ﻲﻧﺎﺳاﺮﺧ ﺎﻨﻴﺳ - ee.sharif.eduee.sharif.edu/~aqm/appliedquantummechanics.pdf ·...

مكانيك كوانتومي كاربردي سينا خراساني

ويراست دوم

بسم اهلل الرحمن الرحیم

إن في ﴾981﴿ولله ملك السماوات واألرض والله على كل شيء قديز

خلق السماوات واألرض واختالف الليل والنهار آليات لأولي األلباب

الذين يذكزون الله قياما وقعودا وعلى جنوبهم ويتفكزون في خلق ﴾911﴿

السماوات واألرض ربنا ما خلقت هذا باطال سبحانك فقنا عذاب النار

﴿919﴾

ي فزماوزيايى آسماوا ي سميه اس آن خداست ي خدايود تز ز

( مسلما در آفزيىش آسماوا ي سميه ي در پى 981چيشى تاواست )

ايى ]قاوع كىىد[ يكديگز آمدن شة ي ريس تزاى خزدمىدان وشاو

( ماوان ك خدا را ]در م احال[ ايستاد ي وشست ي 911است )

ىد ي در آفزيىش آسماوا ي سميه كى ت پل آرميد ياد مى

اى مىشى ت اوديشىد ]ك[ پزيردگارا ايىا را تيد ويافزيد مى

( 919پس ما را اس عذاب آتش ديسخ در امان تدار )

ی آل عمزان ی مثارك سر

سینا خساسانی

گاه صنعتی شسیف بسق، دانشی ههندسی کده دانش

تهسان

3131 پاییز

مکانیک کوانتومی کاربردی

ویساست دوم

انجام پریسفته است. MathType 5.0زاه به هن Microsoft Word 7.0افزاز چینی این اثس توسط هولف و با نسم حسوف

باشد. است. نقل هطالب با ذکس هاخر بالهانع هی گاه صنعتی شسیف دانشی حقوق هادی و هعنوی این اثس هتعلق به کلیه

توسط سحس خساسانی اجسا شده است.فصول هتن الی البههای وازه طسحجلد و نقاشی

أبى الله أن يجري الأشياء إلا بالأسباب فجعل لكل « ):ليه السالمع(قال أبو عبد اهللا

شي لما وفتاح عكل مل لعج فتاحا وكل شرح مل لعج ب شرحا وبكل سل لعج با وبس ء

اهللا ولسر لكذ اهللا رنكأ هرنكن أم و اهللا فرع هفرن عم علم بابا ناطقاجعل لكل

،باب سوم ،جزء اول ،بصائر الدرجات(» حنن و (صلي اهللا عليه و آله و سلم)

ي ششم) صفحه

غثاء و متعلم و عالمف ونص هالناس على ثلاث ويغد « ):المليه السع(أبا عبد اهللا قال

اءلمن العفنح ون ولمتعتنا الميعش و ر الناس غثاءائجزء اول ،بصائر الدرجات( »س،

ي هشتم) صفحه ،باب پنجم

إال شيئا صحيحا لن تجدا علما غربا و شرقا« ):المليه السع(قال أبو جعفر

خرجن يم يتنا أهل البندي صفحه ،باب ششم ،جزء اول ،بصائر الدرجات(» ع

)دهم

أهل بيت نزل عليهم جبرئيلمن لا يصيب العلم إلا « ):المليه السع(عبد اهللا اقال أب)ي نهم صفحه ،باب ششم ،جزء اول ،بصائر الدرجات()» المعليه الس(

ويراست دوم

اي نواقص انقطاع به تعليم و تعلم مداوم، و بهبود اين كتاب مرا بر آن داشت تا به رفع پاره نياز بي

على كل مسلم هطلب العلم فريض«اند: اهتمام ورزم، چه رسول اكرم (صلي اهللا عليه و آله و سلم) فرموده

الله جويان را جوي دانش بر هر مسلماني واجب است، همانا خداوند دانش و جست«» العلم هيحب بغا أال إن

).13(مصباح الشريعه، ص »دارد دوست مي

گاه جوي دكتري مهندسي برق در دانش در اين نسخه، با كمك آقاي مهندس محمد حسن آرام، دانش

اشتباهات نگارشي و محاسباتي اعم از آنچه در برخي روابط آمده اصالح صنعتي شريف، تعدادي از

تعدادي مسايل هاي اضافي جهت ايضاح مفاهيم، و بحثاند. شده، و مراجع نيز به روزرساني گرديده

جديد نيز به متن اضافه شده است.

سينا خراساني

گاه صنعتي شريف ي مهندسي برق، دانش كده دانش

خورشيدي مطابق با 1393ماه انتهران، سيزدهم آب

هجري 1436الحرام ميالدي و دهم محرم 2014چهارم نوامبر

هو العليم الحكيم الهي انطقني بالهدي و الهمني التقوي

گفتار پيش

مقدار موهبت فرمود، و با ذكر سالم كران خداي را، كه موجبات تحرير اين كتاب را به اين بي سپاس بي

)، اهل بيت سالم اهللا عليهم اجمعين) و آل محمد (صلي اهللا عليه و آله و سلمبر محمد (و صلوات

به حق در دست ايشان است.نهايت الهي بيي علم ها عصمت و طهارت، كه ذخائر و گنجينه

كوانتوم، مرزهاي نوين هاي پژوهشي و كاربردي مرتبط با دانش نظر به گسترش بسيار سريع زمينه

ها و گاه اكنون در دانش از بين رفته است. هم تدريجا الكترونيك با فيزيك كاربرديمهندسي

كاري ها هم هاي پژوهشي معتبر جهان، متخصصين فيزيك و مهندسين در بسياري زمينه موسسه

ها كده در دانش التحصيالن فيزيك فارغ توان دريافت كه نه تنها . با جستجويي اندك ميتنگاتنگ دارند

هاي معتبر گاه ، بلكه در دانشپژوهش هستندتدريس و مهندسي برق مشغول هاي كده هشو پژو

شكل گرفته كاربردي مهندسي و فيزيك، و مهندسي فيزيكهايي با عناويني مانند كده جهان، دانش

هاي مشترك هستند. هاي برق و فيزيك داراي كرسي كده در بسياري موارد، استادان دانش .است

ي علم جهان ي تنومند از دانش را به عنوان محورهاي آينده ي امريكايي فيزيك، چهار عرصه موسسه

آوري نانو، پردازش ي ديگر كه عبارتند از علوم و فن زيستي، سه عرصه علومبرگزيده است. به جز

از اين دو، استوارند. يكيي بنيادين طبيعت ي دو نظريهها كوانتومي، و ابررسانايي، هر سه بر پايه

ي الكترومغناطيس، و ديگري فيزيك كوانتومي است. نظريه

به طور كالسيك، آموزش فيزيك كوانتومي در دروس كارشناسي مهندسي برق، به غير از فانه سمتا

بيني نشده است. اين در شد، پيش مقدار محدودي كه سابقا در درس فيزيك الكترونيك تدريس مي

ندسين برق در آينده بدون اطالع كافي از فيزيك كوانتومي قادر به درك مه ترديد يبحالي است كه

در مقياس نانو نخواهند بود. نوظهورهاي اصول كاركرد ادوات و پديده

و مختص مكانيك كوانتومي كاربرديجهت همراهي درس گذرد ي محترم مي كتابي كه از نظر خواننده

ي كده الكترونيك، گرايش ادوات ميكرو و نانو، در دانشجويان تحصيالت تكميلي مهندسي دانش

سال گذشته كه مطالب اين درس را گاه صنعتي شريف تدوين گرديده است. مهندسي برق دانش

نيازمند گردآوري مطالب مورد بحث در اين درس ي مجدد كه ارايه متوجه شدمكردم، آوري مي جمع

وقت و سال تحصيلي ي مرتب مطالب در آغاز هر نيم ايهو ار دوبارهقالب يك كتاب است. زيرا تجميع

لي اهللا عليه ص( رسول اكرمفرمايش كند. پس بنا بر اي را از مدرس سلب مي انرژي بسيار قابل مالحظه

ي فحه، ص77 لد، جاالنوار بحار( »نگارش مقيد سازيد هدانش را ب« »قيدوا العلم بالكتاب«) و آله و سلم

اين كتاب اهتمام ورزيدم. ارشگن به )141

كند، اي است كه فيزيك كوانتومي را بر مبناي حداقل فرضيات بديهي متبلور مي ساختار كتاب به گونه

به و اين نوع نگرش به فيزيك كوانتومي در حد اطالع نگارنده با ساير كتب در دسترس متفاوت است.

در چنين شوند. هم از تبديالت فوريه منتج مي عنوان مثال، براكت پواسون و روابط عدم قطعيت

گرها در فضاهاي مختلف تفاوت گذاشته شود؛ اين موجب چيني سعي شده تا ميان عمل حروف

بايستي از مقداري جويان البته دانشهاي بعدي است. بندي جلوگيري از بروز ابهامات در صورت

رامون مباني فيزيك كوانتومي برخوردار كم در حد درس فيزيك الكترونيك، پي اطالعات اوليه، دست

رود خواننده بدان تسلط ولي ابزار رياضي مورد نياز همان رياضيات مهندسي است كه انتظار مي باشند.

در نگارش كتاب تعمدا از هيچ شكل و نموداري استفاده نشده است، زيرا نگارنده بر كافي داشته باشد.

ها در فيزيك ا جبري، و نه هندسي است. بسياري پديدهاين باور است كه فيزيك كوانتومي اساس

شوند، و تنيدگي تنها به مدد جبر فهميده مي محليت، فروپاشي تابع موج، و درهم كوانتومي مانند عدم

ها را خواننده در شود كه توابع موج و پتانسيل الوصف، توصيه مي هستند. معدقيق فاقد تصوير هندسي

هاي توابع پي ببرد. تا دست كم به مفهوم تقارنصورت لزوم ترسيم نمايد

عمق ي مطالب مورد نياز را در داخل خود كتاب بيابند. البته كليه جويان دانشتالش بر اين بوده تا

نمايد. احتماال اين نياز مي تر بي ي عميق جوي مهندسي را از مطالعه كتاب در حدي است كه دانش

ي كوانتوم هستند حاوي هاي رياضي نظريه خوانندگاني هم كه به دنبال شالودهكتاب براي آن دسته از

فيزيك مطالب جديد و ارزنده نيز هست. ولي به هر حال نگرش اين يك كتاب معطوف به رياضي

هاي كاربردي بيشتر طرح و بحث شوند. هاي متعدد، جنبه نيست، بلكه سعي شده تا با طرح مثال

ي مهندسي نفت، جناب آقاي دكتر كده ي ارجمند دانش ز استاد بازنشستهدر پايان ضروري است ا

جانب برافروختند. در ي عالقه به اين مقوالت را در اين علي شاهوراني، قدرداني نمايم، كه بارقه حسين

ام، كه اولين نبي را داشته آقاي دكتر حسين گل استاد گاه صنعتي شريف، افتخار شاگردي جناب دانش

ق در مكانيك كوانتومي را زير نظر ايشان گذرانيدم.درس عمي

ي جويان متعددي ضمن ابراز عالقه به محتويات كتاب و مطالعه ي مهندسي برق، دانش كده در دانش

چه از اشكاالت در نهايت هر آندقيق آن امكان رفع بسياري اشتباهات تايپي و مفهومي را فراهم آورند.

يابند شي از قصور اين حقير است، و اميدوارم خوانندگان نقائصي را كه ميدر متن باقي مانده باشد، نا

زحمات سركار خانم مهندس الهه احمدي الوصف، به اطالع برسانند تا نسبت به رفع آن اقدام گردد. مع

ايشان به پذير ساخته است. ي درسي دقيق و خوانا نگارش اين متن را امكان يك جزوه ي تهيهدر

ضمن حضور بسيار فعال و مشتاقانه در و اميرحسين صادقي ،ن حميدرضا چلبي، علي نقويآقاياهمراه

نيز از ميان كاري در كالس حل تمرين از هيچ كمكي مضايقه نكردند. ا همو ي اپتيك كوانتوميكالس

نگار هاي مرتبط، آقايان حسام زندي، مجيد سوداگر، ميالد خوش كالسدر جويان سابق دانش

هاي عميق در تدقيق اين متن بطور ها و پرسش در طرح بسياري بحث اهللا افتخاريان امين و شهرستاني،

اشكان صالحي نويد يثربي، آقايانخانلو، بهناز قرهخانم چنين اند. هم غير مستقيم سهم داشته

، و پدرام قاسمي افشار، عباس عربزاده مهر، آرين حاذقي، مهدي حق سيد حسام موسويصدقياني،

اي در بهبود كيفيت متن و ويرايش آن داشتند. ضمن تذكر بسياري اشتباهات به اين حقير نقش عمده

شته و آرزوي پيشرفت و درخشش در دانش برايشان آنان دا تمامي وسيله كمال تشكر را نسبت به بدين

) ه و آله و سلملي اهللا عليدارم؛ اميدوارم به نسلي تعلق داشته باشند كه مصداق بشارت رسول اكرم (ص

ثريا ي اگر دانش منوط به [رفتن به] ستاره« »ارسن فم جالر هلاونتا ليرالثب نوطام العلم و كانل«است:

.)195، ص 1، ج االنوار بحار( » يابند. باشد، مردماني از ايران به آن دست مي

كتاب بودند. در منزل، همسرم سركار خانم هاي اصلي من در خالل نگارش اين پدر و مادرم مشوق

زدني دوري و غيبت ي مثالا دكتر فاطمه ديني، و فرزندانم، پارسا، ركسانا، و آتوسا، با صبر و حوصله

ي خود خستگي كار اين حقير را تحمل كردند و با استقبال گرم و صميمانه پرتي جسمي و حواس

نمايم. فرسا، نگارش اين كتاب را به ايشان هديه مي قتروزي من را زدودند. به پاس اين صبر طا شبانه

سينا خراساني

گاه صنعتي شريف ي مهندسي برق، دانش كده دانش

خورشيدي مطابق با 1388آذرماه بيست و يكم تهران،

هجري 1430ي الحجه ميالدي و بيست و چهارم ذي 2009دوازدهم دسامبر

فهرست

1 گرها فضاي هيلبرت و جبر عمل. فصل نخست 1 مسايل مقدارويژه در مكانيك كوانتوم. 1.1 1 ها ي مقدارويژه در فضاي ماتريس مسئله. 1.2 4 ي مقدارويژه در فضاي توابع مسئله. 1.3 7 ي مقدارويژه در فضاي براكت مسئله. 1.4 7 تعاريف و قضايا. 1.5

17 مباني مكانيك كوانتومي. فصل دوم

17 معادالت تحول. 2.1 20 جابجاگر پواسون. 2.2 23 روابط دوگان در فضاي براكت. 2.3 24 ساير روابط و اتحادها. 2.4

29 ي شرودينگر معادله. فصل سوم

29 ي شرودينگر در فضاي براكت معادله. 3.1 33 گيري كوانتومي اندازه. 3.2 36 قطعيتروابط عدم . 3.3 36 ي شرودينگر مستقل از زمان حل معادله. 3.4 38 ي شرودينگر وابسته به زمان حل معادله. 3.5 42 ي انرژي حاالت ويژه. 3.6

47 موج كوانتومي. فصل چهارم 47 ي آزاد ذره. 4.1 51 ي موج بسته. 4.2 55 شارش احتمال. 4.3

61 مسايل خاص. فصل پنجم

62 زوج در پتانسيلتقارن . 5.1 64 تلر- پتانسيل پوشل. 5.2 64 پتانسيل ديراك. 5.3 66 يون مولكول هيدروژن. 5.4 69 گر هماهنگ نوسان. 5.5

69 گر هماهنگ در فضاي براكت نوسان. 5.5.1 73 حركت گر هماهنگ در تصوير اندازه نوسان. 5.5.2 74 گر هماهنگ در فضاي توابع نوسان. 5.5.3 76 بعد گر هماهنگ در سه نوسان. 5.5.4

78 مسايل متناوب. 5.6

85 بعدي كلي مسايل يك. فصل ششم 86 حل تقريبي تحليلي. 6.1

87 زومرفلد-بوهر-كوانتش ويلسون. 6.1.1 89 حل بهبوديافته. 6.1.2

90 ماتريس انتقال. 6.2 90 ماتريس انتقال عبور از يك مرز. 6.2.1 91 بازتاب و گسيل موج از ديواره. 6.2.2 93 ماتريس انتقال عبور از مرزهاي متوالي. 6.2.3

95 داالني پديده. 6.3 97 چاه پتانسيل متقارن مربعي. 6.4

97 تشديدي داالني پديده. 6.4.1 100 ماتريس انتقال ديراك. 6.5 102 پتانسيل متناوب. 6.6

104 تناوب محدود. 6.6.1 105 ديراكبلور . 6.7

106 ماتريس انتقال تفاضلي. 6.8 108 ي ماتريس انتقال تفاضلي محاسبه. 6.8.1 110 هاي ماتريس انتقال تفاضلي ويژگي. 6.8.2 110 حل تقريبي. 6.8.3

117 بعدي مسايل چند. فصل هفتم

117 ي وردشي حاالت انرژي محاسبه. 7.1 119 پتانسيل جداپذير. 7.2

119 پتانسيلقوطي . 7.2.1 121 تقارن محوري. 7.3

123 اي حركت زاويه اندازه. 7.3.1 124 اي ي كوانتومي استوانه نقطه. 7.3.2

127 تقارن شعاعي. 7.4 129 گر مشتق زماني عمل. 7.4.1 130 حركت دوراني اندازه. 7.4.2 131 هاي كروي هماهنگ. 7.4.3 134 شرط مرزي توابع مقيد. 7.4.4 134 بعد گر هماهنگ در سه نوسان .7.4.5

136 اتم هيدروژن. 7.5 139 هاي شعاعي ممان. 7.6 140 اتم هيدروژن در دستگاه مختصات سهموي. 7.7

147 روش اختالل. فصل هشتم

148 ها اختالل در فضاي ماتريس. 8.1 151 ي اول اختالل مرتبه. 8.2

154 مثال ماتريسي. 8.2.1 154 ي شرودينگر نسبيتي معادلهتصحيح . 8.2.2

156 تصحيح نسبيتي اتم هيدروژن. 8.2.2.1 157 ي دوم اختالل مرتبه. 8.3

159 مثال ماتريسي. 8.3.1 161 بست روش تنگ. 8.4 166 تزويج مود. 8.5

168 مود مثال جفت. 8.5.1 170 ي تپ پديده. 8.6

177 اپتيك اتم. فصل نهم

178 اختاللحل با روش . 9.1 180 گر تحول زماني حل با عمل. 9.2 184 راه حل مستقيم. 9.3 186 حل بازگشتي اختاللي. 9.4

187 ي اول فرآيند مرتبه. 9.4.1 190 ي دوم فرآيند مرتبه. 9.4.2 190 جذب دوفوتوني. 9.4.3

191 قانون طاليي فرمي. 9.5 193 الكتريك ثابت دي. 9.6

195 اليگر چگ عمل. 9.6.1 196 گر چگالي مشتق زماني عمل. 9.6.2 199 تحليل پذيرفتاري. 9.6.3

207 اسپين. فصل دهم

208 مكانيك كالسيك. 10.1 208 ي ارنفست قضايا. 10.2 210 تبديالت مختصات. 10.3

210 تبديالت گاليله. 10.3.1 211 تبديالت لورنتز. 10.3.2

213 گوردون-كاليني معادله. 10.4 215 ي ديراك معادله. 10.5 219 اسپينورها. 10.6 222 گر اسپين عمل. 10.7

226 اسپين در فضاي براكت. 10.7.1 227 گر اسپين در راستاي دلخواه عمل. 10.7.2

237 كوانتش ميدان. فصل يازدهم

238 ميدان و انرژي. 11.1

241 ي پارسوال قضيه. 11.1.1 241 ميدان الكترومغناطيس. 11.1.2

243 ي مناصفه قضيه. 11.1.2.1 244 هاميلتوني كالسيك. 11.2 245 گذار به دنياي كوانتومي. 11.3

247 ها جبر بوزون. 11.3.1 247 ها جبر فرميون. 11.3.2

249 گرهاي ميدان عمل. 11.4 250 هاي الكترومغناطيس گرهاي ميدان عمل. 11.4.1

251 حالت همدوس. 11.5 253 هاي ميدان همدوس ويژگي. 11.5.1

256 ميدان تنش. 11.6 257 ي نانوساختارها گرماي ويژه. 11.6.1

269 كوانتش دوم. فصل دوازدهم

270 هاي بوزوني و فرميوني تقارن ميدان. 12.1 270 اي ميدان موج نرده. 12.2 271 بندي كوانتش دوم صورت. 12.3

272 گرهاي ميدان عمل. 12.3.1 274 گرهاي ميدان جبر عمل. 12.3.2

274 ها بوزون. 12.3.2.1 274 ها فرميون. 12.3.2.2

275 هاميلتوني. 12.3.3 275 گرهاي فنا و بقا عمل. 12.4

276 ها بوزون. 12.4.1 276 ها فرميون. 12.4.2

277 اينشتين-چگالش بوز. 12.5 277 بحرانيدماي . 12.5.1 278 هاميلتوني. 12.5.2 280 گرهاي بوزوني عمل. 12.5.3 280 نمايش كوانتش دوم. 12.5.4 281 تحليل چگاليده. 12.5.5

282 دجنس-تقريب بوگوليوبوف. 12.5.5.1

284 ابررسانايي. 12.6 284 ذرات گرهاي شبه عمل. 12.6.1 286 هاميلتوني موثر. 12.6.2 289 انرژي حالت صفر. 12.6.3 292 اي حاالت دوذره. 12.6.4 294 ي كوپر مسئله. 12.6.5

299 شرايفر-كوپر-هاميلتوني باردين. 12.7 301 تحليل وردشي. 12.7.1

304 گافي معادله. 12.7.1.1

313 نامه واژه

ك د؟

ناك ظاهر آشوبصوير را بيابيد

كه در عين ظكم بر اين تص

نتومي است، كنيد قانون حاك

(.

مكانيك كوانتتوان آيا مي. شد

.ي شده است

دنيايدين ازباش كمي مي

رمزنگاري مودي

نمايشي نمادانين دقيق و

عم به صورت

تريوگرام فوق آن داراي قوا

پيام تصوير:

تصوير استنظم و بي

راهنمايي(

فصل نخست 1

نخست فصل

هاگر عملفضاي هيلبرت و جبر

. مسايل مقدارويژه در مكانيك كوانتوم1.1

ي اي است كه كميات قابل مشاهده به عنوان مقادير ويژه بندي به گونه در مكانيك كوانتومي فرمول

علت تبديل معادالت حاكم بر سيستم به گردند. ي مناسب شناخته و محاسبه مي مقدارويژهمسايل

ي ي حقيقي و حاالت پايه توان مقادير ويژه معادالت مقدارويژه آن است كه با اتخاذ فرم مناسب مي

نمايد. از سوي ديگر همانطور كه متعامد بدست آورد كه توصيف رياضي سيستم را خيلي آسان مي

. به كنند تغيير نميسيستم در امتداد پارامتر حاكم بر آن ر اگذضمن هيم ديد حاالت ويژه در خوا

ي انرژي قرار عنوان مثال، اگر پارامتر مذكور انرژي باشد، آنگاه سيستمي كه در يكي از حاالت ويژه

دارد در زمان پايستاري انرژي را رعايت خواهد كرد.

ها فضاي ماتريسي مقدارويژه در . مسئله1.2

ي ماتريسي است كه در آن ي مقدارويژه بندي بر مبناي طرح مسئله به فرم يك معادله يك فرمول

چنين بردارهاي ؛ همي آنها متناظر با حاالت پايه هستند هاي مربع معرف كميات و مقادير ويژه ماتريس

يك كوانتومي، مكانيك ماتريسي كرد در مكان به اين روي .ي سيستم خواهند بود ويژه مبين حاالت پايه

گرها فضاي هيلبرت و جبر عمل 2

شود. به عنوان مثال چنانچه مجموعه مقادير ممكن كميت مورد نظر با هايزنبرگ گفته مي

, 1j j nλ و با بعد الزم مانند Lتوان متناظر با آن ماتريس مربعي مانند نمايش داده شود، مي =

n ي زير برقرار باشد: اي كه مسئله مجسم كرد به گونه

)1.1( λ λλ=Lx x

ي در حالت كلي مقادير ويژه است. λي مقدار ويژهي متناظر با بردار ويژه λxكه در آن

, 1j j nλ توانند مختلط باشند، ولي براي يك كميت ملموس فيزيكي و قابل مشاهده ضروري مي =

است كه تمامي مقادير ويژه حقيقي باشند. همانطور كه ذيال خواهيم ديد اين منجر به هرميتي بودن

شود: مي Lماتريس

)1.2( ( )† *=t=L L L

. معرف دوگان هرميتي است †و باالنويس خنجر معرف ماتريس ترانهاده است tيس كه در آن باالنو

هاي قطري حقيقي محض هاي مقابل قطر بايد مزدوج مختلط باشند و بنابراين درايه در نتيجه درايه

توان طول همگي را به واحد بهنجار متعامدند و ميها خواهند بود. تحت اين شرايط تمامي بردارويژه

كه به يك ،هرميتي است ضرب داخلي دو بردار نسبت به آن Kهنگامي كه يك ماتريس مانند كرد.

توان نوشت: به صورت زير نيز ميانجامد، را اي مختلط مي عدد نرده

)1.3( ( ) ( ) ( ) ( )†† † †⋅ = = = ⋅ = ⋅x Ky x Ky K x y K x y Kx y

، ترتيب اثر دادن ماتريس بر Kي ضرب داخلي دو بردار نسبت به ماتريس ن ديگر در محاسبهبه بيا

Kي بردارهاي ويژه yو xدقت كنيد كه در تعريف ضرب داخلي ضرورتي ندارد اثر است. بردارها بي

با پس شرط تعامد ها و ضرب داخلي توجه كنيد. ) به تفاوت ضرب ماتريس1.3ي ( در رابطهباشند.

عبارتست از:شود و ) حاصل مي1.3در تعريف ضرب داخلي ( Iبا ماتريس يكاني Kكمك جايگزيني

)1.4( †μ λ μ λ μλδ⋅ = =x x x x

فصل نخست 3

=كنيم همچنين نرم بردار را تعريف مي دلتاي كرونكر است. μλδ) 1.4در ( ⋅x x x كه به وضوح

به عنوان حال شود. اگر برداري داراي نرم واحد باشد بهنجار ناميده مي ؛حقيقي و نامنفي است يدعد

مربع زير را در نظر بگيريد: مثال ماتريس

)1.5( 1 12 2

1 12 2

j

j

α β α β

α β α β

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

L

α,كه در آن β ∈ R 1و نيز ندستي حقيقي ههاي پارامترj = كنيم نيز براي سادگي فرض مي .−

2كه 2 1α β+ و چون كند ) را ارضا مي1.2() شرط هرميتي بودن 1.5بديهي است كه ماتريس (. =

2nداراي بعد ) را 1.5ي ( توان به سادگي مقادير ويژه . ميمقدار خواهد بود است پس داراي دو ويژه =

ي ي مشخصه از حل معادله

)1.6( 0λ− =L I

ماتريس واحد است. بدين ترتيب خواهيم داشت Iبدست آورد كه در آن

)1.7( 1 12 2 2 2

1 12 2

2 0j

j

α β λ α βλ αλ β

α β α β λ

+ − += − − =

− − −

در نتيجه مقادير ويژه عبارتند از

)1.8( 1λ α± = ±

) عبارتند از1.1نابهنجار از حل مستقيم ( ي بردارهاي ويژهكه هر دو حقيقي هستند.

)1.9( 2

2 j

β

α β±

⎡ ⎤±⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ − ⎥⎣ ⎦

x

به سادگي با جايگزيني ديد كه توان مي

)1.10( λ± ± ±=Lx x

اي كه برقرار است. همچنين بردارهاي پايه متعامدند به گونه

)1.11( 2

2 2 02

jj

ββ α β

α β+ −

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤⋅ = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ − ⎥⎣ ⎦x x


كنيم كه براي اين منظور ابتدا توجه ميتوان بردارهاي پايه را بهنجار كرد. مي

)1.12( 4 2 2β± = ±x

ي بهنجار عبارتند از بردارهاي ويژه در اين صورت

)1.13( 21

24 2 2 j

β

α ββ±

⎡ ⎤±⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ − ⎥± ⎣ ⎦

x

) برقرار است.1.4و در نتيجه (

عد ماتريسهمواره به تعداد برابر با ب n، عموما توان يافت كه مستقل خطي باشند، و بردارهاي ويژه مي

گاهي دو يا چند بردار ويژه ي منحصر به فرد وجود دارد. ولي به ازاي هر بردار ويژه تنها يك مقدارويژه

شوند. گذارند كه در اين صورت آن دسته از بردارها تبهگن ناميده مي يك مقدارويژه را به اشتراك مي

لزوما شرط تعامد را ارضا ولي ديگر ي تبهگن كماكان مستقل خطي هستند، گرچه بردارهاي ويژه

ي تبهگن را متعامد نمود. توان بردارهاي ويژه كنند. تحت اين شرايط با تبديل خطي مناسب مي نمي

ي مقدارويژه در فضاي توابع . مسئله1.3

بندي مكانيك كوانتومي استفاده از معادالت ديفرانسيل براي توصيف مسائل كرد ديگر در فرمول روي

شود. كرد در مكانيك كوانتومي، مكانيك موجي شرودينگر گفته مي به اين روي مقدارويژه است.

:ي مقدارويژه در اين وضعيت فرمي همانند زير دارد معادله

)1.14( λ λψ λψ=L

در اين نوشتار خطي است. گر عمليك L، و λψمقدارويژه متناظر با توابع ويژه λ كه در آن

، λψي توابع ويژهشوند. مشخص ميضخيم نويس هاي فضاي توابع با حروف التين و دستگر عمل

:گردد ذكر ميتوابع موج نام دارند. در اين جا دو اصل موضوعه در مكانيك كوانتومي

با يك تابع موج قابل بيان است. ،مشتمل بر چيدمان دقيق تمام اجزاء ،سيستمحالت هر الف)

دهد. واره چگالي توزيع احتمال را بدست مي مربع قدر مطلق توابع موج همب)

فصل نخست 5

دهيم: ناميم و نمايش مي را هرميتي يا خودالحاق مي Lگر عملحال

)1.15( † =L L

ي آن گر هرميتي داراي اين ويژگي است كه تمامي مقادير ويژه طور كه خواهيم ديد، يك عمل همان

تواند مناسب نيز ميي اوليهمقيد به شرايط مرزي يا )1.14(ي معموال رابطهلزوما حقيقي هستند.

دو ضرب داخلي مناسبي براي تعريف اتخاذ با . گردد ي) ممكن م1.14ها حل ( ، كه به كمك آنباشد

به شكل L خودالحاق گر عملنسبت به تابع

)1.16( ( ) ( ) ( )† ††

λ υ λ υ λ υψ ψ ψ ψ ψ ψ⋅ = =L L L

) با جايگزيني 1.16توان ديد كه تعامد دو تابع از ( ، ميشود اي مختلط منجر نرده گر عملكه به يك

L آيد: بدست ميعدد واحد با

)1.17( λ υ λνψ ψ δ⋅ =

در تابع سمت راست آن، و ضرب داخلي توجه نماييد. گر عمل) به تفاوت ضرب 1.16ي ( لطفا در رابطه

ممكن ي ، مجموعه مقادير ويژهLخودالحاق گر عمليك ته به فرم رياضي بس λ=S، يا طيف

به فرم Rهاي مجموعه اعداد حقيقي از اجتماع تعدادي زير مجموعهمعموال ،L گر عمل

; ,k kkk= ∪ ∀ ⊂S S S R ي اگر يك زيرمجموعه آيد. بدست ميmS داراي تناظر يك به يك با

پذير باشد)، آنگاه طيف باشد (يا به بيان ديگر شمارش Nاي از مجموعه اعداد طبيعي زيرمجموعه

ها اجتماعي از گر عملي مربوطه گسسته و در غير اين صورت پيوسته است. عموما طيف مقادير ويژه

و شرايط مرزي نقش اساسي در تبيين گسستگي يا پيوستگي تهاي گسسته و پيوسته اس زيرمجموعه

)پيوسته باشد، آنگاه معموال گر عملاگر طيف .طيف دارند )λνδ δ λ ν= مبين دلتاي ديراك −

هاي پيوسته و گسسته است. در اين صورت تعامد گرها مخلوطي از زيردامنه گاه طيف عمل خواهد بود.

)) نيازمند استفاده از دلتاي ديراك و دلتاي كرونكر مانند 1.17( )n mnmλ υψ ψ δ δ λ ν⋅ = خواهد بود. −

حال به عنوان مثال فرض كنيد داشته باشيم:

)1.18( jx∂

=∂

L


بديهي است كه توابع ويژه عبارتند از

)1.19( ( ) ( )expx c j xλ λψ λ= −

S=داريم Lهمچنين براي طيف R چنين كه به وضوح پيوسته است. هم[ ]expc c j cλ λ λ=

هستند. اگر ضرب داخلي را بصورت انتگرال در نظر بگيريم: λمقادير ثابتي و وابسته به مقادير ويژه

)1.20( ( ) ( )* x x dxλ υ λ υψ ψ ψ ψ+∞

−∞

⋅ = ∫

توان مالحظه كرد كه: مي

)1.21 ( ( )[ ] ( )2* exp 2c c j x dx cλ υ λ ν λψ ψ λ υ π δ λ υ+∞

−∞

⋅ = − = −∫

ها را حقيقي و توان بدون بروز اشكال آن مي cλو اختياري λوابسته به cλنظر از فاز پس با صرف

مثبت فرض نمود و نوشت:

)1.22( ( ) ( )1exp

2x j xλψ λ

π= −

:ي فوق غير تبهگن هستند. اما در مثال بعدي بديهي است كه مجموعه توابع ويژه

)1.23( 2 2

2jx x

⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜= = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂L

0λشود كه در آن فرض مي اند: توابع ويژه به دو دسته قابل تقسيموضعيت اندكي متفاوت است. ، ≤

)1.24( ( ) ( )x j x∓1exp

2λψ λ

λπ± =

) همگي 1.24هاي ( مجموعه جوابگذارند. بنابراين را به اشتراك مي λي يكسان كه مقادير ويژه

λψبه دو تابع ويژه λمقدار هستند، زيرا هر ويژهي دو تبهگن و از درجهعلت ظهور گردد. متصل مي ±

. شود در تابع نمايي ظاهر مي λي ي مقدارويژه ريشهآن است كه cλدر مخرج ضريب λوابستگي به

) به صورت 1.24چنين تعامد توابع تبهگن ( هم مراجعه نماييد. 6) به تمرين 1.24براي اثبات صحت (

( )s rsrλ υψ ψ δ δ λ ν⋅ = sهاي آيد كه باالنويس درمي − r, = پس براي رفع ابهام در تعامد هستند. ±

شود. شناخته مي s و گسسته λ ي پيوسته با دو مقدارويژه sλψي ويژه توان گفت كه هر تابع مي

فصل نخست 7

ي مقدارويژه در فضاي براكت . مسئله1.4

معلوم هاي ماتريسي هايزنبرگ و موجي شرودينگر بندي پس از گذشت زمان كوتاهي از ابداع فرمول

ارز هستند، و در واقع يك نگاشت شد كه اين دو نگرش به مكانيك كوانتومي از نظر رياضي كامال هم

يا ها نظر از ماهيت رياضي ماتريس سازد. بنابراين صرف يك اين دو تصوير را به هم مربوط مي به يك

د كه توسط پل ديراك توان براي مكانيك كوانتومي ارايه كر موجي توابع، نمايش متحدالشكلي را مي

سيستم فيزيكي با يك موجود انتزاعي به اي يك لحظهدر اين نمايش رياضي، وضعيت معرفي گرديد.

، و معموال چنانچه سيستم مورد ي الف) (تعميم اصل موضوعه شود نمايش داده مي αمانند نام كت

اگر سيستم تبهگن باشد براي .است α عدد همان αي متناظر با كت نظر تبهگن نباشد مقدارويژه

پذير از اعداد خواهد بود. اي شمارش مجموعه αنمايش كت به بيش از يك مقدارويژه نياز است و

سازند. را مي αها اعدادي مانند ي آن كنند و مقادير ويژه ها را به يكديگر تصوير مي ها كتگر عمل

توان تجسم كرد كه با ) ميbra) يك موجود انتزاعي ديگر به نام برا (ketچنين متناظر با هر كت ( هم

گيرد. )، يا يك ضرب داخلي خودبخود شكل ميbracket( ها يك براكت كامل ر هم قرار دادن آنكنا

دهيم. اكنون براي آشنايي بيشتر با نمايش ديراك تعدادي تعاريف و قضايا را ارايه مي

. تعاريف و قضايا1.5

پردازيم براكت مي ها، و فضايگر عملمفاهيم و قضاياي مربوط به فضاي هيلبرت، جبر ي به ارايهحال

شوند: ]. ابتدا تعاريف مقدماتي معرفي مي1[

ناميم، ميت كيك حالت فيزيكي سيستم را ، و يا به سادگيبردار حالتتابع موج، يا : يك كت )1

شود. نمايش داده مي αبا نماد كه

تمامي حاالت ممكن يك سيستم را فضاي كت ي : مجموعهفضاي كت )2 ;α α= ∀K

هاي مربع با بعد ها، فضاي توابع، و فضاي ماتريس توان بين فضاي كت همواره مي ناميم. مي

هاي يك به يك تعريف نمود. فضاي كت نگاشت


: اعمال پايه )3

:گردد به يك كت ديگر تبديل مي جمع دو كت در يك مجموعه )1- 3

)1.25( , : ! ;α β γ α β γ∀ ∈ ∃ ∈ + =K K

اي يك عدد در كت يك كت ديگر خواهد بود: ضرب نرده )2- 3

)1.26( , : ! ;c c cα γ α α γ∀ ∈ ∈ ∃ ∈ = =C K K 0cچنانچه الزم به ذكر است كه در مسايل فيزيكي معموال و αباشد، آنگاه ≠

c α ناميم و آنها را هم ارز مي به يك حالت داللت دارند.

:شود نمايش داده مي ∅ و با آيد از ضرب عدد صفر در هر كت دلخواه بدست مي :كت تهي )4

)1.27( ;0α α∀ ∈ ∅=K

خطي زير اي داراي ويژگي هاي جمع و ضرب نرده فضاي كت ها نسبت به عمل: خطي بودن )5

است:

)1.28( ( )1 2 1 2 1 2, , ;c c c c c cα α α α∀ ∈ ∈ ++ =C K در كت −1رون نسبت به عمل جمع از ضرب عدد توان ديد كه كت وا از اينجا بالفاصله مي

:آيد اصلي بدست مي

)1.29( ; ! ; ;α β α β α β∀ ∈ ∃ ∈ ∅ = −+ =K K

كنيم و با نماد يك دوگان منحصر به فرد موسوم به برا تعريف مي α: براي هر كتي مانند برا )6

α فضاي دربرگيرنده براها عبارتست از دهيم نمايش مي . ;α α= ∀B اين رابطه يك .

αتوان نوشت به يك را مي α↔ اي يك به گونه. در حالت كلي اين نگاشت يك به

شود كه داشته باشيم: تعريف مي

)1.30( * *c c c cα β α βα β α β↔+ +

گردد: ممكن مي †كنيم كه تبديل مابين برا و كت با باالنويس خنجر چنين قرارداد مي هم

)1.31( †α α=

فصل نخست 9

يك براكت كامل βمانند كت يك و αمانند برا يك : از ضرب داخلي ضرب داخلي )7

α β α β≡ فرض شود در آن برا همواره در سمت چپ نوشته مي آيد كه بدست مي .

هاي آيد. پس به عنوان فرض يك عدد مختلط بدست مي كنيم همواره از ضرب داخلي مي

د:زير برقرار باش ي پذيريم كه رابطه سازگار مي

)1.32( *, ;α β α β β α∀ ∈ ∈ =K B

αپس α پذيريم كه ضرب داخلي داراي ويژگي زير همواره حقيقي است (چرا؟). نيز مي

است:

)1.33( ; 0α α α∀ ∈ ≥K

برقرار است. توجه گردد كه اگر برا در سمت ∅ كه در آن عالمت تساوي تنها براي كت تهي

βراست مانند α نوشته شود، داللت بر ضرب خارجي دارد كه مفهومي كامال متفاوت

ها كامال ترتيب نوشتن براها و كت . پس اصوالبدان اشاره خواهد شد و ذيال خواهد بود

اي را در هر سمتي توان جاي عدد در ضرب نردهداراي اهميت است. در مقايسه ميدار و معني

از برا يا كت قرار داد.

) را يافت. به عنوان مثال 2هاي مورد اشاره در تعريف ( توان نگاشت به كمك ضرب داخلي مي

موج در مكان ي توان به نمايش تابع ويژه مي xو براي مكان αهاي از ضرب داخلي كت

( )x xα α= نويسيم رسيد. در اين صورت مي( )xα α بيانگر تناظر يك نماد و

به يك خواهد بود.

) داشته βو α( βو α: اگر براي دو كت (برا) دلخواه مانند ها و براهاي متعامد كت )8

0αباشيم β β α= نامند. آنگاه آن دو كت (برا) را متعامد مي =

αشود تعريف مي αيا α: نرم يك كت يا برا مانند نرم )9 α α بنابراين تنها نرم .

αيا αبه ازاي هر كت يا براي دلخواه حال كت يا براي تهي برابر صفر خواهد بود.

ارزي مانند: توان هم مي


)1.34.1(

1α α

α α=

)1.34.2( 1

α αα α

=

ناميم. مي بهنجارها را يافت به گونه اي كه نرم آنها برابر واحد باشد. در اين صورت آن

روي برا فقط از سمت راست اثر ها فقط از سمت چپ و بر بر روي كت هاگر عمل: هاگر عمل )10

نمايند: ها يا براهاي جديد تصوير مي كنند و آنها را به كت مي

)1.34.1( , ;α α∀ ∈ ∈ ∈A AK A K )1.34.2( , ;A AB A Bα α∀ ∈ ∈ ∈

در اينجا ;= ∀A AA ي مانند هاگر عملتمامي ي مجموعهA .در اين نوشتار، است

دهيم. هاي فضاي براكت را عموما با حروف بزرگ التين توخالي نمايش ميگر عمل

يكسانند، اگر داشته باشيم: Bو Aمانند گر عملدو

)1.35( ;α α α∀ ∈ =A BK

A∋مفروض گر عمل A بر براي دلخواهβ ∈B كند: به صورت عمل مي

)1.36( ( )††β β=A A

†كه در آن ∈A A گر عملدوگان هرميتي يا الحاقي A .نام دارد

αبرا مانند و كت گاهي ضرب داخلي يك ∈ K و β ∈B مانند گر عملنسبت به يك

∈A A داريم:طبق تعريف شود. در اين صورت برپا مي

)1.37( ( ) ( )††A A A A Aβ α β α β α β α β α⋅ = = ⋅ = ⋅ =

ي يكسان نتيجهشود، نمايش بدون پرانتز هم ممكن است و به طور كه ديده مي همان

در كت يا برا توجه نماييد. گر عملي فوق به تفاوت ضرب داخلي و ضرب در رابطه انجامد. مي

چنين ضرب ي سمت راست، نمايش پرانتزها و هم طبق قرارداد عموما همانند آخرين جمله

گونه ابهامي در عبارت آخر وجود ندارد. داخلي مستتر است، و بنابراين هيچ

فصل نخست 11

ناميم اگر و فقط اگر: را تهي مي Aگر عمل :تهي گر عمل )11

)1.38( ;α α∀ ∈ = ∅AK

هاي فضاي براكت گاهي در مكانيك گر عملدهيم؛ نمايش مي 0با تهي را معموال گر عمل

شوند. نيز مشخص مي باالنويس نمادكوانتومي با

ناميم اگر و فقط اگر: را هماني مي Aگر عمل: هماني گر عمل )12

)1.39( ;α α α∀ ∈ =AK

هماني را گر عمل ارز آن. شود و نه به هم به خودش تصوير مي دقيقا αتوجه كنيد كه

دهيم. مينمايش 1با معموال

αو α، يا αAو α: در حالت كلي هاي ويژه، براهاي ويژه، و مقادير ويژه كت )13 A

cαارز نيستند، يعني هم α≠A وcα α≠A ي مانند گر عمل. اما براي هرA يك

na,هاي خاصي مانند دسته كت n ∈N توان نوشت: وجود دارد كه مي

)1.40( ; n n nn a a a∀ =A

ناميم. توجه شود مي Aگر عمل ي مقادير ويژهرا naويژه و هاي را كت naدر اين شرايط

آيد كه به ازاي دو يا گاه پيش مي است. ضمنا گر عملهاي ويژه نمايانگر بعد كه تعداد كت

را نسبت به آن مقدار A گر عملچند كت ويژه تنها يك مقدار ويژه داريم. در اين صورت

اي كه هاي ويژه تبهگني هم عبارت خواهد بود از تعداد كت ي ناميم و درجه ويژه تبهگن مي

ي يكسان هستند. طبق تعريف، براهاي ويژه در رابطه ي داراي مقدار ويژه

)1.41( † *; n n nn a a a∀ =A

. بديهي است كه روابط دوگانگي زير است Aدوگان هرميتي A†كنند كه در آن صدق مي

برقرارند:

)1.42( †↔A A

)1.43( n na a↔


Aدلخواه مانند گر عمليك naو براهاي پايه αاز ضرب داخلي يك كت دلخواه

اي كه دست يافت، به گونه αتوان به يك نمايش برداري يا ماتريس ستوني براي مي

m maα α α=. دلخواه مانند گر عملبه همين ترتيب يكB ها و با كمك كت

داراي تناظري يك به يك با يك ماتريس مربع مانند Aدلخواه گر عمل ي براهاي ويژه

[ ]mnb=B هاي با درايهm n mna a b=B B ماتريسي است، كه آنرا نمايش B در

ناميم. مي A فضاي

A=†: اگر هرميتي گر عمل )14 A آنگاهA در مواردي كه ناميم. مييا خودالحاق را هرميتي

توان بيان كرد: مي تر هرا ساد A نسبت بهضرب داخلي خودالحاق است A گر عمل

)1.44( ( ) ( )†A A Aβ α β α β α= =

1: اگر يكاني گر عمل )15 †− =A A آنگاهA ناميم. را يكاني مي

خطي است اگر و فقط اگر: A مانند گر عمل: يك خطي گر عمل )16

)1.45( ( ), ; c c c cα β α βα β α β α β∀ ∈ =A A A+ +K

آيد كه خود يك ها ضرب آنها بدست ميگر عمل: از پشت سر هم نوشتن هاگر عملضرب )17

جديد خواهد بود: گر عمل

)1.46( , ; ,∀ ∈ ∈A B AB BAA A

AB≠ها جابجاپذير نيست گر عملضرب در حالت كلي BA همواره داراي طبق تعريف ، ولي

پذيري است: خاصيت اشتراك

)1.47( ( ) ( )= =A BC AB C ABC

شود: ها هنگام اثر كردن آنها بر يك برا يا كت مشخص ميگر عملدر عمل مفهوم ضرب

)1.48( ( ) ( )α α α= =AB A B AB

)1.49( ( ) ( )α α α= =AB A B AB

فصل نخست 13

ها صرف نظر گر عملتوان از نوشتن پرانتزها در ضرب كلي مي ي به عنوان يك قاعدهپس

نمود.

A=†هرميتي مانند گر عملهاي ويژه يك پذيريم كه كت مي :متعامد كامل ي مجموعه )18 A

را αسازند، بدين مفهوم كه هر كت دلخواهي مانند را مي متعامد كامل ي ك مجموعهي

نمايش داد A گر عمل na ي هاي ويژه توان به صورت يك تركيب خطي از كت مي

n nn

aα α= n، كه در آن ∑ naα α= .است

عدد و اي ، ضرب نردهكت را به همراه اعمال جمع Kهاي فضاي كت :تعريف فضاي هيلبرت )19

ناميم. يك فضاي هيلبرت ميها كت و دوگان كت، و ضرب داخلي كت

): 1 قضيه )† † †=AB B A.

مراجعه شود. 8اثبات: به تمرين

غير تبهگن na هاي ويژه حقيقي بوده و كت Aمانند هرميتي گر عمليك na: مقادير ويژه 2قضيه

آن متعامدند.

)اثبات: چون ) ( ), ; m n m n m nm n a a a a a a∀ = =A A A :برقرار است پس

)1.50( *n m n m m na a a a a a=

m تبهگن نباشند لزوما maو naحال اگر nm n a a≠ ⇒ mو ≠ nm n a a= ⇒ = .

mحالت حال اگر n= را براي كت غير تهيna شود در نظر بگيريم بالفاصله نتيجه مي*

m ma a= اگر .na تهي باشد باز هم خواهيم داشت* 0m ma a= پس مقادير ويژه .=

mبعد اگر حالت ي حقيقي هستند. در مرحله لزوما n≠ با توجه به را در نظر بگيريم

توان نوشت: حقيقي بودن مقادير ويژه مي

)1.51( n m n m m na a a a a a=

0mدر اين وضعيت تنها راه برقراري تساوي آنست كه na a يا آنكه دو كت ويژه متعامد =

باشند. اين پايان اثبات قضيه است.


.هاي ويژه مشترك خواهند بود جابجاپذير باشند آنگاه داراي كت گر عمل: اگر دو 3قضيه

مراجعه شود. 14اثبات: به تمرين

مراجع:[1] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Rev. Ed., Addison-Wesley, Reading,

1994, Chap. 1.

تمرين:

) را تحقيق كنيد.1.9) و (1.8درستي ( - 1

:ي ماتريس زير را بيابيد مقادير و بردارهاي ويژه - 2

[ ]

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

N N mn N N

N N

a

α β β

β α β

β α β

β β

β α β

β β α

× ×

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

شود: زير مشخص مي ي هاي آن با رابطه كه درايه

,

, 1, 1

0, otherwise

mn

m n

a m n N

α

β

⎧⎪ ∈ =⎪⎪⎪⎪= ∈ − = −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

R

R

) را اگر1.14مقدار ( ي ويژه معادله - 3

2

22 ,j

x xλ λ +∂ ∂

= − + ∈∂ ∂

L R

. آيا مقادير ويژه گسسته هستند و يا باشد حل كنيد؛ مقادير ويژه و توابع ويژه را بسازيد

تبهگن هستند؟روابط تعامد را بنويسيد. آيا پيوسته؟ آيا توابع پايه متعامدند؟

فصل نخست 15

n) با 1.21) را براي (1.44درستي ( - 4 nn na x= ∂ ∂A كه در آنna ،ضريبي است ثابت

را طوري انتخاب naتوان ضرايب الحاق است؟ آيا ميخود nA گر عملآيا .تحقيق نماييد

خودالحاق باشد؟ nAكرد كه

يگر عملتركيب خطي - 5

( )

1n n

n

c x∞

=

= ∑A A

)خودالحاق باشد، توابع Aرا در نظر بگيريد. براي آنكه )nc x چه شرايطي بايد داشته

باشند؟

ويژگي تابع دلتاي ديراك را تحقيق كنيدابتدا اين - 6

( ) ( )( )

( )0 00

1f x f x x x

f xδ δ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ′

) را نشان دهيد.1.24و سپس درستي (

βضرب خارجي يك برا و يك كت دلخواه مانند نشان دهيد - 7 α گر عملهمواره يك

است.

را نشان دهيد. 1درستي قضيه - 8

تواند مجاز باشد؟ برا، يا دو يا چند كت پشت سر هم ميآيا در حالت كلي نوشتن دو يا چند - 9

در صورت پاسخ مثبت براي آن مفهومي ارايه نماييد.

شان دهيد كه هماني ن گر عمل، و تعريف nαتعريف ، α) با كمك بسط 18در تعريف ( -10

به شكل هماني گر عملتوان يك هرميتي همواره مي گر عملت ها و براهاي ويژه يك ك

1 n nn

a a= .ساخت ∑

ها) و بردارهاي گر عملهاي مربع (به جاي با كمك مثال نقض براي ماتريس 2 ي در قضيه -11

متعامد هاي ويژه) نشان دهيد اگر بردارهاي ويژه تبهگن باشند لزوما ويژه (به جاي كت

مانند. مواردي را هم يافت كه با وجود تبهگني متعامد باقي مي توان نيستند، ولي مي


توان نوشت باشند مي بهنجارهاي ويژه همگي نشان دهيد كه اگر كت 2 ي در قضيه -12

m n mna a δ= كه در آن ،mnδ دلتاي كرونكر است.

گر عملنشان دهيد Bو Aهرميتي مانند گر عملدو هاي ويژه براي كت -13

n nn

b a= ∑U هاي ويژه يكاني است. نشان دهيد نگاشتي كه كتA وB را به هم

mكند همان وصل مي ma b=U و†m mb a=U .است

هاي يكاني نشان دهيد.گر عملهاي و ويژگي 13را با كمك تمرين 3 ي قضيهدرستي -14

هرميتي مانند گر عملرا در فضاي يك B گر عمليك mnbهاي نمايش ماتريسي اگر درايه -15

A نگاشتي را نشان دهيد كه به كمك آن بتوان داشته باشيمB را ازmnb .بدست آورد

فصل دوم 17

دوم فصل

مباني مكانيك كوانتومي

معادالت تحول. 2.1

ي همواره معادله ، اعم از غير نسبيتي يا نسبيتي،مكانيك كوانتوميهاي رايج بندي فرمولدر

شود: زير ظاهر مي يشكل كلموسوم به لييديفرانس

)2.1( ( ) ( )ψ ζ ψ ζζ∂

=∂

G

كه مستقل است يمتغير ζدر نهايت تابع يا بردار موج، و ψ يا ماتريس، گر عمل يك G كه در آن

با اندكي ناميم. ي تحول مي ) را در اين نوشتار معادله2.1ي ( معادله است.ساير پارامترها بدان وابسته

نويسيم: به فرم زير ميسمت راست براي هرميتي بودن مشتق) را 2.1تغيير (

)2.2( ( ) ( )s j ss

ψ ψ∂

=∂

G

كنيم. ) را وارد ميJs ثانيه با واحد ژول( زمان از جنس انرژي =h12πيافته ثابت پالنك كاهشو نيز

Jsبايست برابر مي sاشاره نمايد، جنس متغير مستقل Gس به كميتي از جن Gبنابراين اگر G

) گر عملهمچنين در حالت كلي، باشد. )s=G G تواند تابعي از متغير مستقل ميs نيز باشد:

)2.3( ( ) ( ) ( )s s j ss

ψ ψ∂

=∂

G

مباني مكانيك كوانتومي 18

ر ) اين است كه حد صفر آن، فيزيك كالسيك را بازسازي خواهد نمود. د2.2در ( علت ظاهر شدن

)، تابع موج )2.2( ي تحول معادله )sψ ψ= ابستگي به متغير مستقل خودبخود وs كند. پيدا مي

توان نوشت، پارامتري است كه تمام كميات سيستم فيزيكي را به عنوان تابعي از آن مي مستقلمتغير

توان پذيرفت كه پويايي ديناميك يك سيستم و خود وابستگي به كميت ديگري ندارد. از اين نظر، مي

رسيم: م مكانيك كوانتومي ميي سو از اين ديدگاه، به اصل موضوعهآن رابطه دارد. مستقلبا متغير

كنند. ) صدق مي2.3ي تحول ( واره در صورتي از معادله ها هم توابع موج سيستمپ)

ي برخورد مكانيك كوانتومي با زمان زمان است، و در واقع نحوه مستقلترين مثال براي متغير ساده

ديگر سيستم ا يك بعددارد. در فيزيك كالسيك زمان تنهاساسي نسبت به فيزيك كالسيك مغايرت

هاي كالسيك را به يكي از ابعاد توان سيستم است، و از اين رو مي ]1دار [ ، ولي جهتهمانند مكان

مستقلزمان به عنوان يك متغير نقش فضايي به جاي زمان وابسته نمود. اما در مكانيك كوانتومي

راي بيان ي بگر عملانيك كوانتومي مك رايج هاي بندي يك از فرمول در هيچبسيار حائز اهميت است و

است. اين در حالي است كه ساير كميات قابل اي نردهيك پارامتر تنهاكميت زمان وجود ندارد؛ زمان

در تقريب غير گردند. ميو محاسبه هاي مناسب تعريف گر عملبه كمك مشاهده از جمله ابعاد مكاني

به انرژي سيستم G گر عملفرض كنيم، به ناچار tرا همان زمان sنسبيتي، وقتي متغير مستقل

در اين و ،شود استفاده مي Hاز نماد هاميلتوني Gداللت خواهد كرد. در اين شرايط به جاي نماد

رسيم: ي مشهور شرودينگر مي ايط به معادلهشر

)2.4( ( ) ( )t j tt

ψ ψ∂

=∂

H

s بردار تكانهاين در حالي است كه چنانچه متغير مستقل را = p ،فرض نماييمG داراي جنس

ˆكه كنيم فرض مي مكان و برداري خواهد بود. در اين حالت پيش ˆ ˆ= = x y z+ +G r x y z همان

1 نيز ، ودكارتيي دستگاه بردارهاي يكه z، و x ،y، كه در آن بردار مكان باشد گر عمل x= =x r r ،

2 y= =y r r 3، و z= =z r r در نتيجه داريم: .باشند اي مختصات مربوطه مي گرهاي نرده عمل

)2.5( ( ) ( )jψ ψ∂

= +∂

p pp

r

فصل دوم 19

:شود نتيجه مي )2.5( بالفاصله ازاند. هاي برداري واقع شده تساوي كميتدر طرفين داريم كهتوجه

)2.6( ( ) ( )jχ χ∂

= −∂

r rr

p

ˆكه در آن ˆ ˆx y zx y z= + +p p p p 1، كه در آن حركت خطي است اندازه گر عملx =p p ،2y =p p ،

3zو =p p ي هر لدر حالت كبديهي است كه . حركت هستند هاي اندازه اي مولفه گرهاي نرده عمل

نسبت به مكان و اندازه ايند، توابع موج يكسان هاي يكساني اشاره نم ) به سيستم2.6) و (2.5چند (

)ندارند، يعني حركت ) ( )χ ψ≠r p . ،اصطالحا( )χ r و مكان را نمايش( )ψ p را نمايش

علت ظاهر شود. هاي معدودي اين تساوي محقق مي تنها براي سيستمناميم. سيستم ميحركت اندازه

روشن خواهد شد. به زودي ) هم 2.6شدن عالمت منفي در (

:كنيم بعدي را تعريف مي ي سه تبديل فوريهبا فرض وجود انتگرال، حال

)2.7( ( ) ( ) ( )

( )( )3

2

31exp

2

jd pψ ψ

π⎛ ⎞⎟⎜Ψ = = + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫r p r p r pF

)آن براي وجود شرط الزمكه ) 0ψ → ∞ →p داراي تبديل وارون زير است، و

)2.8( ( ) ( ) ( )( )

( )32

1 31exp

2

jd rψ

π− ⎛ ⎞⎟⎜= Ψ = Ψ − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫p r p r p rF

داريم: rو انتقال به فضاي p) در فضاي 2.5با گرفتن تبديل فوريه از (

)2.9( ( ) ( )

( )( )3

2

3exp2

j jd pψ ψ

π

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞⎟⎢ ⎥ ⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫∫∫p r p r p

pF r

گيري جزء به جزء خواهيم داشت: با انتگرال

)2.10(

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

32

32

32

3

3

exp2

exp2

exp2

p

p

j j

j jd p

jd p

ψ ψπ

ψπ

ψπ

ψ

=+∞

=−∞

⎛ ⎞⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞⎟⎢ ⎥⎜− + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∫∫∫

∫∫∫

p r p r p

p r pp

rp r p

r p r

F r

F

:)13(تمرين هاي يكساني را توصيف كنند بايد داشته باشيم ) سيستم2.6) و (2.5اگر (پس


)2.11( ( ) ( ) ( ) ( )ψ χΨ = =r p r rF

به همين ترتيب با گردند. ) با تبديل فوريه به هم متصل مي2.6) و (2.5معادالت (شود كه مشخص مي

آيد: ) بدست مي2.6فوريه از (عكس گرفتن تبديل

)2.12(

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

32

32

32

1

3

3

1

exp2

exp2

exp2

r

r

j j

j jd p

jd p

χ χπ

χπ

χπ

χ

=+∞−

=−∞

−

− ⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞⎟⎜+ − ⋅⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∫∫∫

∫∫∫

r p r p r

r p rr

pr p r

p r p

F p

F

خواهيم داشت: )2.6) و (2.5هاي مورد وصف ( با فرض يكسان بودن سيستم پس

)2.13( ( ) ( ) ( ) ( )1 χ ψ−Χ = =p r p pF

].3و2ماهيت فيزيكي و رياضي توابع موج به درستي فهميده نشده و هنوز محل مناقشه است [

. جابجاگر پواسون2.2

آيد كه امكان جابجا كردن م هنگامي بدست ميترين اصول زيربنايي مكانيك كوانتو يكي از مهم

حركت را در عمليات جبري مورد بررسي قراردهيم. در حالت كلي دو هاي مكان و اندازهگر عمل

برده به عبارت نام گر عملطور كه خواهيم ديد در مورد دو شوند، و همان با هم جابجا نمي گر عمل

ي ريسمان اثباتي براي اخيرا با كمك نظريه انجامد. ياي موسوم به جابجاگر يا براكت پواسون م ساده

تر هاي پيچيده تري بدون نياز به چارچوب ]، ولي ما اثبات ساده4براكت پواسون ارايه شده است [

كنيم: را تعريف مي Bو Aمانند گر عملبراي تبيين مطلب، ابتدا جابجاگر دو كنيم. معرفي مي

)2.14( [ ], = −A B AB BA

اهميت است. ها صفر است، بي ، هنگامي كه جابجاگر آنBو A گر عملبديهي است ترتيب اثر دو

ها باشند، آنگاه جابجاگر آن pحركت ازهو اند rگر به ترتيب معرف مكان اگر اين دو عمل

[ ], = −r p rp pr .براكت يا جابجاگر پواسون نام دارد

حركت جابجا پذير باشند: گرهاي برداري مكان و اندازه اي عمل هاي نرده كنيم كه مولفه پيش فرض مي

فصل دوم 21

)2.15.1( , 0i j⎡ ⎤ =⎣ ⎦r r

)2.15.2( , 0i j⎡ ⎤ =⎣ ⎦p p

]براي ارزيابي مقدار جابجاگر پواسون حال ], = −r p rp pr آن را روي تابع دلخواهي از متغير مكان ،

r مانند( )f r دهيم: اثر مي

)2.16( [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), f f f f= − = −r r r rr p rp pr rp pr

) خواهيم داشت:2.6) و (2.5(معادالت با استفاده از

)2.17(

[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

, f j f j f

f fj j If j

f fj j If j

j If

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜= − − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂∂ ∂

= − + +∂ ∂

∂ ∂= − + +

∂ ∂=

r r r rr r

r rr r

r rr r

r r rr r

r

r p r

r

Iكه در آن = ∂ ∂ = ∇r r r 2.17سازي ( چنين در ساده هم .)5(تمرين باشد ماتريس واحد مي (

iثل خود يك ماتريس م خودبه rsدر اثر توالي دو بردار مانند كنيم كه توجه مي jrs⎡ ⎤⎣ آيد، به وجود مي ⎦

حركت داراي ويژگي مهم زير هستند: گرهاي مكان و اندازه عملو نيز

)2.18.1( ( ) ( )g g=r r rr

)2.18.2( ( ) ( )h h=p p pp

)دهند كه هر تابع دلخواه از مكان مانند ) نشان مي2.18در واقع، معادالت ( )g rاي از ، تابع ويژه

حركت هر تابع دلخواه از اندازه است. به همين ترتيب، rي بردار مكان با مقدارويژه rگر مكان عمل

)مانند )h pحركت گر اندازه اي از عمل ، تابع ويژهp حركت ي بردار اندازه با مقدارويژهp .بديهي است

)است كه چون تابع )f r آيد: كامال اختياري است براي جابجاگر پواسون بدست مي

)2.19( [ ], 1j=r p

))، تابع اختياري 2.17حال اگر در ( )f p حركت وابسته باشد، خواهيم داشت: تنها به اندازه


)2.20(

[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

, f j f j f

f fj j If j

f fj j If j

j If

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜= + − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂= + + −

∂ ∂∂ ∂

= + + −∂ ∂

=

p p p pp p

p pp p

p pp p

p p pp p

p

r p p

p

نويسند: اي زير مي ) را به شكل نرده2.19ي ( غالبا رابطه دهد. ) را بدست مي2.19ي ( كه مجددا نتيجه

)2.21( [ ],k l klj δ=r p

هنگامي كه تابع اختياري به فرم تر در حالت كليدلتاي كرونكر است. klδكه در آن

( ) ( ) ( ),f R P=r p r p ،داريم:به شكل نمادين و 6، تمرين )2.18با كمك روابط (باشد

)2.22(

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ]

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( )( ) ( )

, , 1

, 1

, 1

1

R P R P

R P

R P

j R P

j R P

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦=

r p r p

r p

r p r p

r p S r p

S r p r p

S r p

]. 5گرهاي درون آن است [ داخل آن نسبت به جابجايي عملسازي عبارت گر متقارن عمل Sدر اينجا

)گر به آن دليل است كه در بسط تابع استفاده از اين عمل ),f r p توان جمالت انتهايي را به هر مي

گرها برقرار نيست. به عنوان مثال كه اين جابجايي در ضرب عمل ترتيب دلخواه نوشت، در حالي

x xxp p x=دانيم كه كه از براكت پواسون مي ، در صورتيx x≠XP P X:پس .

)2.23( ( ) 1 1,

2 2x x x x= + =XP XP P X X PS

) 2.23در ( , = +A B AB BA گر نماد عمل پادجابجاگر دو عملA وB در اين مرحله باشد. مي

)، جابجاگر پواسون هنگامي كه بر تابع كامال دلخواهي مانند 8بالفاصله با كمك تمرين ),f r p اثر

و rگر مكان عدم امكان جابجا كردن دو عمل ) ختم خواهد گرديد.2.21ي ( كند به نتيجه مي

ي قضيهگردد كه به زيربنايي مكانيك كوانتومي مي مفاهيم، منجر به ظهور يكي از pحركت اندازه

راجع به آن صحبت خواهيم كرد. ي مطلب ادامهدر ما عدم قطعيت مشهور است و

فصل دوم 23

. روابط دوگان در فضاي براكت2.3

اكم است:ي مشابهي ح ، رابطه]6[ به طريق مشابه در فضاي هيلبرت مبتني بر جبر براكت

)2.24( [ ] j I jˆ, 1= =R P

I كه در آن حركت هستند: مكان و اندازهبرداري گرهاي عمل Pو Rنيز معموال مستتر است، و 1

)2.25.1( =r r rR

)2.25.2( =p p pP

و در فضاي براكت با حروف توخالي Aنويس توپر مانند گرها در فضاي توابع با حروف دست عمل

:ندتعامدم pحركت و اندازه rهاي مكان در روابط فوق كتشوند. نيز نشان داده مي Aمانند

)2.26.1( ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z zδ δ δ δ′ ′ ′ ′ ′= − = − − −r r r r

)2.26.2( ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z zp p p p p pδ δ δ δ′ ′ ′ ′ ′= − = − − −p p p p

شوند: ) به صورت زير بازنويسي مي2.6) و (2.5روابط تحول (

)2.27.1( j∂

= −∂

p pp

R

)2.27.2( j∂

= +∂

r rr

P

و ) 2.27حال با اعمال عمل خنجر به طرفين () توجه نماييد. 2.27( به تغيير عالمات در سمت راست

χو ψضرب طرفين در كت حالت

آيد: بدست مي

)2.28.1( R jψ ψ ψ∂

= + =∂

p p pp

r

)2.28.2( jχ χ χ∂

= − =∂

r r rr

P p

)شود كه ) نتيجه مي2.6) و (2.5) با (2.28ي ( ضمن مقايسه )ψ ψ=p p و( )χ χ=r r.

pي ضرب داخلي محاسبهدر خور تامل، ي آخرين نكته r بطور 2.28.1ي ( است كه از رابطه (

آيد: جايگزين نماييم. بدست مي rرا با كت ψاست كت مستقيم قابل حصول است. كافي


)2.29( j∂

= = +∂

p r r p r p rp

R

ي ديفرانسيل برداري خطي و ) يك معادله2.29ايم. اما ( ) سود جسته2.27.2ي ( كه در آن از رابطه

pي اول براي عبارت درجه r :است كه داراي حل زير است

)2.30( expj

c⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠pp r p r

):9) قابل محاسبه است (تمرين 2.26يك ثابت بوده كه از معادالت تعامد ( cp)، 2.30در (

)2.31( ( )

32

1exp

2

j

π⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

p r p r

كنيم: گر واحد استفاده مي براي اين منظور از بسط عمل

)2.32( 3 31 d r d p= =∫∫∫ ∫∫∫r r p p

اهيم داشت:و خو

)2.33( ( )

( ) ( )

d p

jd p

3

33

1

1exp

2δ

π

′ ′ ′= =

⎡ ⎤′ ′= ⋅ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫∫

r r r r r p p r

p r r r r

. ساير روابط و اتحادها2.4

توان صحت اتحاد مهمي را ثابت كرد. داريم: ) مي2.19) و براكت پواسون (2.25با استفاده از روابط (

)2.34( [ ] ( )j j, δ′ ′ ′= = −r r r r r rR P

توان نوشت: اما از طرفي ديگر مي

)2.35( [ ]

( )

, ′ ′ ′ ′= − = −

′ ′ ′ ′ ′= − = −

r r r r r r r r

r r r r r r r r r r

R P RP PR RP PR

P P P

آيد: بدست ميي تانسوري زير رابطه) 2.35) و (2.34ي ( از مقايسه

)2.36( ( ) ( )j Iδ′ ′ ′− = −r r r r r rP

اي زير قابل نمايش است: كه به فرم نرده

)2.37( ( )i ii k l ik il

i i

r rr r j

r r

δδ δ

′−′ =

′−P

فصل دوم 25

توان بازنويسي نمود: ي تفكيك شده مي ) را در قالب سه معادله2.37معادالت (

)2.38.1( ( )x x xx x j x x1 δ′−′ ′= −P

)2.38.2( ( )y y yy y j y y1 δ′−′ ′= −P

)2.38.3( ( )z z zz z j z z1 δ′−′ ′= −P

توان دريافت كه: ) مي10به طريق مشابه (تمرين

)2.39( ( ) ( )j Iδ′ ′ ′− = − −p p p p p pR

و بنابراين:

)2.40( ( )i ii k l ik il

i i

p pp p j

p p

δδ δ

′−′ = −

′−R

) عبارتند از:2.38و دوگان روابط (

)2.41.1( ( )x xx x x xp pp p j p p1 δ′−

′ ′= − −X

)2.41.2( ( )y yy y y yp pp p j p p1 δ′−

′ ′= − −Y

)2.41.3( ( )z zz z z zp pp p j p p1 δ′−

′ ′= − −Z

:رسيم و اندازه حركت مي اي براي مكان ي نرده ) به سه رابطه2.25چنين با باز كردن روابط برداري ( هم

)2.42.1( x x x=X

)2.42.2( y y y=Y

)2.42.3( z z z=Z

)2.43.1( x x x xp p p=P

)2.43.2( y y y yp p p=P

)2.43.3( z z z zp p p=P

گرهاي عمل zP، و xP ،yPهاي مكان در فضاي براكت و گرهاي مولفه عمل Z، و X ،Yها كه در آن

باشد. حركت در فضاي براكت مي هاي اندازه مولفه


مراجع:[1] J. Barbour, T. Koslowski, and F. Mercati, “Identification of a Gravitational Arrow

of Time,” Physical Review Letters, vol. 113, 181101 (2014).

[2] M. J. Hall, D.-A. Deckert, H. M. Wiseman, “Quantum Phenomena Modeled by

Interactions between Many Classical Worlds,” Physical Review X, vol. 4, 041013

(2014).

[3] W. Wei, Z. Xie, L. N. Cooper, G. M. Seidel, H. J. Maris, “Study of Exotic Ions in

Superfluid Helium and the Possible Fission of the Electron Wave Function,”

Journal of Low Temperature Physics, doi:10.1007/s10909-014-1224-3 (2014).

[4] I. Bars, D. Rychkov, “Is string interaction the origin of quantum mechanics?,”

Physics Letters B, doi:10.1016/j.physletb.2014.10.053 (2014).

[5] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison-Wesley,

Reading, 1994, Chapter 1. [6] W. Schleich, Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH, Berlin, 2001.

تمرين:

) را تحقيق كنيد.2.8) و (2.7( بعدي ي سه زوج تبديل فوريه درستي - 1

ψ والي پارس قضيه - 2 ψΨ ⋅ Ψ = .را ثابت نماييد) 2.8) و (2.7( فوريه تبراي تبديال ⋅

)ي تابع تبديل فوريه - 3 ) 2

0expcψ α⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦p p p 0را بيابيد، كه در آنp يك برداري

αثابت است و نيز +∈R 1. براي آنكهψ ψ⋅ 0ا بيابيد. اگر ر cباشد، = =p α، ثابت 0

)را طوري انتخاب كنيد كه ) ( ) ( ) ( )ψ ψΨ = =r p r rF .باشد

يكسان باشند، يعني دقيقا حركت يك سيستم توابعي هاي مكان و اندازه كه نمايش براي آن - 4

( ) ( )χ ψ=s s؟ ، چه شرطي الزم است

Iنشان دهيد - 5 = ∂ ∂ = ∇r r r توجه كنيد كه .ˆ ˆ ˆxx yy zz= + +r و

ˆ ˆ ˆx y zx y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇ = + xها ، كه در آن+ x= ∇ ،y y= z، و ∇ z= بردارهاي ∇

هستند. دكارتيي دستگاه مختصات يكه

فصل دوم 27

) ) نتيجه بگيريد2.18ابط (از رو - 6 ) ( ) ( ) ( )f g f g=r r rr و( ) ( ) ( ) ( )f h f h=p p pp ، كه

)در آن )f يك تابع اختياري و تعريف شده به كمك بسط تيلور آن است: ⋅

( ) ( )( )

0 0 0

, ,! ! !

n m l n m l

n m ln m l

x y z ff f x y z

n m l x y z

+ +∞ ∞ ∞

= = = =

∂= =

∂ ∂ ∂∑∑∑r 0

rr

)گر در نتيجه عمل )f r شود: تعريف مي

( ) ( )( )

0 0 0

1, ,

! ! !

n m ln m l

n m ln m l

ff f

n m l x y z

+ +∞ ∞ ∞

= = = =

∂= =

∂ ∂ ∂∑∑∑r 0

rr x y z x y z

)) براي تابع دلخواه 2.20و () 2.17(بط وار چرا ادغام - 7 ),f r p به شكل:

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2 22 2

, , , ,

, ,

, ,

, ,0

f j f j f

f fj j

f fj j j j

f f

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎟⎜= − − + ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂= − −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎟⎜ ⎟⎜= − + − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂ ∂

r p r p r pr p

r p r pr p

r p r pp r r p

r p r pp r r p

r p r p

r p

] دهد كه نتيجه مي ], 0=r p ،مثال نقض زا درست نيست؟( ),f = ⋅r p r r كنيد. تفاده سا

:و نشان دهيد بسط تيلور يك تابع چند متغيره را در نظر بگيريد - 8

( )( )

0 0

,,

! !

n mn m

n mn m

ff

n m

+∞ ∞

== ==

∂= ⋅

∂ ∂∑∑r 0p 0

r pr pr p

r p

تانسور nr ازشود و منظور ضرب داخلي انجام مي nام بسط، nي در جمله اريمدتوجه

rr r با ضرب خارجيn بردار مكانr .گر ، عملنيز استn n n∇ = ∂ ∂r منجر به

است: در حقيقت فرم باال نمايشي نمادين از عبارت كامل زير شود. مي nي تانسوري از رتبه

( ) ( )( )

, , , , , 0

, , , ; , ,

,1! ! ! ! ! !

x y z

n m l i j kn m l i j k

x y zn m l i j kn m l i j k x y z

f f x y z p p p

fx y z p p p

n m l i j k x y z p p p

+ + + + +∞

===

=

∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑r 0p 0

r p

r p

) هاي با كمك تعريف در نتيجه )n m l n m lg x y z, , =r و( )i j k i j kx y zh p p p, , =p

خواهيم

داشت:


[ ] ( )

( ) [ ] ( ) ( ), , , ,

, , , , , 0

, ,

,1,

! ! ! ! ! !


n m l i j kn m l i j k x y z

f

fg h


+ + + + +∞

===

=

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑

r 0p 0

r p

r pr p

r p

r p

جابجاگر پواسون را بيابيد. )2.22(حال با كمك

) را تحقيق نماييد.2.31) صحت (2.26.2با استفاده از ( - 9

) را همانند روابط دوگان آن تحقيق كنيد.2.40) الي (2.39ت روابط (صح -10

1ي تماميت رابطه -11 dx x x= ) و بسط تيلور 2.38.1با كمك ( را در نظر بگيريد. ∫

)نمايش مكاني تابع موج به فرم )x xψ ψ= 0حولx xx، ضرب داخلي = ψp را

) برقرار است.2.28.2ي ( بسط دهيد. جمالت غير صفر را بيابيد و از آنجا نشان دهيد رابطه

)جابجاگر -12 ) ( ),t t⎡ ⎤′⎣ ⎦A A بارا ( ) ( ) ( )cos sint a t b tω ω= +A R P كه در است بيابيد ،

)مقادير ثابت هستند. تحت چه شرايطي bو ω ،a آن ) ( ),t t j⎡ ⎤′ =⎣ ⎦A A برقرار است؟

) به يك سيستم اشاره كنند، الزم 2.6) و (2.5) ذكر شده است كه براي آن كه (2.11در ( -13

)است ) ( ) ( ) ( )ψ χΨ = =r p r rF ي قبلي آن چه از اصول موضوعهاز برقرار باشد. اما

شود و بنابراين تنها تساوي احتماالت الزم ميآيد، ي بر توزيع چگالي احتمال بدست ميمبتن

)مقتضي است كه ) ( )χΨ =r r . تغييرات فاز يكساني دهيم اين شرط براي مينشان حال

)اين دو تابع كافي است، و در نتيجه ) ( )χΨ −r r .اگر مقداري است ثابت( )Ψ r و

( )χ r گاه مختلط و تحليلي باشند. آن( ) ( ) ( )[ ]j nln 2πΨ = Ψ + Ψ +r r r باn ∈ Z

)و ) ( ) ( )[ ]j mln 2χ χ χ π= + +r r r باm ∈ Z روابط در، و بايد نيز تحليلي هستند

( )( )f u

f z duu z

1 ReIm P.V.π

+∞

−∞

= −)و ∫− )

( )f uf z du

u z1 Im

Re P.V.π

+∞

−∞

= +موسوم ∫−

بايد داشته باشيم حال نشان دهيد .كرونيگ صدق كنند-به روابط كرامرز

( ) ( ) q2χ πΨ − =r r كه هر انتخابي براي ،q ∈ Z در تساوي توابع موج

( ) ( )χΨ =r r اثر خواهد بود. بي

فصل سوم 29

سوم فصل

ي شرودينگر عادلهم

ي تحول را با فرض انتخاب زمان به عنوان متغير مستقل در توان معادله در فصل قبل گفتيم كه مي

نام دارد. Hگر تحول از جنس انرژي خواهد بود و هاميلتوني نظر گرفت، كه تحت اين شرايط عمل

ر ديناميك سيستم به شكل زير قابل بازنويسي است:ي حاكم ب بنابراين معادله

)3.1( ( ) ( ), ,t j tt

ψ ψ∂

=∂

r rH

ي شرودينگر به صورت زير قابل بازنويسي است: ي فوق موسوم به معادله در فضاي دوگان براكت معادله

)3.2( ( ) ( )t j tt

ψ ψ∂

=∂

H

)در فضاي براكت، و گر هاميلتوني عمل Hكه در آن )tψ كت حالت سيستم و تابع زمان است. در

پردازيم. ي حل آن مي ) و نحوه3.1) با (3.2ي ارتباط ( اين فصل به مطالعه

ي شرودينگر در فضاي براكت معادله. 3.1

و Tانرژي جنبشي توان به دو بخش متناظر با گر انرژي را مي )، عمل3.2ي شرودينگر ( معادله در

تقسيم كرد: Uانرژي پتانسيل

)3.3( = +H T U

ي شرودينگرمعادله 30

شود انتظار از مكانيك كالسيك مشتق مي آننسبيتي كه مكانيك كوانتومي در فرم غير از آنجايي

برقرار باشد: P حركت اندازهبرداري گر ر حسب عملگر انرژي جنبشي ب ي زير براي عمل داريم رابطه

)3.4( 21 12 2m m

= ⋅ =T P P P

تواند تابعي از به طريق مشابه انرژي پتانسيل در حالت كلي مي جرم ذره است. mكه در آن

باشد:و بعضا متغير مستقل زمان Pو اندازه حركت Rگرهاي برداري مكان عمل

)3.5( ( ), ,U t=U R P

گر هاميلتوني به زمان نيز وابستگي دارد: و در اين وضعيت عمل

)3.6( ( )t=H H

گر مكان است: عمل انرژي پتانسيل تابعي تنها ازگر در حالت ساده معموال عمل

)3.7( ( ) ( ), ,U U= =U R X Y Z

ˆاي داريم گرهاي نرده كه در آن براي عمل ˆ ˆx y z= + +R X Y Z. گر هاميلتوني در اين وضعيت عمل

توان نوشت: به زمان وابستگي صريح ندارد و مي

)3.8( 0t∂

=∂

H

گر انرژي پتانسيل از جايگزيني عملمعموال (و نه همواره) يم كه كن ) توجه مي3.7) و (3.5در روابط (

)اي در تعريف بسط تيلور تابع گرهاي نرده عمل ),U r p گردد: حاصل مي

)3.9(( ) ( )

( )

0 0 0 0 0 0

, , , , ; , , ;

, ,1! ! ! ! ! !

x y z



U t U x y z p p p t

U tx y z p p p


+ + + + +∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

== = = = = ==

=

∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑∑∑∑∑∑r 0p 0

r p

r p

بنابراين:

)3.10(

( ) ( )

( ) 0 0 0 0 0 0

, , , , ; , , ;

, ,1! ! ! ! ! !

x y z



U t U t

U tn m l i j k x y z p p p

+ + + + +∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

== = = = = ==

= =

∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑∑∑∑∑∑r 0p 0

r p

U R P X Y Z P P P

X Y Z P P PS

فصل سوم 31

]. 1گرهاي درون آن است [ سازي عبارت داخل آن نسبت به جابجايي عمل گر متقارن عمل Sدر اينجا

حركت و حداكثر زمان، وابستگي و حداكثر زمان، يا اندازه در وضعيتي كه تابع پتانسيل تنها به مكان

سازي نيست و خواهيم داشت: گر متقارن داشته باشد نيازي به استفاده از اين عمل

)3.11.1(( ) ( )( )

0 0 0

,1, , , ;

! ! !

n m ln m l

n m ln m l

U tU t U t

n m l x y z

+ +∞ ∞ ∞

= = = =

∂= = =

∂ ∂ ∂∑∑∑r 0

rU R X Y Z X Y Z

)3.11.2(( ) ( ) ( )

0 0 0

,1, , , ;

! ! !

n m ln m l

x y z x y zn m ln m l x y z

U tU t U t

n m l p p p

+ +∞ ∞ ∞

= = = =

∂= = =

∂ ∂ ∂∑∑∑p 0

pU P P P P P P P

يابد: ) به شكل زير كاهش مي3.11.1بعدي مكانيك كوانتومي، ( در مسايل يك

)3.12( ( )( )

0 0

,1,

!

nn

nn x

U x tU t

n x

∞

= =

∂= =

∂∑U X X

)، يا مستقل از 3.12شوند از نوع ( بسياري از مسايلي كه در مكانيك كوانتومي كاربردي مطالعه مي

زمان:

)3.13( ( )( )

0 0

1!

nn

nn x

U xU

n x

∞

= =

∂= =

∂∑U X X

هستند.

