تﺎﻓﺎﺴﻤﻟﺎ ﺚﻠﺜﺘﻟاو ﺎاوﺰﻟﺎ ﺚﻠﺜﺘﻟا...
TRANSCRIPT
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 1 |
التثل�ث �الزوا�ا والتثل�ث �المسافات Triangulation and Trilateration
� المساحة والغا�ة منه تحد�د مواقع التثل�ث
�) محطات التثل�ث( نقاط التح�مهو واحد من أهم الطرق �
يتألف نظام التثل�ث المسا�� من سلسلة من المثلثات المتجاورة أو . وهو �عتمد ع� علم المثلثات�دقة � أو فائض من الزوا�ا إضافة إ� ق�اس ضلع واحد ع� األقل
� ق�اس عدد �ا�
� يتم فيها عادة
المتقاطعة وال��� النها�ة يتم . خط القاعدة�س�
�� المثلثات، و� حسب �ق�ة األضالع المجهولة �اإلعتماد ع� قوان��
ت
. نقاط التح�م إضافة إ� تحل�ل الدقة) أو إحداث�ات(تحد�د مواقع
:�صورة عامة نستخدم التثل�ث من أجل
المساحة المست��ة أو الجيودي��ة ��
تأس�س نقاط التح�م �
المساحة ال ��
تص����ة لمناطق شاسعةتأس�س نقاط التح�م �
ة األرض�ة تحد�د ش�ل سطح األرض ومراق�ة حر�ات الق��
توج�ه ومعايرة أنظمة تحد�د المواقع العالم�ةGPS
تنف�د معظم مشار�ــــع الهندسة المدن�ة عند تحد�د وتجس�د المواقع �دقة
� ش�كة مثلثات�ة عندها نقول أن لدينا عندما ت
�� . اتتثل�ث �المسافقاس جميع أضالع �
�من جهة أخرى �
حالة (�عض الحاالت ولهذا نقوم �ق�اس عدد من دقة أع� ذات ق�اسات لتكون ا) المسافات الط��لة مث�
� النها�ة ع� دقة أع� لنقاط التح�م�
� الش�كة �� نحصل ��
� حاالت أخرى قد نحتاج إ� . الزوا�ا ��
أو � .عندها نقوم �ق�اس �افة الزوا�ا و�افة األضالع) أع� دقة ذات(ق��ة أفق�ة ش�كة
� مواقع النقاط المثلثات�ة �التقاطع والتقاطع العك�� تعي��
� موقع نقطة مجهولة عن ط��ق رصدها من نقاط ) ب�جراء ق�اسات زاو�ة أو مسافات(عندما نقوم بتعي��� تلك النقطة المجهولة، ولهذا تد� هذە
�معلومة المواقع، ح�ث أن خطوط الرصد �جب أن تتقاطع �
� . Intersection Problemالمسألة �التقاطع �
� الحالة المعا�سة قد �كون الوضع ��
من جهة أخرى ��التمركز فوق النقطة المجهولة ) ق�اس زوا�ا أو مسافات(الحقل مالئم أ��� �أن تكون خطوط الرصد
.Resection Problemوال�سد�د ع� النقاط المعلومة وهذە الحالة تد� �مسألة التقاطع العك�� ).6.1(الش�ل
وع المسا�� نستخدم ط��قة التقاط � منطقة الم���
� تحد�د مواقع نقاط مثلثات�ة جد�دة عندما تتوفر ��
ع �من جهة أخرى . ق هذە النقاطنقاط معلومة والمنطقة مفتوحة �ح�ث من السهل التنقل والتمركز فو
وع ل�نها إما �ع�دة أو من الصعب التمركز فوقها عندما تكون النقاط المعلومة مرئ�ة من منطقة الم�� . Resection Problem) التق��م(ا نلجأ إ� عمل�ة التقاطع العك�� عنده
�� معا نطبق �ال الط��قت��
�أح�انا
�ح�ث �صبح لدينا ق�اسات فائضة و�التا�� الحل الوح�د هو تطبيق ط��قة الم��عات الصغرى وهذا
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 2 |
� ز�ادة الدقة ل�س فقط �ساعد �
معلومة وأن هذە �ل والتأ�د من دقة مواقع �عض النقاط المثلثات�ة ال� .النقاط الزالت تحافظ ع� مواقعها األصل�ة
المعلومة �� ) محطات التثل�ث(ولتكن النقاط ) Intersection Problem( التقاطعمسألة لن�دأ �حالة {�, �, � �طلب تحد�د موقعها �ولتكن النقطة ) الش�ل ال�ساري( {�
ألن . �� النقطة المجهولة ال���نظرا
,�}إحداث�ات النقاط �, ,�}معلومة إذن األطوال {� معلومة ، ونستطيع حسابها �كذلك الزاو�ة , {� :�سهولة من العالقات التال�ة
