secondo il temperamento equabile, sia variare l'altezza delle note diogni singolo accordo per ottenere gli intervalli naturali, come si fa sistematicamente nella polifonia vocale. Alcunistrumenti, come la tromba naturale e il corno naturale, sono costruiti per emettere esclusivamente note armoniche(ossia frequenze multiple intere di una singola nota fondamentale. Questi strumenti suonano quindi secondo la scalanaturale; nel corno è possibile correggere l'intonazione delle note inserendo la mano destra nel padiglione dellostrumento (tecnica attestata a partire dal 1750, e oggi di uso corrente anche nel corno a pistoni). Nella modernatromba a pistoni il problema di correggere l'intonazione dalla scala naturale al temperamento equabile si pone perquelle note che si ottengono direttamente come armonici, e alcuni modelli di tromba includono piccole coulissesaddizionali per permettere tale correzione.

Temperamento equabile 49

Note[1] L'uso della scala in cent semplifica alcuni passaggi nella costruzione matematica delle scale musicali, ma ai fini dell'accordatura degli

strumenti (con metodi tradizionali) non è di alcun aiuto: la misura empirica dell'alterazione di ciascun intervallo è infatti data dall'ascolto deibattimenti, che si valutano in riferimento alla scala naturale e ai corrispondenti rapporti di frequenze.

Voci correlate•• Temperamento (musica)•• Temperamento pitagorico•• Temperamento naturale•• Temperamento del tono medio•• Temperamenti Werckmeister

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Temperamento mesotonico 50

Temperamento mesotonicoIl temperamento del tono medio, altrimenti noto come temperamento mesotonico, è un sistema di intonazionedelle note utilizzato durante la fine del Rinascimento e nel periodo del Barocco.Questo temperamento, la cui ideazione è attribuita al veneziano Pietro Aron nel 1523, si basa su un principio simile aquello pitagorico, cioè ottenere i vari gradi della scala attraverso cicli di quinte; tuttavia, nei temperamenti del tonomedio gli intervalli di quinta vengono "corretti", dimodoché altri intervalli, come le terze maggiori, si trovino allaloro intonazione naturale.La forma più comune di questo temperamento (ma esistono anche altri temperamenti mesotonici) si fonda sulrapporto di 5:4 fra le frequenze di note a distanza di terza maggiore; questa versione è nota come temperamento delquarto di comma, in quanto le quinte sono abbassate di un quarto di comma sintonico. In questo modo gli intervalli

di tono sono costanti ed il rapporto fra di essi è pari a . Il nome di tono medio per questo intervallo corrisponde

al fatto che tale rapporto è la media geometrica fra l'intervallo di tono maggiore (espresso dal rapporto 9:8) e quellodi tono minore (10:9) che compaiono nella scala naturale. In questo modo l'intervallo di terza maggiore di 5:4,anziché risultare dalla composizione di un tono maggiore e un tono minore - come avviene nella scala naturale -risulta dalla composizione di due toni uguali.

StoriaAlla fine del medioevo, l'intervallo di terza cominciò a divenire fondamentale nella musica polifonica. Nella scalapitagorica gli intervalli di terza maggiore risultano poco consonanti. Le frequenze di due note a distanza di terzamaggiore hanno un rapporto pari a 81/64≈1,2656, mentre l'intervallo naturale di terza maggiore (quello ricavabiledagli armonici naturali e utilizzato anche nell'Intonazione naturale) sarebbe dato invece dal rapporto 5/4=1,25; alcuniprobabilmente si accorsero che le quarte diminuite (come Fa#-Sib, o Sol#-Do) che hanno un rapporto di8192/6561≈1,2486 e quindi sono molto più vicine al 5/4 naturale, sono più consonanti delle terze maggiori. Fu cosìche dalla fine del XV secolo si cominciarono a "temperare", cioè accordare calanti, le quinte, in modo da rendere piùconsonanti gli intervalli di terza. Il temperamento mesotonico del quarto di comma si basa proprio sulla giustezzadegli intervalli di terza maggiore.

Il temperamento del quarto di comma

DescrizioneNella scala pitagorica, poniamo di avere un Do di frequenza 1. Il Sol sarà 3/2=1,5, il re dell'ottava sopra(3/2)²=9/4=2,25, il La appena sopra sarà (3/2)³=27/8=3,375 e infine il Mi successivo, due ottave sopra il Do iniziale,avrà frequenza [(3/2)²]²=81/16=5,0625; insomma, il Mi è stato ottenuto elevando alla quarta la frequenza del Sol,

che ha quindi frequenza pari a . Se ora arrotondiamo la frequenza del Mi a 5, otteniamo che la

frequenza del Sol è pari a , che è di poco inferiore all'1,5 pitagorico.

Temperamento mesotonico 51

La scala diatonicaPossiamo quindi ora costruire la scala diatonica, partendo da primo grado con frequenza 1, stabilendo l'ottavo afrequenza 2 e il quinto a frequenza .

Grado Formula Rapporto decimale Cents

I 1 1 0

II 1,118... 193.1

III 1.25 386.3

IV 1.337... 503.4

V 1,495... 696.6

VI 1.6719... 889.7

VII 1.869... 1082.9

VIII 2 2 1200

Come si può notare, i rapporti sono molto più complessi di quelli pitagorici, in quanto coinvolgono numeriirrazionali di grado superiore al secondo; ciò implica che il temperamento mesotonico non è esattamente ottenibileper via geometrica attraverso la suddivisione di una corda (con il monocordo). Nella pratica, tuttavia, iltemperamento mesotonico è di realizzazione abbastanza agevole, in quanto dopo un primo ciclo di quattro quinte(accordate opportunamente calanti) si deve ottenere una terza maggiore priva di battimenti, e da quel momento pertutte le quinte successive si ha un riscontro nelle terze maggiori che si ottengono. Il problema pratico è quindi quellodi "temperare" nella giusta e uguale misura le prime quattro quinte del ciclo.

Le note alterateCome nell'intonazione pitagorica, nel temperamento mesotonico semitono diatonico e cromatico non coincidono(cioè la distanza, per esempio, tra Do e Do# è diversa di quella tra Do e Reb; ciò implica che Do# e Reb sono duenote diverse). L'accordatura di uno strumento con dodici tasti per ottava, pertanto, implica la scelta fra diesis ebemolle per ciascuna delle note alterate, e in tutti i casi produce un intervallo di quinta fortemente dissonante (dettoquinta del lupo, che a rigor di termini non è una quinta bensì una sesta diminuita). Ciò corrisponde al fatto che unasuccessione di dodici quinte mesotoniche non si chiude su un multiplo dell'ottava. Con un'accordaura mesotonicacromatica che preveda le note do-do#-re-mib-mi-fa-fa#-sol-sol#-la-sib-si, ad esempio, la "quinta del lupo" si trovafra sol# e mib.Per ottenere il semitono diatonico basta trovare e dividere le frequenze dell'ottavo grado per quelle del settimo, o

anche quelle del quarto per quelle del terzo; svolti gli opportuni calcoli, si ottiene , circa 117

cents, che è un po' superiore al semitono diatonico pitagorico, pari a circa 1,053 (90 cents) , e quello equabile di1,059 (100 cents). Il fatto che il semitono diatonico sia maggiore di quello equabile implica che quello cromaticosarà minore di esso (il contrario di ciò che accade nella scala pitagorica). Per trovare il semitono cromatico, bastadividere quello di tono per quello di semitono diatonico; otteniamo così un semitono cromatico pari a

, pari a circa 76 cents, molto di meno dei 100 cents equabili e dei 114 pitagorici. La differenza

tra semitono diatonico e cromatico è quindi molto grande, ben 41 cents; questo è detto comma enarmonico.

Temperamento mesotonico 52

L'adozione del temperamento mesotonico restringe il numero di tonalità utilizzabili: se con un'accordatura comequella sopra descritta si dovesse fare una cadenza in mi, ad esempio, verrebbe a mancare la sensibile (non si puòinfatti rimpiazzare il re# con il mib, che non forma una terza giusta con il si). Questa limitazione condusse, nel corsodel XVII secolo, al progressvo abbandono del temperamento mesotonico a favore dei cosiddetti "buonitemperamenti", inizialmente basati su una combinazione di quinte mesotoniche e di quinte giuste. Il temperamentomesotonico era tuttavia ancora utilizzato per l'accordatura degli organi, in Inghilterra, alla metà del XIX secolo.

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cs:Středotónové ladění da:Middeltone de:Mitteltönige Stimmung en:Meantone temperament eo:Meztona agordofr:Tempérament mésotonique hu:Középhangú temperálás ja:中 全 音 律 nl:Middentoonstemming no:Middeltonept:Temperamento mesotônico ro:Temperament mezotonic ru:Среднетоновый строй sv:Medeltonuk:Середньотоновий стрій

Temperamento naturale1. RINVIA Intonazione naturale

53

Esempi di musica di diversi temperamenti

Musica nell'antica Grecia

Lezione di musica, idria attica a figure rosse, c.510 a.C., Staatliche Antikensammlungen (Inv.

2421)

Nella storia della cultura occidentale, l'antichità greca ha rappresentatoun concreto modello di classicità, specialmente per l'architettura, lascultura e la letteratura. Diverso è stato per la musica, arte altrettantoimportante e praticata nel mondo classico, della quale, a differenzadelle discipline precedentemente dette, ci sono rimasti solo pochiframmenti e di difficile interpretazione. L'elemento di continuità tra ilmondo della civiltà musicale ellenica e quella dell'Occidente europeo ècostituito principalmente dal sistema teorico greco, che fu assorbito dairomani e da essi fu trasmesso al Medioevo cristiano. Il sistemadiatonico, con le scale di sette suoni e gli intervalli di tono e disemitono, che sono tuttora alla base del nostro linguaggio musicale edella nostra teoria, è l'erede e il continuatore del sistema musicale greco. Altri aspetti comuni alla musica greca e aicanti della liturgia cristiana dei primi secoli dell'era volgare furono il carattere rigorosamente monodico della musicae la sua stretta unione con le parole del testo.

I tre grandi periodi della storia della musica grecaIn linea di massima, è possibile distinguere tre grandi periodi all'interno della storia della musica greca:1.1. Periodo arcaico: dalle origini al VI secolo a.C.2. Periodo classico: dal VI sec. al IV secolo a.C. Fu il periodo delle grandi città di Atene, Sparta e della grande

fioritura dell'arte e del pensiero filosofico greco;3. Periodo ellenistico-romano: dal IV sec. fino al 146 a.C. (conquista della Grecia da parte dei Romani);

Periodo arcaicoNel periodo arcaico domina, in Grecia, una concezione della musica che è di tipo magico-incantatorio. Ricordiamoche, per i Greci, la magia era un estremo tentativo di controllare le forze naturali che si presentavano, con violenza,all'uomo primitivo.Fu in questo periodo che nacquero racconti mitologici che fanno riferimento al potere psichico della musica.La forte presenza della componente sonora nella Grecia arcaica viene testimoniata dal fatto che quasi tutti i mitigreci hanno una dimensione sonora (ad esempio, i miti relativi alla nascita degli strumenti, ad esempio il mito dellaninfa Siringa, innamorata di Pan, la quale, per sfuggire a quest'ultimo, venne trasformata in canna. Pan, perconservare questo legame con la ninfa, tagliò queste canne facendone il suddetto strumento musicale).

Musica nell'antica Grecia 54

Gli strumenti

Lo strumento associato a questa dimensione magico-incantatoria fu l'aulos. Era uno strumento a fiato ad ancia, sacroal culto di Dioniso, dio del vino, dell'ebbrezza e dell'incantamento. Una striscia di cuoio girava intorno al capodell'esecutore, aiutandolo a fermare, tra le labbra, le imboccature dell'aulos doppio, il diaulos, strumento più diffusodell'aulos semplice.Un altro strumento utilizzato in Grecia fu la cetra, utilizzato, generalmente, per accompagnare i racconti delleleggende degli dei e degli eroi. La lira o cetra era ritenuta sacra al culto di Apollo, il dio della bellezza simboleggiavauna diversa idea della musica, molto più razionale di quella associata al dio Dioniso. Era formata da una cassa dirisonanza dalle cui estremità salivano due bracci collegati da un giogo. Tra la cassa e il giogo erano tese le corde:dapprima 4, poi 7 (poi un numero maggiore. Si suonava pizzicando le corde con un plettro d'avorio. Varietà della liraerano la forminx degli aedi, la pectis lidia, la grande magadis.C'è un mito che dimostra la superiorità che acquistò, per i greci, la poesia accompagnata dalla cetra. Si tratta del mitodi Atena, dea della sapienza, la quale gettò via l'aulos perché la costringeva a contorcere il viso per suonare,scegliendo la cetra. C'è, quindi, quest'idea della superiorità della musica razionale rispetto a quella irrazionale.Vengono riconosciute entrambe le dimensioni e associate una ad Apollo e l'altra a Dioniso.Altri strumenti erano la siringa (o flauto di Pan), formata da 7 canne disposte una vicina all'altra e di altezzadegradante, la salpinx (simile alla tromba). Tra gli strumenti a percussione si ricordano i tamburi, i cimbali (gliattuali piatti), i sistri e i crotali.

La notazione

L'esistenza della notazione risale al IV secolo a.C. La scrittura musicale greca serviva solo ai musicisti professionistiper loro uso privato.Tra i pochi reperti sopravvissuti:• Un frammento del primo stasimo della tragedia Oreste di Euripide, scritto su papiro; dalla collezione dell'arciduca

Rénier. Notazione vocale•• Sempre dall'Oreste di Euripide: frammento di un coro (480-406 a.C.), Papyrun Wien G 2315. Notazione vocale•• Frammenti strumentali sempre dall'Oreste di Euripide, nel Papyrus Berlin 6870. Notazione strumentale• Due inni delfici, in onore di Apollo, uno in notazione vocale, l'altro in notazione strumentale, entrambi incisi su

pietra; scoperti nelle rovine del tesoro degli ateniesi a Delfi nel maggio del 1893 (Delphi inv. NR.517,526,494,499)

• Pianta di Tecmessa, Papyrus Berlin 6870. Notazione vocale• Tre inni di Mesomede di Creta, dedicati al Sole, a Nemesi e alla musa Calliope, pubblicati da Vincenzo Galilei

alla fine del ‘500• Aenaoi Nefelai, da Aristofane. Museo di Monaco di Baviera (Aristophane 275/277)• Epitaffio di Sicilo, (Seikilos figlio di Euterpe). Inciso su una colonnetta di pietra scoperta in Asia minore e

pubblicata da Ramsay nel 1883. I segni musicali furono scoperti da Wessely nel 1891. Attualmente nel museo diCopenaghen (Inv NR. 14897). Notazione vocale

• Prima ode Pitica, da Pindaro. Fonte: Biblioteca del monastero di S. Salvatore, Messina• Papyrus oxyrhynchus 2436 - Frammento di una monodia estratta forse dal Meleagos di Euripide• Homero Hymnus (Omero?) Fonte: Benedetto Marcello, Estro poetico-harmonico (Venezia, 1724). "Parte di canto

greco del Modo Hippolidio sopra un inno d'Omero a Cerere"• Poema (Mor 1,11 f Migne 37,523) di Grigorios Nazianzenos - Fonte: Athanasius Kircher, Musurgia universalis

(1650), "Schema Musicae Antiquae". Biblioteca del monastero di S. Salvatore, Messina• Papyrus Oslo A/B: Papiro di Oslo 1413 (Testo tragico). Pubblicato da Amundsen e Winnington-Ingram in

Symbolae Osloensen (1955). Notazione vocale

Musica nell'antica Grecia 55

Alla fine del periodo arcaico visse il primo musico non leggendario di cui abbiamo notizia, Terpandro, a cui furiconosciuto il merito di aver raccolto, classificato e denominato le melodie in base alla loro origine geografica (unamelodia che veniva dalla regione dorica venne chiamata dorica, dalla regione frigia, frigia…), nonché di averorganizzato le melodie in funzione dei testi poetici. Queste melodie vennero chiamate nomoi (termine che, in greco,significa legge) perché il musico doveva utilizzarle in funzione del tipo di testo che metteva in musica. In questa fasefu decisiva, nell'ambito dell'esecuzione musicale del testo poetico, la funzione della memoria, considerata la madredelle muse, nonché madre delle arti perché aveva un ruolo fondamentale per la sopravvivenza e la trasmissione dellacultura.