) به فرم زير قابل 3.11.1ي شرودينگر در فضاي براكت در حالت ( هاميلتوني در معادلهاي نردهگر عمل

نگارش است:

)3.14( ( )21,

2U t

m= +H P R

) خواهد بود:3.2ي شرودينگر ( و معادله

)3.15( ( ) ( ) ( )21,

2U t t j t

m tχ χ

⎡ ⎤ ∂+ =⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦P R

) را در براي مكان 3.15ي شرودينگر در فضاي توابع الزم است كه طرفين ( بدست آوردن معادلهبراي

r :ضرب داخلي كنيم. خواهيم داشت

)3.16( ( ) ( ) ( )21,

2U t t j t

m tχ χ

⎡ ⎤ ∂+ =⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦r rP R

آيد: ) بدست مي2.25.1) و (2.27.2ي ( با باز كردن سمت چپ، و استفاده از معادله


)3.17(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

t U t tm

t U t tm

j t U t tm

j j t U t tm

U t tm

2

22

1,

21

,21

,21

,2

,2

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

χ

+

= ⋅ +

= − ∇ ⋅ +

= − ∇ ⋅ − ∇ +

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

r r

r r r

r r r

r r r

r r

P R

P P

P

دهد: ) نتيجه مي3.1) و (3.17ي ( مقايسه

)3.18.1( ( ) ( ),t tχ χ=r r

)3.18.2( ( )2

2 ,2

U tm

= − ∇ + rH

H)، در فضاي توابع و نمايش مكاني به فرم 3.14در فضاي براكت ( Hگر هاميلتوني پس عمل

آمد: كرديم بدست مي حركت ضرب مي ) را در براي اندازه3.15اگر طرفين (آيد. ) در مي3.18.2(

)3.19( ( ) ( ) ( )21,

2U t t j t

m tψ ψ

⎡ ⎤ ∂+ =⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦p pP R

) در نمايش 3.18) و پس از ساده كردن روابط دوگان (2.25.2) و (2.27.1مجددا با كمك روابط (

:)1(تمرين آيد حركت بدست مي اندازه

)3.20.1( ( ) ( ),t tψ ψ=p p

)3.20.2( 1,

2p U j tm

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= ⋅ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂⎝ ⎠p p

pH

گر هاميلتوني بديهي است عملحركت است. مبين نمايش اندازه pزيرنويس pH) براي 3.20.2در (

چنين با نمايش ) و هم3.18.2بع () در فضاي براكت، با نمايش مكاني آن در فضاي توا3.14(

) تفاوت اساسي دارد. ولي حل كامل يك سيستم كوانتومي از 3.20.2حركت آن در فضاي توابع ( اندازه

ي زير برقرار باشد: در حالتي كه رابطه حل هر يك از اين سه مسئله بطور مجزا امكان پذير است.

)3.21( ( )2

,2m

U tω

= ⋅r r r

اي است، داريم: ثابتي از جنس بسامد زاويه ωكه در آن

فصل سوم 33

)3.22.1( 2 2

2

2 2m

mω

= − ∇ + ⋅r r rH

)3.22.2( 2 2

2 12 2p

mm

ω= − ∇ + ⋅p p pH

) را نوشت:3.22.2توان ( مي

)3.23( 2 2

2

2 2p

mm

ω ⎡ ⎤Ω⎢ ⎥= − ∇ + ⋅⎢ ⎥Ω ⎣ ⎦

p p pH

21كه در آن m ωΩ ωنظر از ثابت . صرف= Ω ) 3.23كه به شكل ضريب وارد شده است، معادالت (

اي موسوم به ) برقرار باشد، مسئله3.21ارز هستند. هر گاه ( ) از نظر رياضي اساسا هم3.22.1و (

ي مكانيك كوانتومي و گر هماهنگ مطرح است كه داراي حل دقيق رياضي است و در حوزه نوسان

پردازد. ي اين مسئله مي بعدي اين نوشتار به مطالعه فصل شمار است. هميت بيكوانتش ميادين داراي ا

گيري كوانتومي اندازه. 3.2

]يعني شوند، جابجا نمي Bو Aمانند گر هنگامي كه دو عمل ], 0≠A B، گيري متناظر با اندازه

توان ي آن نمي در نتيجه گذارد. گر بعدي اثر مي گيري متناظر با عمل ي اندازه ها روي نتيجه آن يكي از

گيري نهايت زياد اندازه با دقت بيو زمان همدر تقريب غيرنسبيتي بطور ها را دو كميت متناظر با آن

كه aگيري كميتي مانند باشد. اندازه ψبراي توضيح اين مطلب فرض كنيد سيستم در حالت كرد.

زير منجر خواهد شد:داشتي چشمي است، به نتيجه Aگر كنيم متناظر با عمل فرض مي

)3.24( a ψ ψ= A

توجه داشته باشيد شود. ناميده مي ψنسبت به حالت Aگر داشتي عمل مقدار چشم aكه در آن

لذا .استگيري شده تنها در يك آزمايش با مقدار احتمالي اندازهفقط مرتبط داشتي كه مقدار چشم

رابطه ندارد. ،است )3.24كه همان ( با ميانگين آماري آن كميتلزوما منفرد گيري ي يك اندازه نتيجه

در مكانيك كوانتومي را طرح كرد:و پنجم ي چهارم اصل موضوعهدو توان اكنون مي

گر مربوطه بر روي كت سيستم است. ارز اثر دادن عمل هم ،گيري يك كميت فيزيكي اندازهت)

پاشد. مي فروكميت آن ي هاي ويژه كتيكي از گيري، كت سيستم به ي اندازه پس از مشاهدهث)


تنها پس از اما شود. منتقل مي ψA به ψ، سيستم از حالت a ي مانندگيري كميت پس از اندازه

گر ي عمل هاي ويژه ولي با احتمال قابل محاسبه به يكي از حالت ،تصادفي به شكليي نتايج مشاهده

A اي مانند هاي ويژه كه با كتna اي مانند و مقادير ويژهna نمايد شوند جهش مي گذاري مي نام ،

برخي از تصاوير مكانيك كوانتومي فروپاشي بالفاصله پس از در .كه فرآيند فروپاشي نام دارد

ي مرحلهفروپاشي تا عمل رددهد كه نشان مي هاي متعدد دهد، ولي آزمايش گيري رخ مي اندازه

در اين طور كلي به ؛افتد به تاخير مي ،ها به طور فيزيكي ثبت شده باشند حتي اگر داده ،مشاهده

دانيم كه ميحال .]3و2[ شود مراجع واگذارده ميبه بيشتر وجود ندارد و بحث توافق نظر خصوص

تماميت داريم:طبق

)3.25( 1 n nn

a aψ ψ ψ= = ∑

الزم دارد كه داشته باشيم: ψبهنجار بودن

)3.26( 21n

n

aψ ψ ψ= =∑

، به aگيري كميت بوده، پس از اندازه ψشود كه سيستمي كه ابتدا در حالت جا نتيجه مي و از اين

. واهد كردخفروپاشي قابل محاسبه ، و با احتمالnaمانند هاي ويژه طور تصادفي به يكي از كت

ناظر يك ي توسط گير ي فروپاشي حالت سيستم آن است كه اندازه اعتقاد عمومي بر آن است كه الزمه

گيري است. بعد گردد؛ به بيان ديگر مشاهده بخشي از عمل اندازه مشاهده) انسان يا جز آن(شعور ذي

به فرم تركيب خطي ψ، كت حالت aي كميتي مانند از آزمايش، ولي تا قبل از مشاهده

n n n n n n nn n n

a a a a a a aψ ψ ψ= = =∑ ∑ ∑A A فرض كنيد ماند. حال باقي مي

2n جايگزينيرا با ψAكه كت n na a a→ ي بهنجار كرده باشيم؛ بنابراين پس از مشاهده ∑

2با احتمال سيستم ،ي آزمايش نتيجه

n nP a= به كتna .حال چنانچه پس از فرو خواهد پاشيد

را اندازه بگيريم، Bگر متناظر با عمل b، كميت دومي مانند aكميتي و مشاهدهي گير اندازه

و با مقدار mbمانند Bگر ي عمل هاي ويژه به يكي از كت و مشاهده گيري سيستم پس از اندازه

فصل سوم 35

خواهد نمود. احتمال اين جهش دوم از حالت قبلي به وضوح برابر فروپاشي mbي ويژه2

n m m m nP b b a→ پس از انجام دو mb، و در نتيجه احتمال يافتن سيستم در كت است =

آزمايش متوالي خواهد بود:

)3.27( 2 2

m n m n m m n nP P P b b a a→= =

]اگر ], 0=A B

mداريم سازگار باشند، bو aهاي برقرار باشد، يعني كميت mb a=چنين . هم

mهاي ويژه الزم دارد كه تعامد بهنجار كت n mna a δ= :برقرار باشد. پس

)3.28( 2 2

m n m n n nP P P b a→= =

]ها است. در غير اين صورت اگر كه به وضوح مستقل از ترتيب انجام آزمايش ], 0≠A B ،برقرار باشد

شود هاي دو كميت مشاهده مي گيري تعويض ترتيب اندازه ناسازگار باشند، با bو aهاي يعني كميت

در وضعيت قبلي است، mbبه جاي maي هاي ويژه كت نهايي سيستم اين بار يكي از كت كه اوال

و ثانيا احتمال يافتن سيستم در اين حالت عبارتست از:

)3.29( 22

m n m n m m n nP P P a a b b→= =

الواقع سازگاري يا عدم سازگاري دو پس في ) مغايرت دارد.3.27كه به وضوح مقدار عددي آن با (

شود، ارتباط مستقيم با انجام ها مشاهده مي گر، كه از صفر بودن يا نبودن جابجاگر آن عمل

يا و پس از هاي دو كميت متوال مشاهده چه ي ديگر آن است كه چنان نكته هاي فيزيكي دارد. آزمايش

ها متفاوت نتيجهحتي گيري دوم اندازهيش از پوپاشي به دليل عدم فرها انجام شود، هم گيري اندازه

)ن توابع حالت ) با داشت3.24داشتي ( مقدار چشم .است )ψ ψ=r r شود يممحاسبه به شكل زير:

)3.30( ( ) ( )

3 3

3 3 *

ˆ ˆ1 1a

d r d r

d r d r

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

= =

′ ′ ′=

′ ′ ′=

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫

r r r r

r r r r

A A

A

A

)با كمك اتحاد ) را 3.30در بسياري از موارد ( )δ ′ ′− =r r r r توان به فرم زير ساده كرد: مي

)3.31( ( ) ( )3 *a d rψ ψ= ∫∫∫ r rA


در فضاي توابع است. aگر متناظر با كميت عمل Aكه در آن

. روابط عدم قطعيت3.3

قرار دارد. در دو آزمايش ذهني مستقل از هم دو كميت ψفرض كنيد سيستمي در حالت معلوم

اي كه سيستم كنيم، به گونه گيري مي را اندازه Bو A اي نرده گر متناظر با دو عمل bو a اي نرده

براي مقادير توان مي گردانيم. در نتيجه باز مي ψگيري دوم ابتدا به حالت را قبل از اندازه

ها انحراف معيار به صورت زير تعريف نمود: داشتي آن چشم

)3.32( 22 22

2 22 2

a a a

b b b

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

Δ = − = −

Δ = − = −

A A

B B

شود: كه نامساوي زير همواره ارضا مي) 3(تمرين توان ديد مي

)3.33( [ ]1

,2

a bΔ Δ ≥ A B

]كه در آن ] [ ], ,ψ ψ=A B A B به عنوان مثال اگر .a x= وxb p=گاه: ، آن

)3.34( 2xx pΔ Δ ≥

توان نهايت نمي زمان و با دقت بي حركت را در يك راستا بطور هم دهد هرگز مكان و اندازه كه نشان مي

حركت در ري اندازهگي گيري دقيق مكان موجب ازدياد خطا در اندازه تعيين كرد. به بيان ديگر اندازه

توان آن را ] نيست، مي4ذره [-گرچه عدم قطعيت همان دوگانگي موجشود و برعكس. همان راستا مي

هاي تنيدگي ويژگي انگيز درهم تري از مفهوم دوگانگي به حساب آورد. اخيرا امكان شگفت حالت كلي

].6و5ديگر نشان داده شده است [ ذره با يك-ي موج دوگانه

ي شرودينگر مستقل از زمان معادله . حل3.4

ي شرودينگر مستقل از زمان برقرار باشد، معادله Hگر هاميلتوني ) با عمل3.2ي ( در حالتي كه معادله

اي زير نردهي اول و ديفرانسيل معمولي مرتبهي به سادگي قابل حل است. بدين منظور ابتدا به معادله

توجه كنيد:

فصل سوم 37

)3.35(

( ) ( )H t j tt

ψ ψ∂

=∂

ي فوق داراي حل زير است: ثابت است. معادله يضريبقرار گرفته و Hبه جاي Hكه در آن

)3.36( ( ) ( )0 0expj

t H t tψ ψ⎡ ⎤

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ي زير رعايت شده است: كه در آن شرط اوليه

)3.37( ( )0 0tψ ψ=

نويسيم: ) مي3.2ي ( ) را براي معادله3.36، حلي مشابه (Hگري هاميلتوني نظر از ماهيت عمل صرف

)3.38( ( ) ( ) ( )0 0expj

t t t tψ ψ⎡ ⎤

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦H

)كه در آن تابع نمايي )exp شود و بنابراين داريم: گر با توجه به بسط تيلور آن تعريف مي عمل ⋅

)3.39( ( )1

1ˆexp 1!

n

n n

∞

=

= +∑U U

) را ارضا 3.2ي ( ) در حقيقت معادله3.39) با تعريف (3.38دهيم كه حل ( حال مستقيما نشان مي

كنيم: ) جايگذاري مي3.2) را در (3.38كند. براي اين منظور ( مي

)3.40(

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

n

n

nn n

n

nn n

n

jj t j t t tt t

jj t t tt n

jj t t t

n t

jj t t t

n

jj

0 0

0 01

0 01

1

0 01

exp

11

!

10

!

11 !

ψ ψ

ψ

ψ

ψ

∞

=

∞

=

∞−

=

∂ ∂ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦

⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪= + − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫∂⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎜= + − −⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎜= − −⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭⎛

= −⎝

∑

∑

∑

H

H

H

H

( ) ( )

( )

mm m

m

jt t t

m

t

0 01

11

!ψ

ψ

∞

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎟ ⎟⎜ ⎜+ − −⎨ ⎬⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭=

∑H H

H

گر تحول زماني: كنيم. با تعريف عمل ) رجوع مي3.38ي ( حال به معادله

)3.41( ( ) ( )0 0; expj

t t t t⎡ ⎤

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

U H

) به صورت زير قابل بازنويسي است:3.38شود كه ( مشاهده مي


)3.42( ( ) ( ) ( )0 0;t t t tψ ψ= U

:)5(تمرين زير استهاي گر تحول زماني داراي ويژگي عملدر حالت كلي

)3.43.1( ( ) ˆ; 1a a =U

)3.43.2( ( ) ( )1; ;a b b a−=U U

)3.43.3( ( ) ( )† 1; ;a b a b−=U U

)3.43.4( ( ) ( ) ( ); ; ;a c b c a b=U U U

ي گر يكاني است. در شرايطي كه هاميلتوني معادله گر تحول زماني، يك عمل )، عمل3.43.3مطابق با (

) درست نيست و احتياج به روش ديگري داريم.3.38ودينگر داراي تابعيت زماني باشد، حل (شر

ي شرودينگر وابسته به زمان . حل معادله3.5

)گر هاميلتوني تابع زمان ) داراي عمل3.2ي شرودينگر ( وقتي معادله )tH :باشد داريم

)3.44( ( ) ( ) ( )t t j tt

ψ ψ∂

=∂

H

گيريم. شود، كمك مي ) از روش جايگزيني تودرتو، كه نوعي روش اختالل محسوب مي3.44براي حل (

گيريم: ) انتگرال مي3.44بدين منظور، ابتدا از طرفين (

)3.45( ( ) ( ) ( ) ( )1

0

0 0 0 1 0

t

t

s s ds j t j tψ ψ ψ= −∫ H

كه پس از بازنويسي برابر است با:

)3.46( ( ) ( ) ( ) ( )1

0

1 0 0 0 0

t

t

jt t s s dsψ ψ ψ

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ H

)اما كت )0sψ ي ) يك معادله3.46گيري تحليل نشده است، و بنابراين ( ي انتگرال هنوز در بازه

كنيم، و خواهيم داشت: ) را در خود آن جايگزين مي3.46ي بعد ( . در مرحلهاستانتگرالي

)3.47( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0

1 1

0 0

1 0 0 0 0

2

1 0 0 0 1

t

t

t s

t t

jt t s ds t

js s s ds ds

ψ ψ ψ

ψ

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫

H

H H

فصل سوم 39

)كه هنوز كت حالي ي اول بطور صريح قابل محاسبه هستند در حال دو جمله )0sψ ي آخر در جمله

آيد: نهايت بدست مي تا بي هاي مكرر جواب كامل بصورت دنباله ضمني و غير صريح است. با جايگزيني

)3.48(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 1

0 0

1 2 1

0 0 0

1 3 2 1

0 0 0 0

1 0 0 0 0

2

1 0 0 1 0

3

2 1 0 0 1 2 0

4

3 2 1 0 0 1 2 3 0

t

t

t s

t t

t s s

t t t

t s s s

t t t t

jt t s ds t

js s ds ds t

js s s ds ds ds t

js s s s ds ds ds ds t

ψ ψ ψ

ψ

ψ

ψ

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

H

H H

H H H

H H H H

كه در آن نامساوي زير برقرار است:

)3.49( 1 2 1 0 0t s s s t≥ ≥ ≥ ≥ ≥

آيد: گر تحول زماني در حالت كلي به صورت زير در مي ين عملبنابرا

)3.50(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

1

0 0

2 1

0 0 0

3 2 1

0 0 0 0

0 0 0

2

1 0 0 1

3

2 1 0 0 1 2

4

3 2 1 0 0 1 2 3

ˆ; 1t

t

st

t t

s st

t t t

s s st

t t t t

jt t s ds

js s ds ds

js s s ds ds ds

js s s s ds ds ds ds

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

U H

H H

H H H

H H H H

سازي زماني به فرم: گر مرتب با كمك تعريف عمل

)3.51( ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

,

,

s t s ts t

t s s t

⎧ ≥⎪⎪⎪= ⎨⎪ <⎪⎪⎩

H HT H H

H H

) به فرم زير قابل نمايش است:3.50] كه (1توان نشان داد [ مي


)3.52(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

2

1 0 0 1

3

2 1 0 0 1 2

4

3 2 1 0 0 1 2 3

ˆ; 1

12 !

13!

14 !

t

t

t t

t t

t t t

t t t

t t t t

t t t t

jt t s ds

js s ds ds

js s s ds ds ds

js s s s ds ds ds ds

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

+

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

U H

T H H

T H H H

T H H H H

)در حالت كلي ) ( )2 1, 0t t⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦H Hسازي زماني گر مرتب ، و بنابراين نقش عملT عموما غير قابل

) به فرم نمادين زير قابل بازنويسي است:3.52شود كه ( حذف است. با كمي دقت مالحظه مي

)3.53( ( ) ( )

0

0; expt

t

jt t s ds

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫U T H

) اگر كهبديهي است ) ( )2 1, 0t t⎡ ⎤ =⎣ ⎦H H ) ،يابد: ) به فرم زير كاهش مي3.53همواره برقرار باشد

)3.54( ( ) ( )

0

0; expt

t

jt t s ds

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫U H

) جواب دقيق 3.54مثال هنگامي كه هاميلتوني مستقل از زمان است اين شرط برقرار است. در نتيجه (

برده تنها شرط كافي موجود براي ود. البته شرط نامش ) تبديل مي3.41) به (3.54بوده و خودبخود (

دست كم دو شرط كافي ديگر وجود دارد براي آن كه ) نيست. نشان داده شده است كه 3.54صحت (

خود انتگرالگر هاميلتوني با كه عملآن است تر و كلي) جواب دقيق باشد. يك شرط مشهورتر 3.54(

)جابجا شود، يعني ) ( ), 0t dt t⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ H Hشرط ].7دانيلفسكي است [-، كه موسوم به شرط الپو

و شود دانيلفسكي محسوب مي- كه تعميمي از شرط الپو] 8- 10ديگر موسوم به شرط فدوروف بوده [

) درست 3.54(سه شرط كافي، اين از پس تحت هر كدام. در شرايط بسيار نادري قابل بكارگيري است

سازي زماني گر مرتب كم با قبول تقريب از عمل توان دست ، ميدر هر صورت .]9و8[خواهد بود و دقيق

ي مقاديرويژهجمع در اين وضعيت، حداقل حاصلتوان ديد كه ميپوشي كرد و ) چشم3.53در (

گر تحول زماني عمل nλ آن كه رد( ) 0tr ;n t tλ =∑ U ها آنضرب چنين حاصل بوده، و هم

فصل سوم 41

)گر تحول زماني ترمينان عملكه د ) ( )0det ; exp ,n t t jλ ϑ ϑ= = ∈∏ U R و بايد است ،

1nλي واحد داراي اندازه ؛ در اينجا به اين نكته ]8و7[ مانند دست نخورده باقي مي باشد، ∏=

مينان واحد گر تحول زماني يكاني بوده و بنابراين داراي دتر )، عمل3.43.3ايم كه مطابق با ( توجه كرده

آيد كه تابعيت هاميلتوني نسبت به زمان به صورت زير است: در بسياري از مسايل پيش مي است.

)3.55( ( ) ( )0 1t t= +H H H

)ي سيستم و مستقل از زمان، و هاميلتوني پايه 0Hكه در آن )1 tH مان و هاميلتوني وابسته به ز

كنش اتم و معموال ناشي از اختالل توسط يك عامل خارجي است. يك مثال عملي از اين فرم، برهم

)ي اختالل ميدان الكترومغناطيس است، كه اثر ميدان توسط جمله )1 tH توان شود. مي بيان مي

:ي شرودينگر به صورت ضي بر معادلهي شرودينگر را در اين شرايط با اعمال تبديلي ريا جواب معادله

)3.56( ( ) ( ) ( ) ( )0 0expI jt t t tψ ψ

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H

)يافت، كه در آن كت )tψ كند: ي شرودينگر را ارضا مي حل نهايي مسئله است، و معادله

)3.57( ( )[ ] ( ) ( )0 1 t t j tt

ψ ψ∂

+ =∂

H H

) داريم:3.56ي ( از تبديل عكس رابطه

)3.58( ( ) ( ) ( ) ( )0 0exp Ijt t t tψ ψ

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H

) است:3.57كه قابل جايگزيني در (

)3.59(( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 0exp expI Ij jt t t t j t t t

tψ ψ

∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

H H H H

)گر طرفين معادله را از سمت چپ در عمل )0 0exp j t t⎡ ⎤−⎣ ⎦H كنيم و در نتيجه خواهيم ضرب مي

داشت:

)3.60(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I

I

I I

j jt t t t t

j jt t t t t t

j jj t t t t t j t

t t

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0

exp exp

exp exp

exp exp

ψ

ψ

ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

H H H

H H H

H H


)و 0Hبا توجه به اينكه )0 0exp j t t⎡ ⎤± −⎣ ⎦H شوند (چرا؟)، و گرفتن مشتق زماني از جابجا مي

)گر عمل )0 0exp j t t⎡ ⎤− −⎣ ⎦H اي شبيه به سازي جمالت همانند، معادله در سمت راست و ساده

:)6(تمرين آيد بدست مي) 3.44(

)3.61( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I I It t j tt

ψ ψ∂

=∂

H

)كه در آن ) ( )I tψ كنش هايزنبرگ، و كت سيستم در تصوير برهم( ) ( )I tH كنش گر برهم عمل

تبديل شده در تصوير هايزنبرگ نام دارد:

)3.62( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 0exp expI j jt t t t t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

H H H H

) بايد بدست آيد. در 3.59)، جواب نهايي از تبديل (3.62الزم به ذكر است كه پس از حل ( نام دارد.

) با 3.44ي شرودينگر ( تر از حل مستقيم معادله تر و آسان ) به مراتب ساده3.61سياري موارد، حل (ب

شود. ) است. از اين تكنيك معموال در اپتيك كوانتومي سود جسته مي3.55هاميلتوني (

ي انرژي . حاالت ويژه3.6

توان با جداسازي ان باشد، ميگر هاميلتوني مستقل از زم ) هنگامي عمل3.2ي شرودينگر ( در معادله

متغيرها تابعيت زماني سيستم را حذف كرد:

)3.63( ( ) ( )expt j tψ ω ψ= −

)ي فوق در رابطه )0ψ ψ= و ،ω اي است. بنابراين: ثابتي از جنس سرعت زاويه

)3.64( ψ ω ψ=H

Eي از جنس انرژي مقدار فوق داراي مقادير ويژه ي ويژه ت كه معادلهواضح اس ω= گر براي عمل

ي حاالت گوييم. اگر مجموعه ي انرژي مي ، حاالت ويژهψي است. به حاالت ويژه Hهاميلتوني

گذاري نمود: ها را با اعداد طبيعي به فرم زير نام توان آن ر تبهگن باشند، ميانرژي گسسته و همگي غي

)3.65( nn E n=H

فصل سوم 43

nكه در آن nE ω= وnn ψ=. ) شود، ي شرودينگر مستقل از زمان گفته مي ) معادله3.65به

بديهي است كه شرط تعامد وني مستقل از زمان دارند قابل استنتاج است. كه تنها از مسايلي كه هاميلت

nmnشوند، يعني و بهنجارش تواما ارضا مي m δ=ي هاي ويژه كت كه . با وجود آنnj te nω− ،

قت از تركيب خطي تمام ) در حقي3.2ترين جواب ( كلي نمايند، ولي ارضا مي ) را3.2معادله شرودينگر (

آيد: هاي ويژه مانند زير بدست مي كت

)3.66( ( ) nj tn

n

t c e nωχ −= ∑

نمايند (چرا؟): ضرايب مختلط و ثابت هستند و شرط بهنجارش را برآورده مي ncكه در آن

)3.67( 21n

n

c =∑

) است، كه در آن 3.2ارز اعمال تبديل فوريه نسبت به زمان در ( هم )3.63ابل ذكر است كه تبديل (ق

براي زوج تبديل فوريه و عكس آن داريم:

)3.68.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1exp

2f t F t j t F dω ω ω ω

π−= = −∫F

)3.68.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

exp2

F f t j t f t dtω ω ωπ

= = +∫F

مراجع:[1] W. Schleich, Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH, Berlin, 2001.

[2] L. McTaggart, The Field: The Quest for Secret Force of the Universe, Updated

Edition, Harper Perennial, New York, 2008.

[3] L. Diósi, “Gravity-related spontaneous wave function collapse in bulk matter,”

New Journal of Physics, vol. 16, 105006 (2014).

[4] R. Ionicioiu, T. Jennewein, R. B. Mann, D. R. Terno, “Is wave–particle objectivity

compatible with determinism and locality?,” Nature Communications, vol. 5, 3997

(2014).

[5] H. Jeong, A. Zavatta, M. Kang, S.-W. Lee, L. S. Costanzo, S. Grandi, T. C. Ralph,

M. Bellini, “Generation of hybrid entanglement of light,” Nature Photonics, vol. 8,

pp. 564-569 (2014).


[6] O. Morin, K. Huang, J. Liu, H. Le Jeannic, C. Fabre, J. Laurat, “Remote creation of

hybrid entanglement between particle-like and wave-like optical qubits,” Nature

Photonics, vol. 8, pp. 570-574 (2014).

[7] S. A. Mazanik, “Linear Differential Lappo-Danilevskii Systems,” Mathematica

Bohemica, vol. 127, no. 2, pp. 275-282 (2002).

[8] S. Khorasani, and A. Adibi, “Analytical Solution of Linear Ordinary Differential

Equations by Differential Transfer Matrix Method,” Electronic Journal of

Differential Equations, vol. 2003, no. 79, pp. 1-18 (2003).

[9] S. Khorasani, “Reply to Comment on ‘Analytical Solution of Nonhomogeneous

Anisotropic Wave Equation Based on Differential Transfer Matrices’,” Journal of

Optics A: Pure and Applied Optics, vol. 5, no. 4, pp. 434-435 (2003).

[10] F. I. Fedorov, “A generalization of the Lappo-Danilevskii criterion,” Dokl. Akad.

Nauk. BSST, vol. 4, no. 11, 454-455 (1960).

تمرين:

) را تحقيق كنيد.3.20روابط ( رستيد - 1

) 3.30در ( A) به جاي 3.14( Hگر هاميلتوني ) را وقتي عمل3.31ي ( صحت رابطه - 2

نشيند تحقيق نماييد. مي

ر دز را تشوار-) را نشان دهيد. براي اين منظور ابتدا نامساوي مشهور كوشي3.33درستي ( - 3

ثابت كنيد:فضاي هيلبرت

2α α β β α β≥

كنيم: گرهاي انحراف را تعريف مي حال عمل

1

1

a

b

Δ = −

Δ = −

A A

B B

:نشان دهيد بنابراين

2 2

2 2

0

0

a

b

Δ = Δ = Δ

Δ = Δ = Δ

A A

B B

2حال مقدار Δ ΔA B :را جمله به جمله باز كنيد و ثابت كنيد

فصل سوم 45

[ ]22 1

,4

Δ Δ ≥A B A B

) را نتيجه بگيريد.3.33ي عدم قطعيت ( ز، رابطهتشوار-جا با كمك نامساوي كوشي و از آن

كرديم، نشان ميمتغير مستقل را به جاي زمان انرژي فرض اگر )، 2.3ي تحول ( در معادله - 4

:آمد به شكل زير در ميعدم قطعيت بين زمان و انرژي دهيد

2

E tΔ Δ ≥

ي فوق چيست؟ تعبير فيزيكي رابطه

) ثابت نماييد.3.43گر تحول زماني را مطابق با ( هاي عمل ويژگي - 5

) بدست آوريد.3.60) را از (3.61ي ( رابطه - 6

)نشان دهيد هنگامي شرط كافي - 7 ) ( ), 0t dt t⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ H H 3.54ي ( برقرار است، رابطه (

)ي ارز رابطه آيا اين شرط هم دقيق خواهد بود. ) ( ), 0t t⎡ ⎤′ =⎣ ⎦H H است؟

]جابجا شوند، يعني Bو Aگر مانند ثابت كنيد اگر دو عمل - 8 ], 0=A Bگاه داريم: ، آن

( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp exp exp= = +A B B A A B

يگر هر حلي به شكل ) است. به بيان د3.2ترين حل ( ) كلي3.66نشان دهيد ( - 9

( ) ( )nn

t c t nχ =∑

يابد. ) كاهش مي3.65ي انرژي باشند، ناگزير به فرم ( هاي ويژه كت nكه در آن

21، وقتي در يك بعد ي آزاد ذره ) را براي يك تك3.2ي ( معادله -102m x=H P با كمك ،است

كنيد. طيف مقادير ويژه را بدست آوريد. آيا اين طيف گسسته است يا ) حل 3.63تبديل (

ترين ها به چه صورت بايد نوشته شود؟ كلي ي انرژي كدامند؟ تعامد آن پيوسته؟ حاالت ويژه

) را بنويسيد.3.66) مانند (3.2حل (

) را بدست 3.64ي ( ) رابطه3.2طرفين ( در) 3.68.1فوريه (عكس تبديل گذاري جايبا -11

وريد.آ


طبيعتا به بود. آنگاه مي eانرژي با نماد به جاي زمان، ) پارامتر مستقل 3.2فرض نماييد در ( -12

توانستيم بنويسيم: ميي شرودينگر جاي معادله

( ) ( )e j ee

ζ ζ∂

=∂

T

، ) اشتباه نشود)3.51سازي ( گر مرتب (با عملگر زمان بايد باشد به ناچار عمل Tكه در آن

)هاي و كت )eζابتدا نشان دهيد كه تبديل فوريه چگونه ي زمان نام دارند. هاي ويژه ، كت

سازد. سپس درستي روابط عدم قطعيت را به هم مرتبطبايد اين دو نمايش انرژي و زمان را

جبري ي آزاد صورت توانيد براي ذره آيا ميحقيق كنيد. حال ت )4(تمرين بين انرژي و زمان

و روابط ي آن را بيابيد ويژههاي طيف زمانو ي زمان هاي ويژه كت گر را بيابيد؟ اين عمل

به فرم اي با هاميلتوني مستقل از زمان براي ذره .تعامد مربوطه را بنويسيد

( )Um

212

= +H P R ؟گر چطور است اين عمل

فصل چهارم 47

چهارم فصل

موج كوانتومي

ي شرودينگر هنگامي كه مستقل از زمان و وابسته به يك بعد ) ديديم كه معادله3.2ي ( بنابر رابطه

زير قابل بازنويسي است:است، پس از اعمال جداسازي وابستگي زماني به فرم

)4.1( Eψ ψ=H

حالت ي ويژه كت ψو ي انرژي، مقدارويژه E گر هاميلتوني در فضاي براكت، عمل Hكه در آن

هاي حل روشي به مطالعهو فصل آتي زمان است. در اين فصل بنابراين مستقل ازسيستم و انرژي

قابل نمايش است:به خصوص هنگامي كه هاميلتوني به شكل زير ) 4.1(

)4.2( ( )Um12

= ⋅ +H P P R

پردازيم. مي

ي آزاد ذره. 4.1

است 0Uجا ثابت و برابر ي آزاد با قرار داشتن در خالء كوانتومي كه براي آن انرژي پتانسيل همه ذره

گردد. مشخص مي

)4.3( ( )U U 01=R

توميموج كوان 48

0توان فرض كرد مي) 1(تمرين ن به كليت حل مسئله زد بدون لطمه 0U و بنابراين: =

)4.4( ( )U 0=R

) نوشت:3.1) و (3.18.2توان بالفاصله از ( مي

)4.5( ( ) ( ) ( )Em

22

2ψ ψ ψ= − ∇ =r r rH

) بعدي پتانسيل، ضرورتي ندارد كه حتما نيز توجه كنيد كه با وجود يك ) ( )xψ ψ=r .برقرار باشد

كنيم از روش مستقيم آن را مجددا بدست آوريم. براي اين منظور )، سعي مي4.5قبل از اقدام به حل (

:نويسيم را بازمي) 4.2(ابتدا

)4.6( 12

Em

ψ ψ ψ= ⋅ =H P P

حال عملگر واحد:

)4.7( 3 1d r =∫∫∫ r r

بنديم: مي كار هب) 4.6را در (

)4.8( 1 ˆ ˆ1 12

Em

ψ ψ⋅ =P P

پس:

)4.9( 3 312

d r E d rm

ψ ψ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫r r r rP P

توان نتيجه گرفت: ) مي2.27.2از (

)4.10( ( )

( ) ( )

3

3

22 3

3

12

2

2

d rm

jd r

mj

d rm

E d r

ψ

ψ

ψ

ψ

⋅

= ⋅ ∇

= ∇

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

r r

r r

r r

r r

P P

P

داشت:) خواهيم 2.26.1كنيم و با كمك ( ضرب مي s) را از چپ در براي مكان 4.10حال طرفين (

)4.11( ( )

22 3

2d r E

mψ ψ− ∇ =∫∫∫ s r r s


توان نوشت: مي ∇2گر با توجه به هرميتي بودن عمل

)4.12( ( ) ( )†2 2 2∇ = ∇ = ∇r ss r s r s r

پس:

)4.13( ( ) ( )

22 3

2d r E

mψ ψ− ∇ =∫∫∫s s r r s

آيد: ) بدست مي2.26.1با اعمال شرط تعامد (

)4.14( ( ) ( )

22

2E

mψ ψ− ∇ =s s s

دهيم و هاي دكارتي بسط مي ) را بر حسب مولفه4.5حال ( ) يكي است.4.5) با (4.14به وضوح (

خواهيم داشت:

)4.15( ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22E

m x y zψ ψ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜− + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠r r

) با جدا سازي متغيرها به صورت:4.15حل (

)4.16( ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x A y A zψ =r

آيد: ادله بدست ميتوان ديد كه سه دسته مع مي 2با كمك تمرين ممكن است.

)4.17.1( ( ) ( )

22

20x x xA x k A x

x∂

+ =∂

)4.17.2( ( ) ( )2

22 0y y yA y k A yy∂

+ =∂

)4.17.3( ( ) ( )

22

20z z zA z k A z

z∂

+ =∂

و مشهورند و داريم: x ،y ،zبه اعداد موج در راستاهاي zk، و xk ،ykها كه در آن

)4.18( 2

2, , ,i i

mk E i x y z= =

,هاي ضمنا ثابت , ,iE i x y z∈ =R اشاره به انرژي جنبشي از جنس انرژي و حقيقي بوده (چرا؟) و

كنند: شرط زير را ارضا مي چنين رند، و همذره در امتداد راستاهاي اصلي دا

)4.19( ii

E E= ∑


پذيريم: ) مي4.18بايستي توجه كرد كه طبق قرارداد، يكي از دو حالت زير را براي (

)4.20.1( 2

2, 0i i i

mk E E= + ≥

)4.20.2( 2

2, 0i i i

mk j E E= − <

ضمنا شود. موهومي منفي منجر به جواب فيزيكي جديدتري نمي ي دوم با جزء حقيقي يا انتخاب ريشه

نهايت ي تابع موج در بي شرط مرزي محدود بودن دامنهرعايت توجه داريم كه اگر

( )limr ψ→∞ < ∞r گاه ضروري است كه داشته باشيم ضروري باشد، آن, , ,iE i x y z+∈ =R .

زير مجددا نوشت: توان به شكل ) را مي4.19شرط (

)4.21( 2

2

2 ii

E km

= ∑

) داراي حل زير 4.17ه هر حال معادالت (ي پاشندگي مشهور است. ب ) به معادله4.21ي ( معادله

هستند:

)4.22( ( ) ( ) ( )exp exp , , ,i i i i i i i iA x a jk x b jk x i x y z= + + − =

) بالفاصله 3.2ضمن رجوع به ( شوند. رو ناميده مي رو و پس اج پيشهاي امو دامنه ibو ia كه در آن

) عبارتست از:4.4ي آزاد در خالء با شرط ( ) براي ذره3.2يابيم كه حل كلي ( درمي

)4.23( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, exp

exp exp exp

i ii

i i i i i ii

t A x j t

a jk x b jk x j t

ψ ω

ω

= −

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦

∏

∏

r

Eكه در آن ω= .اي خاص مانند براي هنگامي كه انرژي جنبشي ذره تماما در يك راستx قرار

سازد) خواهيم داشت: در حال حركت زاويه نمي xدارد (يعني با محور

)4.24( ( ) ( ) ( ) ( )j t kx j t kx j t jkx jkxx t ae be e ae be, ω ω ωψ − − − + − + −= + = +

)جمالت محذوف هستند. xهاي غير ضروري كه در آن زيرنويس )j t kxe ω− )و − )j t kxe ω− به ترتيب +

صفر bيا aوقتي يكي از ضرايب دارند. −xو +xرو در امتداد محور رو و پس اشاره به امواج پيش

aصورت اگر در غير آن باشند، موج پويا و b= 21(تمرين باشد، موج ايستا خواهيم داشت(.


Eي انرژي ) با مقدارويژه4.6در ( Hي آزاد گر هاميلتوني ذره ي عمل ) تابع ويژه4.23در حالت كلي، (

) است 4.6ي ( ) تنها حل خاص معادله4.23) نيز هست. پس (4.21گي (است، كه مقيد به شرط پاشند

آيد. براي ايجاد سهولت ) بدست مي4.23ي مانند ( ي توابع ويژه و حل كلي آن از جمع بستن روي كليه

تعريف بردار موج بصورت: در نمايش جواب، از

)4.25( ˆ ˆ ˆx y zk x k y k z= + +k

:)3(تمرين به شكل زير نوشترا ) 4.23توان ( ميگيريم. حال كمك مي

)4.26( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )t a j t d k a t d k3 3, exp ,ψ ω ψ= − − ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫ kr k k k r k r

) كه در آن )t,ψk r است، و) 4.5(ي ويژه تابعيك ( )ω k ) آيد: ) بدست مي4.21از شرط پاشندگي

)4.27( ( )2m

ω = ⋅k k k

xEبعدي كه در آن همواره ) براي يك سيستم اكيدا يك4.27) و (4.26ي ( رابطه E= است به

آيند: ير در ميصورت ز

)4.28.1( ( ) ( ) ( )[ ] , expx t a k j k t kx dkψ ω= − −∫

)4.28.2( ( ) 2

2k k

mω =

ي موج . بسته4.2

داراي تابع چگالي توزيع احتمال و ) در تمام فضا گسترده است4.24موج مانند ( ي ويژه يك تابع

( ),P x t 6(تمرين زير است(:

)4.29(

( )

( )

( )[ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( )

j t jkx jkx

dP P x t dx

x t dx

e ae be dx

a b kx a b kx

a b kx a b kx dx

2

2

2

2

,

,

Re Re cos Im Im sin

Im Im cos Re Re sin

ω

ψ

− + −

=

=

= +

⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦


]فرض كرد توان بدون اشكال مي ]Im 0a ]) در حالتي كه 4.29(چرا؟)، و بنابراين ( = ]Im 0b =

a(يعني b= يا ([ ]Re 0b b(يعني = jb= 2aو − b π− = به ترتيب به ،باشد )±

شود: حاالت زير ساده مي

)4.30.1( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]P x t a b kx a b kx2 2

, cos sin= + + −

)4.30.2( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]P x t a kx jb kx jb kx a kx2 2

, cos sin cos sin= − + − +

روابط فوق به ترتيب با اتحادهاي مثلثاتي قابل ساده شدن هستند:

)4.31.1( ( ) ( )

( ) ( ) [ ] [ ]

P x t a b ab kx

a b ab kx a b

2 2

2 2

, 2 cos 2

4 sin , Im Im 0

= + +

= + − = =

)4.31.2( ( ) ( )

( ) ( )[ ] [ ] [ ]

P x t a b jab kx

a jb jab kx a b

2 2

2

, 2 sin 2

2 1 sin 2 , Im Re 0

= − −

= − + − = =

aبه ترتيب كه يرايطدر ش b= يا( )a b j j b2exp π= ± = آيد: باشد، به ترتيب بدست مي ±

)4.32.1(( ) ( )[ ] ( ) [ ] [ ]P x t a kx a kx a b a b2 2 2, 2 1 cos 2 4 cos , , Im Im 0= + = = = =

)4.32.2( ( ) ( )[ ] [ ] [ ]P x t a kx a jb a b2, 2 1 sin 2 , , Im Re 0= ± = ± = =

تمال هاي يكسان هستند موج اح رو داراي دامنه رو و پس شود كه چون امواج پيش مجددا ديده مي

) به ترتيب به صورت زير قابل بازنويسي است:4.24( ، تابع موجمتناظر با اين شرايطايستاست.

)4.33.1( ( ) ( )j tx t ae kx, 2 cosωψ −=

)4.33.2( ( ) ( )j t jkx jkxx t ae e je, ωψ − −= ±

:نويسيم ميآن را به صورت يك تبديل فوريه ، كهگرديم ) باز مي4.28.1حال به (

)4.34( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, , , exp2

x t k t x k t jkx dkψπ

= Ψ = Ψ +∫F

كه در آن داريم:

)4.35.1( ( ) ( ) ( )[ ], 2 expk t a k j k tπ ωΨ = −

)4.35.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , exp

2k t x t k x t jkx dxψ ψ

π−Ψ = = −∫F


) داشته باشيم:4.28.1اگر در (

)4.36( ( ) ( )0a k a k kδ= −

تابع موج عبارتست از:

)4.37( ( ) [ ] 0 0, expx t a j t k xψ ω= − −

)كه در آن داريم )0 0kω ω= . داشته باشيم: )4.36به جاي (حال اگر

)4.38( ( )( )20

2exp

k kaa k

k kπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

kكه در آن +Δ ∈R. اين تابع داراي انتگرال مستقل ازkΔ 0وk ي محور هبازدرk است (تمرين

آيد: ) بدست مي4.28.2) با توجه به (4.34ي ( براي تبديل فوريه گاه آن. )9

)4.39( ( )( )

( ) 2

02

, exp exp p

k kax t jk v k t x dk

k kψ

π

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

كه در آن سرعت فاز الكترون برابر است با:

)4.40( ( )( )

2p

kv k k

k mω

= =

خواهيم داشت: 8با كمك تمرين

)4.41( ( )( ) 2 2

0 0

22

4, exp11 22

p

jk x v k t k xa

x t jj k tj k t mm

ψ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪− + Δ⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+ Δ+ Δ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

0kدر حد +Δ ، خواهيم داشت:→

)4.42( ( ) ( ) 0 0, exp px t a jk v k t xψ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

0kدر حد ) است. اين بدان دليل است كه 4.37كه به وضوح از نوع جواب ( +Δ ، عمال تابع →

0tاز سويي در حد كند. ) ميل مي4.36) به دلتاي ديراك (4.38( يد:آ بدست مي →+

)4.43( ( ) ( ) 2 20

1, 0 exp exp

4x a jk x k xψ

⎛ ⎞⎟⎜= − Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

:دهد قدر مطلق آن يك تابع گوسي را نمايش ميمربع كه


)4.44( ( ) 2 2 22 1, 0 exp

2x a k xψ

⎛ ⎞⎟⎜= − Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

كنيم: ) را به صورت زير بازنويسي مي4.41حال (

)4.45(

( )( )

( )( )

( )

( )

428

222 2

0022

2

2 2 20 0

222

, exp11

2

exp1

12 4exp

1

m

m

p

m

p

m

a kx t j tx

k tj k tm

kj x v k t

k t

k tk x v k t k xm

k t

ψ⎡ ⎤Δ⎢ ⎥= ⎢ ⎥

+ Δ⎢ ⎥+ Δ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤× −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪+ Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪Δ − − Δ⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪× ⎨ ⎬⎪ ⎪+ Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

دهد خواهد بود: يمجذور قدر مطلق تابع موج، كه تابع چگالي توزيع احتمال را م

)4.46(

( ) ( )

( )

( )p

m

P x t x t

k tk x v k t k xa mk t

k tm

2

2 2 22 0 0

22 222

, ,

12exp

11

2

ψ=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪Δ − − Δ⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪+ Δ⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎜+ Δ ⎟⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎟⎜⎝ ⎠

به فرم زير قابل بازنويسي است:) 4.40با كمك (كه

)4.47( ( )( )

( )p

m

x v k taP x t

k t kk t

m

22

0222

22

21, exp

21

2

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤−⎪ ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪Δ + Δ⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎟ ⎩ ⎭⎜+ Δ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

پذيريم: حال تعاريف زير را مي

)4.48.1( ( ) ( )( )

2g p

kv k v k

kω∂

= =∂

)4.48.2( ( )2

2 222kt

x t km

−⎡ ⎤⎛ ⎞Δ ⎟⎢ ⎥⎜Δ = Δ + ⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

)4.48.3( ab

k

22π=

Δ

)كه در آن )gv k ي ابر احتمال ذره كه مبين سرعت حقيقي حركت بسته شود سرعت گروه ناميده مي

bچنين براي بهنجارش ابر احتمال بايد هم. است آيد: ) بصورت زير در مي4.47بنابراين (. ≡1


)4.49( ( )( )

( )( )

gx v k tbP x t

x t x t

2

0

2, expπ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤−⎪ ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪Δ Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ي موج در زمان از دو جزء تشكيل شده است. اوال شود، وضعيت بسته ) ديده مي4.49همانطور كه در (

نمايد. اما كند، و ثانيا با افزايش زمان پوش آن با سرعت گروه حركت مي ي آن با زمان تغيير مي دامنه

ها و عالوه بر آن هر دوي اين سرعت است، pv سرعت فاز دو برابردر حقيقت gvچون سرعت گروه

) دچار دگرگوني شديدي عالوه بر تغيير 4.45ي موج در ( شكل حقيقي بسته تابع عدد موج هستند،

tو در شود شكل در دامنه مي ي دگي ذاتي بستهپاشناين مسئله به .رسد ي تراكم مي به بيشينه =0

ي كند، زيرا در حقيقت اين در حالي است كه بسته موج در مكانيك كوانتومي غير نسبيتي اشاره مي

شود، ي فوتون است در خالء دچار پاشندگي و تغيير شكل نمي كننده موج الكترومغناطيس كه توصيف

مستقل از عدد موج هستند. ها زيرا نه تنها سرعت گروه و فاز برابر دارد، بلكه هر دوي اين سرعت

. شارش احتمال4.3

) را در نظر بگيريد. با اعمال خنجر به طرفين آن 3.18.2) را با هاميلتوني (3.1ي شرودينگر ( معادله

ي زير دست يافت: توان به دو معادله مي

)4.50.1( ( ) ( ) ( ) ( )2

2, , , ,2

t U t t j tm t

ψ ψ ψ⎡ ⎤ ∂⎢ ⎥= − ∇ + = +⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

r r r rH

)4.50.2( ( ) ( ) ( ) ( )2

† * 2 * *, , , ,2

t U t t j tm t

ψ ψ ψ⎡ ⎤ ∂⎢ ⎥= − ∇ + = −⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

r r r rH

H=†ز هرميتي بودن هاميلتوني كه در آن ا H به 4.50.2) و (4.50.1ايم. با ضرب ( سود جسته (

)ترتيب در )* ,tψ r و( ),tψ r :خواهيم داشت

)4.51.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

* 2 *, , , , ,2

t U t t j t tm t

ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ∂⎢ ⎥− ∇ + = +⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

r r r r r

)4.51.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 * *, , , , ,2

t U t t j t tm t

ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ∂⎢ ⎥− ∇ + = −⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

r r r r r

كنيم: ) تفريق مي4.51.1) را از (4.51.2حال (


)4.52(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2* 2 2 *

* *

*

, , , , , ,2 2

, , , ,

, ,

,

t U t t t U t tm m

j t t t tt t

j t tt

j P tt

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∇ + − − ∇ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂= + +⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∂∂

= +∂

r r r r r r

r r r r

r r

r

)كه در آن ),P tr .توان بازنويسي نمود و بدست سمت چپ را مي تابع چگالي توزيع احتمال است

آيد: مي

)4.53(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

* 2 2 *, , , , ,2

t t t t j P tm t

ψ ψ ψ ψ∂⎡ ⎤− ∇ − ∇ =⎣ ⎦ ∂

r r r r r

توان نوشت: حال مي

)4.54(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 2 2 * * *, , , , , , , ,t t t t t t t tψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤∇ − ∇ = ∇ ⋅ ∇ − ∇⎣ ⎦r r r r r r r r


)4.55( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

* *, , , , ,2

t t t t j P tm t

ψ ψ ψ ψ∂⎡ ⎤− ∇ ⋅ ∇ − ∇ =⎣ ⎦ ∂

r r r r r

كنيم و بدست خواهيم گيري مي انتگرال Vبه حجم فرضي فضا بخشي از ) روي 4.55حال از طرفين (

آورد:

)4.56(( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

* * 3 3, , , , ,2

t t t t d r j P t d rm t

ψ ψ ψ ψ∂⎡ ⎤− ∇ ⋅ ∇ − ∇ =⎣ ⎦ ∂∫∫∫ ∫∫∫r r r r r

ي گرين خواهيم داشت: در نتيجه با كمك قضيه

)4.57( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * 3, , , , ,2j

t t t t d P t d rm t

ψ ψ ψ ψ∂⎡ ⎤∇ − ∇ ⋅ =⎣ ⎦ ∂∫∫ ∫∫∫r r r r S r

dSپوشاند و بردار ديفرانسيل سطح را مي V گيري كه در آن انتگرال سطحي كل حجم انتگرال

آيد: لذا بدست مي. همواره بر آن عمود است

)4.58( ( ) ( ), 0Vt d P tt∂

⋅ + =∂∫∫ J r S


)كه در آن )VP t احتمال حضور ذره در حجم است، و بردار( ),tJ r موسوم به بردار شار احتمال

عبارتست از:

)4.59(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *, Im , , , , , ,2j

t t t t t t tm m

ψ ψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∇ = − ∇ − ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦J r r r r r r r

را به سمت صفر ميل داد و بدست آورد: Vتوان حجم دلخواه مي

)4.60( ( )( )

, 0P t

tt

∂∇ ⋅ + =

∂J r

را به تمام فضاي Vتوان حجم گر بقاي احتمال است. براي درك اين مطلب مي كه به وضوح بيان

بعدي تعميم داد. تحت اين شرايط طبق شرط بهنجارش بايد داشته باشيم (چرا؟): سه

)4.61( ( ) 3, 1P t d r ψ ψ= =∫∫∫ r

):16(تمرين ي آن اين است كه ي بالفاصله كه نتيجه

)4.62( ( )lim , ~ , 2nr P t r n−→∞ >r

)حال با تبديل به دستگاه مختصات كروي استاندارد ), ,r θ ϕ :داريم

)4.63(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

2* 2

0 0

22

0 0

, , , , ,2

~ lim Im , , sin

~ lim , sin2

r

r

jt d t t t t d

m

t t r d dm r

r P t d dm r

π π

π π

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ θ θ ϕ

θ θ ϕ

→∞

→∞

⎡ ⎤⋅ = − ∇ − ∇ ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦

∂∂

∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫

J r S r r r r S

r r

r

) صفر است و بنابراين قانون بقاي احتمال به شكل زير 4.63) سمت راست (4.62توجه به (حال با

ود:ش تضمين مي

)4.64( ( ), 0t d⋅ =∫∫ J r S

ي آن است كه در كل فضا هر قدر تابع چگالي توزيع احتمال در اثر شارش احتمال دهنده كه نشان

) برقرار است و احتمال يافتن ذره در كل فضا در هر 4.61تغيير شكل بدهد، كماكان شرط بهنجارش (

حال واحد است.


تمرين:

) تنها موجب جابجايي فاز وابسته 4.3پتانسيل صفر براي خالء در ( نشان دهيد اختيار انرژي - 1

)به مكان در حل تابع موج )ψ ψ=r r اثر بياحتمال گردد كه در توزيع چگالي مي

از نظر كالسيك آيا اين اهميتي دارد؟ است.

.را ثابت كنيد )4.19) و (4.18(و برقراري ) نشان دهيد 4.16) را با (4.17صحت روابط ( - 2

سازند. ) را مي4.6ترين جواب ( ) كلي4.27ي پاشندگي ( ) به همراه معادله4.26نشان دهيد ( - 3

) را براي الكترون آزاد در مكانيك كوانتومي با شرط پاشندگي 4.27شرط پاشندگي ( - 4

) ها در خالء كه از فوتون )2 2cω = ⋅k k k از ها تفاوت آيد مقايسه و بحث نماييد. بدست مي

شود؟ كجا ناشي مي

m2و →1 در دستگاه واحدهاي اتمي مشهور به ريدبرگ، داريم - 5 ي معادلهحال .→1

) را در دستگاه ريدبرگ بازنويسي كنيد و راهي را 4.27) و پاشندگي (3.22.1شرودينگر (

حل در دستگاه واحدهاي حقيقي بازگشت.نشان دهيد كه از حل آن بتوان به

] ابج كامال ايستا اموراي اب و ) را بدست آوريد4.29ي ( رابطه - 6 ]Rea a= وb b b= ، آن

) را به عنوان حاالت خاص استنتاج نماييد.4.32( سپس ، ورا با اتحادهاي مثلثاتي ساده

سرعت فاز مشتق هاي فيزيكي، مقدار عددي جداول ثابت ) و4.40( ضمن رجوع به - 7

( )pk v k∂ محاسبه نماييد. براي الكترون و نوترون را ∂

) را نشان دهيد.4.41) درستي (4.39گيري مستقيم از ( با انتگرال - 8

)) انتگرال 4.38ي ( در رابطه - 9 )a k dk∫ را روي تمام محورk

را طوري a ، ومحاسبه كنيد

xpحال اگر معين كنيد كه اين انتگرال برابر واحد باشد. p k= ، با كمك باشدبرقرار =

)حركت را نسبت به كت اندازه xpΔ) انحراف معيار 3.32( )p a pψ د.بيابي =

ي ها و ذرات كوانتومي داراي جرم طبق رابطه ، سرعت گروه فوتون4ي تمرين در ادامه -10

فاز متفاوت است؟ آزاد، سرعت گروه و فضاي) چه تفاوتي دارند؟ آيا براي فوتون در 4.48.1(


) ابتدا انحراف معيارهاي مكان و 4.49) و (4.38ي ( ضمن مقايسه 9با كمك تمرين -11

0tي موج ي حركت بسته حظات اوليهحركت را در ل اندازه بيابيد. حال نشان دهيد در →+

0tآيا وقتي شود. ) ارضا مي3.34اين شرايط نامساوي عدم قطعيت ( است، هنوز عدم <

) برقرار است؟3.34گاه عالمت تساوي در عدم قطعيت ( آيا هيچ قطعيت برقرار است؟

، و با رعايت شرط 0k ،kΔ) را به ازاي مقادير عددي مثبت و حقيقي براي 4.39گرال (انت -12

براي يك الكترون در زمان ترسيم كنيد. ضمن محاسبات عددي aدر مورد ثابت 9 تمرين

)نشان دهيد كه حركت ابر احتمال )2

x tψ در جهت وارون حركت تابع موج( )x tψ

توانيد جزء حقيقي يا موهومي آن را رسم نماييد. است. براي ترسيم تابع موج مي

)سرعت فاز اب) به بعد را براي يك فوتون 4.39(محاسبات -13 ) ( )pv k k kω= ) 4تمرين(

چرا؟ ؟كند موج، شكل آن تغيير ميي حركت بستهضمن تكرار نماييد. آيا هنوز

0tي توزيع چگالي احتمال در ) بيشينه4.49ي ( در رابطه -14 tو →+ → چيست؟ ∞

) مقدار سرعت حركت اين بيشينه چقدر است؟ )x tΔ ؟قدر استچدر اين دو لحظه

0t) هنگامي 4.49در ( -15 2و يا →+ 1m k tΔ )برقرار است، انتگرال << ),P x t dx∫ را

بدست آوريد. مفهوم اين جواب چيست؟

) بررسي نماييد.4.61) را با توجه به (4.62درستي ( -16

)شار احتمال بردار -17 ),tJ r را براي تابع موج( ) ( )[ ]0, expt j tψ ψ ω= − − ⋅r k r بدست

احتمال در چه سمتي جريان دارد؟. آوريد

: كنيدفرض ر نظر بگيريد.د) 4.27(با را )4.26( ، به فرمدر خالءبعدي ي موج سه بسته -18

( )( )

2

03 2

1expa

kkπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥ΔΔ ⎢ ⎥⎣ ⎦

k kk

)ابتدا نشان دهيد .باشد ثابتبرداري 0k هك ) 3a d k∫∫∫ k .اكنون مقداري است ثابت

pΔحركت انحراف معيار تابع موج در فضاي اندازه = Δ ⋅Δp p با


ˆ ˆ ˆx y zp x p y p zΔ = Δ +Δ +Δp اي براي شار احتمال بيابيد و سپس رابطهچقدر است؟

)آنگاه شكل فضايي تابع موج االمكان ساده نماييد. آن را حتي ),tψ r مستقيم را با ارزيابي

0tهنگامي انتگرال بدست آوريد. 0kو يا →+ +Δ تابع موج چگونه است؟باشد شكل →

rΔاگر گستردگي تابع در فضا داراي انحراف معياري مانند = Δ ⋅Δr r با

ˆ ˆ ˆxx yy zzΔ = Δ +Δ +Δr 2باشد، نشان دهيدp rΔ Δ برقرار است. همواره ≤

حركت در ، آيا نمايش عدم قطعيت مكان و اندازه18در تمرين Δpو Δrبا قبول تعاريف -19

2Δبعد به صورت سه ⋅Δ ≥p r در حالت كلي صحيح است؟

0zي فرض كنيد پتانسيل در طرفين صفحه -20 تغيير كند. اگر موجي 2Uاز به 1Uناگهان =

0zدر 1θي با زاويه به مرز بتابد دچار شكست خواهد شد. براي شكست موج احتمال در <

0z . شرط بازتابش كلي چيست؟يابيدب لسني ا اي مانند قاعده قاعده >

a) با 4.24راي موج (شار احتمال را ب -21 b= .بدست آوريد و نشان دهيد موج ايستا است

)) داشته باشيم 4.26فرض كنيد در ( -22 ) ( ) ( )[ ]a b δ ξ ω= −k k kاين شرط فهوم م ؛

) انتگرالي گر عملحال چيست؟ )ξΣ كنيم فرم زير را تعريف مي به:

( ) ( )[ ]d k3ξ δ ξ ωΣ ⋅ ≡ − ⋅∫∫∫ k

و اتحاد) 4.27گر را با كمك ( عملاين گر بازنويسي كنيد. ي موج را با كمك اين عمل بسته

( ) ( ) ( ) ( )f xf x f x x x0

10 0δ δ′

⎡ ⎤− = −⎣ براي سازي نماييد. صات كروي سادهدر دستگاه مخت ⎦

بدست EΔ آنانحراف معيار و H داشتي چشمانرژي روابطي براي ، ي موج بستهاين

)) بود، 4.27فرمي متفاوت از (ي پاشندگي به رابطهاگر .ساده نماييدوريد و آ )ξΣ پس از

) زيراتحاد در الح آمد؟ ي در ميكلشبه چه سازي ساده )ED بيابيد كهطوري ا ر

( ) ( ) ( )dE E Eξ δ ξΣ ⋅ ≡ − ⋅∫ D

( )ED عبارتست ازج ي مو ترين بسته يكلحال ناميم. مينيز گالي حاالت انرژيچ را

( ) ( ) ( )x t d x t, ,ξξ ξ ψΨ = ∫ D، هك ( ) ( ) ( )x t x t, ,ξψ ψ≡ kk داده شده است. )4.26( در

فصل پنجم 61

پنجم فصل

خاصمسايل

هاي به روشعمدتا ي شرودينگر در حالت كلي پرداختيم. اين فصل ي معادله در فصول قبلي به مطالعه

ها: بعدي كه در آن ي شرودينگر مستقل از زمان و اكيدا يك حل معادله

)5.1( ( )212 x U Em

ψ ψ ψ⎡ ⎤

= + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H P X

گر هماهنگ را مورد بحث قرار ي مشهور و باالخص نوسان ابتدا چند مسئله پردازد. برقرار است، مي

) ارايه 5.1روشي ماتريسي براي تحليل مسائلي دلخواه از نوع (در فصل بعد خواهيم داد و سپس

:]1[ توان نوشت ) مي4.17) را به فرمي قابل مقايسه با (5.1ي ( در فضاي توابع، معادله خواهيم كرد.

)5.2( ( ) ( ) ( )

22

20x k x x

xψ ψ

∂+ =

∂

)در آن كه )x xψ ψ= تابع عدد موج ، و نيز( )k x شود: ي زير تعريف مي با يكي از دو رابطه

)5.3.1( ( ) ( )[ ] ( )2

2,

mk x E U x E U x= + − ≥

)5.3.2( ( ) ( )[ ] ( )2

2,

mk x j U x E E U x= + − <

)در حالت كلي وقتي )k x فاقد حل صريح است و تنها براي 5.2ي ( تابعي اختياري باشد، معادله (

) دارد.5.2هاي حل ( حاالت خاصي داراي جواب به فرم بسته است. اين فصل اختصاص به بررسي روش

مسايل خاص 62

. تقارن زوج در پتانسيل5.1

را با تعريف(پاريته) اي گر تقارن آينه عمل

)5.4.1( = + −r rM

)5.4.2( = − −p pM

حركت كه جهت ) آن است كه جهت بردار اندازه5.4.2علت ظهور عالمت منفي در ( .در نظر بگيريد

گر اين عملبديهي است كه طبق تعريف دهد در مقابل آينه بايد وارون گردد. حركت را نيز نشان مي

. زيرا:هرميتي است

)5.5.1( = + −r rM

)5.5.2( = − −p pM

گر: مربع اين عمل چنين همو

)5.6( 2 1=M

شود. گر هماني تبديل مي به عمل

)گر هاميلتوني مستقل از زمان عملتوان به سادگي ديد كه ميحال )12m U= ⋅ +H P P R براي

:بعدي كه داراي تقارن مركزي اي در پتانسيل سه ذره

)5.7( ( ) ( )U U+ = −r r

:)1(تمرين يعني ،شود اي جابجا مي گر تقارن آينه است، با عمل

)5.8( [ ], 0=M H

)ي انرژي مانند توان نتيجه گرفت كه توابع ويژه گاه مي آن )ψ ψ=r r ي هاي ويژه كه از كتψ

ي شرودينگر مستقل از زمان معادلهشوند و در ساخته مي

)5.9.1( Eψ ψ=H

)5.9.2( ( ) ( )Eψ ψ=r rH

:نيز باشند (چرا؟). به بيان ديگر Mي هاي ويژه كنند، بايد كت صدق مي

فصل پنجم 63

)5.10( Mψ ψ=M

) بالفاصله نتيجه 5.6اما از ( است. ψمتناظر با كت و M گر ي عمل مقدارويژه Mكه در آن

1Mشود كه مي = :لزوما زوج يا فرد هستند، يعني Hي نمايش مكاني حاالت ويژه ، و بنابراين±

)5.11( ( ) ( )ψ ψ+ = ± −r r.

بعدي و داراي تقارن زوج است: هنگامي تابع پتانسيل يك پس

)5.12( ( ) ( )U x U x+ = −

x,ي انرژي غير تبهگن مقيد مانند تمام توابع ويژه n n +∈ Z همگي حقيقي ،x n ∈ R هستند

xهاي) و نيز تعداد صفرها (گره n برابرn .چنين هماست x n :لزوما يا زوج و يا فردند

)5.13( x n x n− = ± +

شوند: مشخص ميحاالت مقيد انرژي با شرايط مرزي زير

)5.14( ( )lim 0x xψ→±∞ =

و بنابراين همگي قابل بهنجارش هستند:

)5.15( ( ) ( )* 1x x dxψ ψ ψ ψ= =∫

0nي سيستم پايهمقيد توان ديد كه حالت مي ي انرژي است كه داراي كوچكترين مقدارويژه =

همواره بايد زوج باشد.

همواره داريم:براي حاالت انرژي مقيد يك سيستم عالوه بر اين،

)5.16( ( )1 nx n x n− = − +

نمايد. به داللت مي ∅و نه به كت تهي ي سيستم، به حالت پايه 0ي كنيم كه كت ويژه توجه مي

كه تابع است، مشروط به آن مقيد ي انرژي كم داراي يك حالت ويژه ) دست5.12عالوه، سيستمي با (

( )U x ي ي مطلق در بازه داراي دست كم يك كمينه( ),x ∈ −∞ باشد. بنابراين اگر پتانسيل ∞+

داشته باشد، آن تابع ويژه حتما زوج است. ي مقيد ) تنها يك تابع ويژه5.12زوج (


تلر-. پتانسيل پوشل5.2

بعدي كوانتومي است كه با پتانسيل زير ترين سيستم يك تلر معرف جالب-احتماال پتانسيل پوشل

شود: مشخص مي

)5.17.1( ( ) ( )202 sechU U β= −X X

)5.17.2( 2

20 2U

mβ=

βكه در آن +∈ R 0وU+∈ R شود كه شرط تقارن زوج مشاهده مي هستند.و مثبت مقاديري ثابت

آيد: ) به شكل زير در مي5.9.2بنابراين در فضاي توابع ( ) برقرار است.5.12(

)5.18( ( ) ( ) ( ) ( )

2 22

022 sech

2x U x x E x

m xψ β ψ ψ

∂− − =

∂

تلر -پوشلپتانسيل ؛ در حقيقت، ي مقيد است ) داراي طيفي گسسته براي توابع ويژه5.18ي ( معادله

شود كند كه با فرم كلي زير داده مي را قبول ميو البته داراي تقارن زوج، ،تنها يك حالت مقيد

):2(تمرين

)5.19( ( ) ( )sechx a xψ β=

) عبارتست از:5.19ي انرژي متناظر با ( مقدارويژه

)5.20( 0E U= −

):2و برابر است با (تمرين براي ارضاي شرط بهنجارش در نظر گرفته شده است aثابت

)5.21( 2

aβ

=

گردد. ي اتمي باز مي تلر بيشتر به قابليت آن در مدلسازي هسته- اهميت پتانسيل پوشل

. پتانسيل ديراك5.3

در يك H پتانسيل اتم هيدروژنتك الكترون مقيد به ترين مدل براي به عنوان سادهپتانسيل ديراك

شود: ي زير مشخص مي با رابطه ،بعد

فصل پنجم 65

)5.22( ( ) ( )0U U δ=X X

)كه در آن )δ X 0تابع دلتاي ديراك، وU عدثابتي حقيقي و داراي بJm .(چرا؟) نظر از صرف است

ولي فعال ما كند. ) را ارضا مي5.14يك حالت مقيد است كه (دقيقا پتانسيل ديراك داراي ، 0Uعالمت

0كنيم كه فرض مي 0U )ي ي مطلق در بازه ، تا شرط وجود يك كمينه> ),x ∈ −∞ ارضا ∞+

كنيم و براي تحليل اين مسئله، فضا را به دو بخش در طرفين دلتاي ديراك تقسيم ميشده باشد.

خواهيم داشت (چرا؟):

)5.23.1( ( ) ( )0 expx a xψ α−< = +

)5.23.2( ( ) ( )0 expx a xψ α+> = −

در آن:كه

)5.24( 2

2mE jkα = − = −

بايست توجه داشت كه چون ذره در طرفين دلتاي ديراك در حقيقت آزاد است، تنها راه ارضاي مي

هايي كه به ) آن است كه انرژي منفي باشد. در اين صورت، آن دسته جواب5.14شرايط مرزي تقيد (

. زيرا:شوند ) حذف مي5.23( در فرم زير هستند خودبخود از تركيب خطي

)5.25( ( ) ( )lim exp lim expx xx xα α→−∞ →+∞− = + = ∞

جا نتيجه از اينبايد زوج باشد. نيز دهد كه تابع موج حالت پايه ) نتيجه مي5.22زوج بودن پتانسيل (

گيريم: مي

)5.26( a a a− += =

:اين شرط، نيز ضامن پيوستگي تابع موج

)5.27( ( ) ( )0 0ψ ψ− +=

دهد: را بدست مي aشرط بهنجارش بالفاصله مقدار است.

)5.28( a α=

شود. خواهيم داشت: ) حاصل مي5.2) در (5.23گذاري ( ي انرژي با جاي اما مقدارويژه


)5.29( ( ) ( )[ ] ( )

2

02 2

20

mx E U x x

xψ δ ψ

∂+ − =

∂

)ي ) در بازه5.29انتگرال از () و گرفتن 5.27پيوستگي (با در نظر گرفتن )0 , 0− خواهيم داشت: +

)5.30( ( ) ( ) ( )02

20 0 0

mUψ ψ ψ+ −′ ′− =

بنابراين:

)5.31( 02

mUα = −

دهد: كه بدست مي

)5.32( 2022

mE U= −

ي انرژي همواره منفي است، و ثانيا حتي اگر كند كه اوال تنها مقدارويژه ) بيان مي5.32ي ( رابطه

0 0U ) 5.22ارزش رياضي پتانسيل ديراك ( باشد، باز هم يك حالت مقيد انرژي خواهيم داشت. <

اضي ساده شود كه بيش از يك اتم را مدل نمايد. حال به بررسي يك مدل ري هنگامي مشخص مي

2Hتك الكترون يك مولكول دو اتمي با يك بار مثبت همانند يون براي پردازيم. مي +

. يون مولكول هيدروژن5.4

پتانسيل مورد استفاده در اين حالت عبارتست از:

)5.33( ( ) ( ) ( )1 12 20U U d dδ δ⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦X X X

داراي تقارن ) 5.33ديگر است. چون پتانسيل ( از يك dي ي اتم به فاصله گر حضور دو هسته كه بيان

با تقسيم فضا به سه ناحيه ي انرژي آن تقارن فضايي زوج يا فرد خواهند داشت. زوج است، حاالت ويژه

) مانند زير دو دسته جواب زوج )e x x eψ =:

)5.34.1( ( ) ( )12 expe e ex d a xψ α< − = +

)5.34.2( ( ) ( )12 coshe e ex d b xψ α≤ + =

)5.34.3 ( ( ) ( )12 expe e ex d a xψ α> + = −

فصل پنجم 67

) و فرد )o x x oψ =:

)5.35.1( ( ) ( )12 expo o ox d a xψ α< − = + +

)5.35.2( ( ) ( )12 sinho o ox d b xψ α≤ + =

)5.35.3 ( ( ) ( )12 expo o ox d a xψ α> + = − −

با oE و فرد eE حاالت زوجانرژي ) غير تبهگن است، 5.33كه سيستم ( جايي از آن آوريم. بدست مي

eچنين قطعا ؛ همندهم برابر نيست oE E< صادق باشد 5.7وقتي ( برقرار است، زيرا حالت پايه (

0تواند داراي تقارن فرد باشد؛ به بيان ديگر نمي e= 1و o=0كه ، در حالي eE E= و

1 oE E= .0چنين بديهي است كه در صورت همd داشته e زوج ي ويژه حالتبايد تنها يك =

است.قطعي طي ايتحت هر شر o فرد ي ويژه حالتتوان ادعا كرد كه وجود باشيم (چرا؟). لذا نمي

1پيوستگي توابع موج در 2x d= الزم دارد كه داشته باشيم: ±

)5.36.1( ( ) ( )1 12 2exp coshe e e ea d b dα α− =

)5.36.2( ( ) ( )1 12 2exp sinho o o oa d b dα α− = −

بنابراين:

)5.37.1( ( )

21 exp

ee

e

ab

dα=

+

)5.37.2( ( )

21 exp

oo

o

ab

dα=

−

) ناپيوستگي مشتق را در 5.30براي يافتن انرژي هر كدام از حاالت زوج يا فرد، كافي است مانند (حال 12x d= مطالعه كنيم: ±

)5.38( ( ) ( ) ( ) ( )

21 12 202 2

20

mx E U d d x

xψ δ δ ψ

∂ ⎡ ⎤+ − − + + =⎣ ⎦∂X X

)ي گيري در بازه با انتگرال )1 12 2,d d− ++ )يا + )1 1

2 2,d d− +− خواهيم داشت: −

)5.39( ( ) ( ) ( )1 1 12 2 202

2md d U dψ ψ ψ+ −′ ′+ − + =

:شود به روابط زير منجر ميبه ترتيب براي حاالت زوج و فرد كه


)5.40.1( ( ) ( ) ( )1 1 12 2 202

2exp sinh expe ee e e e

e

b md d U d

aα

α α α α− − − = −

)5.40.2( ( ) ( ) ( )1 1 12 2 202

2exp cosh expo o

o o o oo

b md d U d

aα

α α α α− − = − −

دهد: ) نتيجه مي5.37استفاده از (

)5.41.1( ( )12 02

21 tanhe e

md Uα α⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦

)5.41.2( ( )12 02

21 cotho o

md Uα α⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦

هاي عددي قابل و تنها با روش ) معادالتي ضمني براي تحليل انرژي هستند5.41روابط () 5.24طبق (

0dگزيني بديهي است با جاي .باشند حل مي ) 5.31)، تنها يك جواب زوج مانند (5.41در ( =

ي زيرا معادله ) در اين شرايط فاقد جواب است.5.41.2آيد. اين بدان دليل است كه ( بدست مي

0oE) همواره منجر به 5.41.2( گردد. ر نميي بهنجا ويژه و در نتيجه تابع >

d) حد 5.41ي ديگر در روابط ( نكته → 0o است. تحت اين شرايط، ∞ eE E +− خواهد بود →

كنند. اين بدان دليل است كه وقتي دهد حاالت فرد و زوج به سمت تبهگني حركت مي كه نشان مي

ها اندك و در شود، برهمكنش آن دهيم، زياد مي نشان مي Bو Aها را با ي دو اتم، كه آن فاصله

0Bو 0Aي ) و حاالت پايه5.32اي برابر با ( نتيجه هر يك مستقل از ديگري داراي انرژي ويژه

0ي دو اتم به فرم خواهند شد. در نتيجه هر تركيب خطي از حاالت ويژه 0A Ba b+ يك جواب

) است. با نزديك شدن تدريجي دو اتم، اختالل حاصله در هاميلتوني هر يك كه 5.32مجاز با انرژي (

الف بين حاالت زوج و ناشي از حضور اتم دوم است، موجب ايجاد فاصله بين دو انرژي همانند و اخت

1در نتيجه دو تركيب خطي خاص زوج فرد خواهد شد. 12 20 0A B+ 1و فرد 1

2 20 0A B−

) ديد كه براي فواصل تقريبا كمتر از 5توان به سادگي (تمرين مي گيرند. شكل توابع ويژه را به خود مي

d mU20< تعامد حاالت در صورت وجود دو حالت پايه، به عالوه، وجود ندارد. ، جواب فرد−

0eي انرژي نيز ويژه o به وضوح برقرار است (چرا؟). =

:)6(تمرين كند را تعيين مي oaو eaدر پايان اعمال شرط بهنجارش مقادير مطلق

فصل پنجم 69

)5.42.1( ( ) ( )( )

11 22

2 12

exp sinh1

2 coshe e e

ee e

d d da

d

α α αα α

−⎡ ⎤+⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)5.42.2( ( ) ( )( )

11 22

2 12

exp sinh1

2 sinho o o

oo o

d d da

d

α α αα α

−⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

گر هماهنگ . نوسان5.5

:عبارتست ازشود، كه در ) براي تابع پتانسيل تعريف مي3.21ي ( گر هماهنگ با معادله نوسان

)5.43( ( )2

2

2m

Uω

=X X

) 5.7بديهي است كه تقارن زوج ( اي طبيعي سيستم است. بسامد زاويه ωجرم ذره و mكه در آن

)) 5.43كه مطابق با ( جايي گر هماهنگ برقرار است. از آن در نوسان )U x ي مطلق داراي يك كمينه

0xدر n,انرژي هنگ داراي حاالت مقيدگر هما نوساناست، = n +∈ Z هاي زوج و فرد با تقارن

x در مكان n حركت و اندازه p n .خواهد بود

ي گلوله و فنر در سطح است، گر هماهنگ معادل مثال ساده كالسيك، نوسان هاي در قياس با سيستم

كه گلوله در حالت طبيعي فنر در مبدا قرار داشته باشد. هر گونه متراكم كردن يا باز كردن فنر به

موجب نيرويي متناسب با جابجايي فنر و در جهت عكس به ميزان xي اندازه

( ) 2 ˆU x m xxω−∇ = خواهد ωاي گردد، كه موجب ايجاد نوسان در سيستم با بسامد زاويه مي −

ωهايي معادل با مضارب صحيح ها در حقيقت داراي بسامد شد. ولي در مكانيك كوانتوم نوسان

گردد. ي ناشي ميتوانند باشند، كه از گسستگي طيف انرژ مي

گر هماهنگ در فضاي براكت نوسان .5.5.1

گرها است. بدين منظور ابتدا ترين روش استفاده از جبر عمل گر هماهنگ، ساده براي تحليل نوسان

گيريم: ام انرژي در نظر ميnي ي شرودينگر را در فضاي براكت براي حالت ويژه معادله

)5.44( 2

2 212 2x n

mn n E n

mω⎛ ⎞⎟⎜= + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

H P X


را به ترتيب زير براي a†) آفرينشو بقا ( aنردباني فنا (نابودي) غير هرميتيگرهاي ديراك عمل

تحليل اين سيستم معرفي كرد:

)5.45.1( 1ˆ

2 x

ma j

mω

ω⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠X P

)5.45.2( † 1ˆ

2 x

ma j

mω

ω⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠X P

ˆ† توان ديد كه مي ˆa a≠ شوند: گر جابجا نمي اين دو عمل چنين و هم

)5.46( [ ] [ ]

[ ]

† 1 1ˆ ˆ, ,

2

, ,2 2

,

1

x x

x x

x

ma a j j

m mj j

j

ωω ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦−

= +

−=

=

X P X P

X P P X

X P

ها نوشت: ) را بر حسب آن5.44در ( Hتوان هاميلتوني ) آن است كه مي5.45اهميت تعريف (

)5.47( [ ]

†

2 2

2 2

1 1ˆ ˆ

21 1

,2 2 2

1 12 2 2

x x

x x

x

ma a j j

m mm

jm

mm

ωω ω

ωω

ωω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

= + +

= + −

X P X P

X P X P

X P

بنابراين:

)5.48( ( )H † † † †1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

2 2 2 2a a aa a a aa nω ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + = − = + = +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ˆ†كه در آن ˆ ˆn a a= بديهي است كه ؛شود شمارش ناميده ميهرميتي گر عمل[ ]ˆ, 0n =H . حال به

عبارت زير توجه نماييد:

)5.49( ( )

( )

†

†

†

1ˆ ˆ ˆ ˆ

2ˆ

ˆˆ ˆ21

ˆ ˆ ˆ2

ˆ

ˆn

a n a a a n

aaa a n

a a a n

a n

E a n

ω

ω

ω

ω

ω

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= −

= −

H

H

فصل پنجم 71

aگاه باشد، آن nEي انرژي ي انرژي با مقدارويژه يك كت ويژه nشود كه اگر پس معلوم مي n

nEي ي انرژي با مقدار ويژه نيز يك كت ويژه ω− .فنا گر اين بدان معني است كه عمل استa ،

تصوير نموده است: mرا به يك كت حالت انرژي ديگر مانند nكت حالت انرژي

)5.50( ˆ na n c m=

) يك 5.50ي ( يك ضريب ثابت و در حالت كلي مختلط است. توجه نماييد كه معادله ncكه در آن

mمقدار نيست، زيرا ي ويژه معادله n≠.

