iannis xenakis e la composizione attraverso la stocastica

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CONSERVATORIO di MUSICA "G. VERDI" - COMO Corso di diploma accademico di primo livello in discipline musicali Musica elettronica e Tecnologie del suono IANNIS XENAKIS E LA COMPOSIZIONE ATTRAVERSO LA STOCASTICA Relatore M° Marco MARINONI Tesi finale di: Giuliano ANZANI Matr. 3048 Anno accademico 2013-2014

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Page 1: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

CONSERVATORIO di MUSICA "G. VERDI" ­ COMO

Corso di diploma accademico

di primo livello in discipline musicali

Musica elettronica e Tecnologie del suono

IANNIS XENAKIS E LA COMPOSIZIONE ATTRAVERSO LA

STOCASTICA

Relatore

M° Marco MARINONI

Tesi finale di:

Giuliano ANZANI

Matr. 3048

Anno accademico 2013-2014

Page 2: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

Dovremmo fare sempre come se fossimo su un ponte

traballante: dovremmo provare ad attraversarlo senza poter

sapere se così facendo andiamo incontro alla caduta o alla

continuità.

I. Xenakis

Page 3: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

Indice

1. Introduzione ........................................................................................................................ 1

2. La stocastica nella composizione musicale ......................................................................... 4

2.1. La crise de la musique sérielle ..................................................................................... 4

2.2. Metastasis ..................................................................................................................... 6

2.3. Pithoprakta ................................................................................................................... 8

3. Musica stocastica e codifica .............................................................................................. 12

4. Nuove proposte formali ..................................................................................................... 26

4.1. La crisi della serie di Fourier ..................................................................................... 26

4.2. Microcomposizione e distribuzioni di probabilità ..................................................... 29

4.3. Concetto di variazione poligonale ............................................................................. 32

5. GENDY ............................................................................................................................. 34

5.1. Descrizione dell'algoritmo di sintesi stocastica dinamica .......................................... 36

5.2. Architettura stocastica ................................................................................................ 43

5.3. Implementazione GENDY ......................................................................................... 45

5.4. GENDY nel live electronics ...................................................................................... 57

6. Conclusione ....................................................................................................................... 61

Appendice: Creare dal "nulla" .................................................................................................. 63

Bibliografia ............................................................................................................................... 69

Page 4: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

1

1. Introduzione

Nel presente lavoro si effettuerà un'analisi della produzione musicale stocastica di Iannis

Xenakis dal 1953-1954, anno della composizione di Metastasis, al 1994, quando realizzò

l'S709, sfruttando un'estensione dell'algoritmo GENDY.

In quest'arco di tempo, un momento fondamentale dell'evoluzione musicale del

compositore greco fu la pubblicazione, nel 1955, del suo famoso articolo La crise de la

musique sérielle: riflettendo sulla dodecafonia, Xenakis osservò che essa, anziché eliminare il

vincolo della tonalità che aveva regolato la composizione fino a quel momento, aveva

ulteriormente aumentato le restrizioni alla libertà espressiva.

Per ovviare al problema, egli introdusse anche in musica l'uso della stocastica: essa,

avvalendosi del calcolo combinatorio, studia le leggi dei grandi numeri e degli eventi aleatori,

nei quali possono essere compresi anche quelli sonori; rispetto alla dodecafonia, la stocastica

si pone a un livello compositivo superiore, facendo astrazione da tutte le convenzioni e

realizzando un insieme di eventi sonori secondo la successione desiderata.

L'applicazione della stocastica alla musica, secondo il pensiero di Xenakis, è giustificata da

diversi fattori: innanzitutto, la natura del suono è quantica, granulare; in secondo luogo, se a

un momento dato, si effettua una sezione parallela al piano delle frequenze e dei livelli di

ampiezza, l'immagine del suono in quell'istante preciso si presenta come un insieme di nuvole

di punti. La ripartizione geografica di queste nuvole di granuli sonori e la densità di superficie

locale caratterizzano un suono in un dato istante. Le relazioni logiche interne richiedono l'uso

della teoria degli insiemi, mentre quelle d'ordine e di disordine richiedono come misura

l'entropia, poiché la ripartizione in scala microscopica è stocastica.

Page 5: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

2

Un esempio magistrale di utilizzo di questa logica, applicata in particolare ai glissandi, è il

brano Metastasis, per grande orchestra, composto tra il 1953-1954 e realizzato nel 1955 al

Festival di Donaueschingen per la direzione di Hans Rosband.

Trattando di Metastasis, osserveremo (cap. 2) come la stocastica sia stata applicata

sfruttando la formula che descrive la teoria cinetica dei gas messa a punto da Maxwell e

Boltzman: essa, in genere, permette di comprendere la distribuzione delle velocità delle

molecole di un gas a una temperatura conosciuta; in Metastasis, fu al contrario sfruttata per

distribuire le velocità dei glissati, considerati come rette disegnate su di un piano cartesiano e

intrecciate tra loro, ottenendo come prodotto delle masse sonore a variazione continua.

In ultima analisi, nel capitolo 5, si procederà a un approfondimento di GENDY, l'algoritmo

ideato da Xenakis e scritto nel 1991 grazie alla collaborazione del CEMAMu (Centre d'Étude

de Mathématique et Automatique Musicales). La sua elaborazione fu il risultato della lunga

riflessione di Xenakis sulle tecniche usate dai compositori di musica elettronica degli anni '60,

in particolare circa l'utilizzo della serie di Fourier nella sintesi sonora, rispetto alle quali egli è

sempre stato critico.

Xenakis propose infatti un nuovo modello di microcomposizione fondata sulla teoria delle

probabilità. L'obbiettivo era quello di costruire lo spettro di un suono interpretando i suoi

elementi costitutivi come processi stocastici, non più partendo da un elemento unitario e dalla

sua ripetizione nel tempo, ma sfruttando variazioni continue come, ad esempio, il movimento

di una particella intorno a un punto di equilibrio.

Questo presupposto ha rappresentato la base del software GENDY, che è stato utilizzato

per la produzione dei seguenti brani: Gendy3 (1991), Gendy301 (1991) e S709 (1994).

Page 6: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

3

Allo studio del funzionamento dell'algoritmo citato ne seguirà (cap. 5.3) l'implementazione

nel software Pure Data, con la quale cercherò di riprodurre le sonorità tipiche di GENDY in

tempo reale, così da poterne variare i parametri e verificarne direttamente l'effetto.

Nell'ultima sezione (cap. 5.4), presenterò infine un mia personale interpretazione di

GENDY, denominata 8Voices, nel quale ho ripreso l'algoritmo implementato in Pure Data

riproponendolo in una nuova veste, ossia un'interfaccia dedicata al live electronics che

permette la manipolazione della sintesi stocastica prodotta dal vivo e soggetta ai parametri di

interpretazione musicale propri della situazione concertistica.

Page 7: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

4

2. La stocastica nella composizione musicale

2.1. La crise de la musique sérielle

Nel 1955, Iannis Xenakis, nell'articolo La crise de la musique sérielle, apparso sul primo

numero della rivista Gravesaner Blätter, esprimeva la sua insoddisfazione nei confronti della

dodecafonia, affermando che, ben lungi dall'arricchire la fruizione della musica da parte

dell'ascoltatore, la rendeva talmente complessa che riusciva difficilmente comprensibile.

Inoltre, essa veniva meno all'obbiettivo che si era posta: creare un nuovo linguaggio musicale

che superasse i limiti o le rigidità del sistema tonale. Egli osservava:

«La polifonia lineare si autodistrugge a causa della sua attuale complessità. Ciò

che si ascolta è in realtà soltanto un ammasso di note su diversi registri. La

complessità enorme impedisce all'ascoltatore di seguire l'intrecciarsi delle linee,

con l'effetto macroscopico di una dispersione irrazionale e casuale dei suoni su

tutta l'estensione dello spettro sonoro. Di conseguenza, c'è contraddizione tra il

sistema polifonico lineare e il risultato che si sente, che è superficie, massa.

Questa contraddizione inerente alla polifonia scomparirà quando l'impedenza dei

suoni sarà totale. Se infatti le combinazioni lineari e le loro sovrapposizioni

polifoniche non fossero più operative, a contare sarebbe piuttosto la media

statistica degli stati isolati di trasformazione delle componenti a un momento dato.

L'effetto macroscopico sarà allora controllato tramite la media dei movimenti

degli n oggetti da noi scelti. Verrà introdotta, di conseguenza, la nozione di

probabilità, che d'altra parte implica precisamente il calcolo combinatorio.»1

Per risolvere la contraddizione insita nella dodecafonia, Xenakis propone di applicare

anche in ambito musicale la stocastica, in particolare la teoria della probabilità e di

conseguenza il calcolo combinatorio.

La dodecafonia, basata sulla serialità, seguiva uno sviluppo lineare consistente nell'utilizzo

di una serie definita di dodici note poste in relazione soltanto l'una con l'altra, come affermava

lo stesso Schönberg, creatore del metodo. Il suo approccio però non teneva conto delle

variabili che dipendono dall'ambiente.

1 Xenakis, Iannis, "La crise de la musique serielle", Gravesaner Blatter, n. 1, 1955 (tr. it. di Agostino Di Scipio,

Iannis Xenakis - Universi del suono - Scritti e interventi 1955-1994, Milano 2003, p. 29).

Page 8: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

5

«La musica ha avuto e avrà sempre un aspetto sensoriale, per la sua stessa

essenza, un aspetto sensoriale. [...] La musica è un messaggio (veicolato dalla

materia) tra la natura o l'uomo, o un messaggio degli uomini tra loro, perciò deve

poter parlare a tutta la gamma delle percezioni e dell'intelligenza umana.»2

Non si può tuttavia negare che, senza la spinta data dalla serialità, la ricerca musicale del

secondo novecento non avrebbe avuto luogo; nella fattispecie, essa diede a Xenakis lo spunto

per introdurre la teoria della probabilità in campo musicale. La dodecafonia, con la quale la

seconda scuola di Vienna cercò di formalizzare una base funzionale e strutturalista per la

composizione musicale, seguiva una logica seriale deterministica.

Xenakis decise di sfruttarla eliminandone però l'eccessivo rigore e portandola a un livello

più astratto. Egli sfruttò pertanto la teoria della probabilità e la stocastica, teoria matematica,

quest'ultima, che descrive i comportamenti caotici presenti in natura. Nel 1954, Xenakis

definì pertanto il suo approccio musica stocastica, evidenziando così quanto le sue leggi

fossero indispensabili ai fini del controllo dei parametri implicati dal suo personale approccio

compositivo.

La stocastica può essere applicata a tutte le fonti sonore. Essa studia le leggi dei grandi

numeri e degli eventi rari, nei quali si possono includere fenomeni sonori quali, ad esempio, il

frinire delle cicale oppure l'impatto della pioggia su una superficie rigida e risonante o ancora

il suono emesso da un contatore Geiger in presenza di una sostanza radioattiva.

L'interesse di Xenakis nei confronti di questi fenomeni naturali, composti da un vasto

numero di eventi sonori, trova applicazione in una serie di lavori che impiegano i gesti

musicali di natura granulare o continua che possono essere eseguiti da un'orchestra, come i

pizzicati degli strumenti a arco, le percussioni e i glissandi.

2 Op. cit., pp. 29-30.

Page 9: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

6

2.2. Metastasis

Un esempio rilevante di utilizzo di questa logica, applicata in particolare ai glissandi, è il

brano Metastasis, per grande orchestra, composto tra il 1953 e il 1954 e realizzato nel 1955 al

Festival di Donaueschingen per la direzione di Hans Rosband.

