iin rosita sari uas

PEMROGRAMAN LINEAR

Makalah Yang Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester

Bahasa Indonesia

Dosen : Indrya Mulyaningsih, M.Pd.

IIN ROSITA SARI

(14121520517)

Fakultas/Jurusan : Tarbiyah/Tadris Matematika

Kelas/Semester : C/ 2

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI ( IAIN )

SYEKH NUR JATI CIREBON

2013

BAB I

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Ilmu ekonomi pada dasarnya mempelajari gejala-gejala dalam masyarakat (variabel-variabel) yang saling pengaruh mempengaruhi. Gejala-gejala itu kebanyakan dapat dinyatakan dengan satuan-satuan/ ukuran-ukuran/ kuantitas seperti harga barang-barang, upah pekerja, jumlah barang yang dibeli dan dijual, pendapatan nasional, konsumsi masyarakat, laba perusahaan, dan sebagainya. Proses saling pengaruh mempengaruhi dari gejala/ besaran-besaran itu oleh ilmu ekonomi dipelajari keserasiannya (consistency-nya). Karena sifatnya yang kuantitatif maka salah satu cara untuk menyelidiki proses saling mempengaruhi itu adalah dengan penggunaan fungsi. Unsur-unsur yang membentuk suatu fungsi adalah konstan atau tetapan dan variabel. Sebuah konstan adalah jumlah dan nilainya tetap dalam suatu masalah tertentu. Bilangan konstan masih dapat dibedakan menjadi konstan absolut (yaitu yang nilainya tetap untuk segala macam soal) dan konstan parametrik atau parameter (yaitu konstan yang mempunyai nilai tetap pada suatu soal, tetapi nilainya bisa berubah pada soal lain).

Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya menghadapi kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk, katakanlah g(x, y) ≤ c dan bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang mengharuskan konsumen untuk membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka pemrograman matematis memberikan kebebasan kepadanya untuk memilih apakah membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau kurang. Jadi, dengan memberikan kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru akan mengakibatkkan permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga memerlukkan pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.

Pemrograman linear, yaitu jenis yang paling sederhana dari permasalahn pemrograman di mana fungsi tujuan (objective function) seperti juga kendala ketidaksamaan (constraint inequality) seluruhnya adalah linear.

RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana bentuk sederhana pemrograman linear?2. Apa saja alogaritma simpleks?3. Apakah dual itu ?4. Bagaimana dalil dual?5. Apa saja keunggulan dual?

TUJUAN

1. Mengetahui bentuk sederhana dari pemrograman linear2. Mengetahui apa saja alogaritma simpleks3. Mengetahui tentang dual4. Mengetahui tentang dalil dual5. Mengetahui beberapa keunggulan dual

BAB II

PEMBAHASAN

PEMROGRAMAN LINEAR

A. Bentuk Sederhana Pemrograman LinearInti pemrograman linear dapat disampaikan dengan baik melalui contoh konkrit.

Kita akan menyajikan dua, yang satu menjelaskan peminimuman (minimisasi) dan yang lainnya menjelaskan pemaksimuman (maksimisasi).1

Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya menghadapi kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk, katakanlah g(x, y) ≤ c dan bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang mengharuskan konsumen untuk membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka pemrograman matematis memberikan kebebasan kepadanya untuk memilih apakah membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau kurang. Jadi, dengan memberikan kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru akan mengakibatkkan permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga memerlukkan pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.

Pemrograman Linear, yaitu jenis yang paling sederhana dari permasalahn pemrograman di mana fungsi tujuan (objective function) seperti juga kendala ketidaksamaan (constraint inequality) seluruhnya adalah linear. ( Alpha C. Chiang, 1986).

Sebuah variabel adalah sebuah jumlah yang mempunyai nilai yang berubah-ubah pada suatu soal.

Pada suatu bentuk fungsi yang sederhana y = a + bx, maka x dan y adalah variable sedang dan b adalah konstan.

Dalam contoh ini x disebut variabel tak gayut (independent variabel atau argument) sedang y adalah variabel yang gayut (dependent variabel) atau nilai dari fungsi yang nilainya ditentukan oleh nilai x.

1 Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1986), Hal. 207.

Contoh 1:

seorang pengusaha mempertimbangkan untuk mengeluarkan sejumlah dana untuk membiayai advertensi guna memperkenalkan barang hasil produksinya. Dia berpendapat bahwa degan berbuat demikian penjualan barangnya akan naik. Dalam hal ini pengusaha ini mempunyai bayangan tentang terdapatnya hubungan fungsional antara pengeluaran advertensi dengan jumlah penjualan harganya.

Bilamana hubungan semacam itu dapat dirumuskan dalam bentuk fungsi, maka si pengusaha akan dapat menentukan berapa dana yang harus dikeluarkan untuk advertensi ini yang akan mendatangkan jumlah penjualan terbanyak baginya.