به طريق مشابه داريم:

)5.51(

( )

( )

† † †

† †

† †

†

†

1ˆ ˆ ˆ ˆ

21

ˆ ˆˆ23

ˆ ˆ ˆ2

ˆ

ˆn

a n a a a n

a aa n

a a a n

a n

E a n

ω

ω

ω

ω

ω

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= +

= +

H

H

a†گاه باشد، آن nEي انرژي ي انرژي با مقدارويژه يك كت ويژه nبه طريق مشابه، اگر n نيز يك

nEي ي انرژي با مقدار ويژه كت ويژه ω+ .گر بقا اين بدان معني است كه عملاست†a كت ،

تصوير نموده است: lرا به يك كت حالت انرژي ديگر مانند nحالت انرژي

)5.52 ( †ˆ na n d l=

يك ضريب ثابت و در حالت كلي مختلط است. ndكه در آن

ˆچون 0a 0ي ي انرژي با مقدار ويژه تواند يك كت ويژه نميE ω− باشد، زيرا هيچ مقدار مجاز

طبق تعريف نبايد وجود داشته باشد. پس: 0Eي كمتر از انرژي حالت پايه انرژي ويژه

)5.53( ˆ 0a = ∅

) آن است كه:5.52) با (5.53تنها راه سازگاري (

)5.54( 0 0c =

) بيابيم:5.45.1را با كمك ( 0Eدهد كه انرژي حالت پايه ) اين امكان را مي5.53ي ( معادله


)5.55( 10xj

mω⎛ ⎞⎟⎜ + = ∅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠X P

آيد: از چپ بدست مي xبا ضرب براي مكان

)5.56( 10 0x j j x

m xω

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ⎟⎜⎢ ⎥+ − =⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂⎣ ⎦

)با تعريف )0 0x xψ خواهيم داشت: =

)5.57( ( )02

10x x

xψ

κ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂

mκكه در آن ω= .1 با توجه به شرط بهنجارشψ ψ داراي حل زير است: )5.57، (=

)5.58( ( ) 2 20

1exp

2x x

κψ κ

π⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

توان بالفاصله ديد ) مي5.44گذاري در ( ) داراي تقارن زوج است. ضمن جاي5.58توجه نماييد كه (

كه:

)5.59( 0

12

E ω=

ي صفر نيز گفته ي انرژي پتانسيل بزرگتر است، به آن انرژي نقطه ) از كمينه5.59كه ( جايي از آن

آوريم: كنيم و بدست مي ) استفاده مي5.51) و (5.49. حال از (شود مي

)5.60.1( ( )† †0ˆ ˆ0 0n na E n aω= +H

)5.60.2( ( )ˆ ˆn nna n E n a nω= −H

دهد: ) نشان مي5.52) و (5.50كه با استفاده از (

)5.61.1( ( )12 ,nE n nω += + ∈ Z

)5.61.2( ˆ 1na n c n= −

)5.61.3( †ˆ 1na n d n= +

:داريم است. ndو ncي ضرايب مجهول ، محاسبهمانده تنها چيزي كه باقي

)5.62( ( ) 2†† *ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n nn n n n a a n a n a n c c m m c= = = =

فصل پنجم 73

به همين ترتيب:و

)5.63( ( )† 2† † † *ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 n n nn n n n aa n a n a n d d l l d+ = = = =

اما از طرفي:

)5.64( 2ˆ ˆ1 1nn n n n n n n n c+ = + = +

بنابراين:

)5.65( 2 21n nc d+ =

]) داريم 5.48چون طبق ( ]ˆ, 0n =H(چرا؟) ، بنابراين:

)5.66( ˆ nn n b n=

برابر است با:) 5.61.1با كمك ( nbي كه در آن مقدارويژه

)5.67( 12

nn

Eb n

ω= − =

) خواهيم داشت:5.65) و (5.62پس با كمك (

)5.68( 2 21n nn d c= − =

:كه داراي حل زير است

)5.69.1( nc n=

)5.69.2( 1nd n= +

) خواهند شد:5.61.3) و (5.61.2، روابط (ndو ncنظر از فاز اختياري ضرايب در نتيجه با صرف

)5.70.1( ˆ 1a n n n= −

)5.70.2( †ˆ 1 1a n n n= + +

حركت گر هماهنگ در تصوير اندازه . نوسان5.5.2

آمد: كرديم، بدست مي ضرب مي xpحركت ) را از طرف چپ در براي اندازه5.55ي ( چه معادله چنان

)5.71( 10 0x x

x

j j p pp mω

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ⎟⎜⎢ ⎥⎟ + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦


)و بنابراين با تعريف )0 0x xp pψ خواهيم داشت: =

)5.72( ( )02

10x x

x

p pp

ψη

⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

)كه در آن )1η κ=:و ضمنا داراي حل بهنجار زير است ،

)5.73( ( ) 2 20

1exp

2x xp pη

ψ ηπ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ي عدم قطعيت را ) كمينه5.73) و (5.58) است. روابط (5.58كه از نظر توزيع ظاهري كامال مشابه (

:)10كنند (تمرين ارضا مي

)5.74 ( 1 12 2 2xx pκ η

Δ Δ = =

ي قطعيت است. گر هماهنگ، يك حالت كمينه ي نوسان بنابراين حالت پايه

گر هماهنگ در فضاي توابع نوسان. 5.5.3

بعد به ) در يك3.22.1) را در فضاي توابع و تصوير مكان مانند (5.44ي ( پذير است كه معادله امكان

صورت زير نوشت:

)5.75( ( ) ( )

24 2

2 2

20n

n n

mEx x x

xψ κ ψ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜+ − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂

عد با تعريف متغير بدون بxξ κ=) ،5.75:خواهد بود (

)5.76( ( ) ( ) ( )2

2 22 2 0n n nm Eψ ξ η ξ ψ ξ

ξ∂

+ − =∂

)تغيير متغير ) ( ) ( )212expn nHψ ξ ξ ξ= ي آشناي هرميت تبديل ) را به معادله5.76ي ( ، معادله−

كند: مي

)5.77( ( ) ( ) ( )2

2 2 2 0n n n nH H Hξ ξ ξ ν ξξ ξ∂ ∂

− + =∂ ∂

2در آن براي وجود جواب كه 12n nm Eν η= nνبايد يك عدد صحيح نامنفي مانند −

+∈ Z .باشد

)تحت اين شرايط تابع )nH ξي اي از مرتبه ، يك چند جملهn اي هرميت و موسوم به چندجمله

هاي هرميت داراي ويژگي تقارن زير هستند: اي باشد. چند جمله مي

فصل پنجم 75

)5.78( ( ) ( ) ( )1 nn nH Hξ ξ− = −

nnضمنا ν=آيد ، و بدست مي:

)5.79( 2 12nm E nη = +

خواهيم داشت: ηگذاري مقدار با جاي

)5.80( ( )12nE nω= +

توابع موج پس از بهنجارش عبارتند از: كند. ) را تاييد مي5.61.1ي ( كه همان رابطه

)5.81( ( ) ( ) ( )2 212exp

2 !n nnx x H xnκ

ψ κ κπ

= −

:بهنجارند تعامدهرميت هستند، و م-) موسوم به توابع گوس5.81توابع (

)5.82( ( ) ( )m n mnm n x x dxψ ψ δ= =∫

هرميت - كه توابع گوس از آنجايي ) همگي حقيقي هستند.5.81كنيم كه توابع ( ) توجه مي5.82در (

ها بسط داد: توان روي آن ساند، هر تابع دلخواه را مي اي كامل را مي مجموعه

)5.83( ( ) ( )m m

m

f x f xψ= ∑

كه در آن:

)5.84( ( ) ( )m mf x f x dxψ= ∫

براي يك تابع ) دقيقا صفرند. به همين ترتيب،5.83بديهي است براي يك تابع زوج، جمالت فرد در (

توان ) را به صورت زير مي5.83) صفر هستند. در فضاي براكت شرط (5.83فرد، جمالت زوج در (

:)11(تمرين نوشت

)5.85( 0

1m

m m∞

=

= ∑

سازد هر كت نمايد، زيرا ما را قادر مي اتحاد اخير نقش به سزايي در مكانيك كوانتومي ايفا مي

بودن ي كامل بيان ديگري از رابطه گر هماهنگ بسط داد. هاي نوسان را روي پايه αخواهي مانند دل

) به فرم زير است:5.83(


)5.86( ( ) ( ) ( )0n n

n

x y x yψ ψ δ∞

=

= −∑

بعد گر هماهنگ در سه . نوسان5.5.4

از:بعد متقارن عبارتست گر هماهنگ در سه ي نوسان گر پتانسيل در مسئله عمل

)5.87( ( ) ( )2 2

2 2 2

2 2m m

Uω ω

= ⋅ = + +R R R X Y Z

) در نمايش 3.22.2) در نمايش مكاني، يا از نوع (3.22.1اي از نوع ( كه در فضاي توابع به معادله

بندي در اساس دوگان و همانند هستند، ما تنها به تحليل چون دو صورت .شود حركت تبديل مي اندازه

گر هاميلتوني: پردازيم. با توجه به فرم خاص عمل نمايش مكاني مي

)5.88( ( )2 2 2 2 2

2 2 22 2 22 2

x y z

mx y z

m x y zω⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜= − + + + + +⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= + +

H

H H H

كه در آن:

)5.89( 2 2 2

22

, , ,2 2i i

i

mr i x y z

m rω∂

= − + =∂

H

ت آورد كه منجر به دستگاه معادالت مجزاي ) بدس4.16توان پاسخ را با جداسازي متغيرها از نوع ( مي

گردد: زير مي

)5.90( ( ) ( ), , ,i i ii n i n n iA r E A r i x y z= =H

بايست شرط پاشندگي به صورت زير رعايت گردد: ) مي5.90در (

)5.91( ( ) in n

i

E E= ∑

)كه در آن ) ( ), ,x y zn n n n=:و مقادير ويژه عبارتند از ،

)5.92( 1,

2in i iE n nω +⎛ ⎞⎟⎜= + ∈⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Z

پس انرژي كل عبارتست از:

)5.93( ( )

32n i

i

E nω⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑

فصل پنجم 77

)ي صفر دهد حالت پايه با انرژي نقطه كه نشان مي )320E ω= شود. مشخص مي

شوند: هاي زير منجر مي ) هستند كه بالفاصله به جواب5.44) همگي از نوع (5.90اما مسايل (

)5.94( ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

32

34

212

, ,

exp2 ! ! ! x y zx y z

n x y z

n n nn n nx y z

n n n n

H x H y H zn n n

ψ

κκ κ κ κ

π + +

= =

= − ⋅

r r r

r r

توان نوشت: گر هاميلتوني در فضاي براكت مي بنابراين براي عمل

)5.95( 21

2 2m

mω

= ⋅ + ⋅H P P R R

كند: مقدار انرژي زير صدق مي ي ويژه كه در معادله

)5.96( ( )( )

( )nn E n=H

آيد: ميهاي ويژه به شكل زير در كتبديهي است تعامد

)5.97( ( ) ( )( )( ) x x y y z zm n m n m n m nm n δ δ δ δ= =

كه در فضاي توابع نيز عبارتست از:

)5.98.1( ( )

( )( )

( )( )( )

3m n m nd rψ ψ δ=∫∫∫ r r

)5.98.2( ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2m mm

x x y y z zψ ψ δ δ δ δ= − = − − −∑ r r r r

) همگي حقيقي هستند.5.94مجددا توجه داريم كه توابع (

خواهيم داشت: ) نيز5.70) و نردباني (5.48گرهاي شمارش ( در مقايسه با عمل

)5.99.1( †ˆ ˆ ˆi i in a a=

)5.99.2( ( ) ( ) ( )ˆ 1i i ia n n n= −

)5.99.3( ( ) ( ) ( )†ˆ 1 1i i ia n n n= + +

كنيم: كه در آن تعريف مي

)5.100( ( )

( )

( )

( )

1, 0, 0 ,

1 0,1, 0 ,

0, 0,1 ,

i

i x

i y

i z

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩


) خواهد بود:5.95گر هاميلتوني ( تر عمل بنابراين، فرم ساده

)5.101( 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2x y z ii

n n n nω ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜= + + + = + ⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑H

كنند: ي زير صدق مي ) در معادله5.99.1گرهاي شمارش ( چنين عمل هم

)5.102( ( ) ( )i in n n n=

. مسايل متناوب5.6

:زير را ارضا كند پتانسيل ويژگيگر انرژي عمل در بسياري مسايل يك يا چندبعدي

)5.103( ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , = 1,2, 3iU t U m m m t m i= + + + ∀ ∈a a aR R Z

,دارهاي ثابت در آن بركه 1,2, 3i i =a 1بردارهاي پايه نام دارند و شرط 2 3 0⋅ × >a a a را ارضا

گر انتقال گسسته را به شكل: نمايند. اگر عمل مي

)5.104(( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )m m m i m i i

i

U t U t m i m3

1

, , , , = 1,2, 3,=

= + ∀ ∈ = ∑R R aT R R T Z

ي انرژي دارد كه توابع ويژه بيان مي] 1-3فلوكه [-ي بلوخ قضيهاي موسوم به گاه قضيه تعريف كنيم، آن

گيرند: در نمايش مكاني فرم زير را به خود مي

)5.105( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , exp ,m m mt t t j tξ ξ ψ ψ= = ± ⋅r r r R rT Tκ κ κ

شوند. يك قضيه و يك تعميم ارايه ميي فوق نشان دادن صحت رابطهبراي ذيال

فرض كنيد داشته باشيم: قضيه:

)5.106( 12

Em

ψ ψ ψ⎛ ⎞⎟⎜= ⋅ + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

H P P U

) را در نظر بگيريد:5.104انتقال گسسته با تعريف ( گر عمل

)5.107( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )m m m m i i i

i

f f m m i3

1

, , , = 1,2, 3=

= + = ∀ ∈∑R R aT R R T Z

فصل پنجم 79

)كه در آن )mR شود و يك بردار شبكه ناميده مي( )f هر تابع دلخواه از مكان است. ⋅

,ي كنيم كه بردارهاي پايه چنين فرض مي هم = 1,2, 3i ia 1شرط 2 3 0⋅ × >a a a را ارضا

السطوح ساخته شده با اين سه بردار اند، و بنابراين حجم متوازي كنند، يعني مستقل خطي مي

) 5.106در ( Hدر هاميلتوني Uبديهي است كه اگر پتانسيل غير صفر و مثبت است.

:) را ارضا كند بايد داشته باشيم5.103ي تناوب ( رابطه

)5.108( ( )[ ], 0m =T H

گاه خواهيم داشت: آن

)5.109( ( ) ( )( )expm mjψ ψ= ⋅RT κ

شود. فلوكه ناميده مي-بردار بلوخ κكه در آن

داريم: )5.106) و (5.108طبق ( اثبات:

)5.110( ( ) ( )m mψ χ ψ=T

)كه در آن )mχ ي گر انتقال گسسته ي عمل مقدارويژه( )mT و ،ψ ي هاي ويژه همان كت

)و Hتوجه شود كه با وجود آنكه ) هستند. 5.106در ( Hگر عمل )mT هاي كتاي دار

)و Eها يعني آن ي مقاديرويژه ي هستند، ولي رابطه ψمشترك ي ويژه )mχاي غير ، رابطه

است. براي ساختارهاي متناوب مانند بلورهاي الكتروني، فوتوني، و يا فونوني، در بديهي

حقيقت مفهوم ساختار نواري همان نگاشتي است كه اين دو مجموعه مقادير ويژه را به هم

].1سازد [ مرتبط مي

گر انتقال گسسته طبق تعريف آن داراي ويژگي زير است (چرا؟): عمل

)5.111( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 3, ,m n m n n m n m m n+ += = = ∀ ∈T T T T T T Z

توان بالفاصله به ويژگي زير دست يافت (چرا؟): ) مي5.100ي فوق و با كمك تعاريف ( از رابطه

)5.112.1( ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 31 11x zy

m m mm =T T T T

)5.112.2( ( ) ( )1 1, 0, 0x =


)5.112.3( ( ) ( )1 0,1, 0y =

)5.112.4( ( ) ( )1 0, 0,1z =

حال اگر داشته باشيم:

)5.113.1( ( ) ( ) ( )T 1 1 exp 2x x x xjψ χ ψ χ ψ πδ ψ= = =

)5.113.2( ( ) ( ) ( )T1 1

exp 2y y

y yjψ χ ψ χ ψ πδ ψ= = =

)5.113.3( ( ) ( ) ( )T 1 1 exp 2z z z zjψ χ ψ χ ψ πδ ψ= = =

,كه در آن , ,i i x y zδ فازهايي حقيقي يا موهومي هستند، بديهي است كه بر اساس =

خواهيم آورد:) بدست 5.110) و (5.112.1(

)5.114( ( ) ( )1 2 31 2 3exp 2m m m

m x y z x y zj m m mχ χ χ χ π δ δ δ⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

كنيم كه: را طوري تعريف مي κفلوكه - حال بردار موج بلوخ

)5.115( ( ) ( )1 2 32m x y zm m mπ δ δ δ⋅ = + +Rκ

يا:

)5.116( ( ) ( )( )expm mjχ = ⋅Rκ

برقرار باشد. براي اين منظور كافيست داشته باشيم:

)5.117.1( 1 2 3x y zδ δ δ= + +b b bκ

)5.117.2( 2 31

1 2 3

×=

⋅ ×a a

ba a a

)5.117.3( 3 12

2 3 1

×=

⋅ ×a a

ba a a

)5.117.4( 1 23

3 1 2

×=

⋅ ×a a

ba a a

,كه در آن = 1,2, 3i ib بالفاصله ) 5.116حال با كمك (شوند بردارهاي وارون ناميده مي

اين پايان اثبات قضيه است.) بدست خواهد آمد. 5.109ي ( رابطه

فصل پنجم 81

داراي ويژگي زير هستند: ψي هاي ويژه كت :تعميم

)5.118( ( )exp jψ ξ= ⋅R κκ

)گر ي عمل كت ويژه ξκكه در آن )mT ي واحد است: با مقدارويژه

)5.119( ( )m ξ ξ=T κ κ

گزين كنيم. با انجام اين ) جاي5.118را از ( ξκكت آن،) كافيست در 5.119براي اثبات ( اثبات:

آيد: ) بدست مي5.109كار و استفاده از (

)5.120(

( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

exp

exp

exp exp exp

m m

m m

m m

j

j

j j j

ξ ψ

ψ

ψ

ξ

= − ⋅

⎡ ⎤= − ⋅ +⎣ ⎦= − ⋅ − ⋅ + ⋅

=

R

R R

T T R

R T

R

κ

κ

κ

κ

κ κ κ

آيد. اين پايان اثبات ) بدست مي5.105ي ( ) رابطه5.118در طرفين ( rبا ضرب براي مكان

فلوكه است.-ي بلوخ قضيه

مراجع:

.1386، انتشارات نوين، تهران، اي بر اپتيك بلورهاي فوتوني مقدمهس. خراساني، ]1[

[2] S. Wang, Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics, Prentice-

Hall, 1989.

[3] R. M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods,

Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

تمرين:

) را بيازماييد.5.8درستي ( - 1

نشان دهيد گذاري ضمن جاي) را ترسيم كنيد. 5.19و جواب () 5.17.1(تلر -پتانسيل پوشل - 2

نيز ) برقرار باشد. 5.20كه ( ) است، مشروط به آن5.18( ي معادله ) جواب دقيقي از5.19(

) ضروري است.5.15) براي برقراري بهنجارش (5.19) به همراه (5.21نشان دهيد (


0Eدر انرژي صفر تلر -پتانسيل پوشلنشان دهيد - 3 داراي جواب نامقيدي از نوع =

( ) ( )tanhx a xψ β= جواب را رسم .كند ) را راضي نمي5.14كه شرايط مرزي ( است

نماييد.

را براي حالت مقيد پتانسيل Tو جنبشي Uداشتي انرژي پتانسيل مقدار چشم - 4

+Eنشان دهيد .تلر بيابيد- پوشل =U T 4، و= −U T.

منجر oدار براي حالت فرد هاي فيزيكي معني ) به جواب5.41.2كه ( نشان دهيد براي آن - 5

؛ براي اين منظور از تقريب از يك حداقلي بيشتر باشد dي دو اتم شود بايد فاصله

( ) 1coth ~x x− در حدx .كوچك استفاده كنيد

ي فرد و زوج نشان دهيد. ) را براي بهنجارش توابع ويژه5.42درستي ( - 6

محاسبه و dبر حسب oEو فرد eEبراي انرژي حاالت زوج ) را 5.41هاي عددي ( پاسخ - 7

ترسيم نماييد.

را براي حالت Tو جنبشي Uداشتي انرژي پتانسيل ) مقدار چشم5.33ي ( در مسئله - 8

رسم نماييد. dها ي اتم ي انرژي پايه محاسبه نماييد و بر حسب فاصله ويژه

به فرم مانند ي هيدروژن هسته 2Nمنظم و خطي از زنجيري) را براي 5.33ي ( مسئله - 9

( ) ( )1

120

N

m N

U U m dδ−

=−

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦∑X X در نظر بگيريد. ابتدا نشان دهيد اين پتانسيل

ي ويژهمقاديربندي كرده و فرمول) را مجددا 5.33) است. حال (5.12داراي تقارن زوج (

2براي حاالت هاي عددي را با روشآن انرژي 8N = ،2 12N 2، و = 22N محاسبه =

ترسيم نماييد.و

دو اين چنين ثابت كنيد دهيد. هم) نشان 5.75) و (5.58) را براي توابع موج (5.74درستي ( -10

كنند. ) صدق مي2.13) و (2.11حركت در تبديالت ( تابع در فضاي مكان و اندازه

چنين نشان دهيد هم ) بيازماييد.5.84) را به همراه (5.83) صحت (5.85ي ( از رابطه -11

ارز است. ) هم5.85( ) با5.86(

فصل پنجم 83

)اي گذاري بسط چندجمله با جاي -12 )0

mm

m

H hξ ξ∞

=

= ي روابط )، و مطالعه5.77در ( ∑

νدار آن است كه بازگشتي نشان دهيد شرط وجود جواب كران +∈ Z ي و در نتيجه مرتبه

اي متناهي باشد. چندجمله

كنند: روابط زير را ارضا ميهاي هرميت اي نشان دهيد چندجمله -13

( ) ( ) ( ) ( )2 21 exp expn

nn n

dH

dξ ξ ξ

ξ= − −

( ) ( )2

0

exp 2!

n

nn

tt t H

nξ ξ

∞

=

− = ∑

حركت عبارتند از: گر هماهنگ در نمايش اندازه ي انرژي نوسان ويژه ثابت نماييد حاالت -14

( ) ( ) ( )2 21exp

2 ! 2n

n x x n xnp j p H pnη

ψ η ηπ

⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

با تغيير تعريف ي زير را فوريهعكس تبديل درستي ) 5.81ي ( و رابطه 14با كمك تمرين -15

:بعد مكاني نشان دهيد ) براي يك2.8(

( ) ( ) ( )1n x n xx p pψ ψ− =F

اند؟ چگونه حركت تلر و اتم ديراك در نمايش اندازه- ي انرژي پتانسيل پوشل حاالت ويژه -16

اي بعدي، نشان دهيد حاالت انرژي آن تبهگن هستند. رابطه گر هماهنگ سه براي نوسان -17

)ي تبهگني حالت انرژي براي درجه )n .بيابيد

) را در دستگاه كروي حل كنيد.5.88ي ( مسئله -18

بعد به فرم زير باشد: ي شرودينگر در دو فرض كنيد پتانسيل معادله -19

( ) ( ) ( ), cos sin sin cosU V Wθ θ θ θ= + + − +X Y X Y X Y

)هاي ي انرژي هاميلتوني نشان دهيد اگر حاالت و مقادير ويژه )212mV x V= +H P X و

( )212mW x W= +H P X بعد دانسته باشند، اين مسئله دقيقا قابل حل است. در يك

) به شكل نامتقارن زير تعريف شده باشد:5.101فرض كنيد هاميلتوني ( -20


( ) ( ) ( )

( )

1 1 12 2 2

12

ˆ ˆ ˆ

ˆ

x x y y z zn n nω ω ω⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⋅ +n

H

ω

ˆ كه در آن داريم ˆ ˆx y zx y zω ω ω= + +ω وˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zn x n y n z= + +n . ضمن تعريف

بردارهاي:

ˆ ˆ ˆx y z

mx y zκ κ κ= + + =κ ω

1 1 1ˆ ˆ ˆ

x x x

x y zκ κ κ

= + +η

حركت بازنويسي نماييد. مكان و اندازه هاي توابع حاالت انرژي را در نمايش

,نشان دهيد بردارهاي -21 = 1,2, 3i ib ) هاي .الف) ويژگي13در i j ijδ⋅ =a b و

( )( )1 2 3 1 2 3 1⋅ × ⋅ × =a a a b b b كنند را هميشه ارضا مي.

2نشان دهيد وقتي بردارهاي پايه متعامدند -22i j i ija δ⋅ =a a2 هاي ، ويژگيi i ia=b a و

2i j i ijb δ⋅ =b b ي مكعبي با . نيز روابط را براي شبكهبرقرار است 1عالوه بر موارد تمرين

1 2 3a a a a= = ساده كنيد. =

)فلوكه - كت بلوخ -23 )exp jψ ξ= ⋅R κκ حركت را در نمايش اندازهψp .بيابيد

)) به صورت 5.17تلر در (-پتانسيل پوشل -24 ) ( ) ( )202 1 sechU Uλ λ β= − +X X قابل

λتعميم است كه در آن ∈N با كمك تبديل .( ) ( )[ ]tanhx P xψ β= نشان دهيد اين

يافته و با طيفي هاي لژاندر تعميم اي هايي بر حسب چندجمله معادله داراي مجموعه جواب

2تبهگن مانند 0E Uλμ λ= 1μاست كه در آن − λ=. هاي چنين نشان دهيد جواب هم

2غير مقيدي با انرژي 0E Uλ λ= شوند. رند كه ضمن عبور دچار بازتاب نميوجود دا +

)بعدي فرض كنيد پتانسيل يك -25 )U X منجر به حاالت غير تبهگن انرژي مانند

nn E n=H 1شود. اگر داشته باشيم ميn nE E E+ − = Δ كه در آن ،E +Δ ∈R

گر هماهنگ با لزوما به شكل نوسان تابع پتانسيل كميتي است ثابت و مثبت، نشان دهيد

( ) 2U α β γ= + +X X X است، كه در آنα +∈R و,β γ ∈R.

فصل ششم 85

ششم فصل

كلي بعدي مسايل يك

اين در . پرداختيم خاصت حاالبرخي ي شرودينگر در معادله هاي حل ي روش ارايهدر فصل قبلي به

كه در ) 5.2(مستقل از زمان بعدي ي شرودينگر اكيدا يك حل معادلهماتريسي براي فصل روشي

:]1[فضاي توابع به فرم كلي

)6.1.1( ( ) 0A x =L

)6.1.2( ( )

22

2k x

x∂

= +∂

L

)بديهي است . پردازيم قابل نمايش است، مي ) ( ) ( )expx t A x j tψ ω= E، كه− ω= . نيز در

)، تابع عدد موج )6.1(ي رابطه )k x در . شود تعريف مي) 5.3.2(يا ) 5.3.1(ي توسط يكي از دو رابطه

آيد در مي) 6.1(ي انتشار موج در يك سيستم اكيدا يك بعدي نيز به فرم ، معادله]1[ي اپتيك حوزه

:شود كه در آن تابع عدد موج به شكلي متفاوت تعريف مي

)6.2.1( ( ) ( ) ( )2 2 20 0,k x k n x k n xβ β= + − ≥

)6.2.2( ( ) ( ) ( )2 2 20 0,k x j k n x k n xβ β= − − <

)) 6.2(در روابط )n x 0گرد محيط غيرمغناطيسي، تابع ضريب شكست همسان sinkβ θ= ثابت

0k، و xنسبت به محور θي با زاويه انتشار مايل cω= لذا با در نظر داشتن .عدد موج خالء است

بعدي كلي مسايل يك 86

)عالمت منفي در جزء موهومي عدد موج نوري )k x نسبت به عالمت مثبت آن براي عدد ) 6.2.2(در

قابل . توان از نتايج تحليل اين بخش در قلمرو اپتيك نيز استفاده نمود ، مي)5.3.2(موج كوانتومي در

عدد موج هنگامي حقيقي است كه ضريب شكست از حدي ) 6.2.1(طبق ذكر است كه

( )0n x kβ≥ انرژي نوراني تمايل به حركت در مناطق ) و نه همواره(معموال بزرگتر باشد، و بنابراين

هنگامي حقيقي است كه انرژي ) 5.3.2(در مقايسه، تابع عدد موج در . داراي ضريب شكست زياد دارد

)ذره از تابع انرژي پتانسيل )E U x≥ بيشتر باشد، و در نتيجه احتمال حضور در مناطقي كه داراي

)كند، يا در نقاطي كه عدد موج از صفر عبور مي .تر هستند بيشتر است نسيل پايينپتا )2k x تغيير

ماهيت موج از نوساني در طرفين آن داريم كه را بازگشت ي موسوم به نقطهي ا دهد، نقطه عالمت مي

.دگرد ل ميمبدبه ميرا

حل تقريبي تحليلي. 6.1

:)1تمرين ( به صورت زير قابل بازنويسي است Lگر عمل) 6.1(ي در معادله

)6.3( ( )† jk x′= +L D D

:اند به صورت زير تعريف شده D†و Dگرهاي غير هرميتي كه در آن عمل

)6.4.1( ( )jk xx∂

= −∂

D

)6.4.2( ( )† jk xx∂

= +∂

D

:بديهي است داريم

)6.5( ( )†, 2jk x⎡ ⎤ ′=⎣ ⎦D D

:دهد كه نشان مي

)6.6( ( )† † † †1 12 2,⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦L D D D D D D DD

)يا ) 6.5(نظر از جابجاگر ضمن صرفحال )k x′فرم تقريبي به) 6.3( گر عمل كاهش ، و :

فصل ششم 87

)6.7( † † † †12 ,⎡ ⎤= + ≈ ≈⎣ ⎦L D D D D D D DD

:قابل تفكيك استي نخست مرتبه ي ديفرانسيل ي خود به دو معادله يابيم كه آن به نوبه در مي

)6.8.1( ( ) 0A x =D

)6.8.2( ( )† 0A x =D

:هستندداراي حلي دقيق به فرم زير تاين معادال

)6.9.1( ( ) ( ) ( )

2

1

1 2 1 1 expx

x

A x A x j k x dx⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

)6.9.2( ( ) ( ) ( )

2

1

2 2 2 1 expx

x

A x A x j k x dx⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

:آيد بدست مي) 6.9(با تركيب خطي ) 6.3(بنابراين يك حل تقريبي از

)6.10( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 1 1 2 1exp expx x

x x

A x A x j k x dx A x j k x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

به اين رابطه، حل . بيشتر است) 6.10(تر باشد، دقت حل به صفر نزديك) 6.5(هر قدر جابجاگر

:بديهي است كه بايد شرط مرزي. شود بريلويين گفته مي- كرامرز-ونتزل

)6.11( ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1A x A x A x= +

)هنگامي . برقرار باشد) 6.10(در )k x′ دقيق هاي به جوابخودبخود ) 6.10(دقيقا صفر است، حل

:شود تبديل مي) 4.22(

)6.12( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1exp expA x A x jk x x A x jk x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

بريلويين از دقت - كرامرز-، در عمل براي بسياري از مسايل حل ونتزل)6.10(رغم سادگي حل علي

هنگامي پتانسيل داراي تقارن زوج باشد، توابع موج مقيد نابهنجار به . انگيزي برخوردار است اعجاب

:شوند زير ساده ميتقريبي يكي از دو حالت

)6.13.1( ( ) ( )cosA x xφ=

)6.13.2( ( ) ( )sinA x xφ=


:كه در آن

)6.14( ( ) ( )

0

x

x k s dsφ = ∫

بنابراين با فرض گسسته بودن طيف، براي حالت انرژي . است xي فاز پيمايش مسير از مبدا تا نقطه

:ام داريمnمقيد

)6.15.1( ( ) ( )cosn nA x xφ=

)6.15.2( ( ) ( )

02

x

n nx k s ds nπ

φ = +∫

)كه در آن ) ( );n nk x k x E= . هنگامي كه ) 6.13(ابط وراما( )k x و ندموهومي است معتبر نيست

)به نواحي حقيقي عدد موج ) 6.13(در عمل، دقت توابع موج .از حل ديگري استفاده نمودبايد )k x

موهومي ي تر كه بازه معموال براي بدست آوردن حل كلي .گردد و مابين نقاط بازگشت محدود مي

( )k x مي ،را نيز پوشش دهد آن مفصل است و در اين استفاده كرد كه بحث ] 2[يري توان از توابع ا

.گنجد نوشتار نمي

زومرفلد-بوهر-ويلسونكوانتش . 6.1.1

)با 2xو 1xي بازگشت مانند پتانسيل داراي دو نقطهفرض كنيد ) 0, 1,2ik x i= در اين . باشد =

، فاز پيمايشي معادل 1xبه 2x، و بازگشت از 2xبه 1xصورت موج ضمن طي مسير از

)6.16( ( )

2

1

propagation 2x

x

k x dxφΔ = ∫

2ي بازگشت، اختالف فازي برابر از هر نقطه بازتابخواهيم ديد كه ضمن هر .كند را طي ميπ بدان

:اي كه در يك رفت و برگشت ، به گونه)16تمرين ( شود افزوده مي

)6.17( reflectionφ πΔ =

شرط وجود جواب آن است كه كل فاز رفت و برگشت در يك مسير بسته مضربي . بايد برقرار باشد

:شود باشد، و لذا شرط كوانتش سطوح انرژي به شكل زير محاسبه مي 2πصحيح از

فصل ششم 89

)6.18( round-trip propagation reflection 2 ,n nφ φ φ πΔ = Δ +Δ = ∈N

:توان به شكل زير بازنويسي نمود را مي) 6.18(شرط

)6.19( ( )[ ] ( )2

1

122

2,

n

n

x

n

x

mE U x dx n nπ +− = + ∈∫ Z

)كه در آن ) ( )1 2n n nE U x U x= 1نظر از ثابت صرف. =فرم ) 6.19(ي در سمت راست، رابطه 2

:زومرفلد-بوهر-ويلسوني تقريبي كوانتش اي از قاعده تصحيح شده

)6.20( 2 ,J d n nπ= ⋅ = ∈∫ p r N

اتم هيدروژن خود را بنا گذارد و ابتدايي است كه بر مبناي آن نيلز بوهر مدلبراي حاالت انرژي مقيد

ي كه روي يك دور از مسير بسته Jي انتگرال بسته) 6.20(در .دست يافت (!) دقيقطيف انرژي به

.استشود، موسوم به عمل حركت ذره محاسبه مي

بهبوديافتهحل . 6.1.2

طور كه بعدا در مبحث ماتريس انتقال بريلويين، همان- كرامرز-براي افزايش دقت عددي حل ونتزل

را صفر قرار دهيم ) رو يا پيش(رو ي موج پس تفاضلي نشان داده خواهد شد، كافي است دامنه

( )2 1 0A x :را به صورت زير بازنويسي كنيم) 6.10(، و =

)6.21( ( ) ( ) ( )

2

1

2 1 1; expx

x

A x A x x j k x dx⎡ ⎤⎢ ⎥≈ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

)كه در آن تابع )1 1;A x x به جاي ثابت( )1 1A x گزيني با جاي. براي افزايش دقت حل نشسته است

:)5تمرين ( توان به سادگي ديد كه مي) 6.1(در ) 6.21(

)6.22( ( ) ( )( )( )

11 1 1 1;

k xA x x A x

k x≈

:يافته بريلويين بهبود- كرامرز-جواب ونتزل ،رو مشابه براي موج پسي پس از انجام محاسبه

)6.23(( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

2 2

1 1

1 21 1 1 2 1exp exp

x x

x x

k x k xA x A x j k x dx A x j k x dx

k x k x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

.در نزديكي نقاط بازگشت نامعتبر است) 6.23( به وضوح هنوز. آيد بدست مي


ماتريس انتقال. 6.2

موج تغييرات ها عدد ماتريس انتقال روشي جبري و ساده براي تحليل مسايل كوانتومي كه در آن

سازي الگوريتم آن و قابليت اهميت روش ماتريس انتقال در سهولت پياده. كند اي دارد فراهم مي پله

توان هاي انتقال مي را با ماتريس) 6.1(اي از نوع بطور كلي هر مسئله. تعميم به فرم ديفرانسيل است

.تحليل نمود

ماتريس انتقال عبور از يك مرز. 6.2.1

:ي خاص زير را در نظر بگيريد حال مسئله

)6.24.1( ( ) 1k x X k≤ =

)6.24.2( ( ) 2k x X k> =

xجا ثابت است و تنها در مرز دهد تابع عدد موج همه كه نشان مي X= 1دچار جهش ازk 2بهk

:مانند زير است) 6.24(ي شرودينگر مستقل از زمان براي دستگاه حل معادله .شود مي

)6.25.1( ( ) ( ) ( )1 1 1 1exp expx X a jk x a jk xψ + −≤ = + + −

)6.25.2( ( ) ( ) ( )2 2 2 2exp expx X a jk x a jk xψ + −> = + + −

,كه در آن 1,2ia i+ ,و = 1,2ia i− حال . رو هستند رو و پس هاي امواج پيش به ترتيب دامنه =

x شرايط تحليلي بودن تابع موج در مرز X=:

)6.26.1( ( ) ( )X Xψ ψ− +=

)6.26.2( ( ) ( )X Xψ ψ− +′ ′=

:كنيم را اعمال مي

)6.27.1( 1 1 2 21 1 2 2

jk X jk X jk X jk Xa e a e a e a e+ + − − + + − −+ = +

)6.27.2( 1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2

jk X jk X jk X jk Xk a e k a e k a e k a e+ + − − + + − −− = −

:توان نوشت را به صورت ماتريسي زير مي) 6.27(معادالت

فصل ششم 91

)6.28( 2 1 2 1→=A Q A

): 7تمرين ( كه در آن

)6.29.1( , 1,2i

ii

ai

a

+

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭A

)6.29.2( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

1 22 2 1 2 1

12

j k k X j k k X

j k k X j k k X

k k e k k e

k k k e k k e

− − − +

→ + + + −

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

1ماتريس 2→Q و داراي ]1[نام دارد 2به 1است، ماتريس انتقال از محيط عد دو كه داراي ب

:هاي زير است ويژگي

)6.30.1( [ ]i i I→ =Q

)6.30.2( 11 2

2

kk→ =Q

)6.30.3( 12 1 1 2

−→ →=Q Q

]كه در آن ]I ماتريس واحد است.

موج از ديواره گسيلو بازتاب. 6.2.2

1aي فرض كنيد موجي با دامنهxبه سمت مرز 1در محيط + X= بديهي . روي است در حال پيش

شود، بخشي از موج منعكس و مي 2kبه 1kاست در برخورد با مرز كه موجب تغيير دفعي عدد موج از

1aي با دامنهي راه يافته و با دامنه 2اما بخشي ديگر از موج به درون محيط . گردد به عقب بازمي −

2aي مسير آن وجود ندارد، موج اما چون مانع ديگري در ادامه. به حركت خود ادامه خواهد داد +

:نخواهد شد و بنابراين منطقي است كه شرط مرزي بازتابهرگز دچار 2رو در محيط يشپ

)6.31( 2 0a − =

:هاي به وضوح نسبت. را بپذيريم

)6.32.1( 1

1

aR

a

−

+=


)6.32.2( 2

1

aT

a

+

+=

توان نتيجه مي) 6.28(اما از دستگاه . موج هستند Tو گسيل R بازتابگر ضرايب به ترتيب بيان

:گرفت كه

)6.33( 11 121 12

1 221 221 10

q qa aaq qa a

+ ++

→ − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭Q

1كه در آن 2 ijq→⎡ ⎤= ⎣ ⎦Q. 8تمرين (داريم ) 6.32(اكنون با توجه به:(

)6.34.1( 21

22

qR

q= −

)6.34.2( 1 222

1T

q →= Q

:خواهيم داشت) 6.30.2(و با توجه به ) 6.29.2(از ijqهاي گذاري درايه ضمن جاي

)6.35.1( 121 2

1 2

j k Xk kR e

k k+−

=+

)6.35.2( ( )2 11

2 1

2 j k k XkT e

k k− −=

+

0Xدر شرايطي كه مرز منطبق بر مبدا :آيد باشد، بدست مي =

)6.36.1( 1 2

1 2

k kR

k k−

=+

)6.36.2( 1

2 1

2kT

k k=

+

:دهد كه نشان مي

)6.37.1( 1 R T+ =

)6.37.2( 2 22

1

1k

R Tk

+ =

,حال فرض كنيد اعداد موج 1,2ik i 0Rهر دو حقيقي باشند؛ پس = T= بديهي است .=

1كه اگر 2k k=0گاه ، آنR 1Tو = رو و هاي امواج پيش اين بدان مفهوم است كه دامنه. =

اما .نيز قابل مشاهده است) 6.30.1(ي د كه مستقيما از رابطهنكن تغيير نميضمن عبور از مرز رو پس

فصل ششم 93

لزوما ميرا است، زيرا انرژي كافي 2گاه موج در محيط موهومي محض باشند، آن 2kحقيقي و 1kاگر

:تحت اين شرايط، داريم. را ندارد 2براي نفوذ به عمق محيط

)6.38.1( 1R =

)6.38.2( 1 2

1

2 tanjk

Rk

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

صفر در اين مورد اختالف فاز غير. گردد ميبنابراين موج به طور كامل منعكس و دچار اختالف فاز

.ايستا باشد 1گردد كه موج احتمال در محيط سبب مي

ماتريس انتقال عبور از مرزهاي متوالي. 6.2.3

,مرز Nاي در فرض كنيد تابع عدد موج در تمام فضا داراي تغييرات پله 1iX i N= باشد، به

:اي كه گونه

)6.39( ( )1 , 0i i ik X x X k i N+< ≤ = =

0Xكنيم كه چنين قرارداد مي هم = 1NXو ∞− + = ي ام در بازهiي پس بدين ترتيب اليه. ∞+

[ ]1,i iX X :خواهيم داشت) 6.28(لذا طبق . شود واقع مي +

)6.40( 1 1 , 0i i i i i N+ → += =A Q A

mبنابراين ماتريس انتقال n→Q ي دلخواه مانند مابين هر دو اليهm وn عبارتست از:

)6.41.1( 1 2 1 1 2 1,m n n n n n m m m m m n→ − → − → − + → + → += <Q Q Q Q Q

)6.41.2( 1 2 1 1 2 1,m n n n n n m m m m m n→ + → + → + − → − → −= >Q Q Q Q Q

هاي انتقال توان با كمك ماتريس رو در هر اليه دانسته باشد، مي رو و پس ي امواج پيش پس اگر دامنه

.ها بدست آورد رو را در ساير اليه رو و پس هاي امواج پيش دامنه

mبديهي است كه ماتريس انتقال n→Q و به شكل زير است) 6.30(مشابه هاي داراي ويژگي:

)6.42.1( mm n

n

kk→ =Q


)6.42.2( 1m n n m

−→ →=Q Q

:پس داريم

)6.43( 0 0N N→=A Q A

0حال اگر بپذيريم كه N ijq→⎡ ⎤= ⎣ ⎦Qمانند بخش ) 6.34(ي بازتابش و انتقال ، مجددا در يك مساله

):چرا؟(ضرايب مربوطه عبارتند از قبلي،

)6.44.1( 21

22

qR

q= −

)6.44.2( 0

22N

kT

k q=

) اگر تابع پتانسيل )U x 221گاه زوج باشد آنT q= هاي مقيد باشد، بايد داشته داراي جواب، و اگر

:باشيم

)6.45.1( 0jk+− ∈ R

)6.45.2( Njk+− ∈ R

:و ضمنا

)6.46.1( 0 0a + =

)6.46.2( 0Na− =

)5.14( توانند شرط تقيد ها نمي تواما ارضا نشوند، جواب) 6.46(و ) 6.45(بديهي است كه اگر شرايط

:داريم) 6.43(حال طبق .)چرا؟( را راضي نمايند

)6.47( 00

0

0N

N

a

a

+

−→

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭Q

:شود ي انرژي مي ي مقادير ويژه ي مشخصه ي خود منجر به معادله كه به نوبه

)6.48( 22 0q =

)واضح است كه )22 22q q E= )آيد ميبدست ) 6.47(ي ديگري از ضمنا معادله ).چرا؟:

)6.49( 12 0Na q a+ −=

فصل ششم 95

0aكه يكي از دو ثابت Naو −

گاه اگر تابع پتانسيل سيستم زوج باشد، آن .نمايد را حذف مي +

0 1N→ =Qچرا؟(ي غير تبهگن داشته باشيم ، و الزم است كه براي حاالت ويژه:(

)6.50( 0Na a+ −= ±

توان يافت و بهنجار ، توابع ويژه را ميهاي عددي با روش ي انرژي پس از يافتن مقادير ويژهاكنون

.نمود

داالني پديده. 6.3

است 0U مانند يا گر احتمال غير صفر براي عبور موج از سد پتانسيلي با بيشينه بيان داالني پديده

كمك توان با ميالبته . معموال بيشتر است، كه از نظر كالسيك غير ممكن است Eكه از انرژي ذره

آثار كوانتومي مانند تداخل و پراش نيز و ساير داالني براي پديدههاي موازي تعبيري تصوير جهان

:كنيم زير را تعريف ميزوج سازي اين پديده، پتانسيل براي مدل. ]4و3[ استماز بحث خارج كه افتي

)6.51( ( )2

20

0, d

d

xU x

U x

⎧ >⎪⎪⎪= ⎨⎪ ≤⎪⎪⎩

0كه در آن 0U ⎡ijqاگر .dبنابراين عرض سد پتانسيل برابر است با . < ⎤= ⎣ ⎦Q ماتريس انتقال از روي

:برابر است با) 6.44.2(سد باشد، آنگاه احتمال عبور از سد طبق

)6.52( 22

22

1T

q=

:خواهيم داشت) 6.37.2(همچنين بر اساس

)6.53( 2 2 1R T+ =

:داريم) 6.29.2(اما طبق . دهد مجموع احتمال گسيل و بازتاب واحد است كه نشان مي

)6.54(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 10 02 2

1 10 02 2

1 10 02 2

1 10 02 2

0 0

0 0

0 0

0 0 0

12

12

j k k d j k k d

j k k d j k k d

j k k d j k k d

j k k d j k k d

k k e k k e

k k k e k k e

k k e k k e

k k k e k k e

− − − +

+ + + −

+ − + +

− + − −

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎢ ⎥× ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q


22k كه در آن mE= و( ) 20 0 02k j m U E jα= − )يا = ) 2

0 02k m E U= −.

:را احتياج داريم 22qي تنها درايه) 6.52(ي براي محاسبه

)6.55( ( ) ( )0 02 2

22 0 00

14

jk d jk d jkdq k k e k k e ekk

+ −⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

0Eاگر U< گاه داريم باشد، آن:

)6.56( ( )

( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 2 2

22 0 0 0 02

0

14 cosh 4 sinh

4q k d k d

kα α α α

α⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

0Eو اگر U> باشد، خواهيم داشت:

)6.57( ( )

( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 2 2

22 0 0 0 02

0

14 cos 4 sin

4q kk k d k k k d

kk⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

:در نهايت احتمال عبور از زير يا روي سد به ترتيب عبارتست از

)6.58.1( ( )( ) ( ) ( ) ( )

kT E U

k d k d

22 0

022 2 2 2 20 0 0 0

4,

4 cosh 4 sinh

α

α α α α= <

+ −

)6.58.2( ( )( ) ( ) ( ) ( )

22 0

022 2 2 2 20 0 0 0

4,

4 cos 4 sin

kkT E U

kk k d k k k d= >

+ +

0dوقتي ي جالب نكته). چرا؟(شوند هاي يكسان منجر مي به پاسخ) 6.58.2(و ) 6.58.1(، روابط →+

0Eتوجه ديگر آن است كه هنگامي انرژي با ارتفاع سد دقيقا برابر U= در اين . دهد است چه رخ مي

:توان دقت كرد كه داريم حالت مي

)6.59( 0 00 0lim lim 0E U E Uk j α→ →= − =

:خواهيم داشت) 6.58(روابط هر دوي گاه از آن

)6.60( T E Uk d

202 21

4

1,

1= =

+

حتي ) 6.58.2(در واقع طبق . دهد احتمال عبور در اين حالت كامال برابر واحد نيست كه نشان مي

0Eشرط U> به هر حال خواهيم داشتولي . دهد احتمال گسيل واحد را لزوما بدست نمي:

)6.61( 2lim 1E T→+∞ =

فصل ششم 97

پتانسيل متقارن مربعيچاه . 6.4

0ولي همراه با ) 6.51(اي با پتانسيلي مشابه در اين بخش مسئله 0U چون اين . گيريم در نظر مي >

داراي دست كم يك حالت انرژي پايه با ي مطلق است، لزوما پتانسيل داراي تقارن زوج و يك كمينه

:عبارتست از ي انرژي ي مقادير ويژه ي مشخصه معادله) 6.55(و ) 6.48(طبق . تقارن زوج است

)6.62( 00

0

jk dk ke

k k+

= ±−

)كه در آن ) 20 02k m E U= 22kمقداري حقيقي و − j mE jα= − مقداري =

را مقايسه ) 6.62(اگر فاز طرفين ولي . داراي قدر مطلق برابرند) 6.62(پس طرفين . موهومي است

:كنيم خواهيم داشت

)6.63( 10

0

2 tan ,k d n nkα

π− +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ = + ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Z

:يا

)6.64( 2

102

0

22 tan ,n

nn

E mdE U n n

U Eπ− += − + ∈

−Z

0كه در آن 0nU E< هاي عددي بر و با كمك روش يا ترسيمي، ي فوق بطور ضمني معادله. >

حالت ي مرتبه nي مهم آن است كه انتخاب عدد صحيح نكته. قابل حل است nEحسب انرژي

0nو لذا دهد را بدست ميي مربوطه ويژه . به حالت پايه اشاره دارد =

است كه در )6.18(در حقيقت نوعي شرط تشديد به فرم ) 6.63(كند كه آشكار مي) 6.18(مقايسه با

:آن

)6.66.1( propagation 02 k dφΔ = ×

)6.66.2( 2 2

1reflection

0

2 2 tand dx xR Rkα

φ −=− =+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Δ = + = − × ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

:و بنابراين

)6.67( round-trip propagation reflection 2 ,m mφ φ φ π −Δ = Δ +Δ = ∈ Z


تشديدي داالني پديده. 6.4.1

. تشديدي، يك چاه پتانسيل از طرفين با دو سد پتانسيل احاطه شده است داالني در پديده

0ترين حالت اين وضعيت را با فرض ساده 0U :توان با پتانسيل زوج زير نمايش داد مي <

)6.68( ( )

2

2 20

2

0,

0,

d

d d

d

x

U x U x a

x a

⎧⎪ <⎪⎪⎪⎪= ≤ ≤ +⎨⎪⎪⎪ > +⎪⎪⎩

در aدر وسط به دو سد پتانسيل با ضخامت dو عرض 0Uدهد يك چاه به عمق كه نشان مي

:توان نوشت به بيان ديگر مي .طرفين آن واقع شده است

)6.69( ( )

( )

( )

( )

( )

( )

20

2 21 0

22

2 23 0

24

0,

,

0,

,

0,

d

d d

d

d d

d

U x x a

U x U a x

U x xU x

U x U x a

U x x a

⎧ = <− −⎪⎪⎪⎪ = − − ≤ ≤−⎪⎪⎪⎪⎪ = <= ⎨⎪⎪⎪ = + ≤ ≤ + +⎪⎪⎪⎪ = > + +⎪⎪⎩

اما اگر .باشد مي داالني متشكل از دو مسئلهچنين سيستمي فاقد حاالت مقيد است، زيرا در حقيقت

a توان پذيرفت كه در ميان، يك چاه پتانسيل وجود دارد كه داراي حاالت گاه مي بزرگ باشد، آن

سازد، را بطور تقريبي برآورده مي) 5.14(شرط مرزي ،تقريبا مقيد ي ويژه يك حالت. تقريبا مقيد است

.حقيقت مقداري نشت احتمال به بيرون از چاه وجود داردو در

از هر يك از سدها مقداري محدود است، داالنكه احتمال تشديدي، با وجود آن داالني در پديده

ي حاالت مقيد چاه پتانسيل مياني برخورد نمايد، احتمال هاي ويژه چنانچه انرژي ذره با يكي از انرژي

احتمال پس از برخورد به بدليل آن است كه موج اين . كند پيدا مي افزايش% 100گسيل ناگهان به

در نتيجه، امكان . كند شده از سد اول تداخل سازنده ايجاد مي سد دوم منعكس شده و با موج گسيل

اما با كمي جابجايي در انرژي ذره، تداخل . شود فراهم مي% 100عبور موج از هر دو سد با احتمال

تحت اين شرايط كافيست در .گردد و احتمال سريعا به مقداري كوچك باز مي سازنده از بين رفته

فصل ششم 99

در مثال. ي بيروني را هم لحاظ نماييم ، اثر ديوارهR بازتابي ضريب هنگام محاسبه) 6.67.2(

1در مرز Rي محاسبه2x d= خواهيم داشت:

)6.70( 2

21

22

dx

qR

q= = −

:كه در آن

)6.71( 2 4 ijq→⎡ ⎤= ⎣ ⎦Q

2كنيم كه اگر به جاي دقت مي 4→Q 2از 3→Q اما .آيد مجددا بدست مي) 6.67(ي استفاده كنيم، رابطه

:داريم

)6.72( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 4 4 3 4

4 3 4 4 3 4

3 2 3 3 2 3

3 2 3 3 2 3

2 4 3 4 2 3

4 3 4 3

4 4 3 4 3

3 2 3 2

3 3 2 3 2

12

12

j k k X j k k X

j k k X j k k X

j k k X j k k X

j k k X j k k X

k k e k k e

k k k e k k e

k k e k k e

k k k e k k e

→ → →

− − − +

+ + + −

− − − +

+ + + −

=

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎢ ⎥× ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q Q Q

:كه در آن

)6.73.1( 123X d=

)6.73.2( 124X a d= +

:كنيم كه توجه مي) 6.69(حال طبق

)6.74.1( 20 2 4 2k k k mE k= = = =

)6.74.2( ( ) 21 3 02k k j m U E jα= = − =

:پس

)6.75(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 4

4 4

3 3

3 3

2 4

12

12

j k j X j k j X

j k j X j k j X

j j k X j j k X

j j k X j j k X

k j e k j e

k k j e k j e

j k e j k e

j j k e j k e

α α

α α

α α

α α

α α

α α

α α

α α α

− − − +

→ + + + −

− − − +

+ + + −

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎢ ⎥× ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

Q


:ترتيب خواهيم داشتبدين

)6.76.1( ( ) ( )

2 2

21 sinh2

jk a dkq e a

jkα

αα

+ ++=

)6.76.2( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

22

2 2

exp exp4

cosh 2 sinh

2

jka

jka

k j a k j aq e

kj

k a kj ae

kj

α α α αα

α α α α

α

+

+

− − − + + +=

− +=

:بنابراين خواهيم داشت

)6.77( ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2 2

2 2

sinh

cosh 2 sinhd

jkd

x

k e aR

k a kj a

α α

α α α α

+

=

+= −

− +

:پس

)6.78( ( )2

12 2

2tan tanhdx

kR a kd

kα

αα

−=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦

:و شرط تشديد عبارتست از

)6.79( ( )2 2

12 2

22 tan tanh 2 2d dx x

kR R a kd n

kα

α πα

−= =−

⎡ ⎤+ = + =⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎣ ⎦

aهنگامي كه → كند ميل مي) 6.63(به ) 6.79(هاي ها خيلي زياد است، جواب و عرض ديواره ∞+

)چرا؟(جاي گرفته است بازتابدر درون فاز ) 6.66.1(دقت كنيد كه فاز پيمايش مسير ).11تمرين (

ماتريس انتقال ديراك. 6.5

:در اين مرحله پتانسيل زير را در نظر بگيريد

)6.80( ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2V

U x U u x X U u x X x Xm

δ= − + + + − + −

كنيم كه انرژي پتانسيل در طرفين مرز بدين ترتيب فرض مي. ي آزاد است جرم ذره mكه در آن

x X= 1ثابت و برابرU 2وU ي بوده و در روي مرز داراي يك دلتاي ديراك با دامنهV است .

:اي از مكان باشد ت زير تابعي پلهنيز به صور ذرهكنيم كه جرم موثر چنين فرض مي هم

)6.81( ( )1*

2

,

,

m m x Xm x

m m x X

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

فصل ششم 101

قابل ذكر است كه در عمل، اين حالت . هاي موثر بدون بعد در طرفين مرزند جرم 2mو 1mكه در آن

ي ساختارهاي نامتجانس رخ ها ابرشبكهنوارهاي هدايت و ظرفيت در ها ها و حفره براي الكترون

ي شرودينگر در شرايطي كه جرم موثر تابعي از مكان گر هاميلتوني معادله چه عمل چنان. دهد مي

( )*m r است نوشته شود، به صورت زير خواهد بود:

)6.82( ( )

( )*

1 1,

2U t

m

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

H P P RR

:آيد بعد بدست مي بنابراين در فضاي توابع و در يك

)6.83( ( )

( ) ( )

2

*

12

U xx m x x

⎡ ⎤∂ ∂= − ⋅ +⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦H

):12تمرين (به فرم زير درآيند ) 6.26(كند كه شرايط مرزي ايجاب مي) 6.83(فرم هاميلتوني

)6.84.1( ( ) ( ) ( )X X Xψ ψ ψ+ −= =

)6.84.2( ( )( )

( )( )

( )* *

X X VX

m X m X m

ψ ψψ

+ −

+ −

′ ′− =

:داريم) 6.25(حال با كمك

)6.85.1( 1 1 2 21 1 2 2

jk X jk X jk X jk Xa e a e a e a e+ + − − + + − −+ = +

)6.85.2( ( )( )

2 2 1 1

1 1

2 2

2 2 2 2 1 1 1 1

2 2 1 1

1 1

2 2

jk X jk X jk X jk X

jk X jk X

jk X jk X

k a k a k a k ae e e e

m m m m

jV a e a e

jV a e a e

+ − + −+ − + −

+ + − −

+ + − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − +

= − +

1ماتريس انتقال ) 12تمرين ( اي محاسبات ، و انجام پاره)6.29.1(و ) 6.28(حال با قبول تعاريف 2→Q

:عبارتست از 2به 1ي از اليه

)6.86( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 12 2

1 1

2 1 2 12 2

1 1

2 1 2 2 1 2

1 22 2 1 2 2 1 2

12

j k k X j k k Xm mm m

j k k X j k k Xm mm m

k k jmV e k k jmV e

k k k jmV e k k jmV e

− − − +

→ + + + −

⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

:عبارتست از )6.30.2(در مقايسه با دترمينان اين ماتريس


)6.87( 1 1

1 22 2

k m

k m→ =Q

در حالت خاصي كه . به وضوح هنوز برقرارند) 6.41(ي ادغام و قاعده) 6.30.3(اما ساير روابط

1 2k k k= :يابد به صورت زير كاهش مي) 6.86(باشد، =

)6.88( ( )( )

1 2 2 1 2 2

1 1

1 2 2 1 2 2

1 1

22 22 2

1 2 22 22 2

m m jm m m jm j kXm mk k

m m jm m m jmj kXm mk k

V V e

V e V

+ − −

→ − ++

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

1و اگر جرم موثر هم در طرفين تغيير نكند 2m m m= ماتريس انتقال پرش از دلتاي ديراك ، به =

:با پتانسيل

)6.89( ( ) ( )2

2V

U x U x Xm

δ= + −

:رسيم مي

)6.90( [ ]2 2

2 2

1 2 2 22 2

1 1

21 1

jm jm j kX j kXk k

jm jmj kX j kXk k

V Ve ejmVI

kVe V e

− −

→ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Q

0Vبا قرار دادن . ، ماتريسي با دترمينان واحد است)6.90(ماتريس مجددا ) 6.30.1(ي ، رابطه=

).چرا؟(گردد پديدار مي

پتانسيل متناوب. 6.6

شود كه اين موجب مي. كند را ارضا مي) 5.103(، شرط چنانچه تابع پتانسيل داراي تناوب مكاني باشد

)ي شرودينگر در نمايش مكاني هاي حالت جواب معادله كت ) ( ),t tψ ψ=r r فلوكه - بصورت بلوخ

ˆفلوكه -، و به بردار موج بلوخ]1[ )5.105( درآيند ˆ ˆx y zx y zκ κ κ= + +κ اين .وابستگي پيدا كنند

داراي سه κاگر بردار . حقيقي يا موهومي باشد zκ، و xκ ،yκهاي تواند داراي مولفه مي بردار

:ي حقيقي باشد، خواهيم داشت مولفه

)6.91( ( ) ( ) ( )2 2, ,m t tψ ψ=r rT

بديهي است .دهد چگالي توزيع احتمال نيز تحت اين شرايط در فضا تابعي متناوب است كه نشان مي

:آيند ميبه صورت زير در ) 5.105(و ) 5.103( ،)6.91( بعد مكاني و استقالل از زمان، روابط كه در يك

فصل ششم 103

)6.92.1( ( ) ( ),U U ma m= + ∀ ∈X X Z

)6.92.2( ( ) ( ) ( )expx j x xκψ κ ξ= ±

)6.92.3( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), expm mx x x j ma xκ κξ ξ ψ κ ψ= = ±T T

:، پتانسيلي مانند زير را در نظر بگيريد)6.39(حال با قبول تعاريف مشابه

)6.93( ( ) ,i i N iU X x X U i+< ≤ = ∀ ∈ Z

Nعددي مشخص مانندبراي يك كه ∈ N است زيرداراي شرط و موسوم به عدد تناوب:

)6.94( ( ) ( )U x U x a= +

:)چرا؟( داشته باشيم ik، و اعداد موج a ثابت شبكه، iUهاي بايد براي پتانسيلدر نتيجه

)6.95.1( ,i i NU U i+= ∀ ∈ Z

)6.95.2( ,i N ia X X i+= − ∀ ∈ Z

)6.95.3( ,i i Nk k i+= ∀ ∈ Z

:ي تناوب عبارتست از ماتريس انتقال يك دوره

)6.96( ,n a n n N→ +=Q Q

n,ماتريس aQ داريم) 6.28(بديهي است كه طبق و نيز ) چرا؟(همواره داراي دترمينان واحد است:

)6.97( ,n N n a n+ =A Q A

):13تمرين (دهد نتيجه مي) 6.92.3(از طرفي شرط

)6.98( ( )( )

( )( ) ,

exp 0exp exp

0 exp

n

n N n n a n

n

jk aj a j a

jk aκ κ+

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ± = ±⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦A A T A

:كه آنزمان برقرار باشند مگر توانند هم نمي) 6.98(و ) 6.97(اما روابط

)6.99( ( )[ ], exp 0n a j a Iκ− ± =W

1جا در اين, , ,n a n a n a

−=W Q T . و توجه به دترمينان) 6.99(با ساده كردن ,n aQ داريم:

)6.100( ( ) ( ) ( )11 22,

1cos tr exp exp

2 2 2n a

q qa jka jkaκ = = − + +W


:كه در آن

)6.101.1( n n N ijq→ +⎡ ⎤= ⎣ ⎦Q

)6.101.2( nk k=

شوند مستقل از ناشي مي) 6.100(كه از حل κفلوكه -كه اعداد موج بلوخ] 1[توان نشان داد مي

.هستند nي ي آغازين با شماره انتخاب اليه

تناوب محدود. 6.6.1

ي زيرمجموعهبه ازاي تنها ) 6.94(وابط بريم كه ر بكار مياصطالح تناوب محدود را در حالتي

]مانند اعداد صحيح اي از پيوسته ]min max,i i i∈ ⊂ Z كه در آنmin maxi i< و( )max min |i i N−

minتوان فرض كرد كه بدون لطمه به كليت مسئله مي .برقرار باشداست 0i و بنابراين =

maxi mN= كه در آنm ∈N در مسايلي از اين دست عموما به . هاي تناوب است تعداد دوره

ي ماتريس انتقال چند تحت اين شرايط محاسبه .مند هستيم ي ضرايب گسيل و بازتاب عالقه محاسبه

بدين منظور .پذير است امكان aQ,0مانند متوالي با داشتن ماتريس انتقال يك تناوب ي تناوب دوره

:كنيم تعريف مي) 6.99(را همانند Wماتريس

)6.102( 0

0

10, 0, 0,

0

0

jk a

a a a jk a

e

e

−

−+

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

W Q T Q

تناوب mتوان به سادگي ديد كه ماتريس انتقال ميmin max 0i i mN→ →=Q Q عبارتست از:

)6.103( 0

00

0

0

jk ma

mmN jk ma

e

e

+

→ −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q W

ام يك mي توان اما محاسبه). چرا؟(است W=1دترمينان واحد دارايبه وضوح Wماتريس

⎡ijwماتريس داراي دترمينان واحد مانند ⎤= ⎣ ⎦W 5[ پذير است به طور مستقيم امكان[:

)6.104 ( 11 1 12

21 22 1

m m mm

m m m

w K K w K

w K w K K

−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

W

:كه در آن

فصل ششم 105

)6.105.1( 1

2

sin cos

1n

nK

ζ

ζ

−⎡ ⎤⎣ ⎦=−

)6.105.2( 12 trWζ =

)) 6.100(تعريفي شبيه به هنوز با قبول ) 6.105(ي اما رابطه )cos aζ κ= تر به صورت زير ساده

:شود مي

)6.106( ( )

( )

sinsinn

n aK

aκκ

=

1mبراي و لذا ≥:

)6.107(( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ]11 12

21 22

sin sin 1 sin1sin sin sin sin 1

mw m a m a w m a

a w m a w m a m a

κ κ κ

κ κ κ κ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦W

ي دوره mاز و گسيل يب بازتاباپس ضر. آيند بدست مي) 6.44(حال ضرايب بازتاب و گسيل مانند

:از ندعبارت ، بدون در نظر گرفتن فاز پيمايش مسير در عرض ساختارتناوب

)6.108.1( ( )

( )[ ] ( )

21

22

sinsin 1 sin

w m aR

m a w m aκ

κ κ=

− −

)6.108.2( ( ) ( )[ ]22

1sin sin 1

Tw m a m aκ κ

=− −

بلور ديراك. 6.7

:كه با فرمبعدي متناوب است ترين پتانسيل يك ساده] 7و6[بلور ديراك

)6.109( ( ) ( )

2

2 n

VU x x na

mδ

∞

=−∞

= −∑

1Nبديهي است تحت اين شرايط عدد تناوب واحد . شود تعريف مي حال فرض . )چرا؟( است =

1كنيم مي 0X 0n، و بنابراين به ازاي = ,خواهيم داشت = 0 1n a →=Q Q . و ) 6.90(در نتيجه از

:آوريم بدست مي) 6.100(

)6.110( ( ) ( ) ( )12cos cos sinca ka maV kaκ = +


)كه در آن )sinc sinx x x= . به تفصيل تحت ] 8[در اغلب كتب فيزيك حالت جامد ) 6.110(حل

.گردد ذكر مطالب بيشتر خودداري ميپني مورد بحث واقع شده است و اينجا از - عنوان بلور كرونيگ

ماتريس انتقال تفاضلي. 6.8

پس از آن، ]. 10و9[روش ماتريس انتقال تفاضلي ابتدا براي تحليل مسايل اپتيك معرفي شد

و بهبود دقت ]12[، متناوب ]11[گرد سان هاي ناهم هاي متعددي از اين روش براي محيط تعميم

] 16[و تعميم كلي آن در ] 15[ول رياضي اين روش در اص. گزارش شده است] 14و13[محاسبات

.آمده است

را در نمايش مكاني تابع موج در نظر بگيريد، كه ) 6.83(بعدي مستقل از زمان گر هاميلتوني يك عمل

)ل در آن تابع پتانسي )U x گر حال تعريف عمل. تابعي تحليلي و پيوسته استL را مانند زير

:پذيريم مي

)6.111(

( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

2

2

2

2

1 2

1

mE

mE U x

x m x x

k xx m x x

= − −

⎡ ⎤∂ ∂= ⋅ + −⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂

= ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

L H

)كه در آن ) ( )*m x m x m= در ي شرودينگر بنابراين معادله. تابع تحليلي بدون بعد جرم است

:عبارتست ازفضاي توابع

)6.112( ( )( )

( ) ( ) ( )210x x k x x

x m x xψ ψ ψ

⎡ ⎤∂ ∂= + =⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦L

)اي به توابع هموار با اعمال تقريب پلههمواره ) 6.112(حل )2k x و( )m x پذير است امكان:

)6.113.1( ( )2 21, ,i i ik x k X x X i+= < ≤ ∈ Z

)6.113.2( ( ) 1, ,i i im x m X x X i+= < ≤ ∈ Z

iXكه در آن i x= Δ . 1ماتريس انتقالi i→ +Q آيد بدست مي) 6.86(ي مجاور با كمك بين دو اليه:

فصل ششم 107

)6.114( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1

1 11 1

1 1

11 1 1

12

i i i i i ii i

i i

i i i i i ii i

i i

j k k X j k k Xm mm mi i i i

i i j k k X j k k Xm mi m mi i i i

k k e k k e

k k k e k k e

+ ++ +

+ ++ +

− − − ++ +

→ + + + + −+ + +

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

:خواهيم داشت xΔ كوچك بودنو iXدر اين مرحله با فرض ثابت بودن مرز

)6.115.1( 1i i i i ik k k k k x+ ′= +Δ ≈ + Δ

)6.115.2( 1i i i i im m m m m x+ ′= +Δ ≈ + Δ

:با انجام كمي محاسبات خواهيم داشت

)6.116( [ ]1i i iI x→ + ≈ +ΔQ U

:عبارتست از iUكه در آن

)6.117( ( ) ( )( ) ( )

2

2

1 212 1 2

i i i ii i

i ii ii i

m m j k Xm mi i i i i i

i m mj k Xi m mi i i i i i

k j X k k k k e

k k k e k j X k k

′ ′ −

′ ′+

⎡ ⎤′ ′− − + −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥′ ′− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

U

:آيد و بدست مي دهيم را به سمت صفر ميل مي xΔحال

)6.118( ( ) ( ) ( )d x x x dx=A U A

:)14تمرين ( كه در آن

)6.119(( )

( )

( )( )[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )[ ]

( )

( )

( )

( )( )[ ]

( )

( )( )[ ]

( )

( )

k x m x k x m xjk x x j k x x

k x m x k x m xx

k x m x k x m xj k x x jk x x

k x m x k x m x

1 exp 22 2 2 2

exp 2 12 2 2 2

⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥− + + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

U

:آيد كند از عبارت زير بدست مي را حل مي) 6.112(بديهي است كه تابع موج مجهول كه

)6.120( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]exp expx a x jxk x a x jxk xψ + −= + + −

:كه در آن

)6.121( ( )( )

( )

a xx

a x

+

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭A

:آيد پذير است و بدست مي بطور دقيق امكان) 6.118(حل

)6.122.1( ( ) ( )0 0x xx x→=A Q A


)6.122.2( ( )0

0

expx

x x

x

s ds→

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫Q UT

.تشريح شده است) 3.51(ي در رابطه Tسازي گر مرتب كه در آن عمل

ماتريس انتقال تفاضليي محاسبه. 6.8.1

تفاضلي ماتريس انتقال0x x→Q گر يكاني تحول زماني با دترمينان واحد، با عمل( )0;t tU 3.53(در (

ي آن جايي كه اين ماتريس داراي بعد دو است، بدون تغيير مقادير ويژه ، و از آنقابل قياس است

:)چرا؟( توان نوشت مي

)6.123( ( )

x

x x

x

s ds0

0

exp→

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫Q U

)ي جالب آن است كه تابع نكته )exp M كه در آنijm⎡ ⎤= ⎣ ⎦M عد دو است بهيك ماتريس مربع با ب

]:15و12[سادگي قابل محاسبه است

)6.124.1( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]( )1 12 2exp exp tr cos sinc trI Iδ δ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦M M M M

)6.124.2( δ = −M

:صفر باشد داريم Mبنابراين هنگامي رد ماتريس

)6.125( ( ) ( )[ ] ( )exp cos sincIδ δ= +M M

:كنيم را به صورت زير بازنويسي مي) 6.119(براي استفاده از اين رابطه،

)6.126.1( ( ) ( )[ ] ( )x g x I x′= − +U N

)6.126.2( ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

j k x x

j k x x

jk x x g x ex

g x e jk x x

2

2

−

+

⎡ ⎤′ ′−⎢ ⎥= ⎢ ⎥′ ′+⎢ ⎥⎣ ⎦N

)6.126.3( ( )( )

( )

12 lnk x

g xm x

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

) داريم بديهي است كه )tr 0x =N و نيز ( ) ( )[ ], 0x x =U N )پس خواهيم داشت). چرا؟:

فصل ششم 109

)6.127(

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0 0

0

0

0

0

0

exp exp

exp exp

exp

x x

x x

x x

x

x

x

x

g x dx I s ds

g x g x s ds

k x m xs ds

m x k x

→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′≈ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

Q N

N

N

:كنيم حال تعريف مي

)6.128( ( )

0

x

x

s ds= ∫M N

:خواهيم داشت) 6.124.2(بنابراين طبق و

)6.129(( ) ( ) ( ) ( )x x x x

x x x x

m m m m n s n t dsdt n s n t dsdt0 0 0 0

12 21 11 22 12 21 11 22δ = − = −∫ ∫ ∫ ∫

در حالت خاصي كه .شود محاسبه ميبه سادگي ) 6.123(ماتريس انتقال ) 6.125(و اكنون با كمك

) جرم مستقل از مكان )* *m x m= شوند به شكل زير ساده مي) 6.126(باشد، روابط:

)6.130.1( ( ) ( )[ ] ( )x k x I x′= − +U N

)6.130.2( ( ) ( )

( )

( )

j k x x

j k x x

jx ex k x

e jx

212

212

−

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥′= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

N

)چه نسبت چنان ،چنين هم ) ( )k x m x خواهند بود) 6.126(عددي ثابت باشد، روابط:

)6.131( ( ) ( )1 0

0 1x jk x x

⎡− ⎤⎢ ⎥′= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

U

:و خواهيم داشت) چرا؟(دقيق است ) 6.123(تحت اين شرايط،

)6.132( ( )

( )

0

0

0

exp 0

0 exp

x

x

x xx

x

j sk s ds

j sk s ds

→

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫Q

:عبارتست از) 6.120( دهد حل كه نشان مي


)6.133( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0exp expx x

x x

x a x j sk s ds jxk x a x j sk s ds jxk xψ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′= − + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

:گيري جزء به جزء خواهيم داشت با انتگرال

)6.134( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0

0 0exp expx x

jx k x jx k x

x x

x a x e j k s ds a x e j k s dsψ + −+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

.دقيق استدر اين حالت خاص ) 6.10(بريلويين - كرامرز-دهد كه حل ونتزل ي اخير نشان مي رابطه

هاي ماتريس انتقال تفاضلي ويژگي. 6.8.2

هاي ماتريس انتقال تفاضلي توان برخي ويژگي به سادگي مي) 6.127(و ) 6.123(، )6.122.2(با كمك

0x x→Q را تحقيق كرد:

)6.135.1( [ ]x x I→ =Q

)6.135.2( ( ) ( )( ) ( )1 2

1 1

2 2x x

k x m x

k x m x→ =Q

)6.135.3( 1 2 1 2

1x x x x

−→ →=Q Q

تحت شرايطي كه . براي ماتريس انتقال جهش قابل مقايسه است) 6.87(با ) 6.135.2(ي رابطه

:توان به فهرست فوق افزود را نيز مي ادغامدقيق باشد، ويژگي ) 6.123(

)6.136( 1 3 2 3 1 2x x x x x x→ → →=Q Q Q

حل تقريبي. 6.8.3

:داريم) 6.128( و) 6.126.2(با توجه به

)6.137.1( ( )( )

0

212

xj k s s

x

m g s e ds−′= ∫

)6.137.2( ( )( )

0

221

xj k s s

x

m g s e ds+′= ∫

)تابع عدد موج اگر )k x ي زير انتگرال داراي تغييرات گيري حقيقي باشد، جمله ي انتگرال در بازه

)كنيم تغييرات مي فرض . نوساني است )g x در مقايسه با نوسانات( )2j k x xe± گاه آن. آهسته باشد:

فصل ششم 111

)6.138( 12 21 0m m≈ ≈

:پس .با تقريب خوب برقرار است

)6.139.1( 11

22

0

0

m

m

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

)6.139.2( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0

11 11

12 0 0

0 0

ln

x x x x

x x x x

x

x

m g s ds n s ds g s ds j k s sds

k x m xjk x x jk x x j k s ds

k x m x

′ ′ ′= − + = − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫

)6.139.3( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0

22 22

12 0 0

0 0

ln

x x x x

x x x x

x

x

m g s ds n s ds g s ds j k s sds

k x m xjk x x jk x x j k s ds

k x m x

′ ′ ′= − + = − +

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫

:شود تبديل ميپس از ساده شدن به فرم زير ) 6.120(اكنون

)6.140(

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0

0 0

120 0 0

0 0

120 0 0

0 0

0 0

0

0

0

exp ln

exp ln

exp

x

x

x

x

xjk x x

x

jk x x

k x m xx a x jk x x j k s ds

k x m x

k x m xa x jk x x j k s ds

k x m x

k x m xa x e j k s ds

k x m x

k xa x e

ψ +

−

++

−−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪≈ − + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+

∫

∫

∫

( )( ) ( )

( )

0

0exp

x

x

m xj k s ds

k x m x

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫

ي براي مسئله) 6.23( يافته بريلويين بهبود-كرامرز-اما عبارت فوق در حقيقت همان جواب ونتزل

.شود ميواگذاشته ] 17-15[تر پيرامون ماتريس انتقال تفاضلي به مراجع بحث عميق .است) 6.112(

:مراجع

.1386، انتشارات نوين، تهران، اي بر اپتيك بلورهاي فوتوني مقدمهخراساني، . س ]1[

[2] W. Schleich, Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH, Berlin, 2001.


[3] M. J. W. Hall, D.-A. Deckert, H. M. Wiseman, “Quantum Phenomena Modeled by

Interactions between Many Classical Worlds,” Physical Review X, vol. 4, 041013

(2014).

[4] A. Witze, “A quantum world arising from many ordinary ones,” Nature, doi:

10.1038/nature.2014.16213 (2014).

[5] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of

Propagation, Interference, and Diffraction of Light, 6th ed., Pergamon Press, New

York, pp. 55-67, 1980.

[6] S. Khorasani, and B. Rashidian, “Modified Transfer Matrix Method for Conducting

Interfaces,” Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, vol. 4, no. 3, pp. 251-

256 (2002).

[7] M. Barbier, P. Vasilopoulos, and F. M. Peeters, “Dirac electrons in a Kronig-

Penney potential: Dispersion relation and transmission periodic in the strength of

the barriers,” Physical Review B, vol. 80, no. 20, 205415 (2009).

[8] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed., John Wiley & Sons, 2005.

[9] S. Khorasani and K. Mehrany, “Analytical Solution of Wave Equation for

Arbitrary Nonhomogeneous Media,” Proceedings of SPIE, vol. 4772, pp. 25-36,

Seattle (2002).

[10] S. Khorasani and K. Mehrany, “Differential Transfer Matrix Method for Solution

of One-dimensional Linear Non-homogeneous Optical Structures,” Journal of

Optical Society of America B, vol. 20, no. 1, pp. 91-96 (2003).

[11] K. Mehrany and S. Khorasani, “Analytical Solution of Non-homogeneous

Anisotropic Wave Equation Based on Differential Transfer Matrices,” Journal of

Optics A: Pure and Applied Optics, vol. 4, no. 6, pp. 524-635 (2002).

[12] S. Khorasani and A. Adibi, “New Analytical Approach for Computation of Band

Structure in One-dimensional Periodic Media,” Optics Communications, vol. 216,

no. 4-6, pp. 439-451 (2003).

[13] M .H. Eghlidi, K. Mehrany, and B. Rashidian, “Improved differential transfer

matrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals,” Journal of

Optical Society of America B, vol. 23, pp. 1451-1459 (2006).

[14] N. Zariean, P. Sarrafi, K. Mehrany, and B. Rashidian, “Differential-Transfer-

Matrix Based on Airy’s Functions in Analysis of Planar Optical Structures With

Arbitrary Index Profiles,” IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 44, pp. 324-

330 (2008).

فصل ششم 113

[15] S. Khorasani and A. Adibi, “Analytical Solution of Linear Ordinary Differential

Equations by Differential Transfer Matrix Method,” Electronic Journal of

Differential Equations, vol. 2003, no. 79, pp. 1-18 (2003).

[16] S. Khorasani, “Differential Transfer Matrix Solution of Generalized Eigenvalue

Problems,” Proceedings of Dynamic Systems and Applications, vol. 6, pp. 213-222

(2012).

[17] S. Khorasani and F. Karimi, “Basis functions for solution of non-homogeneous

wave equation,” Proceedings of SPIE, vol. 8619, 86192B (2013).

[18] C. Jirauschek, “Accuracy of Transfer Matrix Approaches for Solving the Effective

Mass Schrödinger Equation,” IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 45, no. 9,

pp. 1059-1067 (2009).

:تمرين

.نشان دهيد) 6.1(با ) 6.4(را به همراه ) 6.3( ارزي هم - 1

ي قاعده) 6.18(، از rبراي يك الكترون مقيد به يك مدار دايروي در اتم هيدروژن به شعاع - 2

Lحركت دوراني كوانتش بوهر براي اندازه n= 6.17(چرا در اين مورد . را نتيجه بگيريد (

دهد؟ ي نادرست مي نتيجه

ي انرژي اوليه حل كنيد و را براي چند مقدارويژه) 6.17(گر هماهنگ، براي پتانسيل نوسان - 3

.با جواب دقيق مقايسه نماييد

)پتانسيل زوج - 4 )0U x U x= زومرفلد چه طيفي -بوهر-كوانتش ويلسون .را در نظر بگيريد

كند؟ بيني مي ي انرژي آن پيش را براي مقادير ويژه

.را تاييد نماييد) 6.23(صحت ) 6.1(در ) 6.21(گذاري ضمن جاي - 5

:ي ديفرانسيل زير را در نظر بگيريد معادله - 6

( ) 0G x =G

( )

( )

( )( )

22

2 2

1 h xh x

h x x h x x

⎡ ⎤′− ∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

G


)كه در آن )G x گر ي عمل تابع ويژهG ست و ي صفر ا با مقدارويژه( )h x تابعي اختياري

:كنيم گرهاي زير را تعريف مي حال عمل. باشد ميو غير صفر

( )

1jh x x

− ∂= +

∂E

( )

1jh x x

+ ∂= −

∂E

:نشان دهيداكنون

[ ], 0− + =E E

( )12

+ − − += +G E E E E

)گذاري ضمن جاي كهجا نتيجه بگيريد از آن ) ( )h x k x→ در اين شرايط ) 6.10(، حل

توان با تبديل زير به فرم را مي) 6.1.1(اي به فرم اكنون نشان دهيد هر معادله .دقيق است

:فوق نوشت

(*)

( )( )

( )1

A x G xh x

=

)×(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 44 2 3 4h x k x h x h x h x h x′′ ′= − +

:اي كه به گونه

( )( )

( )1

0A x G xh x−

= =L G

)براي )×(و بنابراين اگر )h x ونتزل تر دقيق با كمك حل )6.1.1( همواره ،قابل حل باشد-

.حل استبطور دقيق قابل (*) و تبديل ) 6.23(بريلويين -كرامرز

:ثابت كنيد اگر داشته باشيمچنين هم

( ) ( )G x gG x=G

:گاه اي غير صفر است، آن مقدار ويژه gكه در آن

( ) ( ),n nG x g G x n− − += ∀ ∈GE E Z

( ) ( ),n nG x g G x n+ + += ∀ ∈GE E Z

فصل ششم 115

)به بيان ديگر، توابع ) ( )nnu x G x−= E و( ) ( )n

nv x G x+= E گر ي عمل نيز توابع ويژه

G ي با مقدارويژهg اگر نشان دهيد .شوند محسوب مي( ) 0G x− =E گاه آن

( ) ( ) ( ) ( )2n nG x G x+ = −Eچنين اگر ؛ هم( ) 0G x+ =E گاه آن

( ) ( ) ( )2 nnG x G x− = +E. حال ثابت كنيد اگر

( ) ( )( )exp ,m x jm h x dx mΓ = ± ∀ ∈∫ R

:گاه آن

( ) ( ) ( )2 1m mx m xΓ = − ΓG

نتيجه مقيدبراي حاالت زومرفلد - بور-اكنون با بازنويسي و تصحيح شرط كوانتش ويلسون

mبگيريد كه ∈ N. 2بنابراين طيف مقادير ويژه عبارتند از 1mg m= −.

1ماتريس انتقال - 7 2→Q صحيح است) 6.29(محاسبه نماييد و نشان دهيد ) 6.28(را در.