La Teoria

La Ritmica Nella Grecia antica, la musica era assolutamente inseparabile dalla poesia, soprattutto nel periodo piùantico della sua storia. Nella poesia greca e in quella latina, la metrica era governata dalla successione, secondoschemi prefissati, di sillabe lunghe e brevi. Da questi schemi derivavano le alternanze fra tempi forti e deboli, cioè ilritmo.La ritmica greca si estendeva all'area delle arti temporali, quindi la musica adottava gli stessi principi metrici dellapoesia. Fondamentale ed indivisibile della metrica greca era il tempo primo, misura della sillaba breve. La brevecorrispondeva alla durata di una croma, mentre la lunga corrispondeva alla durata di due sillabe brevi, ossia di unasemiminima. Il ritmo si produce solo quando ci sono due o più note o sillabe, cioè più brevi e lunghe; esse siordinavano in schemi ritmici chiamati piedi. Nella poesia, i piedi si raggruppavano in combinazioni varie a formare iversi, e i versi a formare le strofe.

Il canto

Verso la fine del periodo arcaico cominciò a svilupparsi una lirica monodica, affidata ad una voce sola ed eseguita incontesti conviviali. Monodiche furono. In alcune città come Sparta, invece,dove si sviluppò un forte senso civile e sidiede importanza alla dimensione collettiva della vita civile, si sviluppò una produzione di musica corale, affidata adeventi celebrativi pubblici sia religiosi che laici. Forme della lirica corale furono: il peana in onore di Apollo, ilditirambo in onore di Dioniso, l'imeneo, canto di nozze, il threnos, canto funebre, il partenio, canto di fanciulle,gli inni in onore degli dei e degli uomini e gli epinici in onore dei vincitori dei giochi panellenici. Nella lirica coralesi realizza pienamente l'unione delle tre arti della Mousikè, perché alla poesia si aggiunge la danza (il coro simuoveva coreograficamente durante l'esecuzione dei canti corali).Il ritmo di questi canti era lo stesso della poesia.Il coro greco cantava all'unisono, utilizzando il procedimentodell'eterofonia: veniva cantata un'unica melodia, ma ad altezze diverse. Massimi poeti e musicisti dei canti coralifurono Stesicoro e Pindaro. Siamo tra il periodo arcaico e classico.

La tragedia

Nel periodo classico, la prima grande novità fu la nascita della tragedia. Della tragedia abbiamo notizie dall'opera diAristotele, nella quale si afferma che la tragedia nasce, nel Peloponneso, dal ditirambo.

Il coro

La disposizione circolare del coro greco e l'organizzazione dei testi dei ditirambi, anche dal punto di vista metrico, fuintrodotta da Arione di Metimna. Successivamente, dal coro si distaccò un corifeo (capo del coro) che raccontava legesta del dio Dioniso e di altri dei. Il racconto del corifeo si alternava agli interventi del coro. Il salto verso larappresentazione, avvenne con il passaggio dalla struttura lirica (quando il corifeo raccontava una storia all'uditorio)a quella drammatica (quando il corifeo diventò attore, impersonificando Dioniso o un altro dio). Secondo latradizione, questa trasformazione fu operata da Tespi.

Musica nell'antica Grecia 56

La struttura della tragedia

Dal punto di vista musicale, nel periodo classico, il nomos viene sostituito gradualmente da scale. La differenza tranomos e modo sta nel fatto che il nomos è una melodia prestabilita in una tonalità, mentre il modo ci consente diinventare nuove melodie pur battendo sulla stessa tonalità. L'esecutore che utilizza il nomos è vincolato ad usare unasola melodia, mentre colui che utilizza il modo, cioè la scala, può inventare, mantenendo il tono, l'accento espressivodel nomos. I principali modi, dorico, frigio e lidio, vengono chiamati con i nomi dei nomoi corrispondenti proprioperché le scale di quei nomoi sono le stesse dei modi, con la differenza che il nomos è solo una melodia, mentre ilmodo è una scala che consente all'esecutore di inventare, quindi c'è una fioritura inventiva.Com'è avvenuto di norma nella storia della musica, le innovazioni tecniche, cioè i sistemi musicali, precedono la loroteorizzazione. I Greci utilizzavano i sistemi musicali in maniera pratica.

La forma del teatro greco

I teatri della Grecia e della Magna Grecia venivano costruiti sulle colline, per una perfetta resa acustica, e a forma diconchiglia, per l'amplificazione del suono. Esempi notevoli di teatri greci sono il Teatro di Dioniso, ad Atene (doveEschilo, Sofocle ed Euripide rappresentavano abitualmente le loro tragedie), il Teatro greco di Siracusa, il Teatro diEpidauro.

Generi, modi, armonie, sistema perfetto

Il primo studioso di musica da un punto di vista teorico e tecnico, nonché il primo musicologo dell'antichità vieneconsiderato Aristosseno di Taranto. Costui individuò alla base del sistema musicale greco il tetracordo, unasuccessione di quattro suoni discendenti compresi nell'ambito di un intervallo di quarta giusta. I suoi estremi eranofissi, quelli interni erano mobili. L'ampiezza degli intervalli di un tetracordo caratterizzava i 3 generi della musicagreca: diatonico, cromatico, enarmonico. Il tetracordo di genere diatonico era costituito da 2 intervalli di tono ed unodi semitono ed era il genere più antico e diffuso. Il tetracordo di genere cromatico era costituito da un intervallo diterza minore e 2 intervalli di semitono; il tetracordo di genere enarmonico era costituito da un intervallo di terzamaggiore e 2 micro-intervalli di un quarto di tono. Nei tetracordi di genere diatonico la collocazione dell'unicosemitono, distingueva i tre modi: dorico, frigio e lidio. Il tetracordo dorico aveva il semitono al grave ed era diorigine greca. Il tetracordo frigio aveva il semitono al centro ed era di origine orientale, come il tetracordo lidio incui il semitono stava all'acuto. I tetracordi erano, di solito, accoppiati a due a due; potevano essere disgiunti ocongiunti. L'unione di due tetracordi formava una harmonia era chiamato il punto di distacco fra due tetracordidisgiunti; sinafè il punto in cui si univano due tetracordi congiunti. Se nelle harmonìai si abbassava di un'ottava iltetracordo superiore, si ottenevano gli ipomodi (ipodorico, ipofrigio, ipolidio), che erano congiunti; Se ad unaharmonia disgiunta si aggiungeva un tetracordo congiunto all'acuto, un tetracordo congiunto al grave e sotto aquest'ultimo una nota (proslambanòmenos), si otteneva il sistema tèleion (o sistema perfetto), che abbracciaval'estensione di due ottave. Esso fu elaborato nel IV secolo a.C. Il primo grande mutamento, nell'epoca classica, è ilpassaggio dai nomoi ai modi corrispondenti. Già in Sofocle i nomoi sono scomparsi. Con Euripide vi è la comparsa,accanto al genere diatonico, di due nuovi generi: cromatico ed enarmonico. In realtà quest'innovazione di deve aTimoteo di Mileto che fu il protagonista della rivoluzione musicale del V secolo, accompagnata dalla costruzionedella lira con non più di sette o undici corde, proprio per consentire l'uso delle alterazioni. Questi generi sono diderivazione orientale. L'introduzione delle alterazioni introduce una sfumature, una carica espressiva molto piùgrande che nel genere diatonico. Questa è la ragione per cui Euripide utilizzò i generi enarmonico e cromatico. Lasua tragedia aveva un'accentuazione espressiva delle passioni, esprimibile solo con i generi cromatico edenarmonico. Altre novità nelle tragedie di Euripide. I filosofi e gli intellettuali del tempo, dinanzi alla rivoluzione delV secolo, si posero in maniera differenziata, come desumibile dalla riflessioni di Platone e Aristotele, entrambifilosofi del periodo classico.

Musica nell'antica Grecia 57

La dottrina dell'ethos e l'educazione

A Pitagora si attribuisce l'affermazione della relazione tra la musica e l'animo umano, concetto ripreso e sviluppatoda tutta la filosofia greca dei secoli seguenti e che assunse i caratteri della dottrina dell'ethos. Essa indicò le relazioniesistenti tra alcuni aspetti del linguaggio musicale e determinati stati d'animo. Le differenti potenzialità emotive dellamusica riguardavano principalmente le armonie, cioè le melodie, ma potevano anche riferirsi ai ritmi e aglistrumenti. Ogni tipo di musica imita un certo carattere; questa imitazione avviene in vari modi: per esempio, il mododorico veniva considerato capace di produrre un ethos positivo e pacato, mentre il modo frigio era legato ad un ethossoggettivo e passionale. Ogni modo doveva produrre un ben determinato effetto sull'animo, positivo o negativo chefosse; inoltre ogni modo non imiterebbe soltanto uno stato d'animo, ma anche i costumi del paese da cui trae origineed anche il tipo di regime politico, democratico, oligarchico o tirannico. L'insieme delle dottrine, anche diverse,presenti nella scuola pitagorica trovano una loro sistemazione ed una certa coerenza nella filosofia di Platone.Platone raccoglie una precisa eredità di pensiero che consiste nel ritenere che il cosmo sia organizzato da rapportinumerici che sono essi stessi armonia musicale, la cosiddetta armonia delle sfere (armonia pitagorica). Ne LaRepubblica, la posizione di Platone, nei confronti della musica, è estremamente complessa: da un lato c'è unacondanna filosofica dell'arte in generale, perché tutta l'arte è imitazione della realtà e la realtà, a sua volta, è ilriflesso del mondo delle idee. L'arte, quindi, essendo imitazione di un'imitazione, è lontana di due gradi dalla verità;dall'altro c'è l'armonia delle sfere, quella di origine pitagorica, che è riflesso della perfezione del cosmo, ma che nonè udibile dall'uomo. Dunque, la musica in quanto fonte di piacere, sotto il profilo pratico, è oggetto di condanna o,più raramente, può essere accettata, ma con cautela e con molte riserve. Va aggiunto che la musica può anche essereuna scienza e, in quanto tale, oggetto non più dei sensi ma della ragione. La musica, allora, può avvicinarsi allafilosofia sino ad identificarsi con essa, come la più alta forma di sapienza (sophia). Si ritrova in molti dialoghi diPlatone l'identificazione del comporre musica con il filosofare. Ad esempio, nel mito delle cicale nel Fedro apparechiara la posizione privilegiata della musica rispetto alle altre Muse, privilegio che la rende simile alla filosofia, nelsenso che filosofare significare "rendere onore alla musica". In questo mito la musica appare come un dono divino dicui l'uomo può appropriarsi, ma solo ad un certo livello, cioè quando raggiunge la sophia. Nell'educazione, Platoneproponeva la ginnastica e la musica, nel significato di canto e di suono della lira, per l'anima. Platone si trovava difronte alle profonde innovazioni presentate dalla pratica musicale del suo tempo, innovazioni che nel loro insiemerappresentavano la rivoluzione musicale del V secolo. Di fronte ad essa il filosofo manifesta la sua più profondaavversione e ostilità, ancorandosi alla più antica e salda tradizione musicale e poetica. Questa posizioneconservatrice non ha origine solamente in un suo atteggiamento negativo di fronte ai musicisti e alla muova musicadel suo tempo, ma trova una spiegazione anche nella sua filosofia della musica.Aristotele, invece, ebbe una visione più aperta. Diede una giustificazione antropologica dell'arte, disciplinaessenziale all'uomo, che la giustifica, anche se negativa. Aristotele riprende il concetto pitagorico di catarsi, ma lomodifica, osservando che il meccanismo della purificazione avviene attraverso una liberazione delle passioni chevengono imitate dal musicista: perciò non vi sono armonie o musiche dannose in assoluto dal punto di vista etico; lamusica è una medicina per l'animo proprio in quanto può imitare tutte le passioni o emozioni che ci tormentano e dicui siamo affetti e dalle quali vogliamo purificarci; tale liberazione avviene proprio potendo osservare la loroimitazione attraverso l'arte. Aristotele sottolinea come Platone confonda la realtà con l'imitazione della realtà. Egliafferma: Platone confonde colui che zoppica come colui che imita uno zoppo. Queste sono due cose diverse, perchél'imitazione della realtà che avviene nell'arte non è la realtà in se, ma ha una funzione catartica perché, dopo averprovocato nello spettatore una immedesimazione di sentimenti, alla fine, lo libera da questi stessi sentimenti, quindiproduce una sorta di liberazione omeopatica (omeopatica, in quanto omeopatica rafforza un sintomo per poiscaricarlo). La musica ha come fine il piacere e come tale rappresenta un ozio cioè qualcosa che si oppone al lavoro eall'attività. In quanto occupazione per i momenti di ozio, la musica veniva considerata da Aristotele come unadisciplina "nobile e liberale". L'arte e la musica è imitazione e suscita sentimenti, perciò è educativa in quantol'artista può scegliere più opportunamente la verità da imitare ed influire così sull'animo umano.

Musica nell'antica Grecia 58

Discografia• Musique de la Grece antique - Atrium Musicae de Madrid Dir. Gregorio Paniagua - (1979), Harmonia Mundi

HMC 1901015• Melpomen - Ancient Greek Music for an Athenian Symposion of ca. 450 BC, ricostruito e composto da Conrad

Steinmann, Ensemble Melpomen dir. C. Steinmann, Harmonia Mundi (Schola Cantorum Basiliensis -Documenta) HMC 905263

Voci correlate•• Storia della musica•• Musica nell'alto medioevo•• Musica rinascimentale•• Musica barocca•• Musica classica•• Musica romantica•• Musica tardo-romantica•• Musica contemporanea

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Le tragedie grecheEschilo I Persiani • I sette contro Tebe • Le supplici • Prometeo incatenato • Orestea (Agamennone • Le Coefore • Le Eumenidi)

Sofocle Aiace • Antigone • Edipo re • Le Trachinie • Elettra • Filottete • Edipo a Colono • I cercatori di tracce (dramma satiresco,incompleto)

Euripide Alcesti • Medea • Gli Eraclidi • Ippolito • Andromaca • Ecuba • Le supplici • Eracle • Elettra • Le troiane • Ifigenia inTauride • Elena • Ione • Il ciclope (dramma satiresco) • Le fenicie • Oreste • Le Baccanti • Ifigenia in Aulide • Reso(spuria)

Tragedie perdute oframmentarie

Frinico: La presa di Mileto • Le fenicie | Eschilo: Edipo • Prometeo liberato • Proteo (dramma satiresco) | Euripide:Ippolito velato • Andromeda • Edipo

Vedi anche Teatro greco • Dramma satiresco • Frammento • Musica nell'antica Grecia • Istituto Nazionale del Dramma Antico

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Il clavicembalo ben temperato 59

Il clavicembalo ben temperato

Frontespizio del primo libro del Clavicembalo ben temperato diJohann Sebastian Bach (1722)

Il clavicembalo ben temperato (titolo originale in tedescoDas wohltemperierte Clavier, oder Praeludia, und Fugendurch alle Tone und Semitonia... con "clavier" nelsignificato allora usato di "tastiera") è una raccolta, divisa indue libri, di preludi e fughe in tutte le 24 tonalità, compostada Johann Sebastian Bach. Bach compose la raccolta "perl'uso e il godimento di tutti i giovani musicisti desiderosi diimparare e in particolar modo per lo svago di quanti sonogià abili in questi studi". Sebbene esistano molti altristrumenti dotati di tastiera, Il clavicembalo ben temperatoviene eseguito di norma al clavicembalo o al pianoforte.