Contoh 2:

jumlah uang yang beredar dalam suatu Negara adalah salah satu faktor yang menentukan tingkat harga barang-barang dan jasa pada umumnya. Bila jumlah uang yang beredar terlalu banyak maka tingkat harga akan cenderung untuk naik. Bilamana Pemertintah (yang menguasai jumlah uang yang beredar dalam suatu Negara) mengetahui rangkaian fungsi-fungsi (yang bersama membentuk suatu model) yang menerangkan hubungan antara jumlah uang yang beredar dengan tingkat harga pada umumnya, maka pemerintah akan dapat mencegah terjadinya kenaikan harga yang tak terkendali ( yang biasa dikenal dengan istilah hiperinflasi)

Contoh pertama yang menggambarkan perumusan hubungan fungsional antara variabel-variabel yang diwakili oleh sebuah fungsi. Contoh kedua memerlukan suatu set fungsi untuk menerangkan hubungan antara kedua variabel. Baik secara sederhana maupun dengan cara penyajian yang komplex inti dari pendekatan ilmu ekonomi semacam ini terletak pada fungsi.

1. Masalah DietUntuk memelihara kesehatan yang baik, seseorang harus memenuhi kebutuhan

minimum sehari-hari (minimum daily reqirement) dari beberapa jenis bahan bergizi. Anggaplah, untuk menyederhanakan permasalahan hanya terdapat tiga macam kebutuhan yang akan ditinjau: kalsium, protein, dan vitamin A.2

anggap pula bahwa diet gizi seseorang hanya terdiri dari dua macam makanan, yakni jenis I dan II, dimana kita juga merinci kebutuhan minimum sehari-hari untuk setiap jenis gizi.

Permasalahannya: bagaimana kombinasi kedua jenis makanan yang akan memenuhi kebutuhan sehari-hari dan memerlukan biaya yang paling minimum?

2 Ibid, Halaman 208.

Jika kita menyatakan banyaknya dua jenis makanan yang akan dibeli setiap hari, sebagai x1dan x2 (dipandang sebagai variabel kontinu), maka masalahnya dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:

Minimumkan C = 0,6x1 + x2

dengan syarat 10x1 + 4x2 ≥ 20 [kendala kalsium]

5x1 + 5x2 ≥ 20 [kendala protein]

2x1 + 6x2 ≥ 12 [kendala vitamin A]

dan x1, x2 ≥ 0

persamaan pertama yang merupakan fungsi biaya berdasarkan keterangan harga, menyatakan fungsi tujuan (objective function) dari program linier, disini fungsinya adalah meminimumkan. Ketiga ketidaksamaan berikutnya adalah kendala yang dibutuhkan oleh kebutuhan sehari-hari; ini dengan mudah diterjemahkan dari ketiga baris terakhir. Perlu anda perhatikan bahwa, meskipun tidak diperkenankan lebih kecil daripada kebutuhan sehari-hari, optimalnya (jika dilihat dari penggunaan ketidaksamaan yang lemah ≥) diperkenankan melebihi jumlah minimum yang ditunjukkan; ciri inilah yang terutama membedakan pemrograman linear dari permasalahan optimisasi. Akhirnya, melalui dua ketidaksamaan, x1, x2 ≥ 0, yang merupakan pembatas nonnegatif (nonnegativity restrictions), kita tonjolkan keluar kebutuhan yang karena keterbatasan kalkulus, harus tetap tinggal dalam optimisasi klasik, yakni tidak diperkenankan adanya pembelian yang negatif. Juga perlu diperhatikan bahwa masalah kita sebenarnya berisi lebih banyak kendala daripada variabel pilihan. Hal ini tidak pernah terdapat dalam masalah optimisasi klasik, tetapi sekarang dibuat fisibel (layak) karena kendalanya telah diperlemah dari kesamaan menjadi ketidaksamaan, dan dengan demikian lebih mudah untuk memenuhinya.3

Jadi singkatnya, terdapat tiga bahan utama dalam pemrograman linier: fungsi tujuan, himpunan kendala, dan himpunan pembatas non-negatif. Perhatikan bahwa

HargaMakanan I (per Ib) Makanan II (per Ib) Kebutuhan

minuman sehari-hari

$0,60 $1,00

Kalsium 10 4 20

3 Johanes, Pengantar Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal.404.

(unit*)Protein (unit*)

5 5 20

Vitamin A (unit*)

2 6 12

Kelinieran berlaku secara keseluruhan, karena tidak ada variabel yang dipangkatkan lebih dari 1, atau yang dikalikan oleh Variabel lainnya. Tentu saja, kenyataan inilah yang mengangkat nama pemrograman linier ke permukaan.4

2. Pengaruh Perubahan Harga

Sekarang marilah kita mengajukan pertanyaan komparatif-statis (comparative-static): apa yang akan terjadi terhadap penyelesaian optimal bila harga makanan P1/P2

(dalam contoh: -0,60/1,00 = -0,60), pengaruh langsung dari perubahan harga adalah terhadap isocost. Tetapi beberapa kemungkianan dapat timbul.

