Elementi di Fisica

Esercizi

“Il Signore degli Anelli”

Michele D’Amico

13 settembre 2011

1 La Compagnia dell’Anello

• Dopo la festa del suo centoundicesimo compleanno Bilbo torna a casaBaggins dove Gandalf gli intima di lasciare il suo prezioso Anello a Fro-do. Bilbo, riluttante, inclina lentamente la mano con il palmo aperto perlasciar cadere l’Anello, ma il monile “decide” di cadere all’incredibile an-golo di 70◦. Calcolate il coefficiente di attrito statico tra Oro e Pelle. [R:µOP =2.7 ]

• Durante l’inseguimento di Frodo, i Cavalieri Neri cavalcano a 39 Km/hmentre l’inseguito a 30 Km/h. Considerando che ad un certo punto gliinseguitori si trovano a 100 m da Frodo e che il fiume Bruinen, dove Frodopuo trovare la salvezza, e a 300 m, riuscira Frodo a sfuggire alla minacciaarrivando al fiume prima dei Cavalieri? In quanto tempo Frodo raggiungeil fiume? [R: Si; t=36 s]

• Gandalf il Grigio fuggendo dalla torre di Isengard e trasportato dal Redella Aquile Gwaihir in volo orizzontale a velocita costante ad un altezzadi 750 m dal suolo. Disegnare il diagramma delle forze su Gandalf e sepa-ratamente sull’Aquila e indicare quanto lavoro totale ha dovuto compierel’Aquila per portarlo a quell’altezza supponendo che la torre di Orthancfosse alta 150 m. L’Aquila scende quindi verso terra con un angolo di 60◦

rispetto all’orizzontale con un’accelerazione costante di 8 m/s2 sempreinclinata rispetto all’orizzontale. Determinare il tempo di discesa suppo-nendo una velocita iniziale inclinata di 15 m/s. N.B. Gandalf e l’Aquilapesano circa 100 e 600 Kg, rispettivamente. [R: L∼=4.1 106 J; t∼=13 s]

• Pipino getta una pietra in un pozzo dentro le miniere di Moria, contandoa mente il tempo prima di un qualunque rumore. Considerato che trascor-rono 14 s, quanto era profondo il pozzo? A che velocita andava la pietraprima di toccare il fondo? I risultati dipendono dalla massa della pietra?N.B. Si trascuri l’attrito dell’aria. [R: H∼=960 m; v∼=137 m/s; No]

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Figura 1: Il Ponte di Khazad-Dum schematizzato.

• Per impedire al Balrog di passare Gandalf spezza il ponte di Khazad-Dumlasciandolo collegato solo da un lato. All’estremita del ponte rimangonosolo Aragorn e Boromir. Schematizzando il Ponte come in figura 1, deter-minare le reazioni normali nei punti indicati con i numeri 1 e 2, sapendoche il ponte e lungo L=15 m e la trave di appoggio si trova a d=5 m dallafine del ponte. N.B. Le masse di Aragorn e Boromir sono rispettivamentedi 90 e 80 Kg. Il peso del ponte e di 9400 N. [R: ~N1=-8032 N, ~N2=19098N.]

• Nella tremenda lotta tra il Balrog e Gandalf, i due cadono per l’intermi-nabile abisso sotto il ponte di Durin. A causa dell’attrito con l’aria i dueraggiungono la velocita limite di 50 m/s. La caduta dura ben 10 minu-ti. A che profondita si trova l’oscuro lago che conclude l’abisso? N.B. Sitrascuri la prima fase accelerata di caduta in aria. [R: H=30 Km]

• Alla fine dell’interminabile caduta, considerate che l’attrito con l’acquageneri una decelerazione costante di 35 m/s2 per il Balrog e di 25 m/s2 perGandalf. A che distanza verticale si troveranno i due nemici dopo essersifermati sott’acqua? N.B. Trascurate la spinta di Archimede. Gandalf pesasempre 980 N, mentre il Mostro ha una massa di ben 2000 Kg. [R: d∼=30m.]

• A che distanza verticale si troveranno i due nemici dopo essersi fermatisott’acqua, considerando il caso piu realistico dell’effetto della spinta diArchimede? N.B. La densita media di Gandalf e 950 kg/m3, mentre ilBalrog sembra fatto di lava e ha quindi una densita di circa 2,2 g/cm3.[R: d∼=7 m.]

• Mentre la Compagnia attraversa in barca l’Anduin il fiume subisce unrestringimento a causa delle basi in pietra degli Argonath, le gigantescestatue dei Re del passato. La velocita del fiume prima delle statue e di35 m/s, e la larghezza di 200 m. La larghezza del fiume tra le statue e di100 m. Stimate la velocita dell’acqua. N.B. Assumete l’altezza dell’acquacostante nelle due zone. [R: v2=70 m/s;]

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• In vista delle cascate di Rauros, Aragorn in barca con Frodo e Sam siaccorge che al centro del fiume la corrente sta diventando troppo forte (5m/s). Decide quindi di puntare la riva ovest distante 100 m. Consideratoche la cascata e a soli 50 m, a che velocita laterale deve spingere Aragornper evitare la rovinosa caduta?

