il rumore termico il rumore termico il rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni...
TRANSCRIPT
10-24
10-22
10-20
10-18
10-16
10-14
10-12
10-10
0.1 1 10 100 1000 104
frequency (Hz)
Termico PendoloTermico SpecchioShot Noise
Il rumore termicoIl rumore termicoIl rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico con l’ambiente circostante.Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e può fare parte dei limiti intrinseci alla loro sensibilità.
Antenna Risonante Explorer (termico dei modi normali)
Antenna Interferometrica Virgo
1
Il rumore termico• Introduzione storica:
– Le prime osservazioni di Robert Brown;– Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano;
• L’equazione di Langevin
• Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione
•Il rumore termico di un’oscillatore armonico
•Il rumore termico del pendolo
• I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione: effetto termoelastico, bulk superficiali etc…
• Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti
2
La storia1828. Il botanico Robert Brown riferiva di avere osservato il moto caotico di varie specie di particelle abbastanza piccole da restare in sospensione nell'acqua. Egli escluse presto che fosse un fenomeno biologico, e successivamente esperimenti eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i moti browniani aumentano se:
diminuiscono le dimensioni (a) della particelladiminuisce la densità () delle particelle in sospensionediminuisce la viscosità () del liquido ospite.aumenta la temperatura (T) del liquido ospite.
Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in sospensione per effetto dell'agitazione termica.
3
a raggio della particella immersa in una soluzione;
viscosità del solvente;
v velocità della particella
F Forza di Stokes
Legge di StokesF = (6 a) v
le leggi di van’t Hoff sulle soluzioni (come per i gas ideali):
P = RT/m
Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva….
m massa molecolare delle particelle;
densità delle particelle in soluzione;
P pressione osmotica
R costante dei gas
4
Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T.
Essa è soggetta a. ad attrito viscoso F=-v, dove è il coefficiente di attrito
viscoso e v è la velocità della particellab. alla forza aleatoria risultante dagli urti con le molecole che
compongono il fluido:
1. Isotropa a media nulla: <f(t)>=02. Scorrelata: <fa(t)fa(t-t’)>=Fo
2 (t-t’)
3. Gaussiana
Equilibrio termico La forza per unità di volume è data da: F ( N/m) = d P/dx
Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff P = (n/V) RT = ( /m) RT d P/dx = (RT /m) d /dx F ( N/m) = (RT /m) d /dx
L’interpretazione di Einstein (1906)
(sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi))
N numero di Avogadro
( /m) = (n/V) moli per unità di volume
N(n/V) = ( N/m) numero di particelle per unità
di volume
5
Equilibrio dinamicoLa forza di attrito viscoso è la forza di Stokes: Forza di Stokes: F =-6 a v = -v Abbiamo allora un flusso di particelle:
v ( N/m)= (F/) ( N/m) numero di particelle per unità di area e per unità di tempo Il flusso di particelle gradiente di
concentrazione diffusione nella direzione
opposta
(F/) ( N/m) = D (N/m) d /dx
def: D coefficiente di diffusione
Equilibrio termodinamicoequilibrio termico = equilibrio dinamico
D = R T/ ( N) = k T/
fluttuazione dissipazione
6Questo risultato è la base del meccanismo del moto browniano: una forza caotica o fluttuante è bilanciata da una ``forza sistematica'' come la resistenza viscosa del tipo di quella di Stokes (proporzionale alla velocità) attraverso un processo di diffusione.
L’equazione di diffusione
Tk
N
RTD
Dttr
eDt
tr
b
Dtr
==
=
= −
2)(
4
1),(
2
4/2r
7
Dal punto di vista macroscopico una particella soggetta al un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo δt, uno spostamento δr distribuito come una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt. Possiamo studiare come evolve la densita’ di probabilita’ di trovare la particella nella posizione r ad un tempo t.
Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio termico con l'ambiente.In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media kbT.
Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico. Esso si manifesta con le fluttuazioni fluttuazioni casualicasuali dell'osservabile macroscopicodell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità. 8
L’equazione di Langevin(sistema macroscopico all’equilibrio
termico, approccio statistico)
€
mdv
dt= −β v + F(t)
F(t) = 0 F(t)F(t + τ ) = F02δ(t)
Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco)
All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia ):
mTkFF
v b /22
20
202
==Forza stocastica dovuta alle fluttuazionitermiche
Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (v) e la forza (stocastica) che eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico)
9
Tkvm b=2
L’intensità del rumore termicorumore termico di un sistema macroscopico è strettamente legata ai processi dissipativiprocessi dissipativi presenti in esso.