Xenakis, nell'opera sopracitata, costruisce un'entità sonora che si evolve sia in modo

continuo che discontinuo; per tale scopo, egli usa come strumento di verifica il glissando

degli strumenti ad arco (un'orchestra può generarne contemporaneamente un numero che

varia tra i quarantacinque e i cinquanta) e le percussioni, in particolare i colpi woodblock.

Xenakis immagina ciascun evento sonoro come una retta compresa tra due punti su un

piano cartesiano in cui si abbia sull'asse delle ordinate una scala in semitoni temperati e

sull'asse delle ascisse il tempo trascorso; egli definisce poi un glissando, in termini

matematici, come il rapporto tra la variazione dei semitoni in un dato lasso di tempo:

g = ∆𝑠

∆𝑡 [1]

dove g = velocità del glissando, Δs = variazione semitoni e Δt = intervallo tempo.

Il compositore greco traduce poi la formula sopra riportata in un grafico dell'intera opera e

successivamente trasforma quest'ultimo in una partitura che descrive uno spazio sonoro a

variazione continua. Il metodo descritto permette a Xenakis di costruire un numero

ipoteticamente infinito di opere musicali attraverso una semplice tecnica esecutiva. Tra l'altro,

la tendenza di Xenakis a partire dalle forme geometriche per poi arrivare a una partitura è

riconducibile anche alla sua attività di architetto: che musica e architettura per lui procedano

in parallelo e si influenzino reciprocamente si vede infatti ad esempio nella struttura del

Page 10: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

7

Padiglione Philips (Bruxelles, 1958) i cui progetti architettonici si ispirarono ai grafici di

Metastasis3.

Il compositore greco controlla poi la tessitura sonora del brano sfruttando la teoria cinetica

dei gas messa a punto da Maxwell e da Boltzman: essa permette di comprendere, in fisica, la

distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a una temperatura conosciuta, e in musica

il parametro della probabilità di esistenza della velocità v in una data ―atmosfera sonora‖

determinata dalla costante di temperatura α, da cui la formula utilizzata:

𝑓(𝑣) = 2

𝛼 𝜋𝑒

−𝑣2

𝛼2 [2]

questa formula rappresenta una distribuzione gaussiana o normale della probabilità di

esistenza della velocità v.

3 Xenakis, Iannis, Formalized Music – Thought and Mathematics in Composition, ―Harmonologia Series N°6‖,

revised edition, Stuyvesant NY, Pendragon Press, 1992, p. 10.

Page 11: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

8

2.3. Pithoprakta

Anche in Pithoprakta, composizione per orchestra d'archi scritta tra il 1955 e il 1956, è

applicata la formula [2] per determinare la velocità dei glissandi a una ―temperatura‖ α = 35.

Nell'immagine alla pagina seguente (Figura 1), si può osservare una rappresentazione grafica

dell'insieme delle suddette velocità su un piano cartesiano che descrive le battute da 52 a 60.

Il tempo è riportato sull'asse delle ascisse (5 cm corrisponde a una semiminima a 26 BPM),

mentre sull'asse delle ordinate è indicata l'altezza (0,25 cm sul grafico corrisponde a un

semitono). Nel grafico è visibile un insieme di segmenti, ciascuno corrispondente a uno

strumento a corda (in totale sono quarantasei); la pendenza delle rette rappresenta la velocità

del glissando.

Il grafico in Figura 1 ha la durata di 18,5 secondi e riproduce 1142 velocità distribuite in 58

valori distinti secondo la legge di Gauss [2].4

Una volta tradotto il grafico in notazione musicale, si ottiene una massa sonora in cui:

le durate non variano;

le altezze sono continuamente modulate;

la densità dei grani sonori è costante;

la dinamica è stabilita a ff;

i timbri non mutano per la durata della sezione.

4 Op. cit., p. 15.

Page 12: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

9

Figura 1: grafico originale di Pithoprakta

Page 13: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

10

Il medesimo percorso matematico interessa due parametri: durata e altezza.

Considerando il tempo come una linea retta su cui vengono inseriti casualmente n punti, la

distanza fra due punti indica la durata di un evento; stabilita una media di punti su un

segmento dato corrispondente a un tempo x, Xenakis si chiede di quanto si possano far variare

le durate ottenute.

Egli risolve il quesito sfruttando le leggi delle probabilità continue, da cui ottiene la

seguente formula di distribuzione:

𝑃𝑥 = 𝛿𝑒−𝛿𝑥𝑑𝑥 [3]

dove δ è la densità lineare dei punti e x è la lunghezza di un segmento qualsiasi. La

deviazione standard è definita da:

𝜎 = 1

𝛿 [4]

di cui Xenakis stabilisce che variazioni di ± 5 σ sono improbabili.

Associando un'altezza a una durata ricavata dal precedente ragionamento, grazie alla

formula di Poisson possiamo ricavare la probabilità di distribuzione di questo parametro:

𝑃𝜇 = 𝜇0𝜇

𝜇 !𝑒𝜇0 [5]

dove µ0 corrisponde alla densità media, μ è una densità qualsiasi e la deviazione standard è

𝜎 = 𝜇0 [6]

all'interno della quale, come per le durate, Xenakis considerava uno scarto tipo di ± 5 σ

improbabile.

Il procedimento effettuato per la distribuzione delle altezze può essere applicato sia alla

dinamica e sia al timbro.

Page 14: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

11

Questo fu il punto di partenza dal quale Xenakis sviluppò il metodo probabilistico che

portò la sua musica a essere definita stocastica.

Attraverso i procedimenti probabilistici, si è in grado di:

1. controllare trasformazioni continue di complessi di suoni granulari e/o di suoni

continui. Variabili come densità, velocità, durata e altezza del suono, se

opportunamente approssimate, sono riconducibili alle leggi dei grandi numeri. Con

l'aiuto di medie e deviazioni standard si possono calcolare le direzioni in cui si

sviluppano gli agglomerati sonori. La più nota - afferma Xenakis - è quella che va

dall'ordine al disordine e viceversa e che introduce il concetto di entropia5;

2. verificare il comportamento di una trasformazione instabile quando si riscontrano

valori molto distanti dalla deviazione standard;

3. costruire atmosfere sonore molto rarefatte avvalendosi di un unico strumento con i

valori ricavati ad esempio dall'applicazione della legge di Poisson;

4. stabilire, mediante la teoria degli errori di Gauss, l'identità di variazione, ossia entro

quali limiti un ritmo iniziale A possa variare senza diventare B. A tal fine, si definisce

staticamente A sulla base della deviazione standard, calcolando le percentuali massime

di variazione ammissibili per mantenere l'identità di A. Il tema dell'identità può inoltre

essere generalizzato non solo al ritmo ma a tutte le componenti del suono e anche a

insiemi di suoni.

5 In meccanica statistica, il temine entropia indica una grandezza riferita a misurare il disordine in un qualsiasi

sistema fisico come ad esempio l'universo.

Page 15: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

12

3. Musica stocastica e codifica

La musica si è sempre basata su convenzioni: regole di composizione e di esecuzione, che,

se da una parte limitavano il compositore costringendolo a rispettare, ad esempio, il vincolo

della tonalità, dall'altra però gli garantivano anche una certa libertà esecutiva. A tal proposito,

la stocastica segna una svolta: alla massima libertà compositiva corrisponde infatti il venir

meno dell'esecutore umano sostituito dal calcolatore, che si limita a eseguire le istruzioni

fornitegli da un algoritmo.

Qualcosa di simile si ritrova nel lavoro del compositore e matematico francese Michel

Philippot: egli applicò infatti alla musica il concetto di "macchina mentale", ossia una serie di

decisioni tradotte successivamente in un algoritmo (ne è un esempio Composition for Double

Orchestra, 1959).

Figura 2: diagramma del primo movimento di Composition for Double Orchestra

Page 16: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

13

Xenakis, ricollegandosi a Philippot, affermava che un'opera musicale può essere vista come

una serie di macchine mentali6. Egli adottò dunque la matematica come strumento

compositivo, mostrandone il valore ai fini della creazione di un nuovo tipo di arte

formalizzata.

Nel 1960, grazie all'amico Georges Boudourius del CNRS (Centre National de la

Recherche Scientifique), il compositore greco poté sperimentare i suoi processi compositivi

basati sulla stocastica sul calcolatore IBM-7090, che possedeva una potenza di calcolo di

circa cinquecentomila operazioni elementari al secondo, producendo ST/10,1-0802627,

eseguito la prima volta nella sede francese della IBM il 24 maggio 1962 dall'Ensemble

Instrumental de Musique Contemporaine di Parigi con la direzione del M° Costantin

Simonovic. La complessità del brano era tale da richiedere un'ora di calcolo da parte della

macchina. ST/10,1-080262 ben esemplifica l'idea di stocastica come percorso compositivo

sospeso tra matematica e musica o, con le parole di Xenakis, "evoluzione musicale che si

svolge nel campo della meta-composizione"8.

In ST/10,1-080262, Xenakis riflette sulla possibilità di costruire, sfruttando la stocastica,

un processo musicale con il minor numero possibile di regole compositive. Egli, come punto

di partenza, ipotizza le seguenti condizioni essenziali di un'opera musicale:

- l'esistenza di una o più sorgenti sonore e di persone che ne usufruiscano, ad esempio un

certo numero di strumenti musicali e di esecutori;

- la capacità dell'esecutore di produrre dei suoni applicando una tecnica musicale.

6 Xenakis, Iannis, Formalized Music, pp. 39-42.

7 In ST/10,1 ST sta per stocastica, mentre 10 si riferisce all'organico (dieci strumentisti). 1-080262 indica che è la

prima opera stocastica, elaborata l'8 febbraio 1962. 8 Xenakis, Iannis, Musique.Architecture, Casterman, Tournai, 1976 (tr.it di Letizia Lionello, Giancarlo Secco e

Angelo Varese, Musica. Architettura, Milano, Spirali, 1982, p. 28).

Page 17: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

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Partendo da questi due punti e con l'utilizzo della stocastica, in particolare attraverso la

leggi degli eventi rari (la legge di Poisson), Xenakis elaborò una forma musicale che gli

permettesse di costruire un brano in cui fossero presenti il minor numero di regole

compositive tra gli eventi sonori.

Il primo brano nel quale il compositore greco adottò questo criterio fu Achorripsis, per

ventuno strumenti scritto tra il 1956 e il 1957 e eseguito nel 1958 a Buenos Aires per la

direzione di Hermann Scherchen. In esso Xenakis definisce uno specifico tipo di musica

stocastica detta "libera", poiché ciascun evento sonoro è in correlazione solo con se stesso.

Quest'ultima si differenzia tuttavia dalla musica "aleatoria" vera e propria, introdotta alla

fine degli anni cinquanta dai compositori neoserialisti per uscire dai sistemi tradizionali senza

ricorrere alla dodecafonia. Con "musica aleatoria" si intende un tipo di musica in cui diversi

elementi della composizione vengono lasciati al caso e/o in cui alcuni aspetti fondamentali

nella realizzazione del lavoro di composizione sono affidati alle libere decisioni

dell'esecutore. Se la libertà di improvvisazione è limitata a specifici parametri (ad esempio

l'improvvisazione tra determinate altezze) si parla di "alea controllata". Il termine è spesso

associato a procedure nelle quali l'elemento casuale viene circoscritto ad un numero

relativamente basso di possibilità.

Xenakis non condivise questo approccio in quanto esso non è in grado di relazionare

efficacemente la natura del fenomeno musicale, evento raro e complesso che risponde a

specifiche leggi matematiche (ad esempio la legge di Poisson) non riproducibili mediante la

semplice improvvisazione. Inoltre la musica aleatoria, anziché ampliare le possibilità

espressive, le riduce notevolmente, al contrario di quanto avviene nella stocastica, intesa come

utilizzo della teoria della probabilità ai fini del controllo musicale.

