III 散乱理論原子や素粒子レベルの微小な物理的対象の研究には, 調べる標的に粒子を衝突させてその行方を追跡する方法が有効である.

このような量子力学的散乱現象の基礎を解説する.

7.1 散乱の断面積

単位時間あたり,入射粒子: 平面波. 単位面積あたりjI個 (=流れ)散乱粒子: 特定の微小立体角 [Ω,Ω + dΩ]にdw個

dΩ = sin θ dθ dφ

散乱率≡ 単位入射流あたりの散乱粒子数dw

jI

[1/s]

[1/s · m2]= dσ [m2].

単位立体角あたりの散乱率dσ

dΩ[m2] : 微分断面積.

散乱される方向を測定しない実験では, 全散乱率

σtot =∫全方向

dσ =∫

dΩdσ

dΩ[m2] : 全断面積.

2.4章では非定常状態の摂動論を用いて

入射平面波 eik·x 摂動ON−→

入射平面波 + 散乱平面波∑k′

ck′ eik′·x

における振幅ck′(t)を計算し,

dw =∫微小立体角

dk′|ck′|2

t黄金律' dΩ ·

2π

h̄ρ(²k) |〈k′|V |k〉|2

⇒ 微分断面積を計算した.

7章では

入射平面波 + 散乱波

からなる定常状態として考え, より厳密に考察する.

7.2 球面波

自由粒子のSchrödinger方程式

∇2ϕ(x) = −2m²

h̄2ϕ(x).

直交座標:

∇2 = ∂2x + ∂2y + ∂2z ⇒ϕ(x) = X(x)Y (y)Z(z) 変数分離

∝ eikxx eikyy eikzz = eik·x, k2 =2m²

h̄2.

一般解はこれらの線形結合 ϕ(x) =∑

k ak eik·x.

極座標:

∇2 =1

r

∂2

∂r2r −

1

r2L2(θ, φ) ⇒

ϕ(x) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) 変数分離

=χ(r)

rY m` (θ, φ).

L2 Y m` (θ, φ) = `(` + 1)Ym` (θ, φ),(

1

r

∂2

∂r2r −

`(` + 1)

r2

)χ(r)

r= −

2m²

h̄2χ(r)

r.

動径方程式(∂2

∂r2−

`(` + 1)

r2

)χ(r) = −k2 χ(r)

は遠心ポテンシャル∝ `(`+1)r2

中の1次元粒子と同一.

・r ¿ 1kでは(

∂2

∂r2− `(`+1)

r2

)χ(r) ' 0

⇒ χ(r) ∝ r`+1 有界 または r−` 発散.

・r À 1kでは∂2

∂r2χ(r) ' −k2 χ(r)

⇒ `によらず χ(r) ∝ eikr 外向 または e−ikr 内向.

特に,下の漸近形をもつ特解 : 球Bessel関数

χ(r)

r=

j`(kr) ∝ r` r−1 sin

(kr − `2π

)n`(kr) ∝ r−`−1 − r−1 cos

(kr − `2π

)(r → 0) (r → ∞)

波動関数の一般解はこれら×Y m` の線形結合:

ϕ(x)=∑`,m

(A`m j`(kr) + B`m n`(kr))Ym` (θ, φ)

'∑`,m

(A′`m

eikr

r+ B′`m

e−ikr

r

)Y m` (θ, φ). (r À

1

k)

球Bessel関数

R(r) =χ(r)

r=

j`(kr) ∝ r` 1

r sin(kr − `2π

)n`(kr) ∝ r−`−1 −1r cos

(kr − `2π

)が三角関数で表されることは直接(

∂2

∂r2−

`(` + 1)

r2

)χ(r) = −k2 χ(r)

に代入して確認できる. (ρ ≡ kr)

j0(ρ) =sin ρ

ρ, j1(ρ) =

sin ρ − ρ cos ρρ2

,

n0(ρ) = −cos ρ

ρ, n1(ρ) =

− cos ρ − ρ sin ρρ2

,

· · ·

7.3 境界条件

無限遠では遠心力, 散乱ポテンシャルとも無視できる.

r → ∞での条件

・入射波: z軸正方向へ進行する平面波 eikz

・散乱波: 標的(原点)から外向きに拡散する球面波のみ

eikr

r

∑`,m

A′`mYm` (θ, φ) ≡ f(θ, φ)

eikr

r

z軸対称だからφによらない → f(θ)eikr

r

ϕ(x)r→∞−→ eikz + f(θ)

eikr

r

境界条件と散乱断面積

ϕ(x)r→∞−→ eikz + f(θ)

eikr

r

・入射波の流れ z方向

jI =h̄

2im

((eikz)∗

∂

∂z(eikz) −複素共役

)=

h̄k

m.

