identification de paramètres océaniques par une...
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'N° d'Ordre 1.85
N° de Série 40
THESEprésentée
DEVANT L'UNIVERSITE DE RENNES 1
ET L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE RENNES
pour obtenir
LE TITRE DE DOCTEUR EN TROISIEME CYCLE
SPECIALITE : ANALYSE NUMERIQUE ET MECANIQUE
par
Pascal DOUILLET
Sujet de la thèse IDENTIFICATION DE PARAMETRES OCEANIQUES
PAR UNE METHODE INVERSE
. soutenue le 4 Juin 1985 devant la Commission d'Examen
MM. Chr. COATMELEC Président
F. BROSSIER
Chr. COLIN ExaminateursA. MIGNOT
M. POGU
Ce travail a été effectué dans le cadre du contrat C.N.E.X.O.
N° 84/3146 intitulé:
Identification des coefficients de viscosité virtuelle
dans l'Atlantique Equatorial
Je suis très heureux de pouvoir exprimer ici ma profonde
gratitude à Madame Françoise BROSSIER qui m'a proposé ce sujet de thèse,
pour les nombreux encouragements qu'elle n'a cessé de me prodiguer et
pour la grande disponibilité dont elle a fait preuve tout au long de ce
travail.
Je remercie particulièrement Monsieur COATMELEC d'avoir bien
voulu présider ce Jury.
Je remercie Messieurs MIGNOT et POGU qui ont accepté de
prendre part à ce Jury.
Mes remerciements vont à Monsieur COLIN et aux membres de
l'O.R.S.T.O.M. avec lesquels j'ai travaillé pendant un an.
Je veux aussi exprimer mes plus sincères remerciements à tous
mes amis et collègues de l'INSA pour l'aide morale qu'ils m'ont apportée.
INTRODUCTION
La circulation océanique de l'Atlantique Equatorial est
maintenant bien connue grâce à des campagnes de mesures effectuées depuis
une vingtaine d'années. On peut décrire brièvement les caractéristiques
de cette circulation.
La distribution verticale des temp~ratures dans la zone
équatoriale présente une très nette discontinuité : on observ~ en surface
une couche d'eau mélangée, de température élevée. Son épaisseur est variable
et dépend en partie du processus d'échange thermique en surface, en partie
des vents et des courants. Entre cette couche d'eau superficielle et l'eau
profonde, à très faible gradient de température, se trouve une zone de
transition, appelée thermocline, où la température décroît très rapidement
avec la profondeur.
Le phénomène de thermocline est caractéristique des régions
équatoriales. Les principaux courants sont observés dans la couche super
ficielle, et au niveau de la thermocline.
Le système de courants dans l'Atlantique Equatorial est carac
térisé par, l'existence de grands cou~ants zonaux qui peuvent être résumés
ainsi :,
Deux courants très stables traversent l'Atlantique d'Rst en
,Ouest. Ce sont les courants Nord et Sud Equatoriaux. Entre les deux, le
contre-courant équatorial s'écoule d'Ouest en Est, sa position ainsi que
son débit étant sujet à d'importantes variations saisonnières. Le trait
dominant de la circulation est le sous-courant équatorial, se propageant
vers l'Est, et situé au niveau de la thermocline. En moyenne, ce courant
est axé sur l'équateur et s'étend sur une largeur de )°30'. Son transport
présente d'importantes variations saisonnières. Les vitesses mesurées sont
très importantes, en particulier à l'équateur où on a observé des vitesses
de l'ordre de 60 à )00 cm/s.
2
~es équatiqns vérifi&e$ par les courants océaniques sont
d~ type Navier~Stokes. Afin d~ cpnserv~r ces équations au niveau du
mouv~ment moy~n, on introduit les tensions de Reynolds qui servent à
r~présen~~r les turbul~nces. Ces tensions de Reyno~ds fpnt intervenir
des çOeffici~nts de viscosité virtuelle. Habituellem~nt, ces coefficients
sont ppis éga~x à 4es constantes. Dr il se~ble que dans la zone équatoriale
leur~ valeurs soient influencées par les fOrtes variations du courant
suivant la ve~ticale.
~'objet de cette étud~ ~st de pr~senter une méthode permettant
de déterminer de manière plus fine les valeurs des coefficients de visco
sité virtuelle à partir de valeurs observées du courant.
Pour les valeur~ observées du courant, nous allons utiliser
les données du programme FOCAL (Français OGéan Climat Atlantique
êquatori~) effectué par l'O,R.S.T.O.M. d'Octobre 1982 à AoOt 1984.
Les mesures effectuées, lors de ces campagnes océanographiques, sont de
deux types : mesures effectuées par un mouillage fixe et sur des radiales
transéquatoriales.
Le mouillage fixe est situé à l'équateur par 4° Ouest, et
ço~porte cinq courantomètres situés à 10, 35, 60,85 et 110 mètres de
profondeur, et une station météorologique. Chaque courantomètre, toutes
les 15 mn , effectue des relevés des deux composantes de la vitesse,
de la pression et de la température. La station météorologique
relève, toutes les heures, la direction et la force du vent, la pression
atmosphérique, la température ambiante et la température de la mer en surface.
L'ensemble des radiales du projet FOCAL a été exécuté dans le
cadre de 8 ca~pagnes étalées sur 2 &ns. Chaque c~pagne comporte des radiales
à des longitudes de 4° ouest~ 10° ouest, 23° ouest, 28° ou 29° ouest et
35° ouest. ~Qrs de celles-ci, des profils de COurant, de~ relevés de tempé
rature et des anomalies de hauteur dynamique ont été mesurés tous les
trente milles nautiques.
3
Pour la détermination des' coefficients de viScosité virtuelle,
onapp1l.quera un~ méthode d'identification développée par G. CRAVRNT [SJ.
On peut définir brièvement le problème d'id~ntificationo~ problème inverse
en ~i~ant qu'il consiste à minimiser la distance ~ntr~ un courant observé
et un courant calculé pour des valeurs fixées des coefficients de visco
sité, c'est-à-dire une fonctionnelle des moindres carrés, en utilisan~ la
méthode du ~ontr6le optimal. L'avantage de cette méthode est qu'elle donne
un algorithme très simple d'utilisation.
Le contre-courant équatorial axé ~ur ~;équàtèijr s'étend sur
une largeur d'environ )0 30'. Dans cette bandé équatoriale; les variationS
du courant suivant la latitude et la longitude sont faibl~s. et peuvent
~tre négligées d~vant les variations vertical~s du courant qui sont très
importantes. Ceci nous conduit à la formulation du modèle mOnodimensionnel
'présenté dans le chapitre 1. Ce chapitre est consacré à ia d~termination
du coefficient de viscosité virutellever~icale V intervenant dans les
équations de Stokes monodimensionnelles :
( )
Pour résoudre le problème d'identification; on sUppose que
l'on dispose d'une observation du courant qui peut ~tre de deux types:
une observation répartie en espace et en temps, urie obserVàtion; moyenne
par rapport au temps, répartie en espace.
Le problème à résoudre est un problème inversa qui se râmène
â la minimisation d'une fonctionnelle. On utilise, pour 2~ttè minimisation,
une méthode du gradient conjugué. Le calcul du gradient; n~cessa:î.re à
chaque étape, est effectué en résolvant l'équation d'état (t), et une équa
tion adjointe faisant intervenir la différence entre le courant calculê et
le courant observé.
La résolution numérique du problème utilise une méthode d'élé
ments finis. Ceci permet une grande so\.\plesSe pour le choix des pas de
discrétisation suivant la verticale et est donc bien adapt~ aU problème
4
pnysiqu~, les variations verticales du couran~ étant très importantes,
dans la couche superficielle et au niveau de la thermocline, beaucoup
plus faibles ~n profo~deur.
La validité d~ modèle a été testée sur un exemple académique
pour lequel oq connatt le" coefficient de viscosité virtuelle verticale.
On a ensuite trait~ des cas réels, utilisan~ les d9nnées fou~nies par le
progre~e FOCAL. Le coefficient de viscosité a été calculé soit à partir
des meaures du courant pa~ le mouillage fixe, soit à partir d'un profil
moyen d~ c9urant déduit des mesures faites sur les radi~les.
Le chapitre II est une généralisation de cette ~éthode d'iden~
tification. Sionconsidè,re une bande équatoriale de ~lus grande largeur,
pn ne peut plus négliger les variations de courant ~vec la la~itude.
Par co~tre, les grands c9urants étant essentiellement zonaux, on néglige
leurs variati9ns avec la longitude. On est donc amené à traiter les équa
tiona de Navier-Stokes bidimensionnelles. La eQnst~nce des vents sur pe
grandes périodes de temps donne un courant quas~-stationnaire pendant ces
périodes. Les radiales du programme FOCAL nous fournissent ces valeurs
~oyennes d~ courant. C'est pourquoi on va chercher à identifier les coeffi
cients de" viscosité virtuelle verticale et horizontale dans le cas des équa
tions de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires. Les coefficients
qbtenus seront des valeurs saisonnières caractéristiques de la période pour
laquelle le profil moyen de courant a été obtenu.
Pour la résolution numérique des équations, on utilise u~e
méthode développée par R. GLOWINSKI [gJ qui est basée sur la théorie du
contr51e optimal, Elle permet de supprimér le problème posé far les
non-linéarités. Pratiquement, elle consiste en une méthode du gradient
~onjugué où à chaque étape on doit résoudre des équations de Stokes
di~cr~tes. La solution de chaque équation de Stokes discrète sera, elle-même,
4ét~rminée ~ar optimisation. Pour les mêmes raisons qu'au chapitre l, on
emplQie des éléments finis. pour la pression, on définit une première trian
gulation, l~ pression est alors un polyn6me de degré un sur chaque triangle.
~a triangulation de la vitesse est obtenue par subdivision de chaque
triangle de la première triangulation en quatre triangles, la vitesse est
alo~s un polynBme de degré un sur chacun d'eux.
5
Dans la dernière partie, on présente un exemple académique
du calc~l des coefficients par la méthode bidimensionnelle et quelques
remarques sur cette méthode.
Nous n'avons pas traité le cas des données réelles. La méthode
de détermination des coefficients de viscosité virtuelle, de part sa com
plexité, est très lente et très coOteuse en temps machine. Traiter ces
données nécessiterait l'utilisatiop d'un ordinateur plus puissant que celui
dont nous ~isposions. par exemple un GRAY \.
Chapitre li
UNE ttETHODE DE DETERMINATION DE CERTAINS PARAlVETRES OCEANlQUÈS
DANS LE CAS QES EQUATIONS DE STOKES f()NQDIMEN$IONNElLES
';J:HTRODUCTIO.Bi..
La -détermination du èoeffici,.ent ,de viscosité virtueHè verd.cale
int'erv-enant, en océanographie, dAns les 'éq:tiâ'tion;~dè NavÎ-e't-sto'kes
bi~ÎJn~nsi'Onn~).l;essta·tiohnatresne l'eut ·~t:té 'entreprise qU"après 'tarie
approc'he monod~ens ionneH'e 'évolut ive. L'âpproche .filortcidimensionne il.e
do~ne :un ,p1:'ofil vertical de la viscosit:é vi:rtueih~ qui servira
il 'initiali'sati,.on lors de la résolution bidimènsionneHe.
~tant donné Un domaine J -H , '0 '[ de 'l1t,ort con$idère b's 'équ,s.tion's:
<dans J '""H .,0 [xJ d , T t
d u 2 )az- (z,t) , == 0 dans ] -H , 0 [xJ 0 , t [
avec les 'èonditipns limites :
a 'u"• \1(.0) ai- I(Ô.,.t) .. 'Î
1(t) ; T 'L
'et la cQuditj.on initia:~e •
u2
(z,0) = u2 (z) Pbüt" zE ] -'ff , 0 t
8
-+T = ( Tl ' T
2) est la force exercée par le vent.
Nous allons donc chercher à identifier le coefficient de viscosité
virtuelle V ne dépendant que de la profondeur.
Le plan de ce chapitre est le suivant
1- Etude de l'équation parabolique: existence et unicité.-+
2- Dérivabilité de l'application v--+U
3- Etude du problème inverse.
4- Résolution numérique du problème.
S- Résultats numériques.
1. ~TUnR Dr. L'EQUATION PARABOLIQUE
Soit n = ] -H , 0 [un ouvert borné de IR et soit Q n x JO, T [
on définit:
munis des produits scalaires et des normes usuelles
« .,. »
( .,. )
11• 11 pour \V
1.1 pour tH
A partir de ces deux espaces et quels que soient M et a, M > a ~ Q,
nQU$ définissons :
{.+ 2 /dÛ 2 }W(O,T) =. UEL (O)T;\V) cItEL (O,T;\v')·
lX>
A = L (n)
Ac = {V € A / Il vii A~ M et V(z) ~ a p. p . sur n }
Supposons enfin que
±Ou 0 0 -+ 2 2( u l ' u2 )E IR et que TE ( L (O,T) )
9
qn co~sidère alors l'équation variationnelle suiva~t~
. -+Trouver ue W(O, or) t~l que :'
-+ -++ à (U, V )
V
+ -+ ~(a U
I a vI )+ ( a U2 d v2 ),où a ( u- , V ) V~ '. ~
V "'1i"'" ,~V
;1
-+~ )'
-+ ( "2)ay~c U ~~ \.lI , u2 ~t V '" . VI'
. ;prqposi ti<;>n 1.E.
Sous l.~$: hYP9th~$~'~ et. nota:tions~ pdç~dellte.:" ~~ Pl'Qbl~me v~r~a~iQnnel
(1.4) admet une' solution e~ une: seule ~pp~rtenanf; àW:(O',r) .qut est ~ll~$i
sôlq'tion de If'~quation {I. J1 ~t' 'JédH~ les cot1<f~tiQnS U-mitea ~.t initiales
(l.~) et (1.3)..
Délllonstration,
Pour la démonstration de cette proposition nO~8 allons reprendre les
llypothès~s d~LIONS et MAÇE~F.S·dans leu1;' HV'r~ ";problèmes auJ:t HJ;Ilitea non
hoJ(logènes et application" chapitre 3,paragraphe 4 ~t chapitre 6..
-+ -+' .La. forme' ·s~e$.quqi,nE~iJ;~ av.- .( U " V ). .est cQ.n~~n.,\,le sut' W x ~ et
sathfait a.ux hypot;hhes ~.
puisque 1~, form~ a~estconstante par raR~ort au' teJllp!h
H) Il existe ·lof indépendant de t, k >' 0 et Çt; > ,O' te1squ~
0.5) 1av (.Ô , V) 1" M Il Ô Il Il V Il p. p. t ~J °, T [ 'f VE. \V
et
(1.6) aV ( Ô , Ô ) + k 1 Ô 12 ~ 0. Il Ô 11
2 -+'ri UE\V
10
étant vérifiées par définition de A.C
Les deux dern1ères hypothèses
Alors le problème (d Û -+)dt ' V +
-+ -+ -+-+av (U , V ) = < F , V:>W', \V
-+JI V ... W
oU F€ L2 (O,T;W') admet une solution et une seule. De plus, cett~ solution
dépend continuement du second membre et de la condition initiale,
-+ .~our démontrer que U solution de (1.4) est solution de (1.1), (1.2),
(1.3), on utilise le tneorème de Lax Milgram, on a~socie à la fo~e av
un isomorphisme Av de \V dans vi tel q\Je
et ensuite on utilise la formule de Green.
2. D!«lV'.lLITE DE L~APPLICNTION v -+ Û
On défi~itl'application ~ de A dans W (O,T) par:c
(1. 7) -+V{; A ..... Ue W (O,T) solution deO.4)
c
On a, alors, la
Proposition 2.i
Sous les hypothèses et· notations du paragraphe precédent,
définie en (1.7) est continue, dérivable en tout point de Ac
dérivée ~'(v) au point ve A est donnée parc
l'&pplication ~
et l'application
(l,8) ~'(v) : ôVE;:A-+ÔUE W(O, T) solution de
(1.9)
( aéû .v) + a (ÔUat ' V
= 0
=T+-V )
-+'tJ vew
"
Démonstration.
L'application ~ est bien définie, car pour un V fixé et po~r les
hypothèses faites, (1.4) admet une solution et une seule dans W (O,T) •
1,1
...Donnons nous une fois pour tout~ veA et'mQnt~ons .que $'~~t ~ontiriue
çet dérivable en ce point..
D'après les hypothèses faites sqr A , il existe M, ~ et k avec M> Œ >0cvérifiant ,les conditions (1.5) et (1.6).
Soit, alors, B(V) une Qoulede A de centre 0 e~ dè rayon E(V) péfini
par
E(V) = a/2
On a .;llors évidel1llDent pour tout ôve B(v)
..,
-+On définit ~U par :
-+'. , .,.~U = H \l + ôv )'4' ( v )
i~ est clair que ~U est solution de :
(1.11)[
(a ~Û v)ôt '
~Û(O). '0
+-+ -+ -+ -+.
aV + ôv ( ~u , V ) = - aôv ( U , V )-+
If ve \Il
-+Indépendamment de l'interprétation de ~U co~e l~ diff~rence entre
deux solutions de systèmes de type (1.4), le système (1.11) admet une
solution et une seule dans W (O,T).
