ice cap10 notcient

CAPITULO 10

NOTACION CIENTIFICA

En el trabajo científico a menudo deben realizarse operaciones con números muy

grandes o muy pequeños. Por ejemplo la constante de gravitación universal

vale .000,000,000,066,7 el tamaño de una molécula de aceite mide cerca de: .000,000,01

metros, la longitud de una bacteria vale casi .000,001 metros. El radio terrestre mide

6,360,000 metros, la masa de la Tierra vale 5,976,000,000,000,000,000,000,000

kilogramos, la distancia media de la Tierra a la luna 384,404,000 metros, la distancia

media del planeta Marte al Sol vale 227,900,000,000,000 metros. Hacer cuentas con

estos números presenta problemas muy especiales. Aunque las calculadoras han

simplificado la realización de operaciones aritméticas, cifras como las de arriba no caben

en la pantalla de la calculadora, ya que involucran muchos dígitos, y las calculadoras

están limitadas a 8 o cuando mas a 12 dígitos. Podemos simplificar las operaciones con

números muy grandes o muy pequeños, utilizando potencias del número 10.

Leyes de Exponentes y Potencias de 10

Un número muy grande por ejemplo 123,000,000,000 puede escribirse como el

producto 1231,000,000,000 = 123109. Análogamente un número muy pequeño

como .000,000,000,75 = 75.000,000,000,01 = 751

100,000,000,000 = 751

10 11

=7510–11 En ambos casos se ha empleado una potencia del número 10 como auxiliar.

Siempre es posible escribir de forma abreviada cantidades muy grandes o muy chicas

mediante el auxilio de potencias de 10, y efectuar operaciones aritméticas aprovechando

las leyes de exponentes. Elevar un número a una potencia dada, consiste en multiplicarlo

una y otra vez por si mismo cuantas veces lo indique la potencia. Por ejemplo a2 = aa; b

5

= bbbbb. En general xn = xxxxxxxx....... n veces. Las leyes algebraicas para operaciones

con exponentes se exponen a continuación:

axay = ax+y; ax

ay =ax-y; 1

ax =a-x; (ax)y=axy; a = a1 2

; an=a1 n . Para hacer operaciones con

potencias de 10, se procede como se muestra en los ejemplos siguientes.

Notación científica 118

I. Operaciones usando la ley: a x

ay

=a x + y

10.1 10 510 7 = 10 5 + 7 = 10 13 10.2 10 - 12 10 7 = 10 -12 + 7 = 10 - 5

10.3 10 - 3210 - 8=10 - 32 - 8= 10 - 40 10.4 10 - 10 10 14 = 10 - 10 + 14 = 10 4

II. Operaciones usando la ley:

a x

a y= a

x −y

10.5 1012

108 = 10

12 – 8 = 10

410.6 107

109

= 10 7 - 9

=10 – 2

= 1

102 =

€

1

100 = .01

10.7 107

10−10 = 10

7 – (-10) = 10

7 + 10 = 10

17 10.8

10−3

106 = 10

- 3 - 6 =10

- 9

10.9 10 −10

10 −12 = 10

–10 – ( - 12) = 10

– 10 + 12 = 10

2

10.10 10 −20

10 −15= 10

– 20 – ( -15) = 10

– 20 + 15 = 10

– 5 =

€

1

10 5

III. Operaciones usando la ley: a−x =

1

a x

10.11 10 – 2

= 1

102 = 1

100 = .01 10.12 1

10−3 = 10 – (- 3)

= 10 3 = 1000

IV. Operaciones usando la ley ( a x )

y = a

x y

10.13 (10 3)

5 = 10

(3)(5) = 10

1510.14 (10

- 2 )

4 = 10

(-2)(4) = 10

- 8

10.15 (10 7

) - 10

= 10 (7)( - 10)

= 10 - 70

10.16 (10 - 4

) - 3

= 10 (-4)(-3)

= 10 12

V. Operaciones usando la ley an = a

1n

10.17 103 = 10

13 10.18 10

– 1 / 3 =

1

101 3 = 1

103

10.19

€

1035= ((10)3)1/5=(10)3(

€

1

5)=(10)

