il campo mesonico di youkawa: predizione del mesone (1935) sorgente interazione introduciamo...
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Il campo mesonico di Youkawa: predizione delIl campo mesonico di Youkawa: predizione del ““mesone”mesone” (1935)(1935)
Introduciamo sorgente sorgente e interazioneinterazione di un campo
2m
txLagr ,int
la Lagrangiana di la Lagrangiana di interazione viene interazione viene
aggiunta alla aggiunta alla lagrangiana del lagrangiana del
campo liberocampo libero
L’equazione delle onde diventa L’equazione delle onde diventa
Analogia con e.m.:
sorgente di sorgente di
22
2
1mLagr
che consegue che consegue dall’ eq. di Euler dall’ eq. di Euler LagrangeLagrange
agragr LL
in analogia con e.m.in analogia con e.m. è la sorgente del campoè la sorgente del campo
Esempio semplice:Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo
xg
Risolveremo il problema con il Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di metodo della trasformazione di Fourier.Fourier.
2m
é indipendente é indipendente dal tempodal tempo xgm
22
Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” (cont) (cont)
kkedx xki ~
32/32
1
xxedkxki
3
2/3
~
2
1
22
332 mk
ekd
gx
xki
Trasformata di Fourier Trasformata inversa
k~
Si ricava
tenendo conto cheSostituendo Sostituendo si ottiene si ottiene:
k~
2/3
~22
2 gkmk
22 k
22
2/3~ 2
mk
gk
ottenendo infine k~
xgm
22
spazio spazio delle delle coordinatcoordinatee
spazio spazio delle delle coordinatcoordinatee
spazio spazio dei dei momentimomenti
spazio spazio dei dei momentimomenti
Valutiamo l’integrale.Valutiamo l’integrale.
coskrxk
krmk
dk
r osin
22
2
ikrikr
oee
mk
dk
ir 22
2
o
ikrikr emk
dke
mk
dk
ir 22
2
022
2
22
2
mk
dk
ir
r
eg mr
4
cos2
0
1
122
2
cos ikr
oedd
mk
dkk
Poniamo:
Questo integrale può essere Questo integrale può essere calcolato, ottenendocalcolato, ottenendo
Il campo mesonico di YoukawaIl campo mesonico di Youkawa
22
332 mk
ekd
gx
xki
matematica spicciolamatematica spicciola
cos2
0
1
122
2
cos ikr
oedd
mk
dkk
22
0
d krkr
eekr
dxeed ikrikrikrxikr sin11
cos1
1
cos1
1
krmk
dk
rkr
mk
kdk
rkr
mk
dkk
kr ooosin
2sin
2
2sin
222
2
2222
2
22
332 mk
ekd
gx
xki
dkddkdk sin23
22
2
mk
dk
ir
è un’integrale che si calcola come un integrale di contorno .
si sceglie come contorno dove Im(k)>0
residuo k=im
Yukawa : Yukawa : è un campo mesonico che ha il è un campo mesonico che ha il nucleone come sorgente.nucleone come sorgente.
Il campo Il campo è a range finito, e quindi deve avere è a range finito, e quindi deve avere una massa m una massa m ≠ 0≠ 0
Gli effetti del campo sono trasmessi da Gli effetti del campo sono trasmessi da particelle (“mesoni”) il cui campo è particelle (“mesoni”) il cui campo è ..
come si vede da come si vede da questa equazionequesta equazione
se le particelle hanno se le particelle hanno massa massa mm, il campo ha , il campo ha
un raggio d’azioneun raggio d’azione r
eg mr
4
mr /1
Yukawa interpretava il mesone come la particella che mediava il campo forte, basandosi sulla massa del ~ 100MeV (300me ~ 150MeV).
c
rmctE 2
c
rm
1
r
eg mr
4
L’interazione di Youkawa
xxxdH
23
'
''4
1 '
2133
12 xx
exxxdxdH
xxm
Un nucleone interagisce con un altro nucleone “Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo”sentendo” il suo campo mesonico il suo campo mesonico
Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da x2
'
''4
1 '
13
xx
exxdx
xxm
Utilizziamo l’espressioneUtilizziamo l’espressione ''1 xgx
L’haniltoniana di interazioneL’haniltoniana di interazione
Possiamo quindi scrivere iI Possiamo quindi scrivere iI potenzialepotenziale
Notare il ruolo della massa. Se la Notare il ruolo della massa. Se la massa =0, questo diventa il potenziale massa =0, questo diventa il potenziale elettrostaticoelettrostatico
Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .
Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momentielementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti.
223
32 mk
ekd
gx
xki
In generale la quantità che rappresenta la particella In generale la quantità che rappresenta la particella scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il propagatore: propagatore:
22
1
mk
r
erV
mr
4
1)(
Osservazione : se avessimo una Osservazione : se avessimo una sorgentesorgente dipendente dal tempodipendente dal tempo, , alal denominatore dovremmo denominatore dovremmo aggiungere : aggiungere :
il denominatore il denominatore apparirebbe come apparirebbe come unun propagatore,propagatore, se se una particella è una particella è scambiata in una scambiata in una interazione interazione
22
332 mk
ekd
gx
xki
kkkkmmkk 222222
0 ,
22
1
mk Questa è la quantità che rappresenta la Questa è la quantità che rappresenta la particella scambiata nello spazio dei particella scambiata nello spazio dei momentimomenti
soluzione soluzione indipendente dal indipendente dal tempotempo
interazione tra campo mesonico nucleare e nucleone come diffusione
r
egrV
mr
4
)( 0
il propagatore bosonicoil propagatore bosonico
interazione tra campo interazione tra campo mesonico nucleare e mesonico nucleare e particellaparticella
scattering (=diffusione) scattering (=diffusione) di una particella in di una particella in potenzialepotenziale
nello spazio dei nello spazio dei momenti il momenti il momentum momentum transfer transfer q q equivale alla equivale alla deflessione deflessione
Il potenziale Il potenziale V(r)V(r) nello spazio delle nello spazio delle coordinate ha una coordinate ha una ampiezza associata ampiezza associata f(q)f(q) per lo scattering per lo scattering della particella, della particella, nello spazio dei nello spazio dei momentimomenti
f(q)f(q) è la è la trasformata di trasformata di Fourier Fourier deldel potenziale, potenziale, esattamente come nella esattamente come nella diffrazione la diffrazione la distribuzione della luce distribuzione della luce difratta è la trasformata difratta è la trasformata di Fourier dell’ostacolodi Fourier dell’ostacolo
3)( drerVgqf rqi
carica della carica della particella particella
coupling strenght coupling strenght of the of the of the of the particle to the particle to the potentialpotential
drr
qr
qrrVqf 2sin
)(
driq
eee
iqriqrmr
20
220
mq
gg
Amplitude in Amplitude in
momentum momentum space is space is
equivalent to equivalent to the potential in the potential in
coordinate coordinate spacespace
charge charge
strenght strenght propagatorpropagator
REGOLE DI FEYNMANREGOLE DI FEYNMAN
Scrivere il fattore appropriato per ogni veritice
Mettere il propagatore di ogni linea interna di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2)
Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne: u fermione iniziale, anti-u fermione finale, 1 per bosoni scalare ed per i bosoni vettoriali
Le regole di FeynmanLe regole di Feynman
AQ
AJLagr
intUna corrente: =Una corrente: =
è la carica elettricaè la carica elettrica
Il fattore è tale per cui il termine è un Il fattore è tale per cui il termine è un quadrivettore.quadrivettore.
J Q
Q
k,
pe ,
', pe
In un campo coulombiano, (per esempio di In un campo coulombiano, (per esempio di un nucleo) un elettrone di quadrimomento p un nucleo) un elettrone di quadrimomento p emette un fotone e rincula con un emette un fotone e rincula con un quadrimomento p’quadrimomento p’
VL
eA
epu
epu
eQ
agr
xik
xip
xip
int
.
.
'.'