Pour démontrer que le problème (1.11) admet une solution et une
seule, nous allons de nouveau appliquer le théo1;'ème ut.;i.lisé pour la
démonstration de la propositon 1.1. Les hypothèses de ce théorème sont
vérifiées en (l.10),par ladétinition d~ a~ , ,le second membre de (l.Il)'\,IV '
-Aôv Û ap,partient à L2(O,T;\V'), puisque Û appartient à L2 (O,T;\V)., Nous
en déduisons donc l'existence et l'unicité de la solution du problème
(1.11).
12
i) L'appl~~ation ~ est cont~nue.
--~-~~---~-------~--,
. ~
II faut qémo~trer que 6U tend vers zéro d~ns W (O,T) lorsque du tend
vers z~ro q~n~ A. Nou$ allons utiliser pqur cel~ le syst~me (1.11).
Ce ~ystème admet une solution et une s~ule dan~ W (O,Tr qui dépçnd
continuement du second membre.
Or le second membre~ ~
.- 8 0\1 ( U , V ) e~t majod par
1- a 0\1 ( li , V ) 1~ c Il 0\1 liA' Il U Il Il V Il
On a donc
Il tli Il W (0, T) ~ c Il 0\1 liA Il u Il~
ee 6U tend verll zéro dans ltl (0, T) lorsqu~ 0\1 ten4 pers zéro dan~ AT
ii) L'application ~ est dérivable.-~~---------~------~-
Notons ~'(\I) l'élément de~( A , W (OtT) ) défin~ par (1.9)
Le probl~me (1.9) est équivalent au problème (1,4) avec un 8~cond
membre et une condition initiale différents, Ce s~cond membre appart~ent
A L2(0,T;W'). L'équation (1.9) adm~t donc une solution unique d~ns ~ (O,T).
Posons
Pour prpuver que ~~(\I) est bien la dérivée de ~ au point \l, il faut
mon~rer que Il Rv,o\l Il tend vers zéro lorsque Il 0\1 Il tend v~r~ zéro,
avec O\l~, O. (1.12) se réécrit:
on 6U et oU so~t ~e~peètivement solutions de (1.1~) ~t (1.9).-+ ' .R\I,O\l vérifie l'équation:
13
+Pour prouver que R tend vers zéro avec ôv. on va utiliser le thé9r~~ev.ôv
déjà cité dans la démonstration de la proposition 1. Ce théorème stipule+
que si F est le second membre d'un système de type.(1.4). alors:
Il +tIW(O.T) , c ( 1 ~O 1 Il F Il L2 (0 •T;W ' ) )U +
Or dans le cas du problème (1. 13)
.+ +( I:i~
+ +( F V )W';\V --- a ôv V ) 'tJ VEW
Ilôvll A
ce qui implique
de 'plus RV
ôv(O) = a .on a donc :. .
et d'après le i)
'tJ ôve B(V)
+Donc R Ô tend vers zéro en norme lorsque ÔV tend vers zéro dans A.v. V
3. ETUDE DU PROBLKME INV!RSE
On se propose maintenant d'identifier v. le coefficient d~ viscosité
virtuelle verticale. Pour résoudre ée problème nous disposons suivant
les cas de l'une ou de l'autre de ces deux observations du courant :
- une observation répartie en espace et en temps
Z~EL2 (O.T;V) (1)
- une observation. moyenne par rapport au temps. répartie ~n espace
~
ZU E \V (II)
Pour résoudre le probème d'identification. nous allons le poser so~s
la forme d'une minimisation de fonctionnelle
14
dans le cas de l'ooservation l
dans le cas de l'observation II
1 fT -- 2(1.15) JII(~) = 1 T °Ûdt - ZU 1
Le problème inverse revient à rechercher une fonction ~ appartenant
à Ac minimisant soit la fo~ctionnelle JI' soit la fonctionnelle J II sur
le convexe A • Le vecteur U estcatculé pour un ~ fixé.c
3.1- Calcul du gradient de JI'
Proposition 3.
Sous les hypothèse~ et notations précédentes la fonctionnelle JI
définie en (1.14) est dérivable de Ac dans IR. Sa dérivée JI'(~) est
donnée par
(1.16) Ji(~)'o~
+ . +où U est solution du système direct (1.4) et PI est solution du
système adjoint
(1.17)(. aP
. l-~
+V )
+ +- 2 ( U - zu +V )
+'rJ VeW
Démonstration.
Pour la démonstration de l'existence et l'unicité d'une solution
du problème (1.17), on applique le théorème utilisé lors de la
démonstration de la proposition 1.1. Les hypothèses de ce théorème+ +
sont vérifiées et de plus le second membre U - ZU appartient à
L2 (O,T;W') puisque Ûet zn appartiennent à L2
(O,T;W).
+La proposition 2 démontre la dérivabilité de U par rapport à ~ ; la fonc-
tionnelle JI qui est la composée d'une norme hilbertienne et de la fonction $:
e~t donc dérivable. La différentielle oJI de JI correspondant à
15
une variation êv de V s'écrit:
fo êU ( u- ZU ) dz dt-H
compte-tenu de (1.17) la différentielle se réécrit
ôJl (v) • ôv = - I: {(-~tPI. ôÛ ) + av ( i\ . ôÛ )} dt
et par intégration par partie par rapport au temps
êJr(v) .êv = - I: {(PI • aa~ )-+ -+ ).} dt+ av ( êU , Pr
êU étant solution du problème (1. 9) on obtient
êJr(v).êv I: -+ -+a êv ( P
r U ) dt
3.2- Calcul du gradient de Jrr
·
Proposition 4.
Sous les hypothèses et notations précédente$ la fonctionnelle J rrdéfinie en (l.15) est d{;rivable de Ac dans IR. La dérivée .Jir e~t
donnée par
(1.18)
-+ -+où U est soll,\tion du système direct (1.4) et PlI est solution du
système adjoint :
(l. 19)
-+V )
( rT
- ~ (-4- Jo Udt - ZÛ-+
'fi' VE \V
Démonstration.
Comme au paragraphe .3.1, l'existence et l'unicité de la $Qlu,tidn
du problème (1.19) seront démontrées. Ce problème est équiv&lent au
problème (1.17) avec un second membre différent" celui-ci appartient
à L2 (O,T;W') d'o~ le résultat d'existence et d'unicité.
16
Nous appliquons de nouveau le résultat de la propo&ition 2,
la fonctionnelle J II qui est la composée de plusieurs applications
dérivables
est donc dérivable. La différentielle OJII correspondant à une varation
av de V s'écrit
compte-tenu de l'équation (1.19) la différentielle s'écrit:
f: {( -~/II , oU ) + av ( ï\I ' oU ) } dt
et par intégration par partie par rapport au t~ps
r{ ~ ) ) }daU ~ ~ ~
OJII (v) •av = - o (~, PlI + a (oU , PlI dtV
~
OU étant solution de l'équation (1.9), on obtient
dt
4. RESOLUTION NUMERIQUF. DU PRO_LEME
4. I~ R~solution de l~6qua~ion d'état
4.1.1- ~!~SE~~!~~~!~~_~~_~~E~S~
Pour la discrétisation en espace, on utilise la méthode d'éléments
finis de Lagrange de degré 1. L'intervalle [-H , 0 ] est découpé en Nzintervalles inégaux de longueur h , n= 0, ..• , N - 1 . On pose:n z
z.~
i-lL h - H
n=O n\1 i = l, ... ,N
zet z =-Ho
zNz
zn
~
1 }Uh [ ] e:. PI Il n:;oo, •• , N -z , zn+l zn
hnt )
Ona donc :
hO hl~ l(; ~
Zo zl
. ~
On va chercher à chaque instant t à approcher la fonct~on U pav. ~
une fonct~on Uh appartenant à :
Wh ={ Ûh€ ( C·(-H,D) )2 1
17
-+ -+Il est alors facile de construir~ des fonctions ~n1 ' BnZ appartenant
il l'espace Wh et telles que :
( b (z) , 0 )n
( 0 , b (z) )n
{0 si n :f- ioù' b (z.) = 'If n 0, .... , Nn I. Z
1 si n = i
-+bas~Les fonctions B n '" 0, ... ;, N . i • -1:,2 forment &lors iJneni z
, ,de l'espace Wh la déterminat~on de iiétat -+
l'instant;et par conséquent U il t,
se réduit il celle de ces 2( N + 1) variables u n '" 0, ... , N . i '" 1,2z hni z
,sur la base précédente :
2l uh .(t) B .(z)
i= 1 nI. nI.-+
et par construc~ion de la base B . on anI.
uh .(t) = uh.tz ,t)nI. I. n. . -+
Ces composantes sont déterminées 'e~ écrivant que la fonction Uh(z,t~
doit satisfaire l~ formulation ~ariationneile (1.4) pour toute fonctiQ~
test appartenant il Wh' D'où en prenant successivement çomme valeur tout~s
-+les fonctions de base B .nI.
(1.20)
Nz
ln=O
2
Li=l
'1/ k ;:: 0, ..• , Nz
-+ -+= T(t):B
kj(0)
'If j • 1-,2
uh
.(0) '" uoh
. (z )nI. I. n V n =0, •.. , Nz :Vi=I,2
Le coefficient "(z) est supposé continu et linéaire par morceaux
sur des intervalles de longueur hn
N - 1 et 'If ze [ zz n(1.21)
[
'" n 0, ... ,
z -zV (z) = V + n ( " v)n vn+l - n
hn
zn+l ] on a
où. v ... \I(z )n n
18
On remarque que':
-+( B •
n~
-+Bk· )J .
o si if j et
-+ -+
(dB. d Bk.. )
n;L J, 0' ---az- 'az- = si if j
On peut, alors, calculer les intégrales apparaissant dans (1.20)-+ ,
de manière exacte. On obtient ainsi pOUT le vecteur Uh
le systeme
différentiel suivant :
VtE[O, TJ-+F (t)
'[: dd~b ~:)Uh
(0) = Uh
'OÙUh(t) =(~Ol(t), •.. ,uhNl(t),uh02(t), ... ,uhN2 )'. z' z
où A et B sont deux matrices tridiagonales symétriques,
(1.22)
et où F(t) = ( 0, ... , T1(t), 0, ... , T2(t) ).
Dans le reste du chapitre l'indice h est supprimé afin d'alléger
les notations.
Pour la discrétisation en temps on divise l'intervalle [ 0 , T]
~n Nt intervalles de longueur 6t = TINt et on approche la solution
U (t) du système différentiel (1.22) par la suite de vecteurs
oje (IRNz+1 )2, j = 0, ... , Nt ' définie par :
[~-+j+l -+j oj + -+j+l -+j+lU - U
BU F 2 j 0, N -
tt+
2 ... , t(1.23)
0°-+j+l -+j + -+j+l -+j -+.
où F 2 F F2
et U = U(J 6t)
c'est le schéma de Crank-Nicholson qui est A-stable et d'ordre 2.
4.2- Résolution du problème d'identification pour l'observation 1.
Supposons maintenant que nous disposi0!'1s des vecteurs
-+j - ( j j j j )Z? - ZUOl' .•. , zUN l' zU 02 ' ..• , zUN 2Z Z
la dicrétisation dans Wh de l'observation l donnée
j = 0, ... , Nt
au paragraphe 3.
,19
La fonctionnelle (1.14) discrétisée s'écrit alors:
N -1t
t;t lj=O
où Uj est calculé pour un vecteur V fixé' de la forme (1.21) à partir
de l'équation d'état (1.23). La matrice C est une matrice t~i4iagonale
symétr ique similaire à A.
Le vecteur:
( U; +U;+I ; ZU; - ZU;+! ya pour composantes
+ uj;1 - 'zuj " _ 'ZUj ;I)2
nl. nl. nl.n = 0, •••• ,N ; i .. 1,2
2 ,'Z
'Le problème d'identification va'donc consister à minimis~r une
fonctionnelle des moindres carrés JI de Nz+ 1 variables vn •
Le critère JI pouvant dépendre d'un nombre important de variables,
toute méthode d'optimisation de type exploratoire est exclue. On utilise
une méthode du gradient conjugué (Fletcher-Reeves). On est aini assu~é
d'obtenir à chaque itération m du gradient une erreur J~ sur ~'obser
vation, inférieure à la valeur J~-I de li itération précédente.
En pratique, une itération du gradient, c'est à dire le passage
de vm à vm+1,nécessite:
- le calcul du gradient éJI
de JI : cf; 4.2.2
- une minimisation monodimensionnelle; :elle est réalis~e 4e façon
approchée en balayant tR+ par une progression géométrique de
raison 2, ce qui nécessite quelques évaluations du critère JI'
puis par une interpolation parabolique pour obtenir le point
définitif.
Le critère JI considéré ici n'est pas ~ar constuction, une fonction
quadratique de va' ... , vNz
• On ne peut alors seulement espérer
la convergence que lorsque te nombre m d'itérations du graqient tend
1 ,· f"" * 1 1" d m d 1 1 ~vers l.n l.nl.. V a l.ml.te es V, correspon, a ors, seu e1Dent é1
un minimum local du critère JI' ou même à un point stationnaire
quelconque.
20
Pour le calcul du gradient on utilise le calcul des variations
(ou théorie du contrôle). C'est la méthode la plus précise et la plus
économique. Elle ne requiert que la résolution de l'équation d'état
(1.23) et de l'équation adjointe
-+j -+j+l -+j -+j+l
-2 C (-+j -+j+l
ZUj -+j .... 1 )PI - P PI .... ;PIA l + B U + U - ZU
b.t =2 2
(l. 25) j = Nt- 1, , 0
pNt(t) = 0
~où PI' , pit sont des vecteurs deIR2 (Nz+ 1) formant l'état adjoint.
On a, alors, en notant OJI , OB, OV, etc ••• les Yariation~ au
premier ordre des quantités correspondantes :
(l. 26)
Nt-l •• 1-+J -+J +
L <oB _U----=-;_U~j=O
La matrice oB étant une fonction linéaire de OVO' ••• , OVNz
'
la formule (1.26) donne après une simple substitution le gradient de JI
par rapport à VO' ••• , VNz
' La dérivée âJI/avi est alors le coeffict~nt
de ov. dans le deuxième membre de (1.26).1.
est exprimée par
OUj +1 _ OUj OUj + OUj +1 ( -+j-+j+ 1 )A + B = oB U + U
b.t 2 2
j = 0, ... ,N t - 1
OUO = 0
Pour démontrer la formule (1.26) nous allons d'abord différentier-+jU , par rapport à v, dans l'équation d'état (1.23). La différentielle
Ouj
(1.27)
-+U étant différentiable, la fonctionnelle des moindres carrés l'est;
sa différentielle est alors :
(1. 28)
N -1t<2 b.t L C
j=O
Uj + ûj +1 - ZUj ,- Zü'j+J2
21
et ~ommOns pour j = 0, •.• ,Nt' en remarquan~ quepar
Effectuo~s le produit, I>cala~re,dans (IRNZ+ J-+j -+J+} .."PI + PI
2Nt -l
L <A ôuj
, P~>j=O
~des ~quatiplll! (1. 2,7)
Les matri~es
, N -1t
jlo <A
A et B étant syrodtriques nou~ en d~d~ison~
-+. -+j+lô-+j ôtrj oUj +}
pJ + PtU B+ l >+ j
'2 ··3 .. "2 l
N -1 -+j -+j+ 1 -+j -+j+ltoûJ. Qu)+1L PI - P . P + PI<A l + B l + >' =
j=O ~t 2 12
'
N -1 -+j -+:-j+ltu j -+j+lL Pl + PI
<ôB + U , >'= ....2
,2j=O
en utilisant la formule (J.28), nou~ avons
N -1.. t ..
.IJ-Q
-+. -+' 1pJ ... p)+' .lI,. 2" >
4.3- Résolution du problème, d'identification pO~r l'QP~ervation II~:.. " JJ ' "
Supposon~ matntenan~ que l'on di~po~e q~ vecteur
~
2:U li'!' ( zu01 ' .,. , ~N l' ii:uo'" .·lt '%N 2 )z "~ . '2;
la discrétisation de l'ob~ervatton II donn~e 84 paragraphe ~.
La fonctionne1~e (1:15) qiacr~~isée sr~~+i.t. ~lo~s
'l" (~t Nf~l.uj+ UhJ _ .=t.).21
CT, l ,'.. 2' , Z;UJ=O ,
.:± )2.. ~U
2
-+JO -+'+1U + UJ
où ujest la. ao1.u,tion de l'équation o. 2~~ ppur !Jn veateût V fixé.
4evectel\rN ~1'
(~t ~T '0J=
22
Pour résoudre le problèmed'id~ritificationpourcetteobservation,
pous allons minimiser la fonctionnelle des moindres carrés (1.29)
de N + 1 variables.z
4.3.1- Méthode d'optimisation.
Comme au paragraphe 4.2, une mét~6de d'optimisat~du type gradient
conjugué (Fletcher-Reeves) sera, utilisée.
En pratique chaque itération du gradient nécessitera ~es ~êmes étapes
qu'au paragraphe 4.2.