La genesi

Il primo libro è stato scritto nel 1722 durante la permanenzadi Bach a Köthen; il secondo libro seguì, ventidue annidopo, mentre si trovava a Lipsia, nel 1744. Entrambi sonoampiamente circolati in edizioni manoscritte, ma edizioni astampa non vennero eseguite fino al 1801.

Ciascun libro contiene 24 coppie di brani, ciascuna dellequali consiste in un preludio e una fuga nella stessa tonalità.La prima coppia è in Do Maggiore, la seconda in Dominore, la terza in Do Maggiore, la quarta in Do minore,e così via. Lo schema continua seguendo la scala cromaticafino al completamento di tutte le tonalità maggiori e minori.

Bach riutilizzò alcuni dei preludi e delle fughe già scritti in precedenza: il Klavierbüchlein per Wilhelm FriedemannBach del 1720, per esempio, contiene una versione simile di undici dei preludi. Il preludio e fuga in Do Maggiorenel libro I erano originariamente in Do Maggiore, Bach aggiunse soltanto sette diesis in chiave per convertire i duebrani alla tonalità desiderata.

Secondo un'opinione diffusa quest'opera testimonierebbe il sostegno di Bach a un sistema di accordatura(temperamento) innovativo per la sua epoca, che molti identificano tout court con il moderno temperamentoequabile. In realtà, ai tempi di Bach era definito "buon temperamento" qualsiasi sistema di accordatura chepermettesse di suonare in tutte le tonalità, in contrasto con il temperamento mesotonico di uso corrente nei secoliXVI e XVII.[1]. Gli esempi più antichi di "buon temperamento"

Il clavicembalo ben temperato 60

Fuga in La Maggiore dal secondo libro del Clavicembalo bentemperato (manoscritto)

sono quelli descritti dall'organista e teorico musicaleAndreas Werckmeister nel 1691: fu proprio Werckmeister aconiare il termine "Wohltemperierte Stimmung" (buonaaccordatura). Ai tempi di Bach esistevano numerosi schemidi "buoni temperamenti", basati su diverse alterazioni degliintervalli di quinta (alcune giuste, altre calanti di un quartodi comma - come nel temperamento mesotonico - oppure inmisura più ridotta, a seconda dello schema usato); conognuna di queste accordature, dette "ineguali", era possibilesuonare in tutte le tonalità ma l'alterazione di ciascunaccordo rispetto alle consonanze perfette variava da unatonalità all'altra. Ogni tonalità acquistava in questo modo un"colore" caratteristico, che tuttavia dipendeva dalparticolare "buon temperamento" adottato. Ai tempi di Bachera anche noto, a livello teorico, il temperamento equabilemoderno, in cui tutte le quinte sono ugualmente calanti.Questo schema, che per alcuni teorici rappresentava lasoluzione ideale del problema dell'accordatura, mentre peraltri costituiva una soluzione inaccettabile perché basata surapporti intervallari irrazionali, era comunque di difficilerealizzazione nella pratica (in quanto non contiene nessunintervallo "giusto" che si possa usare come riferimento nelcorso dell'accordatura, a parte ovviamente l'intervallo diottava). Resta da capire a quale specifico temperamentovolesse riferirsi Bach nel titolo della sua opera. Raccoltesimili a quella bachiana, compilate in quegli stessi anni da altri autori, testimoniano l'esplorazione di tutte le tonalitàpossibili, anche su strumenti non a tastiera: non vi è quindi motivo di credere che Bach abbia voluto scriverequest'opera allo scopo di "promuovere" un particolare tipo di temperamento. Recentemente (2005) è stata avanzatal'ipotesi che Bach abbia voluto lasciare ai suoi allievi precise indicazioni sullo schema di temperamento da luipreferito, celate nel fregio calligrafico irregolare che lo stesso Bach ha sovrapposto al titolo Das WohltemperirteClavier nel frontespizio del manoscritto autografo. Questa suggestiva ipotesi, dovuta a Bradley Lehman[2], è tuttoraoggetto di controversie[3].

RegistrazioniNumerosissime sono le esecuzioni e le registrazioni del Clavicembalo ben temperato, che ha ispirato moltissimimusicisti sia dal punto di vista dell'esecuzione pianistica e clavicembalistica che da quello della composizione.La prima registrazione completa è di Edwin Fischer ed è stata realizzata tra il 1933 e il 1936. Nel 1943, Glenn Gould(nato nel 1932) aveva già nel suo repertorio l'intero primo libro, ma le registrazioni per la Columbia ebbero luogo apartire dal 10 gennaio 1962, presso gli studi della 30a strada, a New York. Inizialmente venduta in sei LP esuccessivamente rimasterizzata con le moderne tecnologie digitali in quattro CD, l'esecuzione di Gould era stataassemblata, come egli descrive nel suo Le prospettive dell'incisione, mettendo insieme il materiale più convincenterealizzato in ben 35 giorni di sessioni di registrazione. Di grande rilevanza storica e artistica è giudicata anchel'incisione effettuata da Helmut Walcha (1907-1991) al clavicembalo, edita in 5 LP dalla casa discografica EMI.

Il clavicembalo ben temperato 61

Struttura dell'opera

Primo libro BWV 846-8691.1. Preludio e fuga a 4 voci in Do maggiore BWV 8462.2. Preludio e fuga a 3 voci in do minore BWV 8473.3. Preludio e fuga a 3 voci in Do diesis maggiore BWV 8484.4. Preludio e fuga a 5 voci in do diesis minore BWV 8495.5. Preludio e fuga a 4 voci in Re maggiore BWV 8506.6. Preludio e fuga a 3 voci in re minore BWV 8517.7. Preludio e fuga a 3 voci in Mi bemolle maggiore BWV 8528.8. Preludio in mi bemolle minore e fuga a 3 voci in re diesis minore BWV 8539.9. Preludio e fuga a 3 voci in Mi maggiore BWV 85410.10. Preludio e fuga a 2 voci in mi minore BWV 85511.11. Preludio e fuga a 3 voci in Fa maggiore BWV 85612.12. Preludio e fuga a 4 voci in fa minore BWV 85713.13. Preludio e fuga a 3 voci in Fa diesis maggiore BWV 85814.14. Preludio e fuga a 4 voci in fa diesis minore BWV 85915.15. Preludio e fuga a 3 voci in Sol maggiore BWV 86016.16. Preludio e fuga a 4 voci in sol minore BWV 86117.17. Preludio e fuga a 4 voci in La bemolle maggiore BWV 86218.18. Preludio e fuga a 4 voci in sol diesis minore BWV 86319.19. Preludio e fuga a 3 voci in La maggiore BWV 86420.20. Preludio e fuga a 4 voci in la minore BWV 86521.21. Preludio e fuga a 3 voci in Si bemolle maggiore BWV 86622.22. Preludio e fuga a 5 voci in si bemolle minore BWV 86723.23. Preludio e fuga a 4 voci in Si maggiore BWV 86824.24. Preludio e fuga a 4 voci in si minore BWV 869

Secondo libro BWV 870-8931.1. Preludio e fuga a 3 voci in Do maggiore BWV 8702.2. Preludio e fuga a 4 voci in do minore BWV 8713.3. Preludio e fuga a 3 voci in Do diesis maggiore BWV 8724.4. Preludio e fuga a 3 voci in do diesis minore BWV 8735.5. Preludio e fuga a 4 voci in Re maggiore BWV 8746.6. Preludio e fuga a 3 voci in re minore BWV 8757.7. Preludio e fuga a 4 voci in Mi bemolle maggiore BWV 8768.8. Preludio e fuga a 4 voci in re diesis minore BWV 8779.9. Preludio e fuga a 4 voci in Mi maggiore BWV 87810.10. Preludio e fuga a 3 voci in mi minore BWV 87911.11. Preludio e fuga a 3 voci in Fa maggiore BWV 88012.12. Preludio e fuga a 3 voci in fa minore BWV 88113.13. Preludio e fuga a 3 voci in Fa diesis maggiore BWV 88214.14. Preludio e fuga a 3 voci in fa diesis minore BWV 88315.15. Preludio e fuga a 3 voci in Sol maggiore BWV 88416.16. Preludio e fuga a 4 voci in sol minore BWV 88517.17. Preludio e fuga a 4 voci in La bemolle maggiore BWV 88618.18. Preludio e fuga a 3 voci in sol diesis minore BWV 887

Il clavicembalo ben temperato 62

19.19. Preludio e fuga a 3 voci in La maggiore BWV 88820.20. Preludio e fuga a 3 voci in la minore BWV 88921.21. Preludio e fuga a 3 voci in Si bemolle maggiore BWV 89022.22. Preludio e fuga a 4 voci in si bemolle minore BWV 89123.23. Preludio e fuga a 4 voci in Si maggiore BWV 89224.24. Preludio e fuga a 3 voci in si minore BWV 893

Voci correlate•• Opere di Johann Sebastian Bach•• Preludio•• Fuga•• Comma

Note[1] Con il temperamento mesotonico, per poter suonare in tonalità con molte alterazioni in chiave era necessario avere uno strumento costruito

appositamente con tasti distinti, ad esempio, per il RE# e il MIb, che in quel temperamento hanno altezze diverse. Ciononostante, iltemperamento mesotonico continuò ad essere ampiamente usato per l'accordatura gli organi a canne fino alla metà del XIX secolo.

[2] B. Lehman, Bach's extraordinary temperament: our Rosetta stone, Early Music 33 (2005), pp.3-24, 211-232[3] M. Lindley, I. Ortgies, Bach-style keyboard tuning, Early Music 34 (2006), pp.613-623

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Collegamenti esterni• (EN) Le fughe da Il clavicembalo ben temperato (http:/ / www2. nau. edu/ tas3/ wtc. html)bg:Добре темперирано пиано ca:El clavecí ben temprat cs:Dobře temperovaný klavír cy:Das WohltemperierteKlavier de:Das Wohltemperierte Klavier en:The Well-Tempered Clavier eo:Bontemperita klavarinstrumento es:Elclave bien temperado fi:Das wohltemperierte Klavier fr:Le Clavier bien tempéré he:הפסנתר המושווהhu:Wohltemperiertes Klavier hy:Լավ տեմպերացված կլավիր ja:平 均 律 ク ラ ヴ ィ ー ア 曲 集

ko:평균율 클라비어곡집 nl:Das wohltemperierte Klavier nn:Das Wohltemperierte Klavier no:Das WohltemperierteKlavier pag:Patar ya Tonon Clavier pl:Das Wohltemperierte Klavier pt:O Cravo Bem Temperado ru:Хорошотемперированный клавир sk:Temperovaný klavír sr:Добро темперовани клавир sv:Das wohltemperierte Klavierth:The Well-Tempered Clavier uk:Добре темперований клавір zh:平 均 律 键 盘 曲 集 zh-yue:十 二 平 均

律 鋼 琴 曲 集

Musica microtonale 63

Musica microtonaleLa musica microtonale è la musica che utilizza i microtoni — intervalli musicali minori di un semitonoappartenente al sistema equamente temperato, o come disse Charles Ives, le "note tra le fessure" del pianoforte.

TerminologiaMentre la definizione del termine "microtonale" presentata sopra non è modificabile, riflettendo un severo giudizioverso il temperamento equabile inteso come un particolare e ridotto punto di vista, in realtà i musicisti si trovanogeneralmente suddivisi fra tre differenti definizioni di microtonalità."1. Microtonalità come utilizzo di intervalli "piccoli"

È la definizione più ovvia, microtonalità, (dal greco mikro, "piccolo"), come utilizzo di intervalli più piccoli dei tonie semitoni appartenenti alla tradizione compositiva della cultura occidentale-europea, sebbene l'uso di tali intervallisia una caratteristica tipica di molte musiche etniche.2. Microtonalità come utilizzo di intervalli o accordature "insolite"

In una seconda definizione, che si lega alla precedente e la espande, la microtonalità è l'uso di qualsiasi intervallo osistema di accordatura considerato "inusuale" o "diverso" in un determinato contesto culturale—in molti contesti delXX e XXI secolo, ad esempio, ciò vale pressoché per qualunque accordatura per tastiera o chitarra diversa dalladivisione dell'ottava in 12 semitoni uguali (12 toni equamente temperati, o 12-tET). Ciò è ben espresso dal concettodel compositore Ivor Darreg di "xenarmonia", dal greco xenia (ξενία, ospitalità) o xenos (ξένος, straniero), il qualederiva dal tentativo di descrivere questo tipo di microtonalità attraverso la trasformazione di un detto del poeta latinoTerenzio, "nulla di ciò che è umano mi è alieno", in "nulla di ciò che si riferisce all'intonazione mi è alieno".3. Microtonalità come un continuum o una dimensione musicale

In una terza definizione, la microtonalità è semplicemente la dimensione o il continuum di variazione tra gliintervalli e i sistemi di accordatura, comprendendo in questo modo tutta la musica".(Margo Schulter, da http:/ / members. tripod. com/ ~tuning_archive/ on_site_tree/ margoschulter/what_is_microtonality. html)Tuttavia la seconda di queste definizioni presenta delle contraddizioni con al prima. Infatti, poiché le composizionidi Claude Debussy per toni interi (sei toni per ottava, 6-tET) si basano sui dodici semitoni convenzionali nellamusica occidentale, la prima definizione escluderebbe tale musica dall'essere considerata "microtonale" sebbene essasia "insolita" rispetto alla tipica musica occidentale e quindi microtonale considerando la seconda definizione.Inoltre, se consideriamo "musica microtonale" solo la musica che suona udibilmente differente dalla musicaconvenzionale occidentale allora la musica diatonica di limite 5 (basata sui rapporti semplici ottenibili tramite inumeri da 1 a 5 e sui loro esponenti naturali) e quella basata sull'accordatura mesotonica non andrebbero ritenutemicrotonali mentre la prima definizione le definisce tali poiché utilizzano intervalli più piccoli del semitonoconvenzionale.Probabilmente la miglior definizione di "musica microtonale" rimane la prima ovvero: "tutta la musica che sidistanzia in qualunque modo dai dodici toni correntemente utilizzati nel sistema occidentale". Ciò esclude lecomposizioni a toni interi di Debussy ma include essenzialmente tutta la musica non occidentale, le accordatureantiche e la musica sperimentale.Il termine "musica microtonale" si può quindi riferire a qualunque musica la cui accordatura non si basa sui dodicisemitoni equamente temperati, come:•• la musica occidentale, basata sull'accordatura naturale• la musica basata sul temperamento mesotonico• la musica gamelan indonesiana

Musica microtonale 64

• la musica classica indiana• la musica creata con un theremin•• la musica blues• la musica eseguita con Armodue [1]

Le scale microtonali che vengono suonate in modo contiguo sono "cromaticamente microtonali" mentre quelle chenon lo sono utilizzano i vari toni contigui come versioni alternative di intervalli più ampi (Burns, 1999). I suoni cheuno strumento microtonale appositamente progettato può fare si collocano su divisioni alternative di intervalli comel'ottava. Ad esempio, un musicista microtonale può suonare in un sistema che suddivide l'ottava in 17, 19 o 22 partiuguali. La ragione che lo spinge a fare ciò è che ogni particolare divisione dell'ottava impone l'utilizzo di alcunearmonie mentre impedisce l'uso di altre. Ad esempio, la scala a diciannove toni permette di utilizzare moltevariazioni armoniche esotiche come quelle che si sentono nella musica medio orientale mentre la scala a 31-tETsuona rilassante, "come un arcobaleno" (Jonathan Glasier & Ivor Darreg).