Tornando ad Achorripsis, Xenakis vi applicò un nuovo metodo di composizione

formalizzato in diagrammi a blocchi (Figura 3): la scrittura del brano divenne dunque una

Page 18: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

15

serie di istruzioni e di condizioni da rispettare, simile a quella usata in un linguaggio orientato

alle macchine. Nel pensiero musicale che sta alla base di Achorripsis si può anche ritrovare

l'origine dell'algoritmo poi utilizzato per ST/10,1-0802621.

Figura 3: estratto del diagramma a blocchi di Achorripsis

Page 19: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

16

L'implementazione in linguaggio macchina dell'algoritmo ST, viene descritta da Xenakis

(Formalized music, 1992) in undici punti:

1. il lavoro è costituito da una serie di sequenze o eventi sonori ai quali è associata

una durata in secondi ai. Ciascuna durata è indipendente dalle altre ed è in

relazione al parametro "media delle durate". Ciascuna durata è ricavata dalla

formula:

𝑃𝑎𝑖 = 𝑐𝑒−𝑐𝑎 𝑖𝑑𝑎𝑖 [7]

dove c è la densità lineare9, e è la costante di Nepero

10 e dai è l'incremento della

funzione per cui 𝑎𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑑𝑎𝑖 ;

2. viene definita una densità media di suoni emessi all'interno di un evento di durata

ai. La densità media dei cluster sonori è determinata dal rapporto tra il numero di

suoni Nai rispetto alla durata dell'evento ai, ossia Nai /ai (n° suoni/sec.). In generale,

si può affermare che il valore della densità è determinato dal numero di

strumentisti e dalle loro capacità esecutive.

Nel brano ST10,1-080262 è stata calcolata arbitrariamente una densità massima di

circa 44.4 n° suoni/sec. e un limite inferiore di 0.11 n° suoni/sec. Xenakis adotta

una progressione logaritmica in base naturale e, per mantenere una coerenza nel

percorso musicale, introduce un fattore di "memoria" tra una sequenza e la

successiva con la seguente formula:

(𝐷𝐴)𝑖 = (𝐷𝐴)𝑖−1𝑒±𝑥 [8]

9 La densità lineare c viene definita come il rapporto di un determinato numero di punti n posti su di un segmento

di dimensione l :

𝑐 = 𝑛/𝑙 10

Costante di Nepero e = 2.718282...

Page 20: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

17

dove (DA)i è la densità calcolata rispetto alla precedente (DA)i-1, in cui x è una linea

qualsiasi ricavata da una porzione di segmento di lunghezza s. La probabilità di x è

data da:

𝑃𝑥 = 2

𝑠 1 −

𝑥

𝑠 𝑑𝑥 [9]

quindi si avrà che il numero di suoni Nai sarà uguale alla densità (DA)iai:

𝑁𝑎𝑖 = (𝐷𝐴)𝑖𝑎𝑖 [10]

3. sono determinati gli strumenti che l'orchestra Q utilizza durante una sequenza ai.

Essi sono stati suddivisi in r classi di timbri (ad esempio: flauti e clarinetti, oboi e

fagotti, ecc...). La composizione dell'orchestra è ricavata mediante formule usate

nella stocastica ed è in stretta relazione con la densità sonora: quest'ultima

variabile dipende dalla numero e dal tipo di strumenti presenti durante un evento

ai. La formula matematica è espressa nel seguente modo:

𝑄𝑟 = 𝑛 − 𝑥 𝑒𝑛 ,𝑟 − 𝑒𝑛+1,𝑟 + 𝑒𝑛 ,𝑟 [11]

in cui r è il numero della classe strumentale, x è il logaritmo naturale del rapporto

tra la densità (DA)i e il limite inferiore della densità V3 (0.11 n° suoni/sec.) e n è un

numero positivo razionale;

4. definire il momento in cui un suono N si manifesta all'istante ai. La densità media

dei punti o suoni da distribuire all'interno di un evento ai è uguale a:

𝑘 =𝑁𝑎𝑖

𝑎𝑖 [12]

e l'intervallo di separazione tra i suoni è ricavato dalla formula [7], ossia:

𝑃𝑡 = 𝑘𝑒−𝑘𝑡𝑑𝑡; [13]

Page 21: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

18

5. attribuire uno specifico tipo di suono a uno strumento appartenente a un insieme Q.

Partendo dalla composizione dell'orchestra viene ricavato, da una tabella arbitraria,

lo strumento n secondo la probabilità pn. La distribuzione degli strumenti non è

molto chiara, viene definita dallo stesso Xenakis "delicata e complessa"11

;

6. l'altezza è definita come funzione dello strumento. Utilizzando come punto di

partenza il Sib0 (29,14 Hz), si ricava una scala cromatica in semitoni suddivisa in

85 gradi. Il registro di emissione di ciascuno strumento viene specificato come s,

ossia la distanza in semitoni espressa da un numero naturale. Ma l'altezza hu di un

suono è espressa mediante un numero decimale il cui intero si riferisce alla nota

della scala cromatica in cui è inserito il registro dello strumento. Come per la

densità, anche per l'altezza Xenakis utilizza un fattore di memoria tra un'altezza

espressa in Hz e la successiva, definita da:

ℎ𝑢 = ℎ𝑢−1 ± 𝑧 [14]

dove z è una funzione stocastica definita dalla formula di probabilità già utilizzata

al punto 2:

𝑃𝑧 = 2

𝑠 1 −

𝑧

𝑠 𝑑𝑧 [15]

in cui Pz è la probabilità di un intervallo z, ricavato casualmente dal registro s, e s è

espresso come la differenza tra il valore dell'altezza più acuto e quello più grave

che può essere eseguita sullo strumento scelto;

7. se la classe r (ossia il numero della classe strumentale) è caratterizzata da un

glissando, le si attribuisce, come in Pithoprakta, una velocità ricavata dalla

formula della distribuzione gaussiana:

𝑓(𝑣) = 2

𝛼 𝜋𝑒

−𝑣2

𝛼2 [16]

11

Xenakis, Iannis, Formalized Music, p. 138.

Page 22: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

19

e trasformando 𝑣/𝑎 = 𝑢, avremo che

𝑇 𝑢 = 2

𝜋 𝑒𝑢2

𝑑𝑢𝑢

0 [17]

La probabilità di esistenza della velocità v (espressa in semitoni/sec.) è definita

dalla funzione f(v) dove a è un parametro proporzionale alla deviazione standard s,

per cui 𝑎 = 𝑠 2.

a è definita come la funzione logaritmica della densità di una sequenza ai nella

funzione inversamente proporzionale

𝑎 = 𝜋 30 −20

𝑅ln

𝐷𝐴 𝑖

𝑉3 , [18]

o nella funzione direttamente proporzionale

𝑎 = 𝜋 10 +20

𝑅ln

𝐷𝐴 𝑖

𝑉3 , [19]

o ancora nella funzione indipendente dalla densità

𝑎 = 17.7 + 35𝑘, [20]

dove k è un numero casuale equidistribuito tra 0 e 1.

Le costanti delle formule [18] e [20] derivano dai limiti delle velocità dei glissandi

che possono essere eseguiti dagli strumenti ad arco. Perciò per (𝐷𝐴)𝑖 = 145 n°

suoni/sec e 𝑉3 = 0.11 n° suoni/sec. avremo

𝑎 = 53.2 semitoni/sec.

2𝑠 = 75 semitoni/sec.,

e per (𝐷𝐴)𝑖 = 0.13 n° suoni/sec. avremo

𝑎 = 17.7 semitoni/sec.

Page 23: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

20

2𝑠 = 25 semitoni/sec.;

8. attribuire una durata x ai suoni emessi. Per semplificare stabiliamo una durata

media per ciascun strumento, che è indipendente dal timbro, il quale potrà essere

modificato a seconda delle necessità in fase di trascrizione in notazione

tradizionale. I seguenti vincoli sono stati presi in considerazione per il calcolo

della durata x:

- G = limite massimo della durata;

- (DA)i = densità della sequenza;

- qr = probabilità della classe strumentale r;

- pn = probabilità dello strumento n.

Se si definisce z come un parametro della durata del suono, z sarà inversamente

proporzionale alla probabilità dell'esistenza dello strumento, ossia:

𝑧 =1

(𝐷𝐴)𝑖𝑝𝑛𝑞𝑟 [21]

in cui z assumerà il valore massimo quando il prodotto di (DA)i pn qr sarà al

minimo, in questo caso avremo che zmax= G.

Applicando invece una funzione logaritmica a z, se ne bloccherà la crescita; avremo

che:

𝑧′ = 𝐺ln 𝑧

ln 𝑧𝑚𝑎𝑥 . [22]

Poiché si ammetterà una totale indipendenza, la distribuzione delle durate x sarà

gaussiana:

𝑓 𝑥 = 1

𝑠 2𝜋𝑒−

(𝑥−𝑚 )2

2𝑠2 [23]

Page 24: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

21

in cui m è la media aritmetica di tutte le durate, s la deviazione standard, e

𝑚 − 4.25𝑠 = 0 [24]

𝑚 + 4.25𝑠 = 𝑧′ [25]

il sistema lineare che calcolerà le costanti m e s. Assumendo che 𝑢 = (𝑥 − 𝑚)/𝑠 2

troveremo la funzione T(u).

Infine, la durata x di un suono sarà data dalla relazione

𝑥 = ±𝑢𝑠 2 + 𝑚; [26]

9. assegnare una forma di dinamica per i suoni prodotti. Vengono definite quattro

zone significative di intensità: ppp, p, f, ff. Ne vengono scelte arbitrariamente tre

alla volta in relazione tra loro attraverso simboli dinamici di crescendo e

diminuendo, ottenendo 64 combinazioni possibili, di cui 44 tra loro differenti (ad

esempio ppp<f>p);

10. le medesime operazioni sono applicate a ciascun cluster sonoro Nai;

11. le stesse operazioni vengono calcolate per ciascuna sequenza ai.

Successivamente, Xenakis tradusse e implementò il processo qui descritto nel linguaggio

macchina Fortran IV. Il Fortran (Formula Translation) è un linguaggio di programmazione

sviluppato a partire dal 1954 da un gruppo di ricerca della IBM diretto da John Backus e

progettato principalmente per il calcolo scientifico e numerico, ma di cui esistono anche

implementazioni con codice interpretato. Ne è un esempio il software ST che Xenakis utilizzò

per produrre le tabelle con i parametri di durata, altezza,intensità, ecc., utilizzati ad esempio

nella composizione di ST10,1-080262.

Inoltre, per utilizzarle nel suo algoritmo, il compositore greco, in Formalized music (1992),

convertì le equazioni di probabilità in espressioni discrete. Partendo dal presupposto che un

Page 25: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

22

computer possa generare valore casuali equamente distribuiti tra 0 e 1, si può proporzionare

questa distribuzione a seconda del tipo di legge interessata. Le leggi della probabilità di cui

Xenakis si avvale sono due (prima e seconda legge).

Come prima legge egli determina la formula

𝑃𝑥 = 𝑐𝑒−𝑐𝑥𝑑𝑥 [27]

utilizzata per il calcolo del parametro della durata, che viene definita come la lunghezza x di

un segmento qualsiasi ricavato da una linea di lunghezza l; il parametro c indica la densità

lineare 𝑐 = 𝑛/𝑙, vale a dire il rapporto di n punti posti su una linea di dimensione l. Quindi la

probabilità di avere un segmento di lunghezza xi sarà compresa fra x e x+dx.