4.3.2- Calcul du gradient.---------------
Pour le calcul de ce gradient nous utiliserons de nouvea~ l~ calcul
des variations. Dans le cas de l'observation II,l'équation adjointe
est donnée par :
+j +j+1 +j +j+1 N -1 +k -+~+1 )PlI -PlI PlI + PlI _ 2C (6t î . u + U ..:±A 6t + B = - ZO2 TT' k=O ·2
(l. 30)
pNt =0Il
j = Nt'" l, ... o
En notant ÔJII
, OB, oV,etc •.• les variations au premier ordre
des quantités correspondantes, nous avons la formule :
0·31)
Nt-1
ÔJ1I(v).ôv = ôt.I <:oB. J=O
De même qu'au paragraphe 4.2.2, oB est une fonction linéaire
de ôVO' ... , ÔVNz ' la formula (1. 31) donne aprè~ une simple su,bstitu,ti.on
le gradient de J u par rapport ~ vO' ... , VN •z
Nous allons démontrer la formule (1.31). Pour ceta nous Utilisons
la différentielle' de Ûi. par rapport à V déf.inie en (l.~7). Nou,s en
déduisons la différentiabilité de J u: p!lr rapport à :v. La différentieHe
est alors exprimée par la formule
0.32) (
Nt-1 -+k -+k+1.' Ôt U + U
ÔJII(V).Ôv = 2 C ~ L2 .k=O
N -1=t!) 6t t- ZU - t
T • 0J=.
-+' -+'+1ôU~ + oUJ
t' '2 1
23
~j +j+1Nous allons effectuer ~e produit scalaire de (I.Z7) par PII+ PlI
2et sommer de j = 0, ••• , Nt - 1. Les matrices A et B·étant des matriceS
symétriques, on obtient
N -1t
Ij=O
N -1t
Ij=ON -1
t
'" .,. Ij::;O
ô+j +1ôÛj ôü"j ôÛj +1 +j
""+j+1
<A U - + B + PlI PI!>lit 2 2
+j +j+1 +j +j+1ôijj ô+j +1
<A. PI! - PI!+ B
PIl: + PI! + U >lit Z 2
Ûj +·+1 -.+-j + +j+l
<ôB+ UJ PI! PlI2 2 >
2=
Dans la dernière égalité nous vQyons app~raitre l'é~uation
adjointe (1.30), on en déduit:
N -1 N -1
- 2 ·lit l c(lit IT j=O T k=O
N -1t
lit Ij=O
En utilisant la formule (l.32) , ori en déduit que :
N -1 +j +j+1 -.+-j +j+1t P + PI!
ôJI! (v) • ôv lit I <ôBU + U II >=
j=O 2 2
4.4- Mise en oeuvre.1
Le calcul da gradi:nt ~e JI ~u de JI~ nécessite la connaissance
de tous les vecteurs UJ , P~ ou Pli'- on résout l'équation d'état (1.23)
- puis les équations adjointes (1.25) ou (1.30)
- et enfin on calcule le gradient de JI ou de J I1 •
Pour clarifier les notations pré~édentes, on donne l'organigramme
correspondant à une méthode de gradient simple, le cas d'un~ méthode
du gradient conjugué est similaire mais un pe~ plus complexe.
24
Initialisation'.
.Choisir v et E: ,
1 J~1.-1
;= 01
=: 00 ou J n ~ 00 m
Résolut~on de 1 équation (1.23)
-+ Jm m(1. 24)l
ou ( 1. 29) -+Jn
l -1 - Jm < E: ImpJ;ïmer
lm 1
. l l 04~= m+l oum-l
mJ n -Jm<E: V
n Jm ml
ou JU
non
Résolution des équations (1.25) ou (1.30)
(1. 26) aJm (1.31) -+ m-+ ou aJnl
,
J (vm - mp -+l
p aJ I )
ouimpossiblem m
P-+Jn(v - () aJn )
pour p > 0
possible
1
m1
p
m+l m m aJm
V =v - P l
ou
m+l m m mV =v - r a.l
n1
25
5. RESULTATS NUMERIQUES
On considère tout d'abord un exemple académique pour lequel
on connait le coefficient de viscosité virtuelle vertica~. Get exemple
permet de tester la validité du modèle.
5.1- Un exemple académique.
5.1.1- Algorit~e d'optimisation.------~-----------
L~ convergence e$t trè~ lente avec l'~tgorithm~ du gradien~ simple.
L'l;ltilisation d'un algorithme du gradient conju8u~ (typ~ Fletcher...R~evf!s),
permet ~'augmenter la vitesse de convergence dans un r~pport d~ 1 à la
et de diminuer d'autant le temps calcul.
Bien que du point de vue de la convergence la plage admissibl~ $oit
r~~ativement large, on a constaté à 1 'utilisation ~ue si la valeur
initiale de vO s'écarte de la valeur moyenne du coefficient v, ~lpr$
le temps calcul croît, ~a rapidité de la convergen~e et la préçision
de calc~l de l'algorithme diminuent rapidement; par contre, si l'on
cherche V sous la forme d'une constante, on constate que ~'on conver~e
rapidl;!II\ent vers une "vale~r moyenne" de V. La méthoçle rtaturen~ pour
id~ntifier v lorsque l'on n'a aucune idée de son ordre de grand~ur
est donc d'opérer en trois phases:
1 : chercher v sous forme constante
2 : utiliser l.e résultat du 1 comme valeul!' initiale, chercher V
sous forme constante sur le$ bords du ~omaine et sous forme
linéaire continue sur le'reste du·domaine
o +-----'T'..
-Ii
3 ut ili'ser le résultat de la deuxième phase comme valeui['
initiale et chercher V en le laissant libre.
26
5.1.2- Choix des différents paramètres.
On a choisi des pas de discrétisation en espace h de la formen
12 pas de longueur 0.05
16 pas de longueur 0.025
N = 28z
On a choisi un pas de discrétisation en temps bt
N = 20t
T =
0.05
Pour simuler l'observation nous avons choisi un V donné par la
figure l, puis nous avons intégré le système (1.23).On considère, alors,
deux types d'observations définies par (1.24) et (1.29). Pour l'obser
vation II,nous avons intégré l'observation 1. par rapport au temps.
On a pris comme valeur initiale V = 9.
5.1.3- Résultats
Phase 1
Pour les deux observations, nous avons convergé en six itérations.
Les valeurs moyennes de V obtenues sont
- pour l'observation l V
- pour l'observation II V
Phase 2
1.649
1.641
Pour cette phase, nous avons convergé respectivement en neuf
itérations pour l'observation l et en huit itérations pour l'obser
vation II.
Les résultats de cette deuxième phase sont donnés en figure 2 .
On constate qu'il y a très peu de différence entre les résultats
des deux observations.
27
Phase 3
Pour la troisième phase, on obtient une convergence acceptable pour les
deux observations après trente itérations (figure 6).
On remarque que l'on approche très rapidement la solution à l'intérieur
du domaine, pour quinze itérations (figure 4), par contre sur les bords
du domaine, la convergence est beaucoup plus lente. Ceci s'explique par le
fait que les équations adjointes vérifient les conditions limites :
a et
les gradients de JI etJII sont donc très petits en ces points.
On aurait pu obtenir des résultats certainement meilleurs en utilisant
l . l . + + ==' ....:. (1 )e fa1t que a conna1ssance de T , ZU et ZU permetta1t, grace ~ .2
de calculer V(z) sur le bord du domaine et en ne cherchant v que sur les
points intérieurs. Nous ne l'avons pas fait car cette métho4e nécessite.+ -
le calcul des dérivées de ZU et ZU ,qui dans le cas de no·tre problème
risquent d'être peu significatives par suite des erreurs de mesure sur
les observations. Après un certain nombre de tâtonnements,la formule
suivante a été adoptée
d JIon approche -av- ou
au point de dicrétisation
d J rr-av-- sur les bords
le plus proche.
du domaine par la valeur
28
o 29 y_l-jo :.;lo+5:..- ~--~2~o+-~
19
II
6
V exact
-H
- Figure 1 .,..
29
19 //~
,//
"/"~
II
~ 2eme Phase
~,
(/~"
6
'V exact.
~------- 'V pour ( [ ) - Figure 2 -
-H ( [ [ )~---- 'V peur
5
2a
~eme Phase
[TERAT[oN
'V exact
________ 'V peur 11)
__--- \) pour ([f)
6
11
19
O 29la laS
~~---------~---.-,------,,-.........-=,:~.....::.
-H
30
o 29 +-_l-tD 1-tD5 ,....,..,--__2_-!D_.,:,.
-H
.-'
19
11
6
3eme Phase
rrEAIIHON 15
\) exact
\) pour (f)
\) pour (r f)
- Figure 4 -
a 29 +_1.--tD 1-1D5~ --.. 2_1.f--~
19
ul 3eme Phase- Figure 5 -
J rrEAIITroN 30
\) exact
-------- \) pour Cf)
-H 1 . ------ \) pour r r [)
31
10 -1 ~dl
10 ~
la -~ _
+o
FONCTION COUT
AU COLIRS DES ITERATIONS
0+
10 -&+ J l
+0
0 J rr
10 -7
èl
Ô10 -9 0
la -9 -I- +- +- +- +- ~
a 10 20 30 40 50
- Figure 6 -
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjJ
33
5.2. - UTlLISATION DE CE MODELE DANS L'ATLANTIQUE EQUATORIAL
5.2.1. - Evaluation de différents termes des équations de Navier-Stokes---------------~----------------------------------------------
Dans ce paragraphe nous allons utiliser les résultats des
campagnes océanographiqu~s FOCAL (Françai. Océan Climat Atlantique
équatoriaL) effectuées p~r Messieurs HISARD et HENIN (O.R.S,T.O.M.),
d'octobre 82 à aoOt 1984. L~ projet FOCAL a, en pa~ticulier, consisté en
8 campagnes de mesures, étalées sur deux ans, composées d~ radiales à
4 Q ouest, 10° ouest, 23° ouest, 28° (ou 29°) Ouest et 35° puest. Lors de ceS
radiales des profils de courant et des relev~s des anomalies de hauteur
dynamiqu~ ont été mesur~es tous les 30 milles nautiques.
Il nous est apparu important d'es~imer, à partir de ces données,
certains termeS des équations de Navier-Stoke~.
Les prOfils de courant sont des mesur~s instantané~s, ils ne
peuvent donc pas donner des résultats généraux pour les term~s de ces
équations. Ils peuvent par contre nous donner un ordre d'id~e de leur
grandeur. Tous les résultats de Ce paragraphe seront exprim~s en c.g.s.
La première de ces estimations a consisté à calculer le termeélu 1
ul:fJ{ • Pour cela, nous avons utilisé la formule de dérivation numérique
suivante :
oÙ u lW est le profil le plus à l'ouest, u lE le profil le plus à l'est
et 6x la longitude exprimée en centimètres.
élu 1On remarque que pour FOCAL 1 (figure 7~ les valeurs de u l ~
-5sont situées entre -1. et 1.5 10 c.g.s •• Pour FOCAL 3 (figure 8)
CeS valeurs sont un peU plus étalées et ,comprises entre -2.5 et 1.5 la-S.
Les valeurs les plus importantes Se retrouvent entre 0 et 100 mètres de
profondeur, c'est-à-dire dans la région où les variations du courant sont
les plus importantes.
A partir. des anomalies
2 premiers termes du gradient de
reliés aux anomalies de hauteur
34
2d ulNous avons ensuite estimé le terme ----2 Nous avons utilisé
une formule de dérivation numérique similaire dZ à la précédente. Dans les
figures 9 et 10, on représente ces termes pour les campagnes FOCAL 1 etdUI
FOCAL 3. On remarque que, comme pour le terme u l lhC t les valeurs les
plus importantes sont dans les 100 premiers mètres. Il est à noter aussi,
que l'intervalle moyen,dans lequel sont comprises ces valeurs, est plusdU 1
grand que celui de u l lhC
de hauteur dynamique nous avons estimé les. . 1 d.n 1 d n C
press10n - ~ et -~. es termes sontp oX p oy
dynamique par la formule (LACOMBE [IOJ )
Pour stabiliser les résultats dans' le calcul de ~~ nous avons
utilisé la formule de dérivation suivante
(h lE + :2E + h 3E ) _ ( h IW + :2W + h3W )
l:::.X
.où les indices 1, 2 et 3 représentent respectivement pour chaque palier de
profondeur les positions à 0°30' Nord, 0° et 0°30' Sud et où les indices E
et W représentent respectivement la radiale la plus à l'est et la radiale
la plus à l'ouest. Cette technique nous a permis d'avoir une courbe de
l~ beaucoup plus lisse.p ax
On remarquera sur les figures Il et 12 que ce terme a une grandeur
similaire à celle des termes calculés précédemment. Le terme l~ semblep oXavoir une forme très caractéristique liée à un système de courant. Sur les
figures Il et 12 on peut voir deux types de formes très distinctes
_ l'une avec une forte valeur négative en surface qui crott dans les
100 premiers mètres vers une valeur p~sitive maximale située entre 100 et
200 mètres, puis une phase de décroissance vers zéro de 200 à 500 mètres
(~oir FOCAL 3, ~~ entre 23°W et 29°W). Cette forme de gradient dePdXpression semble être liée à une distribution du type : fort courant de
surface dirigé vers l'Ouest t et faible sous"'" courant dirigé vers l'Est.
(figure 16)
35
l'autre a'une forte valeur positive en surface et une décroissance
rapide dans les 100 premiers mètres puis
lente de 100 à 500 mètres (voir FOCAL 1
Ce type de gradient semble être.1ié à un
à un fort sous-courant (figure 17).
une décroissance beaucoup plus1 a·p
entre 4°W et 100W).P axfaible courant de surface et
ahPour le calcul de ay nous avons utilisé la formule de dérivation
suivante
4
où les indices 1, 2 et 3 représentent respectivement pour chaque palier de
profondeur la station située à 0030'N 0° et 0°30'8, où les indices E et W
représentent respectivement la radiale la plus à l'est et la radiale la plus
à l'ouest, et où YI et Y2 représentent la distance entre les stations
et 2 et la distance entre les stations 2 et 3.
Ce calcul fait apparattre l'importance du terme lp
(cf. figures 13 et 14). Les variations.1es plus importantes
de pression sont situées dans les 200 premiers mètres.
apay
du gradient
Cette estimation succincte des différents termes des équations
de Navier-Stokes ne nous permet Eas de conclure, quant à l'importance de. u 1 . ,
certa~ns termes, par exemple ul
lhë . Par contre, elle montre qu on ne peut
négliger le gradient de pression, sa valeur étant importante et son profil
paraissant caractéristique d'un type de courant.
Le modèle monodimensionne1 traité dans ce chapitre néglige les
vàriations en x et Y et ne permet pas de calculer ce gradient de pression.
C'est pourquoi nous allons l'introduire dans les équations (1.1), au 2ème
membre, comme un forcing donné du mouvement.
36
Les équations (1.1) s'écrivent alors
aUI a
(V(z)aU
I(Z,t»)
1 ~at'" (z,t) -az az = -p ax
aU2 a
(v(z) .aU
2(Z,t»)
1 ÈÉ..at'" (z,t>- az az = p ay
Les termes.!. ~p i3x
du temps, caractérisant un
et .!. ~ sont donnés comme constants en fonctionp ay
certain type de courant.
Dans un premier temps, on a voulu traiter les données de couran
tométrie fournies par le mouillage fixe situé à l'équateur, par 4° de longi
tude ouest. Ce mouillage se compose de 5 courantomètres VACM fixés à 10, 35,
60,85 et 110 mètres de profondeur. Chaque courantomètre, toutes les 15 mn.
·effectue des relevés des deux composantes horizontales de la vitesse, de la
température, et de la· pression. Sur la bouée de surface une unité météo-
rologique est installée, relevant toutes les heures, la direction et la
force du vent, la pression atmosphérique, la température ambiante et la tempé
rature de la mer. Le traitement de ces données a été réalisé en collaboration
avec Monsieur COLIN (O.R.S.T.O.M.) responsable de ce mouillage.
Dans le cas de ce mouillage on dispose donc de séries temporelles
de la vitesse et du vent, on peut alors traiter le problème de la détermina
tion de la viscosité virtuelle verticale par la première méthode proposée.
Vu le manque de données en pr~fondeur (le dernier courantomètre
se situe à 110 mètres), on a décidé d'ajouter un palier situé suivant les
cas à 200 ou 250 mètres. Ce palier ne sert qu'à représenter la décroissance
du courant à ces profondeurs (confirmé par un VACM placé à 300 mètres lors de
la dernière période de mesure de mai à septembre 84) et n'est pas utilisé
pour la minimisation entre le courant calculé et le courant observé.
Les valeurs du courant mesurées à 10 mètres sont considérées comme les
valeurs du courant en surface. On dispose alors de 6 pas de discrétisation
en espace.
37
Pour calculer la force exercée par le vent, à partir des relevés,
on utilise la formule suivante
"OÙ P est la densité de l'air, VI la force du vent en mis et Vla force dua "vent en cm/s.
Le gradient de pression est donné. Compte-tenu des remarques
faites précédemment, on construit un profil moyen à partir des mesures faites
sQr les radiales transéquatoria1es durant la même période.
Bien que la méthode conduise à de, fortes valeurs du coefficient
de viscosité, on retrouve bien les traits principaux de la circulation avec
cependant "des valeurs un peu plus faibles au niveau du sous-courant équatorial.
