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池袋物理学勉強会 1

第 0 章nubatamax/gm3d

July 16, ２０１４池袋バイナリ勉強会拠点

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（今日だけ）こういうことについて語っておきたい

● 分かるとはどういうこと

● たとえ話の限界

● 理論化の前提

● モデルとは , 理論とは

● 力学変数

● 変数の選び方

● 巨視的理論

● 理論の適用範囲

● ロードマップ

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分かるってどういうことかな

● 例 : ヒッグス粒子の説明– （日本語訳がついてるので Gigazine さんか

ら引用）–

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ふ～ん、そうかあ…

● 電子はスキーヤーみたいなものなんだね？じゃあ、坂を登るときは遅くなるんだ？

● その日その日の天気に当たるもので質量って変わったりするんだね？

● 真空の中を進むときもヒッグスの抵抗でだんだん粒子のスピードは遅くなる？

… 実際はそうではない

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たとえ話の限界

「 A が B である」ことを説明するのに「 C は D である」というたとえを用いてもA と C が同じでない以上無理がある

A は B だ！

C が D なのと同じだよ！

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「 A が B である」が一般論、「 C が D である」がその具体例　になっている場合は「理解を助ける」材料としては妥当。しかし説明が C の特殊な性質によっているなら「証明」ではない

雪の例は、「似ているところがある」だけで具体例ですらない

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逆に、具体例「 C が D である」ことを説明するのに、上位の一般論として「 A が B である」ことを利用するのは論理的には正しい。しかしそれがより分かりやすいかどうかは別問題。

ヒッグスの場合、南部先生の「自発的対称性の破れ」の理論が上位概念、ヒッグス粒子はその具体例と言うことはできるが…

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言葉による説明の問題点

定義のあいまいさ余計な含意

定量性の欠如

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現象が数式にどうやってモデル化されているか

物理やその他の自然科学をきちんと「理解」するには

数式がどう展開され、結論に結びつけられているか

… を押さえる必要あり

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数式による現象の表現

あなたは数を見たことがありますか？

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「数」や「式」は論理上の存在にすぎない

我々が実際に見るのは「ひよこ」や「りんご」や「原子」であり

数ではない

しかし、現象の主要な性質、あるいは我々が注目する性質は数式によって表現できる

問題のモデル化

恣意性の余地

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現象

モデル

結果

理論により結論を得るステップ

変数の選択

数学的手段

それぞれの段階で困難が存在

実験との対比

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モデルと現実の食い違い● 最初からモデルは理想化されたケースと考え、現実との完

全一致を放棄（余裕があれば後から再検討）

→ ほとんどの巨視的物理、工学● 一番最初の出発点は第一原理から得られるが、厳密に解け

ないので直ちに近似の議論に入る→原子核理論など● モデルが現実を（最終的には）完全に表すことを

狙う→素粒子論● 現象に普遍的に見られるある一側面だけをなるべく一般的

にモデル化し、そこから得られる結論を調べる→数理物理

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どこまでをモデル化するかは自明ではない

現象との一致を改善するために、今まで無視していた要素を変数として取り入れるのはよくあること

例：物性物理で結晶や金属の性質を考える場合、最初は原子や電子のスピン等、最も注目する量だけを定式化するが、その後必要に応じて格子振動の自由度を取り入れたりする

物理学では、変数の選択自体も重要な問題になりうる

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物理で現象を導くとは

● 「計算するとそうなる」– → モデル化した後の話

● モデル化に関しては、自動的に決まるものではない

– →基本は、「こうするとうまくいく」● 「うまくいく」かどうかは実験との対比が決める

–

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モデル化自体の内在的理由からモデルに制限が付くケースクォークは 6種類 (u, d, s, c, t, b)→ユニタリティ（確率の保存）

からの結論（小林・益川）時空は 11次元（超弦理論）

現象との対比で却下されるケースタキオン（超光速粒子）→安定な真空状態が存在しなくなるので却下（モデルとしては成立するが、

明らかに我々の世界を反映していない）

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力学系

● 現実に存在する系から注目する部分の変数だけを抽象化し、力学法則に従うと考えた物

● モデル化された物理系● 我々が当面扱う力学系は「質点」が中心

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「質点」とは…

● 属性として持つのは、● 質量 m

● 座標 x

● の二つのみ。● 「大きさ」、「形」、「硬さ」などは

考えない（モデル化の時点で捨て去ってしまっている）

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　質点として表せるもの

● 天体● リンゴ● 原子、電子…● 剛体

いずれも、それぞれ「ある範囲」においては質点とみなせる

● ただしそれが無条件に正しいと思い込んではいけない→理論の適用限界

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力学系の状態

● 力学系の状態は、各時刻における力学変数の値が分かれば決まったことになる。

● ( モデル化が済んだ後の）物理学における中心課題→力学変数の時間発展を調べること

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式で言うと

● 一次元空間（直線上）を運動する粒子●

● 3次元空間の場合●

● 矢印の代わりに太字で書いたりする● n次元空間でも同じ●

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一次元の場合で言うと、関数 x(t) が定まれば質点の運動が分かったことになる