10
Il teorema fluttuazione-dissipazione
( ) )](HIm[Tk
X
)](ZRe[Tk)(F
bthem
btherm
ωω
ω
ωω
⋅=
⋅=
4
4
2
2
Nel dominio delle frequenze(*) possiamo sempre scrivere la risposta di un
sistema lineare ad una forza esterna F() come:( )
)()()()()(
ω
ωωωωω
Z
FvFHX ==
Il teorema fluttuazione-dissipazioneteorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue:
Dove H() è la funzione di trasferimento e Z() l’impedenza del sistema
dtetxX ti∫+∞
∞−
= )()((*)
L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenzaL’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza11
Il moto termico dell’oscillatore armonico
)(tFkxxxm =++ &&& β
o
o
mQ
m
k
=
=Frequenza di risonanza
Fattore di merito
)](Im[4
)(2
HTk
X btherm ⋅=
)()()()(2 FXkXiX =++−
Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione
12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
==
mim
F
XH
o
βωωω
ω
ωω
)(
1
)(
)()(
22
[ ]Hzm2
Hz13
20
22 01
o
bbthermtherm m
Tk)](HRe[Tkd)(Xx
=⋅=>=< ∫
∞
Kramers-Kronig
( ) ( )( )2222
2
)(
4
Q
Q
m
TkX
oo
obtherm
ωωωω
ωω
ωω
+−⋅=
( ) ( ) Tkxm bthermo 2121 22 >=<ω
L’effetto delle dissipazioni sul rumore termico
dell’oscillatore armonico
ob
therm
oo
btherm
mm
Tk)(X
mm
Tk)(X
>>=
<<=
42
42
4
4
oo
btherm
mm
Tk)(X
≈= 22 4
CostCost
44
14
I meccanismi dissipativi strutturali
(dissipazioni interne del materiale)
∫∞−
−+=t
ds)s(x)st(kxm)t(F &&
termine di memoriatermine di memoria
))(i(k)(k Φ+= 1
Il termine dissipativo Φangolo di perditatiene conto di tutti i tipi di dissipazioni interne del materiale:
nello spazio delle frequenzenello spazio delle frequenze
( ) ( )( )22222
22 4
)()(
)(m
TkX
oo
obthem
ωωωω
ωωω
ωΦ+−
Φ⋅=
15
Dissipazioni strutturali: ΦΦ = = ΦΦ
1
Dissipazione Dissipazione viscosaviscosa
Dissipazione Dissipazione internainterna
Presenti in tutti i materiali 16
Misura delle dissipazioni La misura delle dissipazioni avviene misurando
il fattore di merito del sistema:
Δ
≡ omisQ
νΔ
o
viscm
Q =
strutstrutQ
φ1
=
>< )(X othermω2
21
Realizzare sistemi con alti valori di Qalti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia delle fluttuazioni intorno alla risonanzafluttuazioni intorno alla risonanza 17
strutomiso
strutvisco mQQ
φ
φ
+==+=Φ 2
11)(
Il rumore termico del Il rumore termico del pendolopendolo
Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla piegatura dei fili.
ext
t
LFdsL
sxstmgxxmL =−++ ∫
∞−
)()(τ&&
Momento di richiamo dei filiMomento di richiamo dei fili
L
m( )
mL
Fi
m
k
L
g
L
g
m
k
rJL
YJkikk
exts
el
elp
felsel
=+++−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
=Λ
=+=
ϑωφϑθω
ω
πωφω
)(1
4;;))(1()(
2
2
42
x=LY Modulo di Youngrf raggio del filo tensione del filoFrequenza del pendolo (misurata)
18
( ) ( )22222
2
2
)(
)(4)(
ωφωωω
ωφω
ωω
selp
selbtherm m
TkX
+−=
Il rumore termico del Il rumore termico del pendolopendolo
voglio esprimere questa espressione con grandezze misurate:
( ) ( )22222
2
2
)(
)(4)(
ωφωωω
ωφω
ωω
ppp
ppbtherm m
TkX
+−=
)()( 22 φφ selpp = DQ ssel
ppp )()()( 11
2
21 φφ
φ −−− ===
YJ
mgL
YJ
mgLD 221 ≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≡
Fattore di diluizione
a parità di angolo di perdita il pendolo presentadelle perdite più basse rispetto a quello dato dalla sola elasticità del materiale
19
(=Mg/4):
Il rumore termico del Il rumore termico del pendolo di torsionependolo di torsione
Le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla torsione dei fili.
ext
t
MdssstCI =−+ ∫∞−
)()( ϑϑ&&
Momento di richiamo dei filiMomento di richiamo dei fili
( )I
Mi
I
c
YG
L
JGc
I
c
icC
exts
el
elel
tors
sel
=++−
+==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
+=
ϑωφϑω
σω
ωφω
)(1
)1(2;
2;
))(1()(
2
2 Frequenza del pendolo di torsione
G: modulo di elasticita’ a torsioneL: lunghezza del pendoloI: momento d’inerzia della massa sospesa
20
( ) ( )22222
2
2
)(
)(4)(
ωφωωω
ωφω
ωω
storstors
storsbtherm I
Tk
+−=Θ
Il rumore termico del pendolo di Il rumore termico del pendolo di torsionetorsione
In questo caso non beneficiamo del fattore di diluizione presente nel caso del pendolo, quindi le perdite strutturali e quelle viscose contribuiscono allo stesso modo lo nel fattore di merito totale dei modi torsionali
21
22
10-24
10-22
10-20
10-18
10-16
10-14
10-12
10-10
0.1 1 10 100 1000 104
frequency (Hz)
Termico PendoloTermico SpecchioShot Noise
23
e
str
te
estrtes
φφ
φ
φφφφ
)(
)()( ++=
Dissipazioni termoelastiche te() sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni.