Ceci apparatt sur la figure 15 où on a représenté la composante zonale du
courant observé (campagne MOCAL 1), et du courant calculé numériquement.
Nous allons tenter d'analyser le désaccord en sub-surface entre
le courant observé et le courant calculé. L'une d'elles apparatt de façon
évidente c'est le manque de données suivant la verticale. 5 mesures de
courant, et donc 5 points de discrétisation, sont insuffisantes pour représen
ter correctement les variations verticales de la vitesse. Il est en particulier
difficile de fixer la profondeur du sous-courant et son intensité.
D'autre part, ce modèle ne peut s'utiliser que pour des variations
du vent à grandes périodes (exemple: variations sais~nnières), sinon il
présente une instabilité qui conduit à des différences :notables au niveau
du sous-courant entre les valeurs calculées et observées (figure 15).
38
L'objectif du modèle est de déterminer un coefficient de visco
sité constant sur la période ~onsidérée, et correspondant à un écoulement
moyen caractéristique .de l'Atlantique Equatorial. Pour cela, les mesures
du courant doivent être lissées de façon à faire apparattre nettement le
profil moyen de vitesse.
Cette analyse des résultats obtenus dans le cas d'observations
instantanées nous amène donc à traiter le cas d'un courant moyen, en utili
sant la formulation (II) du modèle numérique.
La circulation dans l'Atlantique Equatorial est dominée par de
grands courants zonaux : les courants Nord et Sud équatoriaux traversent
l'Atlantique d'Est en Ouest, le contre-courant et le sous-courant équatorial
s'écoulent d'ouest en est.
Une première approche de la circulation peut donc être obtenue en
supposant que la composante méridionale de la vitesse est négligeable devant
la composante zonale.
Compte-tenu de la distribution du vent, ce modèle est plus adapté à la
partie Ouest de l'Atlantique Equatorial où le vent est zonal, qu'à la partie
Est où le vent est méridien.
'Nous avons alors à traiter uniquement l'équation projetée sur
l'axe Ox
(au . )
\J( z) azl (z, t) 1 a= _!œ.p ax
On se propose maintenant de déterminer le coefficient de viscosité
virtuelle verticale par le deuxième modèle proposé en 4.3. Dans ce but, on
va construire un profil de courant moyen üt
' obtenu pour un vent moyen TI.On crée une perturbation du vent, de moyenne nulle, ÔT
Iet on cherche à
minimiser la perturbation du courant zonal ÔU 1 qui en résulte. L'équation à
résoudre s'écrit :
39
= 1 Clpp dX
et on minimise
Le profil moyen du courant peut être approché analytiquement.
Cette construction permet de faire varier les critères suivants :
- intensité du courant de surface
- valeur de la dérivée du courant de surface
profondeur du noyau du sous-courant
intensité du noyau du sous-courant
rapidité de décroissance en dessous du noyau.
A partir des relevés des campagnes FOCAL, on peut considérer que
le courant zonal se décompose en 2 parties: l'une allant de la surface au
maximum de sous-courant, l'autre concernant le courant en dessous du sous
courant.
La formulation analytique que l'on a choisie se décompose en deux
fonctions définies sur les deux intervalles que l'on vient de donner. Elles
sont reliées entre elles par la, condition qu'au noyau du sous-courant, les
fonctions ainsi que leur dérivées soient' continues.
Entre la surface et le maximum de sous-courant, on utilise la
formulation suivante :
).- O',{; z ',{; zm
40
avec
SI et s2 forment une partition de l'unité et sont tels que
sI (zm) = 0 s2(zm) = s,(O) >= s2(0) = 0
si (zm) = 0 si(zm) = 0 si (0) '" 0 si(O) '" 0
u représente donc le courant de surface, a la pente du courant à la surface,sum le maximum de sous-courant et zm la profondeur du maximum de sous-courant.
Toutes les distances sont exprimées en centimètres et les vitesses en centi
mètres par seconde.
Pour la partie en dessous du noyau du sous-courant, on utilise une
formulation donnée par K. WYRTKI et E. BENNET [17]:
2.- u (z) = u ~ e1 m Z -Elm
z-a1-z -a-mz ~ Zm
Dans cette fonction, a permet de faire varier la rapidité de
décroissance du sous-courant.
On vient de donner une formulation analytique dépendant de 5 para
mètres pour les 5 critères proposés. De plus, en z , on respecte bien la condi-. mtion de continuité imposée. Pour montrer que la formulation analytique repré-
sente bien la composante zonale du courant à l'équateur, on donne en figures
'6 et 17 une comparaison entre deux courants observés lors des campagnes FOCAL
(croix) et le courant calculé par la formulation analytique leur correspondant
(trait plein). Sur la figure 15, les mesures du courant observé ont été effec
tuées lors de la campagne FOCAL 3, d'avril 83~ par 4° de longitude ouest.
Les mesures de courant de la figure 17 ont été effèctuées lors de la campagne
FOCAL 2, de février 83, par 4° de longitude ouest.
41
Dans un premier temps, on a voulu traiter le cas d'un profil
moyen donné par ajustement analytique aux vitesses fournies par l'une des
stations des campagnes FOCAL (figure 16). Pour ces campagnes, les valeurs
du courant sont mesurées tous les 5 à 10 mètres de profondeur. Dans ce cas,
on connatt très précisément, la valeur du courant près de la surface,
la profondeur du maximum de sous-courant et sa grandeur, la rapidité de
décroissance du courant en dessous du noyau. En faisant varier le gradient
de pression dans différents essais, on pourra tester l'influènce de celui-ci
sur le coefficient de viscosité virtuelle verticale et sur le courant.
Dans le cas du profil moyen de courant traité (figure 16), les
paramètres de la formulation analytique ont les valeurs
u = -72 cm/ss
Ct = 0'012 u = 74 cm/sm
z = 4750 cmm
a = 2750 cm
Le vent relevé sur la passerelle du navire lors de cette station,
nouS donne une force exercée par le vent :
- 2Tl == -O. 16 dynes/cm
Pour la discrétisation en temps, on a choisi un pas de temps
~t = 7200 secondes. La perturbation du vent est construite de manière
à former un bruit blanc de moyenne nulle. Les calculs sont effectués pour
une période de 5 jours.
Pour la discrétisation en espace on a pris. les pas suivants
- de 0 à 60 mètres
- de 60 à 160 mètres
- de 160 à 300 mètres
12 pas de 500 cm
10 pas de 1000 cm
7 pas Ode 2000 cm
ce qui permet de conserver de manière acceptable la forme du courant moyen
zonal.
42
Dans le paragraphe 5.2.1., on est arrivé à la conclusion que le
gradient de pression avait une importance primordiale dans les équations
de Navier-Stokes. Le problème, dans le cas que l'on traite, est que l'on
ne connaît que grossièrement sa forme et sa grandeur. On va donc utiliser
la forme très simple proposée par Robert S. ARTHUR [lJ pour le cas d'un
courant comparable à celui traité ici. Le terme 1 ~ proposé par ARTHURp oX
a la forme suivante :
Les essais que l'on présente dans ce paragraphe ont consisté à
faire varier les paramètres p , p et h, afin de trouver la meilleure opti-s . amisation pour la distance entre le courant calculé et le courant observé,
lors du calcul du coefficient de viscosité virtuelle verticale. Pour chaque
essai, on effectue quarante itérations pour le calcul du coefficient.
On compare la valeur de la distance entre courant observé et courant calculé,
après ces quarante itérations, pour déterminer quel est le gradient de pression
le mieux adapté au profil de courant proposé.
Dans l'exemple académique on décomposait la recherche du coefficient
de viscosité virtuelle verticale en trois étapes. Dans le cas que nous trai
ton~, nous ne conservons que deux étapes : la recherche de V sous forme d'une
constante et la recherche de V sous forme libre. Pour la première étape, les
valeurs de V que nous trouvons, pour les différents gradients de pression,
vont de 2.67 à 3 cm2/s. Ces valeurs moyennes de V sont tout-à-fait comparables
à celles que l'on voit dans différents articles.
différents essais, on voit-5 3p = 0.5 10 dynes/cm.a
on présente plusieurs essais
En faisant varier le terme p dans, aque la meilleure optimisation est obtenue pour
-5Le terme p étant maintenant fixé à 0.5 10 ,a
pour lesquels on a fait varier les valeurs de
43
h et p • Le tableau ci-dessoussregroupe ces essais, en abscisse on donne la profondeu r "h" où la pente du
gradient de pression change de sens, en ordonnée la valeur du gradient de
pression en surface, et à l'intérieur du tableau la valeur de la distance
entre le courant calculé et le courant observé après quarante itérations
(la distance est une intégration numérique par rapport à l'espace, ce qui
explique les fortes valeurs, la profondeur étant exprimée en centimètres).
La meilleure valeur de la .distance est obtenue pour p = - 4.5 10~5 etsh = 100 mètres.
h
80 100 120
- 3.85 10-5 4167
Ps - 4.5 10-5 4012 2522 10839
- 6. 10-5 21502
Pour l'ensemble des essais effectués, on observe des caractéris
tiques communes : une forte valeur de V en surface, des valeurs faibles
entre 15 et 35 mètres, un~cond~c à 45 mètres, de nouvelles valeurs faibles
de 50 à 60 mètres, un 3ème pic entre 80 et 150 mètres, puis une valeur à
peu près constante dans les 100 derniers mètres (figures 18, 19 et 20).
On va tenter d'interpréter ce profil vertical de la viscosité.
En surface les valeurs importantes ont pour but de freiner leau 1
courant entratné par la force exercée par le vent, on a en effet V ""1fZ = TI
Les faibles valeurs que l'on trouve ensuite permettent de laisser s'écouler
le courant, les variations du courant dans cette partie étant très importantes.
44
Le second pic à 45 mètres se situe au niveau du maximum de
sous-courant. Au-dessus et en dessous du noyau du sous-courant, aux fortes
variations de la vitesse zonale correspondent des valeurs faibles du coef
ficient de viscosité virtuelle, mais au niveau du maximum,
le coefficient doit prendre une valeur plus importante afin de stabiliser
le courant.
Le troisième pic de la viscosité se situe dans une zone où les
variations du courant diminuent. Les valeurs importantes de la viscosité
ont pour but de compenser la trop forte décroissance verticale du courant
A partir de la profondeur où le courant se stabilise le coefficient de vis
cosité virtuelle verticale diminue pour prendre une valeur constante.
On peut résumer brièvement la forme du coefficient de viscosité
virtuelle verticale, en disant que là où les variations du courant sont
importantes sa valeur est faible. Par contre la valeur du coefficient
augmente lorsque les variations du courant diminuent ou lorsque la dérivéeau 1~ du courant s'annule.
On peut regarder l'influence du gradient de pression
sur la forme et les valeurs du coefficient de viscosité virtuelle verticale.
Premièrement, on fixe h à 100 mètres, p à 0.5 10-5 dynes/cm3 ,aet l'on compare v, après 40 itérations, pour différentes valeurs de p
s(figure 18). Le pic du coefficient de viscosité situé à 45 mètres est minimum
pour le gradient de pression optimum, c'est-à-dire pour p =-4.5 10-5dynes/cm3.s
le troisième pic situé entre 80 et 140 mètres diminue lorsque la valeur de p5 -5 .. s
décrott. Pour p = -6.10- et p = -3.85 10 les valeurs du coeff1c1ents s
de viscosité virtuelle verticale situées au-dessus et en dessous du pic à
45 mètres tendent vers zéro. Pour ces valeurs de p , les valeurs du pic às45 mètres sont très grandes, afin de stabiliser le courant. Pour permettre
au courant de varier autour du noyau, il faut donc des valeurs très faibles
de v.
Deuxièmement, on fixe Pa à q.5 10-5 dynes/cm3 , Ps à -4.5
10-5 dynes/cm3 , et l'on fait varier la profondeur h où la pente du gradient
de pression change de sens (figure 19). Pour h = 120 mètres, les pics
du coefficient de viscosité virtuelle verticale prennent des valeurs très
45
importantes. La pente du gradient de pression change de sens trop tôt,
le pic de la viscosité situé entre 80 et 150 mètres doit prendre une
forte valeur afin que la profondeur et l'intensité du sous-courant
soient conservées.
si l'on regarde maintenant la forme du coefficient de viscosité
virtuelle verticale au cours des itérations pour le gradient de pression
optimum (figure 20) on observe que 1& grandeur des pics augmente en fonc
tion des itérations, mais que par contre les valeurs faibles se stabilisent.
Pour ce profil de courant moyen, on peut faire une remarque
générale sur l'ensemble de ces essais, c'est que l'on a un phénomène d'oscil
lations des valeurs de V d'une profondeur à l'autre, par exemple entre 20
et 40 mètres. Le coefficient de viscosité est défini comme un polynôme de
degré 1 sur chaque intervalle de discrétisation. Pour diminuer c~ phénomène
d'oscillations, on aurait pu choisir de prendre V sous la forme d'un poly
nôme de degré 1 sur 2 ou 3 intervalles de discrétisation. On ne l'a pas fait
car dans ce cas on aurait perdu certaines informations, entre-autres le pic
à 45 mètres.
46
5.2.3.3. - f~~_~~_~~~~_E!~Éi!~_~~z~~~_~~E~~!~!i~!!9~~~
~~_!~~!!~~!!9~~_~g~~!~E!~!
A partir des données du vent et des courants fournies par le
mouillage FOCAL, on remarque que la circulation équatoriale comporte deux
saisons.
La grande saison froide, s'étendant de mai à septembre, est
caractérisée par un vent venant du Sud-Est. La composante zonale de la
vitesse pour cette saison est du type : fort courant de surface Ouest,
faible sous-courant Est. La première composante du gradient de pression
est caractérisée par une valeur de surface négative.
La grande saison chaude s'étend de décembre à avril et est carac
térisée par un vent venant du Sud-Ouest. La composante zonale de la vitesse
est du type: faible courant de surface et fort sous-courant Est.
La première composante du gradient de pression est caractérisée par une
valeur de surface positive.
Dans ce paragraphe, nous allons, pour ces deux saisons, déter
miner le coefficient de viscosité virtuelle verticale.
a) Grande saison froide
Pour construire un profil moyen caractéristique de cette saison,
on s'est servi des mesures du mouillage équatorial réalisées durant le mois
de juillet 1983. Les paramètres de la formulation analytique de ce profil
(figure 21) ont les valeurs·
us -90 cm/s 0.022 u = 65 cm/sm
zm
6000 cm a = 3500 cm
Le vent moyen relevé durant cette période par la bouée météoro
logique nous donne une force exercée par le vent :
- . 2Tl = -0.30 dynes/cm
P04r la discrétisation en temps et la perturbation du vent,
on conserve les mêmes valeurs qu'au paragraphe 5.2.3.2.
47
Le maximum de sous-courant étant situé à 60 mètres, pour décrire
de manière acceptable la forme du courant moyen, les pas de discrétisation
en espace sont les suivants :
de a à 70 mètres
de 70 à 160 mètres
de 160 à 300 mètres
14 pas de 500 cm
9 pas de 1000 cm
7 pas de 2000 cm
Le choix de la forme de la première composante du gradient de
pression pose le même problème' qu'au paragraphe 5.2.3.2. On choisit la forme
très simple proposée par S. ARTHUR [J] et comme au paragraphe précédent,
on fait varier les paramètres h, Pa et Ps au cours d'essais successifs, afin
de déterminer le gradient de pression fournissant la meilleure optimisation
possible de la fonctionnelle des moindres carrés, après 40 itérations.
Après plusieurs essais, le gradient de pression fournissant la
meilleure optimisation entre le courant observé (le profil) et le courant
calculé. a pour paramètres h = 110 mètres. p = 0.5 10-5 dynes/cm3 et-5 a
Ps = -6.5 JO dynes/cm.
A la fin de la première étape d'optimisation. la valeur moyenne
obtenue pour le coefficient de viscosité virtuelle verticale est de 5.32 cm2/s •
Le coefficient de viscosité virtuelle verticale prend une forme
similaire au coefficient trouvé dans le paragraphe précédent : une forte valeur
de surface, des valeurs faibles entre 20 et 40 mètres. puis un pic à 55 mètres.
de nouvelles valeurs faibles de 65 à 80 mètres. un autre pic entre 100 et
200 mètres, et enfin une valeur à peu près constante dans les 100 derniers
mètres (figure 22).
Pour cette forme du coefficient de viscosité, on peut donner la
même explication qu'au paragraphe précédent. Le pic à 55 mètres se situe au
maximum de sous-courant. Au-dessus et en dessous du noyau du sous-courant.
aux fortes variations de la vitesse zonale correspondent les valeurs faibles
. du coefficient de viscosité virtuelle situées entre 20 et 40 mètres. et entre
65 et 80 mètres.
48
Les valeurs des pics du coefficient de viscosité virtue.lle verti
cale déterminées à partir de ce profil sont beaucoup plus importantes que
celles déterminées à partir du profil donné par la campagne FOCAL 3.
Les grandes valeurs du coefficient de viscosité ont pour but de freiner les
variations du courant. Le maximum de sous-courant dans le cas du profil de
ce paragraphe (figure 21) est plus faible que dans le cas du profil précé
dent (figure 16), les variations du courant sont donc moins importantes, ce
qui explique les fortes valeurs du coefficient de viscosité.
b) Grande saison chaude
Le profil moyen caractéristique de cette saison a été calculé
à partir des mesures du mouillage équatorial effectuées au mois de janvier 84.