・散乱波の流れ 方位(θ, φ)を向いたr方向

jr =h̄

2im

(

f(θ)eikr

r

)∗∂

∂r

(f(θ)

eikr

r

)−複素共役

=

h̄k

m

|f(θ)|2

r2.

「流れ」=単位面積あたりを通過する粒子数 ⇒面積dS = r2dΩを通過する粒子数は

dw = jr dS =h̄k

m|f(θ)|2dΩ.

⇒ 散乱断面積はf(θ)で表される:

dσ =dw

jI= |f(θ)|2dΩ,

σtot =∫全方向

|f(θ)|2dΩ.

7.4 確率の保存

流れベクトル j

j =h̄

2im

(ϕ∗∇ϕ −∇ϕ∗ · ϕ

)=

h̄

mIm

(ϕ∗∇ϕ

)直交座標と極座標で∇は

∇ = ex∂x + ey∂y + ez∂z

= er∂r + eθ1

r(· · ·) + eφ

1

r(· · ·)

ϕ(x)r→∞−→ eikz + f(θ)

eikr

r

∇ϕ r→∞−→ ez ik eikz + er ikeikr

rf(θ) + · · · ,

jr→∞−→

h̄k

mez +

h̄k

m

|f(θ)|2

r2er

+h̄k

m(ez + er)Re

(f(θ)

reikre−ikz

)+ · · ·

= jI + jr + jint.

確率保存：半径rの球面から外に出る粒子数は総計0

0 =∫

dS · j

=∫左半球

dS · jI +∫右半球

dS · jI +∫

dS · jr +∫

dS · jint

∝ 0 + σtot + Re∫

r2dΩ er · (ez + er)f(θ)

reik(r−z).

干渉項 = 2πr Re∫ 1−1

dτ (τ + 1)f(τ)eikr(1−τ)

cos θ ≡ τ < 1では激しく振動 → 平均すると0

' 2πr Re{(1 + 1)f(τ = 1)

∫ 1dτ eikr(1−τ)

}

= 4πr Re(f(0)

1

−ikr

)= −

4π

kImf(0).

σtot =4π

kIm f(0)

光学定理

干渉による前方への流れの減少分 = 散乱波の流れ

7.5 位相のずれ

中心力のHamiltonian

H = −h̄2

2m∇2+V (r) = −

h̄2

2m

(1

r

∂2

∂r2r −

L2

r2

)+V (r)

は角運動量(L2, Lz)と交換:

[H,L2] = 0 = [H, Lz] ⇒ 角運動量は保存

⇒ 全ての角運動量状態をまとめて扱う代わりに, 各々の角運動量状態 (`, m)部分波に分けて扱う.

動径方程式 (R(r) ≡ χ(r)/r)( ∂2∂r2

−`(` + 1)

r2−

2m

h̄2V (r)︸ ︷︷ ︸

U(r)

)χ(r) = −k2 χ(r).

(∂2

∂r2−

`(` + 1)

r2− U(r)

)χ(r) = −k2 χ(r)

自由粒子 U(r) = 0.　原点で有界な解はj`型のみ:

χ(r) = r j`(kr)r→∞−→ sin

(kr −

`π

2

).

短距離力 U(r)

{= 0 (r ≥ a)6= 0 (r < a) .

　原点に用いられない波動関数にはn`型が許される:

χ(r ≥ a) = A r j`(kr) + B r n`(kr)r→∞−→ A sin

(kr −

`π

2

)− B cos

(kr −

`π

2

)↓ A : −B ≡ cos δ` : sin δ`

∝ sin(kr −

`π

2+ δ`

).

ポテンシャルの影響は,遠方では自由球面波に比べての位相のずれ δ`のみ.

例1: 剛体球

V (r) =

{0 (r ≥ a)∞ (r < a)

0!= R(a) = A j`(ka) + B n`(ka)

⇒ tan δ` = −B

A=

j`(ka)

n`(ka).