€

3

5

118


10.20 ( 1035

)3 = (103)1 5( )

3= 10(3)(1 5)(3) =10((3 ×1 ×3) 5) =109 5

10.21

€

1012

1033 =

€

1012 − 33 =

€

(109)1 3 = 10(9)(1/3)

=

€

109 3 = 103

10.22

€

105

10-105 =

€

105− (−10)5 =

€

105+105 =

€

(1015)1 5=

€

1015 5 = 103

10.23 (

€

1053 )(

€

1065 ) = (

€

105 3)(

€

106 5) =

€

10

5

3+

6

5 =

€

10

25+18

15 =

€

1043 15

Nótese que debemos utilizar leyes algebraicas como las de los signos y muchos

detalles de aritmética, como son las operaciones de quebrados.

Representación de Cantidades Utilizando Potencias de 10

Los números muy grandes se representan mediante potencias de 10 con exponente

positivo. Por ejemplo el número 6,360,000 es el resultado del multiplicar: 636 10,000

como se ilustra en el cuadro 10.1. Dado que 10,000 = 104 entonces

6,360,000 = 636 10,000 = 636 104. Sin embargo esta no es una

representación única del número, ya que como el lector puede

comprobar mediante multiplicación simple 6,360,000 puede

representarse también de las formas siguientes:

63.6 100,000 = 63.6 105

10.36 1,000,000 = 10.36 106

.636 10,000,000 = .636 107

6,360 1000 = 6,360 103

63,600 100 = 63600 102

636,000 10 = 636,000 101

El ejemplo anterior muestra la forma en que se escriben los números con potencias

de 10 positivas. Recordando que en toda expresión numérica existe un punto decimal,

aunque no se escriba explícitamente, en 6,360,000 el punto decimal está a la derecha del

primer cero aunque no lo veamos. En la representación 6,360,000 = 6.36 106 se

aprecia que el punto decimal se ha movido seis lugares hacia la izquierda (cuadro 10.2),

desde su posición original, y esa cantidad de lugares, nos proporciona el exponente que

acompaña a la potencia de 10. En resumen, para escribir un número en términos de

Cuadro 10.1

119


potencias positivas de 10 se procede como sigue:

1.-) Se corre el punto decimal hacia la izquierda de su posición inicial hasta el lugar

donde se desea ubicarlo.

2.-) Se cuentan los lugares que se ha corrido el punto, el número así obtenido es la

potencia positiva de 10.

3.-) Se escribe el número ya con el punto decimal en su nueva ubicación, multiplicado

por el número 10 elevado a la potencia determinada en el inciso 2.

Para números negativos se sigue exactamente el mismo procedimiento, conservando el

signo del número pues el cambio de representación no lo altera.

Ejemplo 10.24 Escribir en términos de potencias de 10, proponiendo por lo menos

tres alternativas diferentes el número 5,976,000,000,000,000,000,000,000

5,976,000,000,000,000,000,000,000 = 5.9761024

corriendo el punto 24 lugares a la

derecha (cuéntelos). 5,976,000,000,000,000,000,000,000 = 59.761023

corriendo el

punto 23 lugares a la derecha, y también corriendo el punto solamente 22 lugares a la

izquierda obtenemos: 5910.6 1022

Ejemplo 10.25 Escribir en términos de potencias de 10, proponiendo al menos tres

alternativas el número 227,900,000,000,000

Corriendo el punto 11 lugares 2279 1011

. Corriendo el punto 12 lugares 2210.9

1012

y corriendo el punto 13 lugares 22.79 1013

Ejemplo 10.26 Escribir en términos de potencias de 10 el número - 560,000

Corriendo hacia la izquierda 5 lugares el punto tendremos: - 10.6 105

Para pasar de la representación en potencias de 10 a la representación normal,

corremos el punto hacia la derecha tantos lugares decimales como indica el exponente

de 10, agregando ceros para llenar los lugares donde no haya dígitos. Esto se ilustra en

los ejemplos siguientes.

