ii kolokvij_i grupa zadataka
TRANSCRIPT
1. GRUPA ZADATAKA
1.1. PROCJENA ARITMETIČKE SREDINE POPULACIJE
EDUCANS škola za poduke iz
matematike, statistike I računovodstva Svači ćev trg 13
4828426 0912022483
Z.l. Iz skupa dionica koje kotiraju na burzi NY izabranje slučajni uzorak 12 dionica (n« N). Dobitne stope dionica za 2004. u uzorku bile su kako slijedi:
5.2 4.8 4A 3.3 2.0 5.6 2.5 5.1 3.4 2.4 5.0 6.0 Procjenite brojem i 95% intervalom prosječnu dobitnu stopu dionica za 2004. na burzi NY.
12
L>; = 49.7, 1=1
20A2917 n
Z.2. Pomoću ankete u zavodu za zapošljavanje dobiveni su slijedeći razultati starost osoba u godinama
15 - 25 25 - 35 35 - 45 45 - 65
broj osoba
3 7 2 I
a) Uz pouzdanost procjene od 90% odredi interval procjene prosječne starosti osoba koje tr:lže zaposlenje. Koeficijent pouzdanosti glasi 1.782.
b) Uz pouzdanost procjene 95% odredi interval procjene ukupnog broja osoba, ako je taj broj iznosio 300.
c) Može li se prihvatiti pretpostavka da je prosječna starost osoba koje traže zaposlenje 33 godine, a = 5%. Rezultati na tri decimale.
Z.3. U uzorku od 20 tekućih računa od njih 4857 u banci R. ustanovljeno je, sa stanjem 31 . 12.2002.,slijedeće prekoračenje raspoloživih sredstava:
150 122 O 32 30 1100 100 20 106 13 196 lO 17 17 120 1964 30 O 1961 961
20 20
LX; =6949 , LX;' = 9951845 . ;",1 i=l
Ispitajte istinitost tvrdnje da prosječno prekoračenje raspoloživih sredstava na svim tekućim računima te banke ne prelazi 350 kn. Signifikantnost 5%. Obavezno napišite odgovore.
Z.4. Iz skupa vrijednosnica koje kotiraju na NYSE izabran je uzorak vrijednosnica iz iste skupine poslovne djelatnosti (n«N) i utvrđenje iznos tržišne kapitalizacije u travnju 2005. godine. Izvor podataka su internetske stranice NYSE. Vrijednost tržišne kapitalizacije u mlrd. US$ vrijednosnica u uzorku prikazanje S-L dijagramom:
[ti'žkapit ~ Steam-and-LeafPlot Frequency Steam & Leaf
2 O 33 4 O 6667 3 O 889 l l 3 l l 5 l l 9 2 Extremes (31.5,32.5)
Steam width: 10,00 Each leaf: l case (s)
( Extremes- ekstremno velike vrijednosti, Steam width: l 0,00 - širina stabla 10,00, Each leaf: l case (s) - svaki list l podatak)
a) Procijenite brojem i 90% intervalom prosječnu vrijednost tržišne kapitalizacije svih vrijednosnica u skupini iz koje je izabran uzorak. Pretpostavite da je distribucija populacije normalna oblika. Što se zaključuje na temelju dobivenog intervala?
n
LX,' =3187.5 S. '01
-J @Na osnovi slučajnog uzorka od 10 naloga komintenata jedne banke procijenjeno je uz
pouzdanost 0.90 da se prosječno trajanje obrade naloga u minutama nalazi unutar slijedećeg intervala
P(1.07966 < f.i < 5.92034) = 0.90. Izračunajte prosječno trajanje obrade naloga u uzorku i vrijednost standardne pogreške.
Z.S.Radi povećanja produktivnosti rada strojeva tipa Felix predlaže se njihova preinaka. Prema proračunu, preinaka je poslovno opravdana ako se postigne povećan broj operacija po satu i ako iznosi u prosjeku barem 126. Na jednom je stroju provedena preinaka i evidentiranje broj operacija po satu 143 puta. Prosječan 3ar~era.cii~po satu u provedenom ispitivanju iznosio je 128. Zbroj kvadrata
iMtfWijerenja je 2365550. Do kojeg se zaključka dolazi na temelju provedenog ispitivanja? Vrijednost odbacivanja istinite nulte hipoteze je 5%.