例2: 井戸型

V (r) =

{0 (r ≥ a)

−V0 (r < a)

R(a) = j`(Ka)!= A j`(ka) + B n`(ka)

R′(a) = K j′`(Ka)!= A k j′`(ka) + B k n

′`(ka)

⇒(

AB

)=

(j`(ka) n`(ka)j′`(ka) n

′`(ka)

)−1 (j`(Ka)

Kk j

′`(Ka)

)

⇒ tan δ` = −B

A.

7.6 部分波展開

{Y m` }の完全性: 任意のxの関数は球面波で展開できる

f(x) =∑`,m

R`(r)Ym` (θ, φ).

(1). 入射平面波は

eikz = eikrcos θ =∑`

R`(r)Y0` (θ)

原点で有界 ⇒∑`

a` j`(kr)P`(cos θ)

両辺の ⇓ Taylor展開を比較 ∗=

∑`

i`(2` + 1) j`(kr)P`(cos θ)

r→∞−→∑`

i`(2` + 1)sin

(kr − `π2

)kr

P`(cos θ).

(2). 散乱球面波は外向きのみ r→∞−→ eikr

r f(θ).

(3). 全波動関数の漸近形は位相のずれ δ`の定義から

ϕ(x)r→∞−→

∑`

i`(2`+1)A`sin

(kr − `π2 + δ`

)kr

P`(cos θ).

(1) + (2) = (3)

・内向き球面波 e−ikrr の係数を比較 ⇒

A` = eiδ`.

・外向き球面波 eikr

r の係数を比較 ⇒

f(θ) =∞∑

`=0

(2` + 1)eiδ` sin δ`

kP`(cos θ)

散乱振幅f(θ)は各部分波の寄与の和になる.

微分断面積:dσ

dΩ= |f(θ)|2.

全断面積:

σtot =∑`

4π

k2(2` + 1) sin2 δ` ≡

∑`

σ`.

· · · 確かに光学定理を満たす = 4πk Im f(0).

散乱の観測量は各部分波の位相のずれδ`で表される

低エネルギー極限 (cf. 例1: 剛体球)

・波数k → 0の極限では

一般的にsin δ1,2,...

k→ 0,

次節の例外を除いてsin δ0

k→ 有限 (≡ −α : 散乱長).

⇒ ` = 0部分波のみ → 等方的な散乱:

f(θ)k→0−→ −α, σtot

k→0−→ 4πα2.

・k ∼ 1/aになると⇒ ` ≥ 1部分波が寄与 → 非等方性.

7.7 共鳴散乱

`部分波の断面積

σ`(k) = 4π(2` + 1)sin2 δ`(k)

k2

・低エネルギー k → 0 では→{

0 (` ≥ 1)4πα2 (` = 0)

・高エネルギー k → ∞ では → 0. (| sin δ`| ≤ 1)

・δ`(k) = nπとなるkで極小値0 · · · Ramsauer効果

・δ`(k) =π

2+ nπとなるkRで極大値

4π(2` + 1)

k2· · · 共鳴

例2: 井戸型, ` = 0部分波

V (r) =

{0 (r ≥ a)

−V0 (r < a)⇒ 波数

k =√

2m²h̄

K =√

2m(V0+²)h̄

波動関数 内部 0 ≤ r < a 外部 r ≥ aχ(r) = C sinKr + D cosKr A sin kr + B cos kr

→ C sinKr = A′ sin(kr + δ)χ(a) = C sinKa A′ sin(ka + δ)χ′(a) = CK cosKa A′k cos(ka + δ)

接続条件 : K cotKa = k cot(ka + δ).

低エネルギー散乱 k ' 0を考え, δ →\ 0と仮定:

K0 cotK0a ' k cot δ, K0 ≡√

2mV0h̄

.

部分波断面積:

σ0(k) =4π

k2sin2 δ =

4π

k2(cot2 δ + 1)

'4π

(K0 cotK0a)2 + k2.

cotKa = 0 ⇔Ka = 12π,

32π, · · ·

のときに共鳴k = 0に鋭いピーク.

` = 1部分波なども同様に扱うと

照射する粒子のエネルギー∝ k2を変えて散乱実験 ⇒共鳴する値・断面積の形から標的のポテンシャルを決定.

参考文献

[1] 小出: 基礎物理学選書 量子力学(I), (II) (裳華房).[2] 小出, 水野: 基礎物理学選書 量子力学演習 (裳華房).[3] 坂井: 基礎物理学課程 量子力学 I, II (培風館).[4] 猪木, 川合: 量子力学 I, II (講談社).