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オプション取引オプションのペイオフ関数プット・コール・パリティオプションの活用オプションの合成戦略

オプション分析入門１ファイナンス論 II

山嵜　輝

法政大学経営学部

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内容

1 オプション取引

2 オプションのペイオフ関数

3 プット・コール・パリティ

4 オプションの活用

5 オプションの合成戦略

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オプション取引






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オプション

オプション

オプション（option、European option）とは、将来の特定の期日（オプション満期）に契約当初に定められた量の原資産を定められた価格（行使価格、strikeprice）で取引する権利であり、次の 2つがある

コールオプション（call option）オプション満期に定められた量の原資産を行使価格で買う権利

プットオプション（put option）オプション満期に定められた量の原資産を行使価格で売る権利

オプション取引は権利であって義務ではない点で先物、先渡、スワップなどのデリバティブと異なる

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オプション取引には次の 4つがある1 コールオプションの買い「買う権利 = コールオプション」を買う取引

2 コールオプションの売り「買う権利 = コールオプション」を売る取引

3 プットオプションの買い「売る権利 = プットオプション」を買う取引

4 プットオプションの売り「売る権利 = プットオプション」を売る取引

代表的なオプションに、個別株オプション（個別株式）、株価指数オプション（株価指数先物）、債券先物オプション（債券先物）、債券現物オプション（債券）、通貨オプション（通貨）がある

オプション取引では、契約当初にオプションの買い手がオプションの売り手にオプション料（オプションの価格、オプションのペイオフの現在価値）を支払う必要があり、これをオプション・プレミアム（option premium）もしくは単にプレミアムという