La sua implementazione tradotta in espressione discreta sarà:

𝑦0 = −ln (1−𝑥0)

𝑐 [28]

dove x0 è un numero maggiore o uguale a 0 e x0 è una variabile aleatoria equidistribuita tra 0 e

1.

Figura 4: grafico di distribuzione del valore y0 rispetto alla densità lineare c

Page 26: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

23

In Figura 4 è possibile osservare il grafico di distribuzione dell'equazione 28 rispetto al

parametro della densità lineare c: la funzione ha andamento logaritmico e con il crescere di c

si avranno valori di y0 distribuiti vicino a 0.

La seconda legge viene definita da Xenakis attraverso la seguente formula:

𝑓 𝑗 𝑑𝑗 =2

𝑎 1 −

𝑗

𝑎 𝑑𝑗 [29]

che è utilizzata per determinare quei parametri che costruiscono un intervallo con il

precedente (es. altezza, intensità, ecc.). Ogni intervallo viene considerato un segmento AB i

cui estremi costituiscono rispettivamente i limiti inferiore (A) e superiore (B) della variabile

controllata. Si tratta quindi di definire di un qualsiasi segmento di lunghezza j compreso tra j e

j + dj con j compreso tra 0 ≤ j ≤ AB.

La sua implementazione sarà:

𝑦0 = 𝑎 1 − 1 − 𝑥0 [30]

con x0 compreso fra 0 e a, e a corrispondente al limite massimo ottenibile da questa

distribuzione.

Page 27: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

24

Figura 5: grafico di distribuzione del valore y0 con limite superiore a = 10.

La distribuzione denota un andamento esponenziale della variabile y0.

L'algoritmo ST, usato per la composizione dell'opera musicale ST/10, 1-080262, è stato

inoltre impiegato per la scrittura dei seguenti brani: ST/48, 1-24016212

, per grande orchestra,

commissionato dalla RTF (Radiodiffusion-Télévision Française); ST/4, 1-08026213

, per

quartetto d'archi; Morisma-Amorisma (ST/4, 2-03076214

), per quattro strumenti solisti; infine

Atrées (ST/10, 3-06096215

), per dieci solisti.

Nel capitolo Free Stochastic Music by Computer, presente nel testo Formalized Music,

Xenakis osserva come lo sviluppo tecnico che ha portato all'invenzione del calcolatore abbia

contribuito ad ampliare la ricerca compositiva nei suoi lavori, sopratutto mediante l'utilizzo

della stocastica che richiedeva un complesso numero di calcoli.

12

Prima opera stocastica per 48 strumenti, elaborata il 24 gennaio 1962. 13

Prima opera stocastica per 4 strumenti, elaborata l'8 febbraio 1962. 14

Seconda opera stocastica per 4 strumenti, elaborata il 3 luglio 1962. 15

Terza opera stocastica per 10 strumenti, elaborata il 6 settembre 1962.

Page 28: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

25

«Liberato da calcoli tediosi, il compositore è in grado di dedicarsi ai problemi

che la nuova forma musicale pone ed esplorare le nicchie e gli antri di questa

forma, mentre modifica i valori in entrata dei parametri. Ad esempio, egli può

testare tutte le combinazioni possibili partendo da uno strumento solista fino ad

arrivare ad un'orchestra da camera, o addirittura una grande orchestra. Con

l'ausilio del calcolatore elettronico, il compositore diventa una sorte di pilota:

preme pulsanti, introduce le coordinate e controlla i comandi di una nave cosmica

in uno spazio sonoro, attraverso costellazioni e galassie che poteva intravedere

solo come un sogno lontano. Ora egli può esplorare a suo agio, seduto su una

poltrona.»16

La progettazione dell'algoritmo ST ha portato Xenakis verso una ulteriore fase

compositiva, in cui egli ipotizza l'utilizzo di un convertitore digitale-analogico (DAC), ossia

un componente elettronico in grado di produrre sul suo terminale di uscita un determinato

livello di tensione o di corrente, in funzione di un valore numerico che viene presentato al suo

ingresso; introducendo anche la sintesi audio nella musica stocastica.

Nel 1991 il primo prodotto di questo pensiero fu il brano elettroacustico GENDY3, derivato

dall'omonimo software di sintesi sonora stocastica, in cui sia la forma musicale che il suono

stesso sono completamente creati dal programma sopracitato, qui approfondito nel capitolo 5.

16

Xenakis, Iannis, Formalized Music, p. 144.

Page 29: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

26

4. Nuove proposte formali

4.1. La crisi della serie di Fourier

L'analisi armonica utilizzata nella ricerca musicale degli anni '50 ha sviluppato, nel campo

dell'acustica, lo studio dei suoni naturali, permettendo di effettuare i primi esperimenti di

sintesi sonora, con la conseguente invenzione dell'oscillatore analogico - uno specifico

circuito elettronico in grado di generare frequenze d'onda. La creazione di questi strumenti fu

fondamentale per la verifica degli studi effettuati sull'analisi spettrale dei suoni.

L'analisi armonica è una branca dell'analisi matematica che studia le rappresentazioni di

funzioni complesse come sovrapposizioni di onde fondamentali. Essa è basata sulla serie di

Fourier, che prende il nome dal matematico Jean Baptiste Joseph Fourier: egli, nei primi anni

dell'ottocento, dimostrò che una qualunque funzione continua può essere scomposta come

sommatoria di infinite funzioni sinusoidali. Questa teoria è stata applicata nell'elaborazione

numerica dei segnali ed in particolare nella sintesi sonora di suoni complessi.

Xenakis osserva come l'utilizzo della sintesi audio per mezzo di generatori di forme d'onda

non abbia permesso alla musica elettronica degli anni '60 di ottenere sonorità sufficientemente

espressive, producendo al contrario timbri estremamente semplici che ricordavano i rumori di

fondo della radio o dei circuiti a eterodina. Gli esperimenti compositivi della Musique

Concréte, iniziati dal compositore francese Pierre Schaeffer, permisero alla musica elettronica

"pura", derivata dalla sintesi tramite oscillatori, di acquistare importanza, combinandosi con i

suoni "concreti"17

.

A sostegno della critica nei confronti dell'utilizzo della serie di Fourier per la produzione di

suoni sintetici mossa dal compositore greco, durante la metà degli anni '50 il fisico Werner

17

Con il termine concreto si definisce una qualsiasi fonte sonora registrata su supporto e riprodotta elettro-

acusticamente.

Page 30: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

27

Meyer-Eppler si dedicò a una serie studi di acustica focalizzati sull'emissione degli strumenti

orchestrali, in cui egli, attraverso l'analisi spettrale, dimostrò come l'andamento delle

frequenze e delle ampiezze presentassero un lieve grado di aleatorietà nel tempo. La presenza

di tali variazioni rappresenterebbe, dal punto di vista percettivo, la differenza tra un suono

vitale e uno statico.

Xenakis considerava la stocastica come una possibile soluzione al problema dei suoni della

musica elettronica pura: essa richiedeva calcoli molto complessi che, quando il compositore

greco propose questa ipotesi (New Proposals in Microsound structure, 1977), i calcolatori

non erano ancora in grado di effettuare; oltre a questo, sarebbe stato necessario aggiungere

tutte le informazioni relative ai transienti di attacco, parte fondamentale per il riconoscimento

di un timbro. Negli anni '90, Xenakis, riprendendo quest'idea, poté formalizzare una

particolare tecnica di sintesi non-standard, da lui definita sintesi stocastica dinamica.

L'approccio alla serie di Fourier nella sintesi audio di suoni strumentali risultava

un'approssimazione non abbastanza accurata per descrivere la complessità dello spettro

frequenziale di un suono reale e quindi non garantiva quella vivacità espressiva richiesta dal

sistema percettivo umano.

Un esempio di questo approccio può essere riscontrato nell'utilizzo della sintesi additiva

come tecnica di generazione di suoni reali. Partendo da un oscillatore sinusoidale, il quale

rappresenta la componente base di un qualsiasi suono secondo la serie di Fourier, si possono

ottenere suoni di durata x ad un'opportuna frequenza fondamentale f. La sintesi additiva

consiste nella somma di un determinato numero di oscillatori, la cui frequenza viene stabilita

in base al rapporto tra ciascuna componente parziale del suono da riprodurre. La prima

componente parziale viene definita fondamentale.

Page 31: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

28

Questa tecnica permette di ottenere qualsiasi tipo di spettro, ma data la complessità di un

suono concreto, si dovrebbe poter controllare ogni singolo istante della frequenza e

dell'ampiezza di ognuna delle parziali che compongono lo spettro - processo questo

difficoltoso e macchinoso.

Page 32: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

29

4.2. Microcomposizione e distribuzioni di probabilità

Xenakis, non trovando sufficientemente efficace il cammino perseguito dalla ricerca

musicale nella sintesi sonora mediante l'analisi armonica di suoni complessi, intraprese un

nuovo percorso di ricerca finalizzata alla microcomposizione. Anziché partire dalla

giustapposizione di elementi semplici per generare strutture complesse, il compositore greco

decise di sfruttare il concetto di entropia inteso come grado di disordine di un sistema e di

utilizzare quei mezzi che permettano di aumentarne o di diminuirne il grado di caoticità. I

processi stocastici diventarono così i mattoni fondamentali per la costruzione di strutture

complesse.

Ne sono un esempio le variazioni di pressione di una particella che si sposta in modo

imprevedibile intorno a una posizione d'equilibrio: questo tipo di movimento viene descritto

dal moto Browniano, che è l'analogo della camminata casuale (random walk). Con il termine

"moto browniano" ci si riferisce al moto disordinato delle particelle presenti in fluidi o

sospensioni fluide.

Per comprendere in linea generale in che cosa consiste una camminata casuale, si prenda in

esame una random walk di passo uguale a 1, parametro per cui ciascun valore generato

differirà da quello precedente. Una prova empirica può essere il lancio di una moneta in cui

ciascuna faccia x corrisponde a ±1: testa (T) = +1 e croce (C) = -1.

Prendendo come valore iniziale x0 = 0 e ipotizzando di lanciare la moneta una prima volta

ottenendo testa (T), si incrementerà x:

𝑥1 = 𝑥0 + 1 = 0 + 1 = 1

Effettuando un altro lancio in cui si ottiene croce (C), si decrementerà x:

𝑥2 = 𝑥1 − 1 = 1 − 1 = 0

Page 33: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

30

Ripetendo per n volte questa operazione e inserendo i valori in un diagramma cartesiano,

in cui sull'asse ascisse si abbia il valore di xn e su quello delle ordinate il numero di lanci

effettuati, si otterrà un grafico dove ciascun numero generato ruoterà intorno a una posizione

di equilibrio.

Nel grafico in Figura 6 è illustrato un diagramma cartesiano in cui è stato esemplificato

questo procedimento:

Figura 6: esempio grafico di una random walk monodimensionale di passo uguale a 1

Xenakis, nel capitolo New Proposals in Microsound Structure (pagg. 246-249), propone

una serie di casi:

metodo 1: sfruttare una differente funzione di probabilità, caratterizzandola in base al

proprio comportamento inteso come ―personalità‖, ad esempio una distribuzione di

Cauchy per le durate ed una di Poisson per le altezze;

metodo 2: creare delle combinazioni della variabile x con se stessa;

metodo 3: utilizzare delle variabili aleatorie come altre variabili di una funzione

qualsiasi, ad esempio una funzione logaritmica di cui l'argomento è una variabile

casuale;

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

2

4

6

8

10

12

14

n°sample

valu

e

Page 34: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

31

metodo 4: muovere una variabile aleatoria all'interno di due barriere riflettenti o

elastiche; i valori che ne superano i limiti vengono rispecchiati all'interno di essi;

metodo 5: considerare i parametri di una funzione di probabilità come variabili di altre

funzioni di probabilità;

metodo 6: utilizzare diversi tipi di combinazioni algebriche, ad esempio lineare,

polinomiale, ecc., considerate come funzioni composite. Queste, come per il punto 5,

vengono considerate come misture di distribuzioni;

metodo 7: suddividere le funzioni di probabilità in classi, in famiglie di configurazioni

di curve, creando un livello di astrazioni più elevato.