.را استخراج نماييد )6.37(و )6.34(روابط - 8

.را بيازماييد) 6.57(و ) 6.56(صحت روابط - 9

0nدست كم يك جواب به ازاي ) 6.63(نشان دهيد -10 .دارد =

aنشان دهيد اگر -11 → تعبير فيزيكي اين . كند ميل مي) 6.63(به ) 6.79(هاي جواب ∞+

پديده چيست؟

، رعايت )6.81(و ) 6.80(با پتانسيل ) 6.83(نشان دهيد به منظور وجود جواب تحليلي براي -12

.بدست آوريد) 6.85(را از ) 6.86(سپس ماتريس انتقال .ضروري است) 6.84(شرايط مرزي

.را بدست آوريد) 6.98(، )6.92.2(با استفاده از -13

.را تحقيق نماييد) 6.104(ي درستي رابطه -14

.را بدست آوريد) 6.119(ي رابطه -15

)فرض كنيد كه تابع مجذور عدد موج -16 )2k x ي بازگشتي مانند در نقطهX تغيير عالمت

)اي كه دهد، به گونه ) ( )2 20k X k X− +< Xماتريس انتقال . > x X x−Δ → +ΔQ را با كمك


)و بسط تيلور ) 6.114( )k x حولx X= حال ضريب انعكاس را محاسبه كنيد و . بيابيد

صحت كوانتش حال . درجه است 90نشان دهيد اختالف فاز ميان موج تابيده و بازتاب برابر

.قابل قبول است، تاييد نماييد) 6.10(بريلويين -كرامرز- را مادامي كه حل ونتزل) 6.19(

.را تحقيق نماييد) 6.135(، و )6.131(، )6.130(هاي ماتريس انتقال تفاضلي ويژگي -17

براي ) 6.114(براي ماتريس انتقال متقارن شده نشان دهيد در ] 18[ضمن مراجعه به -18

قرار دهيم jXافزايش دقت محاسباتي كافي است در فاز تابع نمايي هر چهار درايه به جاي

( )12 1j jX X .اثر است بي) 6.119(نشان دهيد اين تصحيح در ماتريس انتقال تفاضلي .++

) ي مانندزني از سد پتانسيل داالناحتمال ي راهي براي محاسبه -19 )U x با

( )12 0U x a< )و < )1

2 0U x a> آيا احتمال .نشان دهيداز چپ به راست آن را =

برابر است؟ در حالت كلي زني از چپ به راست داالنزني از راست به چپ با احتمال داالن

شرط كافي براي تساوي اين دو احتمال چيست؟

:را در نظر بگيريد) 5.17(تلر - ي ديفرانسيل پوشل معادله -20

( ) ( )mE E

x xU2 20

2,ψ ξψ ξ

β= = =L

( ) ( )2 2

2 202 2 2 2 2 2

1 2 1sech sech

2 2d mU d

x xdx dx

β ββ β β

= − − = − −L

:كنيم نردباني زير را تعريف ميگرهاي حال عمل

( ) ( )d d

x xdx dx

tanh , tanhα α

γ β γ ββ β

+ −= − + = + +A A

:را طوري بيابيد كه داشته باشيم γ و α گر چيست؟ جابجاگر اين دو عمل

( ) ( ) ( )1x xψ ξ ψ+ − = +A A

+1و بنابراين −= −L A A.

فصل هفتم 117

هفتم فصل

بعدي چندمسايل

گر هاميلتوني بعد مكاني، عمل در سه بعدي را مورد مطالعه قرار داديم. تا اينجا عمدتا مسايل يك

آيد: اي با جرم ثابت به صورت زير در مي ذره ي شرودينگر مستقل از زمان براي تك معادله

)7.1( ( )12

Um

= ⋅ +H P P R

و در نتيجه در نمايش مكاني خواهيم داشت:

)7.2.1( ( ) ( )Eψ ψ=r rH

)7.2.2( ( )

22

2U

m= − ∇ + rH

)كه در آن )ψ ψ=r r .اين فصل به بررسي حاالت نمايش مكاني تابع موج مستقل از زمان است

اتم هيدروژن اي و ي كوانتومي استوانه نقطه، و به خصوص مستقل از زمان خاصي از مسايل چندبعدي

خواهد شد.هايي براي تحليل موارد خاص نيز ارايه پردازد. در اين راستا روش مي

ي وردشي حاالت انرژي . محاسبه7.1

هنگامي كه فرم تابع پتانسيل پيچيده است، بعضا مطلوب است كه با حدس فرم تقريبي تابع موج كه

وابستگي به يك يا چند پارامتر تنظيم شونده دارد اقدام به تحليل مسئله و يافتن مقادير بهينه براي

بعدي مسايل چند 118

ي هر سيستم كوانتومي وجود وردشي براي يافتن حالت انرژي پايهپارامترها نمود. بدين منظور روشي

براي كاركرد صحيح اين روش تنها كافي است كه حالت پايه تبهگن نباشد. در حالت وجود دارد.

ي ديگري كه تابعك سيستم را كمينه تبهگني ضروري است جستجوي عددي براي حاالت پايه

كنند انجام پذيرد. مي

توان نوشت: ي شرودينگر در حالت پايه مي گر هاميلتوني و با آغاز از معادله عمل بدون توجه به فرم

)7.3( 0 0 0E = H

و اكنون كت دلخواهانرژي متناظر با آن است. 0Eي غير تبهگن انرژي و حالت پايه 0كه در آن

0α بهنجار كنيم كه همواره: حال اثبات مي را در نظر بگيريد. ≠

)7.4( ( )0Eξ α α α= >H

)بنابراين براي يافتن حالت پايه در حقيقت بايد كتي را يافت كه تابعك )ξ α .براي را كمينه كند

داراي حاالت غير تبهگن و گسسته Hاثبات اين مطلب و بدون لطمه به كليت مسئله فرض كنيد كه

m,مانند m +∈ Z :باشد. در اين صورت

)7.5( m

m mα α=∑

بنابراين:

)7.6( ( )

,

,

2

m n

nm n

mm

m m n n

E m m n n

E m

ξ α α α

α α

α

=

=

=

∑

∑

∑

H

نوشت:توان اما مي

)7.7( ( ) ( )2 2 20 0 0 0m m

m m m

E E m E m E E mξ α α α α− = − = − ≥∑ ∑ ∑

mE,0زيرا طبق تعريف انرژي حالت پايه داريم E m≥ ∈ Z تساوي تنها براي . بديهي است عالمت

0m 0αو يا = قابل ذكر است كه اين قضيه بسيار كلي است و براي گردد. محقق مي =

اي هم قابل اعمال است. هاي چندذره سيستم

فصل هفتم 119

. پتانسيل جداپذير7.2

توان تابع پتانسيل را به جمع سه ) مي5.95بعدي در ( گر هماهنگ سه در برخي مسايل مانند نوسان

تابع جداگانه در راستاهاي اصلي تفكيك نمود:

)7.8( ( ) ( ) ( ) ( )x y zU U U U= + +R X Y Z

) نيز جداپذير است:7.1تحت اين شرايط، هاميلتوني (

)7.9( x y z= + +H H H H

كه در آن:

)7.10( ( )21, , ,

2i i i iU i x y zm

= + =H P R

) با جداسازي متغيرها به فرم:7.2ي شرودينگر ( توان ديد كه معادله بالفاصله مي

)7.11( ( ) ( ) ( ) ( )x y zA x A y A zψ =r

قابل حل است، كه در آن:

)7.12( ( ) ( ), , ,i i i i i iA r E A r i x y z= =H

معادالت حاكم بر توابع موج، و

)7.13( ii

E E=∑

ضمنا شرط بهنجارش به فرم زير ساده كند. ي پاشندگي است كه بقاي انرژي را تضمين مي معادله

شود: مي

)7.14( ( ) ( ) ( ) ( )22 22 3 1x y zd r A x dx A y dy A z dzψ ψ ψ= = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫r

) كافي است داشته باشيم:7.14ارضاي ( براي

)7.15( ( ) ( ) ( )22 2

1x y zA x dx A y dy A z dz= = =∫ ∫ ∫

. قوطي پتانسيل7.2.1

شود: ي مشهور قوطي پتانسيل با تابع زير تعريف مي مسئله


)7.16( ( )

120, , , ,

, otherwise

i ir L i x y zU

⎧ ≤ =⎪⎪⎪= ⎨⎪+∞⎪⎪⎩r

) داراي تقارن زوج 7.16پتانسيل ( كنند. ابعاد قوطي پتانسيل را مشخص مي zL، و xL ،yLكه در آن

) را مانند 7.16توان تابع ( بديهي است كه مي كند. ) را ارضا مي5.7(تقارن مركزي ي است و رابطه

) به صورت جمع سه تابع زير نوشت:7.3(

)7.17.1( ( ) ( )i ii

U U r= ∑r

)7.17.2( ( )12

12

0,, , ,

,

i i

i ii i

r LU r i x y z

r L

⎧ ≤⎪⎪⎪= =⎨⎪+∞ >⎪⎪⎩

بايد شرايط مرزي:) 7.17.2با پتانسيل ( )7.12( ي توان به سادگي ديد كه مسئله مي

)7.18( ( )12 0, , ,i iA L i x y z± = =

هاي بهنجار زير است: داراي جوابرا رعايت كند و بنابراين

)7.19( ( )( )12

12

2cos , 1

, , ,2sin ,

i

i i ii i

n i

i i ii i

n r nL L

A r i x y z

n r nL L

π

π

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜ ⎟ + ∈⎪ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪= =⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ ⎟ ∈⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎩

N

N

توان نمايش داد: تر زير نيز مي ) را به فرم ساده7.19فردند. توابع (كه يك در ميان زوج و

)7.20( ( ) 2 1sin , , , ,

2i

in i i i

i i

rA r n n i x y z

L Lπ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + ∈ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎣ ⎦N

) عبارتند از:7.19ي انرژي براي توابع ( مقاديرويژه

)7.21( 2 2

22 ,

2in i ii

E n nmLπ

= ∈ N

و بنابراين انرژي كل عبارتست از:

)7.22( ( )

2 2 2

22i

in n

i i i

nE E

m Lπ

= =∑ ∑

)ي انرژي با جا، حالت پايه كنيد كه در اينتوجه ) ( )1,1,1n به غير از حالت پايه، شود. مشخص مي =

ساير حاالت انرژي تبهگن هستند (چرا؟).

فصل هفتم 121

تقارن محوري. 7.3

اي كه: ي شرودينگر داراي پتانسيلي دوبعدي و با تقارن محوري است، به گونه گاه معادله

)7.23( ( ) ( )2 2U U= +R X Y

اي استوانهسازد. در دستگاه مختصات ) را برآورده مي5.7بديهي است كه اين پتانسيل تقارن مركزي (

( ), , zρ ϕ توان نوشت: و نمايش مكاني مي

)7.24.1( ( ) ( ), , , ,z E zψ ρ ϕ ψ ρ ϕ=H

)7.24.2( ( )2 2 2 2

2 2 2 2

1 12

Um z

ρρ ρ ρ ρ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜⎢ ⎥= − + + ⎟ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦H

را جدا كرد و نوشت: zتوان وابستگي نسبت به بالفاصله ميبديهي است كه

)7.25( ( ) ( ) ( ), , , zz A A zψ ρ ϕ ρ ϕ=

كه در آن:

)7.26.1( ( ) ( )expz zA z jk z= ±

)7.26.2( 22z zk mE=

حقيقي و يا موهومي محض باشد. به هر zE) بسته به عالمت 7.26تواند در ( مي zkبديهي است كه

:خواهد بوددوبعدي ي شرودينگر حال معادله

)7.27.1( ( ) ( ) ( ) ( ), , ,zA E E A Aρϕ ρ ϕ ρ ϕ ξ ρ ϕ= − =H

)7.27.2( ( )2 2 2

2 2 2

1 12zE Umρϕ ρ

ρ ρ ρ ρ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜= − = − + + ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠H H

)اعمال جداسازي متغير به تابع حال ),A ρ ϕ :به فرم

)7.28( ( ) ( ) ( ),A ρ ϕ ρ ϕ= Ρ Φ

دهد: نتيجه مي

)7.29( ( ) ( )exp ,jq qϕ ϕΦ = ± ∈ Z

چنين: و هم


)7.30.1( ( ) ( )ρ ρ ξ ρΡ = ΡH

)7.30.2( ( )2 2 2 2

2 2

12 2

qU

m mρ ρρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ⎟⎜ ⎢ ⎥= − + ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦H

دارند (چرا؟): qو zkبديهي است كه مقادير ويژه وابستگي به اعداد

)7.31( , zm kξ ξ=

)اگر پتانسيل ) 0U Uρ مقداري ثابت باشد، خواهيم داشت: =

)7.32.1( ( )2 2

22 2

10

qk ρ

ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ + + − ⎟Ρ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠

)7.32.2( ( )202

2mk Uξ= −

هايي از نوع توابع بسل است: ) داراي جواب7.31شود كه ( بالفاصله معلوم ميو در نتيجه

)7.33( ( ) ( ) ( )q qaJ k bY kρ ρ ρΡ = +

در حالت خاصي كه داشته باشيم:مقاديري ثابت هستند. bو aكه در آن

)7.34( ( )2

20 2m

U Uω

ρ ρ= +

بعدي آن در بخش گر هماهنگ دوبعدي است كه دقيقا همانند فرم سه ) يك نوسان7.27ي ( مسئله

در اين حالت خاص استفاده از دستگاه .(چرا؟)شود و به توابع هرميت ختم ميقابل حل است 5.5.4

:بطور صريح قابل حل نيستكه انجامد متفاوت مي اي معادلهمختصات قطبي به

)7.35( ( )2 2

2 4 22 2

10

qk κ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ + + − − ⎟Ρ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠

0kولي استثناء براي حالت ) تعريف شده است.5.58در ( κي فوق، پارامتر در رابطه از حل =

آيد: بدست ميپاسخي بر حسب توابع بسل تغييريافته ) 7.35(

)7.36( ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 21 12 2q qaI bKρ κ ρ κ ρΡ = +

حالتي كه پتانسيل به صورت كولمبي است: چنين در هم

)7.37( ( ) 10

UU Uρ

ρ= +

فصل هفتم 123


)7.38.1( ( )2 2

22 2

10

qh

λρ

ρ ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ + − − − ⎟Ρ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠

)7.38.2( 12

2mUλ =

)7.38.3( 2 2h k= −

)كه با در نظر گرفتن متناهي بودن )ρΡ آيد: در مركز به صورت زير در مي

)7.39( ( ) ( ) ( )122 , 1 , 2q q h lhn ne L h n q l qρ λρ ρ ρ−Ρ = = − − =

)كه در آن )lnL )يافته هستند. شرط متناهي بودن توابع الگر تعميم ⋅ )ρΡ شود اگر: برقرار مي

)7.40( n +∈ Z

يا:

)7.41( ( )2 1 ,p h pλ = + ∃ ∈ Z

اي حركت زاويه . اندازه7.3.1

ي انرژي در تقارن محوري )، همواره نمايش مكاني تابع ويژه7.23نظر از فرم تابع پتانسيل ( صرف

صورتي مانند زير دارد:

)7.42( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , exp exp ,zz jq jk z qψ ρ ϕ ψ ϕ ρ= = ± ± Ρ ∈r Z

كنيم: حال به تابع موج در زمان توجه مي

)7.43( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), exp exp exp ,zt j t jq jk z qψ ω ϕ ρ= − ± ± Ρ ∈r Z

zEكه در آن Eω ξ= = . پس خواهيم داشت:+

)7.44( ( ) ( ) ( ), exp ,zt j t q k z qψ ω ϕ ρ⎡ ⎤= − Ρ ∈⎣ ⎦r ∓ ∓ Z

حركت zkبا عدد موج ±zدهد كه در امتداد محور ) به وضوح موجي را نشان مي7.44ي ( رابطه

1اي زاويهفاز با سرعت zچنين حول محور كند و هم ميq ω ) 7تمرين در حال گردش است.(


عبارتست از: zاي در راستاي محور حركت زاويه گر اندازه همانطور كه بعدا خواهيم ديد عمل

)7.45( ( )ˆz y xz= ⋅ × = −L R P XP YP

يا:

)7.46( z jϕ∂

= −∂

L

) برقرار است، داريم:7.23شود كه وقتي ( در نتيجه بالفاصله مشاهده مي

)7.47( [ ], 0z =L H

توان گرفت (چرا؟): پس نتيجه مي

)7.48( z zLψ ψ=L

است: zحركت دوراني كوانتيده در راستاي اندازه zLكه در آن

)7.49( ,zL q q= ∈ Z

0qبنابراين، حالت پايه با توجه نماييد كه كامال برخالف حركت دوراني است. همواره فاقد اندازه =

يابد. كاهش مي qانتظار، سرعت چرخش تابع موج با افزايش عدد كوانتومي

اي ي كوانتومي استوانه . نقطه7.3.2

ها در سه بعد و در ها و حفره دام اندازي الكترونه يكي از مسايل جالب در مكانيك كوانتمي از ب

شود. ي كوانتومي صفر بعدي حاصل مي گيرد. بدين شكل، يك نقطه نامتجانس صورت ميساختارهاي

شوند. ي خودچينش و ستوني تقسيم مي نقاط كوانتومي امروزه عموما به دو دسته

هادي نيمهي باريك استوانهروش بدين ترتيب است كه ذرات آزاد باردار در يك در ساختار ستوني

هادي هاي جانبي به پتانسيل خالء و از باال و پايين به سد پتانسيل نيمه مت(مثل آرسنيد گاليم) از س

نتيجه ذرات از هر گردند. در گاليم) محدود مي- متفاوتي با گاف انرژي بزرگتر (مثل آرسنيد آلومينيوم

ي . ضخامت تقريبي اليهشود ي كوانتومي صفر بعدي تشكيل مي سه جهت به دام افتاده و يك نقطه

نسيل آرسنيد گاليم در حدود چند تا چند ده نانومتر، و قطر ستون در حد چند صد نانومتر چاه پتا

فصل هفتم 125

ها متفاوت است، و در حد ها و حفره است. ارتفاع سد پتانسيل ناشي از ساختار نامتجانس براي الكترون

تا كند. اين در حالي است كه سد پتانسيل خالء ولت تغيير مي چند ده تا چند صد ميلي الكترون

. ]1[ نهايت گرفت توان آن را بي رسد و بنابراين با تقريب بسيار خوب مي چندين الكترون ولت هم مي

از: ندها به ترتيب عبارت ها و حفره پتانسيل موثر بر الكترون

)7.50.1( ( ) 12

12,

,

, , 0, ,

,

e

e e e e e e

c e e

a

U z a z d

E a z d

ρ

ρ ϕ ρ

ρ

⎧⎪+∞ >⎪⎪⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪⎪⎪Δ ≤ >⎪⎪⎩

)7.50.2( ( ) 12

12,

,

, , 0, ,

,

h

h h h h h h

v h h

a

U z a z d

E a z d

ρ

ρ ϕ ρ

ρ

⎧⎪+∞ >⎪⎪⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪⎪⎪Δ ≤ >⎪⎪⎩

تابع هاي معادالت حاكم بر هاميلتونيضخامت آن است. dشعاع ديسك چاه پتانسيل و aكه در آن

) ها الكترون موج )e eψ r ها و حفره ( )h hψ r ها (كه منجر به تشكيل كنش آن نظر از برهم ضمن صرف

از: ندگردد) عبارت يتون مياي موسوم به اكس ذره جفت

)7.51.1(( ) ( )

( )( )

2 2 2

2

1 1,

2 2e

e e e e ee e e e e e e e e e e

qU z

m z z m z z m zρ ρ

ρ ρ ρ ρ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟=− + + +⎜⎨ ⎬⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭H

)7.51.2(( ) ( )

( )( )

2 2 2

2

1 1,

2 2h

h h h h hh h h h h h h h h h h h

qU z

m z z m z z m zρ ρ

ρ ρ ρ ρ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟=− + + +⎜⎨ ⎬⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭H

)به صورتي كه ) است7.29از نوع ( ϕ) تابعيت 7.52در معادالت ( ) ( ) ( ),e e e e e e eA zψ ρ ϕ= Φr و

( ) ( ) ( ),h h h h h h hA zψ ρ ϕ= Φr. نيز اعدادeq وhq ) حركت گر اندازه ) به ترتيب بيان7.49طبق

. ها هستند ها و حفره دوراني الكترون

e,نهايت به ازاي كنيم كه شرط پتانسيل بي حال توجه مي h aρ گزيدگي الكترون و حفره در و جاي <

گردد: ) منجر به شرايط مرزي زير مي7.51( دري كوانتومي نقطه

)7.52.1( ( ) ( ) 0, ,e e h h e h aψ ψ ρ ρ= = >r r

)7.52.2( ( ) ( ) 0, ,e e h h e hz zψ ψ= = → ±∞r r


بازنويسي كرد: توان ) را به شكل زير مي7.50هاي ( چنين پتانسيل هم

)7.53.1( ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 ,e e ze e c e e eU U z E u z d u z d aρ⎡ ⎤= = Δ + − + − − ≤⎣ ⎦r

)7.53.2( ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 ,h h zh h v h h hU U z E u z d u z d aρ⎡ ⎤= = Δ + − + − − ≤⎣ ⎦r

سازد (چرا؟): ، تفكيك متغيرها را به صورت زير ممكن مي)7.53) به همراه (7.52( شرط مرزي

)7.54.1( ( ) ( ) ( ) ( ), , 0e e e e e e e e eA z Z z aρ ρ ρ= Ρ Ρ > =

)7.54.2( ( ) ( ) ( ) ( ), , 0h h h h h h h h hA z Z z aρ ρ ρ= Ρ Ρ > =

)كنيم حال تعريف مي ) ( )*e e e e em z m m z= و( ) ( )*

h h h h hm z m m z= كه در آن*em و*

hm

eبراي ي چاه كوانتومي هستند. حال هاي موثر الكترون و حفره در اليه جرم aρ معادالت >

ها: ي زير براي الكترون چهارگانه

)7.55.1(

( )( )

( ) ( ) ( )2 12ze e e ze e e e ze e e

e e e e

Z z U z Z z E Z zz m z z

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥= − + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭H

)7.55.2( ( ) ( ) ( )2 2

* 2

12

ee e e e e e e e

e

qP P E P

mρ ρρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎟⎜= − ⎟− =⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭H

hبه ازاي و aρ ها: حفرهبراي >

)7.56.1( ( )( )

( ) ( ) ( )2 12ze h h zh h h h zh h h

h h h h

Z z U z Z z E Z zz m z z

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥= − + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭H

)7.56.2( ( ) ( ) ( )2 2

* 2

12

hh h h h h h h h

h

qP P E P

mρ ρρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎟⎜= − ⎟− =⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭H

بديهي است كه انرژي كل الكترون و حفره عبارتست از: .هستنددق اص

)7.57.1( e zeE E Eρ= +

)7.57.2( h zhE E Eρ= +

) داراي حلي ساده و به فرم زير هستند:7.56.2) و (7.55.2( اما معادالت

)7.58.1( ( ) ( )*

2

2,

e

ee e q e e e e

mP J k k Eρρ ρ= =

فصل هفتم 127

)7.58.2( ( ) ( )*

2

2,

h

hh h q h h h h

mP J k k Eρρ ρ= =

آيد: بدست مي hEρو حفره eEρ)، كوانتش انرژي شعاعي الكترون 7.52.1با توجه به شرايط مرزي (

)7.59.1( 2

2, * 22e nq nq

e

Em aρ α=

)7.59.2( 2

2, * 22h nq nq

h

Em aρ α=

همچنين كوانتش انرژي محوري است. qي امين صفر تابع بسل مرتبهnبرابر با nqαكه در آن

موجب z) در امتداد محور 7.52.2الكترون و حفره با حل حاالت انرژي و توجه به شرط مرزي (

ze,ي محاسبه lE و,zh lE ي موج الكترون و حفره عبارتند از: گردد. در نهايت توابع ويژه مي

)7.60.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,; expe e e e e q e nq e e l en n jq J k Z zψ ϕ ρ⎡ ⎤= = ±⎣ ⎦r r

)7.60.2( ( ) ( ), ,e e e en n q l=

)7.60.3( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,; exph h h h h q h nq e h l hn n jq J k Z zψ ϕ ρ⎡ ⎤= = ±⎣ ⎦r r

)7.60.4( ( ) ( ), ,h h h hn n q l=

شوند: ) محاسبه مي7.60تركيب خطي (بنابراين توابع موج الكترون و حفره در حالت كلي از

)7.61.1( ( ) ( )( )

e

e

e enn

c nψ =∑

)7.61.2( ( ) ( )( )

h

h

h hnn

c nψ =∑

تقارن شعاعي. 7.4

شود: ي زير تعريف مي بعدي با كمك رابطه تقارن شعاعي در يك پتانسيل سه

)7.62( ( ) ( )2 2 2U U= + +R X Y Z

شود: منجر ميكه در نمايش مكاني به صورت زير

)7.63( ( ) ( )U U r=r


. هنگامي تقارن مركزي برقرار ) است (چرا؟)5.7) حالت خاصي از تقارن مركزي (7.63بديهي است (

)ي شرودينگر را در دستگاه مختصات كروي توان معادله است مي ), ,r θ ϕ :نگاشت

)7.64.1( ( ) ( ), , , ,r E rψ θ ϕ ψ θ ϕ=H

)7.64.2(( )

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin

2 sin sinr U r

m r r r r rθ

θ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= − + + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦H

پذير است: ) همواره جداسازي متغير بصورت زير امكان7.64ي ( براي مسئله

)7.65( ( ) ( ) ( ), , ,r R r Yψ θ ϕ θ ϕ=

)كه توابع )R r و( ),Y θ ϕ كنند: در معادالت زير صدق مي

)7.66.1( ( ) ( )rR r ER r=H

)7.66.2( ( )

22

2 2

12r r U rm r r r r

λ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥= − − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂⎣ ⎦H

)7.66.3( ( ) ( )2, ,Y Yθϕ θ ϕ λ θ ϕ=H

)7.66.4( 22

2 2

1 1sin

sin sinθϕ θθ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎣ ⎦H

)بديهي است كه توابع ),Y θ ϕ ي خود قابل تفكيك نيز به نوبههاي كروي، موسوم به هماهنگ

بحث قرار خواهند گرفت.هستند، و بعدا مورد

كه به سادگي از ضرب خارجي كنيم اي كالسيك نگاه مي حركت زاويه حال به تعريف بردار اندازه

:آيد حركت بدست مي بردارهاي مكان و اندازه

)7.67( = ×L r p

) خواهيم داشت:7.67با اخذ مشتق زماني از طرفين (

)7.68( d d ddt dt dt

= × + ×r p

L p r

1d طبق تعريف سرعت داريم اماmdt = =r v p 0و بنابراينd

dt × =r pچنين: . هم

فصل هفتم 129

)7.69(

( )

( )

( )

( )

1 1ˆˆ ˆsin

ˆ

1

dU

dt

r U rr r r

U r rr

U rr r

θ ϕθ θ ϕ

= −∇

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∂

= −∂

∂= −

∂

p r

r

:]2[ توان مالحظه نمود كه بنابراين مي

)7.70( 0ddt

=L

يا:

)7.71.1( ( ) 0ddt

⋅ =L L

)7.71.2( 0, , ,i

dL i x y z

dt= =

حركت دوراني در تعبير كالسيك، تقارن شعاعي انرژي پتانسيل موجب بقاي اندازهبه بيان ديگر،

ي فوق به زبان كوانتومي نيز هنوز درست است. دهيم كه نتيجه شود. حال نشان مي مي

گر . مشتق زماني عمل7.4.1

. كنيم بطور صريح تابعيت زماني ندارد كه فرض مي را در نظر بگيريد Aهرميتي و دلخواه گر عمل

)داشتي آن نسبت به كت حالت تابع زمان مقدار چشم )tψ :عبارتست از

)7.72( ( ) ( ) ( )a t t tψ ψ= A

با:مشتق زماني عبارت فوق برابر است

)7.73( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d

a t t t t tdt dt

ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A

ي شرودينگر در حالت كلي داريم: از معادله

)7.74.1( ( ) ( ) ( )d j

t t tdt

ψ ψ= − H


)7.74.2( ( ) ( ) ( )d j

t t tdt

ψ ψ= + H

بنابراين:

)7.75( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ),

j ja t t t t t t t

jt t t

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

′ = −

=

H A AH

H A

:به صورت نمادين به فرم زير قابل بازنويسي استكه

)7.76( ( )[ ],d jt

dt=A H A

dجا، منظور از در اينdt A اي است كه گر نيست، بلكه تنها نمايش جمله مشتق صريح زماني عمل

)داشتي آن در مقدار چشم ) ( ) ( )ddta t t tψ ψ′ = A گري با بنابراين هرگاه عملكند. صدق مي

از ي انرژي در زمان پايستار است. داشتي آن نسبت به كت ويژه هاميلتوني جابجا شود مقدار چشم

حركت دوراني در پتانسيل داراي تقارن مركزي دست يافت. توان به قانون بقاي اندازه اينجا مي

حركت دوراني . اندازه7.4.2

= ي مستقيما از تعريف كالسيك آنحركت دوران گر برداري اندازه عمل ×L r p شود: ساخته مي

)7.77( = ×L R P

هاي دكارتي زير قابل تفكيك است: بنابراين به مولفه

)7.78(( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z z y x z y xx y z x y z= + + = − + − + −L L L L YP ZP ZP XP XP YP

):12(تمرين ]3و2[ به روابط زير دست يافتتوان مي) 7.62كمك تقارن شعاعي پتانسيل (با حال

)7.79.1( 2, 0⎡ ⎤ =⎣ ⎦H L

)7.79.2( [ ], 0, , ,i i x y z= =H L

حركت دوراني اشاره ) هستند و به پايستاري اندازه7.69گان معادالت ( ) دقيقا دو7.79معادالت (

,و 2Lگرهاي ي عمل توان نتيجه گرفت كه توابع ويژه چنين مي هم كنند. مي , ,i i x y z=L همان

ي انرژي نيز هستند. توابع ويژه

فصل هفتم 131

) در نمايش 7.78( حركت دوراني اندازه گر عملدر حالت كلي، و فارغ از برقراري يا عدم تقارن كروي،

ˆ توابع ˆ ˆx y zx y z= + +L L L L شود: هاي دكارتي يا كروي به يكي از دو صورت زير ساده مي و دستگاه

)7.80.1( ˆ ˆ ˆj y z x j z x y j x y zz y x z y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜= − − − − − −⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠L

)7.80.2(ˆ ˆ ˆsin cot cos cos cot sinj x j y j zϕ θ ϕ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜= + + − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠L

)7.80.3( 22 2

2 2

1 1sin

sin sinθ

θ θ θ θ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎣ ⎦L

2) داريم 7.66.4بديهي است كه طبق (θϕ=L H 2، يا

θϕ=L H. ي جالب توجه در مورد نكته

حركت گر بردار مكان و اندازه هاي آن بر خالف عمل حركت دوراني آن است كه مولفه گر اندازه عمل

توان نشان داد كه داريم: شوند. در حقيقت مي ) جابجا نمي2.15مانند (

)7.81( , , , , , ,i j ijk kj i j k x y zε⎡ ⎤ = =⎣ ⎦L L L

شود: چيويتا به صورت زير تعريف مي-سور لوينتا يا شبه ijkε كه در آن نماد

)7.82( ( ) ( )

( ) ( )

1, , , is an even permutation of 1,2, 3

1, , , is an odd permutation of 1,2, 3

0, otherwise

ijk

i j k

i j kε

⎧⎪+⎪⎪⎪⎪= −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

:)13(تمرين توان خالصه نمود ي زير مي ) را بطور مبسوط به سه رابطه7.81بنابراين (

)7.83.1( ,x y zj⎡ ⎤ =⎣ ⎦L L L

)7.83.2( ,y z xj⎡ ⎤ =⎣ ⎦L L L

)7.83.3( [ ],z x yj=L L L

) همواره صحيح هستند.7.83) در تقارن كروي، روابط (7.79.2علي رغم (

هاي كروي . هماهنگ7.4.3

) هاي كروي هماهنگ ),Y θ ϕ ) اند و از جداسازي تابع موج تحت شرايط ) تعريف شده7.66.3در روابط

2جايي كه داريم از آن شوند. پتانسيل متقارن مركزي ناشي ميθϕ=L Hتوان نوشت: ، مي


)7.84( ( ) ( )2 2, ,Y Yθ ϕ λ θ ϕ=L

)جداسازي متغيرها به صورت با اعمال ) ( ) ( ),Y θ ϕ θ ϕ= Θ Φ آيد: بدست مي

)7.85.1( ( )

( )22

2

1,m m

ϕϕ ϕ

∂ Φ= − ∈

Φ ∂Z

)7.85.2( ( )

( ) 2 2sinsin sinm

θθθ λ θ

θ θ θ

⎡ ⎤∂Θ∂ ⎢ ⎥− + =⎢ ⎥Θ ∂ ∂⎣ ⎦

) داراي حل بديهي زير است:7.85.1ي ( معادله

)7.86( ( ) ( )exp jmϕ ϕΦ =

)) با تغيير متغير به صورت 7.85.2ي ( و معادله ) ( )cosPθ θΘ cosϖو فرض = θ= زير قابل

نمايش است:

)7.87( ( )2

22

1 01

d dP mP

d dϖ λ

ϖ ϖ ϖ

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎟⎜− + − =⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥ −⎝ ⎠⎣ ⎦

1ϖرفتار آن كه در هاي خوش ي مشهور لژاندر تعميم يافته است و جواب ي فوق معادله معادله = ±

متناهي هستند عبارتند از:

)7.88.1( ( ) ( )cosmlPθ θΘ =

)7.88.2( ( )1 , ,l l l m lλ += + ∈ ≤Z

به عدد lمعموال است. mي و رتبه lي ي درجه يافته اي لژاندر تعميم )، چندجمله7.88ي ( در رابطه

0lبه ترتيب اعداد به عدد مغناطيسي مشهورند. mاربيتالي و = ،1l = ،2l 3l، و = معرف =

هميشه داراي تقارن كروي كامل sهاي هستند. بديهي است اربيتال f، و s ،p ،dهاي اربيتال

هستند.

هاي كروي عبارتند از: بنابراين، هماهنگ

)7.89.1( ( ) ( )2 2, ,m ml lY LYθ ϕ θ ϕ=L

)7.89.2( ( ) ( ) ( ), exp cos , ,m ml lY jm P l m lθ ϕ ϕ θ += ∈ ≤Z

)7.89.3( ( )2 2 1L l l= +

فصل هفتم 133

گيريم: ) نتيجه مي7.80.2بالفاصله از (

)7.90.1( ( ) ( ), , , ,m mz l z lY LY l m lθ ϕ θ ϕ += ∈ ≤L Z

)7.90.2( zL m=

1lيابيم كه اگر ) در مي7.90.2) و (7.89.3ي ( ضمن مقايسه گاه همواره نامساوي زير برقرار ، آن≤

است:

)7.91( 2 2zL L<

حركت دوراني غير صفر روي يك محور هرگز با اندازهبردار تصوير گيري اندازهدهد كه نشان مي

ي حركت گيري طول آن بردار يكسان نيست. به عبارت ديگر براي تعيين قدر مطلق اندازه اندازه

تصاوير بردار روي سه محور استفاده كرد (چرا؟).گيري توان از اندازه دوراني، نمي

كنند: شرط تعامد زير را راضي مي ) نابهنجارند و7.89.2با تعريف ( هاي كروي هماهنگ

)7.92( ( ) ( ) ( ) ( )2

*

0 0

, , sin 0, , ,m ml lY Y d d m l m l

π π

θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ′′ ′ ′= ≠∫ ∫

]:5توان كرد [ هاي كروي از اتحاد زير استفاده مي براي بهنجارش هماهنگ

)7.93( ( ) ( )( )( )

1

1

!22 1 !

m ml n nl

l mP P d

l l mϖ ϖ ϖ δ

+

−

+=

+ −∫

):14و در نتيجه خواهيم داشت (تمرين

)7.94.1( ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

12 !

, 1 exp cos4 !

mm ml l

l l mY jm P

l mθ ϕ ϕ θ

π+ −

= −+

)7.94.2( ( ) ( )2

*

0 0

, , sinm ml l mm llY Y d d

π π

θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ δ δ′′ ′ ′=∫ ∫

)ضريب ) ( )1 expm jmπ− هاي براي حفظ تقارن هماهنگشورتلي - موسوم به ضريب فاز كاندون =

تعريف شده Mاي گر تقارن آينه عملتحت عالوه بر اين هاي كروي هماهنگ كروي بكار رفته است.

هاي زوج و فرد هستند: داراي تقارن كند تبديل مي r−را به r)، كه 5.4در (


)7.95(

( ) ( )

( )( )( )

( )( )[ ] ( )

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

12

12

, ,

!1 exp cos

4 !

!1 exp exp 1 cos

4 !

1 ,

m ml l

m ml

m m l ml

l ml

Y Y

l l mjm P

l m

l l mjm jm P

l m

Y

θ ϕ π θ ϕ π

ϕ π θπ

ϕ π θπ

θ ϕ

+

= − +

+ −= − + −

+

+ −= − −

+

= −

M

شود. مربوط مي lكه تنها به زوج يا فرد بودن عدد اربيتال

. شرط مرزي توابع مقيد7.4.4

:)17(تمرين ي مقيد انرژي بايد شرايط زير را رعايت كنند كروي توابع ويژه تحت تقارن

)7.96.1( ( )2lim 0r r R r→∞ =

)7.96.2( ( )lim 0r rR r→∞ ′ =

) را بصورت زير نوشت:7.66.2توان هاميلتوني ( چنين مي هم

)7.97.1( ( )

22

2

12r lr U rm r r r

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂⎣ ⎦H

)7.97.2( ( ) ( )( )2

2

12l

l lU r U r

m r+

= +

)كه در آن )lU r توان ديد كه حتي اگر تابع پتانسيل موثر است. مي( )0U محدود باشد، پتانسيل

)موثر )lU r 0به ازايl كند. در نتيجه نهايت ميل مي بي به مثبتدافعه ايجاد كرده و در مركز <

داريم:

)7.98( ( )0lim 0,r R r l→ = ∈N

بعد گر هماهنگ در سه . نوسان7.4.5

) قبال تعريف و در دستگاه دكارتي حل شده بود. حال 5.87بعد در ( گر هماهنگ در سه ي نوسان مسئله

وضوح داراي تقارن كروي است:كنيم كه به ) را در دستگاه كروي بازنويسي مي5.87پتانسيل (

فصل هفتم 135

)7.99( ( )2

2

2m

Uω

=R R

آيد: به فرم زير در مي) 7.88.2با كمك () 7.66.2و در نتيجه هاميلتوني (

)7.100( ( )2 22 2

2 2

112 2r

l l qr r

m r r r rω⎡ ⎤⎛ ⎞ +∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥= − − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂⎣ ⎦

H

qكه در آن موقتا از ∈ Z به جايm .توان نوشت را مي) 7.66.1ي ( مسئلهاكنون استفاده شده است:

)7.101( ( ) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 0r R r k r r l l R rr r

κ⎛ ⎞∂ ∂ ⎟ ⎡ ⎤⎜ + − − + =⎟⎜ ⎣ ⎦⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

22k) تعريف شده و 5.57در ( κكه در آن mE= .حال با تغيير متغير: است

)7.102( ( ) ( ) ( )2 212expR r r F rκ= −

آيد: بدست مي

)7.103(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2 2

2 2 1 3 1 0r F r r r F r k r l l F rr r

κ κ∂ ∂ ⎡ ⎤+ − + − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂

0r) در 7.103جواب متناهي ( عبارتست از: →

)7.104( ( ) ( )2

22 23 3

4 2 21 1 4, ;l k lF r r F l r

κκ= − + +

)كه در آن )1 1F )تابع ) 7.102(در تابع فوق هندسي گوس است. براي آن كه ⋅ )R r درr → ∞

:باشد الزم است كه صفرنيز

)7.105( 2

2

3, , 2 0

4 4 2k l

p p p lκ

+− + = − ∈ + ≥Z

2و تعريف ) 7.105با ساده كردن ( 0n p l= + آوريم: بدست مي ≤

)7.106( ( )32nE nω= +

بعد عبارتند از: گر هماهنگ در سه نوسانهاي نابهنجار در نهايت، جواب. خواني دارد ) هم5.93كه با (

)7.107.1( ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 32 2 21 1exp , ; ,l ml n

n lr r F l r Yψ κ κ θ ϕ−= − +r

)7.107.2( ( ) ( ) ( )12, , , ,n n m l m l n n l += ≤ ≤ − ∈Z


0nحالت خاص اكنون 0l) خواهيم داشت 7.107.2را در نظر بگيريد. بر اساس ( = m= . پس =

:آيد ميبدست براي حالت پايه

)7.108( ( ) ( )2 212000 exp rψ κ= −r

را برآورده ) 5.99.1(نسبت به هم تعامدي مانند پس از بهنجارش مناسب ) 7.107بديهي است توابع (

.(چگونه؟) كنند مي

. اتم هيدروژن7.5

نظر از اسپين و تصحيح نسبيتي انرژي ذرات، با جايگزيني پتانسيل تحليل دقيق اتم هيدروژن با صرف

كولمبي:

)7.109( ( )

2

04e

Urπε

= −r

بار eي فوق، ي شرودينگر ميسر است. در رابطه كه به وضوح داراي تقارن شعاعي است در معادله

از:) عبارتست 7.66.1ي ( اكنون هاميلتوني معادله باشند. گذردهي خالء مي 0εالكترون و

)7.110( ( )2 22

2 20

11,

2 4r

l l er l

m r r r r rπε+⎡ ⎤⎛ ⎞ +∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥= − − − ∈⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ∂⎣ ⎦

H Z

:]4[ آيد ) به صورت زير در مي7.66.1ي ( و معادله

)7.111.1( ( ) ( )[ ] ( )22 2

1 20l

mr R r E U r R r

r r r

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ + − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

)7.111.2( ( )( )2 2

20

1,

4 2l

l leU r l

r m rπε++

= − + ∈ Z

كنيم كه براي حاالت مقيد بايد داشته باشيم: ) ابتدا دقت مي7.111براي يافتن حل (

)7.112( ( ) ( )lim lim 0r rR r R r→∞ →∞ ′= =

)اما چون )lim 0r lU r→∞ بزرگ داشته باشيم: rبايد براي =

)7.113.1( ( ) ( )

22

2 0R r R rr

α∂

− ≈∂

فصل هفتم 137

)7.113.2( 2

2mEα = −


)7.114( ( ) ( ) ( )expR r r f rα= −

) داريم:7.111در ( )7.114با جايگزيني (

)7.115( ( ) ( )( )

( )

2 2

2 2 20

11 22 0

4l le m

f r f r f rr r r r r

α απε

⎡ ⎤⎛ ⎞ +∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜ ⎟+ − + − − =⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

)حال براي بررسي رفتار )f r ) دهيم: ) آن را بسط مي7.115در

)7.116( ( )

0

f r r b rβ νν

ν

∞

=

= ∑

) خواهيم داشت:7.115گذاري در ( با جاي

)7.117(

( )

( )( ) ( )

( )

2 2

2 2 20 0 00

2 1

0 0

21

200

11 22

4

11 2

2 14

l le mb r b r b r

r r r r r

b r b rr

e mb r l l b r

ν β ν β ν βν ν ν

ν ν ν

ν β ν βν ν

ν ν

ν β νν ν

ν

α απε

ν β ν β α ν β

απε

∞ ∞ ∞+ + +

= = =

∞ ∞+ − + −

= =

∞+ − +

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ +∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜ ⎟+ − + − −⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜= + + − + − +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ 2

0

0β

ν

∞−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

بنابراين:

)7.118( ( )( ) ( )[ ]

( )

2

0

21

20 0

1 1

2 1 04

l l b r

e mb r

ν βν

ν

ν βν

ν

ν β ν β

α ν βπε

∞+ −

=

∞+ −

=

+ + + − +

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

0νي حال با بررسي جمله 2rو صفر قرار دادن ضريب = β− :خواهيم داشت

)7.119( ( ) ( )1 1 0l lβ β + − + =

شود: كه منجر به دو جواب زير مي

)7.120.1( lβ =

)7.120.2( 1lβ = − −


0l) براي 7.98رعايت شرط ( پس يك بار ) كنار گذاشته شود. 7.120.2دارد كه جواب ( الزم مي <

) تغيير متغير بصورت:7.115ديگر در (

)7.121( ( ) ( )lf r r L r=

رسيم: ي زير مي به معادله پس از ساده كردن دهيم و انجام مي

)7.122.1( ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

2

2 2 1 2 1 0n nr L r l r L r n l L rr r

α α∂ ∂

+ + − + − + =∂ ∂

)7.122.2( 2

204 n

e mn

πε α=

رفتار بصورت زير است: هاي خوش ي فوق داراي جواب معادله

)7.123( ( ) ( )2 1 2 , ,ln l nL r L r n l nα+−= > ∈N

)كه در آن )2 1ln lL +− ) بالفاصله 7.113.2و ( )7.122.2بنابراين از (يافته هستند. توابع الگر تعميم ⋅


)7.124( ( )

4

2 220

1,

2 4n

meE n

nπε=− ∈N

) دقيقا هماني است كه بوهر با مدل ابتدايي خود از اتم هيدروژن كه با ادغام تصوير 7.124ي ( رابطه

زومرفلد بدست آورده بود. در حقيقت كمي اعجاب برانگيز است -ي شمسي و كوانتش ويلسون منظومه

اي به جواب دقيق براي طيف انرژي منجر ي بوهر در چنين سيستم پيچيده بسيار سادهكه مدل

شود. مي

برقرار ي تعامد زير رابطه)، 7.123و توجه به حقيقي بودن ( )،7.123()، 7.121)، (7.114(با كمك

:است (چرا؟)

)7.125.1( ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

21 1 2 2

0

0, , ,l ln nR r R r r dr n l n l

∞

= ≠∫

)7.125.2( ( ) ( ) ( )2 1exp 2l l ln n n l nR r r r L rα α+

−= −

كنيم: حال تعريف مي

فصل هفتم 139

)7.126( 10

1 1,n n

n naα α= = ∈N

0كه در آن 11a α= .منجر به بهنجارش زير )7.125، (گيري پس از انتگرالشعاع بوهر است

گردد: مي

)7.127.1( ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

2, ,

0

l ln n n n l lR r R r r dr δ δ

∞

=∫

)7.127.2( ( )( )

( )[ ]

32

2 13

0 0 0 0

1 ! 2 2exp 2

2 !

l

l ln n l

n l r r rR r L

na na na nan n l+−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟= −⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

بهنجار موج در اتم هيدروژن خواهند بود:توابع )7.65(با كمك در نهايت،

)7.128( ( ) ( ) ( ), , ,m lnlm l nY R r m l n nψ θ ϕ= ≤ < ∈r N

كنند: ) در تعامد زير صدق مي7.128توابع موج (اما ايم. تبديل كرده mرا به qكه در آن مجددا

)7.129( ( )( )

( )( )

( )( )1 2 1 2

* 3n n n nd rψ ψ δ=∫∫∫ r r

)كه در آن ) ( ), , ,n n l m m l n= ≤ <.

هاي شعاعي . ممان7.6

)هاي شعاعي تابع موج تحت تقارن دوراني و نسبت به حالت ممان )n :طبق تعريف عبارتند از

)7.130( ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )2* 3 3 ,p p p

n n nnr d r r d r pψ ψ ψ= = ∈∫∫∫ ∫∫∫r r rr Z

):20] (تمرين 4[داريمحاالت خاص در مختلف در حالت كلي دشوار است، ولي هاي ي ممان محاسبه

)7.131.1( ( )

0 1n

r =

)7.131.2( ( )

( )1 20 3 12n

ar n l l+ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

)7.131.3( ( )

12

0

1n

ra n

− =

)7.131.4( ( )

( )2 2

2 20 5 1 3 12n

a nr n l l⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦

)7.131.5( ( ) ( )

22 3 1

20

1n

ra n l

− =+


. اتم هيدروژن در دستگاه مختصات سهموي7.7

هاي مختصات در برخي مسايل چندبعدي و بسته به فرم پتانسيل، گاه استفاده از ساير دستگاه

تري از جواب تواند به فرم ساده اي و كروي مي هاي مختصات استوانه الخط به غير دستگاه منحني

بيانجامد. مثالي جالب در اين زمينه، تحليل اتم هيدروژن با كمك دستگاه مختصات سهموي

( ), ,ξ ζ ϕ ] هاي مختصات دكارتي ] كه به فرم زير به دستگاه4است ( ), ,x y z كروي و( ), ,r θ ϕ

گردد: مرتبط مي

)7.132.1( ( )12

cos

sin

x

y

z

ξζ ϕ

ξζ ϕ

ξ ζ

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎩

)7.132.2( ( )

( )

1 cos

1 cos

r

r

ξ θ

ζ θϕ ϕ

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

آيد: ] بدست مي5و4ي ديفرانسيل [ از قواعد هندسههاميلتوني در اين دستگاه با استفاده

)7.133(( ) ( )

2 2 2

20

1 1 22 4

em

ξ ζξ ζ ξ ξ ζ ζ ξζ ϕ ξ ζ πε

⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ + ⋅ + −⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭H

)اكنون جداسازي تابع موج به فرم ) ( ) ( ) ( )ψ ξ ζ ϕ= Ξ Ζ Φr دهد: نتيجه مي

)7.134.1( ( )

( )2

22

1,q qϕ

ϕ ϕ∂

Φ = − ∈Φ ∂

Z

)7.134.2( ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

20

12 2 4 2

e qm m m

E

ξα

ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ πε ξ ξ

ξ

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥Ξ = − Ξ + + − + Ξ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦= Ξ

H

)7.134.3( ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

20

12 2 4 2

e qm m m

E

ζα

ζ ζ ζ ζζ ζ ζ ζ πε ζ ζ

ζ

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥Ζ = − Ζ + − − + Ζ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦= Ζ

H

)) داراي حلي به فرم 7.134.1ي ( معادله ) ( )exp jqϕ ϕΦ ) و 7.134.2معادالت (ولي است. =

) با كمك تعاريف:7.134.3(

فصل هفتم 141

)7.135.1( 222

mEa = −

)7.135.2( 2

20

14me

baξ α

πε

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

)7.135.3( 2

20

14me

baζ α

πε

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

aρ هايتغيير متغيرو ξ= وaρ ζ= آيند: به فرم متحدالشكل زير در مي

)7.136( ( )( )

2

2

1 10

4 4

Y b qY

ρρ

ρ ρ ρ ρ ρ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂∂ ⎟⎜⎢ ⎥ + − − ⎟ =⎜ ⎟⎜⎢ ⎥ ⎟⎜∂ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

)تغيير متغير و انجام 7.5استداللي مشابه بخش اكنون با ) ( )1 12 2qY e Lρρ ρ ρ−= تعريف سپس و

( )12 1p b q= − خواهيم داشت: +

)7.137( ( ) ( ) ( ) ( )2

21 0

d dL q L pL

d dρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ+ + − + =

)يافته، و داراي جوابي به فرم ي الگر تعميم كه همان معادله ) ( )qpL Lρ ρ= رفتار . براي خوشاست

pبودن جواب الزم است كه داشته باشيم +∈Zحال با تعريف .:

)7.138( 1n b b p p qξ ζ ξ ζ= + = + + +

nيابيم كه در مي ∈N به شرط كوانتش سطوح انرژي )7.135.3) و (7.135.2با كمك ( جا از آن، و

)ي موج اما توابع نابهنجار ويژه ) دست خواهيم يافت.7.124( ) ( ) ( ) ( )ψ ξ ζ ϕ= Ξ Ζ Φr :عبارتند از

)7.139( ( )( ) ( ) ( )

12 exp exp

2 2 2q q q

n n nn n n

jq L La a aξ ζ

ξ ζ ξ ζψ ξζ ϕ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟= − ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦r


)7.140( ( )2

002

41na n n q na

me ξ ζπε

= + + + =

بديهي است اين نمايش توابع موج اتم هيدروژن باشد. ) مي7.126همان شعاع بور در ( 0aجا در اين

ها بكار رفته است. ولي ) يكي نيست، زيرا اعداد كوانتومي متفاوتي در آن7.128) دقيقا با (7.139در (

0n) با 7.139ي ( حالت پايه n qξ ζ= = شود. گردد، كه به جواب مشتركي ختم مي مشخص مي =


مراجع:[1] P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots, 2nd ed., Wiley, 2005.

[2] A. Yariv, Quantum Electronics, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York, 1986.

[3] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Rev. Ed., Addison-Wesley, Reading,

1994. [4] W. T. Hill and C. H. Lee, Light-Matter Interaction, Wiley-VCH Verlag,

Weinheim, 2007.

[5] G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed., Academic Press,

Orlando, 1985.

[6] J. Schneider and H. Wallis, “Fully quantum mechanical moment of inertia of a

mesoscopic ideal Bose gas,” European Physical Journal B, vol. 18, no. 3, pp. 507-

512 (2000).

[7] M. Khoshnegar, A. H. Hosseinnia, and S. Khorasani, “Calculation of band structure

using local sampling and Green’s functions,” Physical Review B, vol. 81, 085122

(2010).

تمرين:

ي انرژي در نظر را با حاالت انرژي غير تبهگن و طيف گسسته Hگر هاميلتوني عمل - 1

گر: ي وردشي به عمل نشان دهيد با اعمال قضيه بگيريد.

1

0

,n

n mm

E m m n−

=

= − ∈∑H H N

ام را يافت. از اينجا روشي كامال وردشي براي يافتن تمام حاالت nتوان حالت انرژي مي

استخراج كنيد.غير تبهگن سيستم يك انرژي

) را بيازماييد. 7.20) و (7.19صحت روابط ( - 2

ي ديفرانسيل زير را در نظر بگيريد: معادله - 3

( ) ( ), ,G x y gG x y=G

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2x y x yf x f y f x f yx y x x y y

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦G

مقادير ويژه عبارتند از:نشان دهيد توابع و

فصل هفتم 143

( ) ( ), exp , ,G x y j dαβ αβ α β⎡ ⎤= ± ⋅ ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦∫ h r r R

2 22 2gαβ α β= +

)كه در آن ) ( ) ( )ˆ ˆx yh x x h y yαβ α β= +h r، و نيز داريم( ) ( )22x xf x h x= و −

( ) ( )22y yf y h y= از فصل ششم مراجعه نماييد. 6راهنمايي: به تمرين .−

) فرض كنيد داشته باشيم: 7.27ي ( در مسئله - 4

( ) ( ) ( )2

1,U U Uρ ϕρ ϕ ρ ϕ

ρ= +

) قابل حل است.7.28نشان دهيد با اين پتانسيل نيز كماكان اين مسئله با جداسازي (

)) را هنگامي 7.30ي ( مسئله - 5 ) 1 20 2

U UU Uρ

ρ ρ= + است حل كنيد. در حالتي كه +

1 0U جواب چيست؟ =

) را محاسبه نماييد.7.46ي ( ) رابطه7.45از (با استفاده - 6

0mوقتي نشان دهيد - 7 1 اي ) در حقيقت با سرعت زاويه7.44موج ( ≠m ω mو نه ω

0mچنين وقتي هم .كه در نگاه اول خالف انتظار است كند گردش مي ، اصوال چرخشي =

كه موج شود كه براي اين بالفاصله معلوم مي اي دوران صفر است. وجود ندارد و سرعت زاويه

تر نيز گردش كند بايستي داشته در واقع سريع mعدد مغناطيسي قدر مطلق با افزايش

باشيم:

( ) ( ), , ,0,n m l n lmω ω>

در غياب ميدان مغناطيسي محوري، براي حالتي كه تقارن محوري يا مركزي داريم، سطوح

)انرژي تبهگن هستند. زيرا همواره ) ( ), , ,n m l n lω ω= (چرا؟)، يعني انرژي اربيتال به عدد

مغناطيسي وابستگي ندارد. پس بدليل تبهگني نامساوي فوق قابل رعايت نيست، و در نتيجه

مشخص، لختي دوراني و سرعت دوران به ترتيب lو nدر يك اربيتال و تراز انرژي ثابت با

1و mمتناسب با m يابند تغيير مي

مربوطه چگونه است؟ و عدم قطعيت ي تحول ، معادله)2.3و مقايسه با ( )7.46با توجه به ( - 8


اي به فرم تقريبي ) حالت پايه7.53فرض كنيد براي پتانسيل زوج ( - 9( ) ( )expz z zψ = − Δ .روش كمك و با ضمن بهنجار كردن اين تابع، وجود داشته باشد

را طوري بهينه كنيد كه تابع حدس به جواب حقيقي بيشترين zΔ وردشي، پارامتر

) بايد كمينه باشد، يعني7.4شباهت را داشته باشد. براي اين منظور تابعك (( ) 0z zξ∂ Δ ∂Δ =.

) را با تابع گمان 9ي مسئله -10 ) ( )2 2expz z zψ = − Δ تكرار 5.22( ديراكبراي پتانسيل (

بدست آوريد. خطاي روش به كمك روش وردشي را ي تقريبي كنيد و انرژي حالت پايه

نشان دهيد روش وردشي با تابع گمان چقدر است؟ انرژي حالت پايهوردشي در تخمين

( ) ( )expz z zψ = − Δ رسد. به جواب دقيق مي

اي كه جرم آن تابع گر انرژي جنبشي ذره با رعايت پيوستگي شار احتمال نشان دهيد عمل -11

)مكان )m R 1است بصورت2= ⋅T P V بايد نوشته شود كه در آن( )

1m= RV P گر عمل

)سرعت غير نسبيتي ذره است؛ در نتيجه براي نمايش مكاني داريم )[ ]2 12 m=− ∇⋅ ∇rT.

اند. ) صحيح7.79هنگامي تقارن شعاعي برقرار است نشان دهيد روابط ( -12

تحقيق نماييد.در حالت كلي ) را 7.83) و (7.80صحت روابط ( -13

) محقق 7.93بهنجارش ناشي از اتحاد () با 7.94هاي كروي ( نشان دهيد تعامد هماهنگ -14

گردد. مي

كنند: هاي كروي شرط تماميت زير را ارضا مي نشان دهيد هماهنگ -15

( ) ( ) ( ) ( )*1 1 2 2 1 2 1 2

0 1

1, ,

sin

lm ml l

l m l

Y Yθ ϕ θ ϕ δ θ θ δ ϕ ϕθ

+∞ +

= =−

= − −∑ ∑

بدست آوريد. )7.98) و (7.96مرزي (ي شرايط ) را با مالحظه7.106شرط كوانتش انرژي ( -16

ثابت نماييد. ) را با توجه به بهنجارش تابع موج مقيد7.96روابط ( -17

فصل هفتم 145

Ze, بار مثبت ي اتم هيدروژن داراي اگر هسته -18 Z ∈N را تكرار 7.5باشد، محاسبات بخش

0aقرار دهيم 0aر هبراي اين منظور نشان دهيد كافيست به جاي شعاع بو .نماييد Z.

يافته: تعميمبا كمك تعريف توابع الگر -19

( ) ( )!

m nm x x n mn n

x dL x e e x

m dx

−− +=

) را بدست آوريد.7.125.1ي تعامد ( رابطه

تعميم دهيد. 18ي ) را بدست آوريد و براي حالت مسئله7.131روابط ( -20

با قبول تعريف انحراف معيار در شعاع به صورت: -21

( ) ( )

( )2 2

nn nr r rΔ = −

رسد؟ تحت چه شرايطي اين پارامتر به حداقل مي آن را براي اتم هيدروژن بدست آوريد.

) نشان دهيد جواب مسئله در نزديكي مركز رفتاري از 7.103) در (7.116با امتحان فرم ( -22

)نوع )0 ~ lF r r→ .دارد

1گر عمل -23z−L 1كه را طوري بسازيد 1 1z z z z

− −= =L L L Lي هاي ويژه و مقادير ويژه . كت

1آن را بيابيد. آيا همواره z−L داراي مقدارويژه و كت ويژه است؟

گر هماهنگ پتانسيل متقارن محوري زير را در نظر بگيريد كه در حقيقت يك نوسان -24

]:6بعدي نامتقارن است [ سه

( )2 2 2 2 212 2

mm

ω ω⊥⎡ ⎤= ⋅ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦H P P X Y Z

)حال اگر داشته باشيم )( )

( )nn E n=H:نشان دهيد با انتخاب اعداد كوانتومي مثل ،

( ) ( ), , , , ,r z r zn n m n n n m+= ∈ ∈Z Z

داريم:

( ) ( ) ( )122 1n r zE n m nω ω⊥= + + + +

( ) ( )z n m n=L

)نمايش مكاني توابع موج )nr ها را بيابيد. و تعامد آن


تعريف زير از تانسور لختي دوراني را كه شباهت با فرم كالسيك آن دارد بپذيريد (توجه -25

جرم ذره است): mداريد كه در اينجا

( )

2 2

2 2 2

2 2

m m

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − ⊗ = − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Y Z XY XZ

I R R R YX X Z YZ

ZX ZY X Y

كنيم خواهيم داشت: ذره محاسبه مي را براي تك zي محوري بنابراين هنگامي مولفه

( )2 2zz m= +I X Y

)داشتي آن را در اتم هيدروژن براي يك اربيتال داده شده با اعداد مقدار چشم )n:

( ) ( )

zz zzI n n= I كنيد. محاسبههاي ترازهاي اول و دوم بطور عددي براي تمامي اربيتال

)تابع گرين -26 )1 2;EG r r ي شرودينگري با هاميلتوني براي معادلهH به صورت زير تعريف

شود: مي

( ) ( ) ( );EE G δ′ ′− = −r r r rH

)نشان دهيد اگر ) ( )n n nEψ ψ=r rHگاه خواهيم داشت: ، آن

( )( ) ( )*1 2

1 2;n n

En n

GE E

ψ ψ=

−∑r r

r r

21حال فرض كنيد 2m=H pبعد مكاني داريم: . نشان دهيد در سه

( )( ) 1 2

1 21 2

exp;

4E

jk EG

π

⎡ ⎤± −⎣ ⎦=−

r rr r

r r

)كه در آن ) 22k E mE=ي ديفرانسيل شرودينگر: . در نتيجه نشان دهيد معادله

( ) ( ) ( ) ( )212m E EE Uψ ψ− =r r rp

آيد. حال براي اي انتگرالي در مي با كمك تابع گرين به فرم معادله

( ) ( )n nn

U U δ= −∑r r R ،پاسخ مسئله را بيابيد. اگر اين پتانسيل در فضا متناوب باشد

.]7[ بدست آوردبلورها ي ساختار نواري انرژي توان از اين طريق راهي براي محاسبه مي

فصل هشتم 147

تمشه فصل

روش اختالل

دهد كه روش اختالل، راهي نسبتا ساده براي يافتن حلي تقريبي از بسياري مسائل كوانتومي ارايه مي

شود. فرض جابجا مي ΔHگر اختاللي مانند توسط عمل 0Hگر هاميلتوني پايه مانند ها عمل در آن

ي پايه: بر اين است كه حل مسئله

)8.1( 00 0 0 0,nn E n n += ∈H Z

معلوم بوده و ما بدنبال حل تقريبي:

)8.2( ( )0 ,nn n E n n += + Δ = ∈H H H Z

] براي مفيد بودن روش اختالل الزم است كه هستيم. ]0, 0≠H H جابجايي چنين ) و هم1(تمرين

نباشد، يعني:بزرگ هاي ويژه زياد در مقادير ويژه و كت

)8.3.1( 0n nE E≈

)8.3.2( 0 1n n ≈

تبهگن هستند به شدت تحت تاثير قرار 0Hي هاي ويژه كارآيي روش اختالل تحت شرايطي كه كت

] 1[بندي نسبتا متفاوتي براي آن ارايه نمود. چون روش اختالل تبهگن گيرد و بايستي صورت مي

شود. بندي ناتبهگن اكتفا مي اساسا با فرم ناتبهگن آن تفاوت ندارد در اين مبحث تنها به ذكر صورت

روش اختالل 148

ها . اختالل در فضاي ماتريس8.1

هاي مربع ارايه دهيم. هايي از ماتريس ونگي كاركرد روش اختالل مناسب است مثالبراي درك چگ

زير را در نظر بگيريد:ي پايهابتدا ماتريس

)8.4( 0

1 0

0 1

⎡+ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

ي و بردارهاي ويژه 0λمقادير ويژه 0λx ) 0) 8.4براي ماتريسA كنند: ي زير صدق مي در معادله

)8.5( 0 00 0λ λλ=A x x

و عبارتند از:

)8.6.1( 0 1λ ± = ±

)8.6.2( 0 0

01,0 1

+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x

حال ماتريس اختالل زير را در نظر بگيريد:

)8.7( *

0,0

αα

α

⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A C

]به وضوح داريم ]0, 0Δ ≠A A .(چرا؟) 1كنيم فرض مي) 8.3براي رعايت (چنين همα حال .

ي زير هستيم: مند به حل مسئله عالقه

)8.8( ( )0λ λ λλ= + Δ =Ax A A x x

:كه در آن

)8.9( *

1

1

α

α

⎡+ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

) مستقيما قابل محاسبه هستند. براي مقادير ويژه داريم:8.9ي ماتريس ( ويژهمقادير ويژه و بردارهاي

)8.10( ( )

2

1 1 12 4 62 8 16

1

1

λ α

α α α

± = ± +

= ± + − + −

بردارهاي ويژه و نابهنجار عبارتند از:

فصل هشتم 149

)8.11( 2

*

1 1

1

αα±

⎡ ⎤± +⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

0αدر حد ) پس از بهنجارش به 8.11ي ( ويژه)، و بردارهاي 8.6.1) به (8.10ي ( ، مقادير ويژه→

+0چنين داريم هم ؛شوند ) تبديل مي8.6.2( −⋅ =x x .را به صورت زير بازنوشت:8.11توان ( مي (

)8.12.1(

1 1 12 4 64 16 32

*12

*1 1 12 42 4 16

1

01 1 1

0 1 0 0

α α α

α

α α α

+⎡ ⎤+ − + −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

)8.12.2(

2 4 61 1 12 8 16

*

1 1 12 42 8 16

1

0 1 1 1

1 0 0 0

α α αα

α α α α α

−

⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

كنيم: ) وارد مي8.8را به ( sحال پارامتر بدون بعد

)8.13( ( )0 s λ λλ+ Δ =A A x x

0sبديهي است كه با فرض ) و با فرض 8.6هاي ( ) با جواب8.4ي آغازين ( ) به مسئله8.13، (=

1s ) را حل كنيم، 8.13(نچه شود. چنا ) تبديل مي8.11) و (8.10هاي ( ) با جواب8.8ي ( به مسئله =

اي مانند زير است: داراي مقادير ويژه

)8.14( ( )

1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6

2 4 61 1 12 4 62 8 161

s s s s s s s

s s s

λ λ λ λ λ λ λ λ

α α α

± ± ± ± ± ± ± ±= + + + + + + +

= ± + − + −

0بنابراين داريم 1λ ± = ± ،1 0λ ± = ،1 222λ α± = ± ،3 0λ ± = ،1 4

84λ α± = ∓ ،5 0λ ± ، و =1 6166λ α± = بردارهاي ويژه عبارتند از: .±

)8.15.1( 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

* 2 4 61 1 1 12 4 62 4 16 32

01 1 1 1

0 1 0 0 0

s s s s s s s

s s s sα α α α

+ + + + + + + += + + + + + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x x x x x x x


)8.15.2( 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

3 51 1 12 42 8 16

0 1 1 1

1 0 0 0

s s s s s s s

s s sα α α α α

− − − − − − − −= + + + + + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x x x x x x x

mتوان جمالت مي msي ضرايب با مقايسه±x ) 8.8را بدست آورد. بديهي است كه براي حل تقريبي (

ي صفر داريم: در تقريب مرتبه

)8.16.1( 0 1λ λ± ±≈ = ±

)8.16.2( 0

1

0+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x x

)8.16.3( 0

0

1− −

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x x

) در تقريب 8.8() است. از سوي ديگر، براي حل تقريبي 8.5ي ( ي مختل نشده كه همان حل مسئله

ي نخست داريم: مرتبه

)8.17.1( 0 1 1λ λ λ± ± ±≈ + = ±

)8.17.2( *120 1

01

0 1α+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x x

)8.17.3( 120 1

0 1

1 0α− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x x

ي دو و مراتب باالتر افزايش داد. اما چون از توان دقت جواب را تا تقريب مرتبه به همين ترتيب مي

شوند و گرا مي ) به سرعت هم8.15) و (8.14هاي ( توان ديد كه سري ، مي1αابتدا فرض كرديم

ي بسط را براي حصول دقت مطلوب انتخاب نمود. توان درجه ، ميαبسته به قدرمطلق

في براي تصحيح مقادير ي نخست اگر غير صفر باشند، دقت كا در بيشتر مسايل واقعي، جمالت مرتبه

ي اول دارند. اما گاه پيش هايي آثار مرتبه شود كه چنين پديده و بردارهاي ويژه را دارند. گفته مي

ي دوم هستيم. ي مرتبه ي جمله ي نخست دقيقا صفر بوده و نيازمند محاسبه ي مرتبه آيد كه جمله مي

بندي روشي براي ف روش اختالل، يافتن صورتي دوم دارند. هد هايي آثار مرتبه اصطالحا چنين پديده

ي اصولي جمالت تصحيح با مراتب مختلف، به خصوص مراتب يك و دو است. محاسبه

فصل هشتم 151

ي اول . اختالل مرتبه8.2

توان نوشت: مي s) را با وارد كردن پارامتر بدون بعد 8.2(غير تبهگن ي مسئله

)8.18( ( )0 ,ns s ss n E n n ++ Δ = ∈H H Z


)8.19.1( 0 1 2

0 1 2

0

,n m

ms n n n n

m

E s E s E s E s E n∞

+

=

= + + + = ∈∑ Z

)8.19.2( 0 1 20 1 2

0

,ms m

m

n s n s n s n s n n∞

+

=

= + + + = ∈∑ Z

n با انتخاب يكدهيم. امين كت ويژه و مقدار ويژه را مد نظر قرار ميnي حاكم بر حال معادله

آيد: ) بدست مي8.18) در (8.19گذاري ( مشخص و ثابت، و جاي

)8.20( ( )00 0 0

m

m m lm n l

m m l

s s n s E s n∞ ∞ ∞

= = =

+ Δ =∑ ∑ ∑H H

آيد: دهيم و بدست مي طرفين را بسط مي

)8.21( 10

0 0 0 0m

m m m lm m n l

m m l m

s n s n s E n∞ ∞ ∞ ∞

+ +

= = = =

+ Δ =∑ ∑ ∑∑H H

:(چرا؟) ) را بصورت زير بازنويسي كرد8.21توان طرفين ( مي

)8.22(

( )

0

0 0 0 11

0 0

0 0

01 0

k l

m l

m l

mm m

m

kkn l

k lm

mn l

m lm

mn n l

m l

n s n n

s E n

s E n

E n s E n

−

−

−

∞

−=

∞

= =∞

= =∞

= =

+ + Δ

=

=

= +

∑

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

H H H

آيد: بدست مي mي در طرفين، اختالل مرتبه msبا برابر قرار دادن ضرايب جمالت

)8.23.1( 00 0 0 , 0nn E n m= =H

)8.23.2( 0 1

0

, 0m l

m

m m n ll

n n E n m−−

=

+ Δ = >∑H H

است كه حل آن معلوم است.) 8.1ي ( ) همان معادله8.23.1ي صفر ( بديهي است كه اختالل مرتبه


0mي ) براي اختالل مرتبه8.23.2ي قابل توجه در ( نكته ) بر حسب انرژي 8.23.2آن است كه ( <

اختالل mn

E و كت اختاللmn توان نوشت: بصورت بازگشتي قابل حل است. زيرا مي

)8.24( ( )0

1

0 0 11

1 , 0m m l

m

n m n m n ll

E n E n n E n m−

−

−=

− − = −Δ + >∑H H

شوند. ديده مي m تر از هاي مراتب كوچك هاي اختالل ها و كت كه در سمت راست آن انرژي

1mي نخست و به ازاي حال براي اختالل مرتبه داريم: =

)8.25( ( )0 10 1 0 01n nE n E n n− − = −ΔH H

كنيم و خواهيم داشت: ضرب مي 0n) را در براي اختالل 8.25طرفين (

)8.26( 1 0 0nE n n= ΔH

ي اول چنين براي يافتن كت اختالل مرتبه ي اول است. هم ي انرژي اختالل مرتبه دهنده كه نشان

1n آوريم: دهيم و بدست مي ي اوليه بسط مي هاي پايه ابتدا آن را روي كت

)8.27( 1 0 1 00l

n l n l∞

=

= ∑

0هدف يافتن ضرايب بسط 1l n 8.26) و استفاده از (8.25) در (8.27گذاري ( است. با جاي (


)8.28( ( )00 0 1 0 0 0 0 0

0

1nk

E k n k n n n n∞

=

− = Δ − Δ∑H H H

ضرب كرده و خواهيم داشت: 0lطرفين را در براي

)8.29( ( )0 0 0 1 0 0 0 0

0l n lk nl

k

E E k n n n l nδ δ∞

=

− = Δ − Δ∑ H H

lكه براي n≠ شود: به فرم زير ساده مي

)8.30( ( )0 0 0 1 0 0l nE E l n l n− = − ΔH

بنابراين:

)8.31( 0 0

0 00 1 ,

n l

l nl n n l

E E

Δ= ≠

−H

0) تنها ضريب نامعلوم 8.27در بسط ( 1n n باشد. پس داريم: است كه از بهنجارش قابل محاسبه مي

فصل هشتم 153

)8.32( 0 0

0 01 0 1 0 0

l n n l

l nn n n n l

E E

∞

≠

Δ= +

−∑H

) در 8.2ي ( هاي ويژه ) مقادير و كت8.19.2) در (8.32چنين ( ) و هم8.19.1) در (8.26گزيني ( با جاي

عبارتند از:ي اول تقريب مرتبه

)8.33.1( 0 1 0 0 0n n n nE E E E n n≈ + = + ΔH

)8.33.2( ( )0 0

0 00 1 0 1 0 01

l n n l

l nn n n n n n l

E E

∞

≠

Δ≈ + = + +

−∑H

1n) نابهنجار است و از شرط 8.33.2دقت شود كه كت ( n 0توان مي = 1n n را يافت. براي

:گيريم زير كمك مي تبديل ازرفع ابهام در اين مورد،

)8.34.1( 0 0′ ′+ Δ = + ΔH H H H

)8.34.2( 0 0 0 0 0 0

0j

j j j j∞

=

′ = + Δ∑H H H

)8.34.3( 0 0 0 0

j k

j k j k≠

′Δ = Δ∑H H

قطري هاي درايهفاقد 0Hهاي در نمايش ماتريسي با پايه ΔH′گر )، عمل8.34در اثر اعمال تبديل (

0، يعني است 0 0n n′Δ =H 0. از طرفي 0, 0⎡ ⎤′ =⎣ ⎦H H 0گزيني در اثر جاي(چرا؟) و بنابراينH

0با ′H 0ي تنها مقادير ويژهH از

0nE به

0 0 0nE n n+ ΔH يابند. بنابراين در حالت تغيير مي

همواره داشته باشيم: يمتوان ميكلي

)8.35( 0 1 0,n n n= ∀

ي اول عبارتند از: هاي نابهنجار در تقريب مرتبه و بنابراين كت

)8.36( 0 0

0 00 0

l n n l

l nn n l

E E

∞

≠

Δ≈ +

−∑H

ي اول در انرژي شود كه اختالل مرتبه ) موجب مي8.34ناگفته نماند كه تبديل (1n

E همواره صفر

.وارد شده است 0Hاز H′0ي ي اول قبال در تصحيح مقادير ويژه ، زيرا اين تغيير مرتبهباشد


. مثال ماتريسي8.2.1

ي ي جديد با دقت مرتبه )، مقادير ويژه8.33.1طبق () در نظر بگيريد. 8.7) را با اختالل (8.4ماتريس (

اول در اثر اختالل عبارتند از:

)8.37.1( 0 0 0

*

0 11 1 0 1

00

λ λ

α

α

+ + + +≈ + ⋅ Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

x Ax

)8.37.2( 0 0 0

*

0 01 0 1 1

10

λ λ

α

α

− − − −≈ + ⋅ Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − + = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

x Ax

ي اول ) تنها تا مرتبه8.10ي اول با مقادير دقيق ( از اختالل مرتبه) 8.37(ي محاسبه شده مقادير ويژه

) به شكل زير قابل محاسبه است:8.36تصحيح در بردارهاي ويژه نيز از (توافق دارند.

)8.38.1( ( )

0 00 0

0 0

*

*12

0 01 110 1

0 0 101 1

01

0 1

λ λ

α

α

α

− ++ + −

+ −

⋅ Δ≈ +

−⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜= + ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜⎣ ⎦ ⎟+ − − ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x Axx x x

)8.38.2( ( )

0 00 0

0 0

*

12

00 0 111 0

1 1 001 1

0 1

1 0

λ λ

α

α

α

+ −− − +

− +

⋅ Δ≈ +

−⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜= + ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜⎣ ⎦ ⎟− − + ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x Axx x x

) دقيقا برقرار است.8.35ضمنا ( خواني دارند. خوبي هم ) به8.17) با (8.38شود كه روابط ( مالحظه مي

ي شرودينگر . تصحيح نسبيتي معادله8.2.2

:]2[ عبارتست از pحركت نسبيتي و اندازه mبا جرم اي در مكانيك نسبيتي انرژي نسبيتي كل ذره

)8.39( 2 2 4 2 2K m c p c= +

فصل هشتم 155

)اي هنگامي كه در معرض پتانسيل سرعت نور در خالء است. انرژي چنين ذره cكه در آن )U r قرار

گيرد برابر است با: مي

)8.40.1( ( ) ( )E T U= +p r

)8.40.2( ( ) ( ) 2T K mc= −p p

)كه در آن )T p گرها به زبان عملذره است كه ناشي از حركت آن است. آن سهمي از انرژي نسبيتي

توان نوشت: مي

)8.41( ( ) ( ) ( )2 4 2 2T U m c c mc U= + = + ⋅ − +H P R P P R

طور كه خواهيم ديد ديراك ) بدرستي تعريف نشده است و همان8.41گر در ( ي دوم يك عمل ريشه

بندي مكانيك كوانتومي نسبيتي دست يافت. ولي ابهام در تعريف آن را رفع و به صورتبراي اولين بار

1در حد هاي پايين به هر حال در سرعت10v c< 3[ توان استفاده نمود از بسط نيوتن ميتر و كم[:

)8.42( ( )

( ) ( )

22 2

2 2 2 2

2

3 2

1 1 1 112 8

1 12 8

mc mc Um c m c

Um m c

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜≈ + ⋅ − ⋅ + − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅ +

H P P P P R

P P P P R

2كم با نسبت تقريبي جمالت داخل براكت دست 2v c 1شوند، و بنابراين با فرض كوچك مي10v c<

نظر صرفي غير نسبيتي است. اكنون با تر از جمله ي نمايي كوچك ي نسبيتي حداقل دو مرتبه جمله

6هاي جمالت حاوي تواناز 6v c نويسيم: ) مي8.42تغيير در ظاهر (تر، و با اعمال و بزرگ

)8.43.1( 0= + ΔH H H

)8.43.2( ( )0

12

Um

= ⋅ +H P P R

)8.43.3( ( )23 2

18m c

Δ = − ⋅H P P

اي كه حل غير نسبيتي آن دانسته ي اول تاثير نسبيتي را در هر مسئله توان با اختالل مرتبه پس مي

داشتي: ي مقدار چشم ي محاسبه براي اين منظور كافي است نحوهاست بدست آورد.

)8.44( ( )1

20 0 0 03 2

18nE n n n nm c

= Δ = − ⋅H P P


توان نوشت: تري نيز مي ) را از نظر محاسباتي به شكل آسان8.44ي ( رابطه را بدانيم.

