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UniversitàdegliStudiRomaTre– FacoltàdiIngegneria– CorsodiCementoArmatoprecompressoA/A2018-19
Il calcolo in fase elastica delle sezioni composte
c.a.- c.a.p.
Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di IngegneriaLaurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2018-19
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Introduzione
I sistemi misti c.a-c.a.p sono elementi composti da travi prefabbricate incap a fili pretesi o cavi post-tesi e da elementi in c.a. ordinario (spessosolette) gettati successivamente alla trave in c.a.p. resi collaboranti daopportuni sistemi di connessione.
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Introduzione
Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente
ELEMENTINON CONNESSI
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Introduzione
Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente
ELEMENTICONNESSI
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Fasicostruttive
Larealizzazionediunastrutturacompostapassaingenereattraversoleseguentifasicostruttive:
• Realizzazionedellatravenellostabilimentodiprefabbricazione• Posainoperadellatrave(conosenzapuntellamento)• Gettodellasolettadicompletamento• Messainserviziodellastruttura
Alleprecedenticorrispondonoaltrettanteverificheallequaliilprogettistadovràattenersi.
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MetodiCostruttivi
Imetodidicostruzioneditravimistesonoessenzialmentedue:
• Metododelletraviconpuntellamento provvisorio• Metodidelletravisenzapuntellamento provvisorio
Nelprimocaso,primadelgettodellasoletta,letravisonotemporaneamente sostenutedaunaseriedipuntelli,chevengonorimossinonappenaraggiuntoilgradominimodimaturazionedellacalcestruzzo.Nelsecondocaso,ilpesodellasolettagraverà,all’attodelgetto,direttamentesullatravesenzal’ausiliodisostegnitemporanei
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MetodiCostruttivi:travinonpuntellate
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MetodiCostruttivi:travipuntellate
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VerifichealloSLE
E’ingenerenecessarioconsiderarealmeno leseguentiverifiche:
• Verificadellatraveall’attodellaprecompressioneFaseI(verificaaltiro)
• VerificadellatravealgettodellasolettaFaseII(verificaavuoto)
• Verificadellastrutturacompostaineserciziosottol’azionedeicarichipermanenti+variabiliFaseIII(verificainesercizio)
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Fasidiverifica
MG# Ms#Mp+q#
Fase#I# Fase#II# Fase#III#
MG# Ms#Mp+q#
Fase#I# Fase#II# Fase#III#
Travinonpuntellate Travipuntellate
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEALTIRO
All’attodeltirolastrutturaècostituitadallesoletraviprecompresse,esclusaquindilasoletta.Lerelativetensioniallemboinferioreesuperiorevalgonoquindi:
σ tr ,iI =N0 −ΔNp
Aid ,0+N0 −ΔNp( ) eI
Wid ,0i
−MGT
Wid ,0i
σ tr ,sI =N0 −ΔNp
Aid ,0+N0 −ΔNp( ) eI
Wid ,0s
−MGT
Wid ,0s
MG# Ms#Mp+q#
Fase#I# Fase#II# Fase#III#
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEAVUOTONell’ipotesichelecaduteditensionevenganoscontateprimadellarealizzazionedellasoletta,all’attodelgettodellasolettaletensionidiventanoleseguenti:
dovelasezionedaverificareèsemprequelladellatraveinprecompressomentreorasiaggiungeilmomentoflettentedovutoalpesodellasolettaMGS,nonancorareagente.