Interazione elettromagneticaInterazione elettromagnetica
A
intagrL
Sommario delle Lagrangiane
AJFFLagr
4
1Vector field, mass=0Vector field, mass=0
(elettromagnetismo)(elettromagnetismo)
22
2
1 mLagr
02 m
Real Scalar or Pseudoscalar fieldReal Scalar or Pseudoscalar field
Campo reale di massa m e spin=0Campo reale di massa m e spin=0
Complex scalar or Complex scalar or pseudoscalar field of mass mpseudoscalar field of mass m 2
22
222
12
11 2
1
2
1
mmLagr
2/
2/
21*
21
i
i
*2*
2
1mLagr
0*
0*2
2
m
m
fotone fotone
pione pione
anti-Kanti-K00
KK00
KK11
KK22
ESISTE IN NATURA IL MESONE DI YUKAWA?
Yukawa era convinto che il suo mesone fosse il , sulla base della massa ~240me. Esperimento di Neddermeyer e Anderson
Per spiegare anche il decadimento con il suo mesone aveva ipotizzato un decadimento e con 10-6s.
Se il fosse il mesone di Yukawa , dovrebbe essere catturato dai nucleoni
La frequenza di cattura potrà essere diversa per + e -, a causa del campo coulombiano del nucleo.
Il decadimento è in competizione con la cattura Calcoli di Tomonaga e Araki : in volo probabilità di cattura da
materiali standard (Pb,Al,aria)m trascurabile. + in quiete non vengono mai catturati, - in quiete vengono sempre catturati se lo spessore del materiale è sufficiente per ridurli in quiete.
Possibile test sperimentale: si riducono in quiete le particelle della radiazione cosmica . le particelle positive devono tutte decadere, mentre quelle negative devono essere tutte catturate
L’ esperimento di Pancini Piccioni ConversiL’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi
Iron plates magnetized Iron plates magnetized 15.000 Gauss15.000 Gausslet let converge in the apparatus converge in the apparatus the requested particle signthe requested particle sign
i contatori A e B sono in i contatori A e B sono in coincidenza, mentre C coincidenza, mentre C sono in coincidenza sono in coincidenza ritardata. Ritardo variabile ritardata. Ritardo variabile tra 10tra 10-6-6s e 4.510s e 4.510-6-6 s s
Se un Se un decade decade nell’assorbitore la energia nell’assorbitore la energia dell’eletrone di decadimento è dell’eletrone di decadimento è comunque troppo bassa per comunque troppo bassa per superare l’assorbitore in superare l’assorbitore in piombopiomboDABCABCn rit conteggiconteggi
Quindi un Quindi un “firma” perche’ “firma” perche’ sono particelle con vita media sono particelle con vita media 10-6, che decade 10-6, che decade nell’assorbitore in elettroni che nell’assorbitore in elettroni che non giungono in Dnon giungono in D
CONCLUSIONI CONCLUSIONI
le probabilità di cattura uguali per mesoni positivi le probabilità di cattura uguali per mesoni positivi e negativi in Carbonio.e negativi in Carbonio.
in Ferro i mesoni negativi non sono tutti catturatiin Ferro i mesoni negativi non sono tutti catturati
IN CONTRASTO CON TOMONAGAIN CONTRASTO CON TOMONAGA
ee
0,
GeV
scm
cmsGeV
r
cm
2,0
10
103..106,613
1025
Cosmic rays and Cosmic rays and nuclear emulsionnuclear emulsion
Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide d’argento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini d’argento anneriti.
mass GeV mean-life smass GeV mean-life s00 0,135 8,4.10 0,135 8,4.10-17-17 - 0,140 2,6.10- 0,140 2,6.10-8-8
0,105 2,2.100,105 2,2.10-6-6
Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a due corpi. Il due corpi. Il ha la stessa energia ha la stessa energia cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso ““rangerange” (600 ” (600 m) nella emulsione.m) nella emulsione.
Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno spettro di energia continuo.spettro di energia continuo.
Due parole sui raggi cosmiciDue parole sui raggi cosmici
I I sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di protoni cosmici. La vita media del protoni cosmici. La vita media del è abbastanza breve da è abbastanza breve da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il vive vive 2200ns, puó arrivare sulla superficie della terra. (la 2200ns, puó arrivare sulla superficie della terra. (la componente” hard”).componente” hard”).