StoriaSe definiamo microtonale ogni accordatura che evita di conformarsi ai dodici toni equamente logaritmici dellamusica contemporanea europea e nord americana, allora ciò vale per la maggior parte della musica occidentale nelcorso di tutta la sua storia, poiché l’utilizzo europeo dei dodici toni per ottava rappresenta una innovazione recenteche risale al tardo Rinascimento. I primi brani che sfruttano la possibilità di impostare una nuova tonalità su ognunodei dodici gradi della scala cromatica, infatti, si trovano nella letteratura per liuto e chitarra: ricordiamo i ventiquattrodittici passemezzo-saltarello che compongono il Libro de intabulatura di liuto (1567) di Giacomo Gorzanis, iricercari per liuto di Vincenzo Galilei, e le 24 passacaglie in tutti i toni maggiori e minori che aprono il Libro primodi chitarra spagnola (1640) di Angelo Michele Bartolotti. Anche Marin Mersenne, nel secondo libro dell'HarmonieUniverselle (1636), dedicato al liuto e alla chitarra, spiega come in questi strumenti (così come nelle viole da gamba)la suddivisione della tastiera venga realizzata dai liutai secondo il temperamento equabile. Mersenne si preoccupaanche di fornire una dimostrazione matematica su come le differenze tra la scala naturale e quella scala temperatasiano praticamente impercettibili, oltre a spiegare come questa suddivisione dell'ottava non sia una sua invenzionema sia già efficacemente utilizzata da liutai e musicisti.La musica più antica di cui esiste una documentazione scritta pare sia l’Inno di Hurrian. Questa musica fuprobabilmente microtonale, sebbene la sua interpretazione sia stata oggetto di disputa.Sappiamo dalle tavolette cuneiformi babilonesi che essi utilizzavano ciò che noi oggi chiamiamo accordatura“pitagorica” ovvero un ciclo di quinte naturali sovrapposte l’una all’altra e racchiuse all’interno di un’ottava. Sullatavoletta cuneiforme U7/40 al British Museum si trova l’accordatura pitagorica di sette note.Poiché la musica occidentale, grazie ad antichi testi greci di teoria musicale, si fa risalire almeno al 500 a.C. e poichéquella musica non si fondava su un sistema di dodici toni per ottava, l’accordatura oggi utilizzata in Europa e in NordAmerica è una novità d’avanguardia che copre solo il 10% della storia della musica occidentale.Anche la civiltà ellenica lasciò alcune registrazioni frammentarie della sua musica (Inno Dorico) e, grazie ai testi diAristosseno sulla musica, abbiamo una documentazione esauriente sull’accordatura della musica greca antica.L’ottava veniva divisa in due tetracordi, ovvero scale di quattro note, sovrapposti l’uno sull’altro. La posizione dellesingole note all’interno di questi due tetracordi determinava le sette note dell’accordatura. I greci riconoscevano tretipi di tetracordo: l’enarmonico, il cromatico e il diatonico, i quali utilizzavano per ogni nota proporzioni diverserispetto all’ottava.Ognuno di questi tre generi utilizza ciò che oggi chiamiamo “accordatura naturale”, ciò significa che essi sono determinati da rapporti di numeri interi ma, mentre il genere cromatico e il diatonico suonano in maniera molto simile a quelli odierni, il genere enarmonico faceva un uso preminente di distanze di circa un quarto di tono. Perciò esso si qualifica precisamente come un’accordatura microtonale comunque si voglia intendere la parola (come l’uso di intervalli più piccoli di un semitono o come un’accordatura che suona chiaramente differente rispetto

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all’accordatura occidentale convenzionale). Come M. Joel Mandelbaum sostiene nella sua tesi, ‘‘La divisionemultipla dell’ottava e le risorse tonali del temperamento a 19 toni’’, (1960), uno studio eseguito sul codice diMontpellier suggerisce che esso documenti un’accordatura microtonale, probabilmente il genere enarmonico greco.Ciò sembra mostrare che le accordature microtonali sopravvissero e furono comunemente usate fino al tardo periodomedievale.Le accordature mesotoniche risalgono ai primi anni novanta del XV secolo, come è stato evidenziato da studiosicome Richard Taruskin e Patrizio Barbieri. Tali accordature mesotoniche suonano essenzialmente identicheall’accordatura convenzionale occidentale di 12 toni fintantoché il compositore si limita ad una stretta cerchia ditonalità vicine alla nota centrale della tonalità. Ciò significa che se l’accordatura mesotonica è accordata a partire dado, le tonalità vicine a do maggiore saranno difficilmente distinguibili dalla musica convenzionale occidentale. Letonalità lontane, comunque, come mi bemolle minore, conterranno intervalli esotici chiaramente udibili.Alcuni compositori antichi, comunque, si allontanarono deliberatamente dalla nota centrale dell’accordaturamesotonica, producendo effetti chiaramente microtonali nella loro musica.Un esempio notevole è il brano “Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La” (partitura [2] e audio [3]) del compositore virginalista ingleseJohn Bull, composto tra il 1580 e il 1610 e incluso nel Fitzwilliam Virginal Book'.

L’accordatura mesotonica a 1/3 di comma corrisponde quasi esattamente a dodici note prelevate da una scala di19-tET mentre l’accordatura mesotonica a 1/4 di ottava è quasi identica a dodici note selezionate da una scala di31-tET. Vari compositori francesi del XVII secolo fecero uso di queste caratteristiche progettando tastiere adiciannove toni per ottava, le quali in effetti permettevano di suonare l’accordatura a 1/3 di comma in tutte le chiavisenza la cosiddetta “quinta del lupo”, un intervallo fortemente dissonante. Christiaan Huyghens, lo scienziato emusicista del XVII secolo, si fece promotore dell’utilizzo di trentuno toni per ottava, poiché ciò avrebbe permesso disuonare l’accordatura mesotonica a 1/4 di comma in tutte le tonalità senza “quinte del lupo”. Huyghens, inoltre,sostenne l’uso della settima naturale, il rapporto 7/4, nella musica occidentale, e la descrisse come una consonanzamusicale non riconosciuta.La nota “Chromatic Chanson” di Guillaume Costeley del 1570 si fondava sull’accordatura mesotonica a 1/3 dicomma ed esplorava l’intera gamma di 19 toni in un’ottava, facendo uso di intervalli distintamente microtonali comel’intervallo di 63 cents equivalente a 1/19 di ottava.Il compositore e teorico italiano rinascimentale Nicola Vicentino (1511-1576) approfondì lo studio deimicrointervalli e costruì una tastiera con trentasei tasti per ottava conosciuta come archicembalo. Gli esperimenti diVicentino, come lui stesso dichiarò, furono motivati principalmente dalla sua ricerca sugli antichi generi musicaligreci e dal suo desiderio di ottenere intervalli senza battimenti utilizzabili nelle composizioni cromatiche.La composizione “La battaglia di Davide e Golia”, di Johann Kuhnau, composta attorno al 1730, fa un uso esteso eaggressivo dei particolari intervalli utilizzabili nell’accordatura mesotonica e in particolare della “quinta del lupo”.Nel 1843 Jacques Halévy compose un’opera a quarti di tono, il “Prometeo Incatenato”. In seguito, tra la fine del XIXsecolo e l’inizio del XX i compositori europei produssero un numero crescente di composizioni microtonali e inparticolare negli anni venti emerse una moda per i quarti di tono (24-tET) che ispirò compositori famosi come BelaBartok a produrre composizioni in questa accordatura. In quel periodo Erwin Schulhoff diede lezioni dicomposizione per quarti di tono al conservatorio di Praga.Alexander James Ellis, che nel 1880 fece la traduzione con note a piè pagina e appendici al libro di Helmholtz “Onthe sensation of tone”, propose un insieme elaborato di accordature non tradizionali. Egli studiò le accordature delleculture non occidentali e, in un rapporto alla Royal Society, stabilì che esse non utilizzavano né eque divisionidell’ottava né intervalli naturali.Alcuni studiosi fanno risalire l’innovativo utilizzo che Claude Debussy fece della scala per toni interi (6-tET) in composizioni come “Voiles” e “Prélude à l’apres-midi d’un faune” all’influenza da lui ricevuta nell’assistere a una performance di un'orchestra gamelan Balinese durante l’Exposition Universelle di Parigi del 1889 e ai particolari

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ritmi e accordature utilizzati in quella musica.L’introduzione del fonografo di Berliner nel 1890 permise la registrazione e l’ascolto di molta musica nonoccidentale da parte dei compositori stimolando ulteriormente l’uso di accordature alternative.Mentre sperimentava con il suo violino nel 1895, Julian Carrillo (1875-1965) scoprì il sedicesimo di tono ovveropercepì sedici suoni chiaramente differenti tra le note sol e la, emesse dalla quarta corda del violino. Egli chiamò lasua scoperta “il tredicesimo suono”. Julian Carrillo inventò un semplice sistema di notazione musicale numerico chepuò rappresentare scale basate su ogni divisione dell’ottava, inventò nuovi strumenti e ne adattò altri a produrremicrointervalli, compose una grande quantità di musica microtonale e ne registrò circa trenta.I principali compositori microtonali del Novecento furono:• Alois Haba (24-tET)• Julian Carrillo (24-tET, 36-tET, 48-tET, 60-tET, 72-tET, 96-tET)• Harry Partch (accordatura naturale di limite 11) che costruì un’intera orchestra di strumenti microtonali• Adriaan Daniel Fokker (31-tET)• Ivor Darreg (da 13-tET a 22-tET, 24-tET e 31-tET) che costruì il primo sintetizzatore elettronico capace di

riprodurre qualunque divisione dell’ottava e qualunque accordatura naturale• John Eaton che creò un suo sintetizzatore microtonale, il Syn Ket• Easley Blackwood, che compose ed eseguì i famosi “12 studi microtonali per strumenti musicali elettronici”

utilizzando tutte le divisioni dell’ottava da 12 a 24 toni• Augusto Novaro, il teorico microtonale messicano (15-tET)• Barbara Benary fondatrice del “Gamelan Son of Lion”• Lou Harrison che fondò l’American Gamelan Orchestra presso il Mills CollegeDal 1980, con l’avvento sul mercato di sintetizzatori completamente riaccordabili e dal prezzo contenuto come loYamaha TX81Z (1987), i compositori microtonali sono proliferati in tale misura che una lista di coloro che hannoprodotto almeno una composizione microtonale include quasi l’intera lista dei compositori attivi. L’avvento piùrecente di sintetizzatori software completamente riaccordabili come ZynAddSubFx, il quale può produrre musicamicrotonale in tempo reale su di un normale computer portatile, non ha fatto altro che espandere l’utilizzo deimicrotoni nella musica contemporanea. Oggi è raro incontrare un compositore contemporaneo che non si occupiperiodicamente di microtonalità.Alcuni compositori occidentali hanno abbracciato l’uso di scale musicali microtonali equamente temperate,dividendo l'ottava in un numero di toni diverso da 12 come 19, 24, 31, 53, 72, 88. Gli intervalli tra i toni possonoessere uguali, dando vita ad un temperamento equabile, o diversi, come nell’accordatura naturale, detta anche justintonation, e nei temperamenti lineari, oppure né equamente temperati né naturali come quelli che si trovano neigamelan balinesi. La stragrande maggioranza della musica indigena mondiale non usa l’accordatura convenzionaleoccidentale di 12 toni per ottava logaritmicamente equidistanti, né usa l’accordatura naturale o accordature lineari.Dal popolo di Banda Linda nell’Africa centrale (che preferisce decisamente un “ottava” di 1150 cents), ai pigmei BaBenzele, alla musica balinese, a vari popoli indigeni del sudamerica, essenzialmente tutti i popoli indigeni utilizzanoaccordature non equabili né naturali.Per questo, concepire qualsiasi discussione sulle accordature musicali unicamente in termini di equa divisionedell’ottava o di accordatura naturale, rappresenta un significativo pregiudizio in favore dell’Europa e del nordAmerica i quali contano meno del 20% della popolazione mondiale e solo una piccola parte della cultura musicaledel pianeta. Dal punto di vista della musica indigena composta fuori dall’Europa e dal nord America, tutta la musicamondiale è, in effetti, microtonale.

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Microtonalismo nella musica rockLa band americana hardcore/punk dei Black Flag (1976-86) fece un interessante utilizzo naif di intervalli microtonaliattraverso il chitarrista Greg Finn, un aficionado del free jazz e della musica classica moderna. (All’apice dellapopolarità nei tardi anni Settanta e nei primi Ottanta, molto prima che il punk americano fosse la corrente principale,la band era considerata, non senza ragione, un’ostile banda di criminali, sebbene il tempo abbia poi conferito al lorolavoro un ragguardevole consenso musicale). Una canzone pregevole è “Damaged II”, dal LP del 1981 “Damaged” –una registrazione live-in-studio nella quale l’utilizzo intenzionale (e sorprendentemente consapevole) di quarti eottavi di tono richiama una chitarra in procinto di esplodere; un’altra, dall’effetto simile, è “Police Story”, più versionidella quale si concludono in una cadenza suonata un quarto di tono crescente.Il gruppo Carbon, Tectonics e Terraplen di Elliott Sharp fa un uso estensivo di microtonalità nell’accordaturanaturale dall’effetto intensamente dissonante e vibrante.Il chitarrista di Los Angeles Rod Poole ha prodotto unnumero di CD xenarmonici di influenza rock.La band Crash Worship fece uso della megalyra subcontrabass di Ivor Darreg uno strumento microtonale per unutilizzo xenarmonico/noise/industrial.Altri artisti rock che utilizzano la microtonalità nel loro lavoro sono Glenn Branca, che ha composto vari lavoriorchestrali per ensembles di chitarre elettriche accordate microtonalmente, e Jon e Brad Catler, i quali suonanochitarra e basso elettrico microtonali.Spesso la musica microtonale si presenta nella musica pop-rock in contesti dove non si nota o non vieneesplicitamente descritta come tale ma nondimeno è abbastanza percepibile. Esempi ovvi sono l’introduzione allacanzone dei Doors “The End”, la linea vocale estremamente e indubitabilmente microtonale delle canzoni di SineadO’Connor – in particolare “Nothing Compares 2 U” – e nelle linee di basso dei Siouxsie and the Banshees “Israel”.Una lista completa degli elementi microtonali nella musica pop-rock includerebbe probabilmente la maggior partedelle band che hanno pubblicato album dal 1953 ad oggi.Il jazz microtonale ha dato vita ad una propria nicchia come per esempio negli album pubblicati da Lothar and theHand People, le inflessioni di intonazione di John Coltrane e molti altri.