Z.6. a) Koliko pilića treba izabrati u uzorak, da bi se procjenila njihova prosječna težina u pošiljci od 2000 komada, a da se u procjeni ne pogriješi više od 20 dag? Pouzdanost procjene 98%. Varijanca pošiljke ocjenjenaje s 900.
b) Nakon izbora uzorka izvršeno je vaganje izabranih pilića. Njihova prosječna težina iznosila je 125 dag s prosječnim relativnim odstupanjem 14.2%.
roi \ . 2:, Procjenite prosječnu težinu čitave pošiljke. Interpretirajte rezultat. Granice ..l \ ~'fId .. bv Intervala na tri decimale točno. 5A"", o clo- 'Vos \ . . \ .
'{. c) Postavljene su slijedeće hipoteze "'. \ '\lAV \ ~ ;z.c.... "1> . ~ . foe \~"o. f\.S Ho ..... f.i = 2000
HI ..... f.i '" 2000 . Nulta hipoteza se prihvaća ako je aritrntička sredina uzorka između 1938.75 i 2061.25. Testiranje se provodi na razini signifikantnosti 5% (n >30). Kolika je standardna devijacija sampling distribucije aritrnetičkih sredina. Ako je empirijski z-omjer (test veličina) -2.08, koja se hipoteza prihvaća?
EDUCANS !ikola za poduke iz
matematike, statistike I računovodstva Svačićev trg 13
4828426 0912022483
Z.7. Procjenjuje se disperzija trajnosti električnih žarulja tipa A. Pomoću uzorka od 21 žarulje izračunana je ova veličina:
21 _
L (x, - X)2 = 208080 . i=1
Procijenite varijancu i standardnu devijaciju populacije brojem i intervalom. Razina povjerenja 90%.
1.2. PROCJENA PROPORCIJE POPULACIJE
Z.l. Iz osnovnog skupa od 30000 grijalica Hot, izabran je jednostavni slučajni uzorak veličine 3000. Prilikom kontrole ustanovljeno je da se u uzorku nalazi 150 neispravnih proizvoda. Na temelju rezultata tog uzorka izračunajte u kojim granicama se očekuje proporcija neispravnih grijalica u čitavom osnovnom skUpu. Pouzdanost procjene 92%. Rezultati na tri decimale.
Z.2. U ispitnom laboratoriju tvornice X izmjerena je duljina staklenih stalaka u uzorku od 250 k d U k' ružio slijedeće rezultate: oma a. zora .le p
duljina broj stalaka u mm stalaka
18 -19 30 19 - 20 45 20-22 80 22-24 72 24 - 25 23 ukupno 250
5">~1 ~~. ~.IL~ .
a) Uz pouzdanost 96% procjenite proporciju stalaka kraćih od 20 mm u cjeloukupoj tvorničkoj proizvodnj i.
b) Uz nivo značajnosti 5% ispitajte ispravnost tvrdnje da udio stalaka u tvorničkoj proizvodnji kraćih od 20 mm ne prelazi 32%. Rezultati na tri decimale točno.
Z.3. Ispituje se javno mijenje glede raspoloženja prema kandidatu stranke A. Na biračkoj listi upisano je 6400 punoljetnih građana. S liste je na slučajan način izabran uzorak od 196 birača, od kojih je 58 izjavilo da će na predstojećim izborima glasovati protiv kandidata stranke A. Izračunajte granice intervala procjene u kojima se može očekivati proporcija svih birača kandidata A na predstojećim izborima. Razina povjerenja 90%. Rezultati na četiri decimale.
Z.4. Procjenjuje se proporcija kupaca koji stalno kupuju bezaikoholne napitke proizvođača A na području grada X. U slučajnom uzorku od 320 kupaca, njih 180 stalno kupuje bezaikoholne napitke proizvođača A, f < 0.05 . Može li se prihvatiti tvrdnja da više od 51 % kupaca stalno kupuje bezaikoholne napitke proizvođača A? Razina signifikantnosti 5%.