)8.45( ( )[ ]

( ) ( ) ( )

1

2

0 02

2

0 0 02

2 20 0 0 0 02

1 12 21212

nE n nmc m

n U nmc

n U U U nmc

⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= − −

= − + − −

P P

H R

H R H R R H

خواهيم داشت: 0H) و توجه به هرميتي بودن 8.1حال با كمك (

)8.46( ( ) ( )1 0 0

2 20 0 0 02

12

2n n nE E n U n E n U nmc

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦R R

. تصحيح نسبيتي اتم هيدروژن8.2.2.1

). براي اربيتال دلخواه گيريم در نظر مي) 7.109با پتانسيل (اتم هيدروژن را ) ( ), ,n n l m= با

m l n≤ <


)8.47(

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 0 0

0 0

0 00 0

2 20 0 0 02

22 22

0 0 0 02 20 0

22 22 2 1

20 0

12

2

1 1 12

2 4 4

12

2 4 4

n n n

n n

n nn n

E E n U n E n U nmc

e eE n n E n n

mc r r

e eE r E r

mc

πε πε

πε πε− −

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= − + +⎜⎢ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= − + +⎜⎢ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

R R

) براي انرژي غير نسبيتي 7.124( ي ي اول، رابطه ) براي اختالل مرتبه8.33.1( ي اكنون با كمك رابطه

اربيتال ( )0nE ،7(تمرين آوريم ) بدست مي7.131.5) و (7.131.3هاي شعاعي ( و ممان(:

)8.48( ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0

2

212

4 11 3

4n n n n

nE E E E

l nα⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥≈ + = − − ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦

كه در آن:

)8.49( 2

0

1 14 140

ec

απε

= ≈

است. اهميت اين ثابت آن است كه چهار ثابت اساسي نازكثابتي بدون بعد و مشهور به ثابت ساختار

هاي الكترومغناطيس، نسبيت، و مكانيك كوانتومي در خود جاي داده است. علم فيزيك را در زمينه

شود. در بسياري از مباحث الكتروديناميك كوانتومي ظاهر مي نازكعجيب نيست كه ثابت ساختار

فصل هشتم 157

ي دوم . اختالل مرتبه8.3

كنيم و قرار ) مراجعه مي8.32.2ها به ( ي دوم در انرژي و كت جمالت اختالل مرتبه ي براي محاسبه

2mدهيم مي . در نتيجه خواهيم داشت:=

)8.50( 2 1 00 2 1 0 1 2n n nn n E n E n E n+ Δ = + +H H

) براي 8.26با استفاده از (1n

E ) 1) براي 8.36وn :داريم

)8.51( ( )0 2

0 0

0 00 2 0 0 0 0

ˆ ˆ1 1n nl n n l

l nE n E n n n l

E E

∞

≠

Δ⎡ ⎤− = + Δ − Δ⎢ ⎥⎣ ⎦ −∑H

H H H

) خواهيم داشت:8.35) و (8.1كنيم و با توجه به ( ضرب مي 0nحال طرفين را در براي

)8.52( 2

0 0

2

0 0n

l n n l

l nE

E E

∞

≠

Δ=

−∑H

ي دوم عبارتست از: مرتبهبنابراين انرژي تصحيح شده با روش اختالل در تقريب

)8.53( 0 1 2

0

0 0

2

0 00 0

n n n n

nl n n l

E E E E

l nE n n

E E

∞

≠

≈ + +

Δ= + Δ +

−∑H

H

آيد: بدست مي 0l) در براي 8.51به همين ترتيب، با ضرب طرفين (

)8.54( ( )

0 0 2

0 0

0 0

0 00 2 0 0

0 00 0

l n n nl lkk n n k

k n n k

k nE E l n E n n

E E

k nl k

E E

δ δ∞

≠

∞

≠

Δ− = + Δ

−

Δ− Δ

−

∑

∑

HH

HH

lبا انتخاب n= شود. ولي براي ) بازيابي مي8.52ي ( رابطهl n≠ :داريم

)8.55(( )0 0

0 0 0 0

0 0 0 00 2 0 0 0 0l n

k nn l n k

l n k nE E l n n n l k

E E E E

∞

≠

Δ Δ− = Δ − Δ

− −∑H H

H H

) داريم:8.27همانند ( 2nبا بسط دادن كت مجهول

)8.56( 2 0 2 00l

n l n l∞

=

= ∑

0ي ضرايب بسط توان ديد كه كليه بالفاصله مي 2l n ) 0) به استثناي 8.55با كمك 2n n تعيين

شوند: مي


)8.57( ( ) ( )( )

0 0 0 00 0

0 0 0 0 0 00 2 0 0 2

k n n k n ln l

l n k n l kl n n n

E E E EE E

∞

≠

Δ Δ Δ= − Δ +

− −−∑

H H HH

آيد: ) بدست مي8.55بنابراين از (

)8.58( ( )

( )( )

0 0

0 0 0 0

0 02 0 2 0 0 0 02

0 0 0 00

l n n l

l n k n n k n l

l nn n n n n n l

E E

k n l kl

E E E E

∞

≠

∞ ∞

≠ ≠

Δ= − Δ

−

Δ Δ+

− −

∑

∑∑

HH

H H

0مانده براي يافتن تنها مجهول باقي 2n n كت ،n ي دوم كنيم. در تقريب مرتبه را بهنجار مي

داريم:

)8.59(( )

( ) ( )( )

0 0

0 0 0 00 0

0 1 2

0 00 2 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 02

1l n n l

l n l n k n n k n ln l

n n n n

l nn n n l

E E

l n k n l kn n l l

E E E EE E

∞

≠

∞ ∞ ∞

≠ ≠ ≠

≈ + +

Δ= + +

−

Δ Δ Δ− Δ +

− −−

∑

∑ ∑∑

H

H H HH

1nشرط بهنجارش براي يافتن n كنشي با ناشي از برهم ΔHگر اختالل فرض كنيد عمل =

0باشد. منطقي است كه براي يافتن ضريب sكميتي متناسب با 2n n تنها جمالت حاوي

هاي باالتر حذف شوند، زيرا دقت روش تا اين مرحله نگاه داشته شوند و توان 2s، و 0s ،1sهاي توان

دهد: نتيجه ميشود. م محدود ميي دو به مرتبه

)8.60( ( )( )

0 0

22 0 0

0 2 21 1l n n l

l nn n

E E

∞

≠

Δ≈ + +

−∑

H

0نظر از فاز ضريب با صرف 2n n 0و توجه به اين حقيقت كه 2 1n n به تقريب خواهيم ،

داشت:

)8.61( ( )

0 0

2

0 00 2 2

12 l n n l

l nn n

E E

∞

≠

Δ≈ −

−∑

H

نيز 1sو 0sهاي ) و نگاه داشتن جمالت حاوي توان8.33.2توان به طريق مشابه با بهنجارش ( مي

ي اول صحيح است. ) با دقت مرتبه8.35) نشان داد كه (8.34مستقيما بدون احتياج به تبديل (

فصل هشتم 159

شود: زير ساده مي) به صورت 8.59ي ( به هر حال، رابطه

)8.62(

( )

( ) ( )( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 00 0

0 0

0 0

0 1 2

2

0 00 00 0 02

0 0 0 0 0 00 0 0 02

0 00 0

0 0 120 0 0 0 02

0 0 0

12l n l nn l n l

l n l n k n n k n ln l

l n n l

l n n l

n n n n

l nl nn l n

E E E E

l n k n l kn n l l

E E E EE E

l nn l

E E

l nn n l l n

E E

k n l

∞ ∞

≠ ≠

∞ ∞ ∞

≠ ≠ ≠

∞

≠

∞

≠

≈ + +

ΔΔ= + −

− −

Δ Δ Δ− Δ +

− −−

Δ= +

−

Δ ⎡ ⎤− Δ +⎣ ⎦−

Δ Δ+

∑ ∑

∑ ∑∑

∑

∑

HH

H H HH

H

HH

H H( )( )

0 0 0 0

00

l n k n n k n l

kl

E E E E

∞ ∞

≠ ≠ − −∑∑

هاي تصحيح شده با اختالل ي كت محاسبه )،8.62به دليل پيچيدگي بيش از حد ( بديهي است كه

)8.36( ي اول ي دوم به ندرت داراي ارزش تحليلي بوده و تنها هنگامي كه انرژي اختالل مرتبه مرتبه

) داريم.8.53ي دوم ( ي اختالل مرتبهي انرژ صفر است، نياز به محاسبه

. مثال ماتريسي8.3.1

طور كه ديديم، تصحيح مقادير ويژه در تقريب را در نظر بگيريد. همان 8.2.1مجددا مثال بخش

:ي تصحيح شده را به سادگي يافت ي دوم مقادير ويژه توان با اختالل مرتبه ي اول صفر بود. مي مرتبه


)8.63.1( 2

0 02

0 0

λλ λ

− ++

+ −

⋅ Δ=

−

x Ax

)8.63.2( 2

0 02

0 0

λλ λ

+ −−

− +

⋅ Δ=

−

x Ax

آيد: ) بدست مي8.16با كمك (

)8.64.1( ( )

2

22 *

0 11 10 1

001 1 2

αλ α

α+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦+ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦


)8.64.2( ( )

2

22 *

0 01 11 0

101 1 2

αλ α

α−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦− − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

ي دو عبارتند از: ي تصحيح شده تا تقريب اختالل مرتبه بنابراين مقادير ويژه

)8.65.1( 1 220 1 2 1λ λ λ λ α+ + + +≈ + + = + +

)8.65.2( 1 220 1 2 1λ λ λ λ α− − − −≈ + + = − −

داريم:) 8.62با كمك ( نيز ي دوم توافق دارند. ) تا مرتبه8.10ي دقيق ( كه با مقاديرويژه

)8.66.1( ( )

( )( )( )

( )( )( )( )

2

0 02 02

0 0

0 00 0 02

0 0

0 0 0 00

0 0 0 0

12 λ λ

λ λ

λ λ λ λ

− ++ +

+ −

− ++ + −

+ −

− + − −−

+ − + −

⋅ Δ= −

−

⋅ Δ− ⋅ Δ

−

⋅ Δ ⋅ Δ+

− −

x Axx x

x Axx Ax x

x Ax x Axx

)8.66.2(

( )

( )( )( )

( )( )( )( )

2

0 02 02

0 0

0 00 0 02

0 0

0 0 0 00

0 0 0 0

12 λ λ

λ λ

λ λ λ λ

+ −− −

− +

+ −− − +

− +

+ − + ++

− + − +

⋅ Δ= −

−

⋅ Δ− ⋅ Δ

−

⋅ Δ ⋅ Δ+

− −

x Axx x

x Axx Ax x

x Ax x Axx

آيد: ) بدست مي8.66با ساده كردن (

)8.67.1( 22

1108

α+⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

)8.67.2( 22

0118

α−⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

ي دوم كه در تا تقريب مرتبه )8.12(از عدم بهنجارش در بردارهاي است ) ناشي 8.12عدم توافق با (

توان ضمن چنين تقريبي بودن ذاتي روش اختالل. مي ، و هموش اختالل مورد رعايت قرار گرفتهر

) با بسط نمايي تطبيق 8.67) نشان داد كه هنوز جمالت (8.12بهنجارش دقيق براي (ي محاسبه

گردد. ي دوم به جمالت تصحيح انرژي محدود مي ندارند. به همين دليل كاربرد اختالل مرتبه

فصل هشتم 161

بست تنگروش . 8.4

تغيير گر هاميلتوني ي سيستم در اثر مختل شدن عمل هاي ويژه روش اختالل هنگامي كه تعداد كت

گردد. در حالت خاص، هنگامي كه اختالل از جابجايي و تكرار خود كند به دشواري مفيد واقع مي

آيد داريم: هاميلتوني پايه در مكان بدست مي

)8.68( ( )( )

( ) ( )0

0n

n ≠

Δ = −∑ RH H R

كه در آن ( )nR ) و نيز ) تعريف شده است5.104در( ) ( )0 0, 0, ) 8.68. بديهي است تعريف (=0

)ي هنگامي كه جمع روي تمام سه مولفه ) ( ), ,n n m l= و به ازاي تمامي مقادير( ) 3n ∈Z تكرار

:شود به يك هاميلتوني متناوب

)8.69(

( ) ( )

( )( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

0

0 0

0 nn

nn

m

= + Δ

= − + Δ

= −

=

= +

∑

∑

R

R

R

H R H R H

H R H

H R

H R

H R

) است (چرا؟)؛ دقت كنيد كه در 5.105فلوكه (-بلوخاي از نوع يابيم كه داراي حاالت ويژه دست مي

)ي فوق داريم رابطه )0 =R فلوكه همواره به فرمي مانند زير قابل -هاي بلوخ در حالت كلي جواب .0

):10نوشتن هستند (تمرين

)8.70.1( ( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

exp exp

exp

n n n nn n

nn

j j

j

ψ ϕ ϕ

χ

= ⋅ − = ⋅

= ⋅

∑ ∑

∑

r R r R R r

r r

κ κ κ

κ

)8.70.2( ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

exp expn n nn n

j jψ ϕ χ= ⋅ = ⋅∑ ∑R Rκ κ κ

)) دقيق باشد، بايد تابع 8.70ي ( كه رابطه آنبراي )ϕ r را به دقت تعيين كرد. مجموعه توابعي كه

ي اين ها از حوصله كنند به توابع ونير مشهورند و بحث در مورد آن تساوي فوق را دقيقا برقرار مي

] مراجعه فرماييد.4ه [نوشتار خارج است. براي توضيح اجمالي پيرامون توابع ونير ب


)كنيم تابع آيد كه فرض مي بست بدين صورت بدست مي تنگتقريب ) ( ) ( )0ϕ ϕ ϕ≈ =r r r

ي زير باشد: حل تقريبي معادلهبوده، و κفلوكه -مستقل از بردار موج بلوخ

)8.71( 0 Eϕ ϕ≈H

لذا به است. Eبا انرژي 0Hي ي مقيد هاميلتوني مختل نشده ويژهحالت همان كت ϕو بنابراين

)ازاي تمام )n هاي براي تمام هاميلتوني( )nH خواهيم داشت ( ) ( ) ( )n n nEϕ ϕ≈H (چرا؟) .

) در حالت كلي داراي بيش از يك مقدار و حالت ويژه است. براي اجتناب از 8.71بديهي است كه (

كنيم. پيچيدگي بيش از حد، بحث فعلي را به تنها يك حالت غير تبهگن، مثال حالت پايه، محدود مي

لت داشته باشيم و تبهگني نيز وجود داشته بندي به وضعيتي كه بيش از يك حا زيرا تعميم صورت

گردد. ] وانهاده مي5باشد نيازمند بحث مفصلي است كه به مرجع [

گر هاميلتوني ناشي از پتانسيل موثر يك اتم منفرد واقع در مبدا است و عمل 0Hمعموال مبين

بست به بلورها كارآيي روش تنگ گردد. ر باز مي) به پتانسيل كلي يك بلو8.69بنابراين هاميلتوني (

) محدود باشد، معموال به اين روش نام تزويج 8.68محدود نيست و هنگامي كه تعداد جمالت اختالل (

و روش بست خواهيم پرداخت ي اجمالي روش تنگ به مطالعهابتدا گردد. در اين مرحله مود اطالق مي

.گذاريم وامي بخش بعديبه تزويج مود را

) الزم است كه تاثير پتانسيل اختالل 8.71ي ( براي صحت معادله( )nH با( ) ( )0n ناچيز 0Hروي ≠

باشد. در واقع اگر داشته باشيم:

)8.72( ( ) ( ) ( )Eψ ψ=H κ κ κ

)به تابع )E κ خواهيم داشت:8.69گاه طبق ( آنشود. ساختار نوار انرژي نيز گفته مي (

)8.73( ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )n

n

Eψ ψ=∑ H R κ κ κ

آوريم: ) بدست مي8.70بست ( در نتيجه با استفاده از تقريب تنگ

)8.74( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ),

exp expn m mn m m

j E jχ χ⋅ = ⋅∑ ∑H R R Rκ κ κ

فصل هشتم 163

)حال طرفين را در ) ( ) ( ) ( )

†exp expp pj jχ χ⎡ ⎤− ⋅ = + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦R Rκ κ كنيم و خواهيم ضرب مي

داشت:

)8.75( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

,

exp exp

exp exp

n mpn m

mpm

mpm

j j

E j j

E

χ χ

χ χ

χ χ

− ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

=

∑

∑

∑

R H R R

R R

κ κ

κ κ κ

κ

خواهيم داشت: 11با كمك تمرين

)8.76( ( ) ( ) 2 21 12

ˆexp exp 1 mmj j κ− ⋅ ⋅ = + + ⋅R H R H Pκ κ κ

آوريم: و بدست مي

)8.77( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 21 12

,

1 mmn mpn m

mpm

E

χ κ χ

χ χ

+ + ⋅

=

∑

∑

H R Pκ

κ

)توان فرض كرد بدون اشكال مي ) ( )0p سمت چپ را به سه جمله تفكيك كرد (چرا؟)، و بنابراين =

و نوشت:

)8.78.1( ( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

2 21 12

,n m

mm m m mn m m m m

H O E Oκ+ + ⋅ =∑ ∑ ∑ ∑Pκ κ

)8.78.2( ( )( ) ( ) ( ) ( )n m n mH χ χ= H R

)8.78.3( ( ) ( )m mO χ χ=

)8.78.4( ( ) ( )m mχ χ=P P

)ي به جمله )mO 8.78.4) تا (8.78.2شود. در فضاي توابع به جاي ( پوشاني گفته مي اصطالحا هم (

داريم:

)8.79.1(

( )( )

( )( )( ) ( )

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

2* 2 3

2* 2 3

* 3

2

2

n m n m

m

n m

H U d rm

d rm

U d r

χ χ

χ χ

χ χ

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ∇ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − ∇ −

+ − −

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

r r R r

r r R

r r R r R


)8.79.2( ( )( )

( )( )

( )( )( )

* 3

* 3

m m

m

O d r

d r

χ χ

χ χ

=

= −

∫∫∫∫∫∫

r r

r r R

)8.79.3( ( )( )

( )( )

( )( )( )

* 3

* 3

m m

m

j d r

j d r

χ χ

χ χ

= − ∇

= − ∇ −

∫∫∫∫∫∫

P r r

r r R

)شود كه ساختار نوار انرژي ) مالحظه مي8.78در نتيجه از ( )E κ :عبارتست از

)8.80( ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1

,2 212

n mm m

n m mm

mm

H

EO

κ+ ⋅

= +∑ ∑

∑

Pκκ

:هاي با اعمال تقريب

)8.81.1( ( )( ) ( )( ) ( )( )0n m n m mH Eδ δ=

)8.81.2( ( ) ( )( )0m mO δ≈

)8.81.3( ( ) ( )( )0m mδ≈−P K

آوريم: بدست مي

)8.81( ( )

( )

2 2 21 12

22 21 12 2

mm

m m

E E

E K

κ= + − ⋅

= − + −

K

K

κ κ

κ

است. Kي اي در نقطه گرد و سهموي با كمينه ي يك نوار انرژي همسان عبارت فوق نشان دهنده

هاي ) از پايه8.70اگر در (( )

( )nϕ κ به جاي

( )( )

nχ κ آيد: استفاده كنيم بدست مي

)8.83( ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ),

exp expn m m m mn m m

j E jϕ ϕ⋅ = ⋅∑ ∑R RH R κ κ κ

خواهيم داشت: ϕبا ضرب طرفين در

)8.84( ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ),

exp expm n m m mn m m

j E jϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅∑ ∑R RH Rκ κ κ

شود: كه به ساختار باند زير منجر مي

)8.85.1( ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

,

exp

exp

m n mn m

m mm

j h

Ej o

⋅=

⋅

∑∑

R

R

κκ

κ

فصل هشتم 165

)8.85.2(

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

2* 2 3

2* 2 3

* 3

2

2

n m n m

n m

m

n m

h

U d rm

d rm

U d r

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ∇ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − ∇ −

+ − −

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

r r R r

r r R

r r R r R

H R

)8.85.3( ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )( )

* 3

* 3

m m

m

m

o

d r

d r

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

=

= −

∫∫∫∫∫∫

r r

r r R

زير ) 8.81هايي مانند ( اعمال تقريب آيد كه بسيار پيش ميابتدايي ي با ياخته براي بلورهايدر عمل

مجاز است:

)8.86.1( ( )( )0 0h E=

)8.86.2( ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

212

0

0 1

0, 0 1

m m

m

mh

m

η⎧ − =⎪⎪⎪= ⎨⎪ − >⎪⎪⎩

)8.86.3( ( ) ( )( )0m mo δ≈

محاسبه نقش دارند. در ترين همسايگان مختل كننده در ) آن است كه تنها نزديك8.86.2مفهوم (

نتيجه خواهيم داشت:

)8.87( ( )( ) ( )( )

( )

212

1

expm m mm

E E jη=

= + ⋅∑ Rκ κ

هنگامي گرد در حالت همسانبه عنوان مثال ( )

212m Kη = داريم: ±

)8.88( ( ) ( )3

2 212

1

cosm ii

E E K=

= ± ⋅∑ aκ κ

,كه در آن 1, 2, 3i i =a چنين هم اند. ) قبال تعريف شده5.103ي شبكه هستند كه در ( بردارهاي پايه

) تعريف كردتوان گرد مي در حالت ناهمسان )2

11,0,0 2mK mη ± = ،( )2

20, 1,0 2mK mη ± ، و=

( )2

30,0, 1 2mK mη ± د:گرد زير مي ي هكه منجر به رابط =

)8.89( ( ) ( )3

2 212

1

1cos i

i i

E E Km=

= + ⋅∑ aκ κ


مود جيزوت. 8.5

مسئله در ي اين . مطالعهكنيم چاه پتانسيل را مطالعه مي تعداد محدوديتزويج ميان بخشاين در

شوند اي برخوردار است و بسياري مسايل با الگوي مشابهي حل مي مكانيك كوانتومي از اهميت ويژه

)ابتدا فرض كنيد پتانسيلي مانند براي اين منظور . شود كه روش مودهاي مزدوج ناميده مي )0U R با

يك حالت مقيد پايه داريم:

)8.90 ( ( )[ ]120 0 0 0 0 0m U Eϕ ϕ ϕ= ⋅ + =H P P R

كنيم: بدون لطمه به كليت مسئله فرض مي

)8.91.1( ( )0lim 0r U→∞ =r

)8.91.2( ( ) ( )0 0U U+ = −r r

)پتانسيل Nحال با جمع تعداد محدودي مانند )0U كه در نقاط مختلفي از فضا مانند ⋅

, 1i i N=R رسيم كه در حالت كلي داراي به پتانسيل و هاميلتوني جديدي مي اند قرار گرفتهN

ي انرژي است (چرا؟): حالت ويژه

)8.92.1( ( )[ ]12 , 1mi i i iU E i Nψ ψ ψ= ⋅ + = =H P P R

)8.92.2( ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1 1

N N N

i i ii i i

U U U U= = =

= − = =∑ ∑ ∑RR R T R R

) تعريف شده است. 5.104كه در ( iRي بردار گر انتقال گسسته به اندازه مبين عمل iTبنابراين

بديهي است كه داريم (چرا؟):

)8.93( ( )[ ]12 0 , 1mi i i i iU E i Nϕ ϕ ϕ= ⋅ + = =H P P R

,بست، و با فرض آن كه نقاط با كمك تقريبي مشابه تنگ 1i i N=R به حد كافي از هم دور

توان نوشت: باشند مي

)8.94( 01 1

, 1N N

m mn n mn nn n

a a m Nψ ϕ ϕ= =

≈ = =∑ ∑ T

:) باشد، بايد داشته باشيم8.92() حل تقريبي 8.94براي آن كه (

فصل هشتم 167

)8.95(

( )

( ) ( )

12 0

1 1 1

12 0 0

1 1,

1

, 1

N N N

mmn n mn i nn n i

N N

mmn n i nn i i n

N

m mn nn

a a U

a U U

E a m N

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

= = =

= = ≠

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

H P P T R

P P T R T R

كنيم و خواهيم داشت: ضرب مي lϕ) را در براي 8.95(حال طرفين

)8.96( ( )0

1 1 1,

1

, , 1

N N N

mn l n n mn l i nn n i i n

N

m mn l nn

a a U

E a m l N

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= = = ≠

=

+

= =

∑ ∑ ∑

∑

H T R

) خواهيم داشت:8.93با استفاده از (

)8.97.1( ( )01 1, 1

, , 1N N N

mn lin m mn lnn i i n n

a U E E a O m l N= = ≠ =

= − =∑ ∑ ∑

)8.97.2( ( ) ( )

0 0

* 30 0

ln l n l n

l n

O

d r

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= =

= + −∫∫∫ r R r R

TT

)8.97.3( ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

* 30 0 0

lin l i n l i n

l i n

U U U

U d r

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= =

= + − −∫∫∫ r R r R r R

R TT R T

)كه در آن )0 0ϕ ϕ=r r) توان به فرم زير بازنويسي كرد: ) را مي8.97. دستگاه

)8.98.1( , 1m m m m Nξ= =HA A

)8.98.2( 1−=H O U

)8.98.3( 1,

N

lini i n

U= ≠

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑U

)8.98.4( [ ]lnO=O

)8.98.5( [ ]m mna=A

)8.98.6( 0m mE Eξ = −


ي توان تحليل و بردارها و مقادير ويژه را يافت. پس از بهنجارش بردارهاي ويژه ) را مي8.98دستگاه (

m n mnδ⋅ =A Aنيز تقريبا بهنجارند (چرا؟).8.94ي ( هاي ويژه ، كت (

مود مثال جفت. 8.5.1

)بعدي و زوج پتانسيل يك )0U X كنيم كه اين پتانسيل تنها داراي يك را در نظر بگيريد؛ فرض مي

)مانند حالت مقيد )0 xϕ 0و با انرژيE بعد راضي ) را در يك8.91) و (8.90روابط ( لذا و ،است

2Nدهيم مي كند. حال قرار مي = ،121 ˆdx= +R 1، و

22 ˆdx= −R هنگامي .( ) ( )0 0U x U xδ= ،

توانيم بنويسيم: است. حال مي 5.4اين مسئله همان مدل بخش

)8.99( ( ) ( ) ( ) ( )1 12 20 0U U d U d U= + + − = −X X X X

1mكه متناظر با دو حالت زوج براي است) داراي بعد دو 8.98در نتيجه دستگاه ( و فرد براي =

2m ) نوشت:8.98توان بر اساس ( است. مي =

)8.100.1( ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 1 1 2

2 2 1 2 1 2

U U

U U

ϕ ϕ ϕ ϕ β γ

γ βϕ ϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦U

R R

R R

)8.100.2( 1 1 1 2

2 1 2 2

1

1

ϕ ϕ ϕ ϕ α

αϕ ϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦O

)در روابط فوق توجه داريم كه با توجه به زوج بودن پتانسيل )U X ، پارامترهايα ،β و ،γ هر سه

داريم: Hبنابراين براي ماتريس (چرا؟). ندستهحقيقي

)8.101(

1

1

2

2

1

1

1111

11

α β γ

α γ β

α β γ

α γ βα

β αγ γ αβ λ ς

γ αβ β αγ ς λα

−

−

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ − ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

H O U

فصل هشتم 169

) بدست آورد:8.98توان بر اساس ( مي را هاي بالفاصله انرژي

)8.102( ξ λ ς= ±

هاي زير هستند: داراي انرژيبه ترتيب جا حاالت زوج و فرد و از آن

)8.103.1( 1 0eE E E λ ς= = + −

)8.103.2( 2 0oE E E λ ς= = + +

هاي دو تراز زوج و فرد عبارتست از: لذا اختالف انرژي

)8.104( 22

1o eE E Eγ αβ

α−

Δ = − =−

به سمت صفر ميل كرده و تمايز بين γ، و α ،βهر سه پارامتر ،dي بديهي است با افزايش فاصله

اما رود. بنابراين تبهگني با اختالل ناشي از اتم مجاور شكسته است. حاالت زوج و فرد از بين مي

عبارتند از: H و بهنجار بردارهاي ويژه

)8.105.1( 1

1112e

⎡+ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

)8.105.2( 2

1112o

⎡+ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A A

ي نابهنجار زوج و فرد بنابراين حاالت ويژه متعامدند. oAو eAشود كه بردارهاي به وضوح ديده مي

عبارتند از:) 8.94طبق (

)8.106.1( 1 1 2

1 12 2eψ ψ ϕ ϕ= ≈ +

)8.106.2( 2 1 2

1 12 2oψ ψ ϕ ϕ= ≈ −

اند: بصورت زير قابل نمايش و نمايش مكاني كه در فضاي توابع

)8.107.1( ( ) ( ) ( )1 12 20 0

1 12 2e ex x x d x dψ ψ ϕ ϕ= ≈ − + +

)8.107.2( ( ) ( ) ( )1 12 20 0

1 12 2o ox x x d x dψ ψ ϕ ϕ= ≈ − − +


لزوما دقيقا mψهاي حالت كت)، 8.98( در mA ي در حالت كلي به رغم تعامد بردارهاي ويژه

m، بدان مفهوم كه متعامد نيستند n mnψ ψ δ≈ ولي چون در اينجا داراي تقارن زوج و فردند هنوز .

0e ها دقيقا برقرار است و داريم تعامد آن oψ ψ =.

ي تپ . پديده8.6

ي آغازين در تركيب خطي خاص زير ، سيستم در لحظه8.5 مود بخش ي جفت فرض كنيد درمسئله

قرار داشته باشد:

)8.108( ( )1 1

02 2e otψ ψ ψ= = +

ارز زير است: ي فوق هم ) رابطه8.107با توجه به (

)8.109( ( ) ( )121 00x t x x dψ ϕ ϕ= = = −

) خواهيم داشت:8.108) به (3.41گر تحول زماني ( با اعمال عمل

)8.110( ( ) ( ) ( ) ( ); 0 0 exp 0j

t t tψ ψ ψ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦U H

) داريم:8.108اما از (

)8.111( ( )1 1exp exp2 2e o

j jt t tψ ψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

H H

دهد: ) نتيجه مي8.92ي ( از طرفي رابطه

)8.112.1( e e eEψ ψ=H

)8.112.2( o o oEψ ψ=H

گردد: ي زير مبدل مي ) به رابطه8.111گذاري در ( كه با جاي

)8.113( ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1exp exp2 2

1 1exp exp

2 2

e e o o

e e o

t j t j t

j t j t

ψ ω ψ ω ψ

ω ψ ω ψ

= − + −

⎡ ⎤= − + − Δ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

eي باال داريم در رابطه eE ω= ،o oE ω= و ،o eω ω ωΔ = −.

فصل هشتم 171

ضرب كرده: xاكنون طرفين را در براي مكان

)8.114( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exp exp2 e e ox t j t x j t xψ ω ψ ω ψ⎡ ⎤= − + − Δ⎣ ⎦

كنيم: قدر مطلق آن را محاسبه ميو سپس مجذور

)8.115( ( ) ( ) ( ) ( )22 1

, exp2 e ox t x j t xψ ψ ω ψ= + − Δ

)با بسط قدر مطلق در سمت راست و توجه به حقيقي بودن توابع )e xψ و( )

o xψ :خواهيم داشت

)8.116( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22

2 2

1, cos sin

21

2 cos2

e o o

e o e o

x t x t x t x

x x x x t

ψ ψ ω ψ ω ψ

ψ ψ ψ ψ ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ + Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + Δ⎣ ⎦

آوريم: گيريم و بدست مي مي) را بكار 8.107اكنون روابط (

)8.117(

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 1 1

2 20 0

2

1 12 20 0

1 12 20 0

1 12 20 0

1 1 1,

2 2 2

1 12 2

1 122 2

1 1cos

2 2

x t x d x d

x d x d

x d x d

x d x d t

ψ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ω

⎧⎪⎡ ⎤⎪= − + +⎢ ⎥⎨⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎩⎡ ⎤

+ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

+ − + + ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎡ ⎤ ⎪⎪− − + Δ⎢ ⎥ ⎬⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎭

كردن خواهيم داشت: پس از ساده

)8.118( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 21 12 20 0

2 21 12 20 0

1,

2

cos

x t x d x d

x d x d t

ψ ϕ ϕ

ϕ ϕ ω

= − + +

⎡ ⎤+ − − + Δ⎣ ⎦

توان مالحظه نمود كه: در نتيجه مي

)8.119.1( ( ) ( )2 2 120, , ,x t x d t nT nψ ϕ= − = ∈Z

)8.119.2( ( ) ( ) ( )2 2 1 12 20, , ,x t x d t n T nψ ϕ= + = + ∈Z

)8.119.3(( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 40 0

1, , ,

2x t x d x d t n T nψ ϕ ϕ= − + + = ± ∈Z

):8.104كه در آن با كمك (


)8.120( 22 2 1

o e

TE E

π π απ

ω γ αβ−

= = =Δ − −

ي تناوب نوسانات تابع توزيع چگالي احتمال مكاني است. دوره

1) از چاه پتانسيل واقع در 8.120ي تناوب ( به بيان ديگر ذره متناوبا با دوره2x d= به چاه +

1پتانسيل واقع در 2x d= ي تونل ميان آن دو گردد كه ناشي از پديده شود و باز مي جابجا مي −

كند نهايت ميل مي به بي Tي تناوب زماني دورهيا كاهش شدت تزويج dاست. با افزايش فاصله

(چرا؟).

:مراجع[1] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Rev. Ed., Addison-Wesley, Reading,

1994.

[2] A. Einstein, The Meaning of Relativity, 4th ed., Princeton University Press,

Princeton, 1955.

[3] W. T. Hill and C. H. Lee, Light-Matter Interaction, Wiley-VCH Verlag,

Weinheim, 2007. .1386، انتشارات نوين، تهران، اي بر اپتيك بلورهاي فوتوني مقدمهس. خراساني، ]4[

[5] R. M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods,

Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

تمرين:

]) 8.2ي ( اگر در معادله - 1 ]H H0, 0Δ باشد، نشان دهيد كه جواب دقيق بالفاصله با كمك =

) قابل دستيابي است و احتياجي به روش اختالل وجود ندارد.8.1حل (

) و ماتريس اختالل:8.34با كمك تبديل ( - 2

* , , , , 1a

a bb

αα α

α

⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ∈ ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A R C

فصل هشتم 173

ي اول مرتبهاختالل هاي ويژه را با دقت )، مقادير ويژه و كت8.4ي ( و با فرض ماتريس پايه

بيابيد، و با مقدار دقيق مقايسه نماييد.

) چه مقدار 8.46) تحت تصحيح نسبيتي (5.17تلر (-ي پتانسيل پوشل انرژي حالت پايه - 3

كند؟ تغيير مي

ناشي از يك ميدان الكتريكي يكنواخت: هر گاه الكتروني مقيد در معرض پتانسيل اختالل - 4

0Δ = − ⋅EH D

كنيم كه در آيد. در اينجا فرض مي استارك بوجود مياثر موسوم به اي پديدهقرار گيرد،

. قرار دارد xكه در راستاي محور استيكنواختي ميدان الكتريكي بردار Eي فوق رابطه

e=Dچنين، هم R گر برداري دوقطبي الكتريكي ناشي از جابجايي الكترون با بار عملe و

است. بنابراين:در راستاي شعاعي از مبدا rي به اندازه

0 eEΔ = −H X

) را در نظر بگيريد و اثر استارك را در آن با كمك 5.43بعدي ( گر هماهنگ يك نوسانحال

بدست را هاي حاالت مختلف ي اول انرژي روش اختالل مطالعه كنيد. ابتدا تصحيح مرتبه

ي اول براي حالت پايه (و ساير حاالت زوج) صفر است؛ چرا؟ حال . تصحيح مرتبهآوريد

ا به يك مربع كامل تبديل نماييد و مسئله را بطور دقيق حل پتانسيل هاميلتوني كامل ر

مقايسه نماييد.ي اول مرتبهكنيد. جواب دقيق را با جواب اختالل

2) را در نظر بگيريد. اختالل 5.43گر هماهنگ ( مجددا نوسان - 5 2120 m ωΔ = ΔH X را بدان

ي اول بيابيد، و با حل ي انرژي جديد را با كمك اختالل مرتبه كنيم. مقادير ويژه وارد مي

دقيق مقايسه نماييد.

) بيازماييد. 8.22هاي سمت راست ( ها را در جمع صحت تغيير زيرنويس - 6


) به8.47) از (7.131.5) و (7.131.3هاي شعاعي ( ) ، و ممان7.124) ، (8.33.1(با كمك - 7

هاي سه تراز انرژي پايين را بطور عددي محاسبه و ) برسيد. انرژي تمامي اربيتال8.48(

ترسيم نماييد.

اي مقيد و داراي ويژگي مغناطيسي در معرض پتانسيل اختالل ناشي از يك هر گاه ذره - 8

ميدان مغناطيسي يكنواخت:

0Δ = − ⋅BH G

Bي فوق كه در رابطهپذيريم آيد. مي زيمان بوجود مياي موسوم به اثر قرار گيرد، پديده

چنين، قرار دارد. هم zبردار ميدان مغناطيسي يكنواختي است كه در راستاي محور

( )BL Sg g

μ= +G L S است كه در آن الكترون مغناطيسيگر برداري دوقطبي عملL

ممان مغناطيسي الكترون است. Bμگر اسپين، و عمل Sحركت دوراني، گر اندازه عمل

1Lgچنين هم 2Sgو = = غناطيس هاي ژيروم عد و موسوم به نسبتاعدادي بدون ب

بنابراين: ، وكنيم نظر مي فعال از اثر اسپين صرف. باشند دوراني و اسپين مي

0B

zBμ

Δ = −H L

0با پتانسيل مرجع صفر ) را 7.34بعدي (دوگر هماهنگ حال نوسان 0U . در نظر بگيريد =

را زيماناثر دكارتي قابل انجام است.حل دقيق اين مسئله به سادگي در دستگاه مختصات

ي اول براي هاثر زيمان مرتب آيامطالعه كنيد. ي اول مرتبهدر آن با كمك روش اختالل

مانند اثر استارك صفر است؟حالت پايه

ي دوم در انرژي حالت ي چهارم پيرامون اثر استارك، نشان دهيد جابجايي مرتبه در مسئله - 9

ان الكتريكي، و در نتيجه يك اثر غيرخطي است.پايه متناسب با مربع ميد

فلوكه برقرار است.- ) براي توابع بلوخ5.105) نشان دهيد لزوما ويژگي (8.70ي ( در رابطه -10

)نشان دهيد اگر -11 )12m U= ⋅ +H P P R گاه داريم: آن

( )[ ] ( )( )2 21 12

ˆ, exp exp 1 mmj j κ⋅ = ⋅ + ⋅H R R Pκ κ κ

فصل هشتم 175

κكه در آن ⋅2 = κ κ .

1) فرض كنيد 8.87ي ( رابطهدر -12 ˆbz=a ،( )122 ˆ ˆ3a x y= + +a و ،

( )123 ˆ ˆ3a x y= + −a. فلوكه -ي سطحي بردار موج بلوخ اگر مولفهˆ ˆx yx yκ κ= +κ را

تنها در نظر بگيريم،

اين ساختار باند ) را با اتحادهاي مثلثاتي ساده نماييد.8.87ي ( رابطه

=ي انرژي در دهد. آيا كمينه گرافين را بدست مي 0κ واقع است؟

ي ترين همسايگان به جاي شش مولفه ) فرض كنيد نزديك8.86.2در تقريب ( -13

( ) ( )0 1m − )ي با هشت مولفه ي ابتدايي، براي بلوري با ياخته = ) ( )1,1,1m =

كه در آن يك اتم به مركز اشاره دارد ركزيي م با ياخته يمشخص شوند. اين حالت به بلور

) را بازنويسي و ساده 8.87. با استفاده از اتحادهاي مثلثاتي (هر ياخته افزوده شده است

كنيد.

هرميتي است. H) نشان دهيد ماتريس 8.98(در -14

را با روش تزويج مود بدست آوريد. با 5.4ي حاالت زوج و فرد مثال بخش هاي ويژه انرژي -15

هاي دقيق ناشي از حل عددي امتحان مقادير عددي، جواب روش تزويج مود را با جواب

يد.ترسيم نماي dي ) مقايسه نموده و خطا را بر حسب فاصله5.41روابط (

پتانسيل پادهماهنگ زير را در نظر بگيريد: -16

( ) ( )2

2 4 212 04

mU d U

ω −= − +X X X

1نشان دهيد اين پتانسيل در 2x d= را طوري 0U ي مطلق است. داراي دو كمينه ±

تيلور حال پتانسيل را حول دو كمينه بسط تعيين كنيد كه اين كمينه برابر صفر باشد.

ي گر هماهنگ بدست آوريد. فاصله ي غير صفر، دو نوسان داشتن اولين جمله با نگاهدهيد و

ها در نمايش مكاني ي آن گر چقدر است؟ انرژي و تابع موج بهنجار پايه مكاني اين دو نوسان

ها به دو حالت فرد و زوج شكافته ي آن گر حالت پايه در اثر مجاورت دو نوسان چگونه است؟

شود. انرژي اين دو حالت و نرخ تپ را بدست آوريد. مي


حالت و انرژي كردهي اول تحليل را با اختالل مرتبه 8.5.1مود در بخش ي جفت مسئله -17

)، كارآيي روش 8.103.1ي تقريبي ( ي جديد را محاسبه نماييد. ضمن مقايسه با رابطه پايه

توان گفت كه روش تنگ بست بست ارزيابي نماييد. آيا مي مقايسه با روش تنگاختالل را در

ي اول است؟ در حقيقت نوعي اختالل تبهگن با دقت مرتبه

تابع موج يك سيستم كه هاميلتوني آن مستقل از زمان است با پتانسيل -18

( ) ( )t V t0δΔ =H

tچيست؟ تابع موج سيستم در V0شود. بعد مختل مي دچار چه تغييري نسبت به <0

tلحظات اي انتخاب كرد كه اثر آن نامحسوس را به گونه V0توان شود؟ آيا مي مي >0

)ترين اختالل گر تحول زماني استفاده نماييد). كلي (راهنمايي: از عمل باشد؟ )tΔH را به

اي بر سيستم نداشته باشد. اي بيابيد كه وجود يا عدم وجود آن هيچ تاثير قابل مشاهده گونه

فصل نهم 177

نهم فصل

اپتيك اتم

فرض بر اين است كه . پردازيم ي موج نور مي كنش اتم و جبهه ي برهم در اين فصل به مطالعه

:كند مقدار زير صدق مي ي ويژه هاميلتوني اتم مستقل زمان بوده و در معادله

)9.1( 0 ,nn E n n += ∈H Z

:گردد كنش نور با اتم توسط هاميلتوني اختالل و تابع زمان به فرم زير بيان مي چنين اثر برهم هم

)9.2( ( ) ( ) ( )†1 1 1exp expt j t j tω ω= − + +H H H

مبين بسامد دوراني متناظر با موج ωگري فاقد تابعيت زماني است و عمل 1Hكه در آن

1پذيريم نظر از آثار ميدان مغناطيسي نور، فعال مي نيز با صرف. الكترومغناطيس است =− ⋅EH D

e=Dكه در آن R گر برداري دوقطبي الكتريكي ناشي از جابجايي الكترون با بار عملe و به

البته در . باشد فازور ميدان الكتريكي نور مي Eچنين هم. از مبدا در راستاي شعاعي است rي اندازه

تر از ميدان ي نمايي ضعيف كنش ميدان مغناطيسي در موارد عملي دو تا سه مرتبه واقع شدت برهم

در عمل بديهي است كه نور معموال در حال حركت بوده و . پوشي است راين قابل چشمالكتريكي و بناب

ولي با فرض ايستا بودن موج از اين تابعيت مكاني كه موجب . داراي تابعيت مكاني است Eبنابراين

.نماييم پوشي مي گردد چشم دشواري قابل توجهي در حل مسئله مي

اپتيك اتم 178

:گردد هاميلتوني كل به شكل زير بيان مي پس

)9.3( ( ) ( )0 1t t= +H H H

هاي انرژي است در ي يك قوطي كوچك كه قادر به جذب يا گسيل بسته در اين فصل اتم را به مثابه

اي شدن سيستم چنين از آثار كوانتش ميدان الكترومغناطيس كه منجر به دوذره هم. گيريم نظر مي

تقريب اخير تحت شرايطي كه شدت ميدان الكترومغناطيس به . كنيم نظر مي شود صرف يكوانتومي م

فوتوني در آن قابل اغماض است صحيح است، و در حقيقت غالب شرايط حد كافي زياد باشد و آثار تك

. گيرد عملي را در بر مي

:ي نهايي كه بايد به حل آن اقدام كنيم عبارتست از معادله

)9.4( ( ) ( ) ( )t t j tt

ψ ψ∂

=∂

H

كنيم كه اتم براي سادگي فرض مي. ي اوليه در حالت مشخصي واقع باشد الزم است كه اتم در لحظه

:بنابراين. در ابتدا در حالت پايه بوده است

)9.5( ( )0 0ψ =

.دهيم را به دو روش مختلف انجام مي) 9.5(به همراه ) 9.4(حل

اختاللحل با روش . 9.1

:داراي حلي تقريبي شبيه به زير باشد) 9.4(كنيم كه در حالت اول فرض مي

)9.6( ( ) ( ) ( ) ( )t t E t tψ ψ≈H

:در نتيجه بالفاصله خواهيم داشت

)9.7( ( ) ( ) ( )E t t j tt

ψ ψ∂

≈∂

)ي انرژي قابل حل نيست مگر آنكه مقدارويژه) 9.7(ي معادله )E t حال بدون . تابع زمان را بدانيم

E=*كنيم كه لطمه به كليت مسئله فرض مي Eتوان دريافت كه مي )8.26( ي كمك رابطه ، و با:

فصل نهم 179

)9.8(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 1

†0 1 1

†0

0

0 0

0 0 exp 0 0 exp

0 0 exp 0 0 exp

2 cos 0 0

E t E t

E j t j t

E e j t e j t

E e t

ω ω

ω ω

ω

≈ +

= + − + +

= − ⋅ − − ⋅ +

= − ⋅

E E

E

H

H H

R R

R

0داشتي اما مقدار چشم 0R توان به صورت زير باز نمود را مي:

)9.9( 2 3

2 2 23 3 3

0 0 0

ˆ ˆ ˆ0 0 0

d r

x x d r y y d r z z d r

=

= + +

∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

r r

r r r

R

) 9.9(در فصول قبل ديديم كه عموما حالت پايه داراي تقارن مركزي است و بنابراين هر سه انتگرال

اما كت. شود ي اول هيچ تغييري در مقادير ويژه ظاهر نمي پس در تقريب اختالل مرتبه .دقيقا صفرند

به شكل زير تغيير تبهگني در حاالت انرژي اتم، پوشي از هر گونه ، و با چشم)8.36(پايه بر اساس

:خواهد نمود

)9.10(

( )( )

( ) ( )

( )

1

0 0

†1 1

0 0

0 0

00

0 exp 0 exp0

00 2 cos

l l

l l

l l

l tt l

E E

l j t l j tl

E E

le t l

E E

ψ

ω ω

ω

∞

≠

∞

≠

∞

≠

≈ +−

− + += +

−

⋅= +

−

∑

∑

∑E

H

H H

R

زوج، طبق l عدد اربيتالي هاي داراي اگر پتانسيل مولد اتم داراي تقارن شعاعي باشد، تمامي اربيتال

0lمنجر به ) 7.95( R و لذا خواهيم داشت) چرا؟(شوند صفر مي:

)9.11( ( ) ( )odd 0

00 2 cos

l l

lt e t l

E Eψ ω

∞

=

⋅≈ +

−∑E R

نظر ي دو صرف توان از تصحيح اختالل مرتبه ي اول كت پايه غير صفر است، مي چون تصحيح مرتبه

ي دوم ضروري است، و بر اساس ي انرژي تصحيح شده در تقريب اختالل مرتبه در عوض محاسبه. كرد

:يم داشتخواه) 8.53(

)9.12( ( )

( )

( )

2

10

0 0

2

0odd 0

0

02 cos

l l

l l

l tE t E

E E

lE e t

E Eω

∞

≠

∞

=

≈ +−

⋅= +

−

∑

∑E

H

R


توان ميدان الكتريكي نور را تنها داراي با توجه به اين كه اتم را داراي تقارن شعاعي فرض كرديم، مي

zEˆاي مانند مولفه z=E فرض كرد و نوشت:

)9.13.1( ( ) ( )

2

0odd 0

02 cos z

l l

E lE t E e t

E Eω

∞

=

≈ +−∑Z

)9.13.2( ( ) ( )odd 0

00 2 cos z

l l

E lt e t l

E Eψ ω

∞

=

≈ +−∑Z

.نمود) 9.5(درجه به زمان وادار به رعايت شرط اوليه 90با افزودن يك فاز بديهي ) 9.13(حل

)9.14.1( ( ) ( )

2

0odd 0

02 sin z

l l

E lE t E e t

E Eω

∞

=

≈ +−∑Z

)9.14.2( ( ) ( )odd 0

00 2 sin z

l l

E lt e t l

E Eψ ω

∞

=

≈ +−∑Z

حتي اگر آن است كهدليل اول . زياد كاربرد نداردبه دو دليل در عمل ) 9.14(با وجود سادگي، حل

) 9.6(ي حل حالت پاياي سينوسي مسئله) 9.14.2(اختالل بكار رفته دقيق نيز باشد، در حقيقت

اي اتم ي تحوالت لحظه منديم، زيرا مطالعه اين در حالي است كه عموما به حل حالت گذرا عالقه. است

) 9.13(پايايي حالت سينوسي .كند يپذير م امكانهاي كوتاه و گذراي نور كنش با تپ هم در اثر بررا

اتم را با يك كت ) 9.14.2(دليل دوم آن است كه . است )9.5(منجر به عدم الزام در رعايت شرط اوليه

معموال در ل يبه همين دال. نمايد كند و ديد را نسبت به تحوالت ساير حاالت اتم محدود مي وصف مي

.كنيم تفاده ميگر تحول زماني اس از عملي اپتيك اتم حوزه

گر تحول زماني حل با عمل. 9.2

معرفي شده ) 3.53(گر تحول زماني است كه قبال در استفاده از عمل) 9.4(راه مستقيم براي حل

:در نتيجه بالفاصله داريم. است

)9.15( ( ) ( ) ( )

0

; 0 0 exp 0t

jt t s dsψ

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫U T H

:داريم) 3.52(با بسط

فصل نهم 181

)9.16(

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0

2

1 0 0 1

0 0

3

2 1 0 0 1 2

0 0 0

; 0 0

0 0

10

2 !

10

3 !

t

t t

t t t

t t

js ds

js s ds ds

js s s ds ds ds

ψ =

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

+

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

U

H

T H H

T H H H

:توان نوشت شود كه مي نگاه به جمالت فوق مالحظه ميبا

)9.17( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3t t t t tψ ψ ψ ψ ψ= + + + +

)كه در آن ) ,m t mψ +∈ Z ي ي اختالل مرتبه جملهm ام در تصحيح كت حالت تابع زمان ناميده

:عبارتست از) 3.50(شود و طبق مي

)9.18( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 1

1 0 0 1

0 0 0

1 0 0 1

0 0 0

10

!

0

t t tm

m m m

s stm

m m

jt s s s ds ds ds

m

js s s ds ds ds

ψ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

T H H H

H H H

توان ي تعداد محدودي از جمالت اختالل مي عمال تنها به محاسبه) 9.17(از آن جايي كه در

ي كت حالت پايا مناسب نيست، و لذا دستيابي به عبارتي براي پرداخت، اين روش براي محاسبه

شدت جمالت مزيت اين حل آن است كه . ي انرژي تابع زمان ديگر مطرح نخواهد بود مقادير ويژه

گردد، به نحوي كه در لحظات اوليه، معموال ها ظاهر مي ي آن اختالل به تدريج و متناظر با مرتبه

.ي دوم و باالتر قابل كنار گذاشتن هستند جمالت مرتبه

و باالتر ي دوم توان از جمالت اختالل مرتبه ، ميو براي لحظات آغازين ي نخست در تقريب مرتبهپس

:نظر كرد و نوشت صرف

)9.19( ( ) ( ) ( )

( )

0 1

0

0 0t

t t t

js ds

ψ ψ ψ≈ +

⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ H

)ي ي انتگرال مربوط به جمله محاسبه )1 tψگردد ، با اتخاذ بسط زير ممكن مي:


)9.20( ( ) ( )10

0 nn

t a t nψ∞

=

+ =∑

)مرسوم است ضرايب تابع زمان )na t اي اتخاذ گردند كه با حذف تابعيت زماني از هاميلتوني به گونه

:براي اين منظور كافيست بنويسيم. ها نيز مستقل از زمان شوند ، آن)9.3(

)9.21( ( ) ( ) ( )1 00

expn n nn

t b t j t nψ ω δ∞

=

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∑

nكه در آن nE ω= .گذاري توان ديد كه با جاي بالفاصله مي:

)9.22( ( ) ( )0

expn nn

t c j t nψ ω∞

=

≈ −∑

). 2تمرين ( رسيم مي) 9.1(به حلي دقيق از ضرايبي ثابت و مستقل از زمان هستند، ncكه در آن

:نويسيم مي) 9.19(پس به عنوان صورت مناسب در حل

)9.23.1( ( ) ( ) ( )0

expn nn

t b t j t nψ ω∞

=

≈ −∑

)9.23.2( ( ) 00n nb δ=

در ) 9.23(گذاري حال با جاي .اتخاذ شده است) 9.5(براي رعايت ) 9.23.2(ي شرط اوليهكه در آن

:آيد بدست مي) 9.19(

)9.24(

( ) ( ) ( )

( )[ ]

( )[ ]

( ) ( )

0 0

0 1

0

0 1

0

0 1

0

exp 0 0

0 0

0 0

1 0 0

t

n nn

t

t

t

jb t j t n s ds

js ds

jE s ds

jj t s ds

ω

ω

∞

=

⎛ ⎞⎟⎜− = + − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

= − +

= − −

∑ ∫

∫

∫

∫

H

H H

H

H

l,در براي با ضرب طرفين معادله l ∈N خواهيم داشت) 9.2(و با كمك:

)9.25( ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0

0 0

exp 0

0 exp 0 exp

t

l l

t t

jb t j t l s ds

j je l j s ds e l j s ds

ω

ω ω

− = −

= + ⋅ − + ⋅ +

∫

∫ ∫E E

H

R R

فصل نهم 183

:شود گيري به فرم زير ساده مي پس از انتگرالكه

)9.26( ( ) ( ) ( ) ( )

( )

exp 1 exp 1exp 0

sin2 0

l l

j t j tjb t j t e l

j j

j te l

ω ωω

ω ωω

ω

⎡ ⎤− − + −⎢ ⎥− = + ⋅ +⎢ ⎥− +⎣ ⎦

= + ⋅

E

E

R

R


)9.27( ( ) ( ) ( )sin2 exp 0 ,l l

j tb t j t e l l

ωω

ω= + + ⋅ ∈E R N

توان ديد كه ضرب نيز مي). چرا؟(كنند را راضي مي) 9.23.2(خودبخود شرط ) 9.27(هاي جواب

0lداخلي R براي تقارن شعاعي آمد صفرند، و لذا ) 9.10(با استداللي مانند آنچه ذيل ) 9.27(در

:خواهيم داشت

)9.28.1( ( ) ( ) ( )( )12

sin2 exp 0 , 1l l

j tb t j t e l l

ωω

ω= + + ⋅ − ∈E R N

)9.28.2( ( ) 120,lb t l= ∈N

)اگر براي يافتن )0b t آيد ضرب كنيم بدست مي 0را در ) 9.24(، طرفين:

)9.29( ( ) ( ) ( )0 0 0

sinexp 1 2 0 0

j tb t j t j t e

ωω ω

ω− = − + ⋅E R

:خواهيم داشت) 9.28.2(مجددا با استداللي نظير

)9.30( ( ) [ ] ( )0 0 01 expb t j t j tω ω= − +

:رسيم به كت نابهنجار زير مي) 9.23.1(در ) 9.30(و ) 9.28(گذاري با جاي

)9.31( ( ) [ ] ( )0

odd

sin1 0 2 0

n

j tt j t e n n

ωψ ω

ω

∞

=

≈ − + ⋅ ∑E R

) شرط بهنجارشو ) 9.23.1(اما طبق ) ( ) 1t tψ ψ :)چرا؟( الزم است كه داشته باشيم =

)9.32( ( )2

0

1nn

b t∞

=

=∑

0با آزمودن اين حد براي لحظات بزرگ 1tω توان دريافت كه برقراري شرط زير براي مي

):3تمرين (بهنجارش الزم است


)9.33( ( )

( )2

0

1lim 0,t n

ll

b t nb t

→∞ ∞

=

= ∈

∑N

اين . اين بدان معني است كه اتم پس از گذشت زمان كافي مجددا به حالت پايه باز خواهد گشت

گيرد تناقض از اين واقعيت ريشه مي. منافات دارد) 9.14(ي حالت پايا در نتيجه به وضوح با محاسبه

0در شرايطي كه ) 9.31(كه حل 1tω زير ) 9.19(معتبر نيست، زيرا در اين وضعيت اعتبار است

پس هنگامي .پوشي نمود توان از جمالت اختالل مراتب دوم و باالتر چشم سوال است و ديگر نمي

0 1tω .شماريم ي اول درست مي را در تقريب اختالل مرتبه) 9.31(است، حل >

راه حل مستقيم. 9.3

:]1[ را دقيق بپنداريم و بنويسيم) 9.23.1(ي اپتيك اتم آن است كه تقريب در تحليل مسئلهراه ديگر

)9.34( ( ) ( ) ( )0

expn nn

t b t j t nψ ω∞

=

= −∑

را مستقيما در ) 9.34(حال .كماكان به عنوان شرط اوليه قابل بكارگيري است) 9.23.2(كه در آن

:آوريم گذاري نماييم و بدست مي جاي) 9.4(

)9.35( ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )0 10 0

exp expn n n nn n

b t j t t n j b t j t nt

ω ω∞ ∞

= =

∂ ⎡ ⎤− + = −⎣ ⎦∂∑ ∑H H

:با بسط طرفين خواهيم داشت

)9.36( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 0

0

exp exp

exp exp

n n n n nn n

n n n n nn

b t j t E n b t j t t n

j b t j t j b t j t n

ω ω

ω ω ω

∞ ∞

= =∞

=

− + −

⎡ ⎤′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑

H

:ضرب كرده و خواهيم داشت lحال طرفين را مجددا در براي

)9.37(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10

exp exp

exp exp

exp exp

l l l n nn

l l l l l

l l l l l

b t j t E b t j t l t n

j b t j t j b t j t

j b t j t b t j t E

ω ω

ω ω ω

ω ω

∞

=

− + −

⎡ ⎤′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦′= − + −

∑ H

فصل نهم 185

:در نتيجه خواهيم داشت

)9.38( ( ) ( ) ( ) ( )10

expl n nln

jb t b t j t l t nω

∞

=

′ = − −∑ H

:كه در آن داريم

)9.39( nl n lω ω ω= −

)ي بسط جمله )1l t nH دهد نتيجه مي) 9.2(با استفاده از:

)9.40( ( ) ( )1 2 cosl t n e t l nω= − ⋅EH R


)9.41( ( ) ( ) ( ) ( )0

2 cos expl n nln

jb t e t b t j t l nω ω

∞

=

′ = ⋅ −∑E R

توان بدون لطمه كنيم كه اتم داراي تقارن شعاعي است و ميدان الكتريكي را مي براي سادگي فرض مي

:لذا. گرفت zبه كليت مسئله در راستاي

)9.42.1(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

2 cos exp

2 cos exp

cos exp

l z n nln

z n nl lnn

n ln lnn

jb t e t E b t j t l n

je t E b t j t Z

j t b t j t g

ω ω

ω ω

ω ω

∞

=∞

=∞

=

′ = −

= −

= +

∑

∑

∑

Z

)9.42.2( *22 z

ln ln ln nl

eEg Z g= ⋅ = =E D

اي شوند و داراي جنس بسامد زاويه اتم ناميده مي- ضرايب تزويج ميدان lngهاي در روابط باال، ثابت

صفر باشد، يا اينكه ميدان nبه lها صفرند اگر دوقطبي گذار از حالت اين ثابت. هستند

الكترومغناطيس صفر باشد، يا اينكه اصوال ميدان در راستاي بردار دوقطبي گذار مولفه نداشته باشد،

0lيعني n⋅ =E R .ها كه داراي تقارن شعاعي در پتانسيل هستند هيچگاه شرط اخير براي اتم

نقاط كوانتومي كه عموما فاقد تقارن شعاعي هستند، ها يا ، ولي براي چاه)چرا؟(دهد رخ نمي

.كند كنش با ميدان الكترومغناطيس بستگي به قطبش ميدان پيدا مي برهم

:ي اول نوشت را در قالب دستگاهي از معادالت ديفرانسيل خطي و مرتبه) 9.42(توان مي


)9.43.1( ( ) ( ) ( )t j t t′ =B G B

)9.43.2( ( ) ( )[ ]nt b t=B

)9.43.3( ( ) ( )[ ] ( ) ( )cos expln ln lnt G t t j t gω ω⎡ ⎤= = ⎣ ⎦G

)9.43.4( ( )

( )

( )

( )[ ]

0

1

02

0 1

000

00 n

b

b

bδ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

B

اگر ) 9.43(حل دستگاه . روند بكار مي) 9.23.2(ي به جاي شرايط اوليه) 9.43.4(كه در آن

( )t =G G پذير است فاقد تابعيت زماني باشد به سادگي امكان:

)9.44( ( ) ( ) ( )exp 0t j t=B G B

:عبارتست از) 9.43(اما به وضوح شرط فوق قابل برآورده كردن نيست و در نتيجه حل كلي

)9.45( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T

1

0

20 0 1 0 1 0

0 0 0

exp 0

0 0 0

t

st t

t j s ds

j s ds j s s ds ds

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + +

∫

∫ ∫ ∫

B G B

B G B G G B

حل بازگشتي اختاللي. 9.4

مانند براي اين منظور . برند روشي اختاللي و مبتني بر بازگشت را معموال بكار مي) 9.45(براي حل

)را به فرم ) 9.3(، )8.18( ) ( )0 1t s t= +H H H كنيم و فرض مي نويسيم مي:

)9.46.1( ( ) ( ) ( )0 1 20 1 2t s s t s t= + + +B B B B

)9.46.2( ( )0 0=B B

)9.46.3( ( )0 0,l l= ∈B N

:كه در آن

)9.47( ( ) ( ) ( )ll nt b t⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦B

:خواهيم داشت) 9.43(گذاري در با جاي

فصل نهم 187

)9.48(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0 1 21 2 3 1 20s t s t s t js t s s t s t′ ′ ′ ⎡ ⎤+ + + = + + +⎣ ⎦B B B G B B B

:دقيق است اگر مجموعه روابط بازگشتي زير برقرار باشند) 9.47(حل بديهي است كه

)9.49( ( ) ( ) ( )1 ,l lt j t t l ++′ = ∈B G B Z

گيري مستقيم توان با انتگرال ي قبلي دانسته است، همواره مي چون سمت راست از مرحله) 9.49(در

:نوشت بالفاصله )9.46.3(يا ) 9.46.2(ي و مشروط به شرط اوليه

)9.50( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

00

cos exp , ,t

n nl lm lm m

m

b t j s j s g b s ds l nω ω∞

+ +

=

= ∈∑∫ Z

:خواهيم داشت) 9.46(با توجه به در نهايت

)9.51( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 20

1 20 ,

l l l l

l l l

b t b t b t b t

b b t b t l +

= + + +

= + + + ∈ Z

ي اول فرآيند مرتبه .9.4.1

0nجمالت اختالل براي ) 9.50(ي محاسبه 1nو = ي اول و با در تقريب مرتبه. ساده است =

0nفرض :داريم =

)9.52(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

1 0

00

0 0

0

00

0

00 0

0

0 00

0 0

cos exp

cos exp

exp exp exp2

exp exp2

exp exp

2

t

l lm lm mm

t

l l

t

ll

t

ll l

l ll

l l

b t j s j s g b s ds

j s j s g ds

gj j s j s j s ds

gj j s j s ds

j s j sgj

j j

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

∞

=

=

=

= + + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ + − −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +⎨ ⎬⎪ ⎪+ + − −⎪ ⎪⎩ ⎭

∑∫

∫

∫

∫

0

s t

s

=

=

:كردن خواهيم داشت پس از ساده


)9.53( ( ) ( )( ) ( )0 01 0

0 0

exp 1 exp 1

2l ll

ll l

j t j tgb t

ω ω ω ω

ω ω ω ω

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ + − − − −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

:را به صورت زير نوشت) 9.53(توان مي

)9.54.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1l l lb t b t b t↓ ↑= +

)9.54.2( ( ) ( )( )01 0

0

exp 1

2ll

ll

j tgb t

ω ω

ω ω↓

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ++

)9.54.3( ( ) ( )( )01 0

0

exp 1

2ll

ll

j tgb t

ω ω

ω ω↑

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦= −−

ام، از جمع دو فرآيند صعود از تراز پايه lبه تراز tي بدين ترتيب احتمال گذار از تراز پايه در لحظه

)ام با آهنگ lبه تراز ) ( )1lb t↑، ،و سقوط از تراز يا گذار باالروندهl ام به تراز پايه با آهنگ( ) ( )1

lb t↓ يا ،

ي در خور اعتنا اين است كه اين دو فرآيند با تبديالت نكته .شود مشخص ميرونده، گذار پايين

t t+ ↔ ωو − ω+ ↔ اين حقيقت ناشي از تقارن زماني ذاتي در صعود و . شوند به هم مبدل مي −

.ام استlهاي پايه و تراز نزول مابين تراز

:خواهيم داشت) 9.34(بدين ترتيب با كمك

)9.55(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10

0

10

0 0

10

0

10 0

0

exp

exp exp

exp 0 exp

exp 0 exp

n n nn

n n n nn n

n nn

n nn

t b t b t j t n

b t j t n b t j t n

j t b t j t n

j t b t j t n

ψ ω

ω ω

ω ω

ω ω

∞

=∞ ∞

= =∞

=

∞

=

⎡ ⎤≈ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + −

= − + −

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑ ∑

∑

∑

00 با عنايت به اين نكته كه 0g ) و بنابراين = ) ( )10 0b t :آيد به شكل زير در مي) 9.55(، =

)9.56( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 0

1

exp 0 expn nn

t j t b t j t nψ ω ω∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

:خواهيم داشت) 9.53(گذاري جايو با

)9.57( ( )( ) ( )0 0

0 00

1 0 0

1 1 10

2

n n

n

j t j tj t j t

nn n n

e et e g e n

ω ω ω ωω ωψ

ω ω ω ω

+ + − −∞− −

=

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎢ ⎥≈ + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑

فصل نهم 189

0ωدر حالت كلي داريم 0و < 0 0n nω ω ω= − )نده رو جمالت پايين ، و بنابراين< ) ( )1nb t↓ داراي

)اين در حالي است كه جمالت باالرونده . مخرج بزرگ و بنابراين آهنگ كوچك هستند ) ( )1nb t↑ عموما

را تنها در اين مرحله موثر اگر احتمال باالرفتن. تر و بنابراين آهنگ بزرگ هستند داراي مخرج كوچك

:توان نوشت بدانيم مي

)9.58( ( )( )0

0 00

1 0

1 10

2

n

n

j tj t j t

nn n

et e g e n

ω ωω ωψ

ω ω

− −∞− −

=

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪≈ −⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭∑

ام در mاي است كه با يكي از گذارها مانند گذار پايه به تراز به گونه ωچنين غالبا بسامد نور هم

:نزديكي تشديد است، يعني

)9.59( 0mω ω≈

:خواهيم داشتسازي است و هنوز قابل ساده) 9.58(در اين شرايط

)9.60( ( )( )0

0 0 00

0

1 10

2

m

m

j tj t j t j t

mm

et e g e e m

ω ωω ω ωψ

ω ω

− −− − −−

≈ −−

:شود كه با تقريب داريم استفاده كنيم و تحت اين شرايط مشاهده مي) 9.23(حال فرض كنيد از بسط

)9.61.1( ( )0 1b t ≈

)9.61.2( ( )( )0

00

1 12

mj t

m mm

eb t g

ω ω

ω ω

− − −≈ −

−

)9.61.3( ( ) 0, 0,nb t n m≈ ≠

)بديهي است كه )2

nb t متناسب با احتمال حضور اتم در ترازnي ام و لحظهt لذا ). چرا؟(است

:دهد داريم رخ مي) 9.59(هنگامي كه تشديد

)9.62(

( )( )

( )

( )( )

( )

02

2 2

0 2

0

2 12 2 0

0 2

0

2 2 2120 0

114

sin

1sinc

4

mj t

m m

m

mm

m

m m

eb t g

tg

g t t

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

− − −≈

−

⎡ ⎤−⎣ ⎦=−

⎡ ⎤= −⎣ ⎦


. كند رشد مي 2tام در لحظات اوليه متناسب با mاحتمال اشغال تراز دهد كه ي اخير نشان مي رابطه

:بديهي است هنگامي داشته باشيم

)9.63( ( )12 0m tω ω π− =

)احتمال )2

mb t ي اول زير سوال است تحت اين شرايط در حقيقت اعتبار اختالل مرتبه. صفر است .

:ي اول، به صورت ي حد بااليي براي اعتبار نسبي اختالل مرتبه تعيين كننده) 9.63(بنابراين

)9.64( 2t

πωΔ

0mωاست، كه در آن ω ωΔ = .باشد ام ميmنور و گذار تراز پايه به تراز اي اختالف بسامد زاويه −

0ωΔبنابراين در تشديد كامل با .ي اول بطور نامحدود معتبر است ، اختالل مرتبه=

ي دوم فرآيند مرتبه. 9.4.2

:در نتيجه خواهيم داشت. گيريم كمك مي) 9.53(و ) 9.50(ي دوم از ي اختالل مرتبه براي محاسبه

)9.65(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )0 0

2 1

00

00 0 00

cos exp

1 14

m m

lm

t

l lm lm mm

t j s j sj s j s j s

lm mm m m

b t j s j s g b s ds

j e ee e g g e ds

ω ω ω ωω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

∞

=

+ + − −∞+ −

=

=

⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎪ ⎪= + −⎨ ⎬⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

∑∫

∑∫

:آوريم سازي انتگرال بدست مي با ساده

)9.66(

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

20

0 0 00

00 2 2

0 0 0 00

2

00

1 14

24

14

m m

lm lm

m m

lm lm

t j s j sj s j s

l lm mm m m

t j s j sj s j s m

lm mm m m m

j

lm mm

j e eb t g g e e ds

j e eg g e e ds

eg g

ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

+ + − −∞+ + − −

=

+ + − −∞+ + − −

=

+∞

=

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + −⎣ ⎦⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + − −⎣ ⎦

=

∑ ∫

∑ ∫

∑( )

( )( )( )

( )( )

0 0

0

0 0 0 0 0

20

2 20 0 0

1 1 1 12

1 2 1 12

l l

l lm

t j t

m l l m m

j t j t j t j tm

m l m lm lm

e

e e e e

ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

+ +

− − + + −

⎡ ⎛ ⎞− − ⎟⎜⎢ ⎟+ −⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟⎜+ + + −⎝ ⎠⎢⎣⎤⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎥⎟+ + −⎜ ⎟⎥⎜ ⎟⎜− − − + −⎝ ⎠⎥⎦

جذب دوفوتوني. 9.4.3

آيد كه دو برابر بسامد فوتون با يكي از گذارها در تشديد واقع ي دوم گاه پيش مي در فرآيندهاي مرتبه

02شود، مثال مي kω ω≈ .حركت دوراني و اسپين نظر تقارن اربيتالي و بقاي اندازه اگر از نقطه

فصل نهم 191

ي متناظر با اين تشديد مبين جذب دوفوتوني خواهد بود و محدوديتي وجود نداشته باشد جمله

:توان به تقريب نوشت مي

)9.67.1( ( ) ( )

( )

( )( )( )

0

0

22

00 0 0

20

00 0

1 14 2

1 1,

4 2

l

k

j t

l lm mm m l

j tlm m

mk m

eb t g g

e g gl k

ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

− −∞

=

− − ∞

=

−≈

+ −

−= =

− +

∑

∑

)9.67.2( ( ) ( )2 0,lb t l k≈ ≠

:لذا خواهيم داشت

)9.68( ( ) ( )

( )( )

( )

2 2 12 2 02 0

20 0 0

2

2 20 12 0

0 0

sin 214 2

1sinc

16

kkm mk

m m k

km mk

m m

tg gb t

g gt t

ω ω

ω ω ω ω

ω ωω ω

∞

=

∞

=

⎡ ⎤−⎣ ⎦≈+ −

⎡ ⎤= −⎣ ⎦+

∑

∑

توانند توان نتيجه گرفت كه دوفوتون مي ي اول مي در اين شرايط و با عدم نمايش فرآيندهاي مرتبه

جالب آن است كه وارون اين فرآيند نيز .تحريك نمايندام kزمان جذب شده و سيستم را به تراز هم

ام به تراز پايه به kشود، كه سيستم در اثر گذار از تراز ممكن بوده و به آن تبديل پارامتري گفته مي

1دو فوتون همانند و با انرژي 2 0kω ω≈ ي جالب در اين پديده آن است كه نكته. پاشد فرومي

0فوتوني احتمال آن حتي اگر گذار تك 0kg ).چرا؟(ممنوع باشد، غير صفر است =

قانون طاليي فرمي. 9.5

اي از اگر به جاي يك اتم منفرد، توده. در نظر بگيريد) 9.62(ام را مطابق با mاحتمال گذار به تراز

كنشي هرچند ضعيف مابين گاه در اثر برهم هاي همانند در يك جامد يا شاره داشته باشيم، آن اتم

شود كه در نزديكي ي از ترازهاي فشرده مبدل ميبه انبوه 0mωام با انرژي گذار دقيق mها، تراز آن

ها خيلي زياد باشد، طيف حاصله را توان در صورتي كه تعداد اتم مي. اند مجتمع شده mEانرژي

) حاالت انرژي مانندحجمي پيوسته فرض كرد و به آن يك تابع چگالي )Eρ حال .نسبت داد،

:عبارتست ازدر واحد حجم mEاحتمال گذار از حالت پايه به گروهي از حاالت در نزديكي انرژي


)9.69( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0 0

1m m m m mP t b t E dE b t dρ ρ ω ω↔ = =∫ ∫

ي فوق براي اتم منفرد هنوز قابل استفاده است، اگر قرار دهيم بديهي است كه رابطه

( ) ( )0mE E Eρ δ= :خواهيم داشت) 9.62(به هر صورت با استفاده از ). چرا؟( −

)9.70( ( ) ( ) ( )2 2 2 120 0 0 0 0

1sinc

4m m m m mP t g t t dω ω ρ ω ω↔⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫

)با توجه به فرم تابع )sinc :)9تمرين ( توان پذيرفت كه تقريب زير با دقت خوب برقرار است ، مي⋅

)9.71( ( ) ( )2

0 0 02m m mP t g tπ

ρ ω ω↔ ≈ =

:نرخ تغييرات احتمال نسبت به زمان عبارتست ازدر نتيجه آهنگ گذار، يا

)9.72( ( ) ( )2

0 0 0 02m m m m

dW P t g

dtπ

ρ ω ω↔ ↔= ≈ =

ام به عنوان تراز پاياني صورت بگيرد، به mام به عنوان تراز آغازين و تراز kاگر گذار بين دو تراز

:طريق مشابه داريم

)9.73( ( )2

2m k mk mkW gπ

ρ ω ω↔ ≈ =

mkωاما شرط ω= به فرم زير كماكان قابل نگارش است:

)9.74( mk m k m kE Eω ω ω ω= = − = −

دهد براي جذب فوتون بايستي انرژي تراز پاياني از تراز آغازين بيشتر باشد و بنابراين كه نشان مي

0ωاي فوتون بسامد زاويه چنين براي گسيل فوتون بايستي انرژي تراز پاياني از هم. مثبت است <

0ωاي فوتون تراز آغازين كمتر باشد و نيز بسامد زاويه ها با جمالت اين عالمت. منفي باشد >

اري بقاي انرژي به مفهوم برقر) 9.74(بديهي است .خواني دارند هم) 9.54(رونده در رونده و پايين باال

هاي اتمي در دهد نرخ گذار ، مشهور به قانون طاليي فرمي است و نشان مي)9.73(ي رابطه. هم هست

ها متناسب با چگالي حاالت انرژي در انرژي گذار، و مربع ثابت تزويج گذار كنش با فوتون اثر برهم

:يم داشتخواه) 9.74(و ) 9.73(براي يك اتم منفرد با توجه به . مربوطه است

)9.75( ( )2

2m k mk mkW gπ

δ ω ω↔ ≈ −

فصل نهم 193

الكتريك ثابت دي. 9.6

شماري اتم در محيطي متشكل از تعداد بي ωاي هنگامي كه موج الكترومغناطيسي با بسامد زاويه

. نمايد ها، آنان را وادار به نوسان با همان بسامد مي هاي غير صفر اتم كند، با تحريك دوقطبي حركت مي

در صورتي كه

)9.76( ( ) *1 12 2

j t j tt e eω ω− += = +D D DD

:توان نوشت داشتي دوقطبي القا شده در يك اتم باشد مي مقدار چشم

)9.77( ( ) ( ) *1 12 2

j t j tt N t e eω ω− += = +P D P P

)ها و چگالي بر واحد حجم اتم Nكه در آن )tP از طرفي . قطبيدگي ماكروسكوپي القا شده است

:داريم Pو قطبيدگي Eبين فازورهاي ميدان الكتريكي طبق تعريف

)9.78( ( ) ( )[ ]0 0ε χ ω ε ω ε= = −P E E

)كه در آن ) ( ) ( )r ijχ ω χ ω χ ω= )و − ) ( )

0 rε ω ε ε ω= به ترتيب پذيرفتاري و گذردهي

. الكتريكي محيط هستند

خواهيم ) 9.13.2(طبق . باشند 1و 0ها تنها داراي دو حالت انرژي موثر فرض كنيد كه اتم

:داشت

)9.79( ( ) ( )10

20 cos 1t tψ ω

ω≈ + ⋅E D

01در اينجا 1 0e= =D D R .توان ديد كه براي كت بهنجار داريم پس مي:

)9.80( ( )

( )

( )2

10

10

1 20 cos 1

21 cos

t t

t

ψ ωω

ωω

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ + ⋅⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

E D

E D

:شود نتيجه مي) 9.76(پس از

)9.81(( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )210 10

10

1 2 20 cos 1 0 cos 1

21 cos

t t t

t t

t

ψ ψ

ω ωω ω

ωω

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

D

E D E D

E D

D

D


:صفرند خواهيم داشت 11Dو 00Dهاي چون دوقطبي

)9.82(

( )( )

( )

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

210

10

10 01210

10

210

10

2 cos0 1 1 0

21 cos

2 cos

21 cos

4 cos

21 cos

tt

t

t

t

t

t

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

⋅≈ +

⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅= +

⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅=

⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

E DD

E D

E DD D

E D

E DD

E D

D D

بدين منظور . را باز كنيم) 9.82(الزم است كه تابعيت زماني ) 9.76(به فرم ) 9.82(براي تبديل

:نويسيم مي

)9.83(

( )

( )

( )

( ) ( )

210

10

210 2 2

10

2

2 2

10 10

2

1

2

1 2

21 2

j t j t

j t j t

j t j t

j t j t

j t j t j t j t

e et

e e

e e

e e

e e e e

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

− +

− +

− +

− +

− + − +

⋅ +≈

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ +

=⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟≈ + − + +⎜⎢ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

E DD D

E D

E DD

E D

E D E DD

ي پاسخ غير كه نماينده ±3ωهاي پوشي از جمالت داراي بسامد ضمن باز كردن براكت دوم و چشم

:آيد بدست ميخطي سيستم هستند،

)9.84(

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

10 10

2

2 2

10 10

3

10 10

21 2

2

26

j t j t j t j t

j t j t j t j t

j t j t j t j t

t e e e e

e e e e

e e e e

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

− + − +

− + − +

− + − +

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟≈ + − + +⎜⎢ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= + − +⎜⎢ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎜ ⎟≈ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

E D E DD D

E D E DD

E D E DD D

⋅Eشود، همانطور كه مشاهده مي ∝E D ي ميدان الكتريكي متناسب با دامنهE موج است، و

)حاوي آثار غير خطي مربوط به پذيرفتاري غير خطي ) 9.84(بنابراين )3χ است كه در مقايسه با

:گردد به فرم زير تعريف مي) 9.78(

فصل نهم 195

)9.85( ( ) ( ) ( )( )30 0ε χ ω ε χ ω= + ⋅P E E E E

eي ميدان حله با تعريف بردار يكهمر در اين E= E خواهيم داشت) 9.84( بر اساس و:

)9.86.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3

1 1 3 3* *j t j t j t j t

t t t

e e e eω ω ω ω− + − +

= +

= + + +

D D D

D D D D

)9.86.2( ( )1

10

eE

ω⋅

=D

D D

)9.86.3( ( )

3

3 3

10

ˆ3e

Eω

⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠D

D D

:داريم) 9.77(با استفاده از

)9.87( ( ) ( ) ( ) ( )( )1 3

0

Nχ ω χ ω

ε+ ⋅ =E E E E D

:)12تمرين ( آيد بنابراين بدست مي

)9.88.1( ( ) ( )( )21

0 10

eNχ ω

ε ω⋅

=D

)9.88.2( ( ) ( )( )( )

43

30 10

ˆ3

eNχ ω

ε ω⋅

= −D

و بنابراين شود اشكال اين روش با وجود سادگي آن است كه آثار اتالف در آن منظور نمي( ) ( ) ( ) ( ) 1 3Im Im 0χ ω χ ω= .كنيم استفاده ميگر چگالي از روش عملنقص رفع اينبراي . =

گر چگالي عمل. 9.6.1

گر چگالي است كه مبتني بر استفاده از عمل] 1[ي پذيرفتاري الكتريكي در بسياري موارد محاسبه

)براي سيستمي با كت حالت )tψ گردد بصورت زير تعريف مي:

)9.89( ( ) ( ) ( )ˆ t t tρ ψ ψ=

0هاي ، و انرژي1و 0ي حاالت پايهبا براي يك اتم دوترازه 0E ω= 1 و 1E ω= مانند:

)9.90( ( ) ( ) ( )0 10 10 1j t j tt b t e b t eω ωψ − −= +



)9.91(

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 10

2 2

0 1

* *0 1 1 0

00 11 01 10

ˆ

0 0 1 1

0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0

j t j t

t t t

b t b t

b t b t e b t b t e

t t t t

ω ω

ρ ψ ψ

ρ ρ ρ ρ

+ −

=

= +

+ +

= + + +

:را به فرم ماتريسي نوشت و خواهيم داشت )9.91(گر چگالي توان عمل مي

)9.92( ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

10

2 *00 01 0 0 1

2*10 11 1 0 1

ˆ

j t

j t

t t b t b t b t et

t t b t b t e b t

ω

ω

ρ ρρ

ρ ρ

+

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

):13تمرين (بديهي است كه خواهيم داشت

)9.93( ( ) ˆtr 1tρ =

گر چگالي مشتق زماني عمل. 9.6.2

:داريم )9.3(ي و رابطه گر براي مشتق زماني يك عمل) 7.76(حال با كمك

)9.94( ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]0 1ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,d j j jt t t t t t

dtρ ρ ρ ρ= = +H H H

)كه در آن )1 tH 9.2(در (0ي پايه گر هاميلتوني عملبراي اما . تعريف شده استH داريم)چرا؟:(

)9.95( 0 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 1E E ω ω= + = +H


)9.96(

( )[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )

0 0 0

0 1

00 11 01 10

00 11 01 10

0 1

ˆ ˆ ˆ,

0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 1

t t t

t t t t

t t t t

ρ ρ ρ

ω ω

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ω ω

= −

= + ⋅

+ + + −

+ + + ⋅

+

H H H

:آيد بدست مي) 9.96(ساده كردن با

)9.97(( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

0 0 00 0 01 1 11 1 10

0 00 1 11 1 01 0 10

10 01 10 10

1ˆ, 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0

t t t t t

t t t t

t t

ρ ω ρ ω ρ ω ρ ω ρ

ω ρ ω ρ ω ρ ω ρ

ω ρ ω ρ

= + + +

− + + +

= − +

H

فصل نهم 197

:چنين داريم هم

)9.98( ( ) ( )

( ) [ ]

( )

1

01 10

*

0 1 1 0

0 1 1 0

t t

t

t

= ⋅

= ⋅ +

⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦

E

E D D

E D D

H D

:شود كه مالحظه مي) 9.42.2(و ) 9.2(ضمن مقايسه با

)9.99( 1 01g g= ⋅ = =E DH


)9.100(

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )

*1

00 11 01 10

00 11 01 10

*

ˆ, 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0

t t t

t t t t

t t t t

t

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦+ + +

− + + + ⋅

⎡ ⎤⋅ +⎣ ⎦

E D D

E D D

H

:آيد بدست مي) 9.100(سازي سادهبا

)9.101(

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

1 11 10

*00 01

00 10

*11 01

*11 00 00 11

*10 01

ˆ, 0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

t t t t t

t t t

t t t

t t t

t t t t t t

t t t

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

= ⋅ +

+ ⋅ +

− ⋅ +

− ⋅ +

= ⋅ − + ⋅ −

⎡ ⎤+ ⋅ − −⎣ ⎦

E D

E D

E D

E D

E D E D

E D D

H

:يا

)9.102(

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

*1 11 00

*10 01

*11 00

*10 01

1 1ˆ, 0 1 1 0

10 0 1 1

cos 0 1 1 0

cos 0 0 1 1

t t t t t

t t t

t t t g g

t g t g t

ρ ρ ρ

ρ ρ

ω ρ ρ

ω ρ ρ

⎡ ⎤= − ⋅ −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⋅ − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

E D D

E D D

H

:آيد بدست مي) 9.94(در ) 9.101(و ) 9.97(گذاري با جاي


)9.103( ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

10 01 10

*11 00

*10 01

ˆ 0 1 1 0

cos 0 1 1 0

cos 0 0 1 1

dt j t t

dt

j t t t g g

j t g t g t

ρ ω ρ ρ

ω ρ ρ

ω ρ ρ

= − +

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

:ديفرانسيل تفكيك كرد و خواهيم داشتي را به چهار معادلهي فوق ، رابطه)9.92(با كمك توان مي

)9.104.1( ( ) ( ) ( ) ( )*00 10 01cos

dt j t g t g t

dtρ ω ρ ρ⎡ ⎤=+ −⎣ ⎦

)9.104.2( ( ) ( ) ( ) ( )*11 10 01cos

dt j t g t g t

dtρ ω ρ ρ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

)9.104.3( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]01 10 01 11 00cosd

t j t jg t t tdt

ρ ω ρ ω ρ ρ= − + −

)9.104.4( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]*10 10 10 11 00cos

dt j t jg t t t

dtρ ω ρ ω ρ ρ= + − −

:آوريم بدست مي) 9.93(ي از رابطه

)9.105( ( ) ( )00 11 0d d

t tdt dt

ρ ρ+ =

)نيز توجه داريم كه .در توافق است) 9.104.2(و ) 9.104.1(وضوح با روابط كه به ) ( )*10 01t tρ ρ=

براين مستقل ديگر تبديل شده و بنا با تزويج مختلط به يك) 9.104.4(و ) 9.104.3(ي و لذا دو معادله

:رسيم ميي جديدي به معادله) 9.104.2(و ) 9.104.1(از تفريق چنين هم. نيستند

)9.106( ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )*11 00 10 012 cos

dt t j t g t g t

dtρ ρ ω ρ ρ⎡ ⎤− =− −⎣ ⎦

دهد كه مستقال ميارز همتشكيل دو دستگاه ) 9.104.4(يا ) 9.104.3(به همراه ) 9.106(ي معادله

:دستگاه اول عبارتست از. قابل حل هستند

)9.107(

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

*11 00 11 00

01 0110

*01

0 2 cos

cos

2 cos

0

t t t tg tdj

t tdt g t

g t tj

ρ ρ ρ ρω

ρ ρω ω

ω ρ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)دستگاه دوم تنها با كمك ) ( )*10 01t tρ ρ= در اين مرحله . آيد و فاقد اطالعات جديد است بدست مي

.به تنهايي حاوي تمام اطالعات ضروري براي شناخت سيستم خواهد بود) 9.107(حل

فصل نهم 199

تحليل پذيرفتاري. 9.6.3

)كنيم براي وارد كردن اثر اتالف ابتدا تعريف مي ) ( ) ( )11 00t t tζ ρ ρ= و −

( ) ( ) ( )01 expt t j tρ ξ ω= :كنيم را به صورت زير بازنويسي مي) 9.107(سپس . −

)9.108(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

*

10

1*

1

0 2 cos

cos

02 cos

0 0

j t

j t

j t

t tg t edj

t tdt g t e

tg t e tj

t

ω

ω

ωζ

ξ

ζ ζω

ξ ξω ω ω

τ ζ ζω ξ

τ ξ ξ

−

+

−+

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

)هاي زماني متناظر با بازگشت توابع ثابت ξτو ζτ در اينجا )tζ و( )tξ به مقادير تعادلζ وξ

ξو ζمقادير تعادل .شوند هاي واهلش ناميده مي و زمان در اثر قطع تحريك توسط نور ليزر هستند

كه چنين ميانگيني ] 3[توان نشان داد مي. ها هستند هاي آماري روي تمام اتم در حقيقت ميانگين

گر هاي غيرقطري عمل كنش تصادفي دارند، روي درايه ها كه با يكديگر برهم براي تعداد بسياري از اتم

ij,0يابد، يعني به صفر كاهش مي ها هاي مخرب توابع موج اتم چگالي به دليل تداخل i jρ = ≠ .

