1

UNIVERZITET CRNE GORE PRIRODNO – MATEMATIČKI FAKULTET

MATEMATIČKE METODE U FIZICI

IIb. ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (DOMAĆI ZADACI) : Tenzori

[Osnovna literatura: Đ. Mušicki, B. Milić, ’Matematičke osnove teorijske fizike, Naučna knjiga, Beograd, 1975.]

Ime i prezime: ___________________________________br. indeksa _______br. poena (popunjava nastavnik) _______

1. Na osnovu definicije tenzora, izvesti pravila transformacije njegovih koordinatnih vektora i koordinata pri rotaciji

koordinatnih osa. Dokazati relaciju: i j i k j kα α δ=

2. Koristeći dijadsku reprezentaciju tenzora, pokazati da je: ( ) ( )A B A Bτ τ=i i i i .

3. Pokazati da su trag i determinanta tenzora invarijante.

4. Pokazati da je: (a) A Aτ τ=i i , (b) ( ) ( )A B A Bτ τ ∗=i i i i .

5. Pokazati da je: { },k kU T Uτ ∗=i

6. Dokazati da je: (a) ε ε∗= ; (b) { }1,P Pk kε −= .

7. Pokazati da je za nesimetrični tenzor τ :

(a) treća skalarna invarijanta jednaka 0, (b) 12

C Q Cτ = − ×i .

8. Pokazati da je determinanta unitarnog tenzora +1 ili -1.

9. Pokazati da je div A I skalarna, a rot A vektorska invarijanta lokalnog tenzora vektorskog polja A .

10. Pokazati da je tenzor ( ){ } ( ){ } ( ){ }2 , , 3 2 2 ,1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 3e e e e e e e e e e eΤ = − + + − + + − nesingularan i naći njegov

inverzni tenzor. 11. Ako su S1, S2, S3 skalarne invarijante tenzora T, onda se skalarne invarijante njegovog inverznog tenzora mogu

predstaviti u obliku: 11 1 12 1, ,1 2 33 3 3S SS S SS S S

− − −= = = .

12. Data su dva tenzora u matričnom obliku:

3 8 16 5 40 11 6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−Τ =

− i

2 2 57 2 1711 6 7

U

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − −− −

. Naći tenzor X, ako je T·X=U .

13. Data su dva tenzora u matričnom obliku:

1 1 01 0 10 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Τ = i

0 1 01 0 10 1 0

U⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= . Naći svojstvene vektore i glavne pravce antikomutatora

ta dva tenzora.

14. Ako je p sx xp qA Ar sq rxx

∂ ∂=∂∂

, naći kako se iz pAr dobija qAs .

15. Dokazati da je brzina id xiv d t= kontravarijantan vector, a ubrzanje

id vd t nije vektor u

smislu opšteg tenzorskog računa. 16. Prikazati zakon transformacije vektora i tenzora drugog reda pomoću matričnog množenja.

Akademske osnovne studije, studijski programi: Matematika, Matematika i računarske nauke, Fizika