Z.S. Pomoću uzorka procjenjuje se proporcija neispravno popunjenih poreznih prijava za 1994. godinu u nekoj županiji. Ukupno su primljene 45972 prijave. Planska veličina varijance osnovnog skupa je 0.0256. U procjeni proporcije neispravno popunjenih prijava tolerira se pogreška od najviše 0.025. Procjenjuje se s 95% pouzdanosti. Koliko prijava će se izabrati u slučajni uzorak?
Z.6. Pomoću jednostavnog slučajnog uzorka veličine n utvrđen je slijedeći interval pouzdanosti procjene proporcije četveročlanih kućanstava u osnovnom skupu koja troše više od 40% prihoda na odjeću, obuću i kozmetiku: P(0.36 < p < 0.40) = 0.95 . Uzorak je veliki, izabran iz konačne populacije (uz frakciju manju od 0.05) koja je normalnog oblika. a) Kolika je proporcija kućanstava u uzorku koja troše na odjeću, obuću i kozmetiku
više od 40% prihoda? b) Kolika je standardna pogreška procjene proporcije populacije? c) Kada bi se razina pouzdanosti procjene proporcije populacije smanjila na 90%, u
kojim bi se granicama mogla očekivati proporcija četveročlanih kućanstava osnovnog skupa koja troše više od 40% prihoda na odjeću, obuću i kozmetiku? ( rezultati na četiri decimale).
d) Kolika je veličina uzorka na temelju koje je provedeno navedeno istraživanje?
Z.7. Testirajte hipoteze
Ho ... .. p:> 0.30
Hl .. ... P >0.30 .
Razina signifikantnosti 10%, p = 0.32, n=625. Kolika je p-vrijednost?
Z.S. Financijska služba poduzeća koje se bavi trgovinom na veliko s brojnim komintentima u trgovini na malo analizira uzroke slabog toka gotovine (cash flow). Pretpostavlja se da je jedan od uzroka neredovitost plaćanja po ispostavljenim fakturama. Služba pretpostavlja da više od 75% komintenata plaća u roku duljem od 60 dana. Iz skupa od 65299 neplaćenih faktura izabranje uzorak veličine 220, među kojimaje s rokom prekoračenja duljim od 60 dana pronađeno njih 185. Do kojeg se zaključka dolazi na temelju rezultata iz uzorka? Razina signifikantnosti 3%. Test provedite na temelju empirijske razine signifikantnosti (p-vrijednost). Obavezno zapišite hipoteze.
1.3. PROCJENA JEDNAKOSTI ARITMETIČKIH SREDINA I PROPORCIJA DVIJU POPULACIJA
Z.1. Dva stručnjaka procjenjuju štetu na istim automobilima. Za prvog stručnjaka na uzorku od 8 automobila prosječna procjena iznosila je 5750 kn, s prosječnim odstupanjem od prosjeka 220 kuna. Za drugog stručnjaka na uzorku od 6 automobila prosječna procjena iznosila je 4980 kn, s prosječnim odstupanjem od prosjeka 250 kuna. Može li se uz razinu signifikantnosti od 5% prihvatiti pretpostavka o jednakosti prosječne procjene štete koju daju dva spomenuta stručnjaka? Rezultati na tri decimale.
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I računovodstva Svačićev trg 13
4828426 0912022483
Z.2. Služba za prijem zračne kompanije e-airlines pomoću uzorka ispituje razliku u težini prtljaga muških i ženskih putnika.U slučajnom uzorku 144 ženskih putnika izmjerena je prosječna težina prtljage 21.5 kg, s prosječnim odstupanjem 2.5 kg. Prosječna težina prtljaga muških putnika izabranih u uzorak veličine 121 je 18 kg s prosječnim odstupanjem 1.8 kg. Može li se prihvatiti pretpostavka da je prosječna težina prtljaga ženskih putnika Veća od prosječne težine prtljaga muških putnika? Testirati na razini 5% signifikantnosti.
~ .5v-i\~~'\. 'l.~ . ~. 'l...OB>'" Z.3. Anketom o godišnjim odmorima u 2005. godini obuhvaćeno je 1850 punoljetnih
građana grada Z. Od toga broja 703 građana je godišnji odmor (s obitelji) provelo izvan mjesta stalnog boravka. U gradu B anketirano je 1533 punoljetna građana, među kojima je 705 njih koristilo odmor izvan mjesta stalnog boravka. Može li se uz signifikantnost 5% prihvatiti pretpostavka da je proporcija građana koji su godišnji odmor 2005. godine proveli izvan mjesta stalnog boravka u oba grada j ednaka?