6,360,000 = 6.36106

El punto decimal se mueve seis lugares a la izquierda

Cuadro 10.2

120


Ejemplo 10.27 Escriba explícitamente el número 10.5 1011

10.5 1011

= 10.5 100,000,000,000 = 650,000,000,000

Ejemplo 10.28 Escriba explícitamente el número - 2.35 107

- 2.35 107 = - 23,500,000

Representación con Potencias Negativas de Diez Los números muy pequeños,

positivos o negativos se representan usando potencias negativas de 10. Para apreciar esto

veamos la división375

100,000 . El cuadro 10.3 muestra en detalle el procedimiento usual

para hacer esta operación. Analizando detalladamente el resultado, se aprecia que si

corremos a la izquierda el punto decimal tantos lugares como lo indica el exponente de la

potencia de 10 entre la que se hizo la división, obtenemos el mismo resultado.

En el ejemplo el punto decimal se corre 5 lugares a la izquierda de su posición

original: 375

100,000= .003,75 =37510-5 . Analizando esta expresión es fácil darse cuenta

que la división entre una potencia positiva de 10, como es el caso (375/105) es lo mismo

que multiplicar el número en cuestión por la potencia de 10 con el signo negativo. En

resumen, para escribir un número en términos de potencias negativas de 10 se procede

como sigue.

1.-) Se corre el punto decimal hacia la derecha de su posición inicial hasta el lugar

donde se desea ubicarlo.

2.-) Se cuentan los lugares que se ha corrido el punto, el número así obtenido es la

potencia negativa de 10.

Cuadro 10.3

121


3.-) Se escribe el número ya con el punto decimal en su nueva ubicación, junto con la

multiplicación por el 10 elevado a la potencia negativa determinada en el inciso 2.

Para números negativos se sigue exactamente el mismo procedimiento,

conservando el signo del número pues el cambio de representación no lo altera. Al igual

que en el caso de las potencias positivas de 10 la representación de un número no es

única, pues la cantidad de lugares que debe correrse el punto decimal puede ser definido

a nuestra voluntad. Por ejemplo, el número .000,000,009,3 puede representarse de las

formas siguientes:

.000,000,009,3 = .93 10 - 8

.000,000,009,3 = 9.3 10 - 9

.000,000,009,3 = 93 10 - 10

.000,000,009,3 = .0093 10 - 6

.000,000,009,3 = .000,0093 10 - 3

Ejemplo 10.29 Escriba en dos formas diferentes empleando potencias negativas de

10 el número: .000,004,5

Corriendo el punto 6 lugares hacia la derecha 4.5 10 - 6

Corriendo el punto 7 lugares hacia la derecha 45 10 - 7

Ejemplo 10.30 Escriba en dos formas diferentes empleando potencias negativas de

10 el número: - .000,0791

Corriendo el punto 7 lugares hacia la derecha - 791 10 - 7

Corriendo el punto 3 lugares hacia la derecha - .0791 10 - 3

Para pasar de la representación en potencias negativas de 10 a la representación

normal, corremos el punto hacia la izquierda tantos lugares decimales como indica el

valor absoluto de la potencia de 10, agregando ceros para llenar los lugares donde no

haya dígitos.

Ejemplo 10.31 Escriba explícitamente la cantidad 9.0273 10 - 6

Corriendo 6 lugares hacia la izquierda el punto decimal obtendremos .000,009,027,3

Ejemplo 10.32 Escriba explícitamente la cantidad - 1.03 10 - 7

122


Corriendo el 7 lugares a la izquierda obtenemos: - .000,000,103

Operaciones con Números Representados con Potencias de 10

A la notación en términos de potencias de 10 se le llama notación científica o de

ingeniería. Ahora veremos como se efectúan operaciones aritméticas utilizando esta

representación.

Multiplicación Para realizar estas operaciones, se multiplican por separado las

potencias de 10 y los números. Por lo demás se respetan las leyes algebraicas de

operación.