0ξبنابراين خواهيم داشت توان يافت كه جمالتي حاوي مي) 9.108(از طرفي با اندكي دقت در .=

قابل به خاطر تغييرات بسيار سريع ±2ωجمالت . در آن وجود دارد ±2ωهاي صفر و بسامد

وان مجددا ت را مي) 9.108(در نتيجه . روند گيري زماني به سرعت از بين مي زيرا در انتگرال ،اند اغماض

:بازنويسي نمود و نوشت

)9.109( ( )

( ) ( )

( )

( )

( )1 * 1*

112 10

00

t tjg tdjg

t tdt jg j

ζ ζ

ξ

ζ ζτ τ ζξ

ξ ξτ ω ω

− −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

ي پاسخ دائمي آن كافي براي محاسبه. داراي يك پاسخ گذرا و يك پاسخ دائمي است) 9.109(دستگاه

0dدهيم است قرار dt :آيد با انجام اين كار بدست مي. =

)9.110( ( )

1 * 1*

112 10

00

jgjg

jg j

ζ ζ

ξ

ζτ τ ζξ

τ ω ω ξ

− −

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦


استفاده ) 9.110(ي دوم از معادلهچنين هم .معرف مقادير دائمي هستند ξو ζي فوق، در رابطه

:شود كه مي

)9.111( ( )110

2jj

g ξζ τ ω ω ξ−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

:خواهد بود) 9.110(ي اول و معادله

)9.112( *2 Im gζζ τ ξ ζ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

ζدهد كه نشان مي ∈ R )خواهيم داشت) 9.112(در ) 9.111(گذاري با جاي). چرا؟:

)9.113( ( )

*2

110

Imj

gjζ

ξ

ζζ τ ζ

τ ω ω−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

:يا

)9.114( ( )

( ) 2

11022

10

Img

j jζξ

ξ

τζ τ ω ω ζ ζ

τ ω ω−

−⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦+ −

:آيد بنابراين بالفاصله بدست مي

)9.115( ( )

21

2210

gζ ξ

ξ

τ τζ ζ ζ

τ ω ω

−

−= +

+ −

:داراي حل زير است) 9.111(همراه با كه

)9.116.1( ( )

( )( )

121

2210

2210

2 2210

1

1

1

g

g

ζ ξ

ξ

ξ

ξ ζ ξ

τ τζ ζ

τ ω ω

τ ω ωζ

τ ω ω τ τ

−−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −=

+ − −

)9.116.2( ( )( )

102 22

10

1

2 1

jjg

gξ

ξ ζ ξ

τ ω ωξ ζ

τ ω ω τ τ

+ −= −

+ − −

0gكنش ميدان و اتم يعني شود كه با صفر كردن برهم ي فوق ديده مي در رابطه ، يا زمان واهلش =

ξτنهايت بي → ζ، خواهيم داشت ∞ ζ= .گر آن است كه اصوال قطبيدگي در محيط اين بيان

.شود پديدار نمي

فصل نهم 201

)ي پذيرفتاري اكنون براي محاسبه )χ ω و تعريف ) 9.98(، )9.92(، )9.90(با كمك ابتدا

( ) ( )01 expt j tρ ξ ω= :نويسيم مي) 9.108(در −

)9.118(

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 1 0 1

10 10

* *0 1 0 1

* *0 1 01 0 1 10

01 01 10 10

* *

0 1 0 1

exp exp

j t j t j t j t

j t j t

t t t

b t e b t e b t e b t e

b t b t e b t b t e

t t

j t j t

ω ω ω ω

ω ω

ψ ψ

ρ ρ

ξ ω ξ ω

+ + − −

+ −

=

= + +

= +

= +

= − + +

D

D D

D D

D D

D

D

2Nآيد بدست مي) 9.77(بنابراين از ξ=P D . خواهيم داشت ) 9.78(حال با استفاده از

( )0 2Nε χ ω ξ=E D ، 10كه با كمك تعريفω = Ω دهد نتيجه مي:

)9.119(

( )

( )( )

( ) ( )( )

20

2 220

2

2 220

2

ˆ

1

ˆ

1

NE

jeNg

E g

jN e

g

ξ

ξ ζ ξ

ξ

ξ ζ ξ

χ ω ξε

τ ωζ

ε τ ω τ τ

τ ωζ

ε τ ω τ τ

⋅=

−Ω −⋅=

+ −Ω −

−Ω −⋅=

+ −Ω −

E D

D

D

gداريم ) 9.42.2(استفاده شده است، و نيز طبق ) 9.116.2(كه در آن از = ⋅E D. پس اجزاي

:ي اول عبارتند از حقيقي و موهومي پذيرفتاري مرتبه

)9.120.1( ( ) ( )

( )( )( )0 02 222 2

Re1 1g

ξ ξ

ξ ζ ξ ξ

τ ω τ ωχ ω χ χ

τ ω τ τ τ ω

−Ω −Ω= ≈

+ −Ω − + −Ω

)9.120.2( ( ) ( ) ( )0 02 222 2

1 1Im

1 1gξ ζ ξ ξ

χ ω χ χτ ω τ τ τ ω

= ≈+ −Ω − + −Ω

)9.120.3( ( )20

0

ˆN eχ ζ

ε⋅

=D

نيز جزء حقيقي . كه در آن عالمت تقريب تحت شرايط ميدان الكترومغناطيس ضعيف صحيح است

)پذيرفتاري ) Re χ ω ضمن عبور از بسامد گذار اتميΩ دهد و در همين لحظه، تغيير عالمت مي

)جزء موهومي آن ) Im χ ω به سادگي . رسد ي خود مي كه معرف اتالف محيط است به بيشينه

)توان ديد كه هر دوي مي ) Re χ ω و( ) Im χ ω در حدω → .رسند به صفر مي ∞+


:مراجع[1] A. Yariv, Quantum Electronics, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York, 1986.

[2] A. H. Sadeghi, A. Naqavi, and S. Khorasani, “Interaction of quantum dot

molecules with multi-mode radiation fields,” Scientia Iranica, vol. 17, no. 1, pp.

59-70 (2010).


:تمرين

:را بصورت زير بازنويسي كنيد) 9.13(حل - 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp expE t E t E t E j t E j tω ω+ −≈ + = + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp expt t t j t j tψ ψ ψ ω ψ ω ψ+ −≈ + = + + −

)براي زوج )9.7(گذاري در و ضمن جاي )E t+ و( )tψ+ يا ،( )E t− و( )tψ− ميزان

شود؟ خطا از كدام جمالت ناشي مي. صحت آن را ارزيابي و مورد نقد قرار دهيد

.است) 9.1(حلي دقيق از ) 9.22(نشان دهيد - 2

.الزم است) 9.23.1(براي برقراري شرط بهنجارش كت حالت ) 9.33(نشان دهيد - 3

:را قطري كند، يعني Gماتريس Rمانند فرض كنيد يك تبديل متعامد) 9.44(در - 4

[ ]1m nmF δ−= =F R GR

:نشان دهيد خواهيم داشت

( ) ( ) ( )1 exp 0m nmt jF t δ− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B R RB

)ماتريس ) 9.43(ثابت كنيد در - 5 )tG هاي قطري و بنابراين داراي رد صفر است فاقد درايه .

)نتيجه بگيريد كه نرم بردار )tB اين از نظر فيزيكي چه . شود در گذشت زمان عوض نمي

اهميتي دارد؟

:داراي حل تقريبي به فرم زير باشد) 9.45(ي فرض كنيد مسئله - 6

فصل نهم 203

( ) ( ) ( )0

exp 0t

t j s ds⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫A G A

)بديهي است كه ) ( )0 0=A B . نشان دهيد همواره تبديلي يكاني( ) ( )† 1t t−=V V

) اي كه وجود دارد به گونه ) ( ) ( )t t t=B V A .ي ديفرانسيلي را بيابيد كه با حل آن معادله

)بتوان اين تبديل يكاني )tV اهميت وجود اين تبديل در آن است كه اگر آن را به . را يافت

)نحوي داشته باشيم قادر خواهيم بود از جواب تقريبي )tA به جواب دقيق( )tB برسيم.

.شود تبديل مي) 9.45(مجددا به حل ) 9.46(به همراه ) 9.49(نشان دهيد حل كامل - 7

:داريم) 6.118(بندي ماتريس انتقال تفاضلي طبق صورت در - 8

( ) ( ) ( )d x x x dx=A U A

ي فوق را به شكل توان حل رابطه ، مي8.4نشان دهيد شبيه به روش اختالل بازگشتي بخش

:زير نوشت

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2x x x x= + + +A A A A

:كه در آن داريم

( ) ( ) ( )

2

1

1 2

x

l l

x

x s s ds+ = ∫A U A

)ضمنا ) ( )0 1x x=A A. 1حال فرض كنيد 0x ي اول اي براي حل مرتبه ، و رابطه=

( ) ( ) ( )0 1x x x≈ +A A A ي دوم و مرتبه( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2x x x x≈ + +A A A A بيابيد.

:با استفاده از اتحاد - 9

( )2 122

sin

2

xt tdx

xπ+∞

−∞

=∫

.را بدست آوريد) 9.71(ي رابطه

دو يا سه تراز انرژي موثر وجود ،هاي كوانتومي ها و نقاط و چاه ي اپتيك اتم عموما در مطالعه -10

با در نظر . توان از تاثير ساير حاالت موجود چشم پوشيد دارند و با تقريب خيلي خوب مي

هاي ها نشان دهيد براي اتمي كه داراي سه تراز انرژي موثر با انرژي گرفتن تقارن


, 0,1,2mE m *هاي گذار و دوقطبي =mn nm e m n= =D D R است، حداكثر سه

01وجود دارد كه به ترتيب با روابط Ξ، يا Λ ،Vمعروف به آرايش =D 0 ،12 =D ، و 0

02 =D . شوند مشخص مي 0

aهاي ، انرژيbو aبا حاالت يك اتم دوترازه -11 aE ω= وb bE ω=با دوقطبي ، و

*گذار غير صفر ab ba=D D ي اول اتم را نسبت به پاسخ اختاللي مرتبه. گيريم در نظر مي

:تحريك با دو موج ايستاي الكترومغناطيس به فرم

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2* *1 1 1 12 2 2 21 2 1 1 2 2

j t j t j t j tt t t e e e eω ω ω ω− + − += + = + + +E E E E E E E

هاي دلخواه و فاز بردارهايي مختلط با راستا 2Eو 1Eفرض كنيد فازورهاي . محاسبه نماييد

)ي آغازين در حالت بهنجار و اتم در لحظه باشند )0 a bψ α β= قرار داشته +

22اي كه باشد، به گونه 1α β+ ي اول خطي نسبت به اختالل مرتبهآيا رفتار اتم . =

)است؟ يعني پاسخ اتم )tψ هاي منفرد را از جمع پاسخ( )1 tψ و( )2 tψ نسبت به

( )1 tE و( )2 tE ي دوم نيز داراي رفتار خطي است؟ توان بدست آورد؟ آيا پاسخ مرتبه مي

.نماييد ي قبلي استخراج را از مرحله) 9.88(روابط -12

گر چگالي سيستم دلخواهي با كت در حقيقت براي هر عمل) 9.93(ي نشان دهيد رابطه -13

)بهنجار )tψ براي اين منظور . برقرار است( )tψ گر هماهنگ، هاي نوسان را روي پايه

. هاي متعامد كامل ديگر بسط دهيد يا هر مجموعه كت

)نشان دهيد 13با كمك تمرين -14 ) 2ˆ0 tr 1tρ< عالمت ]. 3[همواره برقرار است ≥

گردد؟ تساوي كي محقق مي

، در حالت كلي eبه راستاي ميدان 0χبه خاطر وابستگي ) 9.120(نشان دهيد در -15

)پذيرفتاري )χ ω هاي اين تانسور را بيابيد مولفه. يك تانسور استگرد بوده و لذا سان ناهم.

)اجزاي حقيقي و موهومي پذيرفتاري -16 )χ ω را در نزديكي بسامد تشديدΩ ترسيم نماييد.

فصل نهم 205

)براي تابع تحليلي مختلط و دلخواه -17 ) ( ) ( )r ijα ω α ω α ω= - ، زوج معادالت كرامرز−

:براي اين منظور ابتدا زوج تبديالت هيلبرت را بدست آوريد. كرونيگ را اثبات كنيد

( )( )1

P.V. ir d

α ϖα ω ϖ

π ϖ ω

+∞

−∞

= +−∫

( )( )1

P.V. ri d

α ϖα ω ϖ

π ϖ ω

+∞

−∞

= −−∫

)اگر تابع )α ω داراي خاصيت تقارن زماني( ) ( )*α ω α ω− باشد، نشان دهيد روابط =

:آيند كرونيگ بدست مي-مشهور كرامرز

( ) ( )2 2

0

2P.V.r i d

ϖα ω α ϖ ϖ

π ϖ ω

∞

=−∫

( ) ( )2 2

0

2P.V.i r d

ωα ω α ϖ ϖ

π ϖ ω

∞

=−∫

در روابط )9.120(طبق اجزاي حقيقي و موهومي پذيرفتاريگذاري مستقيم با جاي -18

.شوند ارضا ميكرونيگ -، نشان دهيد معادالت كرامرز17ي مسئله

تنها يكي از حاالت رايج . ترازه انجام دهيد ي پذيرفتاري را براي يك اتم سه ي محاسبه مسئله -19

Λ ،V يا ،Ξ نماييدو تحليل انتخاب 10ي را مطابق مسئله.

ي ميدان الكتريكي به آهستگي از صفر شود كه دامنه دررو بدين صورت تعريف مي تقريب بي -20

tدر زمان → را به شكل زير اصالح ) 9.2(ي بدين منظور رابطه. يابد افزايش مي ∞−

:كنيم مي

( ) ( )[ ] ( )[ ]†1 1 1exp expt j j t j j tω δ ω δ= − + + + −H H H

0δكه در آن ي شرايط اوليهبا . →+

( )

( )

( )

( )[ ]

0

1

02

1

0

0 n

b

b

bδ

⎡ ⎤−∞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−∞ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

B


t، و فرض مبدا زماني در )9.43.4(به جاي → ، محاسبات اختاللي فرآيندهاي مراتب ∞−

در پايان محاسبات قرار . تكرار كنيد 9.4.2و 9.4.1هاي اول و دوم را با اقتباس از بخش

0δدهيد دارند؟) 9.66(و ) 9.53(هاي دررو چه فرقي با جواب هاي بي ابجو. =

و توزيع ζبا توجه به تعريف پارامتر 0χي نشان دهيد عالمت جمله) 9.120(ي در رابطه -21

:حرارتي بولتزمان تحت تعادل ترموديناميك

( )( )

111

00 0

exp

exp

E kT

E kT

ρρ

−=

−

1و ضمن در نظر داشتن 0E E> چنين هم. منفي استζ در نتيجه . را محاسبه كنيد

)خواهيم داشت ) Re 0 0χ >.

، در حالت eبه راستاي ميدان 0χبحث شد، به خاطر وابستگي 15طور كه در تمرين همان -22

)كلي پذيرفتاري )χ ω 9.6اتالف بخش خواهيم با كمك مدل بي مي. يك تانسور است ،

. گرد است سان هم الكتريك ديدهد و نشان دهيم كه معموال در عمل اين وضعيت رخ نمي

1براي اين منظور گذار 2s p↔ 2 اربيتال. مانند در نظر بگيريد ا در يك اتم هيدروژنرp با

2nاعداد كوانتومي = ،1l ,1,0، و = 1m =− شود و بنابراين داراي مشخص مي +

:هاي مشهور محوري اربيتال، اربيتالبا تركيب خطي اين سه .ي سه است تبهگني درجه

1 12 2

2 2

,1, 0

,1, 1 ,1, 1

,1, 1 ,1, 1

x

y

j jz

np n

np n n

np n n

=

= + + −

= + − −

1هاي فرض كنيد دوقطبي. آيند بدست مي 2x xs p=D D ،1 2y ys p=D D و ،

1 2z zs p=D D نشان دهيد بنا بر مالحظات هندسي داريم . هر سه غير صفر باشند2 21

3i j i ij ijD Dδ δ⋅ = =D D . ي جديدي را تكرار كنيد و رابطه 9.6حال محاسبات بخش

)براي ) ( )1χ ω حال گردي هنوز وجود دارد؟ سان آيا ناهم. بدست آوريد) 9.88.1(به جاي

.گرد بازنويسي نماييد سان را براي محيط هم) 9.120(گذاشته و ) 9.120.3(نتيجه را در

فصل دهم 207

همد فصل

سپينا

. ي توصيف آن در مكانيك كوانتومي اختصاص دارد ي اسپين و نحوه معرفي پديدهاين فصل به

رود و ميي شرودينگر براي ذرات غير نسبيتي بكار ديديم، معادله 8.2.2طور كه قبال در بخش همان

بنابراين نسبت به تبديالت لورنتز كه مختصات يك ذره را در يك چارچوب متحرك و لخت نسبت به

در نتيجه براي ذرات غير نسبيتي ممكن است . كند ناوردا نيست يك چارچوب مرجع بيان مي

يح غير بخشي از جابجايي انرژي در اثر اين تصح. تصحيحاتي در توابع موج و انرژي ذرات ضروري باشد

مطالعه كرديم و نشان داديم كه منجر به 8.2.2.1نسبيتي در اتم هيدروژن را به عنوان مثال در بخش

ي نگرش به اما اين شيوه .گردد هاي ترازهاي همانند مي ي تبهگني در انرژي اوربيتال كاهش درجه

v هاي غير نسبيتي مسائل كوانتومي تنها براي ذرات داراي سرعت c صحيح است، و با تبديالت

در حالتي كه تقريب در توصيف نسبيتي وجود نداشته باشد، . گاليله به جاي تبديالت لورنتز توافق دارد

اي به وجود ي زاويه تكانه ساي موسوم به اسپين و از جن ديراك براي اولين بار نشان داد كه پديده

ي ذراتي با جرم الكترون ولي با بار مثبت و انرژي منفي بدست چنين او يك دسته جواب برا هم. آيد مي

ها ها مشاهده شدند و نام پوزيترون بدان ها را غيرفيزيكي ناميد، ولي بزودي در آزمايش آورد كه ابتدا آن

.ذرات بنيادي وجود دارند، كه موسوم به پادذرات هستند، براي تمام ها جواب دستهاين . اطالق گرديد

اسپين 208

مكانيك كالسيك. 10.1

بديهي است كه . فرض كنيد كه ناظر يك پديده در يك چارچوب مرجع و در مبدا آن ايستاده باشد

ي ناظر و چارچوب تحت تاثير نيروي اگر مجموعه. كند ناظر اين چارچوب مرجع را ساكن مشاهده مي

:آن ي ناميم، زيرا شتاب آن صفر است و بنابراين تكانه قرار نداشته باشد آن را لخت مي F خارجي

)10.1( dm m

dt= =p v r

توان مي. بردار سرعت آن است vو بردار مكان، r، جرم ذره m، كه در آن در زمان ثابت است

]:1[ي قانون دوم نيوتن را براي اين سيستم بدين صورت نوشت معادله

)10.2( ddt

=F p

0d، داريم F=0شود كه براي سيستم لخت با جا مشاهده مي ايناز dt =p و بنابراينp برداري

نسبت به زمان كميتي ثابت باشد mفرض كرد كه اگر جرم نيوتن ) 10.2(در توصيف . است ثابت

:گاه خواهيم داشت آن

)10.3( d d d dm m m

dt dt dt dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = + =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

F p v v v

ي او گذاشت، زيرا امروزه العاده اين احتياط نيوتن در ثابت پنداشتن جرم را بايد به حساب نبوغ خارق

العاده هاي غير نسبيتي با دقت فوق هاي داراي سرعت دانيم اين فرض در حقيقت براي سيستم مي

)توان پتانسيلي مانند پايستار باشد، مي Fاگر ميدان نيروي . خوبي برقرار است ),U tr را يافت به

):چرا؟(اي كه گونه

)10.4( U= −∇F

ي ارنفست قضايا. 10.2

ي دارند كه در مكانيك كوانتومي غير نسبيتي، كه بر اساس معادله بيان مي ]2[ قضاياي ارنفست

ي شرودينگر براي اين منظور معادله .برقرارند) 10.4(و ) 10.1(شود، روابط بندي مي شرودينگر صورت

. در نظر بگيريد χرا با كت حالت ) 3.18(

فصل دهم 209

:عبارتست از vداشتي بردار سرعت مقدار چشم :1قضيه

)10.5( ddt

χ χ χ χ= =v V R

:داريم) 7.76(از :اثبات

)10.6( [ ]

( )

[ ] ( )[ ]

,

, , ,2

d jdt

j

j jU t

m

=

= −

= ⋅ +

R H R

HR RH

P P R R R

)بديهي است كه )[ ], , 0U t =R R و بنابراين:

)10.7( [ ],2jm

= ⋅V P P R

:آوريم بدست مي 2و تمرين ) 2.24(با كمك براكت پواسون اما

)10.8( [ ], 2 j⋅ = −P P R P

:پس خواهيم داشت

)10.9( 1m

=V P

.ي اول ارنفست است اين پايان اثبات قضيه .شود تاييد مي) 10.5(جا صحت كه از آن

dداشتي نيرو مقدار چشم :2قضيه dt=F p عبارتست از:

)10.10( ( ),U tχ χ χ χ= = − ∇F F R

:داريم) 7.76(مجددا از :اثبات

)10.11( [ ]

( )

[ ] ( )[ ]

,

, , ,2

d jdt

j

j jU t

m

=

= −

= ⋅ +

P H P

HP PH

P P P R P

]بديهي است كه ], 0⋅ =P P P و بنابراين:

)10.12( ( )[ ], ,d j

U tdt

=P R P

اسپين 210

:خواهيم داشت 3و با كمك تمرين ) 2.24(با كمك از براكت پواسون

)10.13( ( )[ ] ( ), , ,U t j U t= ∇R P R

ˆكه در آن داريم ˆ ˆx y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇ = + +X Y Z .پس خواهيم داشت:

)10.14( ( ),d

U tdt

= = −∇F P R

تاييد ) 10.4(براي ميدان پايستار ) 10.3(و لذا قانون دوم نيوتن ) 10.10(جا صحت از اين

.اين پايان اثبات قضيه است. شود مي

تبديالت مختصات. 10.3

. گر چارچوب لخت ديگري است ، نظاره1rمختصات بردار با فرض كنيد ناظر لخت در چارچوب مرجع

. هستند uمانند اختالف سرعت نسبي يك اند، داراي در اين شرايط چون هر دو چارچوب فاقد شتاب

مبدا دهد و در رخ مي 2rبا بردار مختصات اي كه در چارچوب دوم يا چارچوب پديده بنابراين پديده

. است uسرعت رسد، در چارچوب دوم داراي آن ساكن بنظر مي

گردي و يا تقارن كروي سان توان با استداللي نسبتا ساده نشان داد كه مشروط به امكان وجود هم مي

عد چهارم اين گر زمان را باحال . ]3[ سه بعد مكاني استدر انتشار موج، فضا داراي دقيقا يك يا

)اي مثل توان بردار چهارگانه ، ميها فرض كنيم چارچوب )1 1 1,t=S r و( )2 2 2,t=S r

به ترتيب براي

1ي آغازين اگر در لحظه .هاي مرجع و پديده تعريف كرد چارچوب 2 0t t= ، دو چارچوب داراي =

1مبدا يكسان بوده باشند خواهيم داشت 2=r r 1و لذا 2=s s . تبديالتي كه اين دو بردار را در هر

در هر دوي مقوالت فيزيك كالسيك و . شوند دهند، تبديالت مختصات ناميده مي لحظه به هم ربط مي

. نسبيتي، چنين تبديالتي وجود دارند، ولي همانند نيستند

تبديالت گاليله. 10.3.1

. دو چارچوب همواره يكسان استتبديالت گاليله بر اين اصل استوار است كه گذشت زمان در هر

1بنابراين با تعريف يك زمان مرجع واحد كه شرط 2 0t t= ي تالقي مبداهاي دو را براي لحظه =

1در چارچوب ناظر و پديده 2=r r 1داريم ،راضي كند 2t t t= :پس خواهيم داشت .=

فصل دهم 211

)10.15.1( 1 2 t= +r r u

)10.15.2( 1 2t t t= =

)دهد كه نشان مي )1 2 , 0 t= +S S u. در حالت كلي با گذشت زمان بردارهاي مكان نيز مسير

)كنند كه با بردارهاي پارامتري مشخصي را ترسيم مي )1 tr و( )2 tr توجه كنيد . شوند مشخص مي

1اي مانند ها در لحظه زماني چارچوب كه در تبديالت گاليله، به شرط هم 2 0t t= يك t، زمان =

) 2.1(ي تحول در معادله ζتوان متغيري مستقل مانند را مي tبنابراين زمان . پارامتر جهاني است

.فرض كرد

تبديالت لورنتز. 10.3.2

1زماني در تبديالت لورنتز شرط هم 2 0t t= ي تالقي مبداهاي دو چارچوب را تنها براي لحظه =

1در ناظر و پديده 2=r r 1داريم براي ساير لحظات در حالت كلي . توان پذيرفت مي 2t t≠. اين

نگرش مبين آن است كه هر چارچوب داراي زمان مخصوص به خود است و در واقع زمان به راستي

ي بعد ي زمان به مثابه شايان ذكر است كه اولين كسي كه ايده .زمان خواهد بود- بعد چهارم فضا

].4[ي مطرح كرد، مالصدرا، فيلسوف شهير ايراني است چهارم را بطور تلويح

ي نسبيت توسط شخص لورنتز براي حفظ سازگاري با معادالت تبديالت لورنتز پيش از پيدايش نظريه

فرض . ماكسول بدست آمده بودند، ولي تعبير كاملي از اين تبديالت در آن هنگام هنوز وجود نداشت

:]5[ گاه تبديالت لورنتز عبارتند از آن .باشد cكنيد سرعت نور در خالء

)10.16.1( ( )1 2 2 2tγ⊥= + +r r r u

)10.16.2( 1 2 22

1t t

cγ⎛ ⎞⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

u r

)10.16.3( ( )2 2 2

1 1

1 1 u cγ

β= =

− −

uكه در آن = u. چنين هم:

اسپين 212

)10.17.1( ( )21

2 2 2u⊥ = − ⋅r r r u u

)10.17.2( ( )21

2 2u= ⋅r r u u

2دهد كه نشان مي 2 2⊥= +r r r. 1در تقريب غير نسبيتي وقتي داريمβ تبديالت لورنتز ،

.گردند باز مي) 10.15(به تبديالت گاليله ) 10.16(

ي شرودينگر تحت تبديالت لورنتز ناوردا نيست، توان ديد كه معادله مي) 10تمرين (با اندكي محاسبه

هاي دارد قوانين فيزيك در چارچوب ي فيزيك است كه بيان مي و اين خالف يكي از اصول موضوعه

ي شرودينگر براي ذرات نسبيتي پس يا تبديالت لورنتز كلي نيستند، و يا معادله. لخت همانند هستند

- ي كالين براي رفع اين تناقض ابتدا معادله. ي اخير صحيح است انيم كه نتيجهد صحيح نيست؛ مي

].6[ي ظهور گذاشتند ي ديراك پا به عرصه گوردون و سپس معادله

از . سازي واحدهاي مكان و زمان است بندي مكانيك نسبيتي، يكسان ي ديگر در صورت نكته

داريم، موجه است كه بعد فيزيكي همانندي را پن كه زمان را همانند بعد چهارم فرض مي جايي آن

:توان نوشت بدين منظور مي. نسبت به مكان براي آن اتخاذ كنيم

)10.18( ( ) ( )1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,t x x x x x x x x x x x x jctt= = = + + + = +R r r

4كه در آن ˆ ˆt x= ي ي چهارم توسط رابطه بديهي است كه مولفه. ي محور زمان است بردار يكه

)10.19( 4x jct=

ي محورها چنين بردارهاي يكه هم. ارز مكان موهومي است دهد زمان، هم شود، كه نشان مي داده مي

:متعامد بهنجارند، يعني

)10.20( ˆ ˆ , , 1 4m n mnx x m nδ= =

:عبارتست از Rي طول بردار چهارگانه

)10.21( 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4R x x x x r c t= = ⋅ = + + + = −R R R

فصل دهم 213

گوردون-ي كالين معادله. 10.4

سازگار باشد، ) 10.17(بخواهيم برپا كنيم كه با تبديالت لورنتز ) 2.4(مانند ي تحولي چه معادله چنان

را با كمك ) 8.39(ي بدين منظور معادله .شود گوردون ختم مي-ي كالين ترين حدس، به معادله ساده

:را به صورت Eگر انرژي كه عمل) 2.4(ي رابطه

)10.22( jt∂

=∂

E

:را بصورت pحركت گر اندازه كه عمل) 2.6(ي و رابطه

)10.23( j j∂

= − = − ∇∂r

p

):8.39(گري مشابه ي عمل زنند، از رابطه حدس مي

)10.24( 2 2 4 2 2m c c= +E p

:در نتيجه خواهيم داشت. كنيم استخراج مي

)10.25( ( ) ( ) ( )2 2 4 2 2, ,t m c c tψ ψ= +r rE p

:يا

)10.26( ( ) ( ) ( )2

22 4 2, ,j t m c c j tt

ψ ψ⎛ ⎞∂ ⎡ ⎤⎟⎜ = + − ∇⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎣ ⎦⎝ ⎠∂

r r

:باشد گوردون مي- ي كالين كه همان معادله

)10.27( ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 2 22

, ,t c m c tt

ψ ψ∂

= ∇ −∂

r r

گر مربع يا براي اين منظور عمل. توان بازنويسي كرد ميگوردون را به شكل جالبي - ي كالين معادله

:گراديان چهارگانه

)10.28( 1 2 3 4

1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 ˆ

x x x xx x x x

j tc t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

= ∇−∂

R

:در نتيجه خواهيم داشت. كنيم را تعريف مي

اسپين 214

)10.29( ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2, , ,c t mc t E tψ ψ ψ= =r r r

) 10.23(توان در قياس با در نهايت مي .انرژي متناظر با جرم در حال سكون ذره است Eكه در آن

:حركت چهارگانه گر اندازه عمل

)10.30( j= −P

:را تعريف كرد و نوشت

)10.31.1( ( ) ( )2 2, ,t P tψ ψ=r rP

)10.31.2( 2

22

EP

c=

Pكه در آن E c= ي مفهوم فيزيكي وجود دو ريشه. است Pحركت گر اندازه ي عمل مقدارويژه ±

.ي ديراك تبيين خواهد گرديد مثبت و منفي توسط معادله

هاي گوردون عليرغم زيبايي و سادگي فراوان، داراي يك اشكال اساسي است،كه پاسخ- ي كالين معادله

:توان نشان داد كه در حالت كلي داريم زيرا مي .آن قابل بهنجارش نيستند

)10.32( ( ) 2 3, 0t d rt

ψ∂

≠∂ ∫∫∫ r

)شود كه نتوان تعبير توزيع مكاني چگالي احتمال را به تابع اين ويژگي نامطلوب موجب مي ) 2,tψ r

بندي گذاري صورت ي ديراك با غلبه بر اين معضل موفق به بنيان براي اولين بار معادله. نسبت داد

.مكانيك كوانتومي نسبيتي گرديد

ي ديراك معادله. 10.5

تحت اين . است) 10.31(ي دوم از طرفين تر، اخذ ريشه اي ساده يك راه براي دستيابي به معادله

:شرايط خواهيم داشت

)10.33( ( ) ( ), ,t tψ ψ=r P rP

فصل دهم 215

:به بيان ديگر داريم. است ي چهارگانه يك بردار Pحركت اندازه ي توجه كنيد كه مقدارويژه

)10.34.1( ( ) ( )1 ˆ , ,j j t t tc t

ψ ψ⎛ ⎞∂ ⎟⎜− ∇− =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂

r P r

)10.34.2( 1 1 2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆPx P x P x P x= + + +P

:زمان است- در فضا) 2.6(تحول ي ارز معادله ي برداري در حقيقت هم اين معادله

)10.35( ( ) ( )jψ ψ∂

= −∂

R RR

P

:را بازرسي كنيم، خواهيم داشت Pاگر بعد چهارم بردار

)10.36( 4P jcm=


)10.37( ( ),m=P p

Pي بردار اندازهكه ] 7[توان نشان داد مي. بعد است حركت معمولي در سه همان اندازه pكه در آن

ي البته بايد توجه داشت كه قاعده. تحت تبديل لورنتز ناورداست) 8تمرين ( Rنيز همانند بردار

) 10.17(نيست، ولي با كمك تبديالت لورنتز Rهمانند بردار فضازمان Pحركت تبديل اندازه

.جداگانه قابل محاسبه است

):چرا؟(ي زير است ارز دو معادله هم) 10.34(ي با اين وصف، معادله

)10.38.1( ( ) ( ), ,t j tψ ψ=− ∇r rp

)10.38.2( ( ) ( ), ,E t j tt

ψ ψ∂

= +∂

r r

:ي اما با توجه به معادله

)10.39( 2E mc=

آنجا ) 10.33(اشكال اصلي .خواني دارند هم) 2.4(با ) 10.38.2(و ) 2.6(دقيقا با ) 10.38.1(ي معادله

)شود كه بخواهيم انرژي پتانسيلي مانند ظاهر مي ) ( ),U U t=R r زيرا . را به طرفين اضافه كنيم

:خواهيم داشت) 10.25(گر و با استفاده از راديكال عملالجرم

اسپين 216

)10.40( ( ) ( ) ( )2 4 2 2m c c Uψ ψ⎡ ⎤± = + +⎢ ⎥⎣ ⎦R RE p R

:كنيم تعريف مي) 2.5(ي تحول مربوطه همانند را با استفاده از معادله Rگر اخير، عمل ي هدر رابط

)10.41( ( ) ( )jψ ψ∂

= +∂

P PP

R

:آيد در نتيجه بدست مي

)10.42( ( ) ( ) ( )2 4 2 2 2j m c c Utψ ψ

∂ ⎡ ⎤± = − ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦∂R RR

ولي ديراك براي اولين . انجامد گر به دشواري مي ي دوم عمل اين روش با توجه به ناشناخته بودن ريشه

:)10.38.2( ي تحول ديراك معادله .ي دوم را بطور صحيح نشان داد بار چگونگي اخذ ريشه

)10.43( ( ) ( )2 2 2c m c jt

ψ ψ∂

+ = +∂

R Rp

ي او در حقيقت توانست نشان دهد كه ريشه. بندي كرد صورت) 2.4(و مشابه با را به شكلي متفاوت

:دوم به شكل زير قابل گسترش است

)10.44( ( ) ( ) ( ) ( )c jt∂

= ⋅ = = +∂

R A R R RH P Eψ ψ ψ ψ

)كه در آن ) ˆ,m jcmt= = +P p pچنين ، و هم A هاي مربع يك بردار چهارگانه از ماتريس

, , ,i i x y z=α وβ عد چهار است كه همگي دارايباشند ميب:

)10.45( [ ]( )

1

21

3

4

,

x

y

cz

jj

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

A

AA

A

A

αα

α β α

β

)واضح است كه )Rψ عد چهار است كه به شكل زير نوشته مي معمولي برداريشود با ب:

)10.46( ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

3

4

;

;

;

;

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

+

+

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ↑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ↓⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥ ↑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ↓⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R R

R RR

R R

R R

ψ

.ترين هستند هاي منحصر بفرد نيستند، ولي از نظر بعد كوچك جواب) 10.46(و ) 10.45(البته

فصل دهم 217

:)10.44(ي برداري ديراك معادلههاميلتوني بنابراين

)10.47( [ ]( ) ( )[ ]

( )

1

2

2

, ,c

x x y y z z

c

c m

c mc

c mc

= ⋅

= − ⋅

= ⋅ +

= + + +

AH P

p

p

p p p

α β

α β

α α α β

اي مزدوج براي توابع ي نرده در حقيقت از چهار معادلهدست كم ) 10.44(ي ديراك معادله. باشد مي

( ), 1 4i iψ =R صحيح باشد، مربع آن بايستي به ) 10.44(براي آن كه .تشكيل شده است

:را نوشت) 10.44(توان مي .مبدل شود) 10.31(يا ) 10.25(گوردون - ي كالين معادله

)10.48.1( ( )− =R 0L ψ

)10.48.2( c − = −L H E

:عبارتست از) 10.48(مربع

)10.49.1( ( )+ − =R 0L L ψ

)10.49.2( c + = +L H E

:پس

)10.50( ( )( ) ( )

( )

2 2

2

x x y y z z

x x y y z z

c c mc

c mc

+ − ⎡ ⎤= + − = + + + + ×⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + −

L L H E H E p p p E

p p p E

α α α β

α α α β

j فرمبا توجه به t= ∂ ∂E و[ ], 0=H E اريمد:

)10.51( ( ) ( )

2 2 2 1

1

x x y y z z

x x y y z z

c mcc

mcc

− = + + + + ×

+ + + −

H E p p p E

p p p E

α α α β

α α α β

:بنابراين

)10.52(( )( )

2 2 2 2 2 2 2

1

x x x y y y z z z

x y y x y x x y x z z x z x x z y z z y z y y z

x x y y z z x x y y z z

x x y y z z x x y y z z

m c c

mc

c

+ − −

−

= + + + −

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + − − −

L L p p p E

p p p p p p p p p p p p

p p p p p p

p E p E p E Ep Ep Ep

α α α α α α ββ

α α α α α α α α α α α α

α β α β α β βα βα βα

α α α α α α

اسپين 218

:داريم) 10.24(از طرفي از

)10.53.1( ( ) 0=RKψ

)10.53.2( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y zm c c m c c− −= + − = + + + −K p E p p p E

:داشتخواهيم ) 10.53.2(و ) 10.52(ي ضمن مقايسه

)10.54( ( )2 2 2c+ − −= = −K L L H E

]و ) 2.15.2(كه با توجه به ], 0, , ,i i x y z= =p E دهد مي:

)10.55( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

x y z

x x x y y y z z z

x y y x x y x z z x x z y z z y y z

x x x y y y z z z

m c c

m c c

mc

−

−

+ + + − =

+ + + −

+ + + + + +

⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

p p p E

p p p E

p p p p p p

p p p

α α α α α α ββ

α α α α α α α α α α α α

α β βα α β βα α β βα

:الزم دارد كه روابط زير برقرار باشند) 10.55(بين طرفين برقراري تساوي

)10.56.1( [ ], 1 4m m I m= =A A

)10.56.2( , 0, , , 1 4m n m n n m n m n m= + = ≠ =A A A A A A

,هاي مجموعه ماتريس 1 4m m =A هاي گاما نيز و ماتريس( را تواما ارضا كنند) 10.56(كه

هاي پايهند از ا هاي ديگر عبارت انتخاببرخي ؛فرد نيستند هبوجود دارند، ولي منحصر) شوند ناميده مي

هاي گاماي موهومي با ماتريس(وراما جديراك، ويل، و ما

هاي وجود انتخاب. )و اسپينورهاي حقيقي

:توان را نوشت ميها را ترين آن ساده. ]8[ گردد متفاوت مي هاي متفاوت منجر به ظهور ذراتي با ماهيت

)10.57.1( [ ]

[ ]

m

mm

m0

, 1,2,30

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Aσ

σ

)10.57.2( [ ] [ ]

[ ] [ ]4

1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 00

0 0 0 1

I

I

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A

:به همراه

فصل دهم 219

)10.58.1( 1

0 1

1 0x

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ σ

)10.58.2( 2

0

0y

j

j

−⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

σ σ

)10.58.3( 3

1 0

0 1z

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

σ σ

داراي هاي پاولي ماتريس .شوند اسپين پاولي ناميده ميهاي ماتريس zσ، و xσ ،yσها كه در آن

:)14تمرين ( زير هستند هاي ويژگي

)10.59.1( , 2x y zj⎡ ⎤ =⎣ ⎦σ σ σ

)10.59.2( , 2y z xj⎡ ⎤ =⎣ ⎦σ σ σ

)10.59.3( [ ], 2z x yj=σ σ σ

:توان نوشت مي) 7.81(با الهام از

)10.60( , 2i j ijk kjε⎡ ⎤ =⎣ ⎦σ σ σ

هاي پاولي داراي ويژگي چنين ماتريس هم .است) 7.82(چيويتا -تانسور لوي شبه ijkεكه در آن

:پادجابجاگر زير هستند

)10.61( [ ], 2i j ij Iδ=σ σ

:كنند و نيز در معادالت زير صدق مي

)10.62.1( 1, , ,i i x y z=− =σ

)10.62.2( tr 0, , ,i i x y z= =σ

اسپينورها. 10.6

ي ديراك توان معادله مي) 10.46(و ) 10.45(چنين ، و هم)10.58(و ) 10.57(توجه به روابط با

:را به فرم ماتريسي كامل آن نوشت) 10.44(

اسپين 220

)10.63(

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

x y z

x y zx y z

Imc

I

jc t

+

−

+

−

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎜ + + + =⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

R

R

R

R

p p pσ σ σ ψ

σ σ σ ψ

ψ

ψ

)كه در آن براي بردارهاي دوتايي )+ Rψ و( )− Rψ موسوم به اسپينور داريم:

)10.64.1( ( )( )

( )

;

;

ψ

ψ

+

++

⎡ ⎤↑⎢ ⎥= ⎢ ⎥↓⎢ ⎥⎣ ⎦

RR

Rψ

)10.64.2( ( )( )

( )

;

;

ψ

ψ

−

−−

⎡ ⎤↑⎢ ⎥= ⎢ ⎥↓⎢ ⎥⎣ ⎦

RR

Rψ

:آيد بدست مي) 10.63(با باز كردن سمت چپ

)10.65( ( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

z x y

x y z

z x y

x y z

mc j

mc jj

j mc c t

j mc

+ +

− −

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦

R R

R R

p p p

p p p

p p p

p p p

ψ ψ

ψ ψ

pحركت در تقريب غير نسبيتي، قدر مطلق اندازه = p در مقايسه باmc خيلي كوچك است، يعني

p mcو خواهيم داشت ،:

)10.66( [ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )

( )

0 10

mc I

mc I c

+ +

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R R

R RE

ψ ψ

ψ ψ

)بنابراين معادالت دو اسپينور )+ Rψ و( )− Rψ شوند و خواهيم داشت از هم تفكيك مي:

)10.67.1( ( ) ( ) ( )2mc E+ + + += + =R R REψ ψ ψ

)10.67.2( ( ) ( ) ( )2mc E− − − −= − =R R REψ ψ ψ

ي اخير مبين وجود دو انرژي مثبت و منفي براي ذراتي با جرم همانند است، و نشان دو معادله

در كنار ذراتي مانند الكترون با انرژي مثبت، پادذراتي با جرم همانند ولي انرژي منفي نيز دهد كه مي

ي قابل تامل آن است كه با جذب عالمت منفي انرژي در جهت زمان به نكته .ته باشندوجود بايد داش

:خواهيم داشت) 10.67.2(جاي

فصل دهم 221

)10.68( ( )

( ) ( )2j mct

− −∂=

∂ −R Rψ ψ

لذا، ضروري است كه بار . كند بنابراين پادذره، همان خود ذره است كه در زمان معكوس حركت مي

به بيان ديگر . باشد، تا جهت حركت معكوس با تبديل بار يكسان شودالكتريكي ذره و پادذره مخالف

اگر جهت حركت همانند در زمان قائل شويم، ذره نسبت به پادذره داراي جرم همانند، بار مخالف و

:داريم) 8.39(چنين از هم .انرژي منفي است

)10.69.1( 2 2E c m c+ = + + ⋅p p

)10.69.2( 2 2E c m c− = − + ⋅p p

)روابط فوق اگر بر حسب توابعي مانند )E+ p و( )E− p رسم شوند، قابل مقايسه با ساختار باند يك

:هادي با گاف مستقيم خواهند بود كه گاف انرژي آن برابر نيمه

)10.70( ( ) ( ) 22g c vE E E E E mc+ −= − = − =0 0

بنابراين رفتار ذره و پادذره به ترتيب بسيار به رفتار الكترون و حفره در نوارهاي هدايت و . است

)ظرفيتي با ساختارهاي نواري )E+ p و( )E− p 10.69(هاي پايين از در انرژي .شباهت دارد (


)10.71.1( ( )12cE Em

+ ≈ + ⋅p p p

)10.71.2( ( )12vE Em

− ≈ − ⋅p p p

:هاي باالتر خواهيم داشت در انرژي. گرد است سان همكه مبين ساختار نواري

)10.72.1( ( )E cp+ ≈ +p

)10.72.2( ( )E cp− ≈ −p

) 10.69(بنابراين . شوند خطوطي صاف مجانب ميبه ) 10.69(دهد نمودارهاي متناظر با كه نشان مي

و ها همانند الكترون. سازد را خاطرنشان مي) هذلولي(ي يك مقطع مخروطي در حقيقت معادله

توانند بازتركيب شده و انرژي حاصله را بصورت يك ها، ذرات و پادذرات مي هادي در نيمه ها حفره

اسپين 222

gEفوتون پرانرژي گاما با انرژي ω= )10.70 (فرآيند معكوس مانند زايش زوج . تابش نمايند

پادذره - حفره در اثر جذب فوتون نيز ممكن است و طي آن يك فوتون گاما به يك زوج ذره-الكترون

:ها عبارتست از ها و حفره چنين سرعت حركت ذره مشابه سرعت گروه الكترون هم .شود مبدل مي

)10.73( ( ) ( )[ ]( )

( )g

Eωω ∂∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

kk pv

k k p

:هاي باال داريم توان ديد كه در انرژي بنابراين به سادگي مي

)10.74( gv c<

.دار است ي وجود محدوديت سرعت نور براي ذرات و پادذرات جرم دهنده كه نشان

گر اسپين عمل. 10.7

به هم به شدت ) 10.65(ي ذرات انرژي نسبيتي دارند، اسپينورهاي ذره و پادذره در معادله كه هنگامي

هاي پايين، اين تزويج به قدري در انرژي ولي. ها ناممكن است شوند و تفكيك رفتار آن مزدوج مي

اين شرايط، معادالت تحت . سازد ي مجزاي ذرات و پادذرات را ميسر مي شود كه مطالعه ضعيف مي

. گيرد هاي اسپينوري شكل مي اند و بنابراين تئوري اسپين بر مبناي ميدان قابل استفاده) 10.67(

اي ي زاويه تكانه برداري گر توان بر مبناي مشابهي با عمل ميرا S گر اسپين بندي كلي عمل صورت

صحيحي از تواند مضرب صحيح يا نيمه مي S گر قدر مطلق اسپين يك ذره بدين منظور عمل .قرار داد

S,اگر .باشد m m= ∈ Z اين در حالي است كه ذرات موسوم . شود گاه ذره بوزون ناميده مي آن

)اند، يعني صحيح ها داراي اسپين نيمه به فرميون )12 ,S m m= ± ∈ Z . ها و فوتونبنابراين

Sها با اسپين فونون = 2Sبا اسپين ) ذرات فرضي حامل ميدان گرانشي(ها ، گراويتون± = ، و ±

sDمزون *3(2860)

Sبا اسپين − 3= ها، از طرفي الكترون. ها تعلق دارند ي بوزون به خانواده] 9[ ±

1ها همگي با اسپين ها، و نوترون پروتون2S = در فصول آينده .ها تعلق دارند ي فرميون به خانواده ±

.راجع به اين مبحث مطالب بيشتري ارايه خواهد شد

فصل دهم 223

1هاي با اسپين براي فرميون )13تمرين (گر برداري اسپين بر مبناي بردار پاولي عملبه سادگي 2±

:قابل تعريف است، و خواهيم داشت

)10.75( ˆ ˆ ˆ2x y zx y z= + +S S S S σ

:هاي زير است داراي ويژگي) 10.62(الي ) 10.60(گر بر اساس روابط اين عمل

)10.76.1( , , , , , ,i j ijk kj i j k x y zε⎡ ⎤ = =⎣ ⎦S S S

)10.76.2( 2

, , , , ,2i j ij i j x y zδ= =S S

هاي براي مولفه) 7.81(كامال با روابط Sگر برداري اسپين هاي عمل براي مولفه) 10.76.1(روابط

حركت دوراني اين خود داللت بر ماهيت شبيه به اندازه. اند يكسان Lاي ي زاويه گر برداري تكانه عمل

:نوشت 2Lاي گر نرده توان ضمن مقايسه با عمل لذا مي .اسپين دارد

)10.77.1( 2 2 2 2x y z= + +S S S S

)10.77.2( 2, 0, , ,i i x y z⎡ ⎤ = =⎣ ⎦S S

) 10.64(با كمك اسپينورهاي تعريف شده در گر اسپين براي عملظاهرا در نگاه اول بايد بتوان

:مقدار ساخت ي ويژه معادله

)10.78( ( ) ( )=R S RSψ ψ

با توجه به تقارن معادالت ذره و پادذره از نمايش ) 10.78(در . است اسپين ي بردارويژه Sكه در آن

). چرا؟(فاقد جواب است ) 10.77(، )10.76.1(ولي طبق روابط . ايم خودداري كرده −و +بر عالمت

:آن تقسيم كرد، و خواهيم داشتاي نردههاي را به مولفه) 10.79(ي برداري توان رابطه در عوض مي

)10.79.1( ( ) ( )x xS=R RS ψ ψ

)10.79.2( ( ) ( )y yS=R RSψ ψ

)10.79.3( ( ) ( )z zS=R RSψ ψ

:داريم) 10.77.2(چنين با توجه به هم

)10.80( ( ) ( )2 2S=R RS ψ ψ

اسپين 224

:آوريم و با مختصري محاسبه بدست مي) 10.75(و ) 10.77.1(بر اساس تعريف

)10.81( 2 23 14

=S

2شود كه مالحظه مي بنابراين 234S )اسپينور ).چرا؟( = )Rψ اي ي نرده از دو مولفه( );ψ ↑R و

( );ψ ↓R تشكيل شده است، كه به ترتيب معرف تابع موج الكترون با اسپين در راستايz+ وz−

:به فرم ماتريسي نگاه كنيم) 10.79.3(ي براي درك اين مطلب، كافي است به معادله. هستند

)10.82( ( )

( )

( )

( )

1 0

0 12 zSψ ψ

ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ↑ ↑⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ↓ ↓⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:عبارتند از) 10.82(ي بديهي است كه اسپينورهاي ويژه

)10.83.1( ( )1

0z

⎡ ⎤⎢ ⎥↑ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

)10.83.2( ( )0

1z

⎡ ⎤⎢ ⎥↓ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

:ي زير هستند كه به ترتيب متناظر با مقادير ويژه

)10.84.1( ( )2zS ↑ = +

)10.84.2( ( )2zS ↓ = −

)پس براي اسپينوري مانند )Rψ توان نوشت مي:

)10.85( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ;z zψ ψ= ↑ ↑ + ↓ ↓R R Rψ ψ ψ

:داريم) 10.79.1(ي از معادلهبه همين ترتيب

)10.86( ( )

( )

( )

( )

0 1

1 02 xSψ ψ

ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ↑ ↑⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ↓ ↓⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:ي كه داراي اسپينورهاي ويژه

)10.87.1( ( )1112x

⎡+ ⎤⎢ ⎥↑ = ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

فصل دهم 225

)10.87.2( ( )1112x

⎡+ ⎤⎢ ⎥↓ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

:ي و مقادير ويژه

)10.88.1( ( )2xS ↑ = +

)10.88.2( ( )2xS ↓ = −

)بنابراين براي اسپينوري مانند .است )Rψ داريم) 10.85(در مقايسه با:

)10.89( ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ); ; ; ;2 2x x

ψ ψ ψ ψ↑ + ↓ ↑ − ↓= ↑ + ↓

R R R RRψ ψ ψ

:نوشت) 10.79.2(توان ضمن رجوع به در نهايت مي

)10.90( ( )

( )

( )

( )

0

02 y

jS

j

ψ ψ

ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ↑ ↑⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ↓ ↓⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:ي ويژهكه داراي اسپينورهاي

)10.91.1( ( )11

2y j

⎡+ ⎤⎢ ⎥↑ = ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

)10.91.2( ( )11

2y j

⎡+ ⎤⎢ ⎥↓ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ

:ي و مقادير ويژه

)10.92.1( ( )2yS ↑ = +

)10.92.2( ( )2yS ↓ = −

)بنابراين براي اسپينوري مانند . است )Rψ داريم) 10.89( و) 10.85(در مقايسه با:

)10.93( ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ); ; ; ;

2 2y y

j jψ ψ ψ ψ↑ − ↓ ↑ + ↓= ↑ + ↓

R R R RRψ ψ ψ

اسپين در فضاي براكت. 10.7.1

:]10[ آيد توان نوشت و بدست مي را در فضاي براكت مي) 10.79(معادالت

اسپين 226

)10.94.1( x x x xS=S SS

)10.94.2( y y y yS=S SS

)10.94.3( z z z zS=S SS

,گر اسپين هاي عمل اما مولفه , ,i i x y z=S ي غير تبهگن ويژه و دو بردارويژه همگي داراي دو مقدار

:خواهيم داشت. شوند متمايز مي ↓و ↑هاي هستند، كه با عالمت

)10.95.1( ; ; , , ,i i i iS i x y z↑↑ = ↑ =S SS

)10.95.2( ; ; , , ,i i i iS i x y z↓↓ = ↓ =S SS

:كه در آن

)10.96.1( , , ,2iS i x y z↑ = + =

)10.96.2( , , ,2iS i x y z↓ = − =

;هاي كت , , ,i i x y z↑↓ =S ها را بر حسب تركيب خطي توان آن ديگر مستقل نيستند و مي از يك

:كنيم حال قرارداد مي. سايرين نوشت

)10.97( ;z↑↓ = ↑↓S

:و بدست خواهيم آورد

)10.98.1( ( )1;

2x ↑ = ↑ + ↓S

)10.98.2( ( )1;

2y j↑ = ↑ + ↓S

)10.98.3( ;z ↑ = ↑S

:و

)10.99.1( ( )1;

2x ↓ = ↑ − ↓S

)10.99.2( ( )1;

2y j↓ = ↑ − ↓S

فصل دهم 227

)10.99.3( ;z ↓ = ↓S

:توان به فرم زير كاهش داد را مي) 10.79(هاي گر در نهايت عمل

)10.100.1( ( )2x = ↑ ↓ + ↓ ↑S

)10.100.2( ( )2y j= ↓ ↑ − ↑ ↓S

)10.100.3( ( )2z = ↑ ↑ − ↓ ↓S

:داريم) 10.80(گر چنين براي عمل هم

)10.101( ( )2

2 34

= ↑ ↑ + ↓ ↓S

)بديهي است اسپينوري مانند )Rψ هاي پايه با كت ψ ي زير خواهد بود داراي رابطه:

)10.102( ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

;

;

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤↑ ↑ ↑⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥↓ ↓ ↓⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R RR R R

R Rψ ψ

,كه از ضرب داخلي با براي فضازمان , ,x y z t=R شود حاصل مي.

گر اسپين در راستاي دلخواه عمل. 10.7.2

داشته باشيم nخواهي مانند ، راستاي دلz، يا x ،yفرض كنيد به جاي تاكيد بر راستاهاي دكارتي

در .را بيابيمي آن گر اسپين در اين راستا و اسپينورهاي ويژه و مقادير ويژه خواهيم عمل مي]. 11[

)دستگاه مختصات كروي ), ,r θ ϕ داريم:

)10.103( ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cosn x y zθ ϕ θ ϕ θ= + +

:عبارتست از nگر برداري اسپين در راستاي اما عمل

)10.104( ˆn n= ⋅S S

:لذا خواهيم داشت

)10.105( sin cos sin sin cosn x y zθ ϕ θ ϕ θ= + +S S S S

:خواهيم داشت) 10.75(با رجوع به

اسپين 228

)10.106( ( )sin cos sin sin cos2n x y zθ ϕ θ ϕ θ+ +S σ σ σ

:خواهد بود) 10.58(هاي اسپين پاولي گذاري تعاريف ماتريس كه با جاي

)10.107( cos sin

2 sin cos

j

n j

e

e

ϕ

ϕ

θ θ

θ θ

−

+

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

S

)ي اسپينورهاي ويژه معادله ) =R Rψ ψ در فضاي براكت عبارتست از:

)10.108( n n n nS=S SS

كت ) 10.108(توان براي حل مي. استفاده شده است nψبه جاي اسپينور nSكه در آن از نماد

z;هاي را روي پايه nSي ر ويژهيا اسپينو ↑ = ↑S و;z ↓ = ↓S بسط داد، و نوشت:

)10.109( n α β= ↑ + ↓S

:داريم) 10.105(و ) 10.100(با كمك

)10.110(

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )[ ]

( )[ ]

sin cos sin sin cos

sin cos sin sin

cos

sin cos sin sin2 2

cos2

cos sin cos sin2

sin cos sin cos2

cos sin2

n n x y z

x x y y

z z

j

j

j

j

e ϕ

θ ϕ θ ϕ θ α β

θ ϕ α β θ ϕ α β

θ α β

θ ϕ α β θ ϕ α β

ϕ α β

α θ β θ ϕ ϕ

α θ ϕ ϕ β θ

α θ β −

= + + ↑ + ↓

= ↑ + ↓ + ↑ + ↓

+ ↑ − ↓

= ↓ + ↑ + ↓ − ↑

+ ↑ − ↓

= + − ↑

+ + − ↓

= +

SS S S S

S S S S

S S

( ) ( )sin cos2

je ϕθ α θ β θ+↑ + − ↓

:آيد بدست مي) 10.108(در ) 10.110(گذاري با جاي

)10.111(( ) ( ) ( )cos sin sin cos2 2

j jne e Sϕ ϕα θ β θ α θ β θ α β− ++ ↑ + − ↓ = ↑ + ↓

:آيد كنيم و بدست مي ضرب مي ↓و ↑حال طرفين را در

)10.112.1( ( )cos sin2

jne Sϕα θ β θ α−+ =

فصل دهم 229

)10.112.2( ( )sin cos2

jne Sϕα θ β θ β+ − =

:قابل نمايش استكه به فرم ماتريسي زير

)10.113( cos sin

2 sin cos

j

nj

eS

e

ϕ

ϕ

α αθ θ

β βθ θ

−

+

⎡ ⎤+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

را به سادگي ) 10.113(دستگاه ). چرا؟(است ) 10.107(ماتريس ضرايب در سمت چپ دقيقا همان

:)20تمرين ( آوريم براي مقادير ويژه بدست مي. توان حل كرد مي

)10.114.1( 2nS

↑ = +

)10.114.2( 2nS

↓ = −

:)20تمرين ( به ترتيب عبارتند ازپس از بهنجارش ) 10.114(ي متناظر با ويژهي بردارها

)10.115.1( ( )

( )

12

12

cos

sinje ϕ

α θ

β θ

↑ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

)10.115.2( ( )

( )

12

12

sin

cosje ϕ

α θ

β θ

↓ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:اسپينورهاي ويژه برابرند با) 10.109(در نتيجه با توجه به

)10.116.1( ( ) ( )1 12 2; cos sinj

n e ϕθ θ↑ = ↑ + ↓S

)10.116.2( ( ) ( )1 12 2; sin cosj

n e ϕθ θ↓ = ↑ − ↓S

)با انتخاب ) 10.103(طبق ) ( )2, , 0πθ ϕ ˆداريم = ˆn x=

:آيد بدست مي) 10.116(و از

)10.117.1( x1 12 2

;↑ = ↑ + ↓S

)10.117.2( x1 12 2

;↓ = ↑ − ↓S

)اما با انتخاب ) ( )2 2, ,π πθ ϕ ˆخواهيم داشت = ˆn y=آوريم ، و بدست مي:

)10.118.1( y j1 12 2

;↑ = ↑ + ↓S

)10.118.2( y j1 12 2

;↓ = ↑ − ↓S

اسپين 230

0θگذاري در نهايت با جاي ˆآيد بدست مي = ˆn z=و در نتيجه خواهيم داشت ،:

)10.119.1( ;z ↑ = ↑S

)10.119.2( ;z ↓ = ↑S

با چنين هم .هستند) 10.99(و ) 10.98(با كامل در توافق) 10.119(الي ) 10.117(مجموعه روابط

حول ϕي ي زاويه گرد به اندازه ساعتپاداسپين چرخش يكاني گر توان عمل گر اسپين مي كمك عمل

)كه با نماد ،را nمحوري مانند )ˆ;nϕR 13تمرين (ساخت شود، نمايش داده مي:(

)10.120( ( ) ( )[ ] ( )1 12 2ˆ ˆ ˆ; exp cos sin

jn n I j nϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⋅ − ⋅⎟⎜ ⎟⎝ ⎠R S σ

1هاي با اسپين دهد فرميون شان ميكه ن .گردند درجه چرخش به خود باز مي 720به ازاي هر 2±

:مراجع[1] I. Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, 1st ed.,

University of California, 1999.


[3] T. Morley, “A Simple Proof that the World is Three-Dimensional,” SIAM Review,

vol. 27, no. 1. pp. 69-71 (1985).

منصوري، . ي ذ ، ترجمهفيلسوف و متفكر بزرگ اسالمي: صدرالدين شيرازي مالصدراكربن، . ه ]4[

.1372انتشارات جاويدان، تهران،

[5] H. A. Lorentz, “Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving

systems,” Proc. Acad. Science Amsterdam I, pp. 427–443 (1899).

[6] W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, 3rd ed., Springer-Verlag, 2000.

[7] P. Lorrain and D. Corson, Electromagnetic Fields and Waves, 2nd ed., W. H.

Freeman, 1970.

[8] P. B. Pal, “Dirac, Majorana and Weyl fermions,” American Journal of Physics, vol.

79, pp. 485–498 (2011).

[9] The LHCb collaboration, “Observation of overlapping spin-1 and spin-3 D0K−

resonances at mass 2.86 GeV/c2,” Physical Review Letters, vol. 113, 162001; ibid,

“Dalitz plot analysis of Bs0→D0K−π+ decays,” Physical Review D, vol. 90, 072003

(2014).

فصل دهم 231

[10] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Rev. Ed., Addison-Wesley, Reading,

1994.

[11] B. H. Bransden and C. J. Joachain, Introduction to Quantum Mechanics, John

Wiley & Sons, New York, 1989.

[12] G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed., Academic, Orlando,

1985.

[13] V. M. Villalba, “On the relativistic hydrogen atom,” Revista Mexicana de Física,

vol. 42, no. 1, pp. 1-11 (1996). [14] E. Schrödinger, “Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen

Quantenmechanik,” Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math., vol. Kl 24, pp. 418–428

(1930).

[15] R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zähringer, E. Solano, R. Blatt, and C. F. Roos,

“Quantum simulation of the Dirac equation,” Nature, vol. 463, pp. 68-72 (2010).

:تمرين

] )2.24(با كمك براكت پواسون - 1 ], j= − =R P RP PR كه خواهيم داشت نشان دهيد

, 3 j⎡ ⎤ = ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥R P R P P R.

]مانند تمرين يك نشان دهيد كه براكت برداري - 2 ], 2 j⋅ = −P P R P براي . صحيح است

يعني مثال نشان دهيد . هاي دكارتي طرفين را به تفكيك مقايسه كنيد اين منظور مولفه

[ ], 2 xj⋅ = −P P X P اي دارد كه فرم نرده.

)نشان دهيد كه براكت برداري - 3 )[ ] ( ), , ,U t j U t∂∂= − RP R R براي اين . صحيح است

هاي دكارتي طرفين را به تفكيك كمك بگيريد، و مجددا مولفه) 3.11.1(منظور از بسط

)يعني مثال نشان دهيد . مقايسه كنيد )[ ] ( ), , ,xU t j U t∂∂= XR P R به .استاي كه نرده

)ثابت كنيد شكلهمين )[ ] ( ), , ,V t j V t∂∂= + PR P P، كه( ),V tp دلخواه است يتابع.

گذشتتبديالت گاليله بر اين اصل استوار است كه «خوانيم مي 8.3.1در ابتداي قسمت - 4

تبديالت گاليله بر اين «توان گفت؟ آيا مي. »زمان در هر دو چارچوب همواره يكسان است

.»اصل استوار است كه زمان در هر دو چارچوب همواره يكسان است

اسپين 232

.تحت تبديالت گاليله ناورداست) 3.18(شرودينگر ي نشان دهيد معادله - 5

اي كه در نسبت به زمان براي تبديالت گاليله، نشان دهيد پديده) 10.15(گيري از با مشتق - 6

)چارچوب پديده داراي حركت )2 tr و لذا سرعت( ) ( )2 2ddtt t=v r است، در چارچوب

)مرجع داراي سرعت ظاهري ) ( )1 2t t= +v u v خواهد بود.

براي اين منظور آزمودن . نشان دهيد معادالت ماكسول با تبديالت گاليله سازگار نيستند - 7

) ي پيوستگي بار معادله ) ( ), , 0tt tρ∂∂∇ ⋅ + =j r r كه در آن( ),tj r ميدان برداري

) شدت جريان الكتريكي و ),tρ r حال بردار .كند ت ميايچگالي حجمي بار است كف

)ي چهارگانه ) ˆ, jc tρ ρ= = −J j j نشان دهيد . را در نظر بگيريد( ) 0⋅ =J R . قابل

2ذكر است كه طول بردار 2 2J j c ρ= = −J نيز تحت تبديل لورنتز همواره ناورداست.

:را به شكل ماتريسي )10.16(تبديالت لورنتز - 8

1 2

1 2

2 1 2 1 1 21 2

1 2

, ,

x x

y y

z z

jct jct

→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R L R R R

1تبديل عكس . بازنويسي كنيد2 1 1 2

−→ →=L L 1نشان دهيد چگونه است؟ 2→L ماتريسي

1يكاني است و بنابراين نتيجه بگيريد 2R R=تحت فضازماني ، يعني طول بردار چهارگانه

)ارتباط . تبديل لورنتز كميتي ناورداست )1 2→ +L u با( )2 1→ −L u چيست؟

coshϕحال فرض كنيد . ساده نماييد ux=uˆبا را ) 10.16(تبديالت لورنتز - 9 γ=. نشان

sinhϕدهيد βγ= . با كمك تعريف پارامترϕتبديالت لورنتز را بازنويسي نماييد ،.

.ناوردا نيستتبديالت لورنتز ي شرودينگر تحت معادله، نشان دهيد 9تمرين در -10

، )8تمرين ( تحت تبديالت لورنتز Rي فضازمان با توجه به پايستاري طول بردار چهارگانه -11

=گر نشان دهيد عمل ∂ ∂R نشان دهيد بنابراين .نيز تحت تبديالت لورنتز ناورداست

.كند به طور ذاتي تبديالت لورنتز را ارضا مي) 10.31(گوردون - ي كالين معادله

:شرودينگري كه به شكل ي شبه نشان دهيد معادله -12

فصل دهم 233

( ) ( ) ( )212

U Em

ψ ψ⎡ ⎤

+ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R RP R

گوردون دچار اشكال -ي كالين همانند معادلهاست، قابل نوشتن در چهار بعد فضازمان

21ي اشكال ديگر اين معادله آن است كه جمله .باشد بهنجارش مي2m P مبين انرژي

:عبارتست از) 8.41(در حقيقت طبق Tگر انرژي جنبشي زيرا عمل .جنبشي نيست

2 4 2 2 2 212

m c c mcm

= + − ≠T p P

2 خواهيم داشت) 10.37(در عوض با الهام از 2 2 2c m= −P p ،و در نتيجه:

2 2 2 22c c m mc= + −T P

:]9[كنيم تعريف مي ، برداري موسوم به بردار پاوليهاي اسپين پاولي براي ماتريس -13

ˆ ˆ ˆx y zx y z= + +σ σ σ σ

x x y y z za a a⋅ = + +aσ σ σ σ

:نشان دهيد روابط زير برقرار استيك بردار يكه باشد، nبردارهاي دلخواه و bو aاگر

( )( ) [ ] ( )I j a2,⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ × ⋅ = −a b a b a b aσ σ σ σ

( ) ( )[ ] ( )1 1 12 2 2ˆ ˆexp cos sinj n I j nϕ ϕ ϕ− ⋅ = − ⋅σ σ

.هاي اسپين پاولي بدست آوريد را براي ماتريس) 10.59(گشتي ويژگي جاي -14

σ⋅ي عبارت ي تماميت براي بردار پاولي را با محاسبه رابطه -15 σ بدست آوريد.

بعدي دوهادي ، كه يك نيمهبراي ساختار باند گرافين 8در فصل 12 ضمن رجوع به تمرين -16

محل (ها در نزديكي نقاط ديراك ها و حفره ، نشان دهيد الكترونبا گاف انرژي دقيقا صفر است

عمال. كنند در دوبعد رفتار ميو با جرم صفر ) 10.69( مثل) تماس نوارهاي ظرفيت و هدايت

100Fvسرعت گروه ذره ثابت و حدود c≈ است، كهFv رمي استگرافين پس .سرعت ف

.ي الكتروديناميك كوانتومي نسبيتي در حالت جامد است بستري مناسب براي مطالعه

.هاي اسپين پاولي را بيابيد ي بهنجار ماتريس مقادير و بردارهاي ويژه -17

.را ثابت نماييد) 10.77.2(ي رابطه -18

اسپين 234

.را ثابت نماييد) 10.87(و ) 10.86(درستي مجموعه روابط -19

.را بدست آوريد) 10.115(و ) 10.114(روابط -20

aˆفرض كنيد ) 10.104(در -21 a= ⋅S S وˆb b= ⋅S S كه در آن ،a وb بردارهايي يكه و

)ي زاويهباشند، و با راستاهاي دلخواه )1 ˆˆcos a bγ −= ي آيا اسپينورهاي ويژه .با هم بسازند ⋅

;a ↑↓S و;b ↑↓S ياي واتوان ز گر متعامدند؟ از ضرب داخلي اسپينورها مي اين دو عمل1cos ; ;a bζ −

↑↑ = ↑ ↑S S،1cos ; ;a bζ −↑↓ = ↑ ↓S S ،1cos ; ;a bζ −

↓↑ = ↓ ↑S S و ،1cos ; ;a bζ −

↓↓ = ↓ ↓S S حال نشان دهيد ي اين زوايا چقدر است؟ اندازه. تعريف كردرا:

; ; ;a b bχ χ↑↑ ↑↓↑ = ↑ + ↓S S S

; ; ;a b bχ χ↓↑ ↓↓↓ = ↑ + ↓S S S

صورت كلي ماتريس ضرايب

b a

χ χχ χ

↑↑ ↑↓

→↓↑ ↓↓

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

χ

1ماتريس وبوده نشان دهيد اين ماتريس يكاني . را بدست آوريدa b b a

−→ →=χ χ را بيابيد.

.بيازماييد) 10.116(، و )10.99(، )10.98( با كمكرا ) 10.121(و ) 10.120(درستي -22

)10.65(ي رابطه يماتريسگر عمل -23

0

0

0

0

z x y

x y z

z x y

x y z

mc j

mc jc

j mc

j mc

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦

p p p

p p pK

p p p

p p p

ي جبري كه از حل معادله اين ماتريس Eي ويژه گرهاي عملنشان دهيد . را در نظر بگيريد

[ ] 0I− =K E 2 دقيقا برابرند با شوند، ناشي مي 2 2c m c± = ± + ⋅E p p ، كه با روابط

وجود داشته باشد كه طبق Uاگر تبديلي يكاني مانند نشان دهيد .در توافق است) 10.69(

:آن بتوان نوشت

فصل دهم 235

[ ] [ ]

[ ] [ ]† 2 2 2

0 0 0

00 0 0

00 0 0

0 0 0

Ic m c

I

+

+

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = = + ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E

EG UKU p p

E

E

:خواهيم داشت گاه آن

(*) ( ) ( ) ( )0,= =R R RG UΨ Ψ ψ

:آوريم و تبديل باال بدست مي(*) در نهايت با حل

( ) ( )†=R RUψ Ψ

شوند، جفت تكرار مي جفت Kي گرهاي ويژه چون عمل .را محاسبه كنيد Uحال تبديل

در چنين حالتي بردارهاي ويژه لزوما . ي دو هستند تبهگن از درجه Kي بردارهاي ويژه

الزم است كه تبديلي بر روي بردارهاي پايه به منظور Uبراي يافتن تبديل . متعامد نيستند

]. 12[اشميت مشهور است - ها انجام گيرد كه به فرآيند متعامدسازي گرام متعامدسازي آن

پس از .افزارهايي كه قابليت محاسبات نمادين دارند انجام دهيد توانيد با نرم اين مراحل را مي

به سادگي با كنار هم قرار دادن اين چهار بردار بدست Uهاي پايه، تبديل بهنجارش بردار

2هاي دوم متاسفانه ريشه. آيد مي 2m c + ⋅p p شوند، ولي در اين تبديل مجددا ظاهر مي

:قرار دهيد Uتوانيد در تبديل با تقريب ميبراي ذرات غير نسبيتي

( )22 22 2

1 12 8

m c mcmc m c

+ ⋅ ≈ + ⋅ − ⋅ +p p p p p p

.انجامد مي) 8.46(به تصحيح نسبيتي انرژي خودبخود ، ي اول انجام اين عمل در تقريب مرتبه

)گر عمل -24 )ˆ;nϕR و با گر يكاني است نشان دهيد اين عمل. در نظر بگيريد) 10.122(در

نيز نشان دهيد . نمايش ماتريسي آن را بدست آوريد 13كمك تمرين

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ; ; ;n n nφ ϕ φ ϕ+ =R R R .يك از جابجاگرهاي كدام ( ) ( )[ ]ˆ ˆ; , ;n nϕ φR R و

( ) ( )[ ]ˆ ˆ; , ;n mϕ ϕR R صفرند؟

) نشان دهيد -25 ) ( )ˆ ˆcos sin ; ;x y xz zφ φ φ φ− = − +S S R S R .

اسپين 236

]فرض كنيد -26 ]( )12 1 2 1 3 2 3 I= − + +B A A A A A A كهmA تعريف ) 10.57.1(در

1 داريم ]13[نشان دهيد . اند شده1 3

− =BA B A ،12 1

− =BA B A 1، و3 2

− =BA B A.

ي انرژي نشان دهيد براي اسپينورهاي ويژه E→Eبا جايگزيني ) 10.65(ي در معادله -27

2

cE mc

+ −⋅=

−pσ

ψ ψ 2و

cE mc

− +⋅=

+pσ

ψ ψ . با استفاده از تقريب غيرنسبيتيv c

)ثابت كنيد خواهيم داشت )4 c v+ + − −⋅ ⋅∼2

ψ ψ ψ ψ . حال با حذف−ψ و به كمك

)گر براي عمل 13تمرين )( )⋅ ⋅p pσ σرا بازيافت كنيددر خالء ي شرودينگر ، معادله.

به يكي ) 10.99(و ) 10.98(توان از روابط تماميت را براي اسپينورهاي ويژه مي نشان دهيد -28

:زير براي محورهاي دكارتي صوراز

1 ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

x x x x y y y y

z z z z

= ↑ ↑ + ↓ ↓ = ↑ ↑ + ↓ ↓

= ↑ ↑ + ↓ ↓

S S S S S S S S

S S S S

:نوشت) 10.116(با كمك nتر در راستاي دلخواه و يا در حالت كلي

1 ; ; ; ;n n n n= ↑ ↑ + ↓ ↓S S S S

) 7.76(گر ي مشتق زماني عمل اگر رابطه. را در خالء نظر بگيريد) 10.44(ي ديراك معادله -29

tي ي ديراك قابل استفاده باشد، مطلوبست محاسبه براي هاميلتوني معادله∂∂ r 2و

2t∂∂r كه ،

پذير مستقل از زمان و وارون Hگر هاميلتوني ديراك اگر عمل. گر مكان است عمل rدر آن

2گيري از عبارت باشد، با دو بار انتگرال

2t∂∂r به تابعيت زماني( )tr حال با اثر دادن . پي ببريد

( )tr ي انرژي، نشان دهيد كه روي يكي از حاالت ويژه( )tr اي جمله: داراي سه بخش است

اي نوساني كه مبين حركتي سريع و كند، و جمله اي كه با زمان خطي تغيير مي ثابت، جمله

22mcωداراي بسامد تقريبي ي سوم ي اول چيست؟ جمله منشا دو جمله. است ≈

1930گر در سال كه ابتدا توسط شرودين ،موسوم به حركت سريع است يا گر پديده بيان

و گزارش گاه مشاهده سال در آزمايش 80اكنون به تازگي پس از بيني شد و هم پيش] 14[

].15[گرديده است

فصل يازدهم 237

هميازد فصل

كوانتش ميدان

به طور نوعي، . گردد هاي وابسته به زمان مطرح و تحليل مي موضوع كوانتش ميداناين فصل در

الكترومغناطيس و هاي اتمي كه منجر به ايجاد امواج هاي الكترومغناطيس و ارتعاشات شبكه ميدان

ها ها و فونون هايي موسوم به فوتون گردند در اثر كوانتش انرژي، به بسته امواج صوتي در مواد مي

. ها بوده و داراي اسپين صحيح هستند ي بوزون هر دوي اين ذرات متعلق به خانواده .گردند تفكيك مي

اي قوي ن كه حامل نيروي هستهكند و گلوئو تش ميدان گرانش را توصيف ميگراويتون كه كواننيز

اگر وجود گراويتون بطور قطعي در آزمايش تاييد شود، . ها هستند ي بوزون است متعلق به خانواده

اي ضعيف نيروي هسته ،هاي بنيادين طبيعت، يعني نيروي گرانش توان گفت كه ذرات حامل نيرو مي

همگي بوزون اي قوي و نيروي هسته، )باشد كه با نيروي الكترومغناطيس داراي منشا يكسان مي(

ها، و ها، پالرون ها، پالريتون پالسمون :شود ها نمي البته موضوع كوانتش محدود به اين خانواده. هستند

قابل ذكر است كه ميان فوتون و . ي ميادين گوناگون هستند هايي ديگر از ذرات شاكله ها مثال مگنون

ي مستقل و در حالي كه فوتون به راستي يك ذره. د داردبرده يك تفاوت اساسي وجو ساير ذرات نام

كنش تجمعي تعداد از برهم ها ها، و مگنون ها، پالرون ها، پالريتون ها، پالسمون واحد است، فونون

ذره به اين اطالق نام شبه. آيند، و بنابراين داراي هويت مجازي هستند بيشماري از ذرات بوجود مي

كوانتش ميدان 238

. باشند ها بوزون مي ها فرميون بوده و پالريتون از اين ميان، پالرون .ليل استدسته از ذرات، به همين د

كه ضمن اند، در حالت جامد كشف شده] 1[ذرات جديدي موسوم به اسپينون و هولون نيز اخيرا شبه

موقتا ذره ي دو الكترون به اين دو شبه با تجزيهاسپين -ي گسست بار برخورد دو الكترون در پديده

.آيند ود ميبوج

كنش يك ميدان الكترومغناطيسي كوانتيده با يك اتم دوترازه را مطالعه چنين در ادامه، برهم هم

در مقايسه با فصل نهم كه در . شوند خواهيم كرد كه در آن هم ميدان، و هم اتم، كوانتومي توصيف مي

شد كالسيك و اتم كوانتومي وصف مي ميدان الكترومغناطيس ليزركالسيك، طي يك نگرش نيمهآن

تعميم اين مدل كوانتومي براي تعداد .]3[ كنش كامال كوانتومي است جا توصيف اين برهم ، در اين]2[

.به تفصيل مورد بحث قرار گرفته است] 4[هاي ميدان در مرجع ها و مولفه دلخواهي از اتم

ميدان و انرژي. 11.1

)مانند و برداري وابسته به زمان و مكان را ، حقيقيتحليلي يتابع ) 3,t= ∈r F F r R در نظر

)تابع .بگيريد ),tF r ناميم اگر چگالي حجمي انرژي ناشي از ميدان را يك ميدان مي( ),tF r به

:صورت زير قابل بيان باشد

)11.1( 31 12 2

, 1

: : i ij ji j

FK F=

Π = = ∑F K F

⎡ijKكه در آن ⎤= ⎣ ⎦K هاي ذاتي محيط ميزبان ميدان گر ويژگي بياني دو است و يك تانسور از رتبه

ناهمگن هاي هاي همگن مستقل از مكان و زمان است، براي محيط براي محيط Kدر حالي كه . است

)داريم )=K K r .اتالف اين تانسور هاي بي كه براي محيط) 1تمرين (توان نشان داد چنين مي هم

† ، و بنابراين متقارنهرميتيحقيقي و t= =K K K گرد سان در غالب موارد محيط ميزبان هم .است

]است و داريم ]K I=K .شود اده ميبه شكل زير س) 11.1(ي در اين شرايط، رابطه:

)11.2( 21 12 2K KΠ = ⋅ =F F F


)حال با استفاده از تبديل فوريه ميدان ),tF r آيد دهيم و بدست مي را بسط مي:

)11.3.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , , exp

2t t j t dω ω ω ω

π

+∞−

−∞

= = −∫F r B r B rF

)11.3.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, , , exp2

t t j t dtω ω ωπ

+∞

−∞

= = +∫B r F r F rF

)با توجه به اين كه ميدان ),tF r حقيقي است داريم:

)11.4( ( ) ( )*, ,ω ω− = +B r B r


)11.5(( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

*

0 0

0

1 1, , exp , exp

2 2

2Re , exp

t j t d j t d

j t d

ω ω ω ω ω ωπ π

ω ω ωπ

+∞ +∞

+∞

= − + +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫

∫

F r B r B r

B r

:گزين كرد و خواهيم داشت جاي) 11.1(را در ) 11.5(توان مي

)11.6(

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

*

0 0

*

0 0

* *

0 0

1 2 3 4

1, , : : , exp

4

1, : : , exp

4

1, : : , exp

4

1, : : , exp

4

, , , ,

t j t d d

j t d d

j t d d

j t d d

t t t t

ω ϖ ω ϖ ω ϖπ

ω ϖ ω ϖ ω ϖπ

ω ϖ ω ϖ ω ϖπ

ω ϖ ω ϖ ω ϖπ

+∞ +∞

+∞ +∞

+∞ +∞

+∞ +∞

Π = − +

+ − −

+ + −

+ + +

= Π + Π + Π + Π

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

r B r K B r

B r K B r

B r K B r

B r K B r

r r r r

ي متعامدي مانند هاي ويژه فرض كنيد كه محيط ميزبان با توجه به شرايط مرزي آن داراي مود

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ), exp expn n n nt j t j t nω ω= − = −M r M r r اي كه باشد به گونه:

)11.7(

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

* 3

* 3

, : : ,

exp : :

exp

n m

m n n m

m n n m

n m

n m t t d r

j t d r

j t

ω ω

ω ω δ

δ

=

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

=

∫∫∫∫∫∫

M r K M r

M r K M r

)ي هاي ويژه ي كت اگر مجموعه )n خواهيم داشتكامل باشد ،:


)11.8.1( ( )

( )

( )

nn

f n= ∑F

)11.8.2( ( )

( )( ) ( ) ( )* 3, : : ,n nf n t t d r= = ∫∫∫F M r K F r

)كنيم كه در اينجا توجه مي ) ( )n nω ω− += و −( ) ( )

*n n− +=M M . توان به جمع را مي) 11.8.1(لذا

)به همراه دو دسته جمالت مزدوج مختلط تقسيم كرد كه حقيقي بودن بسط را ) ( )

*n nf f− نتيجه =+

:خواهيم داشت) 11.3.2(بر اساس . دهد مي

)11.9(

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

1, exp exp

2

1exp

2

2

n n nn

n n nn

n n nn

f j t j t dt

f j t dt

f

ω ω ωπ

ω ωπ

π δ ω ω

+∞

−∞+∞

−∞

= − +

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

= −

∑∫

∑ ∫

∑

B r M r

M r

M r

:خواهيم داشت. كنيم گزين مي جاي) 11.6(را در ) 11.9(حال

)11.10.1( ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )2 *1 4

1, : : exp 2 ,

2 n n n nn

t f j t tωΠ = − = Π∑r M r K M r r

)11.10.2( ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 * *2 2 3

1, : :

2 n n nn

t fΠ = = Π = Π∑r M r K M r r r

)11.10.3( ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 * *3 3 2

1, : :

2 n n nn

t fΠ = = Π = Π∑r M r K M r r r

)11.10.4(( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )*2 * * *4 1

1, : : exp 2 ,

2 n n n nn

t f j t tωΠ = + = Π∑r M r K M r r

)حال انرژي كل محيط در اثر حضور ميدان ),tF r در فضا ) 11.10(گيري از توان ضمن انتگرال را مي

:آوريم با انجام اين كار بدست مي. بدست آورد

)11.11( ( ) ( ) 3,E t t d r= Π∫∫∫ r

:عبارتست از) 11.7(و ) 11.10(توجه به كه با

)11.12.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4E t E t E t E t E t= + + +

)11.12.2( ( ) ( ) ( )

( )

2

2 3

12 nn

E t E t f= = ∑


)11.12.3(( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( )( )* 2 3

1 4

1exp 2 : :

2 n n n nn

E t E t f j t d rω= = −∑ ∫∫∫ M r K M r

ي دو جملهدر زمان ثابت هستند، در حالي كه ) 11.12.2(جمالت مياني ) 11.12.1(بنابراين در

)با بسامد )11.12.3(ابتدايي و انتهايي )2 nω± كنند نوسان مي.