Z.4. U uzorku dobavljača A veličine 100 bilo je 5 proizvoda II klase, dok je proporcija takvih proizvoda u uzorku dobavljača B veličine 50 iznosila 0.06. Može li se uz razinu signiftkantnosti 10% prihvatiti tvrdnja da se kvaliteta robe obaju dobavljača, mjerena proporcijm proizvoda II klase, bitno ne razlikuju?
Z.5. Rezultati usmenog ispita kod četiri profesora grupirani su u tabeli:
profesor položili nisu položili ukupno A 19 9 28 B 9 8 17 e 31 23 54 D 15 8 23
ukupno 74 48 122
a) Odredite 90% intervaInu procjenu proporcije studenata koji su položili ispit kod profesora e!
b) Može li se prihvatiti pretpostavka daje proporcija studenata koji nisu položili ispit kod profesora A i D jednaki. Signifikantnost a = 0.05 . Napišite hipoteze i objasnite rezultate.
c) Može li se prihvatiti pretpostavka da kod profesora B nije položilo više od 15% studenata. Signifikantnost a = 0.05 .
Z.6. Provedeno je istraživanje tržišta na dva tržišna segmenta, urbanom i ruralnom području. U urbanom području izabran je jednostavni slučajni uzorak veličine 170 kupaca koji plaćanje obavljaju kreditnim karticama. Prosječni iznos računa plaćenog kreditnom karticom za kupce u uzorku je 675 kn. Nepristrana procjena varijance te populacije je 23547.5 kn. U ruralnom području izabranje jednostavni slučajni uzorak veličine 140 kupaca koji plaćanje obavljaju kreditnim karticama. Prosječni iznos računa plaćenog kreditnom karticom za kupce u uzorku je 507 kn s prosječnim dstupanjem od prosjeka 75 kn. Ca) Procijenite brojem i intervalom razliku prosječnih vrijednosti računa plaćenih kreditnim
karticama. Pouzdanost procjene 95%.
(b) Ako je:
H o,,,PI - P2 $. O
HI,,,PI - P2 > 0
a = 0.05, p - vrijednost = 0.00003 . Koji se test provodi i koja je odluka?
Z.7. Provedeno je istraživanje tržišta na dva tržišna segmenta, urbanom i ruralnom području. U urbanom području izabran je jednostavni slučajni uzorak veličine 170 kupaca od kojih j e 125 izjavilo da im je marka važna pri izboru proizvoda. U ruralnom području izabran je jednostavni slučajni uzorak veličine 140 kupaca od kojih je 95 izjavilo da im je marka važna pri izboru proizvoda. Ca) Može li se uz 5% signifikantnosti prihvatiti pretpostavka daje proprcija kupaca kojimaje
marka važna pri odabiru proizvoda na urbanom pdručju za O, I O veća od iste na rzralnom području .
Cb) Ako je:
Ho·· ·JJI -JJ2 ~ IOO
HI · .. JJI - JJ2 < 100 a = 0.05, p - vrijednost = 0.056 .
Koji se test provodi i koja je odluka?
1.4. SKICE TESTIRANJA
Z.l. Testirajte hipoteze Ho ..... P ~ 0.25 HI ... .. p < 0.25.
Razina signifikantnosti 10%, P = 0.22, n = 400. Skicirajte postupak testiranja.
Z.2. U postupku tesriranja postavljene su hipoteze: Ho ... .. p $. 0.25 H I ••• •• p > 0.25.
Poznato je m = 25, n =90, a = 0.01. Skicirajte postupak testiranja i donesite odluku.
Z.3. Provodi se test o pretpostavljenoj aritmetičkoj sredini populacije. Hipoteze su: Ho ..... JJ $. 250 HI ..... JJ > 250 .
Testira se na razini signifikantnosti 5%. Uzorak je veličine 37, standardna devijacija s~~li~g distribuc~je aritrnetičkih sredinaje 13.5, a aritmetička sredina uzorka je 255. SklClra]te navedem postupak testiranja i donesite odluku na temelju p-vrijednosti .