Ejemplo 10.33 Efectuar la operación (9.36 107) ( 3.2 10

9)

(9.36 107) ( 3.2 10

9) = 9.36 3.2 10

7 10 9= 29.952 10

7 + 9 = 29.952 10

16

Ejemplo 10.34 Efectuar la operación (10.2 1012

) (9 10 - 8

)

(10.2 10 12

) (9 10- 8

) = 10.2 9 1012 - 8

= 91.8 10 4

Ejemplo 10.35 Efectuar la operación (.032 10 - 7

)( 40 10 5)

(.032 10 - 7

)( 40 10 5) = .032 40 10

- 7 + 5 = 1.28 10

- 2

Ejemplo 10.36 Efectuar la operación (1.25 10 -11

) (10.3 10 -7

)

(1.25 10 -11

) (10.3 10 -7

) = 1.25 10.3 10 -11 - 7

= 10.875 10 - 18

División Al igual que con las multiplicaciones, se dividen por separado los

números y las potencias. Se efectúan las divisiones por separado y al final se unen en el

resultado.

Ejemplo 10.37 Calcular la división: 4.5×1015

2.1×107

4.5×1015

2.1×107=

4.5

2.1×1015

107 = 2.14310

15-7 = 2.14310

8

Ejemplo 10.38 Calcular la división: 9.8×106

7.7×1012

123


9.8×106

7.7×1012 =

9.8

7.7

106

1012 = 1.273 10 6 – 12

= 1.273 10 – 6

= .000,001,273

Ejemplo 10.39 Calcular la división: 6.5×10−10

2.3×104

6.5

2.3

10 −10

10 4 = 2.826 10

– 14 – 4 = 2.826 10

- 18

Ejemplo 10.40 Calcular:

€

20 ×10-7

5×10-11

20

5

10 −7

10 −11 = 4 10

– 7 – ( - 11) = 4 10

– 7 + 11 = 4 10

4

Ejemplo 10.41 Calcular:

€

5.37 ×10-16

3.6 ×10-8

5.37

3.6

10−16

10−8 = 1.492 10

– 16 - ( - 8) = 1.492 10

–16 + 8 = 1.492 10

– 8

Potencias y Raíces con Potencias de 10 Estas operaciones se efectúan utilizando

las siguientes leyes de operación del álgebra:

a bn = an bn

= a1/n

b1/n

; a

bn =

an

bn = a1 n

b1n ; (a b) n

= a n

b n

y a

b ⎛ ⎝

⎞ ⎠

n=

a n

bn

Ejemplo 10.42 Calcular la raíz cuadrada de 81 1012

€

81×1012 = 81 10 12 = 9 (1012

) 1/ 2

= 9 10 12/2

= 9 10 6

Ejemplo 10.43 Calcular la raíz cúbica: 1.257×10 283

Para obtener la raíz cúbica de 1028

va a ser necesario dividir el exponente 28 entre 3.

Pero 28 no es divisible entre 3, sin embargo 27 si lo es. Entonces antes de hacer cualquier

otra operación, se mueve el punto decimal en una cifra hacia la derecha, para obtener una

expresión multiplicada por 10 27

, transformamos 1.257 10 28

en 12.57 10 27

y luego

procedemos con la raíz. Obviamente 1.257 10 28

= 12.57 10 210.

1.257×10 283 = 12.57 ×10273 = 12.573 10 273 = 2.325 10 27 / 3

124


y concluyendo: 1.257×10 283 = 2.3251 10 9

Suma y Resta Únicamente podemos hacer sumas y restas si las cifras están

expresadas en términos de la misma potencia de 10. No es posible sumar o restar

expresiones expresadas en términos de potencias de 10 diferentes. Para restar o sumar

cantidades expresadas en términos de potencias de 10:

1. Antes que nada se arreglan las cantidades para que todas queden expresadas en

términos de la misma potencia de 10, moviendo los puntos decimales para aumentar o

disminuir las potencias, según se necesite.