Les paramètres de la formulation analytique de ce profil (figure 23) ont les
valeurs
u s 50 cm/s -0.035 um = 85 cm/s Zm = 6000 cm a = 3500 cm
Le vent moyen relevé durant cette période par la bouée météoro
logique nous donne une force exercée par le vent :
- 2TI = 0.15 dynes/cm
Pour la discrétisation en temps et en espace, et pour la pertur
bation du vent, on conserve les mêmes valeurs qu'au paragraphe a).
Le choix de la forme de la première composante du graidient de
pression pose un grand problème. Cette saison est moins marquée que la grande
saison froide, et on connaît moins bien le gradient de pression. Après de
l . l . l 1 an d . - . d -t- h· .mu t1p es essa1S, e terme - ~a ' eSS1ne C1- essous, a e e c 01S1 commep xétant le mieux lié au profil moyen de courant traité dans ce paragraphe.
+
49
Après plusieurs essais le gradient de pression fournissant la
meilleure optimisation entre courant observé et courant calculé a pour para
mètres hl = 50 mètres, h2 • 120 mètres, p = -1.25 10-5 dynes/cm33 . -5 e 3
Pa = 0.25 dynes/cm et Ps = 8.10 dynes/cm.
La valeur moyenne du coefficient de viscosité virtuelle verticale,
à la fin de la première étape d'optimisation, est de 2.20 cm2/s.
Le coefficient de viscosité virtuelle verticale a une forme assez
différente de celles déterminées précédemment. Il a les caractéristiques
suivantes : un pic à 20 mètres, des valeurs faibles de 25 à 5à mètres,
un autre pic à 60 mètres, de nouvelles valeurs ,faibles de 65 à 90 mètres,
puis une valeur à'peu près constante sur les 200 derniers mètres (figure 24).
On va tenter d'interpréter ce profil vertical de la viscosité.
Le pic du coefficient de viscosité virtuelle verticale situé à
20 mètres est exactement à la même profondeur que le minimum de courant du
profil moyen. Le pic que l'on trouve à 60 mètres se situe au maximum de
sous-courant. En effet, au niveau du maximum dU sous-courant, le coefficient
de viscosité doit prendre une valeur plus importante afin de stabiliser le
courant.
On peut faire une étude comparative des coefficients de viscosité
virtuelle verticale en fonction des différents profils moyens de la vitesse
(figure 25). Le profil moyen (figure 16) peut ~tre considéré comme un profil
intermédiaire entre les profils correspondant aux 2 grandes saisons (figures
21 et 23). La valeur moyenne du coefficient de viscosité virtuelle verticale
diminue lorsque le maximum du sous-courant augmente : VM = 5.32 cm/s2 pour
u = 65 cm/s (profil moyen, figure 16), VM
= 2.76 cm/s2 pour u = 74 cm/sm 2 m
(profil moyen, figure 21), et VM = 2.2 cm/s pour um = 85 cm/s (profil moyen
figure 23). Le pic du coefficient de viscosité virtuelle verticale situé à la
même profondeur que le maximu~ du sous-courant et le pic situé en dessous du
noyau du sous-courant, diminuent lorsque la valeur du maximum du sous-courant
augmente (figure 25).
En conclusion, les faibles valeurs de viscosité,apparaissent pour
la grande saison chaude et augmentent lors de la grande saison froide. Les
variations de la viscosité sont proportionnelles aux variations de tension de
é . . d dU. tvent, on peut donc en d dU1re une certa1ne permanence u terme V az qU1 es
confirmée par l'observation.
50
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cal~ut~ par la fQrm~latiop ~n~lytiq4e (trait plein)
0 ..
60
50 .. 15 .. 100 ..
100 ..
+
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300 ..
Compar~ison entre ~e ~OUrant observii l'~quateQr, lors. ,.-' . '. 1 1
de la ~a~pagne FQCAL 2. par 4° de longitude Ouest (croix). , . . . .
et le çourant ca'lcul~ .par la formula~i<?n analytiq\l~;;. .
(trait plein)
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Cgefficient de vi~cosité virtuelle vertical~ apr~~ 40 itérations...5 ,,3
dan~ le cas où h est fixé à 100 mètres, Pa.est fixé à 0.5 la dynes/cm-
e(: oQ p v:ari~s
\) pOUr h ~ I~O mètres
{\
\\
\\
\\
\\\11
J11 ,. /".1 /"
!(1 (
UIl
:1; 111111Il11Il
: 1II
: 11
62
\)
- Figure 19 -
pour h ~ 80 mètres
pour h • 100 mètres
..Coeffiqi~nt de viscosité vi~~uelle ve~ticale après 40 itérations
dan~ le cali où P e~t t:i.~~ à -4.5 10-5 dynes/cm3,. s~~ est fixé à O.~ dyne~/cm~, et où h varie.
100a
200a
300a
5a
111
11
1
/1 //
l" /
/ / ~---:/ -------1r 1l, /liIl 1
~Il,
(1
63
10a
-===---
- Figure 20 -
v après 20 itérations
v après 40 itérations
v après 60 itérations
15a
Variations du coefficient de viscosité virtuelle verticale au cours
~es itérations pour le courant moyen donné en fig. 16 et pour le
gradient pression de paramètres: h = 100 mètres, p = 0.5 dynes/cm3
,-5 3 a
et p = - 4.5 10 dynes/cm.s
64
- Fig\,\re 21 -
Profil moyen de la première ccmposante de la vitesse caractéristique
d~ la grand~ Sa~son froide.
100.
6S
10.
-------.._.._-_._-------------_. -----------------
200~
-~
!. /
-------. ------//
\1
.,. Fig\,lre 22 ..,.--.--
Go~f~i~ient qe viscp~it~ vi~t\,lelle y~rtic$l~ d&terminê ~près
40 ttérations d'optimis~tion, ~~q~ le ca~ ~u profil mQy~n de la
gr~nde ~aison froiqe.
66
100.
200.
300.
- Figure 23 -
Profil moyen de la premièré composante de la vitesse caractéristique
de la grande saison chaude.
67 '
15D10D5DOD
OD +-----------r----l----:---------'-------------.J
100D
200D
- Figure 24 -
300D
Coefficient de viscosité virtuelle verticale déterminé après
40 itérations d'optimisation dans le cas du profil moyen de
la grande saison chaude.
68
15a10a
- Figure 25 -
pour le profil figure 23
pour le profil figure 16
pour le profil figure 21
---/
//
/j
5a
~~
,,~
,","
,"/'
11
//
1111111111111111
-,1J-- ...... - ... --- -\
\\,
"--',,/
(""
"," --,
~=---""-----)
/
"'"'~1
""'\\
\1
J1
11
11
//
11
11
11
11
11
11
1
OaOar---;~ç=;~====~~--~--- ~--_~ . ------
-==:-- - '-- -- -_~~-:-=::."':""...::::--=--~~-=---
c::.:':_ -------~= .... ~----- ------------- --------- ---------------- ----_______ :::.=. ..
------------------
200a
300a
100a
Coefficient de viscosité virtuelle verticale après 40 itérations de
l'optimisation en fonction des profils moyens de courant.
Chapitre II
UNE tETfi)DE lE Œ'TERMINATION lE CERTAINS PARMTRES OCEANIQUES
DANS LE CAS lES EQUATIONS lE NAVIER - S1U<ES
BiDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES
INTRODUCTION
Dans l'Océan Atlantique Equatorial la constance des vents sur de grandes
périodes de temps donne un courant quasi-stationnaire pendant ces périodes.
Il en existe deux par année, l'hiver et l'été. Dans cette deuxième partie
nous allons chercher à déterminer pour ces deux saisons les coefficients
de viscosité virtuelle.
Le problème physique considéré est le suivant : dans un domaine
rectangulaire d'épaisseur H constante s'étendant de part et d'autre
de l'équateur
Eq. _
z
r ln
r"'y
-------~::..---------~x
-+la vitesse U et la pressl.·on p dOl.·vent ' 'f· 1 ' .verl. l.er es equatl.ons
[<Hl -+ -+ -+D2 li -+ ) -.!.. V p
-+U + f tA U - \)h - D ( \) D3 U - g t3 2 3 v Pm 3(2.1)
-+div U 0
70
avec les conditions limites
-+- -+-U = 0 sur r"
-+--+-U.n = 0 sur r' et r"'
(~' 2)a -+--+-
)-+--+-
i sur r'\Iv dii ( U.t. = T.t. l, Zl. l.
a (-+--+-
) i sur r"'an U.t. 0 1,3l.
Nous allons chercher à identifier les coefficients de viscosité
virtuelle, \Iv dépendant de la profondeur et de la latitude, \lh étant
constant.
Le plan de ce chapitre est le suivant :
1- Etude théorique du probème (2.1),(2.2).-+
2- Dérivabilité de l'application ( \lh ' \Iv )~ U
3- Identification des coefficients de viscosité virtuelle.
4- Résolution numérique du problème.
5- Résultats numériques.
Notations.
On utilise le repère ( O,x,y,z ) lié à la terre, l'origine étant
situé à la surface de la mer au repos, l'axe O~ dirigé vers l'est,
l'axe Oy vers le nord et l'axe O~ suivant la verticale ascendante.
( u l ,uZ,u3
) vecteur vitesse du courant
pression
2 w sin <Il paramètre de coriolis
latitude
vitesse angulaire de rotation de la terre
accélération de la pesanteur
coefficient de viscosité virtuelle horizontale
coefficient de viscosité virtuelle verticale
-+-U
P
f =<Il
w
g
\lh
\1v
\1-+-T =
( \lh' \IV>( T
1,T
2,0 ) force exercée par le vent
71
d°2 = dY
d°3 = azV= ( 0'02'03 )
~ : normale extérieure à la frontière du domaine
t. : ième vecteur de base de R3~
1 - ETUDE THEOR1QUE ru PROBLEME (2,1) (2,2)'
1.1- Formulation variationnelle du problème (2.1) (2.2).
Nous noterons :
IHI (m
-+ -+ 2( U , V ) le produit scalaire dans ~ (Q)
-+ 2U la norme dans IL (m
Il U Il la norme dans /Hl (n)
[ -+]. 1. U la sem~ norme sur IR (n)
On introduit les espaces fonctionnels suivants :
.pl' {-+ 0.. _ • -+ -+ ~ -+ -+ }U= UE.@(Q) 1 d~v U = 0 , U = 0 sur r" et U.n = 0 sur r' et r"' .
W= la ferméture de ~dans Hl(Q)
W = {UEIHI(m 1 div U= 0, U= Ô sur r" et U.;: .. 0 sur r' et r"' }
Ac = { V.EIRx Loo(n) 1 al~ Vé Ml et IlvvIILoo(n) ~ M2
vv(y,z) ? a2 p. p. sur Q avec al> 0 et a2> 0 }
2 <001Q est un ouvert borné de m de classe ~ '.
Nous allons rappeler quelques théorèmes qui seront fréquemment utilisés
dans la suite du problème.
72
Théorème d'injection de Sobolev.
pour tout q ~ 1.
Les injections canoniques correspondantes étant de plus continues.
Théorème de Kondrasov.
pour tout q ~ 1.
Théorème (inégalité de poincaré).
Sur l'espace W, [V ] est une norme équivalente à la norme de 1B1(Il)
Il V Il. Il existe donc une constante k telle que :
+ + + lU, V, Wétant trois éléments de ~ (n), on définit les formes suivantes
+ + 3 3av ( U , V = V L ( DZ u. , D2 v. ) + L ( V D3 u. , D3 v. )
h i=l l. l. i=l v l. l.
d' ( + +) ( f
+ + +U V t 3" U V
+ + 3 3+
~ Lp ( U, V W ) = f u. ( D. v. ) w. dni=2 j=l n l. l. J J
+( -g
+ +F(V) , v
3) + < T,yoV ~l , l , r'
2 2
Propriétés des formes bilineaires av et d.
Lemme 1.1.
aV et d sont deux forme's bilinéaires continue's' sur W x W ayant
les propriétés suivantes :
v VEA , a est \V-elliptique sur W x W.CV.
(Z.3)+ +
d(U,U)=O
73
Démonstration.
'rJ Û et VEW, on a, d'après l'inégalité de Holder :3
1-+- -+- \ 1 -+- 1 -+-av ( li , V) 1 ~ sup ( Ml ' M2 ) l D. li 1 D. V
i~2 1 1
~t en appliquant l'inégatité de Schwar~ :
av ( U , V) 1~ sup (Ml ' M2 )(J21 Di U 12)~lt 1
3'Qr Il V 11 2", 1V12 + l 1D. V 12
i"'2 1
on a dOllC :
-+-,V)I~MII
-+- Il Il -+- Il1 av ( li li V
D'autre part
-+- -+- 1D2Û 12 -+-12
av ( li , li ) ~ al + a2 1 D3 li
-+- 12)tD. V
1
U ) ~ inf ( al' a 2 ) [U ] 2
où a = inf ( al ' a 2 )
Il existe donc un élément de \V' noté AvU tel que :
-+-'fi vew
-+--+-'fi li,VEW, on a d'après l~nêgalitê de Holder et en appliquant l'inégalité
de Schwarz :
Id(u,v)l~ fll.Ullvl
~ f 1 Il U\1 Il VIl
D'autre part ..-+- -+-
)d ( li , li ). = ( -f u , ul + <. f u l ' u2
)2
( ...f u2
ul
) + ( f u2 ul
) '" 0
-+- -+-'rJ ue IRI
(n)don,c d ( U , li ) .. 0
74
Propriétés de la forme trilinéaire b.
Lemme 1.2.
Démonstration.
Soient U, V,WEIH1(n). on a appliquant l'inégalité de Holder
1 In "k (DkVi)Wi dQ 1 ~ (IQ luk l4 dQY (fQ IDkv i 1
2 dSl)1 (IQ IWi 14 dSlY
~ , ~ 'L 4(n) 1 Dk vi I L2(n) 1 wi I L4(n)
~n a pour la forme trilinéaire b
3 3
~ i~1 kI2a i i uk IL4(n) 1 Dk vi IL2(n) Bk l wiIL4(n)
où a. et B. sont égaux à 1.~ ~
En utilisant une nouvelle fois l'inégalité de Holder :
1-+- -+- -+-
b(U,V,W)3 4I a.
k=2 ~
3
I Bkk=2
3 3 4IUkl~4W)
3 3
IUkl~4(n)3
IUkl~4 (n)or I I a. I a. I = 3 Ii=1 k=2 ~ i=1 ~ k=2 k=2
3 3 3 3IWi I~4(n)
3
IWil~4(n)I k~2~ IJi I~4(n) I Bk t == 2 ti=1 k=2 'i=1
. i=1
d'ou
-+- -+- -+-b(U,V,W)'1
(2.4)
75
En utilisant le théorèm~,d'injectionde Sobolev, nous obtenons
\b(Û,V W)I~cIIÛllllvllllwll
-+ -+-+ 1'<J Ue:W et V V,W&IH (n)
(2.5) o
(2.6) b ( Û -+V W)==-b(U
-+ -+W , V )
Démonstration.
-+ -+ -+ 3 3
Inb ( U , V , V ) == l l Uk ( Dk Vi ) v. dni=l k=2 1
3 3
In
2l l uk
( Dk
vi ) dni=l k==2 2
3 3
In
2 2l l Dk ukv.
Ir ~ nk== l. dn v.+ dri==l k=2 2 l.
2-+ • -+U appartient à\V, on a dl.V U = 0 et ~ ~ == 0, on a donc
La deuxième propriété est obtenue en écrivant que :
-+ -+-+ -+-+b ( U , V+W , V+W ) == 0
Lemme 1.4 (cf. TEMAM [16J).
-+++b(U.,V,V) o
-+ 2converge vers U faiblement dan$ W et fortement dans ~ (n), alors
(2.7)
Si UIl
b (ÛIl
-+U -+ -+ -+ -+ -+.., r,V)_--+)ob (U, U, V) VVe vIl
Démonstration.
Il est évident de montrer à partir de (2.5) et (2.6) que
-+ -+ -+ -+ -+ -+b ( U ,U ,V)==- b ( U , V., U )Il Il Il Il
3
J2 Inl u k u . Dk v. dn
i==l Il Ill. 1.
76
2 00u . converge vers u. dans L (0) fortement, et puhque D
kv
1• eL (m,
~1 1il est aisé de montrer que
f u k u . Dk v. dnQ ~ ~1 1
( -+-u -+- -+- -+- -+-' -+oU) -+- -+0 -+0·b ,U, V ) converge donc vers - .b ( U " V , = b ( U , U , V )~ \l
Propriété de la forme linéaire F •
. Lemme 1.5.
(2.8)-+- .1
, T€IH 2 (f')
alors F est une forme linéaire ~ontinue sur IHI(Q).
Démonstration.
d'après le théorème de trace:
(2.9)
-+-F(V)
-+-F(V)
~ Igi II v3 11 + IITIII.~ Ilvlll + IITIII.! II v
2 11
~ ( 1g 1+ Il T Il ~~)' Il V Il V ve III1
(fa)
Lemme 1.6 (cf. TEMAM ~
Soit X un espace de hi1bert de dimension finie avec le produit scalaire
[ .,. ] et la norme [ . J et soit P un opérateur continu de X dans
lui-même tel que :
(2.10) [P(Ç;) , ç; J > 0 pour [ç; J.• k l > 0
alors il existe un ç; e X [~J ~ k l tel que
(2.11) P(Ç;) = 0
77
Démonstration.