Z.4. Testiraju se ove hipoteze Ho .... . JJI - JJ2 = O
HI ..... JJI - JJ2 # O . Testiranje se provodi pomoću nezavisnih slučajnih uzoraka izabranih iz normalno disribuiranih osnovnih skupova. Do kojeg se zaključka dolazi u testu na temelju ovih podataka:
nl = 15, n 2 = 12, XI = 12.73, x2 = 13.28 , CT- - = 0.11 -'1- X2
Razina signifikantnosti 10%. Obvezatno skicirajte postupak testiranja.
EDUCANS škola za poduke iz
matematike, statistike I računovodstva Svačićev trg 13
4828426 0912022483
1.5. X' - TEST
Z.l. Računalni program generira pseudoslučajne brojeve. Analizom jednog skupa takvih brojeva dobiveni je distribucija znamenki:
Znamenka O I 2 3 4 5 6 7 8 9 Frekvencija 490 SOl 499 520 SlO 492 497 503 495 493
Može li se prihvatiti pretpostavka da su brojevi generirani prema diskretnoj distribuciji u kojoj se vrijednosti pojavljuju s istom vjerojatnosti? Testira se na razini 5% signifikantnosti.
Z.2. Na pokusni rok od šest mjeseci nabavljena su četiri stroja istih funkcija od različitih proizvođača. Za svaki je stroj vođena evidencija o broju zastoja u tijeku pokusne proizvodnje. Zabilježeno je 80 zastoja na sva četiri stroja zajedno. Struktura zastoja bila je:
Stroj K279 Ll 75 B276 MKLI Struktura
zastoja (%) 21.25 25.00 37.50 1~25
Može li se prihvatiti pretpostavka da strojevi rade jednako pouzdano? Testira se na razini 5% signifikantnosti.
~~a tri tržišna segmenta prati se proporcija kupaca proizvoda M. Rezultati uzorka su:
!\ Tržišni segment Broj kupaca u uzorku Broj kupaca proizvoda M u uzorku
I 1\, 200 J\\~ 35 II ,fit ISO \1\\ 37 III n~ 250 1\., 43
ukupno 600 115 Y)~
Može li se uz 5% signifikantnosti prihvatiti pretpostavka da je proporcija kupaca proizvoda M jednaka za sva tri tržišna segmenta. Obavezno zapišite hipoteze u postupku testiranja.
~~ naliziraju se kupovine automobila s obzirom na spol kupaca. Na slučajan je način ~abrano 500 kupaca koji su grupirani s obzirom na spol i model kupljenog automobila:
model automobila žene muškarci kompaktni 30 170
standardni 80 100
deluxe 110 ID
Može li se prihvatiti pretpostavka da kupnja određenog modela automobila ne ovisi o spolu kupca? Testirati na razini 1% signifikantnosti.
'Vtorv-.\:.., l. ~ . 4.-<LOĐ ~ DOMAĆA ZADAĆA
1.1. PROCJENA ARITMETIĆKE SREDINE POPULACIJE
Z.l. Iz skupa vrijednosnica koje kotiraju na NYSE izabran je uzorak 28 vrijednosnica (n« N) i utvrđen omjer cijena/zarada. Izvor podataka su internetske stranice StockMaster (06.05.2001.). Omjeri su:
62 45
24 77 80 31 30 26 28 . 45 38 40 15 28 31 54 67 44 49 14 60 25 17 39 19 33 25 54
Procijenite brojem i 95% intervalom prosječnu vrijednost omjera svih vrijednosnica na burzi. Zbroj kvadrata navedenih vrijednosti iznosi 52098. Što zaključujete o dobivenim rezultatima?
Z.2. Težina povrća A koje se uzgaja na poljoprivrednom dobru je nonnalno raspore-(\:. đena slučajna varijabla. Slučajnim izborom 8 komada proizvoda izmjerene su ~----_
slijedeće težine u gramima: El ~ of )(, 'l.. _ 'l. ;~i) ~ 33.6 45.1 49.2 55.2 62.2 55.1 51.7 32.3 - X
; I'}( (, Izračunajte vrijednost aritmetičke sredine i varijance uzorka. " ~ b Uz pouzdanost 90% izračunajte granice intervala procjene prosječne težine
povrća A u populacij i. o Može li se prihvatiti tvrdnja uzgajivača da je prosječna težina povrća A veća ~ od 55 grama. Signifikantnost 5%.