I processi qui elencati sono validi sia a livello microcompositivo che a un livello

macrocompositivo.

Page 35: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

32

4.3. Concetto di variazione poligonale

I principi fondamentali del pensiero compositivo di Xenakis sono le nozioni di ripetizione

e alterazione, ossia la produzione di strutture complesse mediante processi stocastici. Nella

ricerca microstrutturale della sintesi sonora, il processo di variazione di una forma d'onda

viene definito dal compositore come variazione poligonale.

Con questo termine Xenakis si riferisce alla forma d'onda come alla forma di un poligono,

ossia una qualsiasi figura geometrica aperta, in cui i vertici corrispondano ai breakpoints di

una forma d'onda e le linee tracciate tra i punti siano le interpolazioni lineari tra i breakpoints.

La variazione dell'onda poligonale è definita sul piano cartesiano dalle coordinate x e y che

indicano la posizione di ciascuno dei breakpoints: sull'asse delle ascisse si avrà il tempo Δt e

sull'asse delle ordinate l'ampiezza ΔA.

L'utilizzo da parte di Xenakis della geometria nella sua produzione artistica caratterizza

tutta la sua opera: due esempi eclatanti sono la composizione Metastasis e la progettazione del

Padiglione Philips a Bruxelles. L'applicazione dei principi geometrici, specificata come

l'approssimazione di superfici curve mediante un gruppo di rette, ispirò l'utilizzo del glissando

all'interno dei suoi brani come elemento caratteristico, aspetto che è stato altresì fondamentale

nella formalizzazione della tecnica di sintesi audio utilizzata dal compositore greco.

Questa sintesi audio è composta da tabelle dinamiche (dynamic wavetable synthesis), ossia

forme d'onda che mutano stocasticamente nel tempo, ed è stata generalizzata nella Sintesi

Stocastica Dinamica (Dynamic Stochastic Synthesis), dove ogni forma d'onda generata è

indipendente da quella precedente e le variazioni sono controllate mediante processi

stocastici.

Page 36: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

33

Figura 7: esempio di "dynamic wavetable synthesis"

La tecnica di sintesi utilizzata da Xenakis è di tipo non-lineare e dipende concettualmente

dal teorema di Nyquist-Shannon. La realizzazione non passa attraverso la progettazione di

modelli acustici riconducibili ai modi di vibrazione di un corpo, ma attraverso l'astrazione di

un modello sonoro ideato ad hoc a seconda dell'esigenza musicale.

Nella storia della musica elettronica, diversi autori si sono serviti di tecniche di sintesi non-

lineare, come nella compilazione di SSP, il programma di sintesi sonora scritto dal

compositore tedesco Gottfried Michael Köenig che applicava le tecniche seriali ai segmenti

delle forme d'onda, e SAWDUST, scritto da Herbert Brün, in cui venivano applicate

operazioni astratte alla forma d'onda. A tal proposito, l'esempio più rilevante nella produzione

di Xenakis è l'algoritmo GENDY.

Page 37: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

34

5. GENDY

Nel 1971, al CMAM (Center for Mathematical and Automated Music) dell'Università

dell'Indiana, Xenakis sperimentò i suoi studi sulla sintesi stocastica testando diversi tipi di

random walk.

Vent'anni più tardi, nel 1991, Xenakis tornò sulla costruzione di un sistema completamente

governato dalle leggi della stocastica e, grazie alla collaborazione del CEMAMu (Centre

d'Étude de Mathématique et Automatique Musicales) di Parigi, il compositore, insieme

all'assistente Marie-Hélène Serra, scrisse il programma di sintesi stocastica dinamica GENDY,

acronimo che deriva dal francese Génération (GEN) e Dynamique (DY).

Nello stesso anno egli compose due brani sfruttando questo algoritmo: GENDY3, premiato

nell'ottobre del 1991 a Montreal in Canada, in occasione dell'International Computer Music

Conference, e GENDY301, premiato nel novembre del medesimo anno a Metz in Francia, al

Journèes de Musique Contemporaine.

Nel 1994, sfruttando un'estensione dell'algoritmo GENDY, Xenakis scrisse un ulteriore

lavoro dal titolo S709 (sequenza 709), premiato nel dicembre di quell'anno alla Maison de

Radio-France.

Il software GENDY permette il calcolo di una serie di campioni numerici che vengono di

seguito registrati in un file audio: l'ampiezza di ciascun campione è data dalla somma di

ciascun campione di tutte le voci; ciascuna voce calcolata è caratterizzata dai propri parametri

di controllo per la sintesi stocastica dinamica e ci possono essere da una a n voci.

Il processo computazionale è suddiviso in due livelli:

microstrutturale, che comprende l'effettiva sintesi dei suoni;

Page 38: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

35

macrostrutturale, in cui sono definiti i parametri per forma e computazione audio.

A livello macroscopico si produce una matrice sul cui piano verticale giace la distribuzione

delle voci generate, mentre sul piano orizzontale si ha la suddivisione temporale in cui viene

collocato un certo numero di sequenze che andranno a costituire l'intera durata del brano.

Ogni voce corrisponde ad una singola sintesi sonora, con determinati parametri stocastici, a

loro volta gestiti da intervalli di tempi tra suono e silenzio, definiti ―campi‖ (fields). La

sovrapposizione di un determinato numero di voci determina la configurazione di una

sequenza, mentre la giustapposizione in successione di ogni sezione andrà a costituire il corpo

stesso della composizione.

Xenakis implementò questa funzione in un programma ausiliario dal nome PARAGn (es.

PARAG001), una macchina di calcolo per la generazione di parametri stocastici e la loro

scrittura in unico file successivamente letto da GENDY per l'effettiva sintesi audio.

Page 39: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

36

5.1. Descrizione dell'algoritmo di sintesi stocastica dinamica

Si consideri un piano cartesiano in cui l'asse delle ascisse riporti i campioni della tabella di

sintesi e l'asse delle ordinate i valori dell'ampiezza, che variano tra -1 e 1. Quando Xenakis

scrisse questo algoritmo, la risoluzione dell'ampiezza era di 16-bit integers (±32768).

Figura 8: distorsione di una forma d'onda z.

Si ipotizzi inoltre di avere un numero costante i di breakpoints: per garantire la continuità

tra le successive forme d'onda, l'ultimo breakpoint (i-1) della forma d'onda z corrisponderà al

primo (i=0) della forma d'onda successiva z+1 (Figura 8):

(𝑥0,𝑧+1, 𝑦0,𝑧+1) = (𝑥𝑖−1,𝑧 , 𝑦𝑖−1,𝑧) [31]

Se si posizionano casualmente questi punti sul piano cartesiano e si effettua

un'interpolazione lineare, si ottiene così una possibile formulazione iniziale della forma

d'onda per la sintesi.

Page 40: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

37

Le coordinate di ciascun breakpoint i delle successive forma d'onda z+1 si ottengono

addizionando o sottraendo un valore aleatorio determinato da un processo stocastico alle

coordinate della forma d'onda z:

𝑥𝑖 ,𝑗+1 = 𝑥𝑖 ,𝑗 + 𝑓𝑥(𝑧) [32]

𝑦𝑖 ,𝑗+1 = 𝑦𝑖 ,𝑗 + 𝑓𝑦(𝑧) [33]

dove fx(z) e fy(z) sono funzioni stocastiche che generano valori determinati dall'argomento z.

La durata totale D di una forma d'onda è calcolata sommando i segmenti ni di

interpolazione che si creano tra due breakpoints i e i+1.

Si avrà:

𝑛𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 con ni = distanza in campioni;

𝑑𝑖 = 𝑛𝑖/𝑆𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑅𝑎𝑡𝑒 con di = distanza in secondi;

𝐷𝑗 = 𝑑𝑖 ,𝑗𝑖−1𝑖=0 con Dj = durata totale espressa in secondi.

Se le coordinate x non sono soggette a nessun tipo di variazione, si ottiene un'onda variata

non-linearmente nell'ampiezza in un tempo t (Figura 9). Questo comporterà una variazione

delle componenti spettrali e quindi nel timbro ma non nell'altezza.

Page 41: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

38

Figura 9: variazione non-lineare dell'ampiezza di una forma d'onda

Nel caso in cui entrambe le coordinate varino nel tempo, si avrà una distorsione sia

dell'intensità che della frequenza: nell'esempio in Figura 10 si avrà un'espansione della forma

d'onda che comporta una riduzione della frequenza; nell'esempio in Figura 11 avviene

l'inverso: contrazione della forma d'onda con incremento della frequenza.

Page 42: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

39

Figura 10: variazione non-lineare dell'ampiezza e del tempo, espansione della forma d'onda

Figura 11: variazione non-lineare dell'ampiezza e del tempo, contrazione della forma d'onda

Le funzioni stocastiche che creano la perturbazione dei breakpoints sono gestite da un

sistema di processi stocastici che sfrutta un second order random walk18

costituito da tre

elementi: una distribuzione di probabilità e due random walk. La distribuzione di probabilità

18 Luque, Sergio, Stochastic Synthesis: Origin and Extensions, Institute of Sonology, Royal Conservatory,

Amsterdam, 2006, p. 25.

Page 43: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

40

(Poisson, Lehmer, Cauchy, logistica, ecc.) genera lo step size di una random walk primaria; il

valore prodotto dalla random walk primaria è compreso in un range prestabilito e diventa a

sua volta step size di una random walk secondaria; il valore qui generato è poi circoscritto in

un intervallo definito che è l'effettivo prodotto della second order random walk.

I limiti vengono definiti da Xenakis come ―barriere elastiche‖ o ―specchi‖. Queste

variazioni stocastiche devono essere comprese in un intervallo finito: l'andamento

completamente libero di tali sistemi comporterebbe infatti sonorità molto rumorose, vicine al

rumore bianco; è quindi necessario trovare un giusto compromesso tra stabilità (variazioni

lievi) e instabilità (variazioni estese).

Per questa ragione è stata utilizzata una specifica procedura di ―rispecchiamento‖, in modo

da contenere gli eccessi e avere un controllo musicalmente ragionevole dei parametri

stocastici.

Questo metodo viene definito come funzione MIR19

; esso richiede tre argomenti: un valore

in ingresso e i limiti delle due barriere. Il valore restituito è contenuto all'interno

dell'intervallo prestabilito.

Il suo funzionamento è analogo all'effetto di "aliasing", dove i valori eccezionali vengono

rispecchiati all'interno del range (vedi Figura 12).

19 Serra, Marie H., ―Composition and Stochastic Timbre: GENDY3 by Iannis Xenakis‖, Perspective of New

Music, Vol. 31, N°1, Winter 1993, p. 245.

Page 44: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

41

Figura 12: funzionamento delle barriere elastiche sull'asse delle ampiezze

Per il calcolo di ciascun breakpoint sono stati predisposti quattro differenti limiti: due di

questi vengono utilizzati per le funzioni stocastiche fx(z) e fy(z) prima che tali valori vadano a

sommarsi con le coordinate xi e yi. Gli altri due limiti vengono utilizzati per controllare la

lunghezza dei segmenti tra i breakpoint ni ed i valori di ampiezza yi sull'asse delle ordinate.

Il limite dell'ampiezza era stato inserito a causa del limite fisico su quale veniva eseguita la

macchina (16-bit integer) anche se venne utilizzato per il controllo timbrico, come gli altri

parametri.