Ce lemme est une conséquence du th~or~me du point fixe de Brouwer.
Supposons que P n'~it pa~ de 0 dans la bo~le. P de X centr~e en 0
et de rayon k 1, alors l'~pplication
~ _---+~ S(~) = - k ~1 CP(~)J
qui envoie D dans lui-même est cont~nue. ~e th~or~me de Brouwer implique
alors que S a un point fixe d4ns D •
il existe ~oeD tel que
- k 1
Si nous prenons la norme. des 2 cotés de cette ~quation nous voyons que
[~oJ = k l et si ensuit~ nous éffectuons le pr04u~t scalaire de chaque
coté avec ~o, nous trouvons:
[ ~o ] 2 k .cP(~o),,~ol
1 [ P(~o) ]
Cette inégalité contredit (2.10) on en 4équit que P (~) doit s'annuler
en un point de D.
78
Nous allons considérer maintenant le problème variationn~l suivant
Etant donné
(2.12) Trouver UEW tel que
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+av ( U , V ) + d (U V) + b ( li ,U V) = F ( V )
Proposition 1.1.
-+"tJ VEW
Si V = ( Vh
,v )EA, le' problème variationnel (2.12) admet au moinsv c.
une solution. Si de plus
(2.13) avec a = inf (al ' a 2 )
alors cette solution est unique.
Démonstration.
i) Existence de la solution.
L'existence est démontrée par une méthode de Galerkin, nous construisons
une soiution approchée de (2.12), puis nous passons à la limite.
L'espace West séparable comme sous-espace fermé de IH I(n) • \! étant dense
•• • -+ -+ -+ ,~ é 1· ~ .dans W, ~l ex~ste une su~te Wl , W2
, •.. , Wm
, ••• d e~ ments ~nea~rement
indépendants de 1f qui soit totale dans W.
-+Pour tout m ~ 1 nous définissons une solution approchée U de (2.12) par
m
m
(2. 14)-+U
m li=1
-+l;. W.~m ~
l;. ElR~m
( ( -+u2.15) aV m
-+U
m-+Wk
) -+F (W
k) k = 1, ••• , m
Les équations (2.15) forment un système d'équations non-linéaires pour
l;lm' .•. ,.l;mm· L'existence d'une solution de ce système n'est pas immédiate
mais provient du lemme 1.6.
7~
... ...Sait X l'espace engendréparWf' ••• ,Wm, le produit scalaire de X est
le produit scalaire (( , )) dans\V. On définit l'opérateur Pm par
[ ... ... ... ... "'''''.''' ... . ......... ... ...P (U), VJ = ((P (U),V)) = a (U, V) + d (U ,V) + b (U ,U ,V) - F(V) 'fi VEXm m V
La continuité de l'opérateur P .est évidente. Montrons (2. JO)m
~ ~ Il li 11 2- ( 1g 1+ Il T 11_1 ) Il û Il
k
(2.16) .[Pm(IÏ),U] ~ Il U II(k~II:U II - (Igl+ Il T II_!) )
Nous avons donc [Pm (U),Û] > 0 pour Il U Il .. ~I et k] suffisamment
grand, plus précisément :
k 2 ...k l > Ci (1 g1+ Il T Il. ~ )
Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites et il existe alors une
solution li de (2.15).. m .
Passage à la limite.--------------Nous multiplions (2.15) par !;km et nol,lS additionn(;lns les égalités
correspondantes pour k ~ 1, , m, 'nous oht~nons
... -+ ...... '......... ... .a (U ,U ) + d(U ,U ) + h(U ,U ,U ) .. F(U )Vmm mm mmm m
En utilisant les relations (2.3) et (2.4) nous en déduisons que
Nous obtenons l'estimation a priori
(2. 17)
Puisque la suite U est bornée dans W, il existe un Udans W et une... m
sous-suite U' tels que :m
(2. 18)... ...U I __~) U pour la topologie faible dans W.
m
80
,,' Le théor~me de Kondrasov montre en particulier que l' inj ection <le W
d~ns ~2(n) est compacte, nous ~vons alors
(2. 19) +u: + 2 .m' ---.-'))U p01,lr la norme de IL (n)
Les hypoth~ses du lemme 1.4 étant véri~iées nous pouvons passer à la+limite dans (2.15) pour la sous-suite Um'. De (2.7), (2.18) et (2.19)
nous déduisons que
(2.20)+ + + + +av ( U , V ) + d ( U , V ) + b ( U u, V) • F ( V).+ + +
pour tout V = W1, ••• , Wm,
L'équation (2.20) reste vraie pour toute combinaison linéaire des
W1, ••• , Wm, ••• Et puisque ces combinaisons linéa~res sont denses dans \V,
de par sa définition~ un argument de continuité mon~re facilement que (2.20)• -+. + • ()reste vra1 pour tout VEW et que U est solut1on de 2,12
ii) Majoration de U.
+ +Nous prenons y • U dans (2.12) et nous obtenons
a (U, U ) s F ( U ),V
d'ou:
donc toute solution qe (2.12) satisfait la condition
(2.21)
iii) Unicité de la solution.
Supposons que le probl~me (2.12) admette deux solutions U* et ~*.' Posons+ + + -.' + +"D = U* - U** et soustrayons les équat10ns correspo~dant à U* et U**.
+ + + + + -+ + + + +a (D, V ) + d ( D , V ) + b ( U~ , D , V ) + b ( D , U** , V ) • 0
V
+ +Prenons V • D dans (2.22) et l,1t;ilisons (2.3)', (2.5)
+ + + + +Dav ( D , D) • - b ( D , U**, )
81
La forme bilinéaire av est \V-elliptique sur \V x W, la forme trilinéaire
b est continue sur W x\V x \V. De l'équation précédente nous déduisons
l'inégalité
+La solùtion U** de (2.12) étant majorée,l'inégalité (2.21) nous donne
c k2+ + 2a:- (igi + Il TII_l) Il D Il
. 2
IITII_~») Ilnl1 2-::;o
Donc si la condition (2.13) est vérifiée nous trouvons que lin Il 0+ +
et donc que U* = U**.
1.2- Interprétation du problème variationnel~
Nous allons montrer que la.solution du problème variationnel (2.12) est
solution au sens faible du problème (2.1) (2.2).
Par définition de l'espace W, l'équation div U= 0 est vérifiée, aU
sens des distributions.
Pour tout V€.{ V€ ~ (n) / div V = 0 } •
donc
+ + + +± + -+ +<Av U + f t 3" U + ( U. V ) U- F , V> = 0
On en déduit (cf. TEMAM) qu'il existe une distribution p sur.n telle que
++ +( U.\? ) U
++ A Uv
ce qui vérifie l'équation (2.1).
t .. ++ rr + ";tes cond1t10ns U.n = 0 sur r' et sur r ' , U = V sur r" sont vérifiées
par définition de W.
82
-+-Si VEW, en écrivant formellement la formule de Green, on obtient
-+--+a (U,V)
V l-+-
V Cl U Vdr. v "'ilr 'ur" on
et donc·
. -+-.
f V Cl U Vdr +r'ur" v ~ f V Cl li -+-v dr = ""'" > +........ . >
"1 ......... l'v l _11 r' ......L 2 'V2 • 1 1 r'r" , h on 2 , 2. , 2 , 2 ,
Pour l'ouvert considéré, cette condition implique
Cl -++ ++V ~ (U.t.) =T.t.
v on 1. 1.i = 1,2 sur r'
o i 1,3 sur r'"
+2 - DERIVABILITE DE L'APPLICATION ( vh ' v) ---+) U
Dans cette deuxième partie nous allons considérer un espace A tenantc
compte de la condition d'unicité (2.13).
p.p sur StAc(2.24)
00
(2.23) A = IR x L (Q)
{ ve A / al ~ Vh ~ Ml ' Ilv)1 ~ M2 ' Vv(y,z) ~ aZ
al ' 0.2 étant tels que ) c
Définissons l'application ~ de A dans Wparc
(2.25)+
~ : V A __~~ uew solution de (2.12)c
On a, alors, la :
Proposition 2.1.
Sous les hypothèses et notations (2.8), (2.. 23) et (Z. 24), l'application
$ définie par (2.25)est continue dérivable en tout point vEA etc
l'application dérivée $'(v) au point veA est donnéeparc
+$' (V) : ôveA __~') ôuew solution de :
(2.26)++ ++ +++ + ++
av(ôU,V) + d(ôU,V) + b(ôU,U,V) + b(U,ôU,V) =+ + +
- al' >(U V) V vewo V '
83
Démonstration.
L'application est bien définie car pour les hypothèses faites (2.12)admet une solution et une seule dans W.
Dans la suite de la démonstration et pour raison de simplicité,
nous noterons
Il F Il
E(V)
ou E =
Donnons nous une fois nour toute VEA • Soit alors B(V) une boule de Ac
de centre 0 et de rayon E(V) défini par
4inf (~ - ~ Il F Il, E)6 6a
(2a2 - 2k6cIIFI.] + k6 1I FII)2 _ k
3 VIIFII( k6 1I FII + 4Ct2
-4k4cIIFII)
4 a3
Nous supposerons maintenant que ÔV EB (v).
i) L'application $ est contirtue.
-7-~éfinissons ~U par
-7- ,
~U = $ ( V + ôv ) $ ( V )
-7-Il est clair que ~U est solution de l'équation variationnelle
-7- -7- -7- -7- -7- -7- -7--7-+ d(~U~V) + b(~U,U,V) + b(U,6U,V)
-7-'ri vew
Indépendamment de l'interprétation de ~U comme la différence de deux
solutions d'équations variationnelles de type (2.12), la proposition
suivante dit que
Proposition 2.2.
Sou~ les hypothèses et notations précédentes l'équation variationnelle-7-
(2.27) admet une solution et une seule ~U telle que:
(2.28) Il F Il ) Il ~U Il ~ ~2 Il F Il Il ôv liA
84
-+ ~
L'inégalité (2.28) montre que ~U )0 dans W losque 8v )0
dans A, ce qui prouve la continuité de ~.
ii) L'application ~ est dérivable.
Notons ~'(v) l'élément de ~(A~V) défini par (2.26) et admettons pour
l'instant la proposition suivante:
Proposition 2.3
Sous les hypothèses et notations précédentes l'équation variationnelle
(2.26) admet une solution et une seule dans W.
On peut alors poser :
(2.29) ~ ( V + 8v ) = ~ ( V ) + ~'( V ).8v + Il 8v 1lA R( V , 8v )
-+ce qui définit R ( V , 8v )€W pour tout VEA et 8VEB(V), 8v :f O.
c
Pour prouver que ~'(v) est bien la dérivée de ~ en V il suffira de
montrer que :
Il R ( V , 8v ) 1\_~)O lorsque Il 8v \1 A-----=,.)0 et 8v :f 0.
L'égalité (2.29) peut se réécrire
(2. 30) ~U = 8U + Il 8v liA R( V , 8v )
-+ ~-+Uoù ~U est la solution de (2.27) et u est solution de (2.26).
-+R est alors solution de l'équation variationnelle
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+av(R,V) + d(R,V) + b(R,U,V) + b(U,R,V)
(2.31 ) -} -+ -+-+b(~U,~U,V)
-+'<:J vew
-+Pour montrer que R ( V , 8v ) >0 lorsque 8v )0, on utilise
la proposition 2~3. L'équation (2.31) est identique à l'équation (2.26),-+
seul le second membre change. La majoration de R, identique à celle obtenue
pour l'équation (2.26), est alors:
(2.32) ( c k2
)~2 - a . \1 F Il Il R Il ~ Il ~Û Il +c~Il 8v liA
85
Il 8U Il étant majoré par une cpnstaqte fois Il ôv Il (cf. relation(2.28»;
on a le résultat escompté
Démonstration de la proposition 2.2.
Pour tout U fixé, solution de (2,12) l'application qui a vew associe
a ôv ( U , V) est u~e application Ùnbire telle que
1
-+- -+- k2-+-
aôv ( U , V ) 1~ Il ôv liA Ci" Il F Il Il V Il
i) ~xistence de 8U.
Comme pour la démonstration de la proposition 1.1 nous utiliserons
une méthode de Galerkin.
.-+Pour tout entier m ~ l, définissoqs une ~o.lution approchée 8U
mde (2.27) par
(2.33)-+8U ..
m
m -+-L 8ç,. W.
i=1 1m 1bç,. EIR
1m
k=I, ••• ,m
Les équations (2.34) ~orment un syst~me d'équations non-linéaires pour
8Ç,lm' ••. , 6ç,mm' Pour montrer l'~istence d'une solution utilisons le
l,emme 1.6.
-+On définit X comme le sous-espace de\V engendré par WI ,
l'opérateur P par:m
. I;>émontrons (2.10) :.
-+-, W et
m
-+- -+-V 8U ; VEX
86
Nous avons donc [Pm (liU) ~LiU] > 0 pour 11liU 1 1 = k 1 et k 1suffisamment
grand; plus précisément:
Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites~ il existe alors une
solution de (2.34).
Multiplions (2.34) par Li~km et additionnons les égalités correspondantes
pour k = 1~ ••• ~ m~ nous obtenons
-+ -+ -+-++ -+-+a ;: (LiU~LiU ) + b(LiU ~U~LiU ) .. - a;: (U~LiU )
V+uV m m m m uV m
En utilisant les relations précédentes :
et d'après la définition de la boule B(v)
(2.35) ~6· ( ct.~2
• • -+ -+PU1sque la sU1te liU est bornée dans 'V~ il existe un liU dans W et
-+ mune sous-suite liU , tels que:
m
(2.36)-+ -+ •liU , __~., liU pour la topolog1e faible dans W.
m
Le théorème de Kondrasov montre enparticulier que l'injection de Wdans IL2(~) est compacte et que:
(2.37) Liu , __---+, liU pour la norme de IL2 (~)
m
87
Les hypothèses du lemme 1.4 étant vérifiées,. on peut alors passer à. +
la limite dans (2.34) pour la sous-su~te ÔU ,. De (2.7), (2.36), (2.37)m
nous en déduisons
+ ++ + +++ b(ôU,ÔU,V) + b (U,ÔU,V)
+ + ++ b (ÔU,U,V)
+ +pour tout V = W1,
+, W , •••.
m
L'équation (2.38) reste vraie pour toute combinai~on linéaire d~s
+ +W
1, ••• , W
m, .•• Ces cOl1binaisons linéaires ,de par leur définition,
sont denses dans W. Un argument de continuité montre facilement que
(2.38) reste vraie pour tout VEW et que ÔU est solution de (2.27).
+ii) Majoration de ÔU.
+ +Prenons V = ÔU dans (2.27); nous obtenons
c'est à dire:
(2.39) (a - E(V) _ C k2
Il F Il)11 ÔU 112~ k2
Il F Il Il OV liA Ilôullk2 a a
et d'après la d~finition de la boule B(V)
k2a Il Fil 11 ov 1lA
ce qui donne la majoration (2.28).
iii) Unicité de la solution.
Supposons maitenant que le problème (2.27) admette deux solutions ÔU*+ + + + .
et ÔU**. Posons ~ = Ô~ - ô~* et soustrayons les équations correspondant+ +
à ÔU* et, ~U**.
[
++av+OV (ôD, V)
(2.40)
++ + ++ ++++ d(ôD,V) + b(U,ôD,V) + b(~D,U,V)
+'{ VEW
88
+ +Prenons V = ~D dans (2.40) et utilisons (2.3) et (2.4), on a
La forme bilinéaire a' ~ est V-elliptique sur W x V, la forme triliné~ire. \l+u\l
b est continue sur \V x 'fi x W. de (2.39) nouS dédui$ons
2Ct- E:(\l) c k IIFIIk2 -T
d'où la condition
(2.41) (Ct - E(\l) _ c k211FII)2 _ E:(\l) ck2
IIFII, 0. k2 Ct Ct
qui est vérifiée pour :
Or d'après la définition de la boule B(\l) donnée au début de la dé~onstra
tion de la proposition 2.1, le rayon de cette boule est toujours inférieu~ à
cette valeur.
La condition (2.41) est vérifiée; nous trouvons que II~I 1 = 0 et+ +
donc que ~U 'le = ~U'le*.
89
Démonstration de la proposition 2.3.
i) Existence de oU.
Comme pour la démonstration de la proposition 1.1 utilisons la méthode
de Galerkin.
Pour tout entier m ~ l, nous d~finissons une solution approchée
de (2.26) par
oUm
.(2.42)
(2.43)
oUm
m
Li=1
-+o~. W.
l.m l.o~. EIR
l.m
k l, ... , m
Les équations (2.43) forment un système d'équations linéaires pour
0~1 ' ••• ,o~ • Pour démontrer l'existence d'une solution nous allonsm mm .utiliser le lemme 1.6. On définit X comme l'espace engendré par W
I, ... ,
-+W et l'opérateur P par:m m
-+ -+-+ -+-+ -+-++ b(U,oU,V) + ao)U,V) 'fi oU,VEX
Démontrons (2.10)
[ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+P (oU),oU] = a)oU,oU) + b(oU,U,oU) + aov(U,oU)m
? (~ _ ~2 Il F Il ) Il oU 112 2
- e;{v) ~ IIFII Iloullk2 a
~ Iloull [(:2c k2
IIFII) Iloull - E(V)k2
IIFIIJ-a a
Nous avops donc [Pm(OU),OU] > 0 pour IloU11 = kl
et kl
suffisamment grand,
plus précisément :
90
Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites, il existe alors une
solution de (2.43).