Pertama, bila kedua harga berubah dalam perbandingan yang tepat sama, maka kemiringan (slope) isocost tetap tidak berubah. Dalam hal demikian, penyelesaian optimal yang semula harus berlaku, meskipun gambaran biaya C tentu saja akan meningkat atau menurun secara pari passu (dengan tingkat yang sama) dengan P1 dan P2.

Kedua, kedua harga dapat berubah dengan proporsi yang berbeda, tetapi perbedaan secara relativ kecil. Dalam kasus seperti itu, kemiringan isocost akan mengalami perubahan yang kecil, katakanlah dari -0,6 ke -0,4 atau ke -0,8. Seperti dapat anda buktikan – dengan menggambarkan kelompok isocost dengan kemiringan -0,8, perubahan kemiringan yang sebesar ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian optimal yang semula.

Jadi, tidak seperti titik singgung dalam kalkulus diferensial. Titik temu/kontak yaitu (susut optimal) tidak sensitiv terhadap perubahan yang kecil dalam parameter-parameter harga.

Kemungkianan yang lain, anggaplah bahwa sekarang kedua harga menjadi sama, katakanlah pada P1 = P2 = 1. Maka isocost tersebut, yang sekarang mempunyai kemiringan sebesar -1, akan sejajar dengan garis pembatas protein. Isocost baru yang kemungkinan paling rendah kemudian akan menyinggung daerah fisibel bukan pada satu titik, tetapi pada sepanjang seluruh pinggir garis pembatas, dengan akibatnya

4 Ibid, Halaman 209

bahwa setiap titik pada ruas garis yang diperluas dari (3,1) ke (23

, 313

) akan optimal.

Sepanjang menyangkut optimisasi individual, gejala optimisasi ganda, (multiple optimum) bukan merupakan masalah;sebaliknya ia dianggap sebagai suatu keuntungan karena dapat membuat beberapa macam kemungkinan dalam daftar makanan. Namun, untuk kita, gejala ini nampak memundurkan kembali pernyataan kita yang rerdahulu bahwa penyelesaian optimal selalu diperoleh pada titik-titik ekstrem. Namun, bila kita renungkan sesaat, hal ini akan menunjukkan bahwa kita tetap pada landasan yang aman, karena walau dalam kasus optimum ganda ini, penyelesaian optimal muncul pada satu sudut – bukan, pada dua titik sudut! Pada kenyataannya, bila kita membatasi pembatasan kita hanya pada titik ekstrem, tidak ada risiko kita bahwa mungkin ada penyelesaian yang lebih baik. Kita akan menemukan bahwa gagasan inilah yang mendasari apa yang disebut penyelesaian metode simpleks yang akan dijelaskan di bawah ini.

3. Masalah Produksi

Asumsinya sebagai berikut. Suatu perusahaan memproduksi dua barang I, dan II, dengan satu pabrik yang terdiri dari tiga departemen produksi: pemotongan, pencampuran, dan pengemasan. Peralatan dalam setiap departemen dapat digunakan 8 jam sehari, jadi kita menganggap 8 jam sebagai kapasitas harian dalam setiap departemen.5 Proses produksi dapat diringkas sebagai berikut: (1) produksi I dipotong terlebih dahulu kemudian dikemas. Setiap ton dalam produksi ini menghabiskan

waktu kapasitas pemotongan 12

jam dan kapsitas pengemasan 13

jam; (2) produk II

dicampur terlebih dahulu kemudian dikemas. Setiap ton produk ini menghabiskan

waktu kapasitas pencampur 1 jam dan kapasitas pembungkus 23

jam.

Akhirnya, produk I dan II dapat dijual dengan harga masing-masing $80 dan $60 per ton, tetapi setelah dikurangi dengan biaya variabel, produk tersebut menghasilka keuntungan bersih $40 dan $30 per ton.

Jumlah yang terakhir ini dapat dianggap sebagai gambaran penerimaan bersih (setelah dikurangi biaya variabel) atau sebagai gambaran keuntungan bruto (setelah dikurangi biaya tetap). Untuk mudahnya, di sisni kita akan menganggapnya sebagai “laba per ton” permasalahannya: bagaimana kombinasi output yang harus dipilih oleh perusahaan agar labanya mencapai maksimum?