� الزاو�ت) أو ق�اس(و�ما أننا نستطيع برصد � �و � �� ، �صبح لدينا ثالث زوا�ا �و ��التمركز فوق النقطت��
,�معلومة �, � � ,�ومسافت�� ,�وت��� خمسة عنا� مجهولة �� � �, �, �, � :
� :وتطبيق عالقة الجيوب ع� �ل منهما سنجد أن ���و ����فحص المثلث��
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 3 |
:�ستطيع أن نكتب ����كذلك من أجل ال��ا��
� + � + � + � + � = 360° (6.15)
� لحل ال�� الوح�دين اآل�� � سوف نحصل ع� ق�م المجهول�� ت�� � األخ�� ، �و �لمعادلت�� � � العالقت�� � هات��
��
� المسألة �
,�أما المجاه�ل ال�اق�ة � �, فنحصل عليها بتطبيق عالقة الجيوب، ومنها يتم حساب موقع � :أو �ما ��� )ةمعلوم اطأي مسافة وسمت من نق(�الط��قة الشعاع�ة �النقطة
,�)�فرض لدينا اإلحداث�ات �) � ,�للنقطت�� نستطيع حساب ) �ما هوموضح ي الش�ل أدناە( �لة � و�فحص �ق�ة العالقات الموضحة ��و ��ومنها نحسب السموت ��� و ���السموت المخ��
,��موقع النقطة ع� الش�ل سنجد أنه ت��� فقط � إ�جادە �حل جملة، ح�ث �مكننا �� المعادلت��
� � التاليت�� :الخطيت��
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 4 |
Resection Problem التقاطع العك�� مسألة
� حالة التقاطع العك�� �
� الش�ل (��
مجهولتان ، أما �و �تكون الزاو�تان ) �6.5bما �� موضحة �
ن�دأ الحل لهذە المسالة عن ط��ق إ�جاد . �فهما مقاستان �التمركزعند النقطة المجهولة �و �الزاو�تان
� � لجملة المعادلت��� (6.15)و (6.14)الحل اآل�� � المجهولت�� �عدە نطبق �و �فنحصل ع� الزاو�ت��
� المثلثات ل�� نحسب �ق�ة العنا� المثلث�ة ، أي �
,�عالقة الجيوب � �, � النها�ة نحسب موقع . ��
و�� الفقرة السا�قة�التقاطع �النقطة المجهولة
� �ما �
� عن ك�ف�ة . أ�ضا
مفص�
�حا سوف نقدم اآلن ��
� الحل إل�جاد �
:�الش�ل (6.15)لنكتب العالقة .ب�عت�ار أنها �م�ات غ�� مقاسة �و �التسلسل �
� وس�ط �ساوي �λفرض لدينا زاو�ة وهم�ة tan، سند�� نكتب (6.14)و�الرج�ع للعالقة �
ة (6.19)سنجري اآلن �عض اإلضافات ع� العالقة �� وس�ستخدم �عض المتطا�قات المثلث�ة الشه��
� النها�ة نصل �
إ� عالقة خط�ة لل�م�ة ����
�� المسألة
� :، ع� الش�ل �داللة العنا� األخرى المعلومة �
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 5 |
�عد أن نحصل ع� ق�مة ���
� ق�مة (6.18)ولدينا من العالقة
���
� :نستنتج أن
,��عد معرفة �افة الزوا�ا، نطبق عالقة الجيوب ونحسب �ق�ة العنا� المثلث�ة، أطوال األضالع �, � .,���عدها نحسب السموت لألضالع الثالثة ��, ة نستطيع �� و�اإلعتماد ع� هذە المعلومات األخ��
.��قة المسافة والسمت أو �عمل�ة تقاطع�عدة طرق ، إما �ستخدام ط �حساب موقع النقطة المجهولة
� هذە المسالة هنال�
� �جب أن تؤخذ � ك� :الحس�ان�عض النقاط الهامة ال��
جب اإلنت�اە إ� إشارة المقدار����
�cot (45°وكذلك إشارة المقدار + �� نحصل ع� (�
اإلشارة الصح�حة ل ���
�
جب اإلنت�اە إ� ق�مة����
�� أن النقطة °�90ح�ث إذا �انت �ساوي
تقع ع� الدائرة �فهذا �ع��
,�المارة من النقاط الثالثة �, � (و�التا�� ال�مكن إ�جاد حل للمسألة � )أي لدينا حالة عدم تعي��
إن إستخدام أرصاد إضاف�ة وحل المسألة �استخدام ط��قة الم��عات الصغرى للرواسب هو أصعب(الخ�ار األمثل
�� من جهة، ) �الرغم من أنه حساب�ا ل�ننا نتخلص من حالة عدم التعي��
���� �دلنا ع� دقة تحد�د موقع النقطة المجهولةالمتوسط الخطأ ق�مة الوكذلك نحصل ع� �� .