Per quanto riguarda la lunghezza dei segmenti, il suo controllo era direttamente collegato

al range frequenziale riferito alla sintesi sonora.

Per esempio:

sample rate (n° campioni/sec.): 44100

range frequenziale (Hz): 300 – 800

conversione da Hz a campioni: sample rate/Hz

range frequenziale (campioni): 147 – 55

Page 45: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

42

Questi limiti sono stati utilizzati principalmente per il controllo del suono, influenzando

direttamente parametri come l'altezza, l'intensità e sopratutto il timbro.

I parametri del modello di sintesi sono suddivisi in due gruppi:

1. controllo dell'altezza:

numero dei breakpoints xi;

tipo di distribuzione stocastica fx(z);

limiti barriere elastiche xMin e xMax;

2. controllo dell'ampiezza e del timbro:

tipo di distribuzione stocastica fy(z);

limiti barriere elastiche yMin e yMax.

Page 46: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

43

5.2. Architettura stocastica

Il livello macroscopico della composizione viene anch'esso gestito attraverso processi

stocastici. Come per Achorripsis e i brani derivati dall'algoritmo ST, anche per il brano

GENDY3, si ritrova una struttura distribuita in uno spazio bi-dimensionale: dove sull'asse

orizzontale si ha la scansione temporale e sull'asse verticale la distribuzione delle voci.

In GENDY3, la suddivisione temporale è definita da una serie di sequenze giustapposte in

cui ciascuna sequenza comprende un numero n di voci.

Sull'asse temporale, ogni sequenza è caratterizzata da porzioni temporali tra suono e

silenzio, definiti da Xenakis ―campi temporali‖ (time-fields) 20

. Un campo temporale è definito

da due parametri: la durata (sec.) e l'indicatore silenzio/suono (0/1).

Figura 13: estratto del grafico dei "campi temporali" dei primi due minuti della prima sessione di GENDY321

La scelta tra suono e silenzio viene determinata computazionalmente tramite una

simulazione del processo di Bernoulli che permette di stabilire il successo o il fallimento di un

20

Op. cit., p. 253. 21

Ibidem.

Page 47: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

44

processo aleatorio, dove p è la probabilità di successo che corrisponde ad un numero tra 0 e 1,

e q corrisponde al fallimento di probabilità uguale a 1-p. L'esempio più comune è il gioco

della moneta ―testa o croce‖.

In GENDY viene eseguita una simulazione tramite computer di questo processo con il

seguente metodo: data la probabilità di successo p e un numero aleatorio z equi-distribuito tra

0 e 1, si avrà esito positivo se z sarà minore o uguale a p. In GENDY, se z ≤ p, l'indicatore

suono/silenzio sarà uguale a 1, quindi suono, viceversa (z > p) si avrà un silenzio.

Tornando all'esempio di ―testa o croce‖, se si utilizza una moneta non truccata, si avrà p

uguale a 1/2; con un numero di lanci tendente all'infinito, il numero di volte in cui usciranno

testa o croce sarà equivalente. Il parametro p in GENDY viene definito arbitrariamente per

ciascuna voce.

La durata dei campi temporali viene stabilita automaticamente attraverso una distribuzione

esponenziale:

𝑑 = −1

𝐷 log(1 − 𝑧) [34]

dove z è un numero equi-distribuito tra 0 e 1, d è la durata di ciascun campo sonoro e D è

la media delle durate. Quest'ultimo parametro viene stabilito per ogni voce in ciascuna

sequenza.

Page 48: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

45

5.3. Implementazione GENDY

La prima versione del programma Gendy fu scritta da Xenakis nel 1991 in linguaggio

BASIC (eseguito in MS-DOS); una trascrizione in C++ di tale algoritmo, chiamata The New

GENDYN Program (eseguibile in Microsoft Windows), fu poi realizzata nel 2000 dal

musicologo tedesco Peter Hoffmann.

Di seguito ho riprodotto l'algoritmo di Xenakis con il software Pure Data: un linguaggio di

programmazione grafica sviluppato da Miller Puckette nel 1990 dedicato alla produzione di

applicazioni multimediali, open-source e disponibile per Microsoft Windows, MAC OS X,

iOS, Android e GNU/Linux.

L'implementazione di GENDY ha avuto come punto di partenza la ricostruzione in Pure

Data di un sintetizzatore stocastico basato sull'algoritmo di Xenakis, da parte di Gordan

Kreković e Davor Petrinović.22

Allo scopo di ottenere una versione più fedele rispetto al

software originale ideato da Xenakis, sono stati modificati due aspetti fondamentali: la

gestione delle tabelle di sintesi e il controllo dei parametri.

Nella sezione dedicata alla gestione delle tabelle di sintesi, come funzione stocastica, ho

riprodotto il sistema di perturbazione utilizzato da Xenakis (second order random walk),23

che

consiste nell'utilizzo di una funzione di distribuzione e una coppia di random walk; le funzioni

di distribuzione inserite sono le medesime utilizzate dal compositore greco in origine, che

sono:

o Cauchy: 𝑓 𝑦 = 𝛼 tan 𝜋 𝑧 −1

2 [35]

o arcoseno: 𝑓 𝑦 = 𝛼 1

2−

1

2sin

1

2− 𝑧 𝜋 [36]

22 KREKOVIĆ, Gordan e PETRINOVIĆ, Davor, A versatile toolkit for controlling dynamic stochastic synthesis,

Proceedings of the Sound and Music Computing Conference, Stockholm, Sweden, 2013. 23

Cfr. pp. 39 - 41 del presente lavoro.

Page 49: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

46

o coseno iperbolico: 𝑓 𝑦 = 𝛼 ln tan 𝑧𝜋

2 [37]

o esponenziale: 𝑓 𝑦 = −ln 1−𝑧

𝛼 [38]

o logistica: 𝑓 𝑦 = −ln

1−𝑧

𝑧 +𝛽

𝛼 [39]

dove α e β sono i coefficienti delle funzioni e z è una variabile aleatoria equidistribuita tra

0 e 1. In Figura 14 è illustrato il funzionamento di tale algoritmo:

Figura 14: diagramma a blocchi del funzionamento della second order random walk.

Page 50: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

47

I parametri di controllo per la second order random walk sono:

o function: permette di selezionare il tipo di distribuzione desiderata (Cauhy, arco

seno, coseno iperbolico, logistica, esponenziale e uniforme);

o coefficent: controlla il coefficiente della funzione di distribuzione;

o max: imposta il limite superiore della funzione mirror collegata alla random walk

secondaria (RW2), ossia il valore massimo generato dall'algoritmo;

o min: indica il limite inferiore della funzione mirror, come per la variabile max,

determina quindi il valore minimo che può essere generato;

o ratio RW2/RW1: è una variabile che varia tra 0 e 1, definisce il rapporto tra il range

della RW2 e quello della RW1. Determina il limite superiore e inferiore della

funzione mirror connessa alla random walk primaria (RW1);

o ratio RW1/DISTR: è una variabile che varia tra 0 e 1, definisce il rapporto tra il

range della RW1 e quello della funzione di distribuzione f(x). Questo parametro

circoscrive la funzione di distribuzione all'interno del range calcolato.

Page 51: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

48

Figura 15: patch in Pure Data "updateDuration".

La funzione mirror, citata nel capitolo 5.1 e rappresentta in Figura 14 e 15, ha il compito di

mantenere i valori all'interno dell'intervallo stabilito. In Figura 16 è illustrato il suo

funzionamento: viene verificato che il valore x, generato dalla RW1 o dalla RW2, sia

contenuto nell'intervallo; nel caso in cui questa condizione non viene soddisfatta, si procede al

ribaltamento di x all'interno di esso. Nel caso ulteriore in cui l'operazione di ribaltamento

abbia posto il valore al di fuori dei limiti, viene assegnato a x il valore del limite più vicino;

questa approssimazione è necessaria in quanto un'iterazione della stessa funzione,

Page 52: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

49

rischierebbe di causare una ricorsione con profondità eccessiva o addirittura infinita24

,

innescando quindi un'oscillazione paradossale che causerebbe l'interruzione dell'intero

programma.

Figura 16: digramma di flusso della funzione mirror.

Figura 17: patch in Pure Data "mirror".

Individuata la posizione di ciascun breakpoint, i campioni che vengono a trovarsi tra i due

breakpoint sono calcolati tramite una funzione di interpolazione lineare, attraverso la formula:

24

Questo fenomeno in informatica viene definito stack overflow, avviene quando è richiesto una quantità troppo

elevata di memoria nello stack, può essere causato da una ricorsione infinta di una funzione o da una variabile

eccessivamente grande

Page 53: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

50

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑛 𝑦𝑏−𝑦𝑎

𝑥𝑏−𝑥𝑎 con 𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑏 [40]

Figura 18: esempio di interpolazione lineare

L'implementazione in Pure Data di questo procedimento ha richiesto la costruzione di uno

specifico generatore di una rampa di valori che funzioni alla velocità della frequenza di

campionamento. Per fare questo è stato utilizzato il seguente approccio: una linea di ritardo

con feedback infinito produce una serie di impulsi (bang) alla velocità della frequenza di

campionamento, quindi avremo che la distanza Δt tra un impulso e il successivo sarà:

∆𝑡 = 1 (𝑠𝑒𝑐 .)

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒 (𝑛° 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑖 )/(𝑠𝑒𝑐 .) . [41]

Per mantenere la sincronizzazione tra la produzione degli impulsi e la computazione dei

campioni audio, è stato utilizzato l'oggetto bang~, il quale invia un impulso all'inizio di ogni

blocco di computazione (block size), in modo da annullare il possibile sfasamento tra i vari

impulsi.

Figura 19: sequenza della computazione dei campioni audio.

Page 54: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

51

Gli impulsi generati vengono utilizzati per incrementare un contatore (counter), i cui

parametri di minimo (min) e massimo (max) indicano gli estremi di ogni interpolazione e

vengono aggiornati per ciascun intervallo fra i breakpoints di ogni forma d'onda. In Figura 20

è illustrato il funzionamento di questo procedimento. In Figura 21 viene mostrata

l'implementazione in Pure Data di tale algoritmo.

Figura 20: diagramma a blocchi della computazione dei campioni audio.

Page 55: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

52

Figura 21: patch in Pure Data "update_table".

I valori ricavati dalla formula di interpolazione lineare vengono raccolti in un array di 64

elementi (serialize) e convertiti da lista di valori a segnale audio (unpack~).

In Figura 22 è rappresentato un estratto della patch "sub.GendyN" in cui vengono gestiti i

parametri di controllo della sintesi, in particolare si evidenzia la manipolazione del range

frequenziale, il quale viene poi convertito in durate calcolate in campioni. Tale range indica

l'intervallo di durata possibile tra i breakpoints, e la formula utilizzata è:

𝐷𝑢𝑟. 𝑚𝑖𝑛 = 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒

𝐹𝑟𝑒𝑞 . 𝑚𝑎𝑥∗

1

𝑛° 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑘𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 [42]

𝐷𝑢𝑟. 𝑚𝑎𝑥 =𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑡𝑒

𝐹𝑟𝑒𝑞 . 𝑚𝑖𝑛∗

1

𝑛° 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑘𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 [43]

Page 56: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

53

Figura 22: estratto della patch in Pure Data "sub.GendyN".

Figura 23: patch in Pure Data "sub.GendyN".

Il controllo dei campi sonori (field), suono o silenzio di una voce, è stato assegnato ad un

processo esterno all'algoritmo di Gendy qui implementato, tale processo consiste in:

Page 57: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

54

o una random walk che genera la durata del campo sonoro;

o un processo di Bernoulli che determina il suo stato (suono/silenzio).