ي پارسوال قضيه. 11.1.1

:انرژي كل سيستم برابر است با گين ن ميامقدار ) 11.12(بديهي است كه طبق

)11.13( ( )

( )

2

nn

E f= ∑

ي گين كل سيستم، برابر است با مجموع مربعات دامنه انرژي مياندهد كه ي اخير نشان مي رابطه

معموال .استي پارسوال در تبديالت فوريه از قضيه تعميمياين قضيه در حقيقت . ي آن مودهاي ويژه

:نويسيم را به شكل ظاهرا متفاوت، ولي متقارن زير مي) 11.13(ي رابطه

)11.14( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

* *12 n n n n

n

E f f f f= +∑

الكترومغناطيسميدان . 11.1.2

)ميدان الكترومغناطيس ),E H ي الكتريكي از دو مولفه( ),tE r و مغناطيسي( ),tH r تشكيل شده

:خورند ديگر پيوند مي است كه با معادالت ماكسول به يك

)11.15.1( ( ) [ ] ( )0, ,rt tt

μ μ∂

∇× = −∂

E r H r

)11.15.2( ( ) [ ] ( )0, ,rt tt

ε ε∂

∇× = +∂

H r E r

)11.15.3( [ ] ( ) , 0r tε∇⋅ =E r

)11.15.4( [ ] ( ) , 0r tμ∇⋅ =H r


]به ترتيب گذردهي الكتريكي و مغناطيسي خالء، و 0μو 0εكه در آن ]rε و[ ]rμ تانسورهاي نسبي

الكتريكي و مغناطيسي به هاي انرژي ميدان اي حجمي و لحظه دانيم كه چگالي مي. آن دو هستند

:ترتيب برابرند با

)11.16.1( ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )1 12 20 0, , , , : : ,e r rt t t t tε ε ε εΠ = ⋅ =r E r E r E r E r

)11.16.2( ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )1 12 20 0, , , , : : ,m r rt t t t tμ μ μ μΠ = ⋅ =r H r H r H r H r

)ي ي محيط با شماره و مغناطيسي ويژه هاي الكتريكي اگر ميدان )n و بسامد( )nω ،مشخص شوند


)11.17.1( ( )( )

( ) [ ] ( )( )

( ) [ ] ( )( )

0n n r n n r nj jkω μ μ μ∇× = + = +E r H r G r

)11.17.2( ( )( )[ ] ( )

( )( ) [ ] ( )

( )0 n n n r njkη ε∇× = ∇× = −H r G r E r

0در آن كه 0 0η μ ε= امپدانس ذاتي خالء، و( )( )

nG r برداري موازي با( )( )

nH r عدولي داراي ب ،

:عبارتست از) 11.7(مانند ها تعامد آن. ميدان الكتريكي است

)11.18.1( ( ) ( )( )

( ) [ ] ( )( )

( )( )

* 30 : :n r m n mn m d rε ε δ= =∫∫∫ E r E r

)11.18.2( ( ) ( )( )

( ) [ ] ( )( )

( )( )

* 30 : :n r m n mn m d rμ μ δ= =∫∫∫ H r H r

)با بسط دادن ميادين ),tE r و( ),tH r ي روي ميادين ويژه( )nE و( ) ( )0n nη=G H آيد بدست مي:

)11.19.1( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

, expn n n n nn n

t e t e j tω= = −∑ ∑E r E r E r

)11.19.2( ( ) ( ) ( )

( )( ) [ ] ( )* 3

0 : : ,n n re t n t d rε ε= = ∫∫∫E E r E r

)11.19.3( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )0

1, expn n n n n

n n

t h t h j tωη

= = −∑ ∑H r H r G r

)11.19.4( ( ) ( ) ( )

( )( ) [ ] ( )* 3

0 : : ,n n rh t n t d rμ μ= = ∫∫∫H H r H r

:ناشي از اين دو ميدان در فضا عبارتست از بنابراين كل انرژي

)11.20.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

* * * *1 14 4e n n n n n n n n

n n

E e t e t e t e t e e e e⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦∑ ∑

)11.20.2(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

* * * *1 14 4m n n n n n n n n

n n

E h t h t h t h t h h h h⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦∑ ∑


)هاي قابل ذكر است كه اگر ميدان ),tE r و( ),tH r ي روي ميادين ويژه( ) ( )0E r و( ) ( )

0H r كه

)معرف مقادير ثابت در زمان با )0 0ω :ي مشهور مناصفه گاه قضيه هستند، تصوير نداشته باشند، آن =

)11.21( e mE E=

:يا

)11.22( ( ) ( )n ne h=

:و بنابراين انرژي ميدان الكترومغناطيس عبارتست ازبرقرار است

)11.23( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

* *

* *

1212

e m

n n n nn

n n n nn

E E E

e e e e

h h h h

= +

= +

= +

∑

∑

ي مناصفه قضيه. 11.1.2.1

.مي شود انرژي ميدان الكترومغناطيس بين اجزاي الكتريكي و مغناطيسي آن بالمناصفه تقسيم :قضيه

)براي اين منظور كافي است صحت قضيه را براي يك مود ويژه مانند :اثبات )n 11.22(مانند (

به سادگي ميسر ) 11.18(و تعامد ) 11.19(گاه تعميم قضيه با كمك بسط آن. نشان دهيم

:خواهيم داشت 5و تمرين ،)11.17(و ) 11.19(با استفاده از .است

)11.24(

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )( ) [ ] ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

* 30

* 3

* 3

* 3

* 3 *0

*

: : ,

1,

1,

1,

1: : , ,

1,

n n r

nn

nn

nn

n r nn

n nn

h t t d r

t d rj

t d rj

t d rj

t d r t dj

e t t dj

μ μ

ω

ω

ω

ε εω

ω

=

= ∇× ⋅

= ⋅ ∇×

⎡ ⎤+ ∇ ⋅ ×⎣ ⎦

= + × ⋅

= + × ⋅

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫

∫∫

H r H r

E r H r

E r H r

E r H r

E r E r E r H r S

E r H r S

.ي كل فضا صفر است حال كافي است نشان دهيم كه انتگرال سطحي روي سطح دربرگيرنده

:خواهيم داشت) 11.9.3(با كمك بسط


)11.25( ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

* *,n m n mm

t d h t d× ⋅ = × ⋅∑∫∫ ∫∫E r H r S E r H r S

ي رساناي گيري در فضا محصور به يك كاواك با حجم مشخص و پوسته اگر حجم انتگرال

:ي زير برقرار است به ترتيب يكي از دو رابطه گاه مغناطيسي كامل باشد، آن الكتريكي يا

)11.26.1( ( ) ( )n S∈ =E r 0

)11.26.2( ( ) ( )n S∈ =H r 0

. صفر خواهد بود) 11.25(طرفين پس

شد، براي ، ولي ميدان در خارج از آن ميرا بابودهاگر كاواك فاقد مرزهاي رساناي كامل اما

)داشتن انرژي محدود در مود )n در حد شعاع بزرگ داشته باشيمالزم است كه

( )( ) 11n r r δ+→ ∞ ∝E و( )

( ) 11n r r δ+→ ∞ ∝H 0كه در آنδ پارامتري مثبت <

1از مودها ي ويژهها به بيان ديگر بايد ميدان است؛ r بنابراين، در سمت . تر ميرا شوند سريع

2dي درون انتگرال با در نظر گرفتن جمله) 11.25(راست r∝S 2به فرمr δ− كند تغيير مي

:آوريم برقرار بوده، و بدست مي) 11.22(بنابراين . و در نهايت به صفر ميل خواهد كرد

)11.27( m eE E=

.كند كه اثبات قضيه را كامل مي

هاميلتوني كالسيك. 11.2

توانند ها قادرند حاالت انرژي يكسان را با جمعيت بيش از واحد اشغال كنند، مي از آن جايي كه بوزون

)بطور همدوس جمع شده و توليد يك ميدان كوانتومي ماكروسكوپي مانند ),tF r توصيف . را بنمايند

.بندي متفاوتي دارد تها صحيح نيست و احتياج به صور ميدان بدين شكل براي فرميون

:توان توابع زير را تعريف كرد و نوشت مي مبين انرژي ميانگين يك ميدان بوزوني باشد،) 11.14(اگر

)11.28.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )10 exp expn n n n n

n

a t a j t f j tω ωω

= − = −

)11.28.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )* * *10 exp expn n n n n

n

a t a j t f j tω ωω

= + = +


:خواهيم داشتبراي انرژي كل، يا هاميلتوني كالسيك، و كماكان

)11.29( ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

* *12n n n n n n

n n

E E a t a t a t a tω ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦∑ ∑

:كنند را ارضا مي ، موسوم به معادالت حركت،معادالت ديفرانيسل زير) 11.28(توابع

)11.30.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n

da t j a t

dtω= −

)11.30.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *n n n

da t j a t

dtω= +

گذار به دنياي كوانتومي. 11.3

بندي كوانتش ميدان، احتمال در صورتتوان دريافت كه مي) 5.48(و مقايسه با ) 11.29(با نگاهي به

هاي تواند جمعي از انرژي مي) 11.29(در حقيقت . گر هماهنگ وجود دارد برقراري ارتباط با نوسان

گرهاي هماهنگ مختلفي باشد كه هر كدام داراي بسامد تشديد نوسان( )nω ابتدا اطمينان .است

بدين منظور با كمك . گر هماهنگ وجود دارد كنيم كه معادالت حركت مشابهي براي نوسان حاصل مي

)گرهاي فنا براي عمل) 7.76( )ˆna و بقا( )

†ˆna )5.45 ( براي مود( )n نويسيم مي:

)11.31.1( ( ) ( ) ( )[ ]Hˆ ˆ,n n n

d ja a

dt= +

)11.31.2( ( ) ( ) ( )H† †ˆ ˆ,n n n

d ja a

dt⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

:داريم) 5.48(كه در آن طبق

)11.32(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )H † † † †1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2n n n n n n n n n n n na a a a a a a aω ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + = − = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)گرهاي فنا ضمنا عمل )ˆna و بقا( )

†ˆna كنند ميگر ارضا را در يك نوسان) 5.46(جبري نظير:

)11.33( ( ) ( )

†ˆ ˆ, 1n na a⎡ ⎤ =⎣ ⎦

:خواهيم داشت) 11.31(گذاري در و جاي) 11.32(با كمك


)11.34.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

†

† †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n n

n n

da j a a a

dtj a a a a a a

j a a a a a a a

j a

ω

ω

ω

ω

⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

= + −

= + − −

= −

)11.34.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

† † †

† † † †

† † † † †

†

ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n n n

n n

da j a a a

dtj a a a a a a

j a a a a a a a

j a

ω

ω

ω

ω

⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

= + −

= + + −

= +

)گرهاي فنا پس عمل )ˆna و بقا( )

†ˆna 11.28(دارند، و شبيه به ) 11.30(با معادالت حركت مشابهي (

:توان نوشت مي

)11.35.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ 0 expn n na t a j tω= −

)11.35.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )† †ˆ ˆ 0 expn n na t a j tω= +

)گرهاي هماهنگ با بسامد تشديد شماري از نوسان حال تعداد بي )nω گر عمل. گيريم در نظر مي

:اي عبارتست از هاميلتوني چنين مجموعه

)11.36( ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

H H † †1ˆ ˆ ˆ ˆ

2n n n n n nn n

a t a t a t a tω ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦∑ ∑

را بتوانيم به شكل زير بازنويسي ) 11.31(كامل است، اگر معادالت حركت ) 11.29(با ) 11.36(تناظر

:كنيم

)11.37.1( ( ) ( )[ ]Hˆ ˆ,n n

d ja a

dt= +

)11.37.2( ( ) ( )H† †ˆ ˆ,n n

d ja a

dt⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

)گزين هاميلتوني جاي Hكه در آن هاميلتوني كل )H n گر هماهنگ براي نوسان( )n شده است .

) گرهاي فنا ها ميان عمل براي اين منظور كافي است جبري موسوم به جبر بوزون )ˆna و بقا ( )

†ˆna

.داشته باشيم


ها جبر بوزون. 11.3.1

ديگر اندركنش هاي مودهاي مختلف با يك بوزون اين پايه استوار است كهجبر يك ميدان بوزوني بر

:داشتپس خواهيم . كند را ارضا مي) 11.33(چنين، هر بوزوني مستقال جبر هم. ندارند

)11.38.1( †ˆ ˆ,n m nma a δ⎡ ⎤ =⎣ ⎦

)11.38.2( [ ]ˆ ˆ, 0n ma a =

)11.38.3( † †ˆ ˆ, 0n ma a⎡ ⎤ =⎣ ⎦

)به جاي mو n هاي كه در آن زيرنويس )n و( )m هاميلتوني يك . براي سادگي بكار رفته است

1ي صفر نظر از انرژي نقطه ميدان بوزوني با صرف2 nω∑ شود به شكل زير نوشته مي:

)11.39( ( )H † † †1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2n n n n n n n n n nn n n

a a a a a a nω ω ω= = + =∑ ∑ ∑

ˆ†كه در آن ˆ ˆn n nn a a= هاي مود گر شمارش بوزون عمل) 5.48(در قياس باn پس همانطور كه .است

زياد يا كم ωي انرژي ، به ترتيب يك بسته)5.70(مانند aو a†گرهاي نردباني عمل) 5.48(در

†گرهاي بقا كنند، عمل ميna و فناna به ترتيب يك بوزون در مودn با انرژيnω آفريده يا نابود

.كنند مي

ها جبر فرميون. 11.3.2

)گرچه يك ميدان فرميوني با يك تابع ),tF r هاي بوزوني قابل توصيف نيست، ولي به سهولت ميدان

:]5[ ها را تجسم كرد و نوشت توان تعداد قابل شمارشي از فرميون كماكان مي

)11.40( ( )H † † †1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2n n n n n n n n n nn n n

c c c c c c nω ω ω= = − =∑ ∑ ∑

به nc†و ncچنين هم. داللت دارد nωبه نوع فرميون با انرژي آفرينش nكه در آن زيرنويس

ها به دو نوع الكترون و ها فرميون هادي مثال در نيمه. گرهاي فنا و بقاي فرميون هستند ترتيب عمل

:ندها برخوردار براي بوزون) 11.38(ها از جبر متفاوتي نسبت به فرميون. شوند حفره تقسيم مي


)11.41.1( †ˆ ˆ,n m nmc c δ=

)11.41.2( ˆ ˆ, 0n mc c =

)11.41.3( † †ˆ ˆ, 0n mc c =

براي ) 11.40(ي رابطهگر هاميلتوني عمل. تعريف شده است) 10.56.2(كه در آن پادجابجاگر در

. شود هاي فاقد اندركنش نوشته مي فرميون

حضور تنها يك فرميون در هر حالت انرژي را تضمين ) 11.41(سادگي ديد كه جبر توان به مي

هاميلتوني . براي اين منظور فرض كنيد كه يك ميدان فرميوني با تنها يك نوع فرميون داريم .كند مي

:عبارتست از) 11.40(اين سيستم طبق

)11.42( ( )H † † †1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

2c c c c cc nω ω ω= = − =

:داريم) 11.41(كه در آن بر اساس

)11.43.1( †ˆ ˆ, 1c c =

)11.43.2( ˆ ˆ, 0c c =

)11.43.3( † †ˆ ˆ, 0c c =

بدان مفهوم هستند كه يك تراز انرژي ) 11.43.3(و ) 11.43.2(نظر از تبهگني اسپين، روابط با صرف

ها در يك تراز انرژي بايد دقيقا بيان ديگر تعداد فرميونبه . توان دو بار پر يا خالي كرد را هرگز نمي

.صفر يا يك باشد، و حالت ديگري وجود ندارد

هاي موجود در تراز و به همين ترتيب، اگر تعداد فرميون. 0حالت خالء با صفر فرميون عبارتست از

νبرابر ωانرژي ∈N گاه باشد، آنν كت حالت حضورν فرميون در تراز انرژيω است .

:نوشت) 5.61(توان با الهام از بنابراين مي

)11.44.1( ˆ 1c cνν ν= −

)11.44.2( †ˆ 1c dνν ν= +


:توان نوشت مي) 5.62(پس مانند

)11.45( 2†ˆ ˆ ˆn c c cνν ν ν ν= =

:شود كه استفاده مي) 11.43(چنين از هم

)11.46( 2†ˆ ˆˆ1 1n cc dνν ν ν ν= − = −

:بنابراين

)11.47( 2 21c dν ν+ =

:بايد داشته باشيم) 5.53(، مانند 0دانيم كه طبق تعريف كت چنين مي هم

)11.48( ˆ 0c = ∅

0بنابراين بالفاصله خواهيم داشت 0c 0و = 1d :، يا=

)11.49.1( ˆ 0 0 1c = − = ∅

)11.49.2( †ˆ 0 1 1 1c = =

:گيرد، كافي است نشان دهيم راي آن كه ثابت كنيم حداكثر يك فرميون در اين تراز جايي ميب

)11.50( †ˆ 1c = ∅

:استفاده كرد) 11.43.3(توان از براي اين منظور مي

)11.51( † † †ˆ ˆ ˆ1 0 0 0c c c= = = ∅

:توان استفاده كرد نيز مي) 11.49.1(براي تاييد ) 11.43.2(به طريق مشابه، از

)11.52( ˆ ˆˆ0 1 0 1c cc= = = ∅

گرهاي ميدان عمل. 11.4

)براي ميدان بوزوني ) 11.8(به بسط ),tF r توان نوشت مي. توجه كنيد:

)11.53(( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

, , expn n n n n n nn n n

t f t f j t f tω= = − =∑ ∑ ∑F r M r M r M r

:شكل زير قابل بازنويسي استبه ) 11.53(بديهي است كه به خاطر حضور جمالت متقارن بسط


)11.54( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

* *1,

2 n n n nn

t f t f t⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑F r M r M r

:داراي انرژي زير است) 11.14(چنين ميداني مطابق

)11.55( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

* *12 n n n n

n

E f t f t f t f t⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑

از ) 11.55(گر انرژي، يا هاميلتوني متناظر با دهد كه عمل نشان مي) 11.39(قياس با هاميلتوني

:هاي گزيني جاي

)11.56.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆn n nf t a tω→

)11.56.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* †ˆn n nf t a tω→

)پس هاميلتوني انرژي ميدان . آيد بدست مي ),tF r به سادگي عبارتست از:

)11.57( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

H † †1ˆ ˆ ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a t a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑

)گر برداري ميدان شود كه عمل معلوم مي) 11.56(و ) 11.54(پس با استفاده از ),tF r عبارتست از:

)11.58( ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

F † *

* †

1ˆ ˆ

21

ˆ ˆ2

n n n n nn

n n n n nn

a t a t

a t a t

ω

ω

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

∑

∑

M r M r

M r M r

اين بدان معني است . شوند گرهاي بوزوني ميدان فقط در جزء زماني ظاهر مي كنيم كه عمل توجه مي

هاي مكاني آن از فرم كالسيك مساله، كه شود و ويژگي ار كوانتش ميفقط در زمان دچكه ميدان

.گردد و شرايط مرزي آن است، ناشي مي محيط ميزبانشامل شكل

هاي الكترومغناطيس گرهاي ميدان عمل. 11.4.1

هاي الكتريكي و مغناطيسي قابل گرهاي ميدان مستقيما براي بدست آوردن عمل) 11.19(هاي بسط

:آوريم استفاده كرد و بدست مي) 11.56(توان از براي اين منظور مي. اند استفاده

)11.59.1( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

E † *1ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ E r E r


)11.59.2( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

G † *1ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ G r G r

)گر ميدان پتانسيل برداري مغناطيسي چنين غالبا عمل هم ),tA r مورد نياز است، كه روابط:

)11.60.1( [ ] ( ) ( )0 , ,r t tμ μ = ∇×H r A r

)11.60.2( ( )( ),

,t

tt

∂= −

∂A r

E r

ي و در پيمانه) 11.59.1(، و )11.60.2(با كمك . ]6[ كند ارضا مي )8تمرين ( ي كولمب را در پيمانه

:توان نوشت كولمب مي

)11.61.1( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

A † *1ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ A r A r

)11.61.2( ( )( )

( )

( )( )

n nn

jω

= −A r E r

حالت همدوس. 11.5

ها صفر داشتي نسبت به تعداد دقيقي از بوزون يابيم كه ميدان بوزوني چشم در مي 4با رجوع به تمرين

) ي ويژه كالسيك هاي در حقيقت براي يافتن ميداني كه در زمان بتواند مانند مود. است )n با بسامد

)مثل مشخصي )nω داشتي هستيم كه مقدار چشممتفاوتي يك كت نوسان بكند، نيازمند تعريف

αنشان دهيم كه در آن αفرض كنيد اين كت را با نماد . ميدان نسبت بدان صفر نباشد ∈ C

)براي مود خاص ) 11.58(داشتي طبق حال ميدان چشم .پارامتري است مختلط )n برابر است با:

)11.62(

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

F

† *

† *

,

1ˆ ˆ

21

ˆ ˆ2

n

n n n n n

n n n n n

t

a t a t

a t a t

α α

ω α α

ω α α α α

=

= +

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

F r

M r M r

M r M r

)نظر از نمايش زيرنويس ، و صرف)11.35(با استفاده از )n آوريم بدست مي:

)11.63.1( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *1 1, exp exp

2 2t j t j tβ ω β ω= − + +F r M r M r


)11.63.2( ( ) ( )ˆ 0n aβ ω α α=

براي )11.63.2(در βداشتي اي باشد كه مقدار چشم به گونه αي گذاري كت ويژه اگر نام

:گذاري خود كت استفاده شود بايد داشته باشيم نام

)11.64( aα α α=

:بيان ديگريا به

)11.65( a α α α=

داشتي براي آن كه ميدان چشم aگر فنا ي عمل به عنوان كت ويژه αدهد كه انتخاب نشان مي

شود به اين انتخاب خاص، حالت همدوس گفته مي .است) و نه الزم(كافي غير صفر باشد) 11.63.1(

].8و7و3[

براي اين منظور . ميسر است) 11.65(از طريق حل مستقيم αي فرم كامل حالت همدوس محاسبه

α خواهيم داشت. دهيم گر هماهنگ بسط مي ي نوسان را روي حاالت پايه:

)11.66( 0n

n

nα α∞

=

= ∑

:آيد بدست مي) 5.70(و استفاده از ) 11.65(گذاري در با جاي

)11.67( 0

0

0

ˆ ˆ

ˆ

1

nn

nn

nn

a a n

a n

n n

α α

α

α

∞

=∞

=∞

=

=

=

= −

∑

∑

∑

0nي نخست با توجه به صفر بودن جمله ) 11.66(، و عنايت به سمت راست )11.67(در بسط =


)11.68( 10 0

1n nn n

n n nα αα∞ ∞

+= =

+ =∑ ∑

:شود ي بازگشتي زير حاصل مي در طرفين رابطه mبا ضرب براي


)11.69( 1

1m

m m

α αα

+ =+


)11.70( 0 !

mm

m

α αα

=

:دهد نشان مي) 11.66(كه طبق

)11.71( 00 !

n

n

nn

αα α

∞

=

= ∑

:قابل محاسبه است αبا رعايت شرط بهنجارش كت 0αپارامتر مجهول

)11.72( ( )2

2 2 20 0

0

exp 1!

n

n nα

α α α α α∞

=

= = =∑

:آيد بدست مي 0αنظر از فاز بديهي در نتيجه با صرف

)11.73( 20

1exp

2α α

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

:عبارتست از) 11.71(با كمك ) 11.65(در αبنابراين كت حالت همدوس

)11.74( 2

0

1exp

2 !

n

n

nn

αα α

∞

=

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑

0αبديهي است كه براي حالت خاص 0αداريم = گر ي نوسان يعني حالت پايه). چرا؟( =

0αهماهنگ به تنهايي يك حالت همدوس با ي حالت همدوس در آن است كه اهميت ويژه. است =

2مربعات ضرايب بسط آن

nα اي است كه گالبر را براي اين دقيقا ايده. باشند داراي توزيع پواسون مي

].7[ولين بار به تعريف حالت همدوس رهنمون ساخت ا

هاي ميدان همدوس ويژگي. 11.5.1

)داشتي حال به شدت ميدان چشم ) ( )2

, ,I t t=r F r نسبت به حالت همدوسα كنيم توجه مي:

)11.75.1( ( ) I,I t α α=r

)11.75.2( I F F= ⋅

)براي مود خاص ) 11.58(با استفاده از )n داريمو بدون نمايش صريح زيرنويس مربوطه:


)11.76( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I † * † *ˆ ˆ ˆ ˆ,4

t a t a t a t a tω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦r M r M r M r M r

:كه به فرم زير قابل بسط است

)11.77(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I 2 † *1 14 4

† * †2 * *1 14 4

2 2 † *1 14 4

† * 2 †2 * *1 14 4

ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ ˆ0 0 0

j t

j t

t a t a t a t

a t a t a t

e a a a

a a e a

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

−

+

= ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

r M r M r M r M r

M r M r M r M r

M r M r M r M r

M r M r M r M r

:آيد بدست مي) 11.75.1(داشتي مطابق با اخذ مقدار چشم

)11.78(( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 * †1 14 4

* † 2 * * †21 14 4

ˆ ˆ ˆ,

ˆˆ ˆ

j t

j t

I t e a a a

aa e a

ω

ω

ω α α ω α α

ω α α ω α α

−

+

= ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

r M r M r M r M r

M r M r M r M r

:آيد بدست مي) 11.33(و استفاده از جبر بوزوني ) 11.65(با كمك تعريف حالت همدوس

)11.79.1( 2 2aα α α=

)11.79.2( † 2ˆ ˆa aα α α=

)11.79.3( † † 2ˆˆ ˆ ˆ1 1aa a aα α α α α= + = +

)11.79.4( †2 *2aα α α=

:خواهيم داشت) 11.78(در ) 11.79(گزيني با جاي

)11.80(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 *1 1 24 4

* 2 *2 * *1 124 4

*1 22

2 *2 * * 2 21 14 4

*14

,

1

j t

j t

j t j t

I t e

e

e e

ω

ω

ω ω

ω α ω α

ω α ω α

ω α

ω α ω α

ω

−

+

+ −

= ⋅ + ⋅

+ + ⋅ + ⋅

= ⋅

+ ⋅ + ⋅

+ ⋅

r M r M r M r M r

M r M r M r M r

M r M r

M r M r M r M r

M r M r

:آيد نظر كنيم، مقدار ميانگين شدت ميدان بدست مي صرف ±2ωهاي اگر از جمالت حاوي بسامد

)11.81( ( ) ( ) ( )21 2

4, 2 1I t ω α= +r M r

0αحتي به ازاي ) 11.81(عبارت برخالف رفتار كالسيك، ها يا هنگامي كه ميدان تهي از بوزون، =

دهد كه در توصيف كوانتومي ميدان بوزوني، همواره مقداري اين نشان مي. باشد نيز غير صفر مي ،است


صفر ولي شدت غير صفر و مستقل از داشتي زمينه وجود دارد كه داراي مقدار چشم نوسانات در پس

ي صفر شود و ريشه در انرژي نقطه ي صفر گفته مي به اين نوسانات، اغتشاشات نقطه .زمان است

گر انرژي، را از داشتي هاميلتوني، يا عمل براي نمايش اين موضوع، مقدار چشم. هنگ داردگر هما نوسان

:آوريم بدست مي براي يك ميدان همدوس )11.57(

)11.82.1( HE α α=

)11.82.2( ( ) ( ) ( ) ( )H † †1ˆ ˆ ˆ ˆ

2a t a t a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

:خواهيم داشت) 11.79.3(و ) 11.79.2(با استفاده از

)11.83( 2 12

E ω α⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ها در يك ميدان دهد كه تعداد ميانگين بوزون بالفاصله نشان مي) 11.79.2(و ) 5.80(با مقايسه

:همدوس بوزوني برابر است با

)11.84( 2ˆn nα α α= =

ˆ†كه در آن ˆ ˆn a a= تعريف شده است) 5.48(گر شمارش بوزون است كه در عمل.

:ميدان ميانگين برابر خواهد بود باگر شدت چنين عمل هم

)11.85( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I † † *14 ˆ ˆ ˆ ˆ,t a t a t a t a tω ⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦r M r M r

Iبديهي است كه H, 0⎡ ⎤ =⎣ ).چرا؟( ⎦

:گر چگالي انرژي را محاسبه كنيم قادريم كه عمل) 11تمرين (در نهايت با انجام فرآيندي مشابه

)11.86(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

U 2 † *1 12 2

† * †2 * *1 12 2

ˆ ˆ ˆ, : : : :

ˆ ˆ ˆ: : : :

t a t a t a t

a t a t a t

ω ω

ω ω

= +

+ +

r M r K M r M r K M r

M r K M r M r K M r

:آوريم گر چگالي انرژي ميانگين را بدست مي حذف جمالت وابسته به زمان، عملو از آن جا با

)11.87( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )U † † *12 ˆ ˆ ˆ ˆ, : :t a t a t a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦r M r K M r


ميدان تنش. 11.6

ناشي ش نبندي كوانتش ميدان ت ، امكان صورت11.4و 11.1هاي روابط معرفي شده در بخش با كمك

بدين منظور كافي است اگر .گردد، وجود دارد مي ]9[ها كه منجر به پيدايش فونونسان، از امواج كش

)به جاي ميدان برداري ),tF r

:، ميدان تانسوري تنش)11.1(در

)11.88( ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, , ,

, , , , ,

, , ,

ij

t t t

t t t t t

t t t

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

r r r

r r r r r

r r r

σ

ijدر حالت كلي تانسور تنش متقارن است، يعني .را قرار دهيم jiσ σ= . براي آن كه در ضرب داخلي

اي باشد، احتياج به تعريف تانسور متفاوتي با كميتي حقيقي و نرده Πچگالي حجمي انرژي ) 11.1(

⎡ijklK، مانند ي چهار رتبه ⎤= ⎣ ⎦K، به جايijK⎡ ⎤= ⎣ ⎦K ي دو است خواهيم داشت كه داراي رتبه .

⎡ijklcمعموال اين تانسور با نماد ⎤= ⎣ ⎦c ششود و موسوم به تانسور نمايش داده مي10- 12[ ساني ك[

هاي مكانيكي يك محيط پيوستار است، و تا جايي ي تمام ويژگي دربرگيرنده ساني كشتانسور . است

براي .بندي استفاده كرد توان از اين صورت ها از ثابت شبكه خيلي بزرگتر باشد مي كه طول موج فونون

ساني كشكند؛ در مقايسه، تانسور يك فنر ساده، ثابت فنر بين جابجايي و نيرو تناسب برقرار مي

) شي بين تانسور جابجايي، موسوم به تانسور كرنا رابطه ) ( ), ,ijt tε⎡ ⎤= ⎣ ⎦r rε ،سازد و تانسور تنش مي:

)11.89( ( ) ( ), : ,t t=r c rσ ε

:يا به بيان ديگر

)11.90( ( ) ( ) ( ),

, , ,ij ijkl klk l

t c t tσ ε= ∑r r r

:براي انرژي به فرم) 11.1(ي به هر حال، كماكان رابطه

)11.91( 1 12 2

, , ,

: : ij ijkl kli j k l

cσ σΠ = = ∑cσ σ

ي متاسفانه محاسبه. بالدرنگ قابل استفاده است 11.4ي نتايج بخش ماند، و لذا كليه معتبر باقي مي

)ي تنش تانسورهاي ويژه ) ( ) ( )( ) ( )( ), expn n nt j tω= −r rσ σ براي يك ساختار مشخص در عمل


Q گر ميدان تانسور تنش ولي با فرض معلوم بودن اين تانسورهاي ويژه، عمل. بسيار دشوار است

:عبارتست از) 11.58(مطابق

)11.92( ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

Q † *1ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ r rσ σ

:عبارتست از) 11.57(و هاميلتوني چنين ميداني مطابق

)11.93( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

H † †1ˆ ˆ ˆ ˆ

2 n n n n nn

a t a t a t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑

نزديكي دماي صفر مطلق نيز ي صفر در ارتعاشات شبكه است كه حتي در كه مبين وجود انرژي نقطه

بندي كوانتش براي نانوساختارهاي مزوسكوپي با ابعاد چند ده نانومتر اين صورت .وجود خواهد داشت

.پذيرند مفيد است ها مهم است، ولي مكانيك پيوستار را نيز مي تا چند ده ميكرون كه كوانتش در آن

ي نانوساختارها گرماي ويژه. 11.6.1

]:12و11[داريم شبكه ي رماي ويژهگ با توجه به تعريف

)11.94( EC

T∂

=∂

براي اين منظور كافي . چندان دشوار نيست) 11.93(يافتن فرمي براي گرماي ويژه با توجه به كوانتش

ها توزيع تعداد بوزون، و هنگام برقراري تعادل ترموديناميك، Tمانند مطلقي ي در دمااست بدانيم

.هستيم] 3[بدين منظور ناگزير از بكار بردن مفهوم حالت گرمايي . چگونه است

:اي مانند ، سيستم در كت ويژهTبراي يك سيستم بوزوني در حال تعادل و در دماي مشخص

)11.95(

mm

mψ ψ=∑

گيرد، كه در آن قرار مي mψ ضرايب بسط و m از آن جايي كه سيستم . هاي ويژه هستند كت

)شماري بسامدهاي ويژه مانند در حالت كلي داراي تعداد بي )nω تواند با اي مي است، هر مود ويژه

)مثال مود . هاي خاص خود تحريك شود تعداد بوزون )n تواند داراي مي( )nm بوزون با انرژي( )nω و ،

)لذا در كت حالت )nm نظر انرژي و قطبش در مودهاي ها از نقطه وع بوزونچون ن. قرار داشته باشد


ي سيستم بايد از ضرب خارجي اين دسته ديگر متفاوت است، در حالت كلي كت ويژه مختلف با يك

:بنابراين خواهيم داشت. ها حاصل شود كت

)11.96( ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 nm m m m m=

)اينشتين، احتمال نسبي اشغال هر حالت با -طبق توزيع بوز )nm بوزون داراي انرژي( )nω عبارتست

]:3[از

)11.97.1( ( )( ) ( ) ( )( )expn n nP m m β∝ −

)11.97.2( ( )

( )nn kT

ωβ =

:لذا داريم. ثابت بولتزمان است kكه در آن

)11.98( ( )( ) ( ) ( ) ( )( )expn n n nP m N m β= −

)كه در آن )nN بنابراين كت حالت حرارتي مربوط به مود برابر است با. ثابت بهنجارش است:

)11.99( ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )12exp

n n nm

n n n nm

P m m

N m m

ψ

β

=

= −

∑

∑

اينشتين براي -كه اين تركيب خاص منجر به همان توزيع مشهور بوز] 3[توان به سادگي ديد مي

:آوريم داشتي هاميلتوني را بدست مي بدين منظور مقدار چشم. گردد ها مي بوزون

)11.100(

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

H

H

H,

,

,

12

12

1exp exp

2

n n n n

n n n n nl m

n n n nm l

n n n n n nm l

n n nm l

n n n n n n nm m

E

P l l N P m m

P m P l l m

P m P l m l m

P m m

N m m m

ψ ψ

ω

ω

ω β β

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

:آوريم بدست مي 21در اين مرحله با كمك تمرين


)11.101( ( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )( )2

exp 1 12 1 exp1 exp

nn n n

nn

E Nβ

ωββ

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤ − −− −⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

)ثابت بهنجارش )nN از شرط( ) ( ) 1n nψ ψ :آيد بدست مي) 11.99(و با كمك =

)11.102(

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

exp

11 exp

1

n n nm

n n nm

nn

P m

N m

N

ψ ψ

β

β

=

= −

=− −

=

∑

∑

:پس خواهيم داشت

)11.103( ( ) ( )( )1 expn nN β= − −

:خواهيم داشت) 11.101(سازي با باز كردن و سادهاكنون

)11.104( ( ) ( )

( )( )( )( )

( )

( )( ) ( )

exp 11 exp 2

1 1exp 1 2

nn n

n

n nn

Eβ

ωβ

ω ωβ

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎩ ⎭

= +−

:اينشتين بايد بصورت زير باشد-بوزدهد توزيع كه نشان مي

)11.105( ( )1

exp 1f E

EkT

=⎛ ⎞⎟⎜ −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

) ي صفر انرژي نقطه) 11.104(بديهي است كه در )12 nω ،فاقد ، كه داراي منشا كوانتومي است

.اينشتين محذوف است-وابستگي به دما بوده و از توزيع بوز

:نوشترا ) 11.95(توان كت حرارتي مي) 11.97(حال بر مبناي

)11.106(

( ) ( )

12exp

mm

n nm n

P m

N m m

ψ

β

=

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∑

∑ ∑


):چرا؟(عبارتست از Nدر آن ثابت بهنجارش كه

)11.107( ( )

( )

( )( )( )

1 expn nn n

N N β⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∏ ∏

:عبارتست از Tپس انرژي سيستم در تعادل ترموديناميك و در دماي مطلق

)11.108( ( ) ( )

H

Hexp n nm n

E

N m m m

ψ ψ

β

=

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑

:توان نوشت مي) 11.93(و هاميلتوني ) 11.96(با كمك تعريف

)11.109(

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

H† 1

2

† 12

†2 1 0 0 1 2

12

†2 2 1 1 0 0

12

12

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n n nn

n n n nn n

n n n n nn

nn

n n n n nn

nn

n n nn n

m m

m a a m

m a a m m m

m m m m a a m m m m

m a a m m m m m m m

m

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

= +

=

+

=

+

= +

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

:آوريم بدست مي) 11.108(و ) 11.107(حال بر اساس

)11.110(( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

121 exp expn n n n n n

n m n n n

E m mβ β ω ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − − − +⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑∏

:به شكل زير بازنويسي نمود) 11.97.2(گذاري با جايتوان عبارت فوق را مي

)11.111(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )( )

( )

( )( )( )

0

0

0

0

1 exp exp

1 exp exp

exp

1 exp

1exp 1

n mm

n m

n mm

n m

nn

n n

nn n

EE E E

kT kT

EE E

kT kT

E

E

ω

ω

βω

β

ωβ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + − − −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

−= +

− −

= +−

∑∏

∑∏

∑

∑


)كه در آن )

( )

120 nn

E ω= :چنين داريم ي صفر است و هم انرژي نقطه ∑

)11.112( ( ) ( )

( )

m n nn

E mω=∑

:نوشت) 11.94(در اين مرحله با استفاده از تعريف گرماي ويژه در توان در نتيجه مي

)11.113( ( )

( )( )( )

0

1exp 1n

n n

C ET

ωβ

⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪∂ −⎪ ⎪⎩ ⎭∑

:دهد جمالت در سمت راست عبارت فوق نتيجه ميباز كردن

)11.114( ( )

( )( )( )

1exp 1n

n n

CT

ωβ

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

:شود كه به فرم زير ساده مي

)11.115( ( )

( )( )

( )[ ]( )( )

2

22

1

exp 1

1

exp 1

nnn

n

n n

CT

kT

kT

kT

ωω

ω

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∂

= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥∂ ⎟⎜ −⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥−⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

∑

)هنگامي نانوساختار مورد نظر به حد كافي كوچك است، طيف انرژي )nω به حد كافي گسسته

را ) 11.115(ي دقيق كه محاسبه از تعداد جمالت محدودي تشكيل خواهد شد) 11.115(شود و مي

:داريمبه عنوان تقريب خوب در دماي باال اما .سازد بطور عددي ممكن مي

)11.116( ( ) ( ) ( ) 3exp 1 1,n n nkT kT

ω ω⎛ ⎞⎟⎜ − ≈ ∀ ∈⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠N

:خواهد شد) 11.111(پس انرژي

)11.117( ( )

0 0n

E kT E NkT E≈ + = +∑

:بنابراين. تعداد كل مودهاي سيستم است Nكه در آن

)11.118( C Nk≈

:از طرفي در دماي خيلي پايين خواهيم داشت


)11.119( ( ) ( ) 3exp 0,n nkT

ω⎛ ⎞⎟⎜− ≈ ∀ ∈⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠N

:آوريم و بنابراين بدست مي

)11.120(

( )[ ] ( )

( )( )

( )[ ] ( )

( )

2

22

2

2

2exp

1

1 exp

21exp

nn

n n

nn

n

kTCkT

kT

kT kT

ωω

ω

ωω

⎛ ⎞⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥− − ⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜≈ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

∑

) تجمال )( )2 exp 2 nT kTω− تا دماي − ( )m nT kω= كه داراي يك بيشينه است افزايش

.سير نزولي داردآن ، و براي دماهاي باالتر از )23تمرين ( يابد مي

، بدين معني كه بعد كنند عموما رايج است كه گرماي ويژه را نسبت به چگالي جرمي بهنجار مي

Jفيزيكي آن kg °C به جايJ K به فرم بايد ) 11.94(ي در اين شرايط رابطه. است

1MC E T= ∂ .جرم كل نانوساختار است M، كه در آن ودشبازنويسي ∂

:مراجع[1] Y. Jompol, C. J. B. Ford, J. P. Griffiths, I. Farrer, G. A. C. Jones, D. Anderson, D.

A. Ritchie, T. W. Silk, A. J. Schofield, “Probing Spin-Charge Separation in a

Tomonaga-Luttinger Liquid,” Science, vol. 325, no. 5940, pp. 597-601 (2009).



[4] A. H. Sadeghi, A. Naqavi, and S. Khorasani, “Interaction of quantum dot

molecules with multi-mode radiation fields,” Scientia Iranica, vol. 17, no. 1, pp.

59-70 (2010).

[5] M. Kaku, Quantum Field Theory: A Modern Introduction, 1st ed., Oxford

University Press, 1993.

[6] J. D. Jackson, “From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge

transformations,” American Journal of Physics, vol. 70, no. 9, pp. 917–928 (2002).

[7] R. J. Glauber, “Coherent and Incoherent States of the Radiation Field,” Physical

Review, vol. 131, no. 6, pp. 2766-2788 (1963).


[8] U. M. Titulaer and R. J. Glauber, “Correlation Functions for Coherent Fields,”

Physical Review, vol. 140, no. 3B, pp. B676-B682 (1965).

[9] M. A. Stroscio and M. Dutta, Phonons in Nanostructures, Cambridge University

Press, Cambridge, 2001.

[10] A. J. M. Spencer, Continuum Mechanics, Longman, London, 2004.

[11] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics, Brooks Cole, 1976.

[12] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed., John Wiley & Sons, 2005. [13] R. L. de Matos Filho and W. Vogel, “Nonlinear coherent states,” Physical Review

A, vol. 54, no. 5, pp. 4560-4563 (1996).

[14] B. Roy and P. Roy, “New nonlinear coherent states and some of their nonclassical

properties,” Journal of Physics B: Quantum and Semiclassical Optics, vol. 2, pp.

65-68 (2000).

:تمرين

ها حفره كه حمل جريان الكتريكي در نوار ظرفيت را به عهده دارد يك ذره هادي آيا در نيمه - 1

توان گفت كه پادالكترون، يا آيا با تعميم اين تعريف، مي ذره؟ چرا؟ است يا يك شبه

ذره است؟ پوزيترون نيز يك شبه

.تاييد نماييد )11.22(صحت - 2

:كنيم چرخش اسپين را تعريف مينردباني گرهاي عمل) 10.97(با قبول تعاريف - 3

,+ −↓ = ↑ ↑ = ↓S S

:و صحت بيابيد) 10.100(گرها را مانند روابط فرم اين عمل

( )S S S2 x yj

± = ±

نشان دهيد . را بيازماييد ˆ, 1− + =S S ، S S ˆ, 0− − و = S S ˆ, 0+ + در نتيجه . =

Sخواهيم داشت 2 0− Sو = 2 0+ گرهاي چرخش اسپين، جبري مانند پس عمل. =

چنين پادجابجاگرهاي هم شود؟ اين وجه تشابه از كجا ناشي مي .گرهاي فرميوني دارند عمل

,x+S S و ,x

−S S و جابجاگرهاي ،[ ],x+S S و[ ],x

−S S را بيابيد.

)توان نوشت مي) 11.58(ي از رابطه - 4 )

( )

F Fnn

= :كه در آن ∑


( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )F * †1

ˆ ˆ2n n n n n na t a tω ⎡ ⎤= +⎣ ⎦M r M r

)گر ميدان بوزوني مود عمل )n داشتي بردار ميدان نسبت به مقدار چشمنشان دهيد . است

)كت حالت )nn كه در آن( )nn هاي مود تعداد بوزون( )n به بيان . باشد است، صفر مي

اي توليد هاي يك مود دقيقا دانسته باشد، هيچ ميدان قابل مشاهده تعداد بوزونديگر اگر

.كند نمي

:نشان دهيد تساوي زير برقرار است) 11.24(ي در رابطه - 5

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )* 3 * 30

1, : : ,n n r

n

t d r t d rj

ε εω

⋅ ∇× =∫∫∫ ∫∫∫E r H r E r E r

در طرفين استفاده ) 11.18(و تعامد ) 11.19(هاي براي اين منظور ضروري است از بسط

.نماييد

:داشتي زير مطلوبست روابطي براي مقادير چشم، 4ضمن رجوع به تمرين - 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F F2: :n n n n n n nn n n n= K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F F2 : :n n n n nn n= K

)عدم قطعيت در كميت ),tF r ي كه با رابطه:

( ) ( )F F 22n nFΔ = −

تعريف مي شود چقدر است؟

)دانيم، تعريف پتانسيل برداري مغناطيسي طور كه مي همان - 7 ),tA r يكتا نيست و تحت

:تبديالت

( ) ( ) ( ), ,t t φ→ +∇A r A r r

( ) ( ) ( ), , ,t t tt

ϕ ϕ φ∂

→ −∂

r r r

)كه در آن ),tϕ r اي الكتروستاتيك و پتانسيل نرده( ),tφ r تابعي اختياري است، ناوردا

:حال بردار چهارتايي. باشد مي


( )1, c ϕ=C A

)نشان دهيد تابع در فقدان بار آزاد و جريان آزاد الكتريكي، . كنيم را تعريف مي ),tφ r را به

:توان انتخاب كرد كه داشته باشيم اي مي گونه

0⋅ =C

بديهي است . گوييم ي لورنتز مي اي، پيمانه به اين انتخاب خاص از پتانسيل برداري نرده

)ميدان پتانسيل برداري مغناطيسي ),tA r ي لورنتز، نسبت به تبديالت لورنتز تحت پيمانه

)ي اي كه از حل آن بتوان تابع پيمانه نيز نشان دهيد معادله .ناوردا استنيز ),tφ r ،را يافت

:عبارتست از

( )2 , 0tφ =r

=2كه در آن .ظاهر شده است) 10.29(كه قبال در گر داالمبرين نام دارد عمل ⋅

)ي نشان دهيد با انتخاب خاصي از پيمانه 7ي در مسئله - 8 ),tφ rخواهيم داشت ،:

( ), 0t∇⋅ =A r

.ي كولمب مشهور است اين انتخاب به پيمانه

باشد، يعني a†گر بقا ي عمل كتي كه حالت ويژه ،)11.65(ثابت كنيد در قياس با - 9

†a α α α= .قابل بهنجارش نيست

:نشان دهيد حاالت همدوس متعامد نيستند، يعني -10

( )α β δ α β≠ −

αمقدار β و قدر مطلق آن چقدر است؟

.بدست آوريد) 11.56(و ) 11.10( ،)11.1( را با كمك) 11.86(گر چگالي انرژي عمل -11

به توان ، مي)11.7(و استفاده از تعامد ) 11.87(نشان دهيد با اخذ انتگرال حجمي روي -12

.رسيد) 11.82.2(هاميلتوني


ها هم ميدان نشان دهيد حتي در غياب بوزون) 11.38(و جبر بوزوني ) 11.87(با كمك -13

چنين نشان دهيد هم. داراي چگالي حجمي انرژي ميانگين غير صفر در تمام فضا است

1 ي صفر انتگرال حجمي روي اين چگالي انرژي، انرژي نقطه2 ω دهد را باز پس مي.

)فرض كنيد ميدان -14 ),tF r متعامد ديگري مانند هاي ميدانرا بر اساس

( ) ( ) ( )( ) ( )( ), expn n nt j tϖ= −N r N r محيط ي هاي ويژه ميدانبسط دهيم، در حالي كه

) ميزبان ) ( ) ( )( ) ( )( ), expn n nt j tω= −M r M r در حالت كلي .هستند( ) ( )n nω ϖ≠ ولي ،

)ممكن است كه ) ( )n nω ϖ= گر ميدان عمل .برقرار باشدF از . را در اين حالت بيان كنيد

خود محيط مورد نظر در ي هاي ويژه فرم بدست آمده نتيجه بگيريد چرا استفاده از ميدان

.كوانتش ميدان مرجح است

.كوانتش ميدان فونوني را بر اساس تانسور كرنش بنا نماييد 11.6در بخش -15

تنها ) نه هميشه(معموال ها شارهدر . باشدشاره يك تانسور تنش محيط ميزبان فرض كنيد -16

:توان نوشت گرد وجود دارد و مي سان تانسور تنش هم

( ) ( )[ ], ,t P t I=r rσ

)كه در آن ),P tr بندي كوانتش فونوني به چه تغييري در صورت. گرد است سان فشار هم

آيد؟ وجود مي

Rپذيريم براي يك محيط ميزبان داده شده، ماتريسي مستقل از زمان و مكان مانند مي -17

:اي كه داشته باشيم جا قطري كند، به گونه تانسور تنش را همه وجود داشته باشد كه

( ) ( ) ( )1, , ,i ijt t tσ δ− ⎡ ⎤′ ′= = ⎣ ⎦R r R r rσ σ

. ها قابل توصيف است اي از دوران اوال نشان دهيد اين ماتريس متعامد است، يعني با مجموعه

حال در دستگاه مختصات جديد، كوانتش ميدان فونوني را ساده كرده و از حالت تانسوري به

)اگر .برداري تقليل دهيد فرم ),t=R R r ي شما معتبر است؟ باشد، آيا هنوز محاسبه


K) 11.1(با در نظر گرفتن لزوم حقيقي بودن چگالي انرژي حجمي، نشان دهيد در -18

ijتانسوري متقارن است، يعني jiK K= . با استدالل مشابه نشان دهيد ) 11.91(در

ijkl klijc c=.

:گر جابجايي با تعريف نشان دهيد حالت همدوس از اثر دادن عمل -19

( ) ( )D † *ˆ ˆexp a aα α α= −

- كمپبل-بيكربراي اين منظور ابتدا درستي اتحاد مشهور . شود حاصل مي 0بر كت خالء

:هاسدورف را تحقيق نماييد

( ) ( ) ( ) [ ]( )A B A B A B12exp exp exp exp ,+ = −

]كه صحت آن منوط به ][ ]A B A, , ]و =0 ][ ]A B B, , :سپس نشان دهيد. است =0

( ) ( ) ( )D †1 22 ˆexp exp aα α α= −

را تعريف γ ، حالت همدوس فرميوني19ضمن قياس با حالت همدوس بوزوني در تمرين -20

:كنيم مي

( ) ( )†ˆ0 exp 0cα α β α= =D

)با بسط مستقيم )αD ثابت ،β را بر حسبα 1چنان تعيين كنيد كهα α =.

) با كمك اتحاد -21 ) ( )exp expm m

m m mββ β∂∂− = − −∑ توجه به فرم تصاعد هندسي و ∑

( )expm

mβ−∑عبارت فوق را محاسبه نماييد ،.

زيرا . نشان دهيد ظرفيت حرارتي نانوساختار در دماي صفر مطلق، صفر است) 11.120( در -22

.ستقل از دما است وجود داردي صفر كه م در اين دما، تنها انرژي نقطه

) تابع -23 )2

1 1expf x

x x⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

1نشان دهيد اين تابع در . را رسم كنيد2x داراي يك =

)بوده، و در بيشينه )16 3 3x = همچنين داريم. ي عطف است داراي يك نقطه −

( )0lim 0x f x→ )و = )lim 0x f x→+∞ حال سعي چقدر است؟مقدار اين بيشينه . =


)كنيد )f x 0را حولx نشان دهيد تمامي جمالت اين بسط تيلور . بسط تيلور دهيد =

)افزار محاسبات نمادين اكنون با كمك يك نرم .صفرند )f x ي عطف را حول نقطهx آن

:بسط دهيد و ضرايب بسط زير را بدست آوريد

( ) ( ) ( ) ( )2 30 1 2 3f x f f x x f x x f x x= + − + − + − +

2بديهي است كه 0f ).چرا؟( =

با در نظر . بيان شود) 5.93(ي ي انرژي با رابطه فرض كنيد كه مقادير ويژه) 11.120(در -24

1meVωگرفتن .را بطور عددي محاسبه و ترسيم نماييد ، انرژي و ظرفيت حرارتي=

توان به كند مي نهايت ميل مي را براي حالتي كه حجم ساختار به بي) 11.115(ي رابطه -25

:خواهيم داشتاگر ظرفيت حرارتي بر واحد جرم بيان شود، نشان دهيد . سادگي تعميم داد

( )

2 2

220 exp 1

C D dkT

kT

ωω ω

ρ ω

∞

=⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥−⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

)كه در آن تابع )D ω و چگالي حاالت فونوني محيطρ اگر فرم .است چگالي جرم آن

) تقريبي تابع چگالي حاالت فونوني به صورت ) 1ND ω αω كه در آن ، باشد =−

1,2,3N .تعداد ابعاد فيزيكي ساختار است، انتگرال باال را ارزيابي كنيد =

بعدي مانند گر هماهنگ يك ي كربني داراي طيف ارتعاشي نوسان فرض كنيد يك نانولوله -26

n nω ω= اي دقيق براي ظرفيت گرمايي آن بيابيد، و بر حسب دما ترسيم رابطه. باشد

0ωيين و باال رفتار ظرفيت گرمايي نانولوله چگونه است؟ اگر در حد دماي پا. نماييد به →

سمت صفر ميل كند، پاسخ چگونه است؟

;حالت همدوس غيرخطي -27 fα ]13يگر فنا با جبر عمل] 14و ( )ˆ ˆ ; ;f n a f fα α α=

)شود، كه در آن تعريف مي )f n گر شمارش تابعي غير خطي و داراي بسط تيلور از عمل†ˆ ˆ ˆn a a= و ،α ∈ C كت . ي آن است مقدارويژه; fα گر ي نوسان هاي پايه را روي كت

;بسط دهيد و ضرايب بسط را چنان بيابيد كه nهماهنگ ; 1f fα α =.

فصل دوازدهم 269

دوازدهم فصل

دومكوانتش

. مبحث مورد بررسي اين فصل به روش كوانتش دوم در تحليل مسايل كوانتومي اختصاص دارد

داشته و اي در مكانيك كوانتومي به ضرب خارجي فضاهاي براكت احتياج توصيف مسايل چند ذره

و ) 11.95( ي مختلف است با كت حالتي شبيه به ذرهچند بنابراين تابع موج سيستمي كه داراي

براي پوشي شود، وقتي از نمايش اسپينورها چشمدر نتيجه . شود در فصل گذشته بيان مي) 11.96(

:كت كلي سيستم خواهيم داشت

)12.1( ( ) ( )

( )

0 1 2n n nn n

t t n t n n n nψ ψ ψ= =∑ ∑

:عبارتست از و با عدم نمايش تابعيت زماني آن اي ذره Nنمايش مكاني تابع موج براي سيستم

)12.2(

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

, , , N

n N Nn

n N Nn

n n n n

ψ ψ

ψ

ψ ψ ψ ψ ψ

ψ

=

=

=

=

∑

∑

r r r r

r r r r

r r r r

r

)كه در آن ),i i iψ +∈r Z اي در فضاي سه ذره تكاي نردهتوابع موج و ،عديب ( )ψ r تابع موج

به در iچنين زيرنويس هم .شود بعدي توصيف مي N اي است كه در فضاي سيستم چند ذره اي نرده

يكي از حاالت n داشتي منوط به ي مقادير چشم بديهي است محاسبه. كند اشاره مي) 12.1(در

كوانتش دوم 270

براي . كند عدي است كه در عمل، كارآيي اين روش را به شدت محدود ميب3N هاي ارزيابي انتگرال

از ] 2و1[از آن ميان، كوانتش دوم كارهاي مختلف دقيق و تقريبي وجود دارد كه رفع اين مشكل، راه

.ارزش خاصي برخوردار است

و فرميوني هاي بوزوني تقارن ميدان. 12.1

تابع موج اين سيستم . بوزون همانند را در نظر بگيريد Nيك ميدان بوزوني متشكل از ( )ψ r كه

ها با يكديگر، ها، يا تغيير مكان بوزون نمايش داده شده است نسبت به جابجايي بوزون) 12.2(در

:يعني. داراي تقارن زوج است

)12.3( 1 2 1 2, , , , , , 1n m N m n N m n Nψ ψ= + ∀ =r r r r r r r r r r

هاي همانند داراي اين در حالي است كه يك ميدان فرميوني نسبت به اين جابجايي ميان فرميون

:تقارن فرد است

)12.4( 1 2 1 2, , , , , , 1n m N m n N m n Nψ ψ= − ∀ =r r r r r r r r r r

اي نرده ميدان موج. 12.2

)اي و فاقد اسپين مانند ذره تابع موج يك سيستم تك ),tψ r تابع موج لزوما ميداني . را در نظر بگيريد

و در مقايسه با چگالي حجمي انرژي، ) 11.1(ضمن رجوع به . كند اي و مختلط را توصيف مي نرده

K هرميتي گر كميت متناظر با عمل P چگالي حجمي K†= كنيم را تعريف مي:

)12.5( ( ) ( )K *: : , ,P t tψ ψ ψ ψ= = r rK

:نسبت به مكان خواهيم داشت) 12.5(گيري از طرفين با انتگرال

)12.6( ( ) ( ) K3 * 3, ,Pd r t t d r Kψ ψ ψ ψ= = =∫∫∫ ∫∫∫ r rK

) اي مانند هاي ويژه اگر سيستم داراي كت .است Kداشتي كميت كه برابر با مقدار چشم )n با:

)12.7.1( ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) 3, exp ,n n nt j t nϕ ϕ ω= − ∈r r Z

)12.7.2( ( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

* 3n m n mn m d rϕ ϕ δ= =∫∫∫ r r


)كه در آن باشد )( ) ( )

n nϕ =r rبديهي است كه داريمگاه ، آن:

)12.8.1( ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

, n nn

t tψ ψ ϕ= ∑r r

)12.8.2( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* 3,n nt n t t d rψ ψ ϕ ψ= = ∫∫∫ r r

:خواهد بود) 11.13(در مقايسه با ) 12.6(در نتيجه

)12.9.1( ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

* * * *12

, ,n n m m n n m m n n m m

n m n m

K K K Kψ ψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦∑ ∑

)12.9.2( ( )( )( ) ( )Kn mK n m=

Kدر حالت خاصي كه معرف چگالي حجمي احتمال حضور ) 12.5(در Pباشد، گر هماني عمل =1

:شود به شكل زير ساده مي) 12.5(ذره است و

)12.10( ( ) ( )*: , ,P t tψ ψ ψ ψ= = r r

:خواهد بود) 12.8(كه با كمك بسط

)12.11( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

* *

,n m n m

n m

P t tψ ψ ϕ ϕ= ∑ r r

:شود حالت فوق به شرط بهنجارش تبديل ميدر ) 12.9.1(ي چنين رابطه هم

)12.12( ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

*

2

1 :n nn

n nn

nn

t t

t t

t

ψ ψ

ψ ψ

ψ

=

=

=

∑

∑

∑

بندي كوانتش دوم صورت. 12.3

) 12.11(توان ميدان چگالي احتمال گرهاي مناسب مي و تعريف عمل) 11.55( با) 12.9( ضمن قياس

)از آن جايي كه خود ميدان . كوانتيده كرد) 12.5(را در Kو چگالي كميت ),tψ r براي توصيف

) يا ثانويه(رود و مبين آثار كوانتومي سيستم است، كوانتش اخير به كوانتش دوم احتمال بكار مي

:توان نوشتكنيم ب فرض ميبراي اين منظور .مشهور است


)12.13.1( ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

K †

,

ˆ ˆn n m n

n m

b K b= ∑

)12.13.2( ( ) ( )

( )

( )

( )

N †ˆ ˆ ˆn n nn n

b b n= =∑ ∑

)كه در آن )ˆnb و( )

†ˆnb ذرات هستند، كه به ترتيب يك ذره در مود فنا و بقايگرهاي عمل( )n نابود

)مودهاي ي كه در كليه N اتذرتعداد كل گر عمل) 12.13.2(ي رابطهنيز . آفرينند كرده يا مي )n

.دهد نشان مياند پخش شده

)در صورتي كه ذرات بوزون باشند، خواهيم داشت ) ( )ˆ ˆn nb a= و( ) ( )

† †ˆ ˆn nb a= و بنابراين مانند ،

:داريم )11.38(

)12.14.1( ( ) ( ) ( )( )

†ˆ ˆ,n m n mb b δ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

)12.14.2( ( ) ( )ˆ ˆ, 0n mb b⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

)12.14.3( ( ) ( )

† †ˆ ˆ, 0n mb b⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

) داريماما اگر ذرات مورد نظر فرميون باشند، ) ( )ˆ ˆn nb c= و( ) ( )

† †ˆ ˆn nb c= 11.41(مانند لذا ، و:(

)12.15.1( ( ) ( ) ( )( )

†ˆ ˆ,n m n mb b δ=

)12.15.2( ( ) ( ) ˆ ˆ, 0n mb b =

)12.15.3( ( ) ( ) † †ˆ ˆ, 0n mb b =

گرهاي ميدان عمل. 12.3.1

)گرهاي ميدان حال عمل )ψ r و( )†ψ r كنيم تعريف مي) 12.8.1(را با الهام از:

)12.16.1( ( )( ) ( )

( )

( )

ˆ ˆn n

n

bψ ϕ=∑r r

)12.16.2( ( )( ) ( )

( )

( )

† † *ˆ ˆn n

n

bψ ϕ=∑r r


)گر ميدان مفهوم اين دو عمل )ψ r و( )†ψ r ي آن است كه در نقطهr به ترتيب يك ذره نابود كرده

:لذا داريم. وارون كرد) 12.8.2(توان به سادگي با كمك را مي) 12.16(روابط .آفرينند و يا مي

)12.17.1( ( ) ( )( ) ( )* 3ˆ ˆ

n nb d rϕ ψ= ∫∫∫ r r

)12.17.2( ( ) ( )( ) ( )† † 3ˆ ˆ

n nb d rϕ ψ= ∫∫∫ r r

ي برپاسازي آوريم كه مبين نحوه ي جالبي بدست مي رابطه) 12.13.1(در ) 12.17(گزيني با جاي

:استگرها در كوانتش دوم عمل

)12.18( ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

K † * 3 31 1 2 2 2 1

,

ˆ ˆn n m m

n m

K d r d rϕ ψ ψ ϕ= ∑ ∫∫∫ ∫∫∫ r r r r

:اي ساده كرد را به مقدار قابل مالحظه) 12.18(توان مي

)12.19(

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

K

K

K

† * 3 31 1 2 2 2 1

,

† 3 31 1 2 2 2 1

,

† 3 31 1 2 2 2 1

† 3 31 1 2 2 2 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n n m mn m

n m

K d r d r

n n m m d r d r

d r d r

d r d r

ψ ϕ ϕ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

=

∑∫∫∫ ∫∫∫

∑∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫

r r r r

r r r r

r r r r

r r r rK

K1كه در آن 2 1 2=r r r rK . خواهيم داشت ) 2.26.1(حال با كمك( )1 2 1 2δ= −r r r r و ،

:بنابراين

)12.20( ( ) ( )K † 3ˆ ˆ d rψ ψ= ∫∫∫ r rK

KK گر عملداشتي كه مقدار چشم) 3.24( امقايسه بي اخير قابل رابطه ψ ψ= در كوانتش را

:است كند توليد مياول

)12.21( ( ) ( )K K * 3K d rψ ψ ψ ψ= = = ∫∫∫ r rK

:توان نوشت مي) 12.21(پس به تقليد از

)12.22( K ˆ ˆψ ψ= =K K

. گر در كوانتش دوم است داشتي عمل ، مبين مقدار چشم⋅براكت دوگانه يا نماد كه در آن،


گرهاي ميدان جبر عمل. 12.3.2

. كنند گرهاي ميدان از جبر متفاوتي پيروي مي ، عملبوزون يا فرميونبسته به نوع ذرات

ها بوزون. 12.3.2.1

:خواهيم داشت) 5.83(و )12.14(، )12.16(باشند، با كمك اگر ذرات بوزون

)12.23(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

† † †1 2 1 2 2 1

† * † *1 2 2 1

,

† † *1 2

,

† *1 2

,

*, 1 2

,

*1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ,

n n m m m m n nn m

n m m n n mn m

n m n mn m

n m n mn m

n mn

a a a a

a a a a

a a

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ

⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

=

= −

∑

∑

∑

∑

∑

r r r r r r

r r r r

r r

r r

r r

r r

r r

:توان به سادگي ديد كه داريم به طريق مشابه مي

)12.24( ( ) ( ) ( ) ( )† †1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r

ها فرميون. 12.3.2.2

:داشتخواهيم ) 5.83(و ) 12.15(، )12.16(ها طبق از سوي ديگر، براي فرميون

)12.25(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

† † †1 2 1 2 2 1

† * † *1 2 2 1

,

† † *1 2

,

† *1 2

,

*, 1 2

,

*1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ,

n n m m m m n nn m

n m m n n mn m

n m n mn m

n m n mn m

n mn

c c c c

c c c c

c c

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ

= +

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

=

=

=

= −

∑

∑

∑

∑

∑

r r r r r r

r r r r

r r

r r

r r

r r

r r


:توان به سادگي ديد كه داريم به طريق مشابه مي

)12.26( ( ) ( ) ( ) ( ) † †1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0ψ ψ ψ ψ= =r r r r

هاميلتوني. 12.3.3

:عبارتست از )12.22(و )11.39(با كمك از بوزوني اي هاميلتوني سيستم چندذره

)12.27( ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )H H † † 312

ˆ ˆˆ ˆ,n n n nn n

a a d rω ψ ψ= = =∑ ∑ ∫∫∫ r rH

:عبارتست از )12.22(و )11.40(اي فرميوني با كمك كه براي سيستم چندذرهدر حالي

)12.28( ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )H H † † 312

ˆ ˆˆ ˆ,n n n nn n

c c d rω ψ ψ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦∑ ∑ ∫∫∫ r rH

ي صفر از انرژي نقطه) 12.27(اگر در ( )

( )

12 nn

ω∑ پوشي كنيم، چشمكه خاص ميدان بوزوني است


)12.29( ( ) ( ) ( )

( )

H †ˆ ˆn n nn

a aω= ∑

:را به فرم اصلي بازگردانيد و خواهيم داشت) 12.28(توان براي ميدان فرميوني ميچنين هم

)12.30( ( ) ( ) ( )

( )

H †ˆ ˆn n nn

c cω= ∑

)گر شمارش بوزوني با تعريف عمل ) ( ) ( )

†ˆ ˆ ˆn n nn a a= يا فرميوني( ) ( ) ( )

†ˆ ˆ ˆn n nn c c= مود( )nي ، دو رابطه

:اخير به فرم متحدالشكل زير در خواهند آمد

)12.31( ( ) ( )

( )

H ˆn nn

nω= ∑

گرهاي فنا و بقا عمل. 12.4

ي هاي ويژه اثر متفاوتي بر كت) 15(و ) 14(گرهاي فنا و بقاي تعريف شده در عمل m تعريف

.كنيم و فرميوني اين آثار را بررسي ميذيال در دو حالت بوزوني . دارند) 12.1(شده در


ها بوزون. 12.4.1

:ها داريم در مورد بوزون

)12.32.1( ( )

0 1 2

0 1 2

ˆ

1

n n

n n

a m m m m

m m m m m= −

)12.32.2( ( )

†0 1 2

0 1 2

ˆ

1 1

n n

n n

a m m m m

m m m m m= + +

بوزوني گر شمارش كرد عمل ي عمل چنين نحوه هم( )ˆ nn به شكل زير است:

)12.33( ( )

0 1 2

0 1 2

ˆ n n

n n

n m m m m

m m m m m=

كه در آن nm+∈ Z هاي حالت تعداد بوزون( )n دهد را نشان مي.

ها فرميون. 12.4.2

ها كت ويژه به فرم در مورد فرميون 0 1 2 , , 0,1n im m m m m i m= ∀ =

پس در . توان حداكثر يك و حداقل صفر فرميون داشت دهد در هر تراز مي ، كه نشان مي)چرا؟(است

:گرهاي فنا و بقا خواهيم داشت مورد جبر عمل

)12.34.1( ( )

0 1 2

0 1 2

ˆ 1

0

nc m m m

m m m=

)12.34.2( ( )

0 1 2

0 1 2

ˆ 0nc m m m

m m m= ∅ = ∅

:چنين و هم

)12.35.1( ( )

†0 1 2

0 1 2

ˆ 0

1

nc m m m

m m m=

)12.35.2( ( )

†0 1 2

0 1 2

ˆ 1nc m m m

m m m= ∅ = ∅


گر شمارش فرميوني كرد عمل ي عمل بنابراين نحوه( )ˆ nn به شكل زير است:

)12.36( ( )

0 1 2

0 1 2

ˆ n n

n n

n m m m m

m m m m m=

كه در آن 0nm يا = 1nm )هاي حالت ، تعداد فرميون= )n است.

اينشتين-بوز شچگال. 12.5

شرط λها با طول موج دوبروي اي از بوزون دهد كه توده اينشتين هنگامي رخ مي- چگالش بوز

Lλ را ارضا كنند كه در آنL در برخي شرايط، ].3-5[كنش است ي برهم معيار فاصله

، به يك حالت ترموديناميك cTتر از يك دماي بحراني مانند هايي ضمن كاهش دما به پايين سيستم

ابررسانايي مثال واضحي از چگالش . دهند اينشتين را مي- ي بوز جديد وارد شده و تشكيل يك چگاليده

ذره موسوم هاي متفاوت، تشكيل يك شبه ينشتين است كه در آن هر دو جفت الكترون با اسپينا- بوز

هاي كوپر در چگالش زوج. دهند كه اسپين آن صفر و در نتيجه يك بوزون است به زوج كوپر را مي

طور كه خواهيم همان. گردد ايي ميي ابررسان ، منجر به بروز پديدهcTتر از دماي بحراني دماهاي پايين

تري نسبت به فاز ديد، براي ايجاد چگالش ضروري است كه فاز ترموديناميكي جديد داراي انرژي پايين

ها در يك حالت انرژي در اثر بروز چگالش، بوزون .دهد صورت چگالش رخ نمي قبلي باشد، و در غير اين

به عنوان . تر با طول همدوسي بلند رفتار خواهند كرد گي بزر ي يك ذره همانند واقع شده و به مثابه

.را برشمرد] 6-9[و ابرجامدات ] 3[ها توان ابرشاره اينشتين، مي-هايي ديگر از چگالش بوز مثال

دماي بحراني. 12.5.1

تر از دماي ها حتي در دماي كم گاه تمام بوزون باشد، آن Nهاي سيستم برابر اگر تعداد كل بوزون

ي متعلق به بلكه تنها كسري از تعداد كل ذرات در حالت پايه. شوند در چگاليده واقع نمي cT بحراني

]:4[گاه آن. باشد 0Nي جديد برابر فرض كنيد كه جمعيت اين حالت پايه. نمايند چگاليده تجمع مي


)12.37( 3

0 1c

N TN T

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

خود cTدماي بحراني . شوند ها در چگاليده واقع مي بنابراين تنها در حد دماي صفر مطلق، تمام بوزون

ها توسط يك پتانسيل دازي بوزوننا فرض كنيد كه بدام. ها وابسته است ي محصورسازي بوزون به نحوه

:صورت گرفته باشد) فصل پنجم 20مانند تمرين (بعدي نامتقارن گر هماهنگ سه نوسان

)12.38( ( ) ( )R X Y Z2 2 2 2 2 2

2 x y z

mU ω ω ω= + +

:توان نشان داد كه دماي بحراني عبارتست از تحت اين شرايط، مي

)12.39.1( 30.24cT Nkω

≈

)12.39.2( 3 x y zω ω ω ω=

.ها وابسته است بنابراين دماي بحراني گذار به چگالش، خود به كعب تعداد كل بوزون

هاميلتوني. 12.5.2

:ي زير قابل نمايش است كنش طبق رابطه بوزون همانند در غياب برهم Nهاميلتوني تعداد

)12.40( ( )H H R11

N

ii=

= ∑

)كه در آن )H R1 i ي ذره هاميلتوني تكiاينشتين -اما شرط الزم براي ايجاد چگالش بوز. باشد ام مي

كنش كوانتومي ها در حالت عادي داراي برهم دانيم كه بوزون مي. ها است كنش ميان بوزون وجود برهم

گاه براي برقراري . كنند ي طرد پاولي پيروي نمي صفر هستند، زيرا از قاعدهبسيار ضعيف و تقريبا

ي سومي مانند يك فرميون يا يك اتم ديگر ميسر ها، ارتباط از طريق ذره كنش ميان بوزون برهم

هاي مختلف در حضور يك اتم كه با هر دو هاي غير همانند با طول موج مثال فوتون. شود مي

حتي در خالء مطلق نيز دو فوتون از طريق . كنند ديگر را حس مي ود يككنش دارد، وج برهم

اما . كنش داشته باشند ي صفر قادرند برهم كنش با ذرات مجازي متولد شده از ميدان انرژي نقطه برهم

هنگامي كه محيط ميزبان، مانند . كنشي بسيار ضعيف و به ندرت قابل مشاهده است چنين برهم


كنش از طريق شبكه و يا مستقيما از طريق برخوردهاي حالت جامد است، برهم ابررساناها، خود در

ها است كه براي كنش ميان بوزون در هر صورت، برهم. هاي كوپر قابل توصيف است كولمبي ميان زوج

.چگالش و تغيير حالت ترموديناميك مانند انجماد يا ميعان الزم است

هاميلتوني توان كنش، مي براي توصيف برهم. زون رخ دهدتواند بين دو يا چند بو كنش مي برهم

:را بدين شكل اصالح كرد) 12.40(

)12.41( ( ) ( ) ( )H H R H R R H R R R1 2 31 , 1 , , 1

1 1, , ,

2! 3!

N N N

i i j i j ki i j i j k= = =

= + + +∑ ∑ ∑

)كه در آن )H R R2 ,i j اي بين ذرات كنش دوذره هاميلتوني برهمi ام وj ام است، و به طريق مشابه

( )3 , ,i j kH R R R اي بين ذرات ذره كنش سه هاميلتوني برهمi ،امj ام، وkچنين هم .باشد ام مي

نند آن بوده، و بنابراين كنش داراي تقارن نسبت به جابجايي ذرات درگير و هما انرژي برهم

( ) ( )2 2, ,i j j i=H R R H R R . نيز( ) ( ) ( )3 3 3, , , , , ,i j k j k i k i j= =H R R R H R R R H R R R و ،

)به طريق مشابه ) ( )3 3, , , ,i j k k j i=H R R R H R R R .ها علت حضور جمالت ي اين تقارن مجموعه

1!n اكنش ندارد و لذ خود برهماي با بديهي است كه هيچ ذرهچنين هم. كند روشن مي) 12.41(را در

:توان ساده كرد را به شكل زير مي) 12.41(هاميلتوني

)12.42( ( ) ( ) ( )1 2 3

1 1, , ,

2! 3!i i j i j ki i j i j k≠ ≠ ≠

= + + +∑ ∑ ∑H H R H R R H R R R

تر از آن است كه بتوان براي آن نقش قابل توجهي در نظر اي خيلي ضعيف ذره كنش سه معموال برهم

:گرفت و نهايتا هاميلتوني مورد تحليل عبارتست از

)12.43( ( ) ( )1 2

1,

2!i i ji i j≠

= +∑ ∑H H R H R R

، زيرا بدون دانستن نماييم) 12.43(گردد كه اقدام به حل قدرت روش كوانتش دوم هنگامي آشكار مي

)اطالعات زياد راجع به فرم دقيق )2 ,i jH R R سازد را ميسر مي) 12.43(تحليل.


گرهاي بوزوني عمل. 12.5.3

)گرهاي بوزوني فنا با كمك عمل) 12.43(در اين مرحله اقدام به بيان )ˆna و بقا( )

†ˆna كنيم مي.