Pionieri microtonali occidentali• Henry Ward Poole (keyboard designs, 1825-1890)• Charles Ives (U.S., 1874-1954)• Julián Carrillo (Mexico, 1875-1965) look here [4] or here [5] (mostly Spanish but some English too)• Béla Bartók (Hungary, 1881-1945)• George Enescu (Romania, 1881-1955) (in Oedipe to suggest the enharmonic genus of ancient Greek music)• Percy Grainger (Australia, 1882-1961, particularly works for his "free music machine")• Alois Hába (Czechoslovakia, 1893-1973)• Ivan Wyschnegradsky (U.S.S.R. (Russia), 1893-1979)• Harry Partch (1901-1974)• Eivind Groven (1901-1977)• Hans Luedtke (keyboard designs, d.1973)• Henk Badings (1907-1987)• Giacinto Scelsi (1915-1982)• Lou Harrison (1917-2003)• Tui St. George Tucker (1924-2004)• Ben Johnston (b. 1926)• Ezra Sims (b. 1928)• Erv Wilson (b. 1929)• Sofia Gubaidulina (b. 1931)

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• Alvin Lucier (b. 1931)• Easley Blackwood (b. 1933)• Krzysztof Penderecki (b. 1933)• James Tenney (b. 1934)• Terry Riley (b. 1935)• La Monte Young (b. 1935)• Douglas Leedy (b. 1938)• Wendy Carlos (b. 1939)• Ivor Darreg (1917-1994)

Compositori microtonali recenti• Glenn Branca (b. 1948)• David First (b. 1953)• Paul Dirmeikis (b.1954)• Kyle Gann (b. 1955)• Kraig Grady (b. 1952)• Pascale Criton (b. 1954)• Johnny Reinhard (b. 1956)• Joe Monzo (b. 1962)• Harold Fortuin (b. 1964)• Marc Luis Jones (b. 1966)• Adam Silverman (b. 1973)• Manfred Stahnke (b. 1951)•• Geoff Smith• Daniel James Wolf (b. 1961)• James Wood (b. 1953)•• François Paris• Joel Mandelbaum (b. 1932)•• Brian Ferneyhough•• Elaine Walker•• Chris Vaisvil•• Ron Sword•• Carlo Serafini•• John Starrett• Gene Ward Smith (b.1947)• Fabrizio Fulvio Fausto Fiale (b.1973)

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Bibliografia• Burns, Edward M. (1999). "Intervals, Scales, and Tuning", The Psychology of Music second edition. Deutsch,

Diana, ed. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-213564-4.

Collegamenti esterni

Generali• Joe Monzo's Tonalsoft Encyclopedia of Microtonal Music Theory [6]

• Huygens-Fokker Foundation Centre for Microtonal Music [7]

• John Starrett's Microtonal Music Page [8]

• The American Festival of Microtonal Music [9]

• The Centre for Microtonal Music [10]

• Graham's Microtonal Website [11]

• Modes and Scales in Indian music [12]

• The North American Embassy of Anaphoria Island [13]

• Xentonic — Xenharmonikon, Interval, etc. [14]

• Hearing Greek Microtones [15] by John Curtis Franklin• Groven Piano Project [16]

Teoria della musica microtonale• The Wilson Archives [17]

• Paul Erlich [18]

• LucyTuning [19]

• Graham Breed [20]

• Gene Ward Smith [21]

• Kees van Prooijen [22]

Discografia• Microtonal music on CD [23]

• Recommended Listening in Microtonal Synthesis [24]

• Microtonal Listening List [25]

Musica microtonale sul web• Kyle Gann [26]

• Rick McGowan (b. 1958) [27]

• LucyTuned Lullabies [28]

• Paul Dirmeikis (b. 1954) [29]

• Samuel Pellman [30]

• Jeff Harrington [31]

• Andrew Heathwaite [32]

• Ralph Jarzombek [33]

• Aaron Krister Johnson [34]

• Joseph Pehrson [35]

• Prent Rodgers [36]

• Carlos Sampaio [37]

• Carlo Serafini [38]

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• Fabrizio Fulvio Fausto Fiale [39]

• Chris Vaisvil [40]

• Gene Ward Smith [41]

• Dan Stearns [42]

• Art of the States: microtonal/just intonation [43] microtonal works by American composers• The International Society for Creative Guitar and String Music [44]

• [23] List of Microtonal works available on CD• [45] Seventeen Tone Piano Project Phase One• [46] Seventeen Tone Piano Project Phase Two

Software e accordatori microtonali• L'il Miss' Scale Oven (Mac) [47]

• Scala (Windows, Linux, Mac) [48]

• Tobybear MicroTuner VST plugin (Windows) [49]

• Tonescape (Windows) [50]

• The Rosegarden (Linux) [51] codicil (from The Microtonal-ISM Web Page [52])

de:Mikrotonale Musik en:Microtonal music es:Microtono he:מוזיקה מיקרוטונאלית ja:微 分 音 pt:Músicamicrotonal sv:Mikrotonal musik

Note[1] http:/ / www. armodue. com/[2] http:/ / www. n-ism. org/ Papers/ Microtonalism/ john_bull. pdf[3] http:/ / www. n-ism. org/ audio. php?file=John_Bull%2ftemperaments[4] http:/ / paginas. tol. itesm. mx/ campus/ L00280370/ carrillo. html[5] http:/ / paginas. tol. itesm. mx/ campus/ L00280370/ julian. html[6] http:/ / tonalsoft. com/ enc/[7] http:/ / www. xs4all. nl/ ~huygensf/[8] http:/ / www. nmt. edu/ ~jstarret/ microtone. html[9] http:/ / www. echonyc. com/ ~jhhl/ AFMM/[10] http:/ / website. lineone. net/ ~matthew. brailsford/ cmm/ cmm. htm[11] http:/ / www. microtonal. co. uk/[12] http:/ / chandrakantha. com/ articles/ scales. html[13] http:/ / www. anaphoria. com/ index. html[14] http:/ / xentonic. org/[15] http:/ / www. kingmixers. com/ Hearing%20Greek%20Microtones. html[16] http:/ / vms. cc. wmich. edu/ ~code/ groven/ gp_main. html[17] http:/ / www. anaphoria. com/ wilson. html[18] http:/ / www. lumma. org/ tuning/ erlich/[19] http:/ / www. lucytune. com[20] http:/ / www. microtonal. co. uk[21] http:/ / www. xenharmony. org[22] http:/ / www. kees. cc/ tuning/ perbl. html[23] http:/ / www. xs4all. nl/ ~huygensf/ doc/ discs. html[24] http:/ / home. austin. rr. com/ ginasbaskets/ microtonal-synthesis/ reclist. html[25] http:/ / xenharmonic. wikispaces. com/ MicrotonalListeningList[26] http:/ / www. kylegann. com[27] http:/ / rm-and-jo. laughingsquid. org/ Music/ Music-FullWorks. html[28] http:/ / www. lullabies. co. uk[29] http:/ / www. dirmeikis. org[30] http:/ / www. borg. com/ ~spellman/ micro. html[31] http:/ / parnasse. com/ jeff. htm[32] http:/ / www. soundclick. com/ bands/ 3/ andrewheathwaite. htm[33] http:/ / www. freewebs. com/ ralphjarzombek/

Musica microtonale 71

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72

Appendice

Onda sonoraPer la fisica, il suono è un'oscillazione (un movimento nello spazio) compiuta dalle particelle (atomi e molecole) inun mezzo. Le oscillazioni sono spostamenti delle particelle, intorno alla posizione di riposo e lungo la direzione dipropagazione dell'onda, provocati da movimenti vibratori, provenienti da un determinato oggetto, chiamato sorgentedel suono, il quale trasmette il proprio movimento alle particelle adiacenti, grazie alle proprietà meccaniche delmezzo; le particelle a loro volta, iniziando ad oscillare, trasmettono il movimento alle altre particelle vicine e questea loro volta ad altre ancora, provocando una variazione locale della pressione; in questo modo, un semplicemovimento vibratorio si propaga meccanicamente originando un' onda sonora ( o onda acustica), che è pertantoonda longitudinale.

Le onde sonore possono essere rappresentate graficamente utilizzando un grafico cartesiano, riportante il tempo (t)sull'asse delle ascisse, e gli spostamenti delle particelle (s) su quello delle ordinate. Il tracciato esemplifica glispostamenti delle particelle: all'inizio, la particella si sposta dal suo punto di riposo (asse delle ascisse) fino alculmine del movimento oscillatorio, rappresentato dal ramo crescente di parabola che giunge al punto di massimoparabolico. Poi la particella inizia un nuovo spostamento in direzione opposta, passando per il punto di riposo econtinuando per inerzia fino ad un nuovo culmine simmetrico al precedente, questo movimento è rappresentato dalramo decrescente che, intersecando l'asse delle ascisse, prosegue in fase negativa fino al minimo parabolico. Infine,la particella ritorna in dietro e ripete nuovamente la sequenza di spostamenti, così come fa il tracciato del grafico.Il periodo (graficamente il segmento tra due creste) è il tempo impiegato dalla particella per tornare nello stessopunto dopo aver cominciato lo spostamento (indica cioè la durata di una oscillazione completa). La distanza dallacresta all'asse delle ascisse indica, invece, l'ampiezza del movimento, in altre parole la distanza massima percorsadalla particella dalla sua posizione di riposo durante l'oscillazione. Tuttavia, nonostante il periodo e l'ampiezza sianodue grandezze che da sole sarebbero sufficienti per descrivere le caratteristiche di un'onda, non sono frequentementeutilizzate, perlomeno non in forma pura: in acustica si preferisce, infatti, usare altre grandezze da queste derivate.Dal numero di periodi compiuti in un secondo si ottiene la frequenza, misurata in hertz (Hz), che è definita propriocome il numero di oscillazioni compiute dalla particella in un secondo. Dall'ampiezza dell'onda, invece, si calcola lapressione sonora, definita come la variazione di pressione rispetto alla condizione di quiete, e la potenza e l'intensitàacustica, definita come il rapporto tra la potenza dell'onda e la superficie da essa attraversata; intensità delle ondesonore viene comunemente sono i decibel.

Onda sonora 73

Tipologie di onde sonoreEsistono tre diverse tipologie di onde sonore e ognuna è identificabile da un particolare andamento grafico• Le onde semplici: onde dal tracciato regolare: i picchi sono speculari alle valli e assume la caratteristica forma di

sinusoide. Le principali caratteristiche sono appunto il grafico sinusoidale e la periodicità.• Le onde complesse: sono sempre onde dal tracciato regolare, in quanto i picchi sono speculari alle valli, ma la

loro forma risulta più complessa della precedente, perché presenta diverse anomalie nelle curve. Le caratteristichesono: la periodicità e il grafico non sinusoidale.

• Le onde aperiodiche: sono onde non regolari: il tracciato ha forma caotica e zizzagante. Sono caratterizzatedall'assoluta irregolarità del grafico e dall'aperiodicità; sono tracciati caratteristici dei rumori.

Per una descrizione delle onde semplici i parametri di frequenza e d'ampiezza sono sufficienti, mentre le ondeaperiodiche, a causa della loro aperiodicità, non possono essere descritte da alcun parametro. Invece nelladescrizione delle onde complesse sono sì utili sia la frequenza che l'ampiezza, ma date le anomalie del tracciato,questi due semplici parametri da soli non sono sufficientemente esaurienti, in quanto bisogna ricorrere allascomposizione dell'onda fondamentale in una serie d'onde semplici, che sono invece analizzabili con le normaligrandezze. Le onde semplici o formanti, ottenute dalla scomposizione di un'onda complessa, sono dette armoniche enel loro insieme costituiscono, quello che è chiamato spettro dell'onda sonora. Una caratteristica molto importantedelle armoniche è che le loro frequenze corrispondono sempre a multipli interi della frequenza dell'onda complessa,e sono indicate con F0, F1, F2, ecc. con il pedice che corrisponde al rapporto tra la frequenza dell'onda fondamentalee quella dell'armonica

Velocità del suonoLa velocità di propagazione del suono attraverso un gas è:

dove γ è il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante, p0 è la pressionestatica del gas (nel quotidiano: la pressione atmosferica), ρ0 la densità del gas.Utilizzando la legge dei gas perfetti

dove m è la massa molare, R la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta (in kelvin), la velocità delsuono può essere così riscritta:

Riflessione e incidenza delle onde sonoreSe le dimensioni della superficie riflettente sono grandi rispetto alla lunghezza dell'onda sonora, le leggi delleriflessione sonora sono simili a quelle della riflessione ottica.Si consideri l'incidenza sulla superficie di separazione tra due mezzi; si ha che:

con c velocità del suono nei due mezzi.Quando l'angolo di incidenza è superiore all'angolo limite

Onda sonora 74

si ha la riflessione totale dell'onda sonora. Tale fenomeno si può realizzare anche nel passaggio tra due strati d'aria adiversa temperatura, con la nascita di zone d'ombra acustica.

Voci correlate•• Fisica acustica•• Ingegneria acustica•• Acustica non lineare

ca:Ona sonora en:Acoustic wave eo:Sona ondo es:Onda sonora et:Helilaine fr:Onde sonore lt:Garso bangos zh:声波

Altezza dei suoniL'altezza è la frequenza fondamentale di una nota musicale o suono che viene percepita, ed è una dellecaratteristiche principali di un suono. L'altezza indica se un suono è acuto piuttosto che grave e dipende dallafrequenza dell'onda sonora che lo ha generato. In particolare: più la frequenza di un'onda sonora è elevata e più ilsuono ci sembrerà acuto, mentre più è bassa la frequenza e più il suono ci apparirà grave. Nonostante la frequenzafondamentale reale possa essere determinata con una misura fisica, essa può differire dall'altezza percepita per viadegli ipertoni e degli armonici naturali del suono. Il sistema di percezione uditiva umano può avere anche difficoltà adistinguere differenze di altezza fra le note, in alcune circostanze.

Percezione dell'altezzaIl La sopra al Do centrale suonato su uno strumento qualsiasi ha un'altezza percepita pari a quella di un suono puro a440 Hz ma non necessariamente ha un'armonica a quella frequenza. Inoltre, una piccola variazione di frequenzapotrebbe non comportare una variazione percepibile di altezza, ma una variazione di altezza comportanecessariamente una variazione di frequenza. Infatti la minima differenza avvertibile, la soglia oltre la quale sipercepisce la variazione di frequenza, è di circa cinque cent, cioè cinque centesimi di un semitono equabile; maquesta soglia varia lungo lo spettro delle frequenze udibili ed è minore quando due note sono suonatecontemporaneamente. Come le altre sensibilità agli stimoli umane, la percezione dell'altezza può essere spiegatadalla legge di Weber-Fechner.L'altezza è influenzata anche dall'ampiezza del suono, specialmente alle basse frequenze. Per esempio, una notagrave e forte sembrerà ancora pìù grave se suonata più piano. Come accade per gli altri sensi, anche la percezionerelativa dell'altezza può essere tratta in inganno, creando delle illusioni uditive. Ve ne sono diverse, come ilparadosso del tritono o la più nota scala Shepard, dove una sequenza ripetuta (continua o discreta) di toni disposti inmodo particolare (parziali separate da un'ottava) può sembrare come una sequenza ascendente o discendente infinita.

