III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Algoritmo da divisão em Z[ 𝒎]

Alan Rodrigues dos Santos – alansantos2102@gmail.com

Patrícia Cristina Souza dos Santos – patriciacristina_souza@hotmail.com

Igor dos Santos Lima (Orientador) - igor.matematico@gmail.com

Introdução

Neste pôster serão estudados os aneis quadráticos euclidianos. O algoritmo

euclidiano é uma das propriedades mais importantes do conjunto dos números

inteiros. Esse algoritmo também é válido em outros aneis e estes são ditos

euclidianos. O número de aneis quadráticos que são euclidianos é bem pequeno e

eles estão completamente determinados. Será mostrado que vários deles são

euclidianos.

Preliminares

Definição 1: Seja A um conjunto não vazio. Um anel comutativo (A,+, .) é um

conjunto A com pelo menos dois elementos, munido de uma operação denotada por

+ ( adição) e de uma operação denotada por . (multiplicação) que satisfazem:

A1) Adição associativa:

Quaisquer que sejam 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒛 ∈ 𝑨 , tem-se:

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 .

A2) Existência do elemento neutro para a soma:

∃ 𝟎 ∈ 𝑨 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, 𝟎 + 𝒙 = 𝒙 + 𝟎 = 𝒙.

A3) Existência do inverso aditivo:

∀ 𝒙 ∈ 𝑨, ∃ 𝒛 ∈ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 + 𝒛 = 𝟎 𝒆 𝒛 + 𝒙 = 𝟎.

A4) Comutatividade da soma:

Quaisquer que sejam 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨 tem-se que:

𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙.

M1) Associatividade do produto:

Quaisquer que sejam 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒛 ∈ 𝑨 tem-se que:

𝒙. 𝒚 . 𝒛 = 𝒙. 𝒚. 𝒛 .

M2) Existência do elemento neutro para a multiplicação:

∋ 𝟏 ∈ 𝑨 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, 𝟏. 𝒙 = 𝒙. 𝟏 = 𝒙.

M3) Multiplicação comutativa:

Quaisquer que sejam 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨, tem-se que:

𝒙. 𝒚 = 𝒚. 𝒙.

AM) Multiplicação é distributiva com relação a adição:

Quaisquer que sejam𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨 , tem-se que:

𝒙. 𝒚 + 𝒛 = 𝒙. 𝒚 + 𝒙. 𝒛.

Se todas as condições são satisfeitas com exceção de M3), então (A,+, .) é chamado

de anel não-comutativo.

Denotação de anel: (A,+, .)

Definição 2: Um anel (A,+, .) é chamado corpo se ele satisfaz a seguinte condição:

M4') Todo elemento diferente de zero em A possui um inverso com respeito à

multiplicação, ou seja,

∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∖ 𝟎 , ∃ 𝒚 ∈ 𝑨 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙. 𝒚 = 𝟏

Definição 3: Algoritmo de Euclides

Sejam 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ, com𝒃 > 𝟎. Então, existem únicos 𝒒, 𝒓 ∈ ℤ tais que 𝒂 = 𝒃 + 𝒒𝒓, onde

𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒃. (𝒂 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐, 𝒃 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓, 𝒄 = 𝒒𝒖𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒓 = 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐).

Aneis Quadráticos

Definição 4: Um corpo quadrático é todo subcorpo de ℂ de dimensão dois como

ℚ subespaço vetorial.

Para 𝜶 ∈ ℂ, denotaremos ℚ 𝜶 = {𝒈 𝜶 ∈ ℂ| 𝒈 𝒙 ∈ ℚ 𝒙 } e dizemos que

𝒇(𝒙) ∈ ℚ[𝒙] é seu polinômio mínimo se for mônico, anular 𝜶 e se for de grau

mínimo com essa propriedade.

Se 𝜶 ∈ ℚ ⊆ 𝑲, com 𝑲 subcorpo quadrático, então seu polinômio mínimo é 𝒙 − 𝜶.

Se 𝜶 ∈ 𝑲\ℚ, então 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒒𝒙 − 𝒓, com 𝒒, 𝒓 ∈ ℚ é o polinômio mínimo de 𝜶.

Proposição 1: Todos os corpos quadráticos são da forma ℚ 𝒎 = ℚ + ℚ𝒎, com 𝒎

inteiro e livre de quadrados.