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コールオプションの取引関係図

コールオプション取引の例（コールの買い）

Aさんは B証券会社から C社の株式コールオプション（オプション満期 1年、行使価格 100円、現在の C社株価 90円）をプレミアム 10円で購入した

Figure:コールオプションの取引関係図

現時点（契約当初）オプション・プレミアム 10円

コールオプション（CFではない）

1年後（オプション満期）ケース１：C社株価が行使価格100円以上だったとき

行使価格 100円

C社株価 S_1=180円

ケース２：C社株価が行使価格100円以下だったとき


Aさん B証券

Aさん　権利行使 B証券

Aさん　権利行使せず B証券

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コールオプションの矢印図

Figure: Aさんからみたコールオプションの矢印図

ケース１：C社株価が行使価格100円以上だったときC社株価　権利行使S_1=180円

　現時点　1年後　プレミアム10円行使価格　（オプション満期）

100円

ケース２：C社株価が行使価格100円以下だったときC社株価　権利行使せずS_1=40円

　現時点　1年後　プレミアム10円　（オプション満期）

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コールオプションの損益とペイオフ

Figure:コールオプション（買い）のペイオフと損益のグラフ

-20

0

20

40

60

80

100

1200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

ペイオフ・損

益（単

位：円

）

Ｃ社株価（単位：円）

ペイオフ

損益

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プットオプションの取引関係図

プットオプション取引の例（プットの買い）

Aさんは B証券会社から C社の株式プットオプション（オプション満期 1年、行使価格 100円、現在の C社株価 90円）をプレミアム 10円で購入した

Figure:プットオプションの取引関係図

現時点（契約当初）オプション・プレミアム 10円

プットオプション（CFではない）

1年後（オプション満期）ケース１：C社株価が行使価格100円以下だったとき


行使価格 100円

ケース２：C社株価が行使価格100円以上だったとき


Aさん B証券

Aさん　権利行使 B証券

Aさん　権利行使せず B証券

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プットオプションの矢印図

Figure: Aさんからみたプットオプションの矢印図

ケース１：C社株価が行使価格100円以下だったとき行使価格　権利行使100円

　現時点　1年後　プレミアム10円 C社株価　（オプション満期）

S_1=40円

ケース２：C社株価が行使価格100円以上だったときC社株価　権利行使せずS_1=180円

　現時点　1年後　プレミアム10円　（オプション満期）

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プットオプションの損益とペイオフ

Figure:プットオプション（買い）のペイオフと損益のグラフ

-20

0

20

40

60

80

100

1200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

ペイオフ・損

益（単

位：円

）

Ｃ社株価（単位：円）

ペイオフ

損益

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例題

問題

1 Aさんが 6ページと同条件で B証券会社に C社株式のコールオプションを売ったとき、Aさんの矢印図及び損益とペイオフのグラフを描け

2 Aさんが 9ページと同条件で B証券会社に C社株式のプットオプションを売ったとき、Aさんの矢印図及び損益とペイオフのグラフを描け

（解答）1

2

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オプションのペイオフ関数






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最大値記号max

最大値記号

数学記号 max(x,y)は値 x と y のどちらか大きい方を出力する関数である

（参考）数学記号 min(x,y) は値 x と y のどちらか小さい方を出力する関数である

例：

1 max(100,20) = 100, max(50,200) = 200, max(−200,0) = 0

2

max(x,50) =

{x x ≥ 50のとき50 x < 50のとき

3

max(x −y,0) =

{x −y x ≥ y のとき0 x < y のとき

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例題

問題

次の式の出力をこたえよ

1 max(−20,20)、 max(0,−120)、 max(−50,−150)

2 max(x,y)−y、 max(x −y,0)+y

（解答）1

2

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コールとプットのペイオフ関数

コールオプションのペイオフ関数

満期時点 T の株価を ST としたとき、行使価格が K の「コールオプション 1単位の買い」のペイオフは次式である

max(ST −K ,0) =

{ST −K ST ≥ K のとき0 ST < K のとき

プットオプションのペイオフ関数

満期時点 T の株価を ST としたとき、行使価格が K の「プットオプション 1単位の買い」のペイオフは次式である

max(K −ST ,0) =

{K −ST ST ≤ K のとき0 ST > K のとき

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例題

問題

満期時点の株価を ST、行使価格を K としたとき、次の問いにこたえよ

1 「コールオプション 1単位の売り」のペイオフ関数を書け

2 「プットオプション 1単位の売り」のペイオフ関数を書け

3 「コールオプション 2単位の買い」のペイオフ関数とそのグラフを書け

4 「プットオプション 2単位の売り」のペイオフ関数とそのグラフを書け

（解答）1

2

3

4

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プット・コール・パリティ






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同じ行使価格のコールとプット

行使価格 K のコールとプット

以下の通り、ある株式に対する同じ行使価格 K、同じ満期 T のコールとプットの取引を同時に行った

1 行使価格 K、満期 T のコール 1単位の買い

2 行使価格 K、満期 T のプット 1単位の売り

取引 1、2のプレミアムとペイオフは以下の通りとする

1 コールのプレミアムは C（支払い）、ペイオフ関数は max(ST −K ,0)

2 プットのプレミアムは P（受取り）、ペイオフ関数は −max(K −ST ,0)

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コール買い・プット売りの矢印図

Figure:コール買い・プット売りの矢印図

ケース１：満期時点の株価S_Tが行使価格K以上だったときコールオプションの買い

株価S_T 　権利行使

　現時点　T年後　プレミアムC 行使価格K 　（オプション満期）

プットオプションの売り　（買手に）権利行使されず

　プレミアムP

　現時点　T年後

ケース２：満期時点の株価S_Tが行使価格K以下だったときコールオプションの買い

　権利行使せず

　現時点　T年後　プレミアムC

プットオプションの売り　（買手に）権利行使される

　プレミアムP 株価S_T

　現時点　T年後行使価格K

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コール買い・プット売りのペイオフ

Figure:コール買い・プット売りのペイオフ

-150

-100

-50

0

50

100

1500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

ペイオフ

満期時点の株価

コールの買い

プットの売り

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複製戦略

オプション戦略と同等の戦略は？

前述のコール買い、プット売りの初期投資コストと満期時点 T のペイオフは以下となる

初期投資コスト C −P

満期のペイオフ max(ST −K ,0)−max(K −ST ,0) = ST −K

（複製戦略）一方、金利が年率 r であるとして以下の投資戦略を実行する

初期時点 0での取引戦略

▶ 株式を 1単位 S0 で購入▶ K

(1+rT) の資金を金利 r で調達

満期のペイオフ ST −K

無裁定条件から、コール買い・プット売り戦略と上述の複製戦略の初期投資コストは等しい

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無裁定条件の下では次の式が常に成り立ち、この関係式をプット・コール・パリティ（put-call parity）とよぶ