te~~.i\ '{'po... \o~v ~~~ttJ
Z.3. Prirast težine 12 slučajno odabranih odojaka s velike svinjogojske fanne tijekom tri tjedna tova iznosioje:
9.5 10.5 11 12.5 13.5 14 15 15.5 16 16.5 18.5 19.5 na farmi je u to vrijeme bilo ukupno 587 odojaka. Prirast težine je normalno distribuirana slučajna varijabla. a) Uz pouzdanost 90% izračunajte interval procjene ukupnog težine svih odojaka
na farmi . @ Može li se uz signifikantnost 5% prihvatiti tvrdl1ia uzgajivača daje prosječni ~rirast težine u populaciji tijekom ta tri tjedna najmanje 15 kg?
t.e>\ew\ V\. ...... ,or-:lv ~\'W"\\c.v
8 Odjel za istraživanje tržišta prati veličinu prosječne mjesečne prodaje čokolade tipa EXTRA u lancu 2976 trgovina na malo. Trgovine su približno jednakih veličina i strukture prodaje. Prema prosudbi Prodajnog odjela, prodaja čokolade u trgovini na
'x-- malo približno je nonnalnog oblika sa sredinom 300 kg i s nepoznatom standardnom ~ x-;:.~'j.f> de~ijacijom . U cilju provjere ~retpostavke izabran je slučajni uzorak 26 trgovina u
'\.....,Q.,v 'i;)o.:~ kOJImaje ztvrđen opseg prodaje u određenom mjesecu. podaci iz uzorka prikazani c{? ' su S-L dijagramom:
2819
29112223
291699
30112234
30155555899
311134
3118
EDUCANS ~kola za poduke iz
matematike, statistike I računovodstva Svačićev trg 13
4828426 0912022483
a) Kako glasi nulta, a kako alternativna hipoteza u ovom primjeru? Do kojeg se zaključka dolazi na temelju podataka iz uzorka ako je razina signofikantnosti 5%?
n
LX;' = 2378856
b) Provedenaje intervaIna procjena prosječnih mjesečnih izdataka za internetske račune kućanstava na području grada M, u svibnju 2005. godine. ujenostavni slučajni uzorak izabrano je 250 (individualnih) internetskih pretplatnika i uz 90% pouzdanosti utvrđen slijedeći interval
P(195.26 < J.l < 312.74) = 0.90. Kolika je procjena prosječnih mjesečnih izdataka za internetske usluge jednim brojem, a kolika standardna pogreška procjene aritmetičke sredine?
1-'?4.W~.
~ U gradu A provedena je anketa o mjesečnoj potrošnji voća. Neki od rezultata (J ank r' d ., ete su s IJe eCI:
potrošnja broj voća u kg anketiranih
domaćinstava
2 - 5 50 5 - lO 110
lO - 20 49
a) Uz pouzdanost procjene od 90% odredite interval procjene prosječne potrošnje voća u gradu A.
b) Odredite interval procjene ukupne potrošnje voća u gradu A uz pouzdanost od 95%. Broj domaćinstava u gradu A iznosio je 3000.
'J. ~. ~.L09':) . @ a) Koliko djece treba izabrati u uzorak kojim se želi procjeniti prosječna starost
djece, ako se na osnovi iskustva zna daje standardna devijacija populacije I 2 godina, a tolerira se greška od najviše 5 godina. Pouzdanost procjene 95%.
b) Nakon izbora ustanovljeno je da je prosječna starost djece 14.5 godina, s prosječnim odstupanjem od 6 godina. Odredite interval procjene prosječne težine djece, uz pouzdanost 95%.
1.2. PROCJENA PROPORCIJE POPULACIJE
Ce:\:..\.l~~\ 'L'?:> . ~. '2-0 e> ~
Z.l slučajnom uzorku 300 vozača na cesti prvoga reda između dva grada ustanovljeno je da njih 174 ispravno koriste svijetla tijekom noćne vožnje (duga ili kratka, ovisno o prometnoj situaciji). a) Kolika je procjena proporcije vozača koji ispravno koriste svijetla tijekom
~ noćne vožnje između dva grada? b) U koj im se granicama može očekivati proporcija vozača na cesti koj i ispravno
koriste svijetla? Razina povjerenja 0.90.