Definição 5: Um corpo quadrático 𝑲 = ℚ[𝒎] é real se 𝑲 ⊆ ℝ (⇔ 𝒎 > 𝟎) e

imaginário se 𝑲 ⊈ ℝ(⇔ 𝒎 < 𝟎).

Definição 6: Um anel de inteiros quadráticos, 𝜽𝒌, é formado por inteiros algébricos

de um corpo quadrático.

Proposição 2: Todo inteiro de ℚ[ 𝒎] anula um polinômio mônico de grau 2 em

ℤ[𝑿].

Proposição 3: Seja 𝑲 = ℚ[ 𝒎] . Então:

𝜽𝒌 =

ℤ[ 𝒎] , 𝒔𝒆 𝒎 ≡ 𝟐, 𝟑, (𝒎𝒐𝒅 𝟒)

ℤ𝟏 + 𝒎

𝟐, 𝒔𝒆 𝒎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟒

Assim, para cada inteiro 𝒎 livre de quadrados, ℤ[𝜽] é o anel quadrático formado

pelos inteiros de ℚ [ 𝒎] .

Exemplo: ℤ 𝒊 𝒄𝒐𝒎 𝒎 = −𝟏(≡ 𝟑 𝒎𝒐𝒅 𝟒) 𝒆 ℤ𝟏+𝒊 𝟑

𝟐 com 𝒎 = −𝟑(≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟒).

Norma

A Norma de um elemento de ℤ[𝜽] é fundamental para que aneis quadráticos

sejam euclidianos. Aqui será definido para todos os elementos de ℚ [ 𝒎] .

Definição 7: Se 𝜶 = 𝒂 + 𝒃 𝒎 ∈ ℚ [ 𝒎] , definimos a Norma de 𝜶 por 𝑵 𝜶 =

𝜶𝜶 = 𝒂 + 𝒃 𝒎 𝒂 − 𝒃 𝒎 = 𝒂𝟐 −𝒎𝒃𝟐.

É fácil verificar que 𝜶𝜷 = 𝜶 𝜷 e que 𝑵 𝜶 = 𝟎 se e somente se 𝜶 = 𝟎.

Quando 𝒎 < 𝟎 𝒔𝒆 𝜶 ∈ ℚ[ 𝒎], então 𝑵 𝜶 é o quadrado do módulo do número

complexo 𝜶. Porém, se 𝒎 > 𝟎, 𝑵 𝜶 não tem relação com o módulo de 𝜶.

Lema 1: A norma goza das seguintes propriedades:

𝑵 𝜶𝜷 = 𝑵 𝜶 𝑵 𝜷 , para todo 𝜶, 𝜷 ∈ ℚ[ 𝒎].

Se 𝜶 ∈ ℤ[𝜽], então 𝑵(𝜶) ∈ ℤ.

Se 𝒎 > 𝟎, então 𝑵 𝒂 + 𝒃 𝒎 = |𝒂𝟐 − 𝒎𝒃𝟐| ≤ 𝐦𝐚𝐱 {𝒂𝟐, 𝒎𝒃𝟐}.

Se 𝜶 ∈ ℤ[𝜽], então 𝜶 é 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔í𝒗𝒆𝒍 𝒔𝒆 𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆 𝑵 𝜶 = ±𝟏.

Se 𝜶 ∈ ℤ[𝜽] e 𝑵 𝜶 = 𝒑 com p número primo, então 𝜶 é irredutível.

Sabemos que em todo domínio de integridade todo elemento primo é irredutível. A

recíproca vale em ℤ, mas geralmente não em 𝜽𝒌.

Exemplo: O elemento 3 é irredutível em ℤ[ −𝟏], mas 𝑵 𝟑 = 𝟗.

Aneis quadráticos euclidianos complexos

Os aneis quadráticos 𝒎 < 𝟎 são chamados aneis quadráticos complexos porque

estão contidos em ℂ, mas não em ℝ.

Um domínio 𝑨 é um anel euclidiano se existe uma aplicação 𝒅: 𝑨 − {𝟎} → ℕ tal

que:

𝒅(𝜶𝜷) ≥ 𝒅(𝜶), para todo 𝜶, 𝜷 ∈ 𝑨 − {𝟎}.