Altezza dei suoni 75

Il diapason da concertoIl La sopra il Do centrale al giorno d'oggi è fissato a 440 Hz, e spesso è scritto come "A = 440 Hz" o semplicementeA440, e conosciuto come diapason da concerto. Questo standard è stato adottato di recente (vedi Altezze storiche eRicerca di un'altezza convenzionale). L'altezza è spesso citata come uno dei fondamentali aspetti della musica.

Classificazione delle altezzeLe altezze sono spesso classificate usando la notazione scientifica dell'altezza o una qualche combinazione di unalettera e un numero che rappresenta una frequenza fondamentale. Per esempio, ci si può riferire al La sopra al Docentrale con "A4" o con "A440". Ma ci sono due problemi con questa pratica. Primo, nel sistema temperato equabilela notazione è sovrabbondante: la nota Mi♯4 ha la stessa ampiezza della nota Fa4. Secondo, la percezione umanadell'altezza è logaritmica: la distanza percepita fra le altezze "A220" e "A440" è la stessa distanza percepita fra lealtezze "A440" e "A880".Per evitare questi problemi, i teorici musicali talvolta rappresentano le altezze usando una scala basata sul logaritmodella frequenza fondamentale. Per esempio, si può adottare lo standard MIDI per mappare la frequenza fondamentalef con un numero reale p:

Questa funzione crea uno spazio dell'altezza lineare in cui le ottave hanno dimensione 12, i semitoni (i tasti adiacentidi una tastiera) dimensione 1 e al Do centrale è assegnato il numero 60. La distanza in questo spazio corrisponde alladistanza musicale così come viene misurata dagli esperimenti psicologici e compresa dai musicisti. Il sistema èflessibile in modo da includere "microtoni" non usati nelle tastiere standard. Per esempio, l'altezza a metà fra Do (60)e Do♯ (61) può essere classificata come 60,5.

Variazioni d'altezzaL'altezza di un suono può essere descritta in molti modi, come alta o bassa, discretizzata o continua, determinata oindeterminata, che varia nel tempo (chirping) e la maniera in cui questo cambiamento avviene nel tempo: glissando,portamento, vibrato.Musicalmente non conta tanto la frequenza assoluta dei suoni, ma è importante la relazione che c'è fra queste altezze,cioè la differenza che può essere espressa da un rapporto o misurata in cent. Le persone in grado di riconoscerequeste relazioni hanno quello che si chiama un orecchio relativo, mentre le persone che riconoscono l'altezza reale diun suono hanno il cosiddetto orecchio assoluto.

ScaleLe altezze relative delle singole note che compongono una scala possono essere determinate in base a uno dei varitemperamenti. Nel mondo occidentale, il metodo più comune è quello della scala cromatica, che col temperamentoequabile è al giorno d'oggi il sistema di temperamento maggiormente diffuso. In questo sistema, il rapporto d'altezzatra due note consecutive della scala è esattamente la radice dodicesima di due (circa 1,05946). Nei sistemi bentemperati (usati al tempo di Johann Sebastian Bach) esistono altri metodi di temperamento musicale. Quasi tuttiquesti sistemi hanno un intervallo in comune, l'ottava, in cui le altezze degli estremi sono l'una il doppio dell'altra.Per esempio, se il La sopra al Do centrale è 440 Hz, il La superiore di un'ottava è 880 Hz.Nella musica atonale, in quella dodecafonica o nella musical set theory, l'altezza è una specifica frequenza mentreuna pitch class è ciascun insieme delle frequenze separate da ottave. Per esempio, Do♯ e Re♭ hanno la stessa altezzamentre Do4 e Do5 sono funzionalmente uguali, perché separati di un'ottava.

Altezza dei suoni 76

Le altezze discretizzate, al contrario dei suoni che variano con continuità, sono praticamente universali, con pocheeccezioni fra cui "tumbling strains" (Sachs & Kunst, 1962) e "indeterminate-pitch chants" (Malm, 1967). Le noteglissate sono usate in molte culture, ma sono comunque da mettere in relazione alle note discrete da cui derivano eche abbelliscono.

Altezze storicheStoricamente, diverse convenzioni sono state impiegate per fissare l'altezza delle note a specifiche frequenze. Varisistemi di temperamento sono stati applicati per determinare i rapporti fra le frequenze delle note di una scala. Nel1955, l'Organizzazione Internazionale per le Standardizzazioni fissò la frequenza del La sopra al Do centrale a 440Hz, ma in passato sono state usate varie frequenze.Fino al XIX secolo non ci sono stati tentativi di collaborazione per trovare uno standard all'altezza delle note, e ilivelli in Europa erano i più diversi. Anche all'interno di una singola chiesa, l'altezza usata poteva variare nel tempoper via del modo in cui si accordavano gli organi. Generalmente, l'estremità del tubo di un organo veniva ribattutaverso l'interno in modo da formare un cono o aperta verso l'esterno per variare la frequenza. Quando le estremitàdivenivano troppo danneggiate, venivano tagliate, incrementando così l'altezza musicale dell'organo.Ci si può fare un'idea della variabilità dell'altezza esaminando i vecchi diapason per accordatura, i tubi degli organied altre fonti. Per esempio, un vecchio pitchpipe inglese del 1720 suona il La sopra al Do centrale a 380 Hz, mentregli organi suonati da Johann Sebastian Bach ad Amburgo, Lipsia e Weimar erano calibrati a A = 480, una differenzadi circa quattro semitoni. In altre parole, il La prodotto dal pitchpipe del 1720 aveva la stessa frequenza del Fa di unodegli organi di Bach.L'altezza non variava solo a seconda del posto o del periodo, il livello poteva variare anche all'interno di una città.L'altezza di un organo di una cattedrale inglese del XVII secolo, per esempio, poteva essere inferiore di cinquesemitoni rispetto a quella di uno strumento a tastiera casalingo della stessa città.

Ricerca di un'altezza convenzionaleDurante quei periodi in cui la musica strumentale divenne preminente rispetto al canto si nota una tendenza continuadell'altezza ad aumentare. Questa "inflazione dell'altezza" sembra dovuta alla competizione fra gli strumentalisti,ognuno teso a produrre un suono più chiaro e brillante di quello dei rivali; il che è particolarmente difficile con glistrumenti a fiato, dove la competizione coinvolge di più i fabbricanti che i musicisti. Bisogna ricordare chel'inflazione dell'altezza è un problema solo quando le composizioni musicali sono fissate secondo una notazione, e lacombinazione di numerosi strumenti a fiato e della musica scritta ha di conseguenza ristretto quasi completamente ilfenomeno dell'inflazione dell'altezza alla tradizione Occidentale.In almeno due momenti l'inflazione dell'altezza divenne così evidente che si rese necessaria una riforma. All'iniziodel XVII secolo, Michael Praetorius notava nel suo enciclopedico Syntagma musicum che i livelli d'altezza eranodiventati talmente elevati che i cantanti soffrivano di problemi alla gola e che liutisti e violisti si lamentavano per lecorde rotte. Analizzando le estensioni vocali tipiche citate da Pretorius si può concludere che il livello d'altezza delsuo tempo, almeno nella parte di Germania dove viveva, era più alto di oggi di almeno una terza minore (tresemitoni). Le soluzioni che venivano applicate erano sporadiche e locali, ma comportarono in generale la creazionedi standard separati per voci e organo da una parte ("Chorton") e per compagnie da camera dall'altra ("Kammerton").Quando i due gruppi suonavano insieme, come in una cantata, cantanti e strumentalisti potevano suonare la musicascritta in due chiavi diverse.Questo sistema tenne testa all'inflazione dell'altezza per un paio di secoli. Un modo in cui l'altezza poteva essere controllata era con i diapason, ma anche fra questi c'era una varietà di riferimenti: un diapason associato con Händel, datato 1740, è regolato a A = 422.5 Hz, mentre un diapason del 1780 è regolato a A = 409 Hz, quasi un semitono inferiore. Ciò nonostante, la tendenza verso la fine del XVIII secolo era che il La sopra al Do centrale fosse

Altezza dei suoni 77

compreso nell'intervallo fra 400 e 450 Hz.L'arrivo dell'orchestra come di un'ensemble indipendente (non più d'accompagnamento) porto l'altezza ad aumentarenuovamente. L'aumento si riflesse nei diapason prodotti nel periodo: un diapason del 1815 dalla opera house diDresda dà A = 423,2 Hz, mentre un altro diapason di undici anni dopo della stessa orchestra dà A = 435 Hz. AllaScala di Milano, il La arrivò fino a 451 Hz.La maggior parte degli oppositori alla tendenza al rialzo erano i cantanti, che lamentavano il crescente sforzo nelcantare. Principalmente per queste proteste il governo francese fece approvare una legge il 16 febbraio 1859 chedefiniva il La sopra al Do centrale a 435 Hz. Questo fu il primo tentativo di standardizzazione dell'altezza su unterritorio così ampio, e fu conosciuto come il diapason normal. Divenne una convenzione abbastanza popolare ancheal di fuori della Francia.Comunque continuarono ad esserci le variazioni. Uno standard alternativo, conosciuto come altezza filosofica oscientifica, fissava il Do centrale a 256 Hz (cioè 28 Hz) e quindi poneva il La superiore a circa 430,54 Hz. Questaconvenzione ottenne una discreta popolarità per via della sua immediatezza matematica (la frequenza di ogni Do èuna potenza di due). Ma non ottenne lo stesso riconoscimento ufficiale di A = 435, e non fu molto usato.Nel 1939 una conferenza internazionale consigliò che il La sopra al Do centrale fosse accordato a 440 Hz. Questostandard fu ufficializzato dalla Organizzazione Internazionale per le Standardizzazioni nel 1955 (e riconfermato nel1975) come ISO 16. La differenza fra questo standard e il diapason normal è dovuta alla confusione su quale fosse latemperatura alla quale deve essere misurato lo standard Francese. Lo standard doveva essere 439 Hz, ma fu cambiatoin A = 440 Hz perché più facile da riprodurre in laboratorio, dato che 439 è un numero primo.Nonostante questa confusione, A = 440 Hz è l'accordatura più usata nel mondo. Le orchestre degli Stati Uniti e delRegno Unito, tendono ad aderire a questa convenzione come concert pitch. In altra paesi, comunque, un'altezza unpo' più acuta è diventata la norma: A = 442 è comune nelle orchestre dell'Europa continentale, mentre A = 445 èdiffuso in Germania, Austria e Cina.In pratica, dato che le orchestre continuano ad accordarsi su una nota fornita dall'oboe piuttosto che da un dispositivodi accordatura elettronico, e dato che l'oboista potrebbe non avere usato un tale dispositivo per accordare il suostrumento, c'è ancora una piccola varianza nell'esatta altezza usata. Anche gli strumenti solisti come il pianoforte(con cui un'orchestra si accorda se suonano assieme) non sono tutti accordati A = 440 Hz.

Variare l'altezza di una cordaCi sono tre modi di cambiare l'altezza di una corda che vibra.Gli strumenti della famiglia degli archi vengono accordati variando la tensione delle corde perché modificare lalunghezza o la massa per unità di lunghezza non sono metodi di pratica applicazione.

LunghezzaL'altezza viene modificata variando la lunghezza della corda. Una corda più lunga darà un suono più grave, mentreuna corda più corta darà un suono più acuto. Il cambiamento di frequenza è inversamente proporzionale allavariazione di lunghezza, e un cambiamento geometrico in lunghezza corrisponde a un cambiamento aritmetico infrequenza:

Una corda lunga il doppio produce un suono più basso di un'ottava.

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TensioneL'altezza viene modificata variando la tensione. Una corda con minore tensione (più lente) darà un suono più grave,mentre una corda con maggiore tensione (più tesa) darà un suono più acuto. Il cambio di frequenza è proporzionalealla radice quadrata del cambio di tensione:

DensitàL'altezza viene modificata anche variando la densità della corda, intesa come massa per unità di lunghezza. Unacorda più pesante darà un suono più grave, una corda più leggera darà un suono più acuto. Il cambio di frequenza èinversamente proporzionale alla radice quadrata del cambio di densità:

Bibliografia• Burns, Edward M. (1999). "Intervals, Scales, and Tuning", The Psychology of Music second edition. Deutsch,

Diana, ed. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-213564-4.• Sachs, C. and Kunst, J. (1962). In The wellsprings of music, ed. Kunst, J. The Hague: Marinus Nijhoff.• Malm, W.P. (1967). Music Cultures of the Pacific, the Near East, and Asia. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.• Helmholtz, Hermann. (2005). On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music,

Kessinger Publishing. ISBN 1-4191-7893-8

Voci correlate•• Altezza (musica)•• Notazione dell'altezza

Collegamenti esterni• (EN) String Tension and Tuning by Ian Noyce [1]

• (EN) Tonalsoft Encyclopaedia of Tuning [6]

• (EN) AthenaUtility Pitch Converter (AUpc) [2] An athenaCL netTool for on-line, web-based pitch conversionfrom a variety of formats.

• (EN) String Tension [3] on the Liutaio Mottola Lutherie Information Websitebg:Музикален тон ca:Altura (so) cs:Tón da:Tone de:Ton (Musik) eo:Tono es:Altura (música) et:Muusikaline helifa:(موسیقی) ارتفاع fi:Sävel fr:Hauteur (musique) he:גובה (מוזיקה) hr:Ton hu:Hangmagasság id:Nada ja:音 高 jv:Nadako:음높이 nl:Toon (geluid) no:Tone pl:Dźwięk (muzyka) pt:Altura (música) qu:Hayñiq kay ro:Înălțimea sunetelorru:Музыкальный звук sk:Tón sl:Ton sr:Тон sv:Ton (ljud) th:ระดับเสียง (ดนตรี) uk:Музичний звук zh:音 高

Note[1] http:/ / www. noyceguitars. com/ Technotes/ Articles/ T3. html[2] http:/ / www. flexatone. net/ athenaAUpc. html[3] http:/ / www. LiutaioMottola. com/ formulae/ tension. htm

Accordatura 79

AccordaturaL'accordatura è il processo di regolazione di uno strumento musicale affinché sia perfettamente intonato rispetto alsistema di intonazione vigente o proprio allo strumento stesso. Generalmente si parla di accordatura in riferimentoagli strumenti a corda, ma può essere genericamente estesa al concetto di intonazione di altri strumenti. Anche glistrumenti a canne (come l'organo) hanno bisogno di essere accordati: le canne, essendo fatte di materiali diversi,rispondono diversamente alla dilatazione termica (e, per le canne di legno, alle variazioni di umidità) producendovariazioni dell'altezza del suono; le canne dei registri ad ancia, poi, si scordano assai più frequentemente a causadelle vibrazioni stesse a cui è sottoposta la linguetta. Per gli strumenti a fiato l'accordatura consiste solo in un(moderato) allungamento o accorciamento del tubo, in corrispondenza della giunzione fra la testata o l'imboccaturadello strumento e il corpo dello stesso. In questo modo si può adattare la nota fondamentale dello strumentoall'accordatura degli altri strumenti presenti (compensando l'effetto delle variazioni di temperatura ecc.), ma nonalterare gli intervalli fra le diverse note della scala: questi tuttavia possono essere corretti, secondo le necessità, almomento dell'emissione della nota, agendo sull'imboccatura e/o sulla pressione dell'aria.Strumenti come il violino od altri archi ad intonazione libera richiedono di accordare unicamente le corde vuote,mentre gli strumenti a tastiera, come il pianoforte, necessitano l'accordatura di ogni singola nota. Negli strumentidotati di tastatura non fissa (come il liuto o la viola da gamba), oltre all'accordatura delle corde vuote occorre talvoltaverificare la posizione dei tasti sul manico.Il suono di riferimento per l'accordatura può essere un diapason o un accordatore elettronico; in orchestra, glistrumenti ad arco si accordano subito prima dell'esecuzione basandosi sul la emesso dall'oboe.Attualmente nella musica di derivazione occidentale l'intonazione prevalente è quella del temperamento equabile, mafino al XIX secolo (ed in certi casi anche oggi) venivano usati altri sistemi: ad eccezione dell'accordatura basata sullascala pitagorica, in uso nell'antichità e nel medioevo, gli intervalli non saranno quindi puri, ma stretti o larghisecondo il temperamento secondo cui si accorda.