2. Se suman o restan los números y el resultado será lo que se obtenga de la suma o

resta multiplicado por la potencia de 10 determinada en el inciso anterior

3. No se suman ni restan los exponentes, únicamente se suman las expresiones numéricas

asociadas a las potencias.

Ejemplo 10.44 Calcular 10.17 10 12

+ 10.22 10 15

Método 1) Igualando a la potencia 10 12

.

El único término que hay que arreglar es el segundo. Se corre el punto decimal 3 lugares

hacia la derecha con lo que la potencia de 10 disminuirá en 3 lugares, quedando la cifra

10.221015 = 52201012. Con esto sumamos: 10.17 1012

+ 10.22 1015

=

10.17 1012

+ 5220 1012

= ( 10.17 + 5220 ) 1012

= 52210.17 1012

Método 2) Igualando a la potencia 1015.

Ahora se arregla la primer cifra de la suma, corriendo el punto decimal 3 lugares hacia la

izquierda, con lo que obtenemos: 10.17 1012

= .00617 1015

Sumando tenemos: 10.17 1012

+ 10.22 1015

= .00617 1015

+ 10.22 1015

=

= (.00617 + 10.22) 1015

= 10.22617 1015

Ejemplo 10.45 Calcular - 3.89 106 + 1.46 10

8

Método 1) Igualando a la potencia 106

125


Arreglamos el segundo término, corriendo el punto decimal dos lugares a la derecha

quedando 1.46 108 = 146 10

6, con esto la suma es

- 3.89 106 + 1.46 10

8 = - 3.89 10

6 + 146 10

6 = ( - 3.89 + 146) 10

6 y el

resultado es 142.10 106

Método 2.-) Igualando a la potencia 108

Arreglamos el primer término corriendo el punto decimal dos lugares a la izquierda

quedando 3.89 106 = .0389 10

8. Con esto la suma es:

-.0389 108 + 1.46 10

8 = (- .0389 + 1.46) 10

8 y el resultado es 1.4211 10

8

Ejemplo 10.46 Calcular 8.67 10-12

+ 4.19 10-9

En este ejemplo tenemos exponentes negativos y conviene recordar que si se corre

el punto a la izquierda el valor absoluto del coeficiente negativo disminuye, mientras que

si se corre el punto decimal a la derecha el valor absoluto del coeficiente aumenta.

Método 1.-) Igualando coeficientes a 10-12

Tenemos que modificar el término 4.19 10-9

. Corremos el punto decimal 3 lugares a la

derecha para que el exponente sea -12, o sea 4.19 10-9

= 4190 10-12

, y sumamos:

8.67 10-12

+ 4.19 10-9

= 8.67 10-12

+4190 10-12

= (8.67 + 4190) 10-12

y

el resultado es 4198 10-12

.

Método 2.-) Igualando coeficientes a 10-9

Modificamos 8.67 10-12

de manera que su potencia de 10 sea 10-9

corriendo el punto

decimal 3 lugares hacia la izquierda quedando: 8.67 10-12

= .00867 10-9

. La suma

es:

8.67 10-12

+ 4.19 10-9

= .00867 10-9

+ 4.19 10-9

= (.00867 + 4.19) 10-9

y el

126


resultado es 4.1987 10-9

.

Ordenes de Magnitud

En ciencia es costumbre hablar de ordenes de magnitud cuando se comparan

medidas o dimensiones físicas de objetos. El orden de magnitud se define en términos de

potencias de 10. Por ejemplo si una longitud vale .0001 m. = 10 - 4

m y otra vale .1 m =

10 - 1

m. La razón entre ambas es

€

10-1

10- 4 = 10 - 1 - ( - 4) = 10 - 1 + 4 = 10 3 y decimos que

entre ambos números hay una diferencia de tres órdenes de magnitud. Si tenemos un

volumen V1 = 20 litros = 2 10 litros y otro de V2 = 1000 litros = 103 litros, la razón

entre los volúmenes es

€

103

2 ×10= .510

2 = .5 100, es decir la diferencia entre ambas

cantidades es de 100 = 102 a 1 o sea de dos órdenes de magnitud.