Q - promjer britvila broj
a) Uz pouzdanost 96% procjenite proporciju britvila promjera većeg od 22 mm u cjeloukupnoj tvorničkoj proizvodnji.
umm 18 - 19 19-20 20-22 22-24 24 - 25 ukupno
britvila 60 90
160 144 46
500
b) Uz nivo značajnosti 5% ispitajte istinitost tvrdnje da udio britvila u tvorničkoj proizvodnji promjera manjeg od 20 mm ne prelazi 35%.
Z.3. a) U uzorak od 49 proizvoda izabranom iz velike pošiljke pronađeno je 5 neispravnih proizvoda. Uz pouzdanost od 95% procjenite proporciju loših proizvoda u pošiljci.
b) Može li se prihvatiti pretpostavka da je u pošiljci najviše 10% neispravnih proizvoda. Razina signifikantnosti 5%.
Z.4. a) Služba kontrole kvalitete obavila je ispitivanje čvrstoće bakrenih kablova. Pri tomje dobiveno 10 podataka o čvrstoći (u kg):
320 360 370 385 367 355 365 375 330 342 Može li se prihvatiti tvrdnja da je prosječna čvrstoća kablova 350 kg? Razina Signifikantnostije 5%. Standardna devijacija uzorka iznosi 19.4342.
b) U slučajnom uzorku od 500 proizvoda A koji se proizvode na automatskom stroju pronađeno je 20 defektnih. Uz pouzdanost 90% izračunajte granice intevala procjene proporcije defektnih proizvoda u osnovnom skupu.
Z.S. Pomoću uzorka procjenjuje se proporcija poreznih obveznika s tromjesečnim (kvartalnim) prihodom većim od 10 000 EUR u regiji u kojoj je potkraj 2004. zaposleno 97563 osoba. Varijanca populacije planirana je u iznosu od 0.09. U procjeni se tolerira pogreška od najviše 0.025 odnosno 2.5%. Razina povjerenja Procjene proporcije je 95%. Pretpostavlja se da je riječ o velikom uzorku. a) Odredite veličinu uzorka za procjenu proporcije osnovnog skupa navedene
skupine obveznika. b) Nakon izbora jedinica u uzorak ustanovljeno je da 65 obveznika u uzorku ima
tromjesečni prihod veći od 10 OOOEUR. U kojim se granicama može očekivati proporcija svih poreznih obvezinka spomenute kategorije poreznih obveznika? Razina povjerenja procjene je 95%.
Z.6. Testirajte hipoteze
Ho .. ... p ~ 0.20
Hl .... . p > 0.20.
Razina signifikantnosti 5%, p = 0.19, n=120.
Kolika je p-vrijednost?
EDUCANS škola za poduke Iz
matematike, statistike I računovodstva Svačićev trg 13
4828426 0912022483
Z.7. Financijska služba poduzeća koje se bavi trgovinom na veliko s brojnim komintentima u trgovini na malo analizira uzroke slabog toka gotovine (cash flow). Pretpostavlja se da je jedan od uzroka neredovitost plaćanja po ispostavljenim fakturama. Služba pretpostavlja da više od 75% komintenata plaća u roku duljem od 60 dana. Iz skupa od 64289 neplaćenih faktura izabranje uzorak veličine 238, među kojimaje s rokom prekoračenja duljim od 60 dana pronađeno njih 195. Do kojeg se zaključka dolazi na temelju rezultata iz uzorka? Razina signifikantnosti 4%. Test provedite na temelju empirijske razine signifikantnosti (p-vrijednost). Obavezno zapišite hipoteze.
1.3. PROCJENA JEDNAKOSTI ARITMETIČKIH SREDINA I PRPORCIJA DVIJU POPULACIJA
Z.l. Poduzeće Montaža sa dvije tvornice A i B koje proizvode isti proizvod, ali s neznatno različitom tehnologijom, provelaje istraživanje u svakoj od tvornica. U tvornici A izabran je jednostavni slučajni uzorak veličine nA = 100 radnika, dok je u tvornici B izabrano nB = 150 radnika. Na temelju uzorka došlo se do sljedećih rezultata:
- prosječno vrijeme potrebno jednom radniku da izradi određen broj proizvoda
u tvornici A je x A = 8 minuta, dok je u tvornici B to vrijeme jednako x B = 12 minuta
- prosječno odstupanje od navedenog prosjeka u tvornici A iznosi SA = 2 minute, a u tvornici B iznosi SB = 1.5 minuta.