σ tr ,iII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0i
−MGT +MGS
Wid ,0i
σ tr ,sII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0s
−MGT +MGS
Wid ,0s MG# Ms#
Mp+q#
Fase#I# Fase#II# Fase#III#
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEINESERCIZIOAllafaseprecedentesiaggiungelafasediesercizionellaqualeilmomentodovutoaisovraccarichiaccidentaliedeventualisovraccarichipermanentiMp+p modificalostatotensionaledellatrave:
MG# Ms#Mp+q#
Fase#I# Fase#II# Fase#III#
σ tr ,iIII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0i
−MGT +MGS
Wid ,0i
−Mq
Wid ,ei
σ tr ,sIII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0s
−MGT +MGS
Wid ,0s
−Mq
Wid ,es
Riferitaallasezionecomposta
Riferitaallasezione incap
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEINESERCIZIOAllafaseprecedentesiaggiungelafasediesercizionellaqualeilmomentodovutoaisovraccarichiaccidentaliedeventualisovraccarichipermanentiMp+p modificalostatotensionaledellatrave:
σ tr ,iIII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0i
−MGT +MGS
Wid ,0i
−Mq
Wid ,ei
σ tr ,sIII =
N0 −ΔNp −ΔNcAid ,0
+N0 −ΔNp −ΔNc( )eI
Wid ,0s
−MGT +MGS
Wid ,0s
−Mq
Wid ,es
Riferitaallasezionecomposta
Riferitaallasezione incap
σcs
σci
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEINESERCIZIONellafaseIIIlostatotensionalenellasolettaèovviamenteinfluenzatosoltantodalmomentodovutoaisovraccarichivariabili.Sicchéletensioniallemboinferioreesuperioredellastessavarranno:
σcs
σci
σ siIII = −
Mq
Wids,ei
σ ssIII = −
Mq
Wids,es
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VerifichealloSLE:Travenonpuntellata
FASEINESERCIZIOLafiguraseguente illustralostatotensionalenellevariefasidiverifica,ognunadellequalièulteriormentesuddivisaindiagrammirappresentantiglieffettideisingolicarichi(carichiesternieprecompressione
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VerifichealloSLE:Travepuntellata
Nelcasoditravipuntellate laFaseIIsisviluppaconlasolettagiàcollaborante,poichéipuntellivengonorimossisolodopocheessaharaggiuntoilgiustogradodimaturazione.Conseguentemente, lostatonellediversevariefasicostruttive
precompressione pe
so p
ropr
io
Cadute di Tensione Peso
Sol
etta
precompressione FASE I FASE III
Peso
Sol
etta
FASE II
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Calcolodelsistemadiconnessionetrave-soletta
L’aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l’assenzadi scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere unsistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovràsopportare sollecitazioni di taglio.
connettore
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Calcolodelsistemadiconnessionetrave-soletta
L’aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l’assenzadi scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere unsistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovràsopportare sollecitazioni di taglio.Detto T il taglio ed s il passo delle staffe, la singola staffa dovràsopportare la seguente forza di scorrimento per unità di lunghezza:
T=(T1+T2)/2
dove S* è il momento statico della soletta rispetto all’asse neutrodella sezione composta, Jid è il momento d’inerzia della sezionecomposta.
Fs =TS*
Jid
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Calcolodelsistemadiconnessionetrave-soletta
Laresistenzadelcollegamentopuòesserecalcolataadottandol’approccioindicatonell’Eurocodice 2alpunto6.2.5,chedefiniscelaresistenzaataglioperunitàdisuperficie,dovutaalcontattotratraveesolettaealsistemadiconnessione(staffe),comesegue:
• c eµ dipendonodaquanto lisciaèlasuperficiedicontatto.Nelcasodisuperficiemoltoliscia,lisciaeruvidaessivalgonorispettivamente, c=0.025 µ=0.5,c=0.35 µ=0.6,c=0.45 µ=0.7
• σn èlatensionenormaleeventualmente presentesullasuperficiedicontatto
• α èl’angolodiinclinazionedeiconnettori
vRD = c fctd +µσ n + ρ f yd (µ sinα + cosα)
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Influenzadelritiro
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Influenzadelritiro
Lostatodicoazionegeneratodall’accorciamentoimpeditodellasoletta,generaasuavoltaunaforzaditrazioneFr=εr EC b0s.Latravecompostarisultacosìsoggettaacompressioneeccentrica.Sullasolettadicalcestruzzol’effettodellatrazioneedellacompressioneeccentricasisommano.Levariazionidellostatotensionaleailembisuperioreeinferioredellasolettasonoesprimibilipertantocomesegue:
Δσ r ,cs =FrAidn
+FreJidn
ycs −Frb0s
Δσ r ,ci =FrAidn
+FrenJid
yss −Frb0s
Soletta
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Influenzadelritiro
Lostatodicoazionegeneratodall’accorciamentoimpeditodellasoletta,generaasuavoltaunaforzaditrazioneFr=εr EC b0s.Latravecompostarisultacosìsoggettaacompressioneeccentrica.Sullasolettadicalcestruzzol’effettodellatrazioneedellacompressioneeccentricasisommano.Levariazionidellostatotensionaleailembisuperioreeinferioredellasolettasonoesprimibilipertantocomesegue:
Δσ r ,ss =FrAid
+FreJidyss
Δσ r ,si =FrAid
+FreJidysi
Trave
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Esempio
Esempio5.12:Siconsiderilatravesemplicementeappoggiatadifigura,lacuisezioneèmistac.a.p.-c.a.realizzataconun’unicaclassedicalcestruzzo.Quest’ultimaècostituitadaunacostolarettangolareprecompressaafilipretesieunasolettadicompletamentodicementoarmatoordinario.Conriferimentoaidatigeometriciemeccanicifornitinellatabellaseguentesicalcolilostatotensionalenell’ipotesi1)assenzadipuntelli2)uniformepuntellamento.Perilcalcolodellecaratteristichegeometrichesifacciariferimentoallasezionedisolocalcestruzzo.