Untuk menjawab ini, terlebih dahulu kita akan menyusun informasi yang telah diberikan dalam bentuk tabel, dan keudian menerjemahkan permasalahannya ke dalam program linier dalam dua variabel pilihan kontinu x1 dan x2 berikut ini:

Maksimumkan π = 40x1 + 30x2

Dengan syarat x1 ≤ 16 [kendala pemotongan]

x2 ≤ 8 [kendala pencampuran]

x1 + 2x2 ≤ 24 [kendala pengemasan]

dan x1, x2 ≥ 0

perhatikan bahwa meskipun kendala adalah 12

x1 ≤ 8, kita telah mengalikan kedua ruas

dengan 2 untuk menghindari adanya pecahan. Secara serupa, kita mengubah kendala pengemasan dengan pengali 3. Sekarang, kita menemukan satu permasalahan pemaksimuman. Juga, sekarang kendala dalam bentuk ≤, meskipun kita tidak pernah melebihi kapasitas, kita bebas untuk meningkatkan bagian kapasitas yang menganggur (idle). Namun, pembatas non-negatif masih tetap muncul dalam bentuk yang sama seperti dalam permasalahan peminimuman.6

Untuk model dengan satu produk, pemecahan P dan Q adalah relatif sederhana, meskipun telah dimasukkan sejumlah parameter. Bila semakin banyak barang dimasukkan ke dalam model, maka penyelesaian degan rumus tersebut tidak praktis dan sulit dipakai. Itulah sebabnya mengapa kita harus mengambil jalan pendek, walaupun untuk kasus dengan dua barang.7

Agar penyelesaian dapat ditulis relatif ringkas. Kita tidak berusaha untuk membahas model dengan tiga atau empat barang, walaupun dalam bentuk linear, hal ini terutama karena sampai saat ini kita belum memiliki suatu metode yang cukup untuk menangani suatu sistem persamaan simultan yang luas. Metode seperti itu ditemukan dalam aljabar matriks. ( Alpha C. Chiang, 1993).

Aljabar matriks dapat membantu kita dalam melakukan banyak hal. Pertama, memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang ringkas, walaupun

6 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 83.


persamaannya luas sekali. Kedua, memberikan petunjuk mengenai cara pengujian suatu pemecahan yang ada melalui penaksiran determinan – suatu konsep yang erat hubungannya dengan matriks. Ketiga, memberikan suatu cara untuk mendapatkan pemecahan tersebut (jika ada). Karena sistem persamaan tidak saja menghadapi permasalahan dalam analisa statis (static analysis), tetapi juga dalam komparatif-statis (comparative-static) dan analisa dinamis (dynamic analysis) dan dalam permasalahan optimisasi ( optimization problems).8

Tetapi, pertama-tama perlu dijelaskan secara khusus bahwa aljabarmatriks hanya dapat diterapkan pada sistem persamaan linear. Bagaimana suatu persamaan linear secara realistis dapat menggambarkan hubungan ekonomi yang sebenarnya, tentu saja tergantung pada sifat hubungan tersebut. Dalam berbagai kasus, sekalipun realitas dibatasi dengan mengasumsikan linearitas, suatu hubungan linear yang diasumsikan dapat menghasilkan suatu perkiraan yang cukup mendekati kenyataan terhadap hubungan yang non-linear. Dalam kasus lain, aproksimasi suatu perkiraan dapat diperbaiki dengan memisahkan aproksimasi linear menjadi beberapa bagian dari suatu hubungan yang non- linear.9

Namun dalam kasus yang lain, sementara tetap menggunakan model yang non-linear, kita dapat mengadakan perubahan variabel agar mendapatkan hubungan yang linear. Sebagia contoh, fungsi non-linear

y = axb

dapat diubah dengan mengalikan logaritma di dalam kedua bagian fungsi, menjadi

log y = log a + b log x

yang merupakan fungsi linear untuk kedua variabel (log y) dan (log x).

Singkatnya, asumsi linearitas sering digunakan dalam ilmu ekonomi dan dalam kasus tertentu cukup masuk akal dan dibenarkan.

4. Penyelesaian dengan Garafik

Tujuan linear programming adalah untuk menetapkan alokasi sumber daya yang langka secara optimal di antara produk atau aktivitas yang saling bersaing. Situasi perekonomian seringkali mengharuskan pengoptimuman suatu fungsi di bawah beberappa kendala seperti di bawah beberapa kendala pertidaksamaan. Untuk

8 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 320.9 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 92.

optimisasi di bawah satu kendala pertidaksamaan, metode Lagrangian relatif sederhana. Apabila kendala pertidaksaaan yang dilibatka lebih dari satu maka linear programming adalah lebih mudah. Jika kendala-kendalanya tersebut, betapa pun banyaknya, terbatas variabel, betapa pun banyaknya penyelesaian yang termudah adalah dengan pendekatan grafik.10

Contoh:

sebuah pabrik memproduksi meja (x1) dan bangku (x2). Setiap meja memerlukan 2,5 jam untuk perakitan (A), 3jam untuk pemolesan (B), dan 1 jam untuk pengepakan (C). setiap bangku memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2 jam untuk pengepakan. Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakan lebih dari 20 jam untuk perakitan, 30 jam untuk pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap minggu. Margin laba adalah Rp 3,- per meja dan Rp 4 per bangku.