La diferencia en órdenes de magnitud de entre dos cantidades, está dada por la

diferencia en los exponentes de las potencias de 10 involucradas en la representación

numérica de ambas cantidades, cuando ambas cantidades se dividen.

Ejemplo 10.47 ¿Por cuantos órdenes de magnitud es mas grande la masa del

protón (1.67 10-27 kg.) que la del electrón (9.11 10-31)?

Dividiendo ambas cantidades: 1.67

9.1110 −27

10 −31

= .183310 -17+31 = .1833104 una

diferencia de cuatro órdenes de magnitud. Otra forma de ver la diferencia en órdenes de

magnitud es restar los exponentes - 27 - (- 31) = - 27 + 31 = 4 órdenes de magnitud.

Calculadoras

Desde 1972 existen calculadoras de mano que sirven no solo para sumar restar y

dividir, sino también para obtener cualquier potencia, cualquier raíz, valores de funciones

trigonométricas, graficar los resultados de experimentos y muchas otras operaciones

Representación de potencias de 10 en Calculadoras En la pantalla de una

calculadora existen límites para la presentación de cantidades. Lo mas común es que

solamente se puedan presentar de 8 a 10 dígitos o combinaciones de dígitos y símbolos

en la pantalla. En algunos modelos en la pantalla de una calculadora no se puede escribir

127


una expresión con potencias de 10 en la misma forma como lo hacemos en un cuaderno o

en el pizarrón. Veamos el número: 3.56 10- 27.

En una pantalla se vería como sigue:

Los tres últimos lugares hacia la derecha de la pantalla están destinados para

representar tanto el exponente de 10 como su signo. En otros modelos de calculadora

veríamos: 3 . 5 6 E - 2 7 Usualmente pueden representarse números desde 10 - 99

hasta

10 99

. No aparece explícitamente el número 10 ni tampoco necesitamos marcarlo en la

máquina al introducir el número. También hay modelos en los que aparece el término

“10”, usualmente en un recuadro al lado derecho de la pantalla: 3.5610 – 27”

Para escribir números incluyendo potencias de 10 en las calculadoras, se emplea,

según la marca y el modelo de máquina, una tecla con el letrero tecla EXP o con

únicamente la letra E, o bien el símbolo “”. Por ejemplo para escribir en una calculadora

la cifra 5.74109, los teclazos serian los siguientes: 5 . 7 4 EXP 9 Nótese que no es

necesario teclear ni el número 10 ni el signo , pues cuando se oprime la tecla EXP, la

máquina automáticamente “entiende” que se está representando el número en términos de

potencia de 10, y agrega internamente sin mostrarlo en la pantalla esta potencia

automáticamente. Si se teclea la multiplicación por 10, ya no se representa el número

5.74109 sino el 5.7410

10, lo cual es erróneo. Otras formas de teclear el número según

el modelo de la máquina son 5 . 7 4 E 9 o bien 5 . 7 4 9

Para escribir números con exponente negativos, en algunos teclados existe una tecla

con los símbolos +/- y en otros una tecla con el signo menos entre paréntesis (-) , para

agregar el símbolo “ – “ al exponente. Obviamente este signo no es el que se emplea para

efectuar la resta usual de la aritmética. Por ejemplo para el número 1.510-25 los

teclazos serán: 1 . 5 EXP +/- 2 5 o 1 . 5 E +/- 2 5 o bien 1 . 5 +/- 2 5 también

puede ser :

1 . 5 EXP (-) 2 5 o 1 . 5 E (-) 2 5 o bien 1 . 5 (-) 2 5. Es indispensable que el

128


alumno lea el manual de su máquina, para aprender cuales teclas se emplean en la

representación y operación, de números con potencias de 10.