bo
sohtr
y
x
btr
d'
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• Calcolostatotensionale conosenzapuntellamento
btr
htreI
yGI
Fase I e II (solo trave) Area: Aid,0 = btr × htr = 2550 cm2 Posizione baricentro: yGi = 42.5 cm (dal lembo superiore) Momento d’inerzia: I0 = 1/12 btr htr
3 = 1535313 cm4 Moduli di resistenza Wi
id,0 = -Wsid,0 =36125 cm3
Eccentricità del cavo: eI=24.5 cm
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• Calcolostatotensionale conosenzapuntellamento
btr
htr
b0
s0
yGe
Fase III (sezione composta) Area: Aid,0 = btr × htr + b0 × s0= 4050 cm2 Posizione baricentro: yGe = 38.98 cm (dal lembo superiore) Momento d’inerzia: Ie = 1/12 b0 h0
3+1/12 btr htr3+s0b0 (yGe-s0/2)2+ btrbtr (s0-yGe+htr/2)2=3.92×106 cm4
Modulo di resistenza inf. trave Wi
id,e = 64315 cm3 Modulo di resistenza sup. trave Ws
id,e = -163657 cm3
Modulo di resistenza inf. soletta Wiids,e = -163657 cm3
Modulo di resistenza sup. soletta Wsids,e = -100700 cm3
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravenonpuntellata
y
x
d'
17.17 MPa
Verifica al tiro (fase I) Essendo la trave semplicemente appoggiata il momento dovuto al peso proprio vale: MGT = 1/8 × 25(kN/m3)×Aid,0 × L2 = 230.3 kNm. Sicché lo stato tensionale per uno sforzo di precompressione N0 = 2200 kN, vale:
σtr,iI=N0Aid,0
+N0eIWi
id,0-MGTWi
id,0=0.082 MPa
σcsI=N0Aid,0
+N0eIWs
id,0-MGTWs
id,0=17.17 MPa
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravenonpuntellata
y
x
d'
9.67 MPa
4.84MPa
Verifica a vuoto (fase II) In questa fase agisce il peso della soletta (non ancora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo MGS =135.47 kNm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a Ne. Le caratteristiche geometriche rimangono inalterate.
σtr,iII=NeAid,0
+NeeIWi
id,0-MGT+MGSWi
id,0=4.84MPa
σtr,sII=NeAid,0
+NeeIWs
id,0!MGT+MGS
Wsid,0
=9.67 MPa
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravenonpuntellata
y
x
d'
-0.15 MPa
6.28 MPa
8.69 MPa
3.86 MPa
Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agisce la soletta ha raggiunto il giusto grado di maturazione soletta (reagente) che altererà le caratteristiche geometriche della sezione. La presenza dei carichi variabili q incrementa ulteriormente il momento flettente esterno.