Pendekatan grafik digunakan di bawah ini untuk mencari bauran output (output mix) yang akan memaksimumkan laba mingguan perusahaan tersebut. Pendekatan ini diperagakan dalam empat langkah yang mudah.

a. Nyatakan data tersebut dalam persamaan atau pertidaksamaan. Fungsi yang akan dioptimumkan, fugsi obyektifnya, menjadi

II = 3x1 + 4x2

di bawah kendala,

kendala dari A : 2,5x1 + x2 ≤ 20

kendala dari B : 3x1 + 3x2≤ 30

kendala dari C : x1 + 2x2≤ 16

kendala ketidaknegatifan: x1, x2 ≥ 0

tiga pertidaksamaan pertama merupakan kendala-kendalateknis (technical constrains) yang ditentukan oleh keadaan teknologi dan tersedianya input; pertidaksamaan yang keempat merupakan suatu kendala ketidaknegatifan (nonnegativity constraint) yang ditentukan pada setiap soal untuk menghindarkan nilai negatif ( karena itu tidak dapat diterima) dari penyelesaian.


b. Perlakuan ketiga kendala pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, selesaikan masing-masing untuk x2 dalam kaitannya dengan x1.Dari A x2 = 20- 2,5 x1

Dari B, x2 = 10- x1

Dari C, x2 = 8- 0,5x1

c. Untuk memperoleh pemecahan yang optimal dalam daerah yang memungkinkan.

x2 = π4

- 34

x1

d. Laba dimaksimalkan pada pemotongan kedua kendala tersebut, yang disebut titik ekstrim (ekstreme point)

5. Dalil Dasar

Untuk suatu sistem persamaan m yang konsisten dan variabel n, di mana n >m, akan terdapat sejumlah penyelesaian yang tak terhingga.11

Akan tetapi, banyaknya titik ekstrim adalah terhingga. Dalil dasar menyatakan bahwa untuk suatu sistem m persamaan dan n variabel, di mana n >m, suatu penyelesaian di mana n - m variabel sama dengan nol merupakan titik ekstrim.12

Jadi dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan m variabel yang tersisa, suatu titik ekstrim, atau penyelesaian dasar dapat diperoleh. Besarnya penyelesaian dasar diberikan dengan rumus

n !m! (n−m )!

Di mana n ! dibaca nfactorial.

Contoh: dengan mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan, menghasilkan tiga persamaan dan lima variabel. Perhitungan untuk menentukan (1) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh suatu penyelesaian dasar dan (2) besarnya penyelesaian dassar yang ada, diperlihatkan di bawah ini.

a. Karena terdapat 3 persamaan dan 5 variabel, dan n – m variabel harus sama dengan nol untuk penyelsaian dasar 5-3 atau 2 variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar atau titik ekstrim.

b. Dengan menggunakan rumus untuk besarnya penyelesaian dasar, n ! / [m! (n – m)!] dan dengan mensubstitusikan parameter-parameter yang diketahui,

11 Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1993), Hal. 84.12 Ibid, Halaman 86.

5 !3! (2 )!

Di mana 5! = 5(4) (3) (2) (1). Jadi,

5(4 )(3)(2)(1)3(2)(1)(2)(1)

= 10

B. Alogaritma SimpleksAlogaritma adalah suatu himpunan kaidah atau suatu prosedur sistematis untuk

mendapatkan penyelesaian suatu soal.13 Alogaritma simpleks adalah suatu metode (atau prosedur perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkinkan atas suatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. Kerena paling sedikit n-m variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar, n-m variabel ditetapkan sama dengan nol dalam setiap langkah dari prosedur tersebut dan penyelesaian diperoleh dengan meyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya.

Alogaritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian optimal dicapai. Variabel-variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. Variabel-variabel yang tidak ditetapkan sama dengan nol disebut dalam basis, dalam penyelesaian, atau lebih sederhan variabel-variabel dasar. Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 minimisasi.

Contoh 1. Alogaritma simpleks digunakan sebagai berikut untuk memaksimumkan laba, apabila ditentukan

∏ = 5x1 + 3x2

Di bawah kendala,

6x1 + 2x2 ≤ 36 2x1 + 4x2 ≤ 28

5x1 + 5x2 ≤ 40 x1x2 ≥ 0

1. Tabel simpleks awal a. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel-

variabel slack6x1 + 2x2 + s1 = 36


5x1 + 5x2 + s2 = 402x1 + 4x2 + s3 = 28

2. Elemen pivot dan perubahan dasar (basis)Untuk menaikan nilai fungsi objektif, suatu penyelesaian mendatar yang baru

diperiksa. Untuk bergerak ke suatu penyelesaian mendatar baru yang mungkin, suatu variabel baru dimasukkan ke dalam basis dan salah satu variabel yang sebelumnya berada dalam basis harus dikeluarkan. Proses pemilihan variabel yang dimasukkan dan variabel yang dikeluarkan tersebut dinamakan perubahan basis (change of basis).14