تفادي ط��قة الم��عات الصغرى، والعمل بنفس األسلوب السابق للحصول ع� دقة إذا أردنا� نقطة واحدة من
أفضل وتفادي الحاالت الحرجة نستطيع رصد نقطة را�عة معلومة الموقع ونل��ح أعالە .النقاط المعلومة السا�قة ومن ثم نع�د الحسا�ات �صورة مماثلة لل��
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 6 |
أمثلة ومسائل ع� التثل�ث
):1(مثال
:�اإلستناد إ� المعط�ات التال�ة �المطلوب تحد�د إحداث�ات النقطة
,��� �لندع إحداث�ات النقطة :الحل � � � النقطت���
�و ��� �و �وأن السموت �
ونكتب
�� :ق�مة سوف نجد أن �و ��الت�د�ل ق�م�� = 1583.54 � � = 1508.08 � ⇐
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 7 |
):2(مثال
,�برصدها من ثالثة محطات �وتأس�س نقطة جد�دة جراء تثل�ث مسا�� أننا نحتاج إل �فرض �, � :معلومة المواقع ، ح�ث أج��ت ق�اسات زاو�ة من هذە النقاط و�انت النتائج �ما ���
,��المطلوب حساب المسافات ��, . �ومن ثم تحد�د موقع النقطة ��
:الحل
� متجاور�ن و�التا�� ����ال��ا�� :مؤلف من مثلث��
�: ح�ث = 75°58′41′′.
:ونكتب (6.14)�ستذكر العالقة
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 8 |
θنعوض اآلن �ق�مة = ε − �
(�)cotسنحصل ع� ��التع��ض �ق�مة = �ومنه 1.33804 = 36°46′23′′
θ : أي أن = 75°58�41�� − 36°46�23�� = ��°��′��′′
:نكتب ���من المثلث
ء ���ومن المثلث � نقوم بنفس ال��
المحس��ة من المثلث تهنفس ق�م المحسوب من المثلث ال�ساري �ساوي ��و�ما نالحظ �أن الطول �
. ال�مي��
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 9 |
):3(مثال
محطات �الرصد منها ب�تجاە ثالثة ��فرض أننا ن��د إلجراء تثل�ث مسا�� وتأس�س نقطة جد�دة �, �, � هذە النقطة و�انت النتائج �ما ��� �
� :معلومة المواقع ، ح�ث أج��ت ق�اسات زاو�ة �
,��المطلوب حساب المسافات ��, .�ط��قة التقاطع العك�� �ومن ثم تحد�د موقع النقطة ��
لدينا :الحل
� ال��ا�� �
� متجاور�ن مجم�ع الزوا�ا �ساوي المؤلف م ����� °360ن مثلث��
:ونكتب (6.14)�ستذكر العالقة
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 10 |
ة � العالقة األخ���
� � � ) c(نض�ف للطرف�� � جد�دت�� :واحد ومن ثم نط�ح من واحد لتتكون لدينا ص�غت��
تي�ات �استخدام المتطا�قات المثلث�ة) d(ع� ) e(نقسم :ومن ثم نجري �عض ال��
:لدينا ) c(و ) b(من
ة و�ق�مة ∆بتع��ض �ق�مة األخ�����
�� ) a(من
��)f (
:ومن ثم نحسب
2مساحة : مقرر �ل�ة الهندسة المدن�ة –جامعة الج��رة الخاصة التعل�م العا�� وزارة
ة السادسة P المحا�� a g e م دمحم الع�دهللا.د: مدرس المقرر 11 |
� المثلث ال�ساري �
���� ��
تساوي �لدينا اآلن الزاو�ة �
�� المثلث ال�مي��
�� ���و�
� تساوي �لدينا اآلن الزاو�ة �
� �جب أن �ساوي الزاو�ة ) ونجد أن هذا محقق( �مجم�ع الزاو�ت��
,� األضالع نحسب أطواللاآلن �, � المثلث ال�ساري نطبق عالقة الجيوب . ��
���� � ���وال�مي��