Passage à la limite.--------------Multiplions (2.43) par ô~km et additionnons les équations correspondantes
pour k =1, ,m, nOQs obtenons
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+a (ôU ,ôU ) + b(ôU ,U,ôU ) = - a
ô(U,ôU )
V mm mm V m
d'ou
( a. _ ~2 IIFII) Ilôû Il ~k2 a. m
Puisque la suite ônm
dans W et une sous-suite
-+est bornée dans V, on en déduit qu'il existe un ôU
-+ôU , tels que :
m
(2.44)-+ -+ .
ôU , -})ÔU pour la topologie faible dans WID
et tels que
(2.45)-+ -+ 2ôU , ...,) ôU pour la norme dans 11 (n)
m
Nous pouvons, alors, passer à la limite d~ns (2.43) pour la sous-suite-+
ôU ,. De (2.7), (2.44), (2.45), nous déduisons quem
(2.46)-+-+ -+-+ -+-+-+. -+ -+-+ -+-+
av(ôU,V) + d(ôU,V) +b(ôU,U,V) + b(U,ôU,V) = - aôv(U,V)
-+ -+pour tout V = W1'
-+, W , •••
m
L'équation (2.46) reste vraie pour toute combinaison linéaire des-+ -+ • -+W1, •.• , W , ..• , et par dens~té pour tout élément V de \V. On montre
-+mdonc que ôU est solution de (2.26).
ii) Majoration de ôn.
-+ -+Prenons V = ôU dans (2.26); nous obtenons
91
d'où
(2.47)
Le problème (2.26) étant linéaire l'unicité est immédiate en utilisant
la majoration (2.47) et un second membre nul.
3 - IDENTIFICATION DES COEFFICIENTS DE VISCOSITE VIRTIJELLE
On se propose d'identifier les coefficients de viscosité virtuelle
verticale et horizontale au moyen d'une observation répartie en espace.
Pour résoudre ce problème d'identification on va minimiser la fonction
nel1e :
(2.49)+ + 2
J( V ) = 1 u - zu 1
Le problème d'identification se ramène à la recherche d'un V appartenant+
à A qui minimise la fonctionnelle J sur le convexe A • Le vecteur U estc c
calculé pour un V fixé.
3.1- Calcul du gradient de J.
Pour m~nimiser la fonctionnelle J, on utilise une méthode du gradient
conjugué. On est ainsi assuré d'une décroissance de cette fonctionnelle à
chaque itération. Le gradient est donné par la :
Proposition 3.1.
Sous les hypothèses et notations précédentes, la fonctionnelle J
définie en (2.49) est dérivable de A dans IR. Sa dérivée ôJ(v) estc
donnée par
(2.50) ÔJ(v).ôv + +a
ÔV( U , PU )
+où U est la solution du système direct (2.12)
92
et PÔ solution du système adjoint :
(2.51 )
où
-+-+ -+ -+ -+-+ -+ -+-+ -+ -+av(PU,V) + d(V,PU) + b(V,U,PU) + b(U,V,PU) = FI (V)
-+"J vew
Démonstration.
La démonstration de l'existence et de l'unicité du problème adjoint
(2.51) est similaire à la démonstration de la proposition 2.3.
-+La proposition 2.1 démontre la dérivabilité de U • $(v) par rappo~t à v.
La fonctionnelle J est la composée d'une norme hilbertienne et de la fonction $.
Elle est donc dérivable par rapport à V. La différentielle ôJ correspondant
à une variation ôv de V s'écrit sous la forme:
compte-tenu de (2.51) la différentielle se réécrit
[-+ -+ -+ -+ -+-+ -+ -+ -+ -+JÔJ(v).ôv = - av(PU,ôU) + d(ôU,PU) + b(ôU,U,PU) + b(U,ôU,PU)
d'aprés la définition du problème (2.26)
ÔJ(v).ôv -+ -+aôv ( U , PU )
93
4 - RESOLUTION N~1ERIQUE DU PROBLEME,
Pour la résolution des équations (2.12) et (2.51) nous allons utiliser
une formulation mixte permettant la détermination de la vitesse et de la
pression. La méthode utilisée est celle développée par GLŒUNSKI dans [9].
Définissons les espaces aux éléments finis suivants
Uh = Ô sur r"
+ + }et Uh.n 0 sur r' et r"'
(2.54) Wh
ou et h est la triangulation obtenue à partir de eth par .subdivision de
chaque triangle K appartenant à ~h en 4 triangles (en joignant les milieux
des côtés du triangle K figure 4.1). Dans les définitions précédentes Pk
désigne l'espace des polynômes de 2 variables de degré ~ k.
figure 4.1
4.1- Résolution de l'équation (2.12).
La résolution sera effectuée par application de la méthode du gradient
conjugùé à la méthode des moindres carrés. L'équation (2.12) discrète est
donnée par
(2.55)
94
4.1.1- Une formulation par les moindres carres de (2.55).----------~-------------~---:------
Une formulation naturelle par les moindres carrés de (2.55) est
représentée par
(2.56)
avec
(2.57)
-+ -+ -+ -+où ~(Vh) (=~) est une fonction de\Vh définie par l'équation d'état
-+ 1~E Woh et 7fh6 Ilh / ({ t.els que :
Nous observons que ~h est obtenu à partir de Vh comme la solution d'un
problème de Stokes discret.
La formulation précédente est justifiée par la
Proposition 4.1.
Supposons que ( Uh ' Ph )eWh JÇ: ~ / IR soit 1,1ne solution de (2.55) alors-+Uh est solution du problème des moindres carrés (2.56) et le couple
( Eh (Uh) , % ) vérifie :
(2.59) et 7fh = - Ph
ainsi que
95
4.1.2- Une méthode du gradient conjugué pour le problème des moindres-----------------~--------~---~---~------~~-
carrés (2.56).
Nous allons utiliser la méthode de Polak-Ribière similaire à la méthode
de Fletcher-Reeves mais qui parait préférable lorsque Jh n'est pas
quadratique 1
Pas 0 : Initialisation
:teNous calculons Zh comme la solution du problème variationnel linéaire
et posons :
-+6(2.62) .W
h" 'i0
h
Pour m ~ 0 , on suppose que u: ' Zb ' w: sont connus et on calcule:rolU
+1 2mZ
+1 ~+1h ' h 'Wh par:
Pas 1 .1 Descente
(2.63) Calculer
(2.64) ~+1 .. ~ _ À ~h h m h
Pas 2 : Construction de la nouvelle direction de descente
Définissons zm+l comme la solution de :.h
(2.65)
9'6
puis utilisons la stratégie de Polak-Ribière':
(2.66)m+ly =
et finalement
(2.67) ~+l = zmh
+l ~""'h + Ym+ l ""'h
m ID + 1
Revenir au pas 1.
Une des étapes les plus importantes dans .l'utilisation de l'algorithme
(2.60)-(2.67) est le calcul de J h( ~+l ), une autre est le èalcul de z:+l.
Du fait de l'importance de ces étapes nous détaillerons les calculs
correspondants. Nous avons
(2.68)
• ô-+- ô-+-Pour expr1mer ~ comme une fonction de Vh nous observons que (2.58)
a aussi la formulation variationnelle suivante
-+-~EWh
-+- -+- -+- -+- -+- -+-(2.69) av ( ~ Nh
) aV ( Vh ' Nh
) + d( Vh Nh)
-+- -+- -+-) - F(
-+-)
-+- .+ b( Vh ' Vh ' Nh Nh '1 NhE Wh
La relation (2.69) implique alors
(2.70)
97
+ + +puisque ~EVh nous prenons Nh Eh
(2.71) ÔJh
+On en déduit que J'( Vh ) peut être identifié à une fonction linéaire
de Wh.
(2.72)
On voit à partir de (2.72), que pour calculer z:+l à partir u:+ l
nous avons à résoudre premièrement le problème de Stokes discret (2.58)+V :mt+1 f· d' b . pn+ 1 . d . - à· . d (2 65)avec h = Uh a ~n 0 ten~r 1n ' pu~s eux~emement, part~r e •
et (2.72), nous calculons ~+1 solution de :
( 2.73) a (zm+ l +N)V h·' h
Le problème (2.73) est équivalent au problème de Stokes suivant
~+1 w~+IE ~ / IRZh EWoh et
av (~+1 ,+
+ (VW:+1 , N
h) (~+1 , Nh ) + de Nh
m+l )Nh ) = av ~ , h(2.74)
b( U:+l + ~+1 ) + b (Nh ' rrn+ l ~+1 ) +
+ , Nh ' , Eh "1 NhEWohh
o
m+l~ est une pression.
Pour satisfaire chaque étape de l'algorithme du gradient conjugué
(2.60)-(2.67) nous avons à résoudre plusieurs problèmes de Stokes :
i) les problèmes de Stokes discrets (2.58) et (2.69) permettant avec_ 7.ID+ 1 . +m+ 1 d +Um+ 1Vh - uh d'obten~r Eh à partir eh.
98
ii) Le problème de Stokes discret (2.74) pour obtenir ~+1 à partir~+1
de Eh .
iii) La solution du problème unidimensionne~ (2.63) requiert plusieurs
calculs de J h, donc plusieurs solutions des équations d'état (2.58)
et (2.69).
4.2- Résolution de l'équation (2.51).
Nous allons étudier en détail la formulation par les moindres carrés
et la résolution par un algorithme du gradient conjugué de l'équation:
(2.75)
Nous utilisons la même méthode que pour le 4.1.
Une formulation naturelle par les moindres carrés de (2.75) est
[
Trouver
(2.76)+
J h ( PUh
avec
+ + + +où PEh ( Vh ) = PEh est une fonction de Vh définie par l'équation d'état
(2.78)+
'VNEW hh 0
o
99
~ ~
Nous observons que PEh
est obtenu à partir de Vh
comme la solution
d'un problème de Stokes discret.
4.2.2- Une méthode du gradient conjugué pour le problème des moindres------------------------------------~--~----
a) Descr~tion de l'algorithme du gradient conjugué.- --- ------------------------------
Nous utilisons un algorithme du gradient conjugué similaire à
l'algorithme (2.60)-(2.67).
Pas 0 : Initialisation
(2.79)
+0Nous calculons PZh
comme la solution du problème variationnel suiva~t
(2.80)
t Nh
) == <J' ( PUo )h h
et prenons :
(2.81 )
Pour m ~ 0 on suppose que PU: t P~ t pW: sont connus et on calculep~+1 pzm+ 1 p~+1 par
h h t h
Pas 1 Descente
(2.82) Calculer
(2.83) Pum. - À P~hh m
100
Pas 2 : Co~structiori de là nouvelléCdii~ctiondè"descente
Définissons pzm+1 comme la solution deh
. (2.85)
et finalement
(2.86) p"'tr+1 =h
m = m +
P:!mz +1 P~h + Ym+1 Wh
(2.87)
Revenir au pas 1.
Comme au 4.1.2. b), nous avons:
. + +Pour expr~mer ÔPE
hcomme une fonction de ÔV
hnous observons que (2.78)
a aussi la formulation variationnelle suivante :
(2.88)
+ b( Nh:~Uh·V) -F (Nh·... ) 'tJ NhEWh'h ,i"l
101
Cette équation implique alors
(Z.89)
On en déduit que J'( Vh
) peut être identifié à une fonction linéaire 1.
de Wh'
(Z. 91)
Nous déduisons de (Z.91) que pour calculer p~+1 à vartir de p~+1
il faut résoudre, premièrement, le oroblème de Stokes discret (Z.78) avec+ 7:m+ 1 . d ' . -:±m+ 1 . d . , à' d (Z 84)Vh = PUb af~n obten~r PEh ,pu~s eux~emement, part~r e • et
(Z.91), obtenir Pz:+1 comme solution de :
Le problème ,eZ ..92) est aussi équivalent au problème de Stokes discret
-:±m+ 1 r~+IE ~ / IRPZh e: Woh et
a ( P-r.n+ 1 + ( Vr~+1 + av ( PE:+ 1 + -r.n+ 1 +, N ) + , Nh
) Nh) + d( P h ' Nh )
(Z.93)V· h h
+ -:±m+ 1. + 'PlD+ 1 + +)
++ b( Uh ' PEh ,Nh ) + b( - h ' Uh '
N . "1 NhE~h
( V. pzm+I ) = 0 'ri1
h ' qh qhE lb
102
4.3- Résolution d'une équation de Stokes discrète.
Explicitons maintenant la résolution d'une équation du type
et posons
1 2 3Voh = \Voh x \Voh x \Voh
où 1 { ° - ..,iE~h o sur r" }Woh = U1h€C (rt)/ u1hliEPl et u1h
=
\V 2 = { u2h€ CO (TI) / u2h 1KEP 1 'tJ KE'6het u2h = o sur r" et r"' }oh
V3 = { u3hE CO(fi)/ u3h li{EP l 'J KE't'h et u3h = o sur r' et r" }oh
Définissons maintenant Eh et Mh par :
Eh = { PE fi / P sommets des TE eth }
et
l\ = dim IÇ = Card ( ~ )
Supposons que Eh = { Pi }~l,nous associons à ~ le vecteur base de ~défini par
(2.96)
Pour i = 1, •.. , ~
w. ( P. )~ ~
et w. ( P. )~ J
o 't/ j'fi 1 ~ j ~ l\
103
Nous avons alors
(2.97) qh
De façon similaire nous définissons
l;, = { QEÎÏ / Q sommets des TECCh ou Q milieux des côtés des TE~h }
(2 ..98)
{ QeIT / Q sommets des Te~h }
1 2 3Pour Woh ,\Voh ' \Voh on en déduit
Q SiÉ r" et r" 1 . }(2.99)
-1Eh = { Qe Eh ' Q é r" }
-2lb
Q ~ rI et r" }
~~ = Card ( ~ ) = dim ( W:h ) r l, 2, 3
Nous supposons que
(2.100) ~= { Q: ~}i=1 :r; l , 2, 3
1
associons à Er r =. l, 2 , ·3 la baser définie paret nous de \Vohh
-r Nr
{ - h l , 313 = w. LI r = 2,h J J=
....rdéfiniavec w. par
J
'r:/ j = l , ... , Nr .h
(2.101 )-r rw. E.W hJ . 0
;:( 0: ) =J 0J ;j( Q~ ) = 0 'r:/ k~j k = l, ... , N~
'ri r = 1, 2,3(2.102)
104
rNous avons alors 'ri vrhE Woh
Nr~h r· r
vrh = l vrh ( Qj ) w.j=1 J
En utilisant les relations précédentes, le problème de Stokes discret
(2.94) est équivalent au système linéaire suivant de N~ + N~ + N~ + Mbéquations
(2.103)2
'ri i = 1, N2
• •• , h
(2.103)3
'ri i 1, ••• , N~
(2.104)
N2
[
Lhj=1
'ri 1 = 1, ... , ~
~ . . N~ + N~ + N~Defl.nJ:.ssons ~he IR et P ÊIR~
-hpar
(2.105)
u· .. {...h
-r rpuisque w.EW h V j
J 0de Green
105
1, .•• ,N~ r = 2, 3, nous avons de par la formule
f-r
= - w. D w d~~ J r l
(2.106)v j 1 N
r, ••• , h 'l/ l = 1, .•. , ~
En multipliant l'équation (2.104) par -1 nous déduisons de (2.105) et
(2.106) que le système linéaire (2.103)-(2.104) à la représentation
matricielle suivante
~ ~h + ~ p~h-h
(2. 107)
~ ~h 0
3 3où ~ est une matrice l 'N~ x l N~ symétrique définie positive.
r=} 'r=1
La matrice associée à (2.107)
(
~h
~h
~h
o
est symétrique indéfinie, nous avons
Ker( 5th ) = { ~ } x Ker( ~~ )
et si la triangulation est définie de telle manière qu'un triangle ait au
plus un côté sur la frontière du domaine
c'est à dire
(2.108)t
Ker( ~ ) =
dim Ker( Bt ) = 1 <=> rang(Xh )_h
CE~ }
106
Nous en déduisons de (2.108) que l'on peut réduire (2.94) à un
système dont la matrice est non singulière en prenant (par exemple) laM.ième d ~ 1 àO ~-fi composante e ~h ega e zero.
4.3.1- Une méthode itérative pour résoudre le problème de Stokes.----- ------- ---------------------------------
Nous avons montré dans la partie précedente que le problème de Stokes
. discret (2.94) était équivalent à un système linéaire (2.107) ayant la
structure suivante (en simplifiant les notations du paragraphe précédent)
+
o
b
où ( dans (2.109) ) A est une matrice N x N symétrique définie positive,
B une matrice M x N et b ~N
Le système (2.109) admet une solution et une seule ( x , À) ~Nx R(B)
et (.x' , À') (RNxlRM est une solution de (2.109) si seulement on a:
(2.110) [X'À'
x
À + lJ lJ Ker( Bt)
Le système linéaire (2.109) peut-être aussi écrit
(2.111) C :)C)=C)Puisque dans (2.111) la matrice est symétrique et indéfinie, le système
linéaire peut-être résolu par l'algorithme Uzawa - gradient conjugué.