In Figura 24 viene illustrata la sua implementazione in Pure Data.

.

Figura 24: patch in Pure Data "RWdur".

La Figura 25 include un diagramma guida che riproduce un'astrazione al livello più alto

possibile del ―motore‖ di sintesi stocastica di GENDY.

Il grafico è suddiviso in due sezioni:

Architettura:

Page 58: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

55

o Duration random walk;

o DSP on/off.

Sintesi audio:

o Time random walk;

o Amplitude random walk;

o Linear interpolation;

o DAC~.

Page 59: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

56

Figura 25: diagramma globale del funzionamento dell'algoritmo GENDY

Page 60: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

57

5.4. GENDY nel live electronics

L'implementazione in Pure Data di GENDY mi ha portato a pensare a come si potesse

riconsiderare il suo utilizzo nel live electronics, vale a dire a come controllare i parametri

della sintesi stocastica in tempo reale. Da questa riflessione sono passato alla progettazione di

un'interfaccia per l'algoritmo GENDY, intesa come se fosse un vero e proprio "strumento

musicale", denominato 8Voices.

Oltre alla possibilità di controllare i parametri interagendo direttamente con il software,

che però non garantisce una efficace manipolazione dei dati ai fini di un'esecuzione musicale,

ho aggiunto un'unità di controllo MIDI, implementata attraverso l'interfaccia

nanoKONTROL2 KORG (Figura 26).

Figura 26: controller MIDI KORG nanoKONTROL2.

Ho inoltre scelto di ridurre il gran numero di parametri utilizzati dal sintetizzatore GENDY:

il totale controllo da parte dell'esecutore costituirebbe infatti un impedimento ad una compiuta

interpretazione musicale. Basti pensare che per ciascuna voce, solo per quanto riguarda la

sintesi, esistono 15 parametri.

Il passo successivo è stato quello di suddividere le variabili manipolabili in tre gruppi

principali, definiti per:

o altezza: comprende il range frequenziale e i coefficienti delle due random walks;

Page 61: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

58

o dinamica: include l'intervallo di distribuzione dell'ampiezza e i coefficienti delle

due random walk;

o attivazione delle voci: gestisce il funzionamento delle voci, ossia quando una voce

deve o non deve entrare in funzione.

L'interfaccia nanoKONTROL2 include tre tipologie di controlli: un fader, una manopola

rotativa e tre pulsanti per ogni voce. A ogni fader è stato associato il controllo dell'ampiezza

di una voce. A differenza dell'algoritmo di Xenakis che utilizzava sedici voci, ho preferito

matenerne il controllo per ciascuna; in questo caso l'hardware MIDI selezionato permette la

gestione contemporanea di otto istanze del sintetizzatore.

Due pulsanti del controller variano le altezze e le dinamiche di ogni voce (tasto "R" per le

altezze, tasto "M" per le dinamiche). Ogni parametro è derivato da un processo casuale, i cui i

limiti sono stati precedentemente definiti, prodotto tramite la pressione dei tasti sopracitati. Al

pari in quanto accadeva nell'algoritmo composto da Xenakis, anche qui non interessa avere

una definizione microscopica per ogni singolo parametro, ma il controllo dell'insieme dei

parametri. Infine, una manopola rotativa regola il tempo di interpolazione tra un valore

generato e l'altro di ogni singola voce; il suo range è stabilito a priori.

Figura 27: descrizione dei parametri controllabili per ogni voce nel controller MIDI nanoKONTROL2.

Page 62: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

59

In Figura 28 è illustrato un estratto della patch in Pure Data "randomize", in cui vengono

inseriti i parametri di controllo per la gestione dell'altezza e della dinamica.

Figura 28: estratto della patch in Pure Data "randomize"

A livello macroscopico, l'attivazione delle voci è affidata a un'ulteriore serie di tasti: "S"

per la singola voce, "Play", "Stop" e "Rec" per controllare le otto voci in contemporanea. I

"Play" e "Stop" attivano o disattivano tutte le istanze; il tasto "Rec", invece, attiva l'algoritmo

responsabile della durata dei campi sonori (sound fields)25

, ossia l'attivazione o disattivazione

casuale delle voci per una durata x.

25

Cfr. pag. 45 del presente lavoro.

Page 63: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

60

Figura 29: descrizione dei parametri di controllo per l'attivazione delle voci nel controller MIDI

nanoKONTROL2.

Il tasto "Cycle", in combinazione con il pulsante "S" della voce desiderata, permette di

decorrelare la relativa voce dall'interazione con l'algoritmo sopra citato, consentendole di

rimanere fissa (freeze) mentre le altre conservano la loro mobilità (gestita dall'algoritmo).

Da ultimo, i tasti "Fast forward" e "Rewind" variano le cues dei preset dell'intero software.

Alla spazializzazione del suono (è prevista una diffusione su sistema ottofonico), è poi

dedicata, in aggiunta all'algoritmo di GENDY, un'apposita sezione del software (esterna

all'implementazione di GENDY) che permette di controllare i movimenti stabilendo dei preset

(una possibile "partitura" dell'ambiente esecutivo). Questa sezione è stata affidata all'oggetto

denominato vbap, scritto specificamente per Pure Data, che utilizza il metodo Vector Base

Amplitude Panning26

ideato dal finlandese Ville Pulkki, per il posizionamento virtuale di una

sorgente sonora in un ambiente con n altoparlanti.

26 Pulkki, Ville, "Virtual Sound Source Positioning Using Vector Base Amplitude Panning", Journal of the

Audio Engineering Society, vol. 45, n° 6, June 1997, pp. 456-466.

Page 64: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

61

6. Conclusione

Nell'arco della sua produzione musicale, Xenakis mostrò una spiccata inclinazione alla

riflessione sui problemi fondamentali della composizione, mettendoli in correlazione con

quelli che incontra chiunque si dedichi seriamente alla sua disciplina, sia essa artistica o

scientifica. L'eterno dilemma tra determinismo e caso fu da lui dapprima risolto con

l'applicazione della stocastica alla musica, in seguito col ricorso alla musica "simbolica" e alla

teoria dei gruppi, attraverso il passaggio da un determinismo più rigoroso al recupero di una

dimensione più intuitiva.

Nel presente elaborato ho ripercorso in breve la parabola della stocastica partendo dalla sua

teorizzazione ne La crise de la musique sérielle (1955) e analizzando successivamente alcuni

dei brani più significativi composti con questa tecnica, ossia, per quanto riguarda la

produzione orchestrale, Metastasis (composto tra il 1953 e il 1954 e realizzato nel 1955) e

Pithoprakta (1955-1956), mentre per quanto concerne quella elettroacustica, Gendy3 (1991),

Gendy301 (1991) e S709 (1994).

Se nelle prime opere di questo tipo il calcolo "a mano" era ancora sufficiente per la

composizione, l'aumentare della complessità suggerì a Xenakis di creare un automatismo,

dapprima l'algoritmo ST, poi GENDY. Si passò dunque dalla produzione di partiture con ST

alla sintesi stocastica vera e propria del suono con GENDY.

Lo studio che ho effettuato su quest'ultimo algoritmo ideato dal compositore greco si è

concretizzato nella sua implementazione in Pure Data, con l'obbiettivo di produrne una

versione fruibile e aperta a nuove modifiche e/o migliorie.

La ricostruzione di GENDY mi ha portato a pensare a come può essere reinterpretata la

sintesi stocastica ideata da Xenakis. Da quest'idea è nato 8Voices: uno "strumento

elettroacustico" composto da un'interfaccia fisica (un controller MIDI) per l'immediata

Page 65: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

62

manipolazione dei parametri di sintesi e da un'interfaccia grafica che controlla nel dettaglio la

produzione dei suoni.

Dal punto di vista musicale, la configurazione dei parametri di 8Voices richiede un

ulteriore perfezionamento per calibrare in maniera più equilibrata quelli variati dall'esecutore

e quelli da mantenere fissi (oppure semplicemente variati da una possibile partitura).

È poi necessaria una riscrittura di GENDY nel linguaggio C, per ottenere un external27

utilizzabile in Pure Data e con una maggiore velocità di calcolo.

Sul piano esecutivo, l'utilizzo di controlli multifunzionali amplierebbe l'originalità dei

movimenti eseguibili sul controller MIDI, consentendo di modificare più parametri con un

singolo gesto e includendo nell'interfaccia fisica un feedback (in questo caso tattile) coerente

con l'utilizzo, o meglio ancora, con la musicalità del gesto. L'interfaccia inoltre farà sì che il

sistema di sintesi sonora si comporti come una sorta di strumento musicale, permettendo

all'esecutore di interpretare una composizione e di non limitarsi ad interagire passivamente

con i parametri.

In futuro intendo poi progettare e realizzare un'interfaccia di controllo ad hoc per 8Voices,

affinché sia il più possibile adatta a una performance musicale.

Lo studio del lavoro di Xenakis mi ha indotto a riflettere sull'aspetto esecutivo nella

composizione algoritmica, ossia come poter ampliare il dialogo tra uomo e macchina.

Mi sono quindi ritrovato a interrogarmi su come preservare l'originalità dell'interpretazione

di una composizione algoritmica, così da non ridurre l'esecutore a semplice "supervisore" del

processo musicale. Il confronto con questa parte della produzione del compositore greco è

stato per me ricco di spunti e penso che possa giovare altrettanto a chiunque voglia

approfondire la musica stocastica.

27

Un external è una classe che non è costruita in Pure Data ma scritta nel linguaggio C, la quale è caricata in

memoria durante l'esecuzione del software.

Page 66: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

63

Appendice: Creare dal "nulla"

La riflessione filosofica sulla musica ha accompagnato Xenakis nell'arco di tutta la sua

produzione musicale: prendendo come punto di riferimento in particolare i filosofi ionici

Talete, Anassimandro, Anassimene, ma sopratutto Pitagora e Parmenide.

Il compositore greco sottolinea che i numeri stanno alla base non solo della musica ma di

tutta la realtà. Il pitagorismo infatti afferma che le cose sono numeri o che tutte le cose sono

provviste di numeri, ad esempio Pitagora si basò sullo studio degli intervalli musicali per

ottenere la catarsi orfica.

«Il pitagorismo ha impregnato poi tutto il pensiero occidentale, compreso quello

musicale: tutti i teorici della musica, da Aristosseno28

fino a Hucbald29

, Zarlino30

e

Rameau31

hanno ripreso le stesse tesi colorandole con le espressioni dell'epoca,

ma la cosa più sorprendente è il ritorno della scienza moderna al pitagorismo: non

è lontano il giorno in cui la genetica, forse, grazie alla struttura geometrica e

combinatoria del DNA, potrà metamorfizzare la Ruota della nascita a volontà,

come lo desideriamo e come preconizzava Pitagora.»32

Xenakis fu poi molto influenzato dal pensiero di Parmenide, in particolare dal

principio del terzo escluso e della tautologia logica dell'essere: l'essere è, il non essere

non è; l'essere è immutabile, per cui il mondo sensibile è solo apparenza. La fisica, in

particolare gli studi sulla conservazione dell'energia, lo attestano: infatti l'energia

presente in tutto l'universo non può né essere distrutta né creata ma può solamente

trasformarsi. Anche nella logica l'assunto parmenideo, ripreso da Wittgenstein nel suo

Tractatus logico-philosophicus, risulta valido: la verità è tautologica, tutto ciò che è

affermato è una verità di cui non esiste un'alternativa concepibile.