σtr,iIII=NeAid,0
+NeeIIWi
id,0-MGT+MGSWi
id,0-MqWi
id,e=-0.15MPa
σtr,sIII=NeAid,0
+NeeIIWs
id,0-MGT+MGSWs
id,0-MqWs
id,e=8.69 MPa
σsiIII=-MqWi
ids,e=3.86 MPa
σssIII=! MqWsids,e
=6.28MPa
Trave Soletta
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravepuntellata
Verificaal tiro (fase I)Questa fase è identica al caso ditrave non puntellata. La trave èmessa in opera e subisce laprecompressione e il suo pesoproprio. Dopo di che vengonoposizionati i puntelli e gettata lasoletta. y
x
d'
17.17 MPa
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravepuntellata
Verifica a vuoto (fase II) In questa fase la soletta ha raggiunto il grado di maturazione desiderato, pertanto i puntelli possono essere rimossi. Agirà quindi il peso della soletta (ora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo MGS =135.47 kNm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a Ne. Le caratteristiche geometriche sono ora quelle della sezione composta:
σtr,iII=NeAid,0
+NeeIIWi
id,0-MGTWi
id,0-MGSWi
id,e=11.3 MPa
σtr,sII=NeAid,0
+NeeIIWs
id,0-MGTWs
id,0-MGSWs
id,e=1.91 MPa
σsiII=!MGSWi
id,e=0.83 MPa
σssII=-MGSWs
id,e=1.34 MPa
Trave Soletta
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• CalcolostatotensionaleconosenzapuntellamentoTravepuntellata
Trave Soletta
Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agiscono anche i carichi variabili q che incrementano ulteriormente il momento flettente esterno.
σtr,iIII=NeAid,0
+NeeIIWi
id,0-MGTWi
id,0-MGS+MqWi
id,e=1.49MPa
σtr,sIII=NeAid,0
-NeeIIWi
id,0+MGTWi
id,0+MGS+MqWs
id,e=5.77 MPa
σsiIII=-MGS+MqIe
yGe=4.89 MPa
σssIII=MGS+MqWs
id,e=7.63 MPa
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Esempio
Ilcalcolotensionale dellatravediseguitoraffiguratasisuddivideneiseguentipassi:
• Calcolocaratteristichegeometrichenellevariefasidicostruzione
• Calcolostatotensionaleconosenzapuntellamento
Osservazione:l’eserciziopresentatohamesso inevidenzachedalpuntodivistatensionale ilpuntellamentoagiscefavorevolmentecontribuendoadiminuirelatensionemassimaallemboinferiore,portandola,nelcasoinesame,datrazioneacompressione.Dicontrosussiste unaumentoditensioneallembosuperioredellasolettadovutaadunaumentorispettoalcasononpuntellatodelmomentoflettente.CiòèdovutoalfattochenelcasopuntellatoeinfaseIIlasolettaègiàcollaborante.
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Esempio
Calcolosistemadiconnessione
La trave è soggetta in esercizio ad un taglio massimo T pari a 235 kN. Il momento d’inerzia Jid nella fase di esercizio vale Jid=3.92 × 106 cm4. Poiché per il dimensionamento dell’armatura di collegamento è necessario valutare lo scorrimento all’attacco trave-soletta occorre valutare il momento statico rispetto ad esso, pari a: S*=15 × 100 × (38.95 –7.5) = 47250 cm3 La forza di scorrimento massima per unità di lunghezza vale quindi: Fs = 235 × 47250 / 3.92 106 = 2.83 kN/cm = 283 kN/m Adottando staffe a 2 bracci φ 8/20, la forza di scorrimento sulla singola staffa varrà, nell’ipotesi di scorrimento costante: Fs1= 283 x 0.2 = 56.6 kN
20cm
yGe
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Esempio
Calcolosistemadiconnessione
30
20
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Esempio
Calcoloeffettidelritiro
Sivalutinoglieffettidelritirodellasolettasullostatotensionaledellatravedell’esercizioprecedenteconsiderandounambienteconumiditàrelativadel60%euncalcestruzzoperlarealizzazionedellasolettadiclasseC28/35.
Dalla tabella 6.4 si ricava che la deformazione da ritiro per essiccamento è pari a 0.38°/°° mentre il parametro kH desumibile dalla tabella 6.5 vale 1.0 essendo h0< 100. La deformazione da ritiro soletta vale dunque 0.038%. La forza nella soletta dovuta al ritiro risulta: Fs = 0.038/100 × 3259 100 × 15 = 1857 kN
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Esempio
Calcoloeffettidelritiro
y
x
d'
7.63 MPa
12.56 MPa
9.36 MPa
0.029 MPa