)ي ذره گر انرژي تك توان عمل مي )H R1 i 5تمرين (را نوشت ) 12.43(در:(

)12.44( ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

†1 1

,

ˆ ˆi m ni m n

m n a a=∑ ∑H R H

:كه در آن

)12.45( ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )* 31 1n mm n d rϕ ϕ= ∫∫∫ r rH H r

)اي به همين ترتيب براي هاميلتوني دوذره )2 ,i jH R R داريم) 12.43(در:

)12.46( ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

† †2 2

, , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ,i j m n p qi j m n p q

m n p q a a a a=∑ ∑H R R H

:كه در آن

)12.47( ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2m n p q m n p q=H H

:عبارتست از) 12.45(براكت فوق در نمايش انتگرالي قابل مقايسه با

)12.48( ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

* * 3 31 2 2 1 2 2 1 2 1,m n p q

m n p q

d r d rϕ ϕ ϕ ϕ

=

∫∫∫ ∫∫∫ r r r r

H

H r r

:توان نوشت مي) 12.46(و ) 12.44(و با استفاده از ) 12.43(گرهاي بوزوني براي پس با كمك عمل

)12.49( ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

†1

,

† †2

, , ,

ˆ ˆ

1ˆ ˆ ˆ ˆ

2!

m nm n

m n p qm n p q

m n a a

m n p q a a a a

=

+

∑

∑

H H

H

.طلبد فرآيندي بسيار پيچيده را ميبطور مستقيم ) 12.49(بديهي است كه حل هاميلتوني

نمايش كوانتش دوم. 12.5.4

نوشت ) 12.49(بندي كوانتش دوم را براي هاميلتوني توان صورت مي) 12.27(در اين مرحله با كمك

):7تمرين (


)12.50( ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

† 31

† † 3 31 2 2 1 2 2 1 2 1

ˆ ˆ

1 ˆ ˆ ˆ ˆ,2

d r

d r d r

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

= +∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

r r

r r r r

H H r

H r r

تر از نمايش آن با از هاميلتوني سيستم بسيار آسان) 12.50(در عمل، كار با نمايش كوانتش دوم

.است) 12.49(گرهاي فنا و بقا در عمل

با هم برهمكنشي 2rو 1rپذيريم كه دو بوزون واقع در نقاط به عنوان يك تقريب خيلي خوب، مي

1ديگر برسند، يعني كه به مجاورت يك ندارند، مگر آن 2≈r r . هاي كنش سازي در برهم سادهبه اين

:در نتيجه به زبان رياضي خواهيم داشت. شود تايي، تقريب موضعي گفته مي دو

)12.51( ( ) ( )2 1 2 1 2, gδ≈ −H R R R R

]:4[ي زير قابل تخمين است كنش بوده و از رابطه ثابتي موسوم به ثابت برهم gكه در آن

)12.52( 24

g amπ

=

بديهي .ثابتي تجربي و موسوم به طول پراكنش موج كروي است aها و جرم بوزون mكه در آن

0gچه است كه چنان اي داراي ماهيت دافعه، و در غير اين صورت داراي كنش دوذره گاه برهم ، آن<

:به فرم زير خواهيم رسيد) 12.50(در هاميلتوني ) 12.51(گذاري با جاي. ويژگي جاذبه است

)12.53( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )† 3 † † 31

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2g

d r d rψ ψ ψ ψ ψ ψ= +∫∫∫ ∫∫∫r r r r r rH H r

.گانه است ششهاي فاقد انتگرال) 12.50(در آن است كه نسبت به ) 12.53(ي اهميت رابطه

تحليل چگاليده. 12.5.5

كنش هايزنبرگ كه در فصل سوم بيان شده است در تصوير برهم) 12.53(تحليل مستقيم هاميلتوني

اگر . كنيم تعريف مي) 3.62(كنش را مطابق براي اين منظور ابتدا هاميلتوني برهم. پذير است امكان

:خواهيم داشتانجام شود، 1Hتبديل نسبت به هاميلتوني

)12.54( ( )1 1exp expI j jt t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠H H H H


:كنش خواهد بود ، كت سيستم در تصوير برهم)3.58(چنين طبق هم

)12.55( ( ) ( ) ( )1expI jt t tψ ψ

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠H

:كنيم كنش هايزنبرگ را تعريف مي گرهاي ميدان در تصوير برهم اكنون عمل

)12.56.1( ( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ, exp expI j j

t t tψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r rH H

)12.56.2( ( ) ( ) ( )† †1 1

ˆ ˆ, exp expI j jt t tψ ψ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠r rH H

پس . را استخراج نمود) 12.56(گرهاي ميدان توان معادالت حركت عمل مي 10حال با كمك تمرين

)، و ضمن عدم نمايش باالنويس تصوير هايزنبرگ از انجام محاسبات در )I خواهيم داشت:

)12.57( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )†1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,j t t g t t ttψ ψ ψ ψ ψ

∂= +

∂r r r r rH

شود داراي در آن ديده مي 1H ذره گر هاميلتوني تك بدين جهت كه تنها عمل) 12.57(ي رابطه

ي گزين معادله گري است كه جاي ي عمل يك معادله) 12.57(ي البته معادله. اهميت فراوان است

. شده است) 12.43(و هاميلتوني ) 12.1(شرودينگري با كت حالت

دجنس-تقريب بوگوليوبوف. 12.5.5.1

)گرهاي ميدان با تفكيك عمل) 12.57(تحليل )ˆ ,tψ r و( )†ˆ ,tψ r به دو جزء:

)12.58.1( ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ, , ,t t tψ δ= Ψ +r r r

)12.58.2( ( ) ( ) ( )† † †ˆ ˆ ˆ, , ,t t tψ δ= Ψ +r r r

)شود، كه در آن انجام مي )ˆ ,tΨ r اينشتين و -ي بوز گر فناي چگاليده عمل( )ˆ ,tδ r گر فناي ابر عمل

.اند ها است كه هنوز به چگاليده راه نيافته ي آن بخشي از بوزون حرارتي چگاليده است، كه در برگيرنده

دهد بر اين را ارايه مي) 12.58(دجنس، كه نوعي مدل پديدارشناختي از -تقريب مشهور بوگوليوبوف

)مبنا استوار است كه )ˆ ,tΨ r اي مانند با يك تابع نردهگري بوده و در نتيجه فاقد ماهيت عمل


( ),tΨ r هاي چگاليده نسبت به ابر اين تقريب معتبر است اگر تعداد بوزون .گزيني است قابل جاي

:توان نوشت در نتيجه در دماهاي نزديك به صفر كلوين مي. حرارتي آن زياد باشد

)12.59.1( ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, , ,t t tψ δ≈ Ψ +r r r

)12.59.2( ( ) ( ) ( )† * †ˆ ˆ, , ,t t tψ δ≈ Ψ +r r r

:كنيم و خواهيم داشت گزين مي جاي) 12.57(ي حركت را در معادله) 12.59(اين مرحله، روابط در

)12.60( ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )† 2

1

ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, , , , , ,

j t tt

t t g t t t t

δ

δ δ δ

∂ ⎡ ⎤Ψ + =⎢ ⎥⎣ ⎦∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ + + Ψ + Ψ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r

r r r r r rH

:ي زير دست خواهيم يافت در طرفين به دو معادله 1δو 0δبا برابر قراردادن جمالت

)12.61.1( ( ) ( ) ( ) ( )2

22, , ,2

j t U g t tt m

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥Ψ = − ∇ + + Ψ Ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

r r r r

)12.61.2(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22 2 †ˆ ˆ ˆ, 2 , , , ,2

j t U g t t g t tt mδ δ δ

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥= − ∇ + + Ψ + Ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

r r r r r r

)جا از اتحاد در اين )2 221 m U= − ∇ + rH استفاده شده است، كه( )U r پتانسيل ) 12.38(مانند

. نمود) 12.61.2(توان اقدام به حل تقريبي مي) 12.61.1(پس از حل . محصورساز چگاليده است

قادر است طيف وسيعي از مشهور است و ]10-14[ النداو-ي گينزبورگ به معادله) 12.61.1(ي معادله

النداو -ي گينزبورگ معادله .ها را با تقريب پديدارشناختي وصف نمايد مسايل مربوط به چگاليده

)بر حسب ) 12.61.1( ),tΨ r گر ابر بر حسب عمل) 12.61.2(ي خطي است، در حالي كه معادلهغير

)حرارتي )ˆ ,tδ r بديهي است براي يافتن . خطي است( )ˆ ,tδ r بايست ابتدا حل مي) 12.61.2(از

هاي چگاليده باشد تعداد كل بوزون 0Nاگر كه ] 10-14و3[توان ديد مي .را يافته باشيم) 12.61.1(

:آيد ي زير بدست مي هاي چگاليده از رابطه چگالي حجمي بوزونتعريف گرديده است ) 12.37(كه در

)12.62( ( ) ( ) 20 0, ,n t N t= Ψr r

:كه شرط بهنجارش زير رعايت گردد مشروط به آن

)12.63( ( ) 2 31 ,t d r= Ψ∫∫∫ r


ابررسانايي. 12.6

براي اولين بار مطرح 1957در سال و شرايفر، ،نخستين تئوري جامع ابررسانايي توسط باردين، كوپر

ذراتي از جنس ناشي از تشكيل شبه، ابررسانايي كرديمطور كه در باال اشاره همان ].15- 17[شد

در برخي مواد ضمن عبور از يك دماي بحراني، . هاي كوپر در مواد است بوزون و موسوم به زوج

تر از ي جديدي با انرژي پايين ها از جنس جاذبه بوده و منجر به تشكيل حالت پايه كنش بوزون برهم

در چنين شرايطي در حقيقت . موديناميكي ابررسانايي استشود كه همان فاز تر انرژي حالت پايه مي

ي باردين، كوپر، و شرايفر براي نظريه. دهد هاي كوپر رخ مي اينشتين براي زوج- نوعي چگالش بوز

40cTابررساناهاي سرد كه داراي دماي بحراني عمدتا پايين K< اين در حالي . هستند معتبر است

اي براي توضيح ابررسانايي گرم در ابررساناهايي كه داراي دماي بحراني نسبتا است كه هنوز نظريه

40cTباالتر K> اي از اين نظريه اختصاص دارد اين قسمت به مرور فشرده .هستند وجود ندارد.

ذرات گرهاي شبه عمل. 12.6.1

از . شود مشخص مي σو يك اسپين مانند kهر الكترون با يك بردار موج بلوخ مانند يك ابررسانا در

)ها فرميون هستند، هر الكتروني دقيقا با يك حالت انرژي مانند آن جايي كه الكترون )E k كه نسبت

σبه اسپين باال σو پايين ↑= با توجه نزديك صفر كلويندر دماي .تبهگن است متناظر است ↓=

)تر از تراز فرمي توان فرض كرد كه تمام حاالت انرژي پايين ديراك مي- به توزيع فرمي ) FE E<k

)اند، در حالي كه تمام حاالت انرژي باالتر از تراز فرمي اشغال شده ) FE E>k 18[ خالي هستند[.

گرد است؛ اين سان هم kچنين فرض كرد كه وابستگي انرژي نسبت به بردار موج بلوخ توان هم مي

براي يك . باشد تنها پايين نوار انرژي اشغال شده معتبر ميهاي پايين و هنگامي كه تقريب در انرژي

:توان به تقريب نوشت ميبا تقارن كروي گرد سان ساختار نواري انرژي هم

)12.64( ( ) ( )E E k≈k

)تعريف كرد كه شرط Fkتوان يك عدد موج فرمي بنابراين مي )F FE k E= كند را ارضا مي .


گرد، تمام حاالت با اعداد موج سان پس در دماي نزديك صفر مطلق، و براي ساختار نوار انرژي هم

Fkتر از عددموج فرمي كوچك k< تر از با اعداد موج بزرگ اند، و حاالت ها اشغال شده توسط الكترون

Fkعددموج فرمي k> و آن را حالت دهيم نشان مي 0اين حالت سيستم را با نماد .خالي هستند

.ناميم صفر مي

براي سادگي . را تعريف كنيمذرات گرهاي بوزوني شبه قبل از تشريح اين نظريه، ضروري است كه عمل

0FEفرض كنيد كه انرژي فرمي در دماي مورد نظر صفر باشد، يعني با افزايش دما تدريجا . =

يابند و تعدادي ها با كسب انرژي جنبشي كافي از ميدان انرژي حرارتي، انرژي مثبت مي برخي الكترون

به ازاي هر الكتروني كه يكي از ترازهاي انرژي . كنند از حاالت انرژي باالتر از تراز فرمي را اشغال مي

)مانند ) 0E >k ذره با بار مثبت در ترازي ها يك حفره يا شبه هادي كند، مانند نيمه يرا اشغال م

)مانند ) 0E <k توان و فناي فرميوني زير مي بقاگرهاي اين فرآيند را توسط عمل. گذارد به جاي مي

:تعريف كرد

)12.65.1( ( )†ˆ 0 , 0c Eσ = ∅ <k k

)12.65.2( ( )ˆ 0 , 0c Eσ = ∅ >k k

اند و جايي تمام ترازهاي انرژي منفي اشغال شده 0كند كه در حالت بيان مي) 12.65.1(ي رابطه

) 12.65.2(ي رابطه. نيست σو اسپين kجديد با بردار موج براي افزودن يك فرميون يا الكترون

تمام ترازهاي انرژي مثبت خالي هستند و امكان حذف يك الكترون يا 0كند كه در حالت بيان مي

:داريمبديهي است كه به تبع تعريف فوق .ها وجود ندارد از آن σو اسپين kبا بردار موج فرميون

)12.66.1( ( )†ˆ ˆ 0 0 , 0c c Eσ σ = <k k k

)12.66.2( ( )†ˆ ˆ 0 0 , 0c c Eσ σ = >k k k

و kپس از حذف يك الكترون با بردار موج 0 صفر كند كه حالت بيان مي) 12.66.1(ي رابطه

به σو اسپين kكه داراي انرژي منفي است، و سپس افزودن الكتروني با همان بردار موج σاسپين

پس از 0 صفر كند كه حالت بيان مي) 12.66.2(ي نيز رابطه. شود تبديل مي 0 صفر خود حالت


كه داراي انرژي مثبت است، و سپس افزودن σو اسپين kافزودن يك الكترون با بردار موج

گر اين دو عمل .شود تبديل مي 0 صفر به خود حالت σو اسپين kالكتروني با همان بردار موج

):چرا؟(كنند را ارضا مي) 11.41(جبر فرميوني مشابه

)12.67.1( †ˆ ˆ,c cσ σ σσδ δ′ ′ ′ ′=k k kk

)12.67.2( ˆ ˆ, 0c cσ σ′ ′ =k k

)12.67.3( † †ˆ ˆ, 0c cσ σ′ ′ =k k

هاي متفاوت، در حقيقت با اسپينو kقابل ذكر است كه دو الكترون داراي بردار موج همانند

:مانندشوند كه توصيف مياسپينوري

)12.68( ; ,

;; ,

ψ

ψ

⎡ ⎤↑⎢ ⎥= ⎢ ⎥↓⎢ ⎥⎣ ⎦

kk

kψ

)هاي زيرنويس كمكبنابراين با . است ),σk گرهاي نيست و عمل) 10.80(نيازي به فرم اسپينوري

c فناي تعريف شده σk و بقا †c σk كنند، نه اسپينورها اي اثر مي هاي نرده كتروي مستقيما.

هاميلتوني موثر. 12.6.2

گرهاي فنا و كوانتش دوم بر مبناي عملو بيان آن در فرم مبسوط ) 12.43(حال با كمك هاميلتوني

تعداد كل ذراتي كه در اين هاميلتوني .ي رياضي ابررسانايي را درك كرد توان شالوده مي) 12.49(بقا

شماري از حفره، به جاي تعداد بيفرميوني ي ذره توان با تعريف شبه اما مي. نقش دارند بسيار زياد است

اين نگرش به مسئله، تعداد . ها با انرژي منفي و يك تراز خالي، يك ذره با بار مثبت قرار داد الكترون

كنش ميان اما برهم .دهد ميگيري كاهش بندي مسئله را به ميزان چشم ذرات مورد نياز براي صورت

حفره، و - الكترون، حفره- كنش الكترون برهم هاي داراي بار مثبت و منفي به سه بخش فرميون

:كند تر مي را پيچيده) 12.49(حفره قابل تجزيه است كه اندكي هاميلتوني -الكترون

)12.69( 1 2= +H H H


:توان نوشت مي. ها است رميونكنش دوتايي ف برهم 2Hذره و هاميلتوني تك 1Hي فوق در رابطه

)12.70( ( )122 ee eh he hh ee eh hh= + + + = + +H H H H H H H H

ehالكترون، -كنش الكترون هاميلتوني برهم eeHكه در آن he=H H كنش الكترون هاميلتوني برهم -

:اين چهار هاميلتوني به ترتيب عبارتند از. حفره است-كنش حفره هاميلتوني برهم hhHحفره، و

)12.71.1( ( ) †1 ˆ ˆE c cσ σ

σ

=∑ k kk

kH

)12.71.2( ( ) † †12

, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , ,ee FF c c c c k k kσ σσ σσ σ

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′= >∑ k q kk q kk k q

k k qH

)12.71.3( ( ) † †12

, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; ,eh he FF c c c c k k kσ σσ σσ σ

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′= = > >∑ k q kk q kk k q

k k qH H

)12.71.4( ( ) † †12

, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; , ,hh FF c c c c k k kσ σσ σσ σ

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′= <∑ k q kk q kk k q

k k qH

بديهي است كه .ي باردين، كوپر، و شرايفر است بندي نظريه صورتكليد ) 12.71(فهم مجموعه روابط

با ).چرا؟(باشد داراي ماهيت جاذبه مي) 12.71.3(داراي ماهيت دافعه و ) 12.71.4(و ) 12.71.2(

توان مشاهده كرد كه مجموع بردار موج دو ذره پيش و پس از كنشي مي كمي دقت در هر برهم

. ايم در برخوردها وفادار مانده حركت بندي به بقاي اندازه با اين صورتدر حقيقت . برخورد ثابت است

حركت شود، كه مبين ميزان تغيير در اندازه ها مشخص مي در جمع qبدين ترتيب نقش بردار موج

ضروري است كه ) 12.71(بندي براي سازگاري در صورت. متناظر با بردارهاي موج دو ذره است

k+′اگر يكي از مجموع بردارهاي موج . رخ ندهد] 19[پراكنش اومكالپ k ،−k q يا ،′ +k q از

الي ) 12.70.2(اي گاه فرم رياضي نمايش برخوردهاي دو ذره ي بريلويين اول خارج شود، آن ناحيه

فعال با فرض آن كه تعداد برخوردهايي كه منجر به پراكنش اومكالپ . ديگر معتبر نيست) 12.71.4(

) احتمال پراكنشنيز . كنيم پوشي مي شوند كم است از آن چشم مي ), ;F ′k k q مستقل از اسپين

در عمل ، كه ايم نظر كرده شود، و با اين تقريب از چرخش اسپين در برخورد صرف فرض مي اتذر

مثال دو الكترون در . شوند كنيم كه در اثر برخورد نوع ذرات عوض نمي چنين فرض مي هم .صحيح است

.شوند ها بازتركيب نمي اثر برخورد كماكان عالمت انرژي مثبت خود را حفظ كرده و با حفره


)برخورد دو الكترون در ترازهاي انرژي ) 12.71.2(در ),σk و( ),σ′ ′k در ابتدا . توصيف شده است

,هر دو الكترون داراي انرژي مثبت بوده و بنابراين Fk k k′ ها ضمن در اثر برخورد بردار موج آن. <

k−حفظ اسپين به ترتيب به q و′ +k q چنين برخوردي متناظر با نسبي احتمال؛ كند تغيير مي

( ), ;F ′k k q اما براي تغيير وضعيت اين دو الكترون الزم است كه اين دو به ترازهاي انرژي . است

)جديد ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q گرهاي بنابراين ابتدا اين دو ذره را با كمك عمل. منتقل شوند

cفناي σk وc σ′ ′k از ترازهاي( ),σk و( ),σ′ ′k گرهاي بقاي تخليه كرده، و سپس با كمك عمل†c σ−k q و†c σ′ ′+k q در ترازهاي جديد( ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q توان با كمي دقت مي .دهيم جا مي

.نيز به طريق مشابه پي برد) 12.71.4(و ) 12.71.3(كنش به مفهوم جمالت برهم

)برخورد يك الكترون در تراز انرژي ) 12.71.3(در ),σk و يك حفره در تراز انرژي( ),σ′ ′k توصيف

در ابتدا الكترون داراي انرژي مثبت بوده و و حفره داراي انرژي منفي است؛ بنابراين . شده است

Fk k k ′> k−ها ضمن حفظ اسپين به ترتيب به در اثر برخورد بردار موج آن. < q و′ +k q

براي تغيير وضعيت اين الكترون و حفره الزم است كه اين دو به ترازهاي انرژي جديد . كند تغيير مي

( ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q رهاي فناي گ بنابراين ابتدا اين دو ذره را با كمك عمل. منتقل شوند

c σk و بقاي†c σ′ ′k به ترتيب از ترازهاي( ),σk و( ),σ′ ′k گرهاي منهدم كرده، و سپس با كمك عمل

c†بقاي σ−k q و فنايc σ−k q در ترازهاي جديد( ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q توجه . دهيم جا مي

گر بقا يك فرميون با كمك عملتراز انرژي مربوطه در كنيم كه براي نابودي حفره، كافي است مي

.جاي دهيم

)برخورد دو حفره در ترازهاي انرژي ) 12.71.4(به همين ترتيب در ),σk و( ),σ′ ′k ،توصيف شده

,كه هر دو داراي انرژي منفي بوده و بنابراين Fk k k′ براي تغيير وضعيت اين دو حفره الزم است . >

)كه اين دو به ترازهاي انرژي جديد ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q بنابراين ابتدا اين دو . منتقل شوند

c† بقايگرهاي ذره را با كمك عمل σk و†c σ′ ′k ترازهاي در( ),σk و( ),σ′ ′k كرده، و سپس منهدم


c فنايگرهاي با كمك عمل σ−k q وc σ′ ′+k q در ترازهاي جديد( ),σ−k q و( ),σ′ ′+k q ي جا

.كنيم خالي كه متناظر با يك حفره است ايجاد مي

انرژي حالت صفر. 12.6.3

، كه دهيم نمايش مي 0با حالت صفر در دماي صفر كلوين طور كه بيان شد، حالت سيستم را همان

. اند و تمام حاالت انرژي مثبت خالي است ها تمام حاالت انرژي منفي را اشغال كرده در آن الكترون

انرژي است و ترين كمبراي يك ابررسانا همان حالت پايه كه داراي 0 كنيم كه حالت صفر توجه مي

با اندكي محاسبه بدست انرژي حالت صفر . )چرا؟( آيد نيست هاي كوپر پديد مي گالش زوجدر اثر چ

:عبارتست ازآيد كه مي

)12.72.1( ( )0 0 0 , FE E k kσ

= = <∑k

kH

)12.72.2( , ,

0 1 0F Fk k k k

σ σσ σ< >

= ∏ ∏k kk k

1هاي منظور از حالت) 12.72.2(ي در رابطه σk 0و σk به ترتيب حضور يك و صفر فرميون در

)حالت انرژي ),σk كنيم كه قرارداد مي) 12.72(براي سهولت در نمايش .است:

)12.73.1( , , ,

1 0 1 ,F F

Fk k k k

k kσσ σσ σ σ

σ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′< ≠ >

= >∏ ∏ kk kk k k

k

)12.73.2( , , ,

1 0 0 ,F F

Fk k k k

k kσσ σσ σ σ

σ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′≠ < >

= <∏ ∏kk kk k k

k

Fkاگر به ترتيب ناميم، مي اي حفره يا تك الكتروني را كت تك σkكت k> ياFk k< . زيرا مبين

)، كه در تراز انرژي سيستم است كل دريا يك حفره حضور تنها يك الكترون ),σk واقع شده باشد .

:است) 12.70(در Hي هاميلتوني كت ويژه σkيابيم كه ميدر 15چنين طبق تمرين هم

)12.74( ( ) 0E Eσ σ⎡ ⎤= +⎣ ⎦k k kH

آن گاه بر . الكتروني باشد تككت يك σk كنيم كه ابتدا فرض مي) 12.74(براي اثبات درستي

:داريم 13اساس تمرين

)12.75( †ˆ 0 , Fc k kσσ = >kk


:كنيم حال به ترتيب درستي روابط زير را تحقيق مي

)12.76.1( ,ee Fk kσ = ∅ >kH

)12.76.2( ,eh he Fk kσ σ= = ∅ >k kH H

)12.76.3( ,hh Fk kσ = ∅ >kH

:خواهيم داشت. كنيم مياستفاده ) 12.71.2(از تعريف ) 12.76.1(براي آزمودن صحت

)12.77(

( )

( )

( )

†

† † †12

, ,

† † †12

, ,

† †12

ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ, ;

ee eec

F c c c c c

F c c c c c

F c c c

σ

σσ σ σ σσ σ

σσ σ σ σσ σσ σ

σ σ σσ

σ

δ δ

δ δ

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′− +

=

′ ′′=

′ ′′= −

′ ′′=

∑

∑

k

kk q k q k kk k q

kk q k q k kk kk k q

k q k q kk

k

k k q

k k q

k k q

H H

( )

( )

( )

, ,

† † †12

, ,

† †12

,

† † †12

, ,

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0 ,

F c c c c c

F c c c

F c c c c c k

σσ σ

σσ σ σ σσ σ

σ σ σσ

σσ σ σ σσ σ

′′′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′− +′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′′−

′′=

′ ′′−

∑

∑

∑

∑

kk k q

kk q k q k kk k q

k q k q kk q

kk q k q k kk k q

k k q

k k q

k k q , , Fk k k′ ′′ >

,اما چون . ايم استفاده كرده) 12.67.1(كه در آن از پادجابجاگر Fk k k′ ′′ )12.65.2(، پس طبق <

ˆخواهيم داشت 0c σ′ ′ = ∅k، ˆ 0c σ′′ ′′ = ∅kدرست است )12.76.1( ، و لذا.

:نيز داريم به طريق مشابه

)12.78(

( )

( )

( )

†

† † †12

, ,

† † †12

, ,

†12

ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ, ;

eh he ehc

F c c c c c

F c c c c c

F c c c

σ

σσ σ σ σσ σ

σσ σ σ σσ σσ σ

σ σ

σ σ

δ δ

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′− +

= =

′ ′′=

′ ′′= −

′ ′′=

∑

∑

k

kk q k q k kk k q

kk q k q k kk kk k q

k q k q k

k k

k k q

k k q

k k q

H H H

( )

( )

( )

†

, ,

† † †12

, ,

† †12

,

† † †12

,

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

F c c c c c

F c c c

F c c c c c

σ σσσ σ

σσ σ σ σσ σ

σ σ σσ

σσ σ σ σσ

δ δ′ ′′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′− +′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′′−

′′=

′ ′′−

∑

∑

∑

kkk k q

kk q k q k kk k q

k q k q kk q

kk q k q k kk k

k k q

k k q

k k q,

, , Fk k k kσ

′ ′′> >∑q


Fkچون k k′ ′′> ˆ†خواهيم داشت ) 12.65.2(و ) 12.65.1(، پس طبق < 0c σ′′ ′′ = ∅k ،

ˆ 0c σ′ ′ = ∅k تر بسيار ساده) 12.76.3(آزمودن صحت .شود تاييد مي) 12.76.2(، و لذا صحت

:در نهايت خواهيم داشت) 12.71.4(است؛ با كمك

)12.79(( )

( )

†

† † †12

, ,

† † †12

, ,

ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0 , ,

hh hh

F

c

F c c c c c

F c c c c c k k k k

σ

σσ σ σ σσ σ

σσ σ σ σσ σ

σ

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′− +′ ′ ′′ ′′

=

′ ′′=

′ ′′ ′ ′′= − < <

∑

∑

k

kk q k q k kk k q

kk q k q k kk k q

k

k k q

k k q

H H

ˆ†داريم ) 12.65.1(حال با .ايم استفاده كرده) 12.67.3(كه در آن از پادجابجاگر 0c σ′ ′ = ∅k و در

:عبارتست از) 12.71.1(و ) 12.69(با كمك ) 12.74(پس سمت چپ .برقرار است) 12.76.3(نتيجه

)12.80( ( ) † †1 ˆ ˆ ˆ 0 , FE c c c k kσσ σ

σ

σ σ ′ ′ ′ ′′ ′

′= = >∑ kk kk

k k kH H

:كنيم به ترتيب زير اقدام مي) 12.80(براي ساده كردن

)12.81(

( )

( )

( )

( )

† †

† †

† †

† †

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ 0 , , F

E c c c

E c c c

E c c c

E c c c k k k k

σσ σσ

σσ σσ

σσ σσ σσ

σσ σσ σσ

σ

δ δ

δ δ

′ ′ ′ ′′ ′

′′ ′′ ′′ ′′′′ ′′

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′ ′′

′=

′′+

′= −

′′ ′ ′′+ − > >

∑

∑

∑

∑

kk kk

kk kk

kk kk kk

kk kk kk

k k

k

k

k

H

ˆ) 12.65.2(طبق 0c σ′ ′ = ∅k ، نيز با توجه به وFk k k ′′> 0δداريم < ′′ =kk .بنابراين:

)12.82( ( ) ( )

( ) ( )

† † †

† † †

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 , F

E c E c c c

E c E c c c k k k

σ σσ σσ

σ σ σ σσ

σ ′′ ′′ ′′ ′′′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′′′ ′′

′′= −

′′ ′′= + > >

∑

∑

k kk kk

k k k kk

k k k

k k

H

ˆ†داريم ) 12.66.1(از ˆ 0 0c cσ σ′′ ′′ ′′ ′′ =k k بنابراين، و:

)12.83( ( ) ( )† †ˆ ˆ0 0 , FE c E c k k kσ σσ

σ′′ ′′

′′ ′′= + > >∑k kk

k k kH

:آيد بدست مي) 12.72.1(گزيني از انرژي حالت صفر با جاي

)12.84.1( ( ) , FE k kσ σ= + >k k kH

)12.84.2( 0E= −H H


):چرا؟(صفر است، به شكلي كه خواهيم داشت انرژي گر هاميلتوني بهنجار شده به عمل Hجا در اين

)12.85( 0 0 0= H

:، خواهيم داشت16تمرين با انجام فرآيندي نظير فوق در

)12.86( ( ) , FE k kσ σ= − <k k kH

:13كه در آن مطابق تمرين

)12.87( ˆ 0 , Fc k kσσ = <kk

اي حاالت دوذره. 12.6.4

اي هاي دوذره توان كت ، مي)12.87(اي و حفره )12.75(الكتروني اي ذره تك هاي در قياس با كت

:مانند زير تعريف نمود

)12.88.1( 2 2 1 1

† †1 1 2 2 1 2 1 1 2 2ˆ ˆ; 0 , , ,Fc c k k kσ σσ σ σ σ= > ≠k kk k k k

)12.88.2( 2 2 1 1

†1 1 2 2 1 2ˆ ˆ; 0 , Fc c k k kσ σσ σ = > >k kk k

)12.88.3( 2 2 1 11 1 2 2 1 2 1 1 2 2ˆ ˆ; 0 , , ,Fc c k k kσ σσ σ σ σ= < ≠k kk k k k

تاكيد بر ) 12.88.2(در .حفره هستند حفره، و جفت- الكترون، الكترون كه به ترتيب مبين حاالت جفت

1شرط 1 2 2σ σ≠k k 1با توجه به 2Fk k k> ).چرا؟(ضروري نيست <

1اي ، حاالت دوذرهσkاي ذره برخالف حاالت تك 1 2 2;σ σk k اي دوذره هاي كنش به دليل برهم

2H ي هاميلتوني هاي ويژه كتH 12.88.1(الكتروني توان براي كت جفت در حقيقت مي. نيستند (

:نوشت

)12.89( ( ) ( )

( )1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

; ;

, ; ; , , ,F

E E

F k k k

σ σ σ σ

σ σ σ σ

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦+ − + > ≠∑

q

k k k k k k

k k q k q k q k k

H

:داريم) 12.84(توان ديد كه به خاطر زيرا به سهولت مي. نسبتا ساده است) 12.89(اثبات

)12.90(( ) ( ) ( )1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2; ; , , ,FE E E k k kσ σ σ σ σ σ⎡ ⎤− = + > ≠⎣ ⎦k k k k k k k kH


:)18تمرين ( توان ديد كه چنين با كمي دقت مي هم

)12.91(1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

; ; ; ,

, ,

eh he hh

Fk k k

σ σ σ σ σ σ

σ σ

= = = ∅

> ≠

k k k k k k

k k

H H H

:اما داريم

)12.92(

( )

( )

( )

2 2 1 1

2 2 2 2 1 1

† †121 1 2 2 1 1 2 2

, ,

† † † †12

, ,

† † † †12

, ,

1

ˆ ˆ ˆ ˆ; , ; ;

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ee F c c c c

F c c c c c c

F c c c c c c

σ σσ σσ σ

σ σ σ σσ σσ σ

σ σσ σ σ σσ σσ σ

σ σ σ σ

δ δ

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

′=

′=

′= −

=

∑

∑

∑

k q kk q kk k q

k q k k kk q kk k q

k q kk k k kk q kk k q

k k k k q k k

k k q

k k q

H

( )

( )

( )

( )

2 2 1 11 1

2 2 1 1 1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

† † †2 2

,

† † † †12

, ,

† †12 2 1

† † †12 2

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ, ;

F c c c c

F c c c c c c

F c c

F c c c c

σ σσ σ σ σσ

σ σ σσ σ σσ σσ σ

σ σ

σ σσ

δ δ

δ δ

′ ′ ′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

− +

′ ′ ′− +

′ −

′− −

=

′−

∑

∑

∑

k q kk q k k kk q

k q k kk k kk q kk k q

k q k qq

k q kk q

k k q

k k q

k k q

k k q

( )

( )

1 1 2 2

2 2 1 1

,

† † †12 1

,

† † † †12

, ,

1 2 1 1 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0 ,

, , , ,F

F c c c c

F c c c c c c

k k k k k

σσ

σ σσ σσ

σ σ σ σσ σσ σ

σ σ

′′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

′−

′+

′ > ≠

∑

∑

∑

kk q

k q kk q kk q

k q k k kk q kk k q

k k q

k k q

k k

:پس). چرا؟(ي آخر، دومي و چهارمي صفرند از چهار جملهدر سمت راست تساوي باال

)12.93(

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 2 22 2

1 1 2 2

121 1 2 2 2 1 1 1 2 2

† † †12 1

,

12 2 1 1 1 2 2

12 1 2 2 2 1 1

† † †12 1

,

; , ; ;

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

, ; ;

, ; ;

ˆ ˆ ˆ ˆ, ; 0

ee F

F c c c c

F

F

F c c c c

σ σσ σ σ σσ

σ σσ σσ

σ σ σ σ

δ δ

σ σ

σ σ

′ ′ ′ ′ ′ ′− +′ ′

′ ′ ′ ′− +′ ′

= + −

′− −

= + −

− + −

′+

∑

∑

∑

∑

q

k q kk q k k kk q

q

q

k q kk q kk q

k k k k q k q k q

k k q

k k q k q k q

k k q k q k q

k k q

H

( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2, ; ; , , , , ,FF k k k k kσ σ σ σ′= + − > ≠

∑

∑q

k k q k q k q k k


)كه در آن از ويژگي ) ( )2 1 1 2, ; , ;F F+ = −k k q k k q 1و 1 2 2 2 2 1 1; ;σ σ σ σ=−k k k k استفاده

حاصل ) 12.93(، و )12.91(، )12.90(بر اساس ) 12.89(پس اكنون صحت .)20تمرين ( شده است

:آوريم بدست مي) 12.89(مانند 21چنين از تمرين هم .شود مي

)12.94.1(( ) ( )

( )1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

; ;

, ; ; , F

E E

F k k k

σ σ σ σ

σ σ

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦+ − + > >∑

q

k k k k k k

k k q k q k q

H

)12.94.2(( ) ( )

( )1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

; ;

, ; ; , , ,F

E E

F k k k

σ σ σ σ

σ σ σ σ

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ − + < ≠∑

q

k k k k k k

k k q k q k q k k

H

ي كوپر مسئله. 12.6.5

داراي كمترين انرژي و بنابراين 0، بديهي است كه حالت صفر 2Hاي ذره كنش دو در غياب برهم

كرد معمايي كه كوپر طرح . باشد صفر مي H، كه انرژي آن نسبت به هاميلتوني همان حالت پايه است

توان يافت كه هم مي Σ، حالت ديگري مانند 2Hاي ذره كنش دو برهم اين است كه آيا در حضور

اگر هر دو شرط . ي سيستم بوده و هم انرژي آن نسبت به انرژي حالت صفر كمتر باشد حالت ويژه

در FEكه هيچ الكتروني با انرژي بيشتر از انرژي فرمي 0تواما ارضا شوند، آنگاه ديگر حالت صفر

ي بلكه حالت پايه. هاي آن نيز صفر است، همان حالت پايه نخواهد بود شود و تعداد حفره آن يافت نمي

. انرژي كمتر است است كه داراي Σجديد در واقع

سبت بهتواند انرژي كمتري ن نمي Σديراك براي يك سيستم فرميوني، -دانيم طبق توزيع فرمي مي

تنها راه . ديراك تبعيت نكند-از توزيع فرمي Σداشته باشد، مگر آن كه حالت 0حالت صفر

اما در يك سيستم الكتروني چگونه چنين . سيستمي بوزوني باشد Σبرقراري اين شرط آن است كه

تغيير ماهيتي ممكن است؟


:]20[ را بدين شكل حدس زد Σي ويژه حالت) 12.89(كوپر با الهام از

)12.95.1( 0ξΣ = ΣH

)12.95.2( ( )

( )( )12

;

; ;

a

a

Σ = ↑ − ↓

= ↑ − ↓ − − ↓ + ↑

∑

∑k

k

k k k

k k k k k

0كه در آن انتظار داريم 0ξ ) ضرايب ).چرا؟( > )a k مستقل از اسپين فرض شده و به شكل مناسبي

↑;اي چنين حاالت دوذره هم .بايد تعيين گردند − ↓k k حركت و ذراتي فاقد اندازه متناظر با شبه

شوند و به وضوح از جنس هاي كوپر ناميده مي ذرات زوج اين شبه. داراي اسپين كل صفر هستند

)نيز الزم است كه .باشند ها مي بوزون ) ( )a a+ = −k k 12.3(ها طبق تابعي زوج باشد، زيرا بوزون (

البته .دهد ها تغيير عالمت نمي دهند كه نسبت به جابجايي بوزون تنها حاالت مركب زوج تشكيل مي

].21[ها نيز اخيرا گزارش شده است هاي كوپر بين بوزون امكان تشكيل زوج

)ي تابع براي محاسبه )a k 0و انرژيξ نويسيم مي) 12.89(با كمك ابتدا ) 12.95(در:

)12.96( ( ) ( )[ ]

( )

; ;

, ; ; , F

E E

F k k

↑ − ↓ = + + + − ↑ − ↓

+ + − + − ↑ − + ↓ >∑q

k k k k k k

k k q k q k q

H

با توجه به ويژگي تقارن زماني همواره ساختار نواري انرژي داراي تقارن زوج مركزي است، يعني

( ) ( )E E+ = −k k .كنيم چنين براي سادگي در نمايش فرض مي هم( ) ( ), , ;f F= + −k q k k q و ،

:نويسيم مي

)12.97(( ) ( ); 2 ; , ; , FE f k k↑ − ↓ = ↑ − ↓ + + − ↑ − + ↓ >∑q

k k k k k k q k q k qH

)اكنون با تعريف )a a=k k آيد بدست مي) 12.95(و با توجه به:

)12.98(

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ),

0

; ;

2 ; , ;

; , F

a a

a E a f

a k kξ

Σ = ↑ − ↓ = ↑ − ↓

= ↑ − ↓ + + − ↑ − + ↓

= ↑ − ↓ >

∑ ∑

∑ ∑

∑

k k

k k q

k

k k k k k k

k k k k k k q k q k q

k k k

H H H


−;با ضرب طرفين در براي ↓ ↑K K آوريم بدست مي:

)12.99(

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

,

; ;

2 ; ;

, ; ; , , F

a

a E

a f k K k

ξ − ↓ ↑ ↑ − ↓

= − ↓ ↑ ↑ − ↓

+ − ↓ ↑ − ↑ − + ↓ >

∑

∑

∑

k

k

k q

k K K k k

k k K K k k

k k q K K k q k q

:اي به فرم زير است ذره دوهاي اما تعامد كت

)12.100( ( ); ; δ δ− ↓ ↑ ↑ − ↓ = = −kKK K k k k K

K↔پس از تبديل كه k دهد نتيجه مي:

)12.101( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 2 ,

2 , , F

a a E a f

a E a f k k

ξ = + + +

= + − >

∑

∑q

q

k k k k q k q q

k k q q q k

)ساختار نواري انرژي گرد و با توجه به تقارن زوج سان در يك ساختار هم ) ( )E E+ = −k k و

)بسط ضرايب ) ( )a a+ = −k kنوشتدر حالت كلي ) 7.94(با اقتباس از توان ي، م:

)12.102.1( ( ) ( )E E k=k

)12.102.2( ( ) ( ) ( ) 12, , ,m

la a k Y m l l Zθ ϕ += ≤ ∈k

) كه در آن ),mlY θ ϕ عدد اربيتالي كروي بوده، و هاي يكي از هماهنگl عددي است ) 7.95(طبق

0lمنطقي است كه اربيتال .زوج ي تقارن متناظر با حالت انرژي به دليل دارا بودن باالترين درجه =

)پايه باشد، و لذا ) ( )a a k=k .در فصل 15تمرين (هاي كروي چنين با توجه به تعامد هماهنگ هم

:داريم )هفتم

)12.103( ( ) ( ) ( ) ( )*1 1 2 2 1 2 1 2

0 1

1, ,

sin

lm ml l

l m l

Y Yθ ϕ θ ϕ δ θ θ δ ϕ ϕθ

+∞ +

= =−

= − −∑ ∑

)اي هاي برخورد دوذره انرژيپس ) ( ), , ;f F− = + − −q q k q q q k توان را در دستگاه كروي مي

:بسط داد

)12.104.1( ( ) ( ) ( ) ( ),,

, , ,

, , , ,k q qk

k q k q

k q k q

m m mml l l k k l q q

l l m m

f f k q Y Yθ ϕ θ ϕ− = ∑q q k


)12.104.2 (( )

( ) ( ) ( )

,,

2 2* *

0 0 0 0

,

, , , sin sin

k q

k q

qk

k q

m ml l

mml k k l q q k q k k q q

f k q

f Y Y d d d dπ π π π

θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ

=

−∫ ∫ ∫ ∫ q q k

− و تبديل) 12.101(گذاري در جاي با →q k p آوريم بدست مي:

)12.105( ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,

, , ,

ˆ ˆ2 ,k p pk

k p k p

k p k p

m m mml l l l

l l m m

E k a k a q f k q Y k Y pξ − =∑ ∑q

pكه در آن p= p وk k= k ي گيري روي چهار زاويه با انتگرالحال . بردارهايي يكه هستند

)قطبي و سمتي ),k kθ ϕ و( ),p pθ ϕ آوريم بدست مي:

)12.106.1( ( )[ ] ( ) ( ) ( )0,00 0,02 ,E k a k a q f k qξ − =∑

q

)12.106.2( ( ) ( ) ( )2 2

0,00,0

0 0 0 0

, , , sin sink q k k q qk q f k q f d d d dπ π π π

θ θ θ ϕ θ ϕΦ = = ∫ ∫ ∫ ∫ q p

)و تعريف ) 12.106.2(بديهي است كه بر اساس ) ( ), , ; 0f F= + − <q p q q p كه همواره تابعي ،

)منفي، است حقيقي و ),k qΦ ؛ اين بدان دليل است كه فرض كرديم نيز همواره حقيقي و منفي است

كنيم توجه مي qي فلوكه- حال به تعريف جمع روي بردار موج بلوخ. برخوردها ماهيت جاذبه دارند

]22[:

)12.107( ( ) ( )( )

( )3 23

1sin

2 q q qBZ

VA A d q A q d d dq

Vθ θ ϕ

π= =∑ ∫∫∫ ∫∫∫

q

q q q

اين فرم در حقيقت انتگرالي روي يكي از . ي بلور است ي واحد در شبكه حجم ياخته Vكه در آن

)نواحي بريلويين به حجم )32BZV Vπ= ي بريلويين اول گرفته شود و اگر انتگرال در ناحيه. است

فرض كنيم، κو شعاع بيروني Fkدروني ي به شعاع وكر اي پوسته گيري را به تقريب ي انتگرال ناحيه

:آيد بدست مي

)12.108( ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 20 22 ,

2Fk

VE k a k a q k q q dq

κ

ξπ

− = Φ∫

:مقدار انتگرالي زير قابل بازنويسي است ي ويژه كه به شكل معادله

)12.109.1( ( ) ( )0ka k a kξ=L


)12.109.2( ( ) ( ) ( )222 ,

2F

k

k

VE k dq k q q

κ

π= + Φ ⋅∫L

)در صورت معلوم بودن فرم ساختار نواري انرژي )E k و تابع( ),k qΦ توان مي) 12.106.2(در

. را تعيين عالمت نمود 0ξي مقدار ويژهمستقيما را عددي حل كرده و ) 12.109(قدار م ي ويژه معادله

:آوريم در خود بدست مي) 12.108(گذاري بازگشتي اما با جاي

)12.110.1( ( )( )[ ]

( ) ( )2

24

0

,4 2

Fk

Va k a p G p k p dp

E k

κ

π ξ=

− ∫

)12.110.2( ( )( ) ( )

( )2

0

, ,,

2Fk

q p k qG p k q dq

E q

κ

ξΦ Φ

=−∫

0ي انرژي منفي اكنون كافي است نشان دهيم امكان وجود مقدارويژه 0ξ تابع انرژي .منتفي نيست >

( )E k لذا . ها نوشته شده است همواره مثبت است الكترون كه براي جفت) 12.110(ي اعتبار در بازه

)ي انرژي ها مخرج )0 2E qξ )همواره منفي است و داريم − )0 2 0E qξ − گين فرض كنيد ميان. >

)مناسبي براي انرژي )E k 0ي انرژي كه مقدارويژه بدون آنξ اگر اين . تغيير كند وجود داشته باشد

:نمايش دهيم خواهيم داشت Eمقدار را با

)12.111.1( ( ) ( ) ( ) ( ) 20 ,

Fk

a k C a p H p k p dpκ

ξ= ∫

)12.111.2( ( ) ( ) ( ) 2, , ,Fk

H p k q p k q q dqκ

= Φ Φ∫

)12.111.3( ( )( )

2

0 2404 2

VC

Eξ

π ξ=

−

)بديهي است كه )0C ξ چنين تابع مقداري است مثبت؛ هم( ),H p k در تمام نقاط مقدار مثبت دارد

)چون فرض كرديم . )چرا؟( ) ( )a a k=k داراي تقارن زوج مركزي و مبين حالت پايه است، لزوما

اي هم صفر دهد و در هيچ نقطه بنابراين تغيير عالمت نمي. تواند داراي گره باشد حقيقي است و نمي

)جا داريم كنيم همه ؛ لذا بدون لطمه به كليت مسئله فرض مينيست ) 0a k حال اگر به عالمت . <

)عالمت با يابيم كه سمت راست هم اندكي دقت كنيم در مي) 12.111.1(ت راست جمالت سم )a k و


توان ي مورد نظر و دماي خاصي قابل ارضا باشد، پس مي براي ماده) 12.111(اگر . بنابراين مثبت است

:نوشت

)12.112 ( ( )( )

( )( )

( )2

2 20 42 ,

4F F

F k k

a pVE H p k p dpdk

k a k

κ κ

ξπ κ

− =− ∫ ∫

:ي كوچك تر آن عبارتست از است، كه ريشه 0ξكه داراي دو ريشه براي

)12.113 ( ( )( )

( )

12

20 22 ,

2F F

F k k

a pVE H p k p dpdk

k a k

κ κ

ξπ κ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

الكتروني جاي خود را به حالت جفت 0منفي شود، حالت صفر ) 12.113(هر گاه تحت شرايطي

Σ كنيم به عنوان حالت پايه با انرژي كمتر خواهد داد، كه از آن به عنوان فاز ابررسانايي ياد مي.

شرايفر-كوپر-هاميلتوني باردين. 12.7

بسيار )12.71(ي نشان داده شده در ا ذره و جفت اي ذره با جمالت تك) 12.69(هاميلتوني كامل

ي كوپر در با عنايت به فرم حالت پايه. تر از آن است كه در عمل بتوان از آن استفاده كرد پيچيده

تري را توان هاميلتوني تقريبي ساده هاي آن صفر است، مي حركت تمامي كت كه اندازه) 12.95.2(

:شرايفر مشهور است-كوپر-نهاد نمود كه به هاميلتوني باردين پيش

)12.114.1( BCS e ee= +H H H

)12.114.2( ( ) †ˆ ˆe E c cσ σσ

= ∑ k kk

kH

)12.114.3( † † † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆee BZgV c c c c G c c c c′ ′ − ↓ ↑ + ↑ − − ↓ − ↓ ↑↑ − ↓′

= − = −∑ ∑k k k q k q k kk kkk kq

H

0gجا در اين تاكيدي ) 12.114.3(عالمت منفي در . شرايفر است- كوپر- باردينموثر تزويج ثابت <

در عمل احتماال .شود ها منجر مي نهايت به چگالش آنها است كه در الكترون ي ميان جفت بر جاذبه

حركت و هاي فاقد اندازه معموال فونون. ها است فونونكنش با خاطر برهمكنش به ي برهم جاذبه

]:15[اند و داريم هاي اپتيك در اين فرآيند سهيم تر، مانند فونون پرانرژي


)12.115( ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

2

1 2 2 2

1 2

, ;M

FE E

ω

ω=

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

q qk k q

k k q

)كه در آن )ω q انرژي فونون و( )M q الكترون و وابسته به بردار -كنش فونون مبين شدت برهم

هايي كه داراي انرژي بسيار نزديك هستند الكترون بديهي است كه براي جفت. است qموج فونون

( )1 2, ; 0F <k k qهاي كوپر داريم الكترون براي جفت نيز ، و( ) ( ), ;F F g+ − = ≈ −k k q q

:داريم )12.89(در گذاري جايبا حال ). چرا؟(

)12.116( ( )

( )

BCS ; 2 ; ;

2 ; ;

E g

E g−

↑ − ↓ = ↑ − ↓ − − ↑ − ↓

= ↑ − ↓ − ↑ − ↓

∑

∑q

k K

k k k k k k q q k

k k k K K

H

داشته باشيم باشد و BCSHي هاميلتوني يك كت ويژه Σي براي اين كه كت پايه

BCS 0ξΣ = ΣH ، آوريم بدست ميگردي سان و فرض هم) 12.101(با توجه به:

)12.117(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

0

22 2 2

3

0 0

2 22

3

0 0

2 22

3

0 0

2

2 2 cos sin2

2 cos sin2 2

2 cos sin2 2

D

F

D

F

D

F

k

k

k

k

k

k

a k a k E k F a

Va k E k g a k q kq q dqd d

V qa k E k g a k q q dqd d

k

V qa k E k g a k q a k q dqd d

k

π π

π π

π π

ξ

θ θ θ ϕπ

θ θ θ ϕπ

θ θ θ ϕπ

= + +

= − + −

⎛ ⎞⎟⎜≈ − + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥′≈ − + − ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

q

q k q

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 5 5

222 3 5

2

D F D Fk kV k k

a k E k g a k a kk

a k E k a k a kk

π

π

βα

⎡ ⎤− −⎢ ⎥′= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

)در آن كه )23 31

12 D FgV k kπ

α += − ∈R و( ) ( )2

5 515 2 D FgV k k

πβ += − ∈R عد بااعداديب

ي ثابتي است كه معرف طول بردار موج متناظر با انرژي مشخصه Dkچنين، هم. اند مثبتو انرژي

2ي است و با رابطه Dωهاي شبكه فونون 212m D Dk ω= ي فوق، معادله ي معادله. شود بيان مي

)بودن ي اول است كه در صورت معلوم ديفرانسيلي از مرتبه )E k با تقسيم اكنون .باشد ميقابل حل

)طرفين بر )a k 26تمرين ( گيري داريم و انتگرال(:


)12.118(( ) ( ) ( ) ( )2 20 2exp ,

2F

k

F F F D

k

a k a k k k KE K dK k k kξ α

β β

⎡ ⎤+⎢ ⎥= − − + ≤ ≤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

)اگر فرم تقريبي ساختار نواري انرژي سهموي باشد داريم ) ( )2 2 212m FE k k k≈ حال براي . −

1Σبرقراري بهنجارش Σ :)27تمرين ( خواهيم داشت) 12.107(و با توجه به =

)12.119.1( ( ) ( ) ( )[ ]2 2

0exp ,2

FF F D

k ka k a k E k k k kξ α

β

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎪ ⎪= − + − ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

)12.119.2( ( )

( )[ ]

2

2 24

0

2

expD

F

F k

F

k

a kk k

V k E k dk

π

ξ αβ

=⎧ ⎫−⎪ ⎪⎪ ⎪− + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

تحليل وردشي. 12.7.1

بسيار دشوار Σي براي يافتن كت پايه BCSHطور كه مالحظه شد، تحليل مستقيم هاميلتوني همان

بدان اشاره رفت سود جست 7.1مند وردشي كه در بخش بوده و در عمل بهتر است از روش قدرت

ذره جفتفرميوني گرهاي را با كمك تعريف عمل Σبدين منظور ابتدا نمايش متفاوتي از كت . ]3[

:آوريم بدست مي

)12.120.1( † † †ˆ ˆ ˆ , Fb c c k k− ↓ ↑= >k k k

)12.120.2( ˆ ˆ ˆ , Fb c c k k↑ − ↓= <k k k

†بديهي است كه †ˆ ˆ 0b b =k k وˆ ˆ 0b b =k k )در نتيجه كت پس ). چرا؟Σ به فرم يك حالت همدوس

:قابل نمايش است) فصل يازدهم 20تمرين (فرميوني

)12.121.1( ( ) ( )

( ) ( ) ( )

†

†

ˆexp 0

ˆ 0

b

b

β α

β β α

⎡ ⎤Σ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∏

∏

kk

kk

k k

k k k

)12.121.2( ( )( )2

11

βα

=+

kk

1Σبراي برقراري بهنجارش ) 12.121.2(شرط Σ حقيقي ابعوت). 29تمرين (ضروري است =

( )β k و( ) ( ) ( )γ β α=k k k يابيم كه انرژي حالت را بعدا چنان ميΣ بديهي است .كمينه شود


) كه داريم ) ( )2 2 1β γ+ =k k. گر ذرات گر شمارش حال با تعريف عمل†ˆ ˆ ˆ 0n c c↑ ↑ ↑= =k k k با

:آيد بدست مي kاسپين باال و عدد موج

)12.122( ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

†

† †

2 † † †

2 † † †

2 †

2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ0 exp exp 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ0 0

n n

c c

b c c b

c c c c c c

c c c c c c

c c

β α β α

γ

γ

γ

γ

↑ ↑

↑ ↑

′′ ′↑ ↑′′ ′

↑ − ↓ ↑ ↑ − ↓ ↑

↑ ↑ − ↓ − ↓ ↑ ↑

− ↓ − ↓

= Σ Σ

= Σ Σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′ ′ ′= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

=

=

=

∏ ∏

k k

k k

k kk kk k

k k k k k k

k k k k k k

k k

k k k k

k

k

k

k

ˆ†گر ذرات گر شمارش و به همين ترتيب با تعريف عمل ˆ ˆ 0n c c↓ ↓ ↓= =k k k با اسپين پايين و عدد موج

k داريم( )2n γ↓ =k k . پس تعداد كل ذرات عبارتست از( ) ( )22N n n γ↑ ↓= + =∑ ∑k kk k

k يا

( ) ( )2 2 1N γ β⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∑k

k k .به همين ترتيب براي انرژي جنبشي خواهيم داشت:

)12.123(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

† †

,

2 † †

2 † † † †

2

ˆ ˆˆ ˆ0 exp exp 0

ˆ ˆˆ ˆ0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

2

e eE

b E c c b

E b c c b

E c c c c c c c c

E

σ σσ

σ σσ

β α β α

γ

γ

γ

′′ ′′′ ′

↑ − ↓ ↑ ↑ ↓ ↓ − ↓ ↑

= Σ Σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′ ′ ′= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

= +

=

∑∏ ∏

∑ ∑

∑

∑

k kk kk kk

k k k kk

k k k k k k k kk

k

k k k k k

k k

k k

k k

H

:ذرات عبارتست از انرژي جفت

)12.124(( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

† †

† †

ˆ ˆ ˆ ˆ0 exp exp 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

ee eeE

G b b b b

G b b b b

G

β α β α

γ γ β β

γ γ β β

′′′ ′ ′′′′ ′′′

′ ′′

′

= Σ Σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′′ ′′′ ′′ ′′= − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′ ′= −

′ ′= −

∑∏ ∏

∑

∑

kk k kk kkk

k kk kkk

kk

k k k k

k k k k

k k k k

H

:عبارتست از) BCSH )12.114پس انرژي كل هاميلتوني


)12.125( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1E E Gγ β γ γ β β′

⎡ ⎤ ′ ′= − + −⎣ ⎦∑ ∑k kk

k k k k k k k

)گيري نسبت به مشتقبراي )γ K و( )β K ي بايد معادله( ) ( )2 2 1β γ+ =k k را به شرط

)تحميلي با كمك ضريب الگرانژي مانند )λ K پس تابعك مسئله كه بايد كمينه . وارد مسئله كرد

:شود خواهد شد

)12.126( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

1

1

E E Gγ β γ γ β β

λ γ β′

⎡ ⎤ ′ ′= − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

∑ ∑

∑k kk

k

k k k k k k k

k k k

:با اخذ مشتق اكنون داريم

)12.127.1( ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0E

E γ β λ γγ∂

= −Δ − =∂

K K K K KK

)12.127.2( ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0E

E β γ λ ββ∂

= − −Δ − =∂

K K K K KK

:ايم كه در آن تعريف كرده

)12.128( ( ) ( )BZ

gV

γ βΔ = ∑k

k k

:توان به فرم ماتريسي زير نوشت را مي) 12.126(دستگاه

)12.129( ( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

12

12

E

E

γ γλ

β β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k k kk

k k k

:يا

)12.130.1( ( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

1

1

δ γ γη

δ β β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k k kk

k k k

)12.130.2( ( )( )( )E

λη =

kk

k

)12.130.3( ( )( )2E

δΔ

=kk


)دهد ضريب الگرانژ مينشان )12.129(ي رابطه )λ k ماتريس ضرايب سمت چپ آني مقدارويژه

توان دستگاه فوق را حل كرد و به سادگي مي. باشد مي ذرات است، و در حقيقت مبين انرژي جفت


)12.131.1( ( ) ( )2 214Eλ+ = + + Δk k

)12.131.2( ( ) ( )2 214Eλ− = − + Δk k

اند، كه در آن ها قابل مقايسه ها و پوزيترون براي الكترون) 10.69(با روابط ) 12.131(هاي انرژي

1پارامتر 2Δ توان به سادگي دريافت كه در ميپس . به جاي انرژي جرم در حال سكون نشسته است

gEواقع = Δ ها را از هم جدا كرده حفره ها و جفت الكترون كند جفت به يك گاف انرژي اشاره مي

:چنين بردارهاي ويژه عبارتند از هم. است

)12.132.1( ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

12

14

12

2

2

2

1 11

2 11 1

δγ

δβ δ

δ

+

+

⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

kk

kk k

k

)12.132.2( ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

12

14

12

2

2

2

1 11

2 11 1

δγ

δβ δ

δ

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

kk

kk k

k

گافي معادله. 12.7.1.1

:نوشتتوان بالفاصله مي) 12.132(با كمك روابط

)12.133( ( ) ( )( )

( ) ( )12 2 22 1

422 1 E

δγ β

δ± ± Δ

= =⎡ ⎤ + Δ+⎣ ⎦

kk k

kk∓ ∓

:آيد ي گاف، يا خودسازگاري بدست مي اي مشهور به معادله ، معادله)12.128(گذاري در با جاي

)12.134( ( )2 21

4

112G

E=

+ Δ∑k k

:داريم) 12.107(اكنون با كمك


)12.135( ( )

3

2 214

112g

d kE

=+ Δ∫∫∫ k

)از تعريف چگالي حاالت انرژي )D E داريم:

)12.136( ( )3d k D E dE=

:دهد نتيجه مي) 12.135(گذاري در جاياكنون

)12.137( ( )2 21

40

12

D D EgdE

E

ω

=+ Δ∫

]گيري ي انتگرال اگر بازه ]0, Dω توان با فرض كوچك باشد مي( ) ( ) 00FD E D D= :نوشت =

)12.138( 10 0

2 2140

21 sinh

2 2

D

DgD dE gD

E

ωω− ⎛ ⎞⎟⎜≈ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Δ+ Δ∫

:آيد بدست مي Δكه از حل آن گاف انرژي

)12.139(

0

2

2sinh

D

gD

ωΔ =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0كنش ضعيف با ي باال را در حد برهم رابطه 1gD توان نوشت كوچك مي:

)12.140.1( ( )04 1

4 expexp 2

DD

gD

ωω

θ⎛ ⎞⎟⎜Δ ≈ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

)12.140.2( 12 0gDθ =

.شود فونون ناميده مي-ثابت بدون بعد تزويج الكترون θكه در آن

:مراجع

[1] M. Kaku, Quantum Field Theory: A Modern Introduction, 1st ed., Oxford

University Press, 1993.

[2] N. Nagaosa, Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics, Springer, Berlin,

1995.

[3] J. F. Annett, Superconductivity, Superfluids, and Condensates, Oxford University

Press, New York, 2004.


[4] N. P. Proukakis and B. Jackson, “Finite-temperature models of Bose-Einstein

condensation,” J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., vol. 41, no. 20, 203002 (2008).

[5] E. Kengne, R. Vaillancourt, and B. A. Malomed, “Bose-Einstein condensation in

optical lattices: the cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation with a periodic

potential,” J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., vol. 41, no. 20, 205202 (2008).

[6] E. Kim and M. H. W. Chan, “Probable observation of a supersolid helium phase,”

Nature, vol. 427, no. 6971, pp. 225-227 (2004).

[7] X. Lin, A. C. Clark, and M. H. W. Chan, “Probable heat capacity signature of the

supersolid transition,” Nature, vol. 449, no. 7165, pp. 1025-1028 (2007).

[8] S. Balibar, “Supersolid helium: Stiffer but flowing,” Nature Physics, vol. 5, no. 8,

pp. 534-535 (2009).

[9] J. T. West, O. Syshchenko, J. Beamish, and M. H. W. Chan, “Role of shear

modulus and statistics in the supersolidity of helium,” Nature Physics, vol. 5, no. 8,

pp. 598-601 (2009).

[10] V. L. Ginzburg and L. D. Landau, “On the theory of superconductivity,” Zh. Eksp.

Teor. Fiz., vol. 20, pp. 1064-1082 (1950).

[11] V. L. Ginzburg, “On superconductivity and superfluidity (what I have and have not

managed to do), as well as on the ‘physical minimum’ at the beginning of the 21 st

century,” ChemPhysChem, vol. 5, no. 7, pp. 930–945 (2004). [12] M. Chiao, “Vitaly Lazarevich Ginzburg: The legacy lives on,” Nature Physics, vol.

5, no. 12, p. 860 (2009).

[13] M. Cyrot, “Ginzburg-Landau theory for superconductors,” Reports on Progress in

Physics, vol. 36, no. 2, pp. 103-158 (1973).

[14] H. Eschrig, “Theory of Superconductivity: A primer,” Lecture Notes on

Superconductivity, Institute for Theoretical Solid State Physics, Leibniz Institute

for Solid State and Materials Research, Dresden (2008).

[15] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, “Microscopic Theory of

Superconductivity,” Physical Review, vol. 106, no. 1, pp. 162-164 (1957).

[16] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, “Theory of Superconductivity,”

Physical Review, vol. 108, no. 5, pp. 1175-1204 (1957).

[17] J. Bardeen and J. R. Schrieffer, “Recent developments in Superconductivity,” in

Progress in Low Temperature Physics, vol. 3, pp. 170-287, edited by C. J. Gorter,

North Holland Publishing, Amsterdam, 1961.


[18] R. F. Pierret, Semiconductor Fundamentals, in Modular Series on Solid State

Devices, vol. 1, edited by R. F. Pierret and G. W. Neudeck, Addison-Wesley,

Reading, 1983.

[19] S. Wang, Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics, Prentice-

Hall, 1989.

[20] L. N. Cooper, “Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas,” Physical Review,

vol. 104, no. 4, pp. 1189-1190 (1956).

[21] T. Keilmann and J. J. García-Ripoll, “Dynamical Creation of Bosonic Cooper-Like

Pairs,” Physical Review Letters, vol. 100, no. 11, 110406 (2008).

[22] K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals, Springer-Verlag, Berlin, 2001.

:تمرين

گر است، عمل ωگر هماهنگ ساده كه داراي يك نوع بوزون با انرژي دانيم براي نوسان مي - 1

اي هم براي سيستم چندذرهآيا . شوند جابجا مي) 5.48(طبق Hبا هاميلتوني nشمارش

شود؟ آيا نتيجه جابجا مي) 12.31(با هاميلتوني ) 12.13.2(گر ذرات گر شمارش عملهنوز

ها يكي است؟ ها و فرميون براي بوزون

. حركت بنا كنيد هاي ميدان در تصوير اندازهگر بندي كوانتش دوم را بر مبناي عمل صورت - 2

)گرهاي ميدان راهي مستقيم را نشان دهيد كه از عمل )ψ r و( )†ψ r ،در تصوير مكان

)گرهاي ميدان بتوان به عمل )ψ p و( )†ψ p ها و جبر بوزون. حركت رسيد در تصوير اندازه

آيد؟ به چه شكل در مي) 12.26(الي ) 12.23(ها در قياس با فرميون

به فرم كوانتش دوم ) 12.22(را با كمك ) N )12.13.2گر شمارش تعداد كل ذرات عمل - 3

چگونه است؟ Nمبسوط فرم . بيان كنيد

گرها را در شود كه كوانتش دوم امكان كار مستقيم با عمل مشخص مي) 12.22(ي در رابطه - 4

وارون يتبديلحال . آورد، بدون آن كه از فضاي براكت خارج شويم فضاي توابع فراهم مي


Kگر دلخواه كه با داشتن عمل بيدياب) 12.21(با كمك تعريف اصلي آن در ) 12.22(براي

.را در فضاي توابع بازپس دهد Kگر در فضاي براكت، عمل

.را تاييد كنيد) 12.46(و ) 12.44(صحت روابط - 5

)اي ذره كنش سه اگر از هاميلتوني برهم - 6 )3 , ,i j kH R R R نظر نكنيم، صرف) 12.43(در

كند؟ چه تغييري مي) 12.49(گاه آن

.را بدست آوريد) 12.50(، بيان هاميلتوني در كوانتش دوم )12.49(و ) 12.27(با استفاده از - 7

)اي ذره كنش سه را اصالح نماييد، اگر از هاميلتوني برهم) 12.50(ي رابطه - 8 )3 , ,i j kH R R R

.نظر نكنيم صرف) 12.43(در

:در تصوير هايزنبرگ Aگر دلخواهي مثل نشان دهيد براي عمل) 7.76(با كمك - 9

( ) ( ) exp expI j jt t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠A H A H


( ) ( ) ( ) ( ),I Id jt t

dt⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦A H A

.بدست آوريد 9را با كمك تمرين ) 12.57(ي رابطه -10

)، پتانسيل خارجي )12.61.1(النداو -ي گينزبورگ فرض كنيد در معادله -11 )U r صفر باشد .

0gاگر )و > )lim , 0r t→∞ Ψ =r، عد مكاني، معادلهي غير خطي نشان دهيد در يك ب

است و بنابراين داراي ) 5.18(تلر -ي پتانسيل پوشل النداو منطبق بر مسئله-گينزبورگ

:خواهد بود) 5.19(هايي از نوع جواب

( ) ( ) ( ), exp sechx t a j t xω βΨ = −

چگونه است؟النداو -گينزبورگي بعد حل مسئله در سه. را بيابيد βو aضرايب مجهول

-ي گينزبورگ معادله. نظر نكنيم صرف) 12.50(اي در ذره كنش سه برهمفرض كنيد كه از -12

از تقريب موضعي ) 12.51(اي مانند ذره كنش سه چه برهم النداو را بدست آوريد، چنان

:پيروي كند، يعني


( ) ( ) ( )3 1 2 3 1 2 2 3, , hδ δ≈ − −H R R R R R R R

)ابر حرارتي گر ي خطي حاكم بر عمل معادله در اين حالت )ˆ ,tδ r چگونه خواهد بود؟

:نشان دهيد) 12.65(گرهاي و عمل) 12.73(در σkبا كمك تعريف كت -13

( )†ˆ 0 , 0c Eσσ = >kk k

( )ˆ 0 , 0c Eσσ = <kk k

انرژي براي ) 12.72.1(ي نشان دهيد رابطه) 12.72.2(در 0با كمك تعريف كت صفر -14

:نشان دهيد) 12.71(بايست با مراجعه به براي اين منظور مي .حالت صفر صحيح است

( )1 00 0 , FE E k kσ

= = <∑k

kH

0 0 0 0 0 0 0 0 0ee eh he hh= = = =H H H H

ي اخير آن است كه اصوال در حالت صفر هيچ الكتروني با انرژي دليل صفر شدن سه جمله

با كمك تعريف . كنش داشته باشند رد كه برهماي با انرژي منفي وجود ندا مثبت يا حفره

.توانيد صحت روابط فوق را تاييد كنيد به سهولت مي) 12.65(ي ذره گرهاي شبه عمل

:نشان دهيد داريم) 12.70(و هاميلتوني ) 12.73(در σkبا كمك تعريف كت -15

( ) , FE k kσ σ= >k k kH

( ) , FE k kσ σ= <k k kH

ي هاميلتوني كل با مقدار در حقيقت كت ويژه σkالكتروني پس در هر صورت كت تك

)ي ويژه )E k تواند منفي يا مثبت باشد كه مي.

.به تفصيل نشان دهيد) 12.84(را مانند ) 12.86(درستي -16

توانند صحيح باشند؟ چرا؟ روابط زير ميكدام از آيا هيچ -17

0 , Fk kσ

σ= <∑k

k

0 , Fk kσ

σ= <∏k

k

)توان با انتخاب تابع مناسبي براي آيا مي )a kيك تركيب خطي مانند زير يافت ،:


( )0 , Fa k kσ

σ= <∑k

k k

:زير باشد برخورد دوذره به فرمدر احتمال پراكنشاگر ) 12.89(نشان دهيد در -18

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

1 2 1 2 1 2, ; , ,q

F f q fδ δ= =k k q k k q k k

1الكتروني گاه كت جفت آن 1 2 2;σ σk kي ، كت ويژهH چيست؟ اينمفهوم . خواهد بود

.را بررسي نماييد) 12.91(و ) 12.90(درستي روابط -19

1براي حاالت دوفرميوني نشان دهيد ) 12.4(با كمك -20 1 2 2 2 2 1 1; ;σ σ σ σ=−k k k k.

:و ساده كنيد حفره بيابيد حفره و جفت- هاي الكترون حاصل عبارات زير را براي كت -21

1 1 2 2 1 2; ,eh Fk k kσ σ > >k kH

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2; , , ,hh Fk k kσ σ σ σ< ≠k k k kH

هاي كروي هماهنگبراي ) 12.103(ي تماميت را به كمك رابطه) 12.104(صحت -22

.بيازماييد

است؟ BCSHي هاميلتوني يك كت ويژه 0آيا كت صفر -23

:گرهاي فنا و بقاي زير را تعريف كنيم اگر عمل -24

( ) ( ) †ˆ ˆ ˆb u c v cσ σ σσ − −= −k k kk k

( ) ( )† * † *ˆ ˆ ˆb u c v cσ σ σσ − −= −k k kk k

1σكه در جمالت دوم سمت راست آن = )است، توابع ± )u k و( )v k را طوري تعيين

كنيد كه هنوز جبر فرميوني †ˆ ˆ,b bσ σ σσδ δ′ ′ ′ ′=k k kk ، † †ˆ ˆ, 0b bσ σ′ ′ =k k و ،

ˆ ˆ, 0b bσ σ′ ′ =k k حال با كمك .روابط فوق به تبديالت بوگوليوبوف مشهورند. برقرار باشد

.را بازنويسي كنيد BCSHگر جديد هاميلتوني اين دو عمل

)نشان دهيد اگر -25 ) ( ), ;F gδ+ − = −k k q qالكتروني گاه كت جفت ، آن;↑ − ↓k k يك

ي انرژي آن چيست؟ مقدار ويژه. است BCSHي هاميلتوني كت ويژه

.بيازماييد) 12.117(گيري از را با انتگرال) 12.118(درستي -26


)را براي نوار انرژي سهموي ) 12.119(صحت -27 ) ( )2 2 212m FE k k k≈ .تاييد كنيد −

)توان از بسط توابع مي) 12.108(ي براي حل معادله -28 )a k گر ي نوسان روي توابع پايه

:خواهيم داشت) 5.82(و تعامد ) 5.81(با انجام اين كار با توجه به . هماهنگ استفاده كرد

( ) nn

a k a k n= ∑

( ) ( )2 212exp

2 ! nnk n k H knα

α απ

= −

( ) ( ) ( )2 212exp

2 !n nna k H k a k dknα

α απ

+∞

−∞

= −∫

αكه در آن +∈R براي . يك ثابت اختياري است( )E k و ،( ),k qΦ هاي نيز بسط

)توان اتخاذ نمود، با اين تفاوت كه مشابهي را مي ),k qΦ حال . گانه است نيازمند بسط دو

)و 0ξيك دستگاه ماتريسي مقدارويژه بنا كنيد كه با حل آن بتوان )a k را به عنوان

.بردارويژه و مقدارويژه يافت

1Σبهنجارش ) 12.121.2(شرط نشان دهيد -29 Σ .كند را تامين مي =

توان چقدر است؟ آيا مي) 12.125(ر دوردشي روش با كمك Σانرژي حالت ابررسانا -30

راجع به عالمت مقدار بدست آمده اظهار نظر كرد؟

:ها نشان دهيد ضمن در نظر گرفتن حفره) 12.121(در تعميم -31

( ) ( ) ( ) ( )†ˆ ˆexp exp 0F Fk k k k

b bβ α β α ′′> <

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′Σ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∏ ∏k kk k k k

نامه واژه 313

نامه واژه

فارسي به انگليسي

Airy يريا

Probablity Cloud ابر احتمال

Thermal Could ابر حرارتي

Supersolid ابرجامد

Superconductor ابررسانا

Superfluid ابرشاره

Optics اپتيك

Atom Optics اپتيك اتم

Identity اتحاد

Baker-Campbell-Hausdorff Formula هاسدورف- كمپبل-اتحاد بيكر

Loss اتالف

Intersection اجتماع

Probablity احتمال

نامهواژه 314

Perturbation اختالل

Orbital اربيتال

Ehrenfest ارنفست

Spin اسپين

Spinor اسپينور

Spinon اسپينون

Stark استارك

Cylindrical اي استوانه

Snell اسنل

Associative Property پذيري اشتراك

Principle اصل موضوعه

Zero-point Fluctuations ي صفر اغتشاشات نقطه

Exciton اكسيتون

Quantum Electrodynamics الكتروديناميك كوانتومي

Electrostatics الكتروستاتيك

Electromagnetics الكترومغناطيس

Electron الكترون

Standard Deviation انحراف معيار

Momentum حركت اندازه

Angular Momentum اي حركت زاويه اندازه

Measurement گيري اندازه

Energy انرژي


Fermi Energy انرژي فرمي

Zero-point Energy ي صفر انرژي نقطه

Steady ايستا

Gallium-Aluminum Arsenide گاليوم-آرسنيد آلومينيوم

Gallium Arsenide آرسنيد گاليوم

Free آزاد

Dimension عدب

Electric Charge بار الكتريكي

Reflection بازتاب

Recombination بازتركيب

Superscript باالنويس

Bra برا

Bracket براكت

Excited برانگيخته

Collision برخورد

Four-vector بردار چهارگانه

Lattice Vector بردار شبكه

Wavevector بردار موج

Reciprocal Vector بردار وارون

Eigenvector بردار ويژه

Interaction كنش برهم

Electron-Electron Interaction الكترون- كنش الكترون برهم


Electron-Hole Interaction حفره- كنش الكترون برهم

Hole-Hole Interaction حفره-كنش حفره برهم

Phonon-Electron Interaction الكترون-كنش فونون برهم

Frequency بسامد

Angular Frequency اي بسامد زاويه

Wavepacket ي موج بسته

Taylor Expansion بسط تيلور

Bessel بسل

Electronic Crystal الكترونيبلور

Photonic Crystal بلور فوتوني

Phononic Crystal بلور فونوني

Normalization بهنجارش

Boson بوزون

Boltzmann بولتزمان

Lossless اتالف بي

Adiabatic دررو بي

Anti-electron پادالكترون

Anti-commutator پادجابجاگر

Anti-particle پادذره

Counter Clockwise گرد پادساعت

Anharmonic پادهماهنگ

Parseval پارسوال


Parity پاريته

Steady State Response پاسخ دائمي

Dispersion پاشندگي

Pauli پاولي

Conservation پايستاري

Potential پتانسيل

Separable Potential پتانسيل جداپذير

Phenomenological پديدارشناختي

Tunneling Effect داالني پديده

Susceptibility پذيرفتاري

Umklapp Scattering پراكنش اومكالپ

Proton پروتون

Backward Propagating رو پس

Polaron پالرون

Polariton پالريتون

Plasmon پالسمون

Poisson پواسون

Positron پوزيترون

Pöschl-Teller تلر- پوشل

Forward Propagating رو پيش

Gauge پيمانه

Continuous پيوسته


Step Function تابع پله

Hypergeometric Function تابع فوق هندسي

Wavefunction تابع موج

Bloch-Floquet Wavefunction فلوكه-تابع موج بلوخ

Functional تابعك

Tensor تانسور

Transformation تبديل

Bogoliubov Transformation تبديل بوگوليوبوف

Fourier Transformation تبديل فوريه

Kramers-Krönig Transformation كرونيگ-تبديالت كرامرز

Degeneracy تبهگني

Beat تپ

Time Evolution تحول زماني

Transpose ترانهاده

Linear Combination تركيب خطي

Thermodynamics ترموديناميك

Coupled-Mode تزويج مود

Equilibrium تعادل

Orthogonality تعامد

Symmetry تقارن

Mirror Symmetry اي تقارن آينه

Axial Symmetry تقارن محوري


Centro-symmetry تقارن مركزي

Bogoliubov-de Gennes Approximation دجنس-تقريب بوگوليوبوف

Local Approximation موضعيتقريب

Single-particle اي ذره تك

Completeness تماميت

Periodicity تناوب

Finite Periodicity تناوب محدود

Stress تنش

Tight Binding بست تنگ

Null تهي

Distribution توزيع

Bose-Einstein Distribution اينشتين- توزيع بوز

Fermi-Dirac Distribution ديراك- فرميتوزيع

Resonant Tunneling تشديدي داالن

Taylor تيلور

Interaction Constant كنش ثابت برهم

Coupling Constant ثابت تزويج

Electron-Phonon Coupling Constant فونون-ثابت تزويج الكترون

Effective BCS Coupling Constant شرايفر-كوپر-ثابت تزويج موثر باردين

Fine-structure Constant نازكثابت ساختار

Commutator جابجاگر

Commutation جابجايي


Confinement گزيدگي جاي

Algebra جبر

Separation of Variables جداسازي متغير

Rest Mass جرم در حال سكون

Effective Mass جرم موثر

Particle-pair ذره جفت

Kinetic جنبشي

Jump جهش

Inertial Frame چارچوب لخت

Reference Frame چارچوب مرجع

Quantum Well چاه كوانتومي

Expectation داشتي چشم

Bose-Einstein Condensation اينشتين-چگالش بوز

Density چگالي

Bose-Einstein Condensate اينشتين-ي بوز چگاليده

Polynomial اي چندجمله

Associated Laguerre’s Polynomial يافته اي الگر تعميم چندجمله

Associated Legendre’s Polynomial يافته اي لژاندر تعميم چندجمله

Many-particle اي ذره چند

Sinusoidal Steady State حالت پاياي سينوسي

Ground State حالت پايه

Particle-pair State حالت دوذره


Zero State صفرحالت

Thermal State حالت گرمايي

Bound State حالت مقيد

Nonlinear Coherent State حالت همدوس غيرخطي

Zitterbewegung حركت سريع

Hole حفره

Linear خطي

Vacuum خالء

Dagger خنجر

Self-adjoint خودالحاق

Self-assembled خودچينش

d'Alambertian داالمبرين

Determinant دترمينان

Coordinate System دستگاه مختصات

Cartesian دكارتي

Critical Temperature دماي بحراني

Series دنباله

Dipole دوقطبي

Dual دوگان

Dielectric الكتريك دي

Dirac ديراك

Dynamics ديناميك


Particle ذره

Trace رد

Perfect Conductor رساناي كامل

Variational Method روش وردشي

Rydberg ريدبرگ

Time زمان

Relaxation Time زمان واهلش

Even زوج

Particle-Antiparticle Pair پادذره- زوج ذره

Cooper Pair زوج كوپر

Subscript زيرنويس

Zeeman زيمان

Heterogeneous ساختار نامتجانس

Band Structure ساختار نواري

Velocity سرعت

Angular Velocity اي سرعت زاويه

Phase Velocity سرعت فاز

Group Velocity سرعت گروه

Fermi Surface سطح فرمي

Azimuthal سمتي

Parabolic سهموي

Flux شار


Flux Flow شارش

Fluid شاره

Cubic Lattice ي مكعبي شبكه

Pseudo-tensor شبه تانسور

Pseudo-particle ذره شبه

Acceleration شتاب

Electric Current Density شدت جريان الكتريكي

Initial Condition شرط اوليه

Lappo-Danilevskii Criterion دانيلفسكي- شرط الپو

Boundary Condition شرط مرزي

Schrödinger شرودينگر

Refraction شكست

Countable پذير شمارش

Explicit صريح

Absolute Zero صفر مطلق

Outer Product ضرب خارجي

Inner Product ضرب داخلي

Index of Refraction ضريب شكست

Implicit ضمني

Pauli's Exclusion طرد پاولي

S-wave Scattering Length طول پراكنش موج كروي

de Broglie's Wavelength طول موج دوبروي


Coherence Length طول همدوسي

Spectrum طيف

Wavenumber عدد موج

Fermi Wavenumber عدد موج فرمي

Uncertainty عدم قطعيت

Operator گر عمل

Discrete Translation Operator گر انتقال گسسته عمل

Creator گر بقا عمل

Rotation Operator گر چرخش عمل

Density Operator گر چگالي عمل

Pseudo-particle Operator ذره گر شبه عمل

Number Operator گر شمارش عمل

Annihilator گر فنا عمل

Field Operator گر ميدان عمل

Non-magnetic غيرمغناطيسي

Fermi فرمي

Condon-Shortley Phase شورتلي-فاز كاندون

Phasor فازور

Interaction Distance كنش ي برهم فاصله

Odd فرد

Fermion فرميون

Collapse فروپاشي


Pressure فشار

Spacetime فضازمان

Function Space فضاي توابع

Hilbert Space فضاي هيلبرت

Photon فوتون

Gamma Photon فوتون گاما

Phonon فونون

Optical Phonon اپتيك فونون

Golden Rule قانون طاليي

Green's Theorem ي گرين قضيه

Equipartition Theorem ي مناصفه قضيه

Polarization قطبش

Polar قطبي

Polarization قطبيدگي

Potential Box قوطي پتانسيل

Complete كامل

Cavity كاواك

Ket كت

Single-electron Ket الكترون كت تك

Single-hole Ket حفره كت تك

Electron-pair Ket الكترون كت جفت

Strain كرنش


Spherical كروي

Elasticity ساني كش

Absolute Minimum ي مطلق كمينه

Quantization كوانتش

Second Quantization كوانتش دوم

Wilson-Bohr-Sommerfeld (WBS) Quantization زومرفلد-بوهر- كوانتش ويلسون

Columbic كولمبي

Direct Energy Gap گاف انرژي مستقيم

Galileo گاليله

Transition گذار

Permittivity گذردهي الكتريكي

Permeability گذردهي مغناطيسي

Gradient گراديان

Four-gradient گراديان چهارگانه

Graphene گرافين

Graviton گراويتون

Specific Heat گرماي ويژه

Charge-Spin Separation اسپين- گسست بار

Discrete گسسته

Transmission گسيل

Glauber گالبر

Gluon گلوئون


Gauss گوس

Laguerre الگر

Rotational Inertia لختي دوراني

Legendre لژاندر

Lorentz لورنتز

Laser ليزر

Transfer Matrix ماتريس انتقال

Differential Transfer Matrix ماتريس انتقال تفاضلي

Macroscopic ماكروسكوپي

Maxwell ماكسول

Gram-Schmidt Orthogonalization اشميت- متعامدسازي گرام

Independent Variable متغير مستقل

Symmetrization سازي متقارن

Parallelogram السطوح متوازي

Trigonometry مثلثات

Complex مختلط

Ordering سازي مرتب

Mesoscopic مزوسكوپي

Observation مشاهده

Evolution Equation ي تحول معادله

Self-consistency Equation ي خودسازگاري معادله

Differential Equation ي ديفرانسيل معادله


Klein-Gordon Equation گوردون- ي كالين معادله

Gap Equation ي گاف معادله

Ginzburg-Landau Equation النداو- ي گينزبورگ معادله

Characteristic Equation ي مشخصه معادله

Eigenvalue مقدار ويژه

Conic Cross Section مقطع مخروطي

Position مكان

Quantum Mechanics مكانيك كوانتومي

Continuum Mechanics مكانيك پيوستار

Matrix Mechanics مكانيك ماتريسي

Wave Mechanics مكانيك موجي

Magnon مگنون

Radial Moment ممان شعاعي

Magnetic Moment ممان مغناطيسي

Wave موج

Component مولفه

Average گين ميان

Field ميدان

Spinor Field ميدان اسپينوري

Decaying ميرا

Condensation ميعان

Norm نرم


Brillouin Zone ي بريلويين ناحيه

Inertial Observer ناظر لخت

Cauchy-Schwarz Inequality شوارز- نامساوي كوشي

Nanostructure نانوساختار

Anisotropic گرد سان ناهم

Scalar اي نرده

Nearest Neighbor ترين همسايه نزديك

Gyromagnetic Ratio نسبت ژيرومغناطيس

Relativistic نسبيتي

Return Point ي بازگشت نقطه

Dirac Point ي ديراك نقطه

Quantum Dot ي كوانتومي نقطه

Mapping نگاشت

Levi-Civitia Symbol چيويتا-نماد لوي

Symbolic نمادين

Valence Band نوار ظرفيت

Conduction Band نوار هدايت

Neutron نوترون

Harmonic Oscillator گر هماهنگ نوسان

Gravitation نيروي گرانش

Weak Nuclear Force اي ضعيف نيروي هسته

Strong Nuclear Force اي قوي نيروي هسته


Newton نيوتن

Hamiltonian هاميلتوني

Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) Hamiltonian شرايفر- كوپر-هاميلتوني باردين

Effective Hamiltonian هاميلتوني موثر

Heisenberg هايزنبرگ

Hyperbola هذلولي

Hermitian هرميتي

Identity هماني

Spherical Harmonic هماهنگ كروي

Overlap پوشاني هم

Coherent همدوس

Isotropic گرد سان هم

Holon هولون

Hydrogen-like مانند هيدروژن

Inverse وارون

Wannier ونير

Combination Property ويژگي ادغام

Unit Cell ي ابتدايي ياخته

Unitary يكاني

دل گرچه در اين باديه بسيار شتافت

يك موي ندانست ولي موي شكافت

اندر دل من هزار خورشيد بتافت

اي راه نيافت آخر به كمال ذره

الرئيس بوعلي سينا شيخ

يك چند به كودكي به استاد شديم

يك چندي ز استادي خود شاد شديم

را چه رسيدشنو كه ما سخن پايان

آمديم و بر باد شديمدراز خاك

حكيم عمر خيام نيشابوري

ﻲﻧﺎﺳاﺮﺧ ﺎﻨﻴﺳ - ee.sharif.eduee.sharif.edu/~aqm/appliedquantummechanics.pdf ·...

Documents