3. PivotingPivoting adalah proses penyelesaian m persamaan dalam bentuk m variabel yang

sekarang berada dalam basis. Karena hanya satu variabel baru yang memasuki basis pada setiap langkah proses, dan langkah sebelumnya selalu melibatkan suatu matriks identitas, pivoting hanya meliputi perubahan elemen pivot menjadi 1 dan semua elemen lainnya dalam kolom pivot menjadi nol. Seperti dalam metode eliminasi Gauss. (Edward T. Dowling, 1996)

4. Optimisasi Fungsi objektif dimaksimumkan kalau tidak terdapat indikator negative dalam

basis terakhir.15

C. Dual

Setiap awal maksimisasi (minimisasi) dalam (linear programming) selalu dihadapkan pada soal minimisasi (maksimisasi) yang terkait. Soal asal (mula-mula) disebut primal; soal yang terkait disebut dual. Hubungan antara keduanya dapat dinyatakan secara gambling melalui penggunaan parameter-parameter yang terkandung dalam keduanya. Untuk sifat-sifat yang serupa dalam fungsi lagrangian.16

Contoh 1. Dengan mengetahui soal asal atau primal,

Maksimumkan ∏ = g1x1 + g2x2 + g3x3

a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ b2

14 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 89.15 Ibid, Halaman 89.16 Alpha C. Chiang, Dasar-dasar Matematika Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1986), Hal. 103.

a31x1 + a32x2 + a33x3 ≤ b3

x1, x2, x, ≤ 0

dual yang terkait adalah

minimumkan c = b1z1 + b2z2 + b3z3

a11z1 + a21z2 + a31z3 ≥ g1

a12z1 + a22z2 + a32z3 ≥ g2

a12z1 + a23z2 + a33z3 ≥ g3

z1, z2, z3 ≥ 0

Kaidah Transformasi untuk Memperoleh Dual

Dalam perumusan dual dari suatu soal primal

1. Arah optimisasi adalah terbalik. Maksimisasi dalam primal menjadi minimisasi dalam dual dan sebaliknya.

2. Tanda pertidaksamaan dari kendala teknis adalah terbalik, tetapi ketidaknegatifan pada variabel-variabel keputusan (decision variables ) selalu dipertahankan.

3. Baris matriks koefisien dari kendala dalam primal berganti tempat ( transpose ) menjadi kolom untuk matriks koefisien dari kendala dalam dual.

4. Vektor baris dari keofisien dalam fungsi obyektif dalam primal berganti tempat menjadi vektor kolom konstan untuk kendala dalam dual.

5. Vektor kolom konstan dari kendala primal berganti tempat menjadi vektor basis dari koefisien-koefisien untuk fungsi obyektif dalam dual.

6. Variabel keputusan primal ( xj ) digantikan oleh variabel keputusan dual ( zi ).

Contoh 2. Dual dual dari soal linear programming,17

Maksimum ∏ = 5x1 + 3x2

6x1 + 2x2 ≤ 36

5x1 + 5x2 ≤ 40

2x1 + 4x2 ≤ 28


adalah x1, x2 ≤ 0

minimumkan c = 36z1 + 40z2 + 28z3

dengan kendala 6z1 + 5z2 + 2z3 ≥ 5 2z1 + 5z2 + 4z3 ≥ 3

z1, z2, z3 ≥ 0

contoh 3. Dual dari soal linear programming,

minimumkan c = 20z1 + 30z2 + 16z3

dengan kendala 2,5z1 + 3z2 + z3 ≥ 3

adalah z1 + 3z2 + 2z3 ≥ 4

z1, z2, z3 ≥ 0

maksimumkan ∏ = 3x1 + 4x2

dengan kendala 2.5x1 + x2 ≤ 20 x1 + 2x2 ≤ 16

3x1 + 3x2 ≤ 30 x1, x2 ≥ 0

Perhatikan bahwa jika dual dari dual diambil di sini atau dalam contoh-contoh di atas, primal yang berkaitan akan diperoleh.

D. Dalil Dual

Dua dalil dual bersifat sangat penting untuk linear programming. Dalil tersebut berbunyi:

1. Nilai optimal dari fungsi obyektif primal selalu sama dengan nilai optimal dari fungsi obyektif dual, asalkan terdapat suatu penyelesaian optimal yang memungkinkan.

