10 3 2020

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1 7Teorema degli zeri di Riemann

fila e SIR continua f.ca fle c o

I E tu b fCiro oL 1

ii Tse I e IR è un intervallo

e f I IR continua

se Inf f Supp

In f è un intervallo di estremi s e

L l01 è possibile che s oppure 5 to

è un intervallo qualunque e g IR semiretta

intervallo aperto ecc

gli estremi s e s possono essere

compresi nell'immagine oppure no a

seconda dei casi

11

Funzioni potenza n 71 n E IN fissato

pencil

Considero o abbiamo visto che per xp o

Prix è strettamente crescente

pena è iniettivo

cos'è l'immagine 70 se 70

flip t pm è illimitata sua

Pinco O

tutte queste osservazioni ci dicono Io t i Io to

x inme 3

ne 2a

µnei e ligettiva

m pariè pari

i 1quindi non è inetto

è l'ninna della lumiin 3 potenza ristretta a o to

Se n è dispari è una funzione di poicioè C

PmCx è crescente su tutto IR e surgettiva

quindi pm IR 7 IR ai brigettiva e

posso definire la funzione cinema

T IR IR

Esempio TI 2 e non 2

Fi non è definita1 1

1 1

me 3

a nei n

I

1 Ini 1

y4

Le funzioni Te sono monotonesì sono monotone crescenti

In generale se f è crescente f è crescente

f è decrescente f è decrescente

esercizio

le funzioni T sono continue si per

il teorema che segue

7

than I EIR intervallo f IR continuae inattivaponiamo I Inf 7 è un intervallo

È I è continua

L 1

Es n f Oita Io to data da fix X2

Prop Io t 7 o to è continua

f IR 7 IR data fGTi ha IR è continua

01 è fondamentale che l'insieme di dit ditsia un intervallo

f i 0 e Uta 3 IR

f Gse te o p

X p se 2 3

f è continua perchécamiciole con le fumate

su 0 1

fin fai leì se

È f ècontinua ci o 1

Se Xo O

LI fa ftp fm fino e o

f e continua ci

Allo abisso modo verifichiamo la f è continuovi 2 i 3

f è tirettiva In f Io 23Considero f i 0,2 0 1 U 2 3

f Y f Gy fai

o a 0

1 È 7 Io 1

In f 0 1 u te 3

non è un nilirvello

quindi f non può esserecontinua

Infatti fin f G ftp 1

lui f G lui 1 2si 1T

limite destro e limite sinistro sono diversi

fai f G f non e continuaIn 1

1 1

Drin della proposizione 2 passi1 Facciamo vedere f continua e iniettava

su I f e monotona

Per assurdo supponiamo che f non sia

monotona cioèesercizio

I e e E I t.de

fan fin fcxdlf.luoppure

f G flirt f G s fa

se ad esempio vale fixed a fin f Cia

fai t

q.ggt f non è iniettivo

I perché i valori che

stanno sia nel'intervallo

rosso che vi quello chesono assunti sia su x XDche su Xe XD

Rese2 sappiamo dal passo 1 che f è monotona

Allora onde f è monotono dello stesso tipocioè se f è crescente decrescente anche fè crescente decrescente

Per fissare le idee supponiamo f e fi crescenti

Sia E I voglio far vedere che f è

continua vi x cioè I FII f G f G

Dato che f è crescentei _I

7 lui f G un fai lieto E feoXò permanenza

lui f G Inf fà filatoot li

t

Ho i tL E fa E L

1e f è continuo ni E L

Se per assurdo questo non è ad esempio

f G Lt

Ltfa l'immagine di f7

non è un intervalloo

XuAssurdo perché In fdominio di f è un

intervallo per ipotesiEd