LEYES DE NEWTON Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y Newton cuando se efectuaron dramáticos progresos en la resolución de esta búsqueda.

Isaac Newton (1642 - 1727), nacido el año que murió Galileo, se considera como el principal arquitecto de la mecánica clásica, la cual se resume en sus tres leyes del movimiento. Antes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariamente tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de ausencia de fricción e interpretó a la fricción como una fuerza, llegando a la conclusión de que un objeto continuará moviéndose con velocidad constante, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento. Las tres leyes de Newton del movimiento son las llamadas leyes clásicas del movimiento. Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no fueron objetadas hasta que Albert Einstein desarrolló la teoría de la

relatividad en 1905. El movimiento es el desplazamiento de los cuerpos dentro de un espacio con referencia a otro cuerpo. El movimiento es relativo ya que depende del punto de vista del observador.

La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro que causa el movimiento. La masa es la magnitud que indica la cantidad de materia de la que está formado el cuerpo en movimiento. Isaac Newton, científico inglés (1643 – 1727), estableció que todo movimiento se encuentra regido por tres leyes. Según la PRIMERA LEY DE NEWTON, si no existen fuerzas externas que actúen sobre un cuerpo, éste permanecerá en reposo o se moverá con una velocidad constante en línea recta. El movimiento termina cuando fuerzas externas de fricción actúan sobre la superficie del cuerpo hasta que se detiene. Por esta razón el movimiento de un objeto que resbala por una superficie de hielo dura más tiempo que por una superficie de cemento, simplemente porque el hielo presenta menor fricción que el cemento. Galileo expuso que si no existe fricción, el cuerpo continuará moviéndose a velocidad constante, ya que ninguna fuerza afectará el movimiento.

¿Qué son las Leyes de Newton? Las Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la dinámica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo, en tanto que: Constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones… La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos. En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos: Por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica; Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Las 3 Leyes físicas, junto con la Ley de Gravitación Universal formuladas por Sir Isaac Newton, son la base fundamental de la Física Moderna. Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas. Su formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

No obstante, la dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, sólo se cumple en los sistemas de referencia inerciales; es decir, sólo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz (que no se acerquen a los 300,000 km/s); la razón estriba en que cuanto más cerca esté un cuerpo de alcanzar esa velocidad (lo que ocurriría en los sistemas de referencia no-inerciales), más posibilidades hay de que incidan sobre el mismo una serie de fenómenos denominados efectos relativistas o fuerzas ficticias, que añaden términos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí. El estudio de estos efectos (aumento de la masa y contracción de la longitud, fundamentalmente) corresponde a la teoría de la relatividad especial, enunciada por Albert Einstein en 1905.

PRIMERA LEY DE NEWTON

La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento.

1ra Ley de Newton: Ley de la Inercia La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de

referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. De manera concisa, esta ley postula, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como está a la fricción. En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial. Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

SEGUNDA LEY O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros. La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea, 1 N

= 1 Kgm/s2 La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir: p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s2. En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

Ejercicios de aplicación 1. Una pelota de boliche cuya masa es de 5.6 kg se desplaza 20 m en un tiempo de 3 seg. Calcular la fuerza que se quiere para mover la bola de boliche si esta parte del reposo.

Desarrollo: La información que se debe obtener es la fuerza con la cual se puede mover la pelota de boliche los 20 metros en un tiempo de 3 segundos. La pelota parte del reposo por lo cual su velocidad inicial es CERO

Datos

d = 20 m

t = 3 s

vo = 0 m/s

vf =

m = 5.6 kg

a =

Ecuaciones

dv

t

2

o fv v

v

F m a

Sustitución m

20

6.66673

fv

s

2

6.6667 02.2222

3

ma

s

kg m/s kgm/s2 2(5.6 ) 2.2222 12.4443F N

Resultado m

2

6.6667

2.2222

12.4443

fv

s

ma

s

F N

2. Una caja metálica de acero se desplaza 145 metros con una velocidad de 5.2 km/hr, se incrementa su velocidad en un tiempo de 21 segundos; sí la fuerza aplicada es de 12.07 N, calcular la masa de la caja metálica. Vo =5.2 km/hr t = 21 s

12.07 N

145 metros

Datos

d = 145 m

t = 21 s

vo = 5.2 km/hr

F = 12.07 N

vf =

a =

m =

Ecuaciones

dv

t

2

o fv v

v

F m a

Fm

a

Sustitución

km m hr m/s

hr km s

5.2 1000 11.4444

1 3600

m

1456.9048

21f

vs

2

6.9048 1.44440.2600

21

ma

s

kg

2

12.0746.423

0.2600

Nm

m

s

Resultado m

kg

2

6.9048

0.2600

46.423

fv

s

ma

s

m

3. Un escritorio metálico cuya masa es de 58.4 kg se mueve con una velocidad de 14.9 m/s, si de detiene por completo empleándose una fuerza de 21.8 N, calcular en tiempo necesario para detener al escritorio. m = 58.4 kg