Y modulo di Young del materiale coefficiente di dilatazione termicaτil tempo caratteristico della diffusione del calore nel materiale e dipendente dalla sua geometriaC è la capacità termica del materiale.
2
2
)(1)(
ττ
φ
+=
CTY
te
Punto di massima dissipazione
E’ importante scegliere un materialecon questo punto fuori della banda rivelazione
24
Dissipazioni superficialiSono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto
surftot
surfe W
W φφ =
Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie
Wtot è l’energia elastica totale
w
wsbw
tot
surf
V
Sh
W
W μ=
Nel caso delle sospensioni di Virgo:
μw fattore geometricohsb spessore della zona di frizioneSw =2 rw Lw superficie laterale del filoVw = rw
2 Lw volume del filo
25
Dissipativa
Non Dissipativa
Dissipazioni superficialiSono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto
surftot
surfe W
W φφ =
Wsurf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie
Wtot è l’energia elastica totale
w
wsbw
tot
surf
V
Sh
W
W μ=
Nel caso delle sospensioni di Virgo:
μw fattore geometricohsb spessore della zona di frizioneSw =2 rw Lw superficie laterale del filoVw = rw
2 Lw volume del filo
26
Dissipativa
Non Dissipativa
Rumore termico degli specchi
27
• Equipartizione dell’energia:• Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modimeccanici degli specchi;• Sono importanti tutti quei modi che si accoppianocon il modo ottico dell’interferometro;
( ) ( )( )
coatstri
i22
iii
i2
i2i
222ii
i2ib2
therm
EXM21
;M
1M
Tk4X
φφφ
ω
φωωω
φωω
+=
=
+−= ∑
Massa equivalente del modo i
Le dissipazioni dei coating sono molto importanti
Modi degli specchi
Simulation MeasuredModes splitting NI: (3917.2 ± 0.5) Hz(NI/WI) 3912.6 Hz-3916.7 Hz WI: (3916.0 ± 0.5) Hz
Modes splitting NE: (3883.0 ± 0.5) Hz(NE/WE) 3882.4 Hz-3882.6 Hz WE: (3884.2 ± 0.5) Hz
The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and spacers. 28
Simulation MeasuredNI/WI: 5584.9 Hz NI: (5585.7 ± 0.5) Hz WI: (5583.5 ± 0.5) Hz
NE/WE: 5546.1 Hz NE: (5543.2 ± 0.5) Hz WE: (5545.6 ± 0.5) Hz
29
SimulationNorth/West Input7595.3 Hz-7602.6 Hz
North/West End7551 Hz-7558 Hz
These modes were not observed.
30
North Input: (3917.2 ± 0.2) Hz(5584.7 ± 0.2) Hz
North End: (3883.0 ± 0.2) Hz(5543.2 ± 0.2) Hz
31
North Input:
t3917 = (70.6 ± 0.4) st5584 = (37.8 ± 0.7) s
North End:
t3883 = (110 ± 3) st5543 = (16.2 ± 0.1) s
North Input:
Q3917 = (8.69 ± 0.05) 105
Q5584 = (6.6 ± 0.1) 105
North End:
Q3883 = (1.34 ± 0.09) 106
Q5543 = (2.82 ± 0.02) 105
32
Il rumore termico nella Il rumore termico nella curva di sensibilità curva di sensibilità
dell’interferometro Virgodell’interferometro Virgo
33
L
X
L
Lh totequiv
2
22)( ==
2222violmirrorpendtot XXXX ++=
I modi torsionali non sono presenti direttamente.Ma giocano un ruolo importante se nel controllo dell’interferometro.
Come abbassare il rumore termico in
un’antenna interferometricaAbbassare le dissipazioni (Virgo Advanced)
Pendoli sospensioni monolitiche (silice fusa)
termoelastico ridotto
dissipazioni superficiali ridotte
Specchi coating meno dissipativi substrati meno dissipativi
34
Abbassare la temperatura (Virgo criogenico)
Criogenia
35
10-24
10-23
10-22
10-21
10-20
10-19
1 10 100 1000
cryoadv
Hz
Rumore nelle antenne risonanti
36
≡
ν ν
Modi normali
yx νν =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
⋅=
−
−−−
+
+++ m
i)(mm
i)(m)(H
)](HIm[Tk
)(X btherm
βωωω
βωωω
ω
ωω
ω
2222
2
11
4
37
38