EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

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SJBV

•  Equações de Maxwell

•  Relações constitutivas

•  Condições de Contorno

•  Equivalência entre Eqs de Maxwell e Eq. de Onda para campos EM

Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Equações de Maxwell e Equação de Onda (Capítulo 9 – Páginas 288 a 292) (Capítulo 11 – Páginas 267 a 272)

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Equações de Maxwell

Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo

•  Juntando a L.F., L.A., e as Leis de Gauss Elétrica e Magnética, temos as 4 equações

de Maxwell, no domínio do tempo:

•  Estas equações em seu conjunto “regem” dois tipos de fenômenos:

∇×!E= -∂

!B∂t

(Lei de Faraday)

∇×!H= !J+∂!D∂t

(Lei de Ampère)

∇⋅!D= ρv

∇⋅!B= 0

(Lei de Gauss Elétrica)

(Lei de Gauss Magnética)

(1)

(2)

(3)

(4)

o  Os campos gerados por cargas (paradas e em movimento), e portanto a força que

estas cargas exercem umas sobre as outras.

o  A radiação eletromagnética (ondas de radio, microondas, luz, Raios X, etc...).

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Equações de Maxwell

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•  Antes de prosseguir, é importante mencionar alguns fatos:

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o  As equações constitutivas (relacionando D e E ou B e H) ainda são válidas.

o  Os dipolos continuam interagindo com os campos instantaneamente. Para

campos com variação senoidal os dipolos oscilam na mesma freq. dos campos.

o  As condições de contorno na interface entre os diferentes meios que vimos não

são modificadas (também são satisfeitas instantaneamente).

o  Os vetores polarização e magnetização são dependentes do tempo M(t) e P(t)

o  As forças entre cargas e correntes podem ser calculadas usando os campos e vão

ter seus valores instantâneos associados a estes.

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Equações de Maxwell e Equação de Onda

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•  A L.F. e a L.A. em conjunto são equivalentes a uma equação de onda para os

campos.

∇×!E= -∂

!B∂t

•  As soluções matemática de uma equação de onda são ondas propagantes ou

estacionárias.

•  Para derivar a Eq. de Onda das duas leis, começamos tomando o rotacional dos dois

lados da Lei de Faraday:

⇒   ∇× ∇×!E( )= -

∂ ∇×!B( )

∂t•  Onde o operador rotacional foi aplicado diretamente sobre B do lado direito.

•  Se considerarmos um meio sem cargas ou correntes, a L.A. pode ser reescrita na forma:

∇×!H= !J+∂!D∂t

⇒    ∇×!B= µ ∂

!D∂t

= µε∂!E∂t

(5)

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Equações de Maxwell e Equação de Onda

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•  Onde assumiu-se que o meio é homogêneo em termos de µ e ε.

•  Substituindo no lado direito de (5) resulta em:

•  Podemos aplicar a seguinte identidade vetorial no lado esquerdo da Eq. acima:

•  A equação resultante é:

∇×!B

∇× ∇×!E( )= -µε ∂

2!E

∂t2

∇× ∇×!A( ) =∇ ∇⋅

!A( )−∇2

!A

∇ ∇⋅!E( )−∇2

!E= -µε ∂

2!E

∂t2 (6)

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Equações de Maxwell e Equação de Onda

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•  No entanto, para meio sem densidade de carga, a L.G.E. implica:

•  Substituindo este resultado na Eq. (6), temos:

•  Note que das duas primeiras equações de Maxwell, chegamos em uma equação em

função de E somente.

∇⋅!D = ε∇⋅

!E = 0     ⇔   ∇⋅

!E = 0 

∇2!E -µε ∂

2!E

∂t2 = 0

•  Além disso a Eq. envolve derivadas duplas no tempo e no espaço.

•  Esta equação é a forma vetorial da Eq. de Onda, cujas soluções gerais são ondas

(propagantes ou estacionárias).

(7)

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Equações de Maxwell e Equação de Onda

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•  A forma geral da equação que descreve uma onda se propagando com velocidade de

fase ‘v’ é:

•  Caso a onda se propague no espaço livre, µ = µ0 e ε = ε0. A veloc. da luz no espaço

livre é:

∇2!E - 1

v2∂2!E

∂t2 = 0 (8)

•  Comparando (7) e (8) vemos que a velocidade da onda (Eletromagnética) num meio

depende dos parâmetros constitutivos do meio da seguinte forma:

v = 1µε

c = 1µ0ε0

= 2,9979×108      m / s

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Equação de Onda

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•  A equação de onda (7) vetorial corresponde a três equações escalares (1 por

componente):

∂2E x

∂x2+∂2E x

∂y2+∂

2E x

∂z2 - µε ∂

2E x

∂t2= 0,

∂2E y

∂x2+∂2E y

∂y2+∂2E y

∂z2 - µε

∂2E y

∂t2= 0     e

∂2E z

∂x2+∂2E z

∂y2+∂

2E z

∂z2 - µε ∂

2E z

∂t2= 0.

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Equação de Onda

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•  Estas equações podem representar ondas se propagando em direções arbitrárias no

espaço.

•  Alguns anos após os trabalhos teóricos de Maxwell, Hertz gerou e detectou radiação

eletromagnética usando antenas rudimentares.

•  Veremos que se a onda se propaga em uma direção somente (por exemplo, a do eixo

‘z’) elas são simplificadas bastante.

•  Radiação EM compreende ondas com frequências desde raios gama até ondas de

radio, passando pelo visível.

•  Ondas EM em diferentes frequências interagem com a matéria de formas diferentes.

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Espectro Eletromagnético

Prédio Humanos Abelha Ponta de Alfinete

Protozoários Moléculas Átomo Núcleo

103 10-2 10-5 0,5x10-6 10-8 10-10 10-12

Comprimento de onda (metros)

Tamanho aprox.

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Equação de Onda

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•  A equação de onda será usada par descrever o comportamento dos modos em guias

de onda e linhas de transmissão (Ondas e Linhas).

•  Ela também será a base para a descrição das ondas esféricas geradas por antenas.

•  Os modos são superposições de onda planas.