2. Jika dalam penyelesaian optimal yang mungkin tersebut. ( Alpha C. Chiang, 1993).

Suatu variabel keputusan dengan program primal mempunyai nilai bukan nol, variabel slack (atau surplus) yang berkaitan dengan program dual harus mempunyao nilai optimal nol.18


Suatu variabel slack (atau surplus) dalam primal mempunyai nilai bukan nol, variabel keputusan yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai optimal nol.19

Contoh 4. Diketahui soal linear programming berikut,

Minimumkan: ∏ = 14x1 + 12x2 + 18x3

Dengan kendala 2x1 + x2 + x3 ≤ 2

x1 + x2 + 3x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0

dalil dual digunakan sebagai berikut untuk mencari nilai optimal dari (1) fungsi obyektif primal dan (2) variabel keputusan primal. Program dualnya adalah:

minimumkan c = 2z1 + 4z2

dengan kendala 2x1 + z2 ≥ 14

z1 + z2 ≥ 12

z1 + 3z2 ≥ 18 z1, z2 ≥ 0

Nilai optimal dari program dual diperoleh dengan grafik.Untuk memperoleh nilai optimal dari variabel keputusan primal, ubahlah kendala pertidaksamaan menjadi persamaan dengan penambahan variabel slack pada primal (I) dan dengan mengurangkan variabel surplus dari dual (II). Untuk membedakan variabel slack dalam primal dengan variabel surplus dalam dual, si digunakan untuk primal dan ti untuk dual.

I. 2x1 + x2 + x3 + s1 = 2x1 + x2 + 3x3 + s2 = 4

II. 2z1 + z2 – t1 = 14 z1 + z2 – t2 = 12 z1 + 3z2 + t3 = 18

substitusikan z1 = 9, z2 = 3 utuk mendapatkan t1, t 2, t3 sebagai berikut:

2(9) + 3 – t1 = 14 t 1 = 7

9 + 3 – t2 = 12 t 2 = 019 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 112.

9 + 3(3) – t3 = 18 t 3 = 0

Dengan variabel surplus (t 2, t3) untuk kendala dual kedua yang kedua dan ketiga yang sama dengan nol, menurut dalil dual yang kedua, variabel-variabel keputusan primal yang berkaitan (x1, x2) harus bukan nol. Dengan t 1 ≠ 0, variabel keputusan yang berkaitan x1 harus sama dengan nol. Oleh karena itu x1 = 0.20

Dalil dual kedua juga menyatakan bahwa jika variabel keputusan dual yang optimal (z1, z2) dalam dual tidak sama dengan nol, maka variabel-variabel primal yang berkaitan (s1, s2) dalm primal harus sama dengan nol.

Dengan substitusi s1 = s2 = 0, dan mengingat bahwa x1 = 0. Disederhanakan menjadi

x2 + x3 = 2 x2 + 3x3 = 4

penyelesaian secara simultan dengan menggunakan kaidah Cramer, x2 = 1 dan x3

=1. Jadi keputusan variabel yang optimal adalah x1 = 0, x2 = 1, dan x3 = 1, yang dengan mudah dapat dicek dengan substitusi kedalam fungsi oyektif:

∏ = 14(0) + 12(1) + 18(1) = 30.

E. Keunggulan Dual

Dari hubungan antara primal dan dual, seperti diuraikan di atas jelas bahwa nilai optimal fungsi obyektif dapat diperoleh baik melalui primal maupun dual. Karena hubungan komplementer antara variabel-variabel keputusan dalam satu program dan variabel-variabel slack (atau surplus) di dalam program lainnya,21 penyelesaian untuk program yang satu memberikan penyelesaian penuh untuk program lainnya. Ini bermanfaat karena:

1. Hal ini memugkinkan penyelesaian soal minimisasi menurut maksimisasi, yang seringkali lebih mudah .

2. Untuk primal denga tiga variabel keputusan, dual menyederhanakan program tersebut menjadi dual variabel keputusan, yang kemudian dapat digambarkan secara grafis.

Contoh 5. Dual digunakan dibawah ini untuk menemukan nilai optimal dari soal minimisasi dalam contoh 3.Dual dari soal minimisasi dalam contoh 3 digambarkan secara grafis.


21 Ibid, Halaman 316.

Harga Bayangan (Shadow Price) dalam Dual22

Bila menggunakan dual untuk menyelesaikan primal, nilai marginal atau harga bayangan dari sumber daya ke i dalam primal tersebut ditunjukkan secara langsung oleh variabel keputusan yang berkaitan dengan fungsi obyektif dual. Jadi, zi dalam dual memberikan harga bayangan dari sumber daya ke i dalam primal tersebut. Nilai optimal dari fungsi obyektif akan selalu sama dengan jumlah sumber daya di kalikan dengan harga bayangannya masing-masing. Dalam bentuk parameter-parameter dari contoh 1 ,

∏ = ∑i=1

3

bizi = b1z1 + b2z2 + b3z3

Contoh 6. Tabel final untuk dual dipakai untuk menentukan harha bayangan dari sumberdaya, sebagai berikut: dengan mengoreksi urutan dari vektor-vektor unit dalam “porsi” matriks identitas dari tabel dual final, z1 = 9 dan z2 = 3. Karena z1 dan z2 adalah variabel-variabel keputusan dual yang berkaitan dengan dua sumberdaya dalam kendala-kendala primal, maka harga bayangan dari sumberdaya pertama adalah 9; harga bayangan dari sumberdaya kedua adalah 3.