Vo = 14.9 m/s

F = –21.8 N

Datos

d =

t =

vo = 14.9 m/s

F = –21.8 N

vf = o m/s

a =

m = 58.4 kg

Ecuaciones

2

o f

f o

dv

t

d vt

v vv

v vt

m a

Fa

m

a

F

Sustitución

frenado

kg

m/s s

m/s

m/s

s m/s m

2

2

21.80.3733

58.4

0 14.939.9143

0.3733

14.9 07.45

2

39.9143 7.45 297.3615

N ma

s

t

v

d

Resultado m

s

m frenados2

297.3615

39.9143

0.3733

d

t

a

TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN – REACCIÓN Tal como se comentó al principio de la Segunda ley de Newton, las fuerzas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario. Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tengan el mismo valor y sentidos contrarios, no se

anulan entre sí, puesto que actúan sobre cuerpos distintos.

FUERZAS EN SISTEMAS DINÁMICOS Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cuáles son las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. En esta sección vamos a comentar brevemente las principales fuerzas que podemos encontrarnos al estudiar el movimiento de un cuerpo. Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento. Veamos cada una de ellas por separado.

EL PESO (W) El peso es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayoría de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa (m), del cuerpo por la aceleración de la gravedad (g), cuyo valor es 9.81 m/s2 y está dirigida siempre hacia el suelo. En la figura anterior aparecen algunos ejemplos que muestran hacia donde está dirigido el peso en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se mueve por un plano inclinado. El peso siempre

está dirigido hacia el suelo.

La Normal (N) Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya dirección es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos Normal y la

representamos con N. En la figura anterior se muestra hacia donde está dirigida la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecían en la figura anterior para el peso. Como ya hemos dicho, siempre es perpendicular a la superficie de contacto y está

dirigida hacia arriba, es decir, hacia fuera de la superficie de contacto.

FUERZA DE ROZAMIENTO La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con la que empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza

de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática. La experiencia nos muestra que: La fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos

cuerpos; pero sí depende de cual sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa. La magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir:

Fr = μ·N

Donde μ es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento o de fricción. Hay dos coeficientes de rozamiento:

el estático (μs) y el cinético (μk), siendo el primero mayor que el segundo (μs > μk)

FRICCIÓN ESTATICA (μs) Las fuerzas de fricción estáticas que se produce por la interacción entre las irregularidades de las dos superficies se incrementarán para evitar cualquier movimiento relativo hasta un límite donde ya empieza el movimiento. Ese umbral del movimiento, está caracterizado por el coeficiente de fricción estática. El coeficiente de fricción estática, es típicamente mayor que el coeficiente de fricción cinética.

Materiales Coef. de Fricción Estática

s

Coef. de Fricción Cinética

k

Acero - Acero 0.74 0.57

Aluminio - Acero 0.61 0.47

Cobre - Acero 0.53 0.36

Latón - Acero 0.51 0.44

Cinc - Hierro colado 0.85 0.21

Caucho - Concreto 1.0 0.8

Madera - Madera 0.25-0.5 0.2

Vidrio - Vidrio 0.94 0.4

Cobre - Vidrio 0.68 0.53

Hielo - Hielo 0.1 0.03

Teflón - Teflón 0.04 0.04

Teflón - Acero 0.04 0.04

FRICCIÓN CINÉTICA (μk) Cuando dos superficies se mueven una respecto de la otra, la resistencia de fricción es casi constante, para un amplio rango de velocidades bajas, y en el modelo estándar de fricción, la fuerza de fricción, está descrita por la relación de abajo. El coeficiente típicamente es menor que el coeficiente de fricción estática, reflejando la experiencia común, de que es más fácil mantener algo en movimiento a lo largo de una superficie horizontal, que iniciar el movimiento desde el reposo.

DIAGRAMA SE CUERPO LIBRE El Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil en la resolución de problemas de Dinámica, sobre todo en el caso de que haya más de un cuerpo. A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuáles son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él. Veamos un ejemplo de cómo hacer esto. Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuáles son las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán: Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y que están dirigidos hacia abajo, Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba, sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros. Una vez hecho esto, representar los diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúan sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir qué dirección será el eje x y cual el eje y cuáles serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuáles serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F = múa para cada eje. Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y En conclusión tenemos que las leyes de Newton se pueden resumir en:

Ejemplos: 1. El departamento de ingeniería de una empresa metal mecánica desea diseñar un brazo mecánico para desplazar sobre una banda trasportadora de acero, un bloques de acero cuyo masa es de 19.6 kg. La distancia son 49.7 metros en un tiempo de 8 segundos. Calcular la fuerza requerida para mover desde el inicio el bloque y cuando esta ya en movimiento que debe vencer el brazo si la placa parte del reposo. m = 19.6 kg Vo =

t = 8 s

d = 49.7 m

Desarrollo: Iniciar calculando la fuerza de fricción estática y cinética que deberá vencer el brazo mecánico, empleando para ello un diagrama de cuerpo libre.