Accordatura della chitarraNel caso di una chitarra classica moderna a sei corde, l'accordatura standard è Mi - La - Re - Sol - Si - Mi dalla cordapiù grave alla più acuta (Mi cantino). L'accordatura rispetto a determinate frequenze standard (es. 440 Hz per la notaLa in ottava centrale) si misura attraverso opportuni strumenti detti accordatori.Si può accordare uno strumento anche "a orecchio"; infatti suonando con il diapason un LA si può accordare la cordaLa dello strumento per poi accordare le altre corde producendo un armonico sul 5° tasto della corda LA da farcorrispondere all'armonico prodotto sul 7° tasto della corda Re. Avendo accordato la corda Re si produce quindi unarmonico sul suo 5° tasto e si fa corrispondere all'armonico prodotto sul 7° tasto della corda Sol, per accordare il Mibasso produrre l'armonico della corda La sul 7° tasto e farlo corrispondere all'armonico del suo 5° tasto, peraccordare il Mi cantino produrre l'armonico al 7 tasto della corda La per farlo corrispondere al Mi cantino suonato avuoto, per accordare il Si produrre l'armonico al 7 tasto della corda Mi basso per farlo corrispondere al Si suonato avuoto.Esistono diverse accordature per chitarra, gli esempi più noti sono quelle in Mib e Re: nella prima l'accordatura standard Mi - La - Re - Sol - Si - Mi viene abbassata di un semitono, ottenendo Re# - Sol# - Do# - Fa# - La# - Re#, mentre nella seconda l'accordatura standard è abbassata di un tono, ottenendo Re - Sol - Do - Fa - La - Re. Queste accordature producono suoni più gravi, che la distorsione della chitarra elettrica rende particolarmente pesanti e violenti, ecco perché sono le accordature più utilizzate dai gruppi metal (in particolare dai gruppi Death metal). Abbiamo, inoltre, centinaia di accordature non convenzionali, nelle quali la distanza tonale standard fra le corde (quella dell'accordatura Mi - La - Re - Sol - Si - Mi) non viene rispettata. Queste accordature vengono usate per ricreare effetti particolari, facilitare la formazione di accordi e, soprattutto sulle chitarre a più manici, ricreare un

Accordatura 80

accordo suonando corde "vuote".

Accordature aperteL'accordatura è aperta quando le corde della chitarra suonate a vuoto producono un accordo. Le principali sonoquella in Sol (Re, Sol, Re, Sol, Si, Re), in Re (Re, La, Re, Fa#, La, Re), in Mi (Mi, Si, Mi, Sol#, Si, Mi), in Do (Do,Sol, Do, Sol, Do, Mi).Esempio (Sol):•• Abbassare 6 corda Re•• abbassare 5 corda Sol•• 4 corda normale•• 3 corda normale•• 2 corda normale•• abbassare 1 corda Re

Accordature modaliLe corde della chitarra con l'accordatura modale producono un accordo di quarta sospesa (1, 4 e 5 al posto di 1, 3 e5).Esempio (Re):•• Abbassare 6 corda Re•• 5 corda normale•• 4 corda normale•• 3 corda normale•• Abbassare 2 corda La•• Abbassare 1 corda a Re

BibliografiaStuart Isacoff, "Temperamento - Storia di un Enigma Musicale", ed. EDT, Torino, 2005

Voci correlate•• Temperamento (musica)

Collegamenti esterni• Pdf musicale con tutti gli accordi [1]

de:Accordatura en:Tuning ja:調 律 pt:Afinação

Note[1] http:/ / gobilumusic. wordpress. com/ 2009/ 03/ 06/ kit-accordi-co/

Intonazione 81

IntonazioneL'intonazione è una caratteristica fondamentale del suono in ordine alla sua altezza. Esprime la differenza tra lafrequenza di un suono ed un suono di riferimento: è giusta se il suono emesso ha pari frequenza; è falsa, ossiastonata, quando il suono emesso ha frequenza leggermente più bassa (calante), o più alta (crescente) di quella sceltacome riferimento.La deviazione dell'intonazione di strumenti musicali rispetto a determinate frequenze standard di scale musicali (es.440 Hz per la nota LA in ottava centrale nel temperamento equabile) si misura attraverso opportuni strumenti dettiaccordatori oppure prestando attenzione al fenomeno dei battimenti.

Strumenti a fiatoL'intonazione degli strumenti a fiato dipende da molteplici fattori. Dallo strumentista dipendono la tecnica diimboccatura, di respirazione e di produzione del suono, oltre all'acquisto di strumenti ed imboccature di buonafattura. Meno controllabili sono la temperatura e la percentuale di anidride carbonica del fiato. Dall'ambiente in cui sisuona e dalla musica eseguita dipendono altri parametri, quali la temperatura e l'umidità, la differenza di temperaturatra la parte iniziale dello strumento (influenzata dalla temperatura del fiato) e quella finale (più sensibile allatemperatura dell'ambiente), le variazioni di dinamica richieste (piano o forte, crescendi).Per ottenere un'esecuzione intonata intervenendo sullo strumento, si modifica di qualche millimetro la lunghezza deltubo sonoro, allungando o accorciando il tubo stesso all'altezza dell'imboccatura o di un'apposita sezione di tuboestraibile. Il più comune problema di intonazione è legato al fatto che questa cresce con l'aumentare dellatemperatura dell'aria contenuta nella colonna, e quindi lo strumento tende ad avere un'intonazione più alta man manoche si suona. Questo fenomeno viene compensato dal musicista scaldando opportunamente lo strumento(suonandolo) prima di accordare e di esibirsi, oppure allungando progressivamente il tubo durante l'esibizione. Nellaprima metà del Novecento, alcune aziende credettero di aiutare a risolvere questi problemi con l'adozione dimicrotuner meccanici, in cui la lunghezza della colonna d'aria veniva modificata ruotando una vite (con unmovimento quindi più omogeneo e facilmente controllabile rispetto all'estrazione in senso longitudinale di unaporzione di tubo). Resta inteso che lo strumentista con un orecchio ben educato è in grado di aggiustare l'intonazionedi ogni suono in entrambe le direzioni solo con l'ausilio di modifiche nell'imboccatura e/o grazie all'uso di appositeposizioni correttive delle chiavi o dei pistoni.

Strumenti a cordaLe corde vuote (ovvero vibranti per tutta la loro lunghezza) vengono intonate agendo su apposite meccaniche emodificando la loro tensione. Questa, assieme alla lunghezza ed allo spessore della corda, determina la frequenza divibrazione.Quando il musicista preme sulla corda per modificarne la lunghezza e quindi l'altezza del suono prodotto,automaticamente ne aumenta anche la tensione: quindi, tutte le note tastate suoneranno tendenzialmente crescenti.Negli archi è l'orecchio del musicista a correggere questo fenomeno spostando leggermente il dito. Nel caso distrumenti dotati di tasti (come chitarra e mandolino) viene risolto in fase di progettazione angolando leggermente ilponte, cioè il punto in cui le corde entrano in contatto con la cassa armonica. In questo modo le note tastate risultanotutte crescenti in ugual misura. Mollando allora la tensione della corda si ottiene la intonazione di tutte le notetastate. A questo punto però il suono delle corda vuota risulterà più basso rispetto alle corde tastate. Per la suaintonazione occorrerà quindi accorciare leggermente la corda vuota spostando (sempre in fase di progettazione) ilcapotasto verso il primo tasto, alzando cosi il suo suono. Per ottenere una giusta intonazione degli strumenti a cordacon tasti (dando per scontato che i tasti siano posizionati correttamente), occorrono quindi due compensazioni, sia alponte sia al capotasto.

Intonazione 82

Strumenti elettroniciNel caso dei sintetizzatori, dove il suono viene prodotto grazie a circuiti elettronici ed è indipendente da variabiliacustiche e umane, è possibile ottenere un'intonazione molto precisa. Di norma questi strumenti prevedono lapossibilità di suonare con intonazioni differenti dal temperamento equabile (standard ormai affermato a livelloplanetario) tramite dispositivi di controllo microtonale detti microtuner, sia sotto forma di "preset" (schemi diaccordatura predeterminati in base a modelli storici), sia agendo indipendentemente su ogni singolo suono.Il grande problema d'intonazione dei Moog è dovuto alla legge logaritmica delle giunzioni PN, meglio nota comeLegge di Ebers-Moll, in cui compare la variabile temperatura, purtroppo non compensata da sistemi adeguati

Intonazione delle scaleSi parla di intonazione anche in riferimento alle singole note delle scale musicali. All'interno del temperamentoequabile tutte le 12 note dell'ottava sono equidistanti (un semitono temperato), ma in altri sistemi musicali(principalmente modali) le note della scala formano, rispetto alla tonica, intervalli che non combaciano con quelli deltemperamento equabile, e la loro corretta intonazione viene giudicata unicamente in base all'orecchio del musicista edell'ascoltatore.Ad esempio nella musica indiana le note assumono diverse sfumature di intonazione, che le rendonoespressivamente molto diverse, a seconda del contesto in cui sono usate, anche se un orecchio abituato unicamente altemperamento equabile fatica inizialmente a percepire queste differenze.

Altri significatiPiù raramente per intonazione si intende l'inflessione generale con cui si esegue il brano.Nel XVI secolo, e anche in seguito, il termine indicò un breve preludio strumentale, per lo più organistico, cheserviva di introduzione a un brano vocale sacro.

BibliografiaStuart Isacoff, "Temperamento - Storia di un Enigma Musicale", ed. EDT, Torino, 2005Roberto Perinu, "La Musica Indiana", ed. Zanibon, Padova, 1981bg:Интонация cs:Intonace (hudba) da:Intonation de:Intonation (Musik) en:Intonation (music) es:Entonación(música) fr:Intonation musicale he:אינטונציה (מוזיקה) nl:Intonatie (muziek) simple:Intonation (music) sv:Intonation(musik) tg:Оҳанг (мазмунҳо)

Principio di indeterminazione tonale 83

Principio di indeterminazione tonaleIl principio di indeterminazione tonale è una legge dell'acustica analoga al più noto principio di indeterminazionedi Heisenberg per la fisica atomica. Secondo tale principio, un suono non può mai essere completamente "puro", cioèessere composto da un'unica onda sonora con frequenza ben determinata. In pratica, infatti, compaiono altrecomponenti oltre al tono fondamentale (ipertoni); oltre a ciò, a seconda della durata del suono vi è una produzione dionde con frequenza diversa (anche se di poco) dalla fondamentale. Dunque vi è una indeterminazione del tonoemesso che impedisce di conoscere con precisione assoluta la frequenza fondamentale di un suono qualunque.

I pacchetti d'ondaLe onde sonore sono limitate nel tempo, quindi il comportamento di un suono non è descritto esattamente da un'ondastazionaria: si parla invece di pacchetti d'onda. Un pacchetto d'onda è dato da una combinazione di due onde: l'onda portante o fase, che rappresenta l'andamento dell'intensità sonora con il tempo, e l' onda modulante o inviluppo,che rappresenta il suono emesso.

L'espressione matematica del principioPer un suono di durata , vale la relazione

dove f è la larghezza della banda di frequenze nel pacchetto d'onda intorno alla frequenza centrale propria deltono fondamentale. In pratica si tratta della gamma di frequenze emesse insieme alla fondamentale, che rendono ilsuono impuro.

Principio di indeterminazione tonale 84

ConseguenzeSecondo il principio di indeterminazione tonale non è possibile realizzare un pacchetto d'onda rigorosamentemonocromatico (cioè con una frequenza pura). Infatti, più la durata del suono è breve e più è grande la gamma difrequenze diverse dalla fondamentale. Il limite f = 0 si ha solo per un suono di durata infinita.Un esempio pratico può essere la pizzicatura di una corda di chitarra, ad esempio per eseguire un .Realisticamente, poniamo t = 1/20 s. Allora è chiaro che

vale a dire più della differenza tra il do4 (261.6 Hz) e il do4 diesis (277.2 Hz).

Andreas WerckmeisterAndreas Werckmeister (Benneckenstein, 30 novembre 1645 – Halberstadt, 26 ottobre 1706) è stato uncompositore, organista e teorico della musica tedesco.

BiografiaNato in Germania a Benneckenstein, Andreas Werckmeister studiò a Nordhausen ed a Quedlinburg. Ricevetteun'istruzione musicale dagli zii Heinrich Christian Werckmeister e Heinrich Victor Werckmeister. Nel 1664 divenneorganista nella città di Hasselfelde; nel 1674 si trasferì a Elbingerode; e infine nel 1696 fu organista dellaMartinskirche in Halberstadt.Werckmeister oggi è conosciuto e ricordato soprattutto come teorico della musica, che lui chiama scientiamathematica [1]; nelle sua opere Musicae mathematicae hodegus curiosus oder richtiger musicalischer Weg-Weiser(1686) e Musicalische Temperatur (1691) egli conia il termine buon temperamento (in tedesco WohltemperierteStimmung), che designa qualsiasi sistema di accordatura che permettesse di suonare in tutte le tonalità, in contrastocon il temperamento mesotonico di uso corrente nei secoli XVI e XVII [2]. Descrisse inoltre un sistema di talitemperamenti, i temperamenti Werckmeister.Gli studi di Werckmeister erano particolarmente noti a Johann Sebastian Bach, in particolare quelli riguardanti ilcontrappunto ed il temperamento. Si ritiene che Il clavicembalo ben temperato di Bach fosse stato composto tenendoben presenti gli studi teorici di Werckmeister e fornendo ad essi un valido sostegno [3].Werckmeister pensava che un contrappunto ben costruito, specialmente il contrappunto doppio [4][5], rispecchiasseun ordine celeste, analogamente a Keplero [6], rifacendosi al concetto dell'armonia delle sfere. Secondo diversistudiosi [1][7], nessun altro musicista del suo tempo considerò così inequivocabilmente la musica come il risultatofinale dell'opera di Dio, il che lo accomuna ancora a Bach.