Harga-harga bayangan ini dapat digunakan utuk menentukan nilai optimal fungsi obyektif primal. Dari kendala-kendala primal.23

Harga Bayangan dan Aneka Pengganda (Multiplier) Lagrangin

Harga bayangan memiliki fungsi yang sama seperti angka pengganda (multiplier) lagrangin. Harga bayangan memprakirakan perubahan dalam fungsi obyektif yang ditimbulkan oleh suatui perubahan kecik dalam kendala. Ini dengan mudah diperlihatkan dengan mengambil turunan parsial dari (15.3) dengan memperhatikan kendala-kendala b1, b2, dan b3.

22 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1996), Hal. 404.23 Edward T. Dowling, Matematika untuk Ekonomi (Jakarta: Erlangga, 1994), Hal. 383.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Inti pemrograman linear dapat disampaikan dengan baik melalui contoh konkrit. Kita akan menyajikan dua, yang satu menjelaskan peminimuman (minimisasi) dan yang lainnya menjelaskan pemaksimuman (maksimisasi).

Perbedaan pemrograman matematis dengan optimisasi klasik adalah bahwa pemrograman matematis mencoba mengatasi permasalahan di mana optimisasinya menghadapi kendala ketidaksamaan (inequality) – yaitu kendala dalam bentuk, katakanlah g(x, y) ≤ c dan bukan g(x, y) = c. sebagai suatu gambaran khusus, ketimbang mengharuskan konsumen untuk membelanjakkan uangnya tepat sebesar $250, kerangka pemrograman matematis memberikan kebebasan kepadanya untuk memilih apakah membelanjakkan uangnya sebesar $250 atau kurang. Jadi, dengan memberikan kebebasan persyaratan kendala, kerangka optimal yang baru akan mengakibatkkan permasalahannya menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Tetapi, ia juga

memerlukkan pengembangan cara penyelesaian dengan metode-metode baru, karena kendala ketidaksamaan tidak dapat diatasi oleh teknik klasik dari kalkulus.

Alogaritma adalah suatu himpunan kaidah atau suatu prosedur sistematis untuk mendapatkan penyelesaian suatu soal. Alogaritma simpleks adalah suatu metode (atau prosedur perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkinkan atas suatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. Kerena paling sedikit n-m variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar, n-m variabel ditetapkan sama dengan nol dalam setiap langkah dari prosedur tersebut dan penyelesaian diperoleh dengan meyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya.

Alogaritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian optimal dicapai. Variabel-variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. Variabel-variabel yang tidak ditetapkan sama dengan nol disebut dalam basis, dalam penyelesaian, atau lebih sederhan variabel-variabel dasar. Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 minimisasi.

Setiap awal maksimisasi (minimisasi) dalam (linear programming) selalu dihadapkan pada soal minimisasi (maksimisasi) yang terkait. Soal asal (mula-mula) disebut primal; soal yang terkait disebut dual. Hubungan antara keduanya dapat dinyatakan secara gambling melalui penggunaan parameter-parameter yang terkandung dalam keduanya. Untuk sifat-sifat yang serupa dalam fungsi lagrangian.

Suatu variabel keputusan dengan program primal mempunyai nilai bukan nol, variabel slack (atau surplus) yang berkaitan dengan program dual harus mempunyao nilai optimal nol.

Suatu variabel slack (atau surplus) dalam primal mempunyai nilai bukan nol, variabel keputusan yang berkaitan dalam program dual harus mempunyai nilai optimal nol.

Dari hubungan antara primal dan dual, seperti diuraikan di atas jelas bahwa nilai optimal fungsi obyektif dapat diperoleh baik melalui primal maupun dual. Karena hubungan komplementer antara variabel-variabel keputusan dalam satu program dan variabel-variabel slack (atau surplus) di dalam program lainnya, penyelesaian untuk program yang satu memberikan penyelesaian penuh untuk program lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Alpha C. Chiang, 1986. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga.

Alpha C. Chiang, 1993. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jakarta: Erlangga.

Edward T. Dowling, 1994. Matematika untuk Ekonomi. Jakarta: Erlangga.

Edward T. Dowling, 1996. Matematika untuk Ekonomi. Jakarta: Erlangga.

Johanes, Sri Handoko, Budianto, 1994. Pengantar matematika untuk ekonomi. Jakarta: PT.

Pustaka LP3ES Indonesia.

iin rosita sari uas

Documents