N Fuerza aplicada del brazo mecánico

Fuerza de fricción

W El brazo mecánico deberá vencer la fuerza que ejerce la placa hacia abajo llamada peso, así como la fuerza de fricción que ofrece la superficie en donde se va a mover dicha placa (ver el diagrama anterior de cuerpo libre). En el caso de la Normal y el peso, ambas uerzas se anulan y únicamente es necesario conocer el valor de la fuerza de fricción. Por lo anterior tenemos que:

Datos

d = 49.7 m

t = 8 s

vo =

F =

vf =

a =

m = 19.6 kg

μs =0.74

μk =0.57

Ecuaciones

·

·

f o

r s

r k

F m a

W N

W m g

dv

t

v va

t

F N

F N

Sustitución

2

m/s m/s m

s s

kg m/s N

kg m/s

m

N

N

N

N

N

m

/s s

2

2

6.2125 00.7766

8

19.6 0.7766 15.2214

19.6 9.81 192.276

192.276

192.276 0.74 142.284

49.76

2

192.276 0.57 109.5973

15.2214 142.2

.21258

842s

s

k

T

a

F

W

N

F N

F N

F

v

N N

N N N

157.5056

15.2214 109.5973 124.8187sT

F

Resultado

2

m s

N

N

N

N

N

N

m/s

N

0.7766

15.2214

192.276

192.276

142.2842

109.5973

157

6.2125

.5056

124.8187

s

s

s

k

T

T

a

v

F

W

N

F

F

F

F

2. Una fuerza horizontal de 20 N arrastra una caja de plástico de 4 kg a través de un piso, si μk =0.2, determinar la distancia que puede recorrer requiere en un tiempo de 7 segundos. N

m = 4kg

d =?

t = 7 s

W

Datos

d =

t = 7 s

vo = 0 m/s

F = 20 N

vf =

a =

m = 4 kg

μk =0.2

Ecuaciones

2

·

·

o f

f o

r s

r k

F m a

W N

W

dv

t

d vt

v vv

v va

t

F N

F

m g

N

Sustitución

kg m/s N

N

N N

N N m/s

kg

m/s m/s

m/s

m/s m/s m/s

m/s m

2

2

2

0

4 9.81 39.24

39.24

39.24 0.2 7.848

20 7.8483.038

4

0 3.038 7

21.266

0 21.26610.633

2

10.633 7 74.431

k

k

k

f

f

W

N

F

F F m a

F Fa

m

v v at s

v

v

d s

Resultado

N

N

N

m/s

m/s

m/s

m

2

39.24

39.24

7.848

3.038

21.266

10.633

74.431

k

k

f

W

N

F

F F m a

a

v

v

d

PLANO INCLINADO 1 .Una caja de madera de 24.6 kg debe ser trasportada en un piso de caoba inclinado hacia arriba (como se muestra en la figura). La distancia a recorrer es de 15 metros en un tiempo de 3 segundos. Calcular la fuerza necesaria para mover la caja, el coeficiente de fricción estática es de μk =0.5

m = 24.6 kg

30°

N Wy

Diagrama de cuerpo libre Wx

30°

W 30°

Solución De inicio es necesario calcular el peso de la caja tanto en el eje x como en el eje y; para ello es necesario calcular el peso de la caja

kg m/s N

N N

N N

224.6 9.81 241.326

30 241.326 120.663

30 241.326 104.4972

x

y

W

W Sen

W Cos

Se calcula la fuerza de fricción hacia abajo que genera la caja de madera

N N104.4972 0.5 52.2486

k K

k

F N

F

Ahora se calcula el peso que genera la caja hacia abajo

N N120.663 0.5 60.3315

x KW W

W

Se calcula la fuerza de la caja tomando en cuenta que estuviera en un plano horizontal

m m/s

s

m/s m/s m/s

s

kg m/s N

2

2

155

3

5 01.6667

3

24.6 1.6667 41.0008

f o

F m a

v

v va

t

F

La fuerza necesaria para mover la caja de madera es:

N N N N41.0008 52.2486 60.3315 153.5809

T k

T

F F W F

F