Supponete dopo che ad un certo punto (a 50 m dalla riva) per aiutarlo,Sam e Frodo si inseriscono con i loro remi fornendo complessivamente allabarca un’accelerazione (perpendicolare alla velocita dell’acqua) di 2 m/s2.In quanto tempo la barca raggiunge la riva? [R: vl=10 m/s; t=3.7 s]

2 Le due Torri

• Dopo la sua coraggiosa morte, Boromir viene adagiato in una barca elficainsieme alle armi dei nemici che ha ucciso. Assumendo che la barca elficasia costruita di un legno di densita pari a 300 kg/m3 e che abbia unasezione semicircolare di raggio 25 cm e spessore di 2 cm, indicate il numeromassimo di armi caricatevi da Aragorn, Legolas e Gimli. N.B. Ogni armaha una massa di 5 Kg e Boromir pesava 785 N. Assumete la barca lunga2m. [R: n=21 ]

• Nel suo viaggio funebre Boromir supera le cascate di Rauros dentro la bar-ca elfica. Calcolate la velocita di caduta e il tempo impiegato supponendoche il salto sia di ben 500 m. [R: v∼=99 m/s; t∼=10 s]

• Dopo lo scontro con il Balrog Gandalf il Bianco viene nuovamente traspor-tato dal Re della Aquile Gwaihir in volo orizzontale a velocita costante.Ipotizzando una superficie alare di 25 m2, calcolate la velocita minima chepuo tenere l’aquila sfruttando la sola portanza. N.B. La densita dell’aria eapprossimativamente 1.2 Kg/m3. Assumete che la velocita dell’aria sopral’ala sia il 30% piu grande di quella sotto l’ala. Gandalf e l’Aquila pesanocirca 100 e 600 Kg, rispettivamente. Trascurate qualunque variazione dialtezza dovuta allo spessore dell’ala. [R: v∼=92.7 Km/h]

• L’Ent Barbalbero cattura i due Hobbit Merry e Pipino credendoli degliOrchetti e li tiene saldamente con le sue braccia lunghe circa 3 m. Consi-derando un angolo tra tronco e braccia di 60◦, quanto valgono le reazioninormali del terreno sui piedi di Barbalbero, considerandoli distanti 1.5 mdalla verticale del baricentro dell’Ent. N.B: I due Hobbit hanno una massadi 30 (Pipino) e 35 Kg (Merry). Barbalbero pesa 5000 N. [R: N1=2861N, N2=2776 N.]

• Il fiume Isen scorre abitualmente con una portata di volume pari a 500 l/s.Durante la lotta contro Saruman gli Ent sbarrano il fiume costruendo unadiga di terra e massi alta 10 m. Per quanto tempo la diga potra trattenereil fiume prima che l’acqua tracimi? Si calcoli inoltre la velocita dell’acquain un punto alla base della diga in cui e presente un piccolo foro. N.B. Si

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supponga che la larghezza media del fronte della diga sia di 50 m e chela pendenza del terreno su cui scorre il fiume sia di 5◦. [R: ∼16 h; v=14m/s.]

• Legolas si trova sulle mura del Fosso di Helm, ad una altezza di 32 m.Vuole colpire un Uruk-Hai alto 2 m e distante 100 m. Calcolare la velocitadella freccia necessaria per l’impresa considerando che l’angolo di tiro edi 45◦. Assumendo una massa di 100 g per la freccia e uno spostamentodella freccia di 30 cm durante la fase di caricamento dell’arco, calcolatela costante elastica dell’arco assumendolo una molla. [R: 27,4 m/s.;834N/m]

• Sam e Frodo scendono un dirupo degli Emyn Muil alto 20 m, legando lamagica corda elfica ad uno sperone di roccia. Considerando che Frodo sitrova a 5 m dal fondo e Sam a 15 m, indicare le forze di tensione dellacorda in un punto tra i due compagni di viaggio e sul punto piu in alto.N.B. Frodo e Sam hanno, rispettivamente, una massa di 35 e 45 Kg. [R:T1=343 N; T2=784 N ]

3 Il ritorno del Re

• Durante l’assedio di Minas Tirith gli orchi sfruttano delle catapulte perlanciare massi di 20 Kg oltre le mura della citta alte 35 m. Supponendoche la catapulta sia assimilabile ad una molla (K=200 N/m) compressa di12 m, a che distanza minima dalle mura devono trovarsi per riuscire nellaloro malefica impresa? N.B. L’angolo di tiro e fissato a 45◦. [R: d=58 m]

• Dopo essere stato colpito da Shelob, Frodo risulta impacchettato nella teladel Ragno e viene trasportato da due orchetti verso la torre di guardia in unbuio percorso lungo 700 m. Quanto lavoro compiono complessivamente idue orchetti? Se invece il trasporto fosse stato affidato ad un solo orchetto,egli avrebbe strisciato Frodo tirandolo a velocita costante con una cordainclinata di 30◦; quanto lavoro avrebbe fatto? N.B. Il coefficiente di attritodinamico tra la tela di ragno e la pietra umida e di 0.3. Frodo ha una massadi 35 Kg. [R: L2Orcs=0; L1Orc=61.4 kJ ]

• Frodo e Sam si trovano nel ponte di pietra di fronte alla nera torre di CirithUngol e decidono di gettarsi nel vuoto. Di li a poco il ponte sarebbe statoinvaso da Cavalieri e Orchetti. Il volo dura 1 s e finiscono fortunosamentesu un cespuglio di rovi. Assimilando il cespuglio ad una molla (K=1000N/m) quanti metri si comprime per fermare i due Hobbit? N.B. Frodo eSam hanno, rispettivamente, una massa di 30 e 40 Kg (Sono purtroppodimagriti nel loro viaggio nella terra di Mordor). [R: ∆x= 2.6 m]

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Bibliografia

1. D. C. Giancoli, “Fisica”, Casa Editrice Ambrosiana.

2. J. R. R. Tolkien, “La Compagnia dell’Anello”, Bompiani.

3. J. R. R. Tolkien, “Le Due Torri”, Bompiani.

4. J. R. R. Tolkien, “Il Ritorno del Re”, Bompiani.

Il presente materiale puo essere utilizzato liberamente purche non se ne cambiil contenuto e si indichi sempre l’autore degli esercizi.

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