Problemas

1. Efectuar sin máquina las operaciones siguientes entre potencias de 10

1) 10310

12 = 2) 10

-5106 = 3) 10

-410-3

=

4) 10 - 12 10

15 = 5) 10

2/7101/5

= 6) 10- 2/310

3/5 =

7) 10- 2/310

-1/5 = 8) 10

-1/4102/7

= 9)

€

106

105 =

10)

€

108

10- 3 = 11)

€

10- 6

102 = 12)

€

10-3

10- 7 =

13)

€

10- 5

10- 12 = 14) (10

5)3 = 15) (10

6)- 4

=

16) (10-7

)2 = 17 (10

-6)-8

= 18)

€

106 =

19)

€

10- 183 = 20)

€

1

1084 = 21) (

€

1034 )(

€

1043 ) =

22) (

€

10-53 )(

€

10-23 ) = 23)

€

1021

1012 = 24)

€

10−3

1063 =

2. Expresar en términos de potencias de 10

25) .000,000,000,32 26) (.002)3 27) 134,000,000,000

28) .000,000,55 29) (.075)4 30) 65,000,000,000

31) .000,000,000,000,21 32) (1.5)10 33) 891,000,000

34) .000,19 35) (- 2.5 ) 7 36) 756,000

37) .000,000,000,000,91 38) (6)9 39) 157,000,000,000

40).000,000,0085 41) (12)8 42) 36,000

43) .0071 44) (5) 5 45) 715,000,000

46) .045 47) (7)7 48) 31,400,000,000

3. Efectuar sin máquina las multiplicaciones siguientes

49) (3.2 10-3)(4.5 1014) 50) (6.89 10 -3)(4.65 10 -4)

51) ( 10.1 1015)(2.3 1014) 52) ( .003 109)(7 105)

129


53) (-2.5 1012)(-10.5 108) 54) (12 1012)(15 1015)

55) (2.1 10-5)(6 10-13) 56) (3.21 10-5)(10.19 1015)

4. Efectuar sin máquina las divisiones siguientes

57)

58)

59)

60)

61)

130


15×10 15

9×10 9

131


62)

132


6.4×10 3

8×10 -9

133


63)

134


6.4×10 -17

3.2 ×10 17

135


64)

136


2.5 ×10 22

1.2 ×10 17

137


65)

−3.1×108

2.5 ×10−12

5. Efectuar sin máquina las sumas y restas siguientes

66) 1.2 10 -16 + 1.8 10 -18 67) 2.4 1018 - 3.2 1020

68) 10.7 10 - 22 + 9.3 10 - 20 69) 6.3 1028 - 1.5 1026

70) 4 10 -22 - 5 10 -20 71) 6.6 10 12 + 1.5 10 10

72) 3 10-14 - 2 10-16 73) 1.9 1014 + 2.456 1016

74) 10.6 108 – 1.758 1010 75) 9.5 1011 + 1.756 1013

76) 1.9 106 + 10.8 105 77) 10.42 1030 - 6.39 1029

78) 2.15 1013 - 6.52 1011 79) 3.45 10-30 + 6.51 10-33

80) 10.75 10-35 - 1.45 10-33 81) 5.58 1023 + 510.695 1020

6. Efectuar sin máquina las operaciones siguientes

82) (1.3 10-5)5 83)

138


2.5 ×10 22

1.2 ×10 17

139


84)

140


3.2 ×10 −6

1.6 ×10 45

141


85) (2.5 10 5 )-3 86)

87)

88) (3 104 ) 4 89)

142


6.4×10 3

8×10 -9

143


90)

91) (5 103)6 92)

144


15×10 15

9×10 9

145


93)

146


64 ×108

2 ×1044

147


94) (6 106)1/6 95)

96)

97) (4 101/5) 10 98)

99)

100) (8 108) 3 101)

102)

103) (9 109) (1/3) 104)

105)

106) 2.510-6 + 3.210-8 107) 3.21018+5.31016 108) 510-12+3.210-11

109) 1.510-3 + 5.4210-4 110) 4.5510100+32.51099111) 31027+21028

112) 6.951056+321055 113) .04510-7+310-5 114) 41075+.0341077

115) 3.21035+1.561037 116) 7.310-15+.00410-17 117) 6.210-75+.00310-71

118) 9.8210-36+.004510-38119) 6.510-16+3.4510-14 120) .04710-35+3.210-33

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