C −P = S0 −K

(1+ rT)

だたし、C と P はそれぞれ満期 T、行使価格 K のコールとプットのプレミアム、S0 はオプション取引時点の株価、r は金利

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例題

問題

現時点の株価が 205円のとき、この株式を原資産とする満期 1年、行使価格200円のコールのプレミアムが 16円であった

金利が年率 5%のとき、この株価を原資産とする満期 1年、行使価格 200円のプットのプレミアムを求めよ

（解答）

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オプションの活用






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プットの買いによる取引戦略

プロテクティブ・プット（protective put）

原資産を保有しているときに、プットをプレミアム P で買うことで原資産の価格下落リスクをヘッジする戦略がプロテクティブ・プット

この戦略の合成損益は以下となる

合成損益 = [ST −S0]+ [−P +max(K −ST ,0)]

=

{K −S0 −P ST < K のときST −S0 −P ST ≥ K のとき

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プロテクティブ・プットの損益

Figure:プロテクティブ・プットの損益

-150

-100

-50

0

50

100

1500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200損

益

満期時点の原資産価格

原資産の買い

プットの買い

合成損益

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コールの売りによる取引戦略

カバード・コール（covered call）

原資産を保有しているときに、コールを売ることでプレミアム C 分だけ原資産の価格下落リスクを減少させるとともに、価格上昇時には一定の値上り益を確保する戦略がカバード・コール

この戦略の合成損益は以下となる

合成損益 = [ST −S0]+ [C −max(ST −K ,0)]

=

{(ST −S0)+C ST ≤ K のとき(K −S0)+C ST > K のとき

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カバード・コールの損益

Figure:カバード・コールの損益

-100

-50

0

50

100

1500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

損益


原資産の買い

コールの売り

合成損益

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例題

問題

1 原資産を空売りしているときに、コールを買う戦略の合成損益を書け

2 原資産を空売りしているときに、プットを売る戦略の合成損益を書け

（解答）

1

2

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オプションの合成戦略






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相場上昇を期待する取引戦略

ブル・スプレッド（bull spread）

原資産の価格上昇を期待しているが、損失を一定限度に抑えたいとき以下の 2つの戦略がある

1 低い行使価格 L のコールを買い、高い行使価格 H のコールを売る

合成損益 = [−CL +max(ST −L ,0)]+ [CH −max(ST −H,0)]

=

CH −CL +[H−L ] ST ≥ H のときCH −CL +[ST −L ] L < ST < H のときCH −CL ST ≤ L のとき

2 低い行使価格 L のプットを買い、高い行使価格 H のプットを売る

合成損益 = [−PL +max(L −ST ,0)]+ [PH −max(H−ST ,0)]

=

PH −PL ST ≥ H のときPH −PL +[ST −H] L < ST < H のときPH −PL +[L −H] ST ≤ L のとき

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コールを活用したブル・スプレッドの損益

Figure:コールを活用したブル・スプレッドの損益

-80

-60-40

-200

2040

6080100

1200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

損益


コールC_Lの買い

コールC_Hの売り

合成損益

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プットを活用したブル・スプレッドの損益

Figure:プットを活用したブル・スプレッドの損益

-120

-100-80

-60-40

-200

204060

800 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

損益


プットC_Lの買い

プットC_Hの売り

合成損益

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相場が大きく動くことを期待する取引戦略

ロング・ストラドル（long straddle）

原資産が急上昇、もしくは急落することを期待する戦略として、次のロング・ストラドルがある

（合成戦略）同じ行使価格 K のコールとプットを買う

合成損益 = [−C +max(ST −K ,0)]+ [−P +max(K −ST ,0)]

=

{−[C +P]+ST −K ST ≥ K のとき−[C +P]+K −ST ST < K のとき

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ロング・ストラドルの損益

Figure:ロング・ストラドルの損益

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

1000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

損益


コールの買い

プットの買い

合成損益

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例題

問題

1 原資産の価格下落を期待しているが、損失を一定限度に抑えたいときのオプション合成戦略を考え、その合成損益を書け

2 原資産があまり動かないときにも収益を上げるためのオプション合成戦略を考え、その合成損益を書け

（解答）

1

2

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