Existe um algoritmo da divisão em 𝑨, isto é, dados 𝜶, 𝜷 ∈ 𝑨, 𝜷 ≠ 𝟎, existem

𝒒, 𝒓 ∈ 𝑨 tais que 𝜶 = 𝒒𝜷 + 𝒓 com 𝒓 = 𝟎 ou 𝒅(𝒓) < 𝒅(𝜷).

Exemplo: ℤ é um anel euclidiano.

Teorema 1. Se 𝒎 < 𝟎, existe um algoritmo da divisão emℤ[𝜭], isto é, ℤ[𝜭] é um anel

euclidiano, quando 𝒎 = −𝟏, −𝟐, −𝟑, −𝟕, −𝟏𝟏.

Aneis quadráticos euclidianos reais

Os aneis quadráticos reais (contidos em ℝ) são euclidianos, isto é, possuem um

algoritmo da divisão, apenas quando m=2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37,

41, 57, 73.

Teorema 2. Existe um algoritmo da divisão em ℤ[𝜭], quando 𝒎 = 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟏𝟑.

Teorema 3. Existe um algoritmo da divisão em ℤ[𝜭] quando 𝒎 = 𝟔, 𝟕, 𝟏𝟕, 𝟐𝟏, 𝟐𝟗.

Exemplo:

Sejam 𝒎 = −𝟏𝟏, 𝜶 = 𝟏𝟗 + 𝟏𝟎 −𝟏𝟏 𝒆 𝜷 = 𝟔.

Neste exemplo, 𝒎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟒. Vamos encontrar 𝒒 = 𝒙 + 𝒚 −𝟏𝟏, 𝒓 = 𝒔 +

𝒕 −𝟏𝟏 ∈ ℤ 𝟏 +−𝟏𝟏

𝟐 tais que 𝜶 = 𝒒𝜷 + 𝒓 com 𝑵 𝒓 < 𝑵 𝜷 . Escrevendo

𝜶

𝜷= 𝒂 + 𝒃 −𝟏𝟏 =

𝟏𝟗

𝟔+

𝟏𝟎

𝟔−𝟏𝟏 , temos 𝒂 =

𝟏𝟗

𝟔𝒆 𝒃 =

𝟏𝟎

𝟔=

𝟓

𝟑. Vamos tomar

inicialmente 𝒚 =𝒗

𝟐 com 𝒗 ∈ ℤ tal que |𝒃 − 𝒚| ≤

𝟏

𝟒. Seja 𝒚 =

𝟑

𝟐. Então

𝒃 − 𝒚 =𝟓

𝟑−

𝟑

𝟐=

𝟏

𝟔≤

𝟏

𝟒.

Como 𝒚 =𝒗

𝟐=

𝟑

𝟐, com 𝒗 ∈ ℤ número ímpar, vamos tomar agora 𝒙 =

𝒖

𝟐 com 𝒖 ∈ ℤ

número ímpar tal que |𝒂 − 𝒙| ≤𝟏

𝟐. Seja 𝒙 =

𝟕

𝟐.

Assim,

𝒂 − 𝒙 =𝟏𝟗

𝟔−

𝟕

𝟐= −

𝟐

𝟔=

𝟏

𝟑≤

𝟏

𝟐.

Segue que

𝒒 = 𝒙 + 𝒚 −𝟏𝟏 =𝟕

𝟐+

𝟑

𝟐−𝟏𝟏,

𝒓 = 𝜶 − 𝒒𝜷 = 𝟏𝟗 + 𝟏𝟎 −𝟏𝟏 −𝟕

𝟐+

𝟑

𝟐−𝟏𝟏 𝟔 = −𝟐 + −𝟏𝟏

E 𝑵 𝒓 = 𝑵 −𝟐 + −𝟏𝟏 = 𝟒 + 𝟏𝟏 = 𝟏𝟓 < 𝟑𝟔 = 𝑵 𝟔 = 𝑵(𝜷).

Referências

[1] ANDRADE, José Fernandes Silva. Tópicos Especiais em Álgebra. Rio de

Janeiro: SBM, 2013.

[2] HORBACH, Ivan Carlos. O conceito de fatoração única em aneis quadráticos.

Joinville-SC, 2012.

Disponível em:

http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/91133/Poster_28698.pdf?sequenc

e=2 acessado em 07/10/2014 às 23h26min.

Disponível em:

http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/91096/Poster_28360.pdf?sequenc

e=2 acessado em 07/10/2014 às 23h15min.