28

Aristosseno (IV sec. a.C.), compositore, filosofo dell'antica Grecia e teorico musicale. 29

Hucbald (840 o 850 - 930), compositore, teorico musicale, scrittore e agiografico. 30

Gioseffo Zarlino (1517 - 1590), compositore e teorico musicale italiano. 31

Jean-Philippe Rameau (1683 - 1764), compositore, clavicembalista, organista e teorico della musica francese. 32

Xenakis, Iannis, Musique. Architecture, Casterman, Tournai, 1976 (tr. it. di Letizia Lionello, Giancarlo Secco

e Angelo Varese, Musica. Architettura, Milano, Spirali, 1982, p. 56). Forse la realizzazione del sogno di Pitagora

non è oggi così lontana. Nell'epoca digitale alcune importanti riflessioni in questo senso hanno interessato

discipline tra loro diverse, come ad esempio il cinema (Matrix, The Cell, Transcendence, ecc.), letteratura (J.

Ballard, Philip K. Dick, ecc.), e in particolare l'arte visiva (si vedano a questo proposito i contributi teorici di

Alessandro Amaducci).

Page 67: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

64

I due principi essenziali enunciati rispettivamente da Parmenide (il principio gerarchico:

l'essere è immutabile e i fenomeni sono solo apparenza) e da Pitagora (il principio dei numeri:

tutto è numero o è riconducibile a un numero) - continua il compositore greco - furono inoltre

di fondamentale importanza non solo nella storia del pensiero ma anche in campo artistico.

«Nel corso dei secoli le arti hanno avuto conversioni parallele a quelle delle due

creazioni essenziali del pensiero umano: il principio gerarchico (Parmenide) e il

principio dei numeri (Pitagora). Di fatto questi hanno dominato la musica, in

particolare dal Rinascimento fino agli attuali procedimenti di composizione.

Quando a scuola si sottolinea l'unità e la si raccomanda per i temi e i loro

svolgimenti, quando il sistema seriale impone una gerarchia differente con la sua

differente unità tautologica incarnata dalla serie e dal principio di variazione

perpetua ma interno a questa tautologia.»33

Il principio della tautologia dell'essere espresso da Parmenide implica il determinismo

(tutto ciò che è non può non essere così com'è) e quindi l'esclusione del caso. Tale

affermazione è alla base della moderna teoria della probabilità, che porta a cercare di

prevedere il caso costringendolo entro leggi deterministiche. Nella storia del pensiero solo

l'atomismo di Epicuro accetta un certo grado di indeterminismo nella struttura dell'universo,

contrapponendo la caduta inesorabile e parallela degli atomi alla possibilità che le loro

traiettorie possano essere modificate dall'incontro causale di resistenze (enklisis). Epicuro

ammise quindi l'idea di aleatorio che gettò le basi per la moderna stocastica, ossia l'utilizzo

del caso come principio o modo di essere. La teoria delle probabilità accetta l'incertezza

inquadrandola in due modi: l'uno ipotetico (l'ignoranza della traiettoria produce l'incertezza) e

l'altro deterministico (le leggi dei grandi numeri riducono l'incertezza studiandola in relazione

alle variabili spazio e tempo). Si arriva così al fulcro della riflessione di Xenakis:

«Determinismo o alea, unità di stile o eclettismo, calcolo o no, intuizione o

costruttivismo, apriorismo o no, una metafisica attraverso la musica o

semplicemente la musica come mezzo di divertimento e così via. Ma ecco gli

interrogativi che dovremmo porre:

1. che conseguenza avrà per la composizione musicale la cosciente

assunzione del campo pitagorico-parmenideo?

33

Op. cit., p. 58.

Page 68: Iannis Xenakis e La Composizione Attraverso La Stocastica

65

2. Per quali vie?»

Egli applica infatti la polarità determinismo-indeterminismo alla composizione musicale,

evidenziandone due aspetti: il primo, "in tempo", è riservato alla creazione istantanea, il

secondo, "fuori tempo", a lungo assente dalla composizione occidentale e reintrodotto da

Debussy e Messiaen, include elementi quali punti, distanze e funzioni che appartengono

all'asse del tempo, ripresi a sua volta da Xenakis per mezzo della stocastica.

«La polifonia ha rimosso nell'inconscio dei musicisti dell'occidente europeo la

categoria fuori tempo, reintrodotta in musica con Debussy e Messiaen. Infatti

l'atonalità sopprime le gamme e accetta la neutralità fuori tempo della gamma per

semitoni. Del resto questa situazione non è praticamente cambiata da

cinquant'anni. Per supplire a questo impoverimento, essa introduce con Schönberg

l'ordinamento in tempo. In seguito, con l'introduzione che mi sono permesso dei

processi stocastici, l'ipertrofia della categoria in tempo diviene opprimente e

giunge a una strada senza uscita dove ancora oggi si agitano le musiche chiamate

abusivamente "aleatorie".»34

Con l'introduzione della matematica nel processo creativo, l'autore greco evidenzia come

l'interpretazione originale della regola compositiva da parte dell'artista diventi parte essenziale

dell'opera stessa. Il formalismo, ossia l'applicazione di una teoria qualunque, confermata

attraverso uno specifico meccanismo logico-deterministico, escludendo quindi l'intuizione e

l'esperienza sensibile a priori, come invece poteva essere nelle musiche definite "aleatorie",

diventa pertanto un punto cruciale nel pensiero di Xenakis.

«Le regole possono essere imposte dall'opera stessa. [...] Ogni possibile riflessione

filosofica, ogni possibile regola viene restituita in modo originale da chi agisce,

dall'artista [...] Che cos'è l'originalità? [...] Quanto più rare e simboliche sono le

azioni dell'uomo tanto più profonda sarà la loro originalità.

Parlare dell'originalità dell'uomo è come parlare della sua costituzione e quindi

come parlare di quella dell'universo, e del suo svolgersi. Quello che vale per l'arte

vale per il destino degli esseri umani e dell'universo. Le preoccupazioni che ha il

musicista sono le stesse che ha l'astrofisico. Per secoli la tradizione scientifica ha

predicato che nulla può venire dal nulla. Si è visto l'universo come un automa che

continua a esistere senza creare nulla di nuovo. [...] Da molto tempo penso che la

musica sia uno dei molti percorsi che permetta al genere umano di guidare

l'universo esistente verso un universo altro. Ancora oggi gli astrofisici non sono in

34

Op. cit., p. 62.

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grado di rispondere a questo interrogativo di un universo aperto alla creazione

spontanea, che si forma e svanisce senza tregua. Dal nulla. Svanendo al nulla.»35

Dato il grande rilievo del determinismo nella riflessione del compositore greco, si pone

dunque il problema di quale margine rimanga per l'originalità della creazione artistica. Essa è

intesa da Xenakis come la ricerca del più alto grado di astrazione (o simbolismo) e

dell'unicità: si giustifica così la centralità della matematica — appunto il linguaggio più

simbolico di tutti e l'unico capace di spiegare sia la costituzione dell'uomo sia quella

dell'universo — nella sua produzione musicale. La ricerca dell'unicità, dal momento che,

come affermato dal pensiero filosofico greco e confermato dalla scienza, l'universo continua a

esistere senza creare nulla di nuovo sarà dunque da intendersi anche in musica come la

combinazione originale di elementi già esistenti. Si risolve dunque la contraddizione tra

determinismo e casualità a favore del primo? Si riportano di seguito due passi che gettano

luce su questo punto, tratti l'uno da La regola e la legge, l'altro da Sulla creatività dell'uomo.

«Nel cammino successivo mi sono accorto di certe falle inerenti quel discorso (la

stocastica). Bisogna pur ammettere che, sebbene il calcolo delle probabilità sia di

enorme utilità per poter gestire grandi quantità di suoni, è necessario poi trovare

altri sistemi, altri principi da mettere in gioco per far sì che questi suoni prendano

una direzione che non sia una certa media statistica. Insomma entrano in gioco

principi di tipo più intuitivo: si può decidere di andare verso la rarefazione, o

verso una maggiore complessità, o verso un colore differente... e ciò che si poteva

realizzare in modi diversi! Inoltre, mi sono imposti problemi logici fondamentali,

anche relativi alla percezione: per esempio, quando Beethoven negli ultimi

Quartetti passa dalla tonalità di do maggiore a quella di do# maggiore, si usa dire

che egli modula a un tono "lontano", ma a me questo passaggio sembra molto

vicino, in fondo c'è solo un semitono di distanza... Perché questo scarto tra quello

che ascoltiamo e la terminologia specializzata? In realtà i musicisti pensano sulla

base dell'intersezione di due scale: una tonalità "vicina" è una tonalità che ha

un'ampia porzione di intersezione con quella di partenza (ecco un esempio in cui

la logica fa parlare i musicisti senza che essi lo sappiano!). Di fronte a questo tipo

di problemi ho pensato, seguendo la logica simbolica del XIX secolo, di

introdurre la "musica simbolica" e di utilizzare la teoria dei gruppi. [...]»36

«Paleontologia, genetica, biologia, fisica, matematica, chimica, storia e scienze

umane: queste sono le discipline che determineranno la formazione del musicista

di domani. Cioè di colui che definiscono "artista-ideatore", di colui che è alla

ricerca dell'ordine nascosto dietro ciò che appare un disordine universale, di colui

35

"Sulla creatività dell'uomo", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, pp. 119-120 36

"La regola e la legge", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 116.

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che stabilisce un nuovo rapporto tra arte e scienza, e particolarmente tra arte e

matematica. Dall'antica Grecia a oggi, certe conquiste in ambito musicale sono

avvenute nello stesso momento in cui venivano compiuti importanti avanzamenti

in matematica.»37

Xenakis tematizza qui i limiti del determinismo: "Sebbene il calcolo della probabilità sia di

enorme utilità per gestire enormi quantità di suoni, è necessario poi trovare altri sistemi... per

far si che questi suoni prendano una direzione che non sia una certa media statistica. Insomma

entrano in gioco principi di tipo più intuitivo." La soluzione che egli adotta è la musica

"simbolica" e l'applicazione della teoria dei gruppi alla musica. Questo consente di restituire

importanza anche alla percezione dei suoni da parte dei musicisti, ad esempio tonalità

"vicine" e "lontane". L'evoluzione — continua il compositore greco — non solo non denota

un errore precedente, ma è coerente con la natura dell'universo stesso e quindi anche

dell'uomo:

«Ma allora, perché trasformare anche le leggi? L'uomo è fatto per modificare le

cose, lo sappiamo dall'antichità. In apparenza l'universo è costituito come se si

ripetesse, ma le stagioni, gli anni, la morte, il ciclo di nascita e di morte, tutte

queste cose non si ripetono, in alcun modo, identiche. La non-evoluzione

postulata a priori è di conforto solo ai pigri, a coloro che hanno la ripetitività del

quotidiano la loro fonte di certezza. Lo stesso avviene per l'artista i cui gesti e

modi di pensare diventano cliché mentre, invece, c'è una montagna di domande

fondamentali da porsi: come? perché? Certo, alla lunga, queste domande gli

impedirebbero di andare avanti col lavoro, di scrivere. Però questa contraddizione,

che si incontra anche nel pensiero scientifico, è soltanto necessaria.»38

L'artista, come gli scienziati, è alla continua ricerca di nuove leggi che rispondano in modo

più soddisfacente alle domande fondamentali (come? perchè?); le certezze raggiunte sono

sempre temporanee.

«Dovremmo fare sempre come se fossimo su un ponte traballante: dovremmo

provare ad attraversarlo senza poter sapere se così facendo andiamo incontro alla

caduta o alla continuità.»39

37

"Sulla creatività dell'uomo", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 123. 38

"La regola e la legge", in A. Di Scipio, Xenakis - Universi del suono, p. 117. 39

Ibidem.

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Non si può dunque sorprendersi del fascino che la musica e il pensiero di Xenakis

continuano ad esercitare.

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