http://dida.orizzontescuola.it    

Il   problema  della   trisezione  dell’angolo:   il  metodo  di  Archimede   e   la   sua   insolubilità  con  riga  e  compasso    Quello  della   trisezione  dell’angolo   rientra   tra   i   tre  problemi  greci   insolubili  mediante   riga  e  compasso.  È  bene  osservare  che,  nel  caso  di  particolari  angoli,  come  quelli  di  90°  e  180°,  la  trisezione  si  può  realizzare,  ma  non  è  generalizzabile  al  caso  di  un  qualsiasi  angolo.  Il  risultato  secondo  cui  un  angolo  generico  non  possa  essere  trisecato  utilizzando  solamente  riga  e  compasso,  è  una  conseguenza  del  fatto  che  la  riga  deve  essere  utilizzata  solamente  come  strumento  per  tracciare  rette  passanti  per  due  punti  dati,  quindi  priva  di  scala  graduata.  Se  si  utilizza   la  riga  anche  per  altri   scopi,  come  per  esempio  quello  di  effettuare  e  riportare  misure,  si  possono  ottenere  differenti  costruzioni.    Archimede,   per   risolvere   il   problema   della   trisezione   dell’angolo,   effettuò   la   seguente  costruzione.  Si  consideri  un  qualsiasi  angolo  α  e  si  prolunghi  il  suo  lato  orizzontale  verso  sinistra.  Si  tracci  un  semicerchio  di  centro  O  e  raggio  r.  Sul  bordo  della  riga  si  segnino  due  punti  A  e  B  in  modo  tale  che  il  segmento  AB  abbia  lunghezza  pari  a  r.  Tenendo   il   punto   B   fisso   sul   semicerchio,   è   necessario   inclinare   la   riga   in  modo   tale   che   il  punto  A  si  trovi  sul  prolungamento  del  lato  dell’angolo  α,  mentre  il  bordo  della  riga  passi  per  l’intersezione  dell’altro  lato  dell’angolo  α  con  il  semicerchio  di  centro  O.  Si  tracci,  con  la  riga  in  questa  posizione,  una  retta  che  formerà  un  angolo  β  con  il  prolungamento  del  lato  orizzontale  dell’angolo  originario.  

 Dimostriamo  adesso  che  l’angolo  β  è  la  terza  parte  dell’angolo  α.  Si   considerino   i   triangoli  ABO  e  BOC,   i  quali   risultano   isosceli  per  costruzione.  Da  ciò   segue  che:  

1) 𝐵𝐴𝑂 ≅ 𝐵𝑂𝐴  2) 𝑂𝐶𝐵 ≅ 𝑂𝐵𝐶  

Essendo  l’angolo  𝐶𝑂𝐷  esterno  al  triangolo  AOC,  si  ha  che:  3) 𝐶𝑂𝐷 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 𝑂𝐶𝐵  

Ma  l’angolo  𝑂𝐶𝐵 ≅ 𝑂𝐵𝐶,  che  è  angolo  esterno  del  triangolo  AOB  e  quindi  si  ha:  4) 𝑂𝐵𝐶 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 𝐵𝑂𝐴 ≅ 2𝐵𝐴𝑂  

Dalle  relazioni  3)  e  4)  discende  che:  5) 𝐶𝑂𝐷 ≅ 𝐵𝐴𝑂 + 2𝐵𝐴𝑂 = 3𝐵𝐴𝑂  

ossia,  6) 𝐵𝐴𝑂 ≅ !

!𝐶𝑂𝐷  

Se  si  considerano  le  rette  su  cui  giacciono  i  segmenti  AB  e  OX,  esse  sono  parallele  e,  tagliate  dalla  trasversale  AD,  formano  gli  angoli  corrispondenti  e  congruenti:  

7) 𝐵𝐴𝑂 ≅ 𝑋𝑂𝐷      

   

http://dida.orizzontescuola.it    

Dalle  relazioni    6)  e  7)  discende  che:  

𝑋𝑂𝐷 ≅13𝐶𝑂𝐷    

 A  livello  algebrico,  il  problema  della  trisezione  dell’angolo  può  essere  posti  in  differenti  modi,  dei  quali  il  seguente  è  il  più  semplice:  dato  un  angolo  ϑ  il  cui  coseno  è  pari  a  k,  determinare  la  quantità  x  tale  che:  

𝑥 = cos𝜗3  

Usando   una   nota   relazione   trigonometrica,   esiste   il   seguente   legame   fra   il  cos !!     e   il  cos𝜗  ,  

ossia:    

𝑘 = cos𝜗 = 4 cos!𝜗3 − 3 cos

𝜗3  

 Quindi   possiamo   ulteriormente   pensare   al   problema   della   trisezione   dell’angolo   come   alla  necessità  di  determinare  una  soluzione  algebrica  dell’equazione:    

4𝑡! − 3𝑡 − 𝑘 = 0    Per  dimostrare  che  questa  equazione  non  ammette  nessuna  soluzione  algebrica,  consideriamo  il  caso  in  cui  𝜗 = 60°.  Essendo  𝑘 = cos 60° = !

!,  l’equazione  precedente  diventa:  

 8𝑡! − 6𝑡 = 1  

 e,   se   si   dimostra   che   questa   equazione   non   ammette   nessuna   soluzione   razionale,   allora  perveniamo  alla  tesi.    Sia  𝑣 = 2𝑡,  l’equazione  diventa:    

𝑣! − 3𝑣 = 1    Se   supponiamo   per   assurdo   che   esista   un   numero   razionale   !

!  che   sia   soluzione   di  

quest’ultima  equazione,  con  𝑀𝐶𝐷 𝑚,𝑛 = 1,  si  avrebbe  che:    

𝑚𝑛

!− 3

𝑚𝑛 = 1  

da  cui:    

𝑚! − 3𝑚𝑛! = 𝑛!    Quindi:    

𝑛! = 𝑚 𝑚! − 3𝑛!    sarebbe  una  quantità  divisibile  per  m  e  quindi  proprio  m  ed  n  avrebbero  un  fattore  comune  maggiore  di  1,  a  meno  che  non  fosse  𝑚 = ±1.  

   

http://dida.orizzontescuola.it    

Analogamente,  𝑛!  sarebbe  un  fattore  di  𝑚! = 𝑛! 𝑛 + 3𝑚 ,  ossia  m  ed  n  avrebbero  un  fattore  comune  maggiore  di  1,  a  meno  che  non  fosse  𝑛 = ±1.  Avendo  supposto  che  𝑀𝐶𝐷 𝑚,𝑛 = 1,  si  è  pervenuti  al  fatto  che  gli  unici  numeri  razionali  che  eventualmente  potrebbero  soddisfare  le  equazioni  di  partenza  sono  +1  e  -­‐1.    Si   nota   facilmente   che   questi   due   numeri,   sostituiti   all’equazione   𝑣! − 3𝑣 = 1  non   la  soddisfano,  di  conseguenza  l’equazione  da  cui  si  è  partiti  non  ammette  alcuna  radice  reale.    Da  qui  discende  che  il  problema  della  trisezione  dell’angolo  è  un  problema  insolubile.