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ニュートンの運動方程式

● x(t) を定める方程式●

●

● f: 質点に働く力● m: 質点の質量● a: 質点の加速度● … という形で最初習うが

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運動方程式の見方

● まず、 a と書くと x(t) と関係ない量に見えるが…

●

● なので、運動方程式は

● のように見る

(加速度の定義 )

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f(x): 質点に働く力質点が位置 x にあるとき、質点に働く力は f(x)→ 位置によって力が決まる

2 階の微分方程式積分 積分

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積分による時間発展の追跡

● x(t) をすべての時刻 t において知りたい● 初期データとして与えられているのは時刻 t0 における x と速度 v のみ

● いきなりすべての時刻 t について考えるのは大変

● とりあえず、 t0 からほんのわずかな時間Δt だけ経過した後の位置を求めてみる

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ごく短時間の間ならば、速度はほぼ一定のはず→等速直線運動！

でも速度も次の瞬間には変わっているはず→ どの程度変わるかは加速度から分かる！上と全く同じ考え方

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a0 は与えられていないが

● 加速度は運動方程式が教えてくれる– （ f(x) は与えられているものとする）

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t0 における情報から、 t0 + Δt における状態が求まった！

とすると、まったく同様に

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実際には、有限の大きさの Δt では誤差が生じるΔt→0 、繰り返しの回数を無限大にした極限が積分操作

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積分と運動方程式を組み合わせることにより、初期値 x0 と v0 から未来永劫にわたってx(t) 、 v(t) が決まる

古典力学は決定論→ラプラスの悪魔

ただし、実際の現象に適用するには、 x0 、 v0 を無限の精度で知ることはできないので、予測の精度には限界がある

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f(x) を与えることが「状況設定」にあたる

● 自由粒子●

● 静電気力、重力●

●

● バネ振り子（ aka. 調和振動子）

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既知の解の例

● 自由粒子●

●

●

● 調和振動子（バネ振り子）

（等速直線運動）

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重力・静電気力の場合

● 一次元では困難が生じる

●

● x が x=0 に近づくにつれて力が大きくなる→速度も無限大に（初期値によるが）

● 3次元（ 2次元でも可）に拡張すれば解消される● モデル化に問題、ないしは適用限界がある例

実際の解は煩雑なので書かない

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参考： 3次元の場合

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時間発展を追うことが物理学の中心課題であるため、時間微分に関しては特別な省略記法を用いる

（ Φ は任意の関数）

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ロードマップ（夢）

古典力学

特殊相対論

量子力学

場の量子論

超弦理論

一般相対論

… まずは古典力学の終わりが見えてきたら次を考えましょう

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今後の進め方

● 第 2回からは基本的にテキストに即して進みます● テキストがあるのでこんなに資料は作りません

– 必要に応じてピンポイントで● 予習は…まあできる範囲でがんばって● 基本的には講師がしゃべりますが、計算の必要な

ところなど、やってみたい人がいるようなら候補者を募ります

● ときどき理解度チェックタイムを入れます！

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進め方（続）

● Google グループに参加してください● https://groups.google.com/forum/#!forum/

ikeph● 当面水曜固定で行きます● 隔週で大丈夫ですか？● あと、次回から会場費 500円です！

– このスペースの維持のため

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勉強会と関係ないお願い● 先日「準天頂衛星アプリコンテスト」に応募して初めての androidアプリを作りました

● SatelliteDust - みちびきのささやき -– ポエムなタイトルですみません

● Google Play から検索してダウンロードできます● 怪しくないので動かしてみて、よかったら動作報告や感想をおねが

いします（現在ダウンロード数による評価期間中なので！）● 強引にこの勉強会と関係づけるとすれば…

– パーティクルの運動に今日やった位置と速度の Δt毎の更新の考えを使っています

– 衛星の軌道計算にも古典力学を使っています