Scritti• Musicae mathematicae hodegus curiosus oder richtiger musicalischer Weg-Weiser (1686)• Musicalische Temperatur (1691)• Hypomnemata Musica (1697)• Erweiterte und verbesserte Orgelprobe (1698)• Die nothwendigste Anmerkungen und Regeln (1698)• Cribum Musicum (1700)• Harmonologia Musica (1702)• Musicalische Paradoxal-Discourse (1707)

Andreas Werckmeister 85

ComposizioniDelle sue composizioni rimangono solo dei brani per violino e basso continuo dal titolo Musikalische Privatlust(1689) e una cantata natalizia, Wo ist der Neugeborne König der Juden.

Note[1] Alessandra Padula, Consonanze: Dizionario di acustica, psicoacustica e accordatura di strumenti a tastiera, Grin Verlag, 2008, p. 110. ISBN

978-3-638-94758-9[2] Con il temperamento mesotonico, per poter suonare in tonalità con molte alterazioni in chiave era necessario avere uno strumento costruito

appositamente con tasti distinti, ad esempio, per il RE# e il MIb, che in quel temperamento hanno altezze diverse. Ciononostante, iltemperamento mesotonico continuò ad essere ampiamente usato per l'accordatura gli organi a canne fino alla metà del XIX secolo.

[3] A. Frova, Fisica nella musica, Bologna, ed. Zanichelli, 1999, p. 215. ISBN 978-88-08-09012-6[4] (EN)Journal of the American Musicological Society, Vol. 51, p. 212[5] (EN) George B. Stauffer in Journal of the American Musicological Society, vol. 58, 2005, p. 711.[6] Giovanni Keplero, Harmonices Mundi, 1619[7] (EN) George J. Buelow, Andreas Werckmeister, Grove Music Online

Bibliografia• A. Frova, Fisica nella musica, Bologna, ed. Zanichelli, 1999. ISBN 978-88-08-09012-6• Giuseppe Radole, Le registrazioni organistiche nelle culture europee: dal 1500 al 2000, Pizzicato, 2001 ISBN

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www. grovemusic. com) (URL consultato il 7 maggio 2006)

bg:Андреас Веркмайстер ca:Andreas Werckmeister de:Andreas Werckmeister en:Andreas Werckmeistereo:Andreas Werckmeister fr:Andreas Werckmeister nl:Andreas Werckmeister no:Andreas Werckmeisterru:Веркмейстер, Андреас sl:Andreas Werckmeister uk:Андреас Веркмейстер

Fonti e autori delle voci 86

Fonti e autori delle vociPremessa  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41050131  Autori:: M7, Marcok, Oile11, 1 Modifiche anonime

Intervallo  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42847894  Autori:: Alien life form, Biopresto, Bouncey2k, Bultro, Civvì, Diesis, Easyfede, Fabrizio bastianini, Fredericks, Frieda,MM, Martaericaarosio, Maupec, Megalexandros, Mitchan, Mtt, Paginazero, Phantomas, Sbisolo, Snowdog, Strk, Tener, Torsolo, Twice25, Viames, WEISSER.WOLF, Wolfgang, 35 Modificheanonime

Semitono  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43660114  Autori:: Alfreddo, Andrydeki, Ares, Biopresto, Cacao74, No2, Sbisolo, Snowdog, Solaro, Stemby, Tener, Torsolo,Triquetra, Viames, 14 Modifiche anonime

Tono  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=16745343  Autori:: Alfreddo, Alien life form, Ary29, Biopresto, Fredericks, Jkbw, Jotar, Sbisolo, Stemby, Tener, Viames, 2 Modificheanonime

Cent  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42987052  Autori:: .mau., Biopresto, Ciapistess, Fabrizio bastianini, Fredericks, Giannib, M7, Marco.heifetz, Roberto.zanasi, Simone,Stemby, Suisui, Tener, Viames, 4 Modifiche anonime

Scala musicale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45659019  Autori:: Al Pereira, Aleragusa, Biopresto, Deltasun, Fabrizio bastianini, Fredericks, Frieda, Giannib, Gliu, GuybrushThreepwood, Hashar, Hate-within, Joana, K92, Klaudio, LaPizia, M.Salva, OrbiliusMagister, Pabform, Pinea, Rikwiki, Rojelio, Suisui, Tener, Twice25, Viames, 17 Modifiche anonime

Scala diatonica  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44510765  Autori:: Al Pereira, Alfreddo, Biopresto, Brownout, Captivo, DaVid83, Davide, Elcairo, Fafabifiofo, Fredericks,Frieda, Giannib, Guybrush Threepwood, Gwilbor, Incola, K92, Luciano.comelli, Marcol-it, Mau db, Phantomas, Popop, SbiellONE, Schianto, Sith Lord, Taueres, Twice25, Valepert, Viames, 23Modifiche anonime

Scala cromatica  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45604784  Autori:: Biopresto, Frieda, Giannib, Ivanm, Jotar, Luckyz, M7, Mark91, Maxcip, Mitchan, Moloch981, No2,Panapp, Snowdog, Una giornata uggiosa '94, Viames, WikiZen, 14 Modifiche anonime

Circolo delle quinte  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42581864  Autori:: Biopresto, Dave82, Grigio60, Houtlijm, Marcol-it, Mitchan, Panapp, Stemby, Taueres, Tener, Tiasolzago, Tobia09, Viames, 10 Modifiche anonime

Rapporto tra musica e matematica  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47632381  Autori:: .mau., Airon90, Alberto da Calvairate, Alfreddo, Alien life form, Biopresto, Blakwolf,Buggia, Carlo Bovi, CavalloRazzo, Cesalpino, Daski, Deltasun, F l a n k e r, Fredericks, Freude.schoner.gotterfunken, Frieda, Giannib, IlCapo, K92, KS, LM77, MM, MaEr, Megalexandros,Mizardellorsa, Mpitt, Nickanc, Nihil, No2, Orkolorko, Panairjdde, PersOnLine, Qbert88, Ramac, RiccardoP1983, Sir marek, SirEbenezer, Snowdog, Tarlo88, Ticket 2010081310004741,Twice25, 23 Modifiche anonime

Battimenti  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47632372  Autori:: .mau., A7N8X, Alien life form, AttoRenato, Beta16, Biopresto, Caracalla, Cruscant3, Franz Liszt,Freude.schoner.gotterfunken, GSedioli, Gep, Giannib, Ivanm, LUIGIIORIO89, M7, Nick, No2, Oks, RiccardoP1983, Tagt The Spellcaster, Twice25, Viames, 17 Modifiche anonime

Consonanza e dissonanza  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46653645  Autori:: Alien life form, Ares, Biopresto, Cesalpino, Doduz, Enrico Greco, Eumolpo, Fredericks,Giannib, Megalexandros, Strabismo, Tino 032, Twice25, Viames, 16 Modifiche anonime

Temperamento  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47624865  Autori:: .mau., Alec, Amux, Biopresto, Bouncey2k, Ciro07, Eleinad, Fabrizio bastianini, Filos96, Fredericks, Gac,Guido Magnano, Guybrush Threepwood, LapoLuchini, Nickanc, No2, RiccardoP1983, Rutja76, Sardur, SirEbenezer, Stemby, Tener, Wiki editor 001, Yoruno, ^musaz, 22 Modifiche anonime

Armonici naturali  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47560391  Autori:: Alfreddo, Alien life form, Arka, Biopresto, Davide, Demaag, Ediedi, Fabrizio bastianini, Fredericks,Houtlijm, K92, Læti, No2, Pequod76, Punkettaro, Q Valda, Salvatore Ingala, Shadowfax, TierrayLibertad, Torsolo, Viames, 21 Modifiche anonime

Armonici artificiali  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41569228  Autori:: Ares, Biopresto, Davide, Fabiowiki, Martaericaarosio, Moroboshi, Nickanc, No2, Pequod76,Punkettaro, Snowdog, TierrayLibertad, Torsolo, Viames, Wikit2006, 5 Modifiche anonime

Comma  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44399870  Autori:: .mau., Antonio Caruso, Biopresto, Fabrizio bastianini, Fredericks, Giannib, K92, M7, MartinBk, No2, Otrebla86,Silas Flannery, Tobia09, Uranie, Viames, 6 Modifiche anonime

Scala pitagorica  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47624773  Autori:: Alec, Alfreddo, Arnaut, Biopresto, Cesalpino, Fredericks, Guido Magnano, Guybrush Threepwood, K92,Marcok, No2, RiccardoP1983, Semaema, Sir marek, Ticket 2010081310004741, 4 Modifiche anonime

Temperamento equabile  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47624807  Autori:: .mau., Alediano, Amos, Ares, AttoRenato, Biopresto, Calabash, Eumolpo, Fredericks, GuidoMagnano, HarpsiMario, Luciano.comelli, RiccardoP1983, Roberto.zanasi, Sir marek, SirEbenezer, Torav, Torsolo, Ulisse0, Uomo Ubriaco, Viames, Vinfinity, 16 Modifiche anonime

Temperamento mesotonico  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47624788  Autori:: .mau., .snoopy., Alfreddo, Biopresto, Fredericks, Guido Magnano, K92, RiccardoP1983,Senet, Sir marek, SirEbenezer, 6 Modifiche anonime

Temperamento naturale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=28739239  Autori:: Alec, Alfreddo, Biopresto, Buggia, Captivo, Dia^, Fabrizio bastianini, Fredericks, Houtlijm, K92,Luciano.comelli, Nrykko, Oliva18, Pequod76, Viames, Wetto, 13 Modifiche anonime

Musica nell'antica Grecia  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47512186  Autori:: Accurimbono, Acis, Alfreddo, Anoixe, Ask21, AttoRenato, Avemundi, Biopresto, Borgil,Bouncey2k, Calabash, Chrono256, Codas, Crypto, Domenico De Felice, Fiaschi, Filos96, Formica rufa, Frigotoni, Guido Magnano, Ianezz, Kaspo, Kibira, Lawrel, Lorenzo Taddei, Loryhope,Lucio Di Madaura, Machi67, ManuBach96, Mark91, Meat Puppet, Moonkissed, No2, Panairjdde, Phantomas, Quoniam, Ripepette, Sailko, Senpai, Sensen, Simo ubuntu, Supersanto, Taueres,Tener, Tino 032, Triquetra, Twice25, 68 Modifiche anonime

Il clavicembalo ben temperato  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47624884  Autori:: Al Pereira, Alien life form, Bass92, Biopresto, Bouncey2k, Costanzocos, Cruccone,Deblu68, Dr Zimbu, Etienne, Eumolpo, Guido Magnano, Hashar, Leonard Vertighel, Leporello, M7, MM, Megalexandros, Moloch981, Nickanc, Pino Pinto, RiccardoP1983, Sbisolo, Senet,Simone, Snowdog, Una giornata uggiosa '94, Utonto, Valeriodistefano, Vomitron, 16 Modifiche anonime

Musica microtonale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46706940  Autori:: Al Pereira, Avesan, Filos96, Iannigb, Iranief, Lorenzo Frizzera, Mauro Lanari, No2, Noel01,Pracchia-78, Taueres, Tetraf, Tirinto, 13 Modifiche anonime

Onda sonora  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47431319  Autori:: *Raphael*, .snoopy., Adfc, Andrea Monaco, Biopresto, Calabash, Gassendi, GiuseppeMassimo, Gnumarcoo,Guidomac, Jaqen, Johnlong, Libertariodemi, No2, Omino di carta, Osk, PersOnLine, Qbert88, Taueres, Unriccio, 24 Modifiche anonime

Altezza dei suoni  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47157109  Autori:: .snoopy., Afnecors, Alfio, Amux, Assianir, Beatrice, Biopresto, Davide, Emj antonin, Frieda, Gacio,Giannib, GiovaneScuola2006, Gwilbor, LupoCapra, Melos, No2, Paginazero, Retaggio, Tener, 15 Modifiche anonime

Accordatura  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40140033  Autori:: Al Pereira, Alfreddo, Amos, Antanth, Biopresto, Captivo, CavalloRazzo, Ettore Scarlino, Giulianorock,Guido Magnano, Jiang90, Kaptain, Marcol-it, Melanogaster, Mitchan, Pagag, Rael, Senpai, Tino 032, Torsolo, Wiki editor 001, Yuri refolo, 16 Modifiche anonime

Intonazione  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40221614  Autori:: .snoopy., Antanth, Captivo, Cialz, Gacio, Ivanm, K.Schwingenstein, Mitchan, No2, Paginazero, Rojelio, TheDoc, Wiki editor 001, 9 Modifiche anonime

Principio di indeterminazione tonale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40800259  Autori:: Arka, No2, SirEbenezer

Andreas Werckmeister  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47471845  Autori:: Dr Zimbu, Guido Magnano, Nickanc, No2, RiccardoP1983, Superchilum

Fonti, licenze e autori delle immagini 87

Fonti, licenze e autori delle immaginiFile:Intervalli musicali.JPG  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Intervalli_musicali.JPG  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Guybrush Threepwood,Snowdog, WolfgangFile:Tavola_degli_intervalli_sul_pentagramma.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Tavola_degli_intervalli_sul_pentagramma.jpg  Licenza: Public domain  Autori::Giac83, MaupecImmagine:Commons-logo.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Commons-logo.svg  Licenza: logo  Autori:: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Immagine:Pianoclavier.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Pianoclavier.jpg  Licenza: Public Domain  Autori:: Kilom691, Megodenas, Wst, 1 Modifiche anonimeFile:C maj.png  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:C_maj.png  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Aliparsa, Bdesham, Cdang, Cohesion, Dodo, Doodledoo,EnEdC, Feijoo, Spacebirdy, 1 Modifiche anonimeFile:C mag.PNG  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:C_mag.PNG  Licenza: Attribution  Autori:: Cdang, Feijoo, Joolz, Ofeky, Paddy, YonidebestImage:Chromatic scale full octave ascending and descending on C.PNG  Fonte::http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Chromatic_scale_full_octave_ascending_and_descending_on_C.PNG  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Chrupoš, Conscious,Hyacinth, Luckas Blade, Mikhail Ryazanov, SantosgaImage:Chromatic scale2.png  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Chromatic_scale2.png  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Feijoo, MuWi, UncopyImage:Chromatic scale.png  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Chromatic_scale.png  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Feijoo, MuWi, UncopyImmagine:Circolo delle quinte.JPG  Fonte:: 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 Autori:: EDUCA33E,G.dallorto, Jastrow, Lotje, Léna, MiniwarkImmagine:Segui progetto.png  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Segui_progetto.png  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori:: Archenzo, Filnik, Pil56, TrixtFile:Dwtk-titlepage.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Dwtk-titlepage.jpg  Licenza: Public Domain  Autori:: User:JoonaslImmagine:Flat.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Flat.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: っFile:DwtkII-as-dur-fuga.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:DwtkII-as-dur-fuga.jpg  Licenza: Public Domain  Autori:: Akumiszcza, Alton, Antilived, Dmitrismirnov,Duesentrieb, Mattes, TeebeutelFile:Sharp.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Sharp.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: っFile:Onda_sonora.jpg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Onda_sonora.jpg  Licenza: Public domain  Autori:: Jacopo, PersOnLineImmagine:Pacchettodonda.GIF  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Pacchettodonda.GIF  Licenza: Public domain  Autori:: Arka, Laurentius

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