107
a) L'algorithme Uzawa - gradient conjugué pour la résolution de (2.109)------------------------------------------------
Nous déduisons de (2.109) que À est une solution du système linéaire
dans IRM :
(2. 112) B A-1 Bt À
Nous voyons que
Ker( Bt
)
ce qui implique, puisque la matrice B A-1 Bt est symétrique, que
(2.113) R( B A- 1 Bt) = R( Bt
)
Pûisque B A- 1 ~t appartient à R( B ) nous déduisons de (2.113) que
(2.112) a au moins une solution; en fait cette solution À est unique. -1 t
dans R( B ) pu~sque ~ ~ B est un isomorphisme de R( B ) dans R( B ).
. B A-1 Bt .Pu~sque est symétrique, semi-définie positive et pu~sque
B A-1'bER( B ) nous pouvons résoudre (2.112) par l'algorithme du gradient
conjugué suivant
Pas 0 : Initialisation
(2.114) ÀOR
M
(2.115) 0 -1( b B
t ÀO )x A
(2. 116) 0 - B 0 0 0g x w g
Puis pour n ~ 0 nous définissons Àn+1 n+l n+l, g , w par
Pas 1 Descente
(2.117)
(2.118)
Ç;n
nn B Ç;n
108
n1 gn 1
2
(2. 119) P n n( n , w )
(2.120) Xn+1 Xn n n
- p w
Pas 2 : Nouvelle direction de descente
(2.121)n+l n n n
g g - p n
n1 gn+l
12
.(2.122) Y1 gn 1
2
(2.123) n+l n+l n nw g + y w
n = n +
Revenir au ~as 1.
Lorsque { ~n ln > 0 a convergé vers X solution de (2.112) nous obtenons
le x correspondant dans (2.109) par la relation:
x =
A chaque itération de l'algorithme (2.114)-(2.123) nous devons résoudre
un système linéaire pour la matrice A, PQisque A est symétrique définie
positive, on utilise la factorisation de Choleski A ~ L Lt (avec Lune
matrice triangulaire inférieure) une fois pour toute. Chaque itération de
(2.114)-(2.123) nécessite uniquement la résolution de 2 systèmes
triangulaires •
. b) l-~}i.sa.Ei-~_<!.e..!:'a1a.o!!..~~~~•.!.!..:41=t2..:..!..?~2.3_la_!.~olu!~O~
<!.u_ E.r..?È..~è!!'~.È=.Jl~~k~~_di~c.E~~ .E:~~..:
Au lieu de l'algorithme (2.114)-(2.123) nous allons utiliser une
formulation équivalente. Cet algorithme est donné par :
Pas 0 : Initialisation
(2,124) donné arbitrairement
109
[
Trouver U~E Woh tel que
(2.125)
av (U~ Vh ) = ( Fh ' Vh ) ~ Jn VP~ Vh dn
(2.126)
(2.127) oZh
par
n+1Puis pour n ~ 0 chercher Ph
Pas 1 : Descente
[
Trouver ~E\Voh
(2.128)-+Il -+
av ( Xh ' Vh ) =
puis
tel que
(2.129)
(2.130) n+1!lh
Pas 2 Nouvelle direction de descente
n+1 1Trouver zh Elb tel que
(2.131)
Inn+1
q dn = In z:q dn- n In v.~ qh dn
1Zh P 'fi qhEHhh h
n Il z~+1112(2.132) y =
Il Z~ 112
110
(2.133)
est l'ensemble des sommets de ~. En utilisant ce produit
remplace (2.126), (2.129), (2.131) et (2.132) par:
n = n +
Revenir au pas 1.
Nous éviterons la résolution, à chaque itération, du problème linéaire
(2.131) en utilisant pour ~, au lieu du produit scalaire de L2(n),
celui défini par :
~(2.134) (Yh ' qh )h= it Yh ( Pi ) qh( Pi)
où {p }~i i=1
scalaire, on
o 1zhEllh,
(2.126)
( 0, qh )h In 9.~ qh dn
1zh "J qh~ llh
n n, n ( Zh ' zh )h(2.129) P =
In 9.X~n
Wh dQ
n+l 1Zh C lb,
(2.131)
(n+l
, qh )h ( n, qh )h -
n In 9.~ qh dn1
zh zh P 'ri qhEllh
(n+l n+l,
n Zh ,zh )h(2.132) Y
n n)h( zh ' zh
111
5 - RESULTATS NUMERIQUES,
Nous allons présenter dans cette partie les résultats numériques
obtenus par la mèthode précédemment décrite. On considère un exemple·
académique pour lequel on connait ':
- lecoefficient de viscosité virtuelle vertica~en fonction de
la profondeur et de la latitude.
le coefficient de viscosité virtuelle horizontale qui est constant
sur tout le dômai~e.
Cet exemple permet de tester la validité du modèle.
5.1- Un exemple ,académique.
5.1.1- choix des différents paramètres •._------------------ ----
Pour respecter la condition (2.108) nous avons choisi la triangulation
donnée par la figure 1, elle est définie de telle manière qu'un triangle
ait au plus un côté sur la frontière du domaine.
Pour la latitude nous avons choisi des points de discrétisation
équidistants :
YI = -0.5 Y2 = -0.3 Y "" 0.• 1, 4 Y5 = 0.3
et pour la profondeur les niveaux suivants
z = o.1
z2
-0.2 z = -0 43' • z4 ... -0.6
Pour simuler 1'6bservationïl a été choisi un coefficient de viscosité
Vv
donné en figure 2 par la courbe en pointillé et un coefficient de
viscosité horizontal,vh
= 4.
Comme dans le chapitre l nous avons utilisé un algorithme de type
gradient conjugué (Fletcher-Reeves).
112
Pour l'initialisation des coefficients de viscosité virtuelle nous avons
utilisé les résultats donnés par le modèle du chapitre 1. Le co~fficient
de viscosité virtuelle verticale est alors supposé constant en latitude
(figure 2 traits pleins). Po~r le coefficient de viscosité virtuelle
horizontale nous avons pris une valeur arbitraire de 4.5.
5.].3- Résultats.
Lors des premières itérations de l'algorithme d'optimisation, le
coefficient de viscosité virtuelle verti~alesemble tout d'abord prendre
une valeur moyenne. Il garde une valeur l peu près constante en latitude
mais il s'équilibre par rapport au coefficient exact (figures 3 et 4 ).
Pour les itérations suivantes, on remarque que l'on approche
rapidement de la solution exacte à l'intérieur du domaine (figures 5 et
6 ). Par contre sur les bords du domaine, la convergence est beaucoup
plus lente.
Nous avons le même problème que pour le modèle du chapitre l, l'équation
adjointe vérifie les conditions limites :
et
Après un certain nombre d'essais, la formule suivante a été adoptée
on approxime ~~J sur la frontière par la valeur la plus proche dansv
dans la direction perpendiculaire à cette frontière; pour les coins de non a choisi de prendre la valeur moyenne des d~ux directions.
Remarque: Cette méthode implique l'imbrication de trois méthodes d'optimisation
- l'algorithme d'optimisation pour la résolution des équations de Stok~s
discrètes (méthode d'Uzawa) qui est imbriqué dans:
- l'algorithme de résolution des équations de Navier-Stokes lui-même dans
celui de :
- l'algorithme de détermination des coefficients de viscosité virtuelle.
Cela donne une résolution très lente et très coOteuse en temps machine
par exemple, pour effectuer 30 itérations, il a fallu 5 heures sur HB 68.
, ...1 ...
1 "' ...1 ...1 ... ... ... ...
... ... ... ... ... ..., 1
"' ... 1
,,,,,,1 ,
1 ',
,,,,,,1 ,
1 ',
ll3
,,
",,l "1 '.'
- Figure
,,,,,,1 ,
1 "
,,,,,,,,,
,,,,,,,,," ...
" l ", 1 ...
, 1 ...
" l ", 1 ...
" :------;r:::..---- I------~, ...1 , , 11,' ',11, ,11 , , 1
~ " " ~
, -L~"'-i' ~!. .. -~_---r ,_
r , .11--1 , ......'.. _--40--
114
VALEUR rNrrrllLE DE AUH
- Figure 2 -
4.5
VALEUR INITIIILE DE RUV
,"---, ,....... ..,'~ ....",,',,
-..,"D :s
y
ûI
-1 m :Il > -1 ..... D Z < > r m jj o m :Il
C <
< > r m c :D Cl
1il
j'.
.'li
...<:1
-'''.
l'''-
i1~r"
..il
'!-J'
..ln
JV
I
m :D C :z:: . ~ • ~ 'J ~ 'J
< > r ~ o JTI
~ <,... D......
-1 rn :Il > -1 ..... D Z
~
\JI-<
~: 'l. III .l::-
< > r m C :D Cl m ~ :z:: ~ • r. D m N
..... -1 ~ -1 ..... o z .... UI
1\) o..... -1 ~ > -1 ..... o z
<
1>
<r
>lT
1r
c
1.
m:D
C
Cl
:D
lT1
Cl
1
1
lT1
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7,
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Cl
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Cl
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m
"':l
C:D
....<
"':l
C
JI)
....<
c:()
Q
r"f
c:l'D
r"f
0'1
al'D
,-\J
I
1-<
ITERIIHON • 25
ITEAATIaN • 30
117
VIILEUR DE RUH • 4.0234
VIILEUR DE RUH • 4.0009
VALEUR LJE RLlV
- Figure 7 -
VALEUR DE RUV
- Figure 8 -
v
119
CONCLUSION
Dans cette étude, nous avons présenté une méthode de détermination
de coefficient intervenant dans les équations de Navier-Stokes. L'avantage
de cette méthode est qu'elle calcule de manière exacte le gradient de la
fonctionnelle des moindres carrés. La bonne connaissance du gradient nous
permet d'utiliser un algorithme d'optimisation rapide, assurant, à chaque
itération, une décroissance de la fonctionnelle.
La première modélisation monodimensionnelle, calculant le coeffi
cient de viscosité virtuelle verticale à partir des données temporelles du
courant, a fait apparattre des difficultés liées aux observations. Pour dé
terminer le coefficient de viscosité virtuelle, il faut décrire, de manière
acceptable, le courant suivant la verticale. Les cinq pas de discrétisation,
fournis par les courantomètres, ne sont pas satisfaisants. Il faut, de plus,
que le gradient de pression soit très bien connu. Les seules mesures, per
mettant le calcul du gradient de pression, sont données par les radiales, et
ne fournissent donc que des valeurs instantanées.
En utilisant la deuxième modélisation du chapitre l, la construc
tion analytique d'un profil moyen du cour~nt, lié à un gradient de pression
et à un vent moyen, nous a permis de donner une première approximation du
coefficient de viscosité virtuelle verticale
Dans le chapitre II, nous avons développé une méthode de détermi
nation des coefficients de viscosité virtuelle verticale et horizontale,
dans le cas des équations de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires.
Ce modèle est assez complexe, surtout à cause de l'imbrication de plusieurs
algorithmes d'optimisation. L'ordinateur, dont nous disposions, n'est pas
assez puissant pour traiter le cas réel. Le traitement des mesures effec
tuées lors des campagnes FOCAL nécessite l'utilisation d'un ordinateur
vectoriel, type CRAY, et fera l'objet d'études ultérieures •
.-:-
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjJ
121
BIBLIOGRAPHIE
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. Volumes 1, 2 et 3, Dunod, 1968.
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1'23
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I UNE METHODE DE DETERMINATlON DE CERTAINS
PARAMETRES OCEANIQUES DANS LE CAS DES EQUATIONS
DE .STOKES MONODIMENSIONNELLES
DTROIJIJet'Iœ ..
1. B'lIJDE DB L'EQlJAUOB PARABOLI.QUE· ................................................. 8
0+-2. DERIVABILITB DE L'APPLlCAUœ 'V 0+- U .............................................. 10
3.. 'B1.'IJDE lJ1J PROBL'EIIE IBVERSE li) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13
3.1. Calcul du gradient de JI ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14
3.2. Calcul du gradient de J II •••••••••••••••••••••••••••••••••• 15
........................................................4. ~SOLUTION RUMERIQUE DU PROBLEME ••••••••••••••••••••••••••••••••
4.1. Résolution de l'équation d'état
4.1.1. Discrétisation en espace ••••••••••••••••••••••• ~ ••••
4.1.2. Discrétisation en temps •••••••••••••••••••••••••••••
16
16
16
18
4.2. Résolution du problème d'identification pour
l'obs~rvation 1 •........••..••..•...•.........•.•.••..••.•• 18
4.2. 1. Méthode d'optimisation •••••••••••••••••••••••••••••• 19
4.2.2. Calcul du gradient de JI •••••••••••••••••••••••••••• 20
4.3. Résolution du problème d'identification pour
l'observation II 21
4.3.1. Méthode d'optimisation •••••••••••••••••••••••·••••••• 22
4.3.2. Méthode du gradient ••••••••••••••••••••••••••••••••• 22
4.4. Mise en oeuvre
5. RESULTATS NtJMERIQUES
..........................................................................................
........................................................................................
23
25
5.1.' Un exemple académique ............................................................................ 25
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
124
Algorithme d'optimisation ••••••••••••.•••.•••••••••
Choix des différents paramètres ••••.•••••••••••.•••
Résultats
25
26
26
5.2. Utilisation de ce modèle dans l'Atlantique Equatorial...... 33
5.2.1. Evaluation de différents termes des équations
de Navier-Stokes ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33
5.2.2. Traitement numérique d'observations instantanées
du courant ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 36
5.3.3. Traitement numérique d'un profil moyen de vitesse.. 38
5.2.3.1. Construction du profil moyen •••••••••••••• 39
5.2.3.2. Cas d'un profil moyen donné par les
radiales •••••••••••••••••••••••••••••••••• 41
5.2.3.3. Cas de deux profils moyens caractéristiques
de l'Atlantique Equaotorial ••••••••••••••• 46
CHAPITRE II - UNE METHODE DE DETERMINATION DE CERTAINS
PARAMETRES OCEANIQUES DANS LE CAS DES EQUATIONS
DE NAVIER-STOKES BIDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES
Ift'1OlJIJCT'I(JII ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 69
1. ErODE THEORIQUE DU PROBLKMK (2.1) (2.2) ••••••••••••••••••••••••• 71
1.1. Formulation variationnelle du problème (2.1) (2.2) ••••••••• 71
1.2. Interprétation du problème variationnel •••••••••••••••••••• 81
+2. DERIVABILITE DE L'APPLICATION (Vh'Vv
) + U ••.••••..•.•.•.•...••• 82
3. IDIRTIFICATIOI DIS COIPPICIBBTS DI VISCOSITE VIRTUILLI •••••••••• 91
3.1. Calcul du gradient de J •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 9]
4. RESOLUTIOR RUMBRIQUE DU PROBLEM! ••••••••.••••••••••••••••••••••• 93
4.1. Résolution de l'équation (2.12) •••••••••••••••••••••••••••• 93
4.1.1. Une formulation par les moindres carrés de (2.55) •••• 94
125
4.1.2. Une méthode du 'gradient conjugué pour le
problème des moindres carrés (2.56) ••••••••••••••••• 95
a) Description de l'algorithme du gradient conjugué ••••••• 95
b) Calcul de Jh(um+ 1) et ~+ 1 96
4.2. Résolution de l'équation '(2.51) ••••••••••••••••••••••••••• 98
4.2.1. Une formulation par les moindres carrés de (2.75) ••• 98
4.2.2. Une méthode du gradient conjugué pour le
problème des moindres carrés (2.76) ••••••••••••••••• 99
a) Description de l'algorithme du gradient conjugué ••••••• 99±m+l -+m+l .
b) Calcul de Jh (PUh ) et (PZh ) •••••••••••••••••••••••••• 100
4.3. Résolution d'une équation de Stokes discrète
4.3.1. Une méthode itérative pour résoudre le problème
102
de Stokes ••...•...•.•...•..•.......•...•..•.•..•..• 106
a) L'algorithme Uzawa-gradient conjugué pour la
résolution de (2.109) •••••••••••••••••••••••••••••••••• 107
b) Application de l'algorithme (2.114) - (2.123) à la
résolution du problème de Stokes discret (2.94) •••••••• 108
5. 'RESULTATS NUMERIQUES 1Il
5. 1. Un exemple académique ••••••.••••••...••.••.•.•..•.•..••.•• 111
5.1.1. Choix des différents paramètres ••••••••••••••••••••
5.1.2. Algorithme d'optimisation ••••••••••••••••••••••••••
5.1.3. Résultats ..........................................Il 1
111
112
CORCLUSIOB ......................................................... 119
BIBLIOGRAPHIE ...................................................... 121
TABLE DES MATIERES .................................................
-:-
123
vu
Le Président de la Thèse
Chr. COATMELEC
vu
vu
La Directeur de Thèse
Rennes, le 15 Mai 1985
Le Directeur de l'IN8A
C. CHICOIX