Uz razinu signifikantnosti 5% (z =1.96) testirajte hipotezu o jednakosti orosječnog vremena po radniku potrebnog pri izradi određenog broja proizvoda u tvornici A i tvornici B.
Z.2. Ispituje se tvrdnja da su maloprodajne cijene japanskih automobila niže u SAD-u nego u Japanu. U tu svrhu odabrani su uzorci od 50 maloprodajnih cijena u SAD i 36 maloprodajnih cijena u Japanu (uzorci cijena prikupljeni su u istom vremenskom periodu i za isti model automobila, pri čemu su cijene u j enima pretvorene u cijene u dolarima prema tekućem tečaju):
Prodaja u SAD
x, = 11545 US$ S l= 1989 US$
Prodaja u Japanu
x, = 12243 US$ S2= 1843 US$
Može li se na osnovi podataka iz uzoraka zaključiti da je prosječna maloprodajna cijena tog modela automobila niža u SAD-u nego u Jaoanu? Razina signifikantnosti 5%.
Z.3. U uzorku 400 gledatelja TV kanala NOV sportski program SPORTY redovito gleda njih 208. U uzorku 200 gledateljica njih 41 % redovito prati taj sportski program. Frakcije izbora su manje od 0.05 i za gledatelje i za gledateljice. (a) Može li se prihvatiti pretpostavka da sportski program SPORTY prate u jednakoj
proporciji gledatelji i gledateljice? razina značajnosti 5%. (b) U kojim se granicama može očekivati da će se naći proporcija gledateljica sportskog
programa SPORTY? Pouzdanost procjene 96%.
1.4. SKICE TESTIRANJA
Z.l. Testirajte hipoteze Ho ..... p ~ 0.20
H , ..... p >0.20
Razina signifikantnosti 10%, ft = 0.22 , n = 400. Skicirajte postupke testiranja. Kolika je p - vrijednost? Protumačite dobiveni rezultat.
Z.2. Na temelju velikih nezavisnih uzoraka testiraju se slijedeće hipoteze: . Ho ..... Ji, - Ji, = O
HI ..... Ji, - Ji, * O ; a = 0.05 . Skicirajte postupak testiranja. U ispisu programa za računalo navedene su ove vrijednosti empirijske razine signifikantnosti (p-vrijednosti):
(1) 0.00015 (2) 0.67563 (3) 0.02500 (4) 0.25000 O kojim se odlukama u postupku testiranja radi u svakom od navedenih slučajeva?
1.5. X2 - TEST
EDUCANS škola za poduke iz
matematike, statistike i računovodstva Sval!ićev trg 13
4828426 0912022483
Z.l. Tržište je razdijeljeno na četiri područja. Pretpostavlja se daje potražnja proizvoda A ravnomjerno raspodijeljena po tržišnim segmentima. Na temelju uzorka od 240 kupaca proizvoda A dobiveni su slijedeći podaci o kupovini po segmentima:
područje broj kupovina
A 60 B 75 e 55 D 50
ukupno 240
Pomoću Xl - testa ispitajte može li se prihvatiti pretpostavka o jednakoj potražnji proizvoda A na sva četiri tržišna segmenta? Razina signifikantnosti 5%. Obavezno formuli raj te hipoteze.
Z.2. Tržište je u državi prostorno segmentirano na četiri međusobno odvojena područja. Pretpostavlja se da kavu marke GOL-BRA u istoj proporciji kupuju potrošači na svakom od četiriju područja. Radi provjere pretpostavke, izabranje uzorak potrošača kave. Na temelju uzorka dobiveni su ovi rezultati:
Tržišni Broj potrošača Broj kupaca kave segment-područje u uzorku GOL-BRA u uzorku
I 100 20 II 200 35 III 150 37 IV 250 43
Može li se prihvatiti pretpostavka daje proporcija kupaca kave marke GOL-BRA jednaka za svaki tržišni segment? Testira se na razini 5% signifikantnosti.
