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Elementi di Informatica a.a. 2017/18 - Prof. G.A. Di Lucca

Corso di Laurea in Ingegneria Energetica 1

Elementi di Informatica

Prof. G. A. Di Lucca - Univ. del Sannio 1

Sistemi di Numerazione e Rappresentazione interna di Numeri

La rappresentazione interna dei numeri richiede:

• una codifica, ovvero la definizione di un alfabeto in codice e di un codice

• la definizione di operazioni ed algoritmi che consentano di realizzare

sulle rappresentazioni dei numeri le operazioni del tipo di numero

codificato

Un sistema di numerazione è definito da:

• alfabeto codice: ovvero l’insieme dei simboli base, le CIFRE

• un codice: un insieme di regole che permettono di definire la

rappresentazione di un numero mediante una stringa di cifre

• un insieme di operazioni che realizzano sulla rappresentazione dei

numeri le operazioni previste per i numeri stessi



il sistema di numerazione decimale

• l’alfabeto codice è costituito da dieci cifre

• ciascuna cifra nella parola codice rappresenta un

numero dipendente dalla cifra stessa e dalla posizione

occupata dalla cifra nella parola codice in cui si trova

• una parola codice rappresenta un numero dato dalla

somma pesata dei numeri rappresentati dalle singole

cifre che lo compongono





• alle cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono associati

nell’ordine i primi 10 numeri Naturali

• detto i il posto occupato dalla cifra ci in una stringa (il

primo posto a partire da destra è il posto 0), il numero

rappresentato da tale cifra è: ci *10i

esempio: la stringa 3542 rappresenta il numero:

3*103 + 5*102 + 4*101 + 2*100 = 3452

• il sistema viene detto POSIZIONALE e PESATO

• 10 è detta la BASE del sistema

il sistema di numerazione decimale



cambiando l’alfabeto codice e la base, si possono costruire sistemi posizionali e pesati diversi da quello decimale

un numero X >0 è rappresentato mediante la stringa di cifre:

Cn-1 Cn-2 .........C1 C0 . C-1 C-2...... C-m

con in

mi

i bCX

1

… ovviamente nelle operazioni aritmetiche bisogna tener presente la base b della numerazione ...

…in generale ...





Il sistema decimale

• Base: b = 10

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

• Pesi: i pesi sono potenze delle base 10

… 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0

… 10.000 1000 100 10 1



Il sistema ottale • Base: b = 8

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7)

• Pesi: i pesi sono potenze delle base 8

Alcune corrispondenze tra numeri in base 8 e 10

68 = 610 108 = 810 118 = 910 128 = 1010 138 =... .… = 1910

778 = 6310 1008 = 6410 7778= …. 10008 = ….

0.18 = 1/810 0.018 = 1/6410 0.0018 0.778

… 84 83 82 81 80

… 4.096 512 64 8 1





Il sistema esadecimale

• Base = 16

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

• Pesi: … potenze della base 16

1016 = 1610 16C16 = 36410

0.1 0.01

… 164 163 162 161 16 0

… 65.536 4.096

256 16 1



Il sistema binario

• Base = 2

• Cifre: (0,1)

• Pesi: ...potenze della base 2

102 = 210 1002 = 410 1110102 = 5810

0.12 = 1/210 0.012 = 1/410 0.112 = 3/410

220

… 211

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 2 0

1048576 … 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1





Tabella

riassuntiva

F 17 1111 15

E 16 1110 14

D 15 1101 13

C 14 1100 12

B 13 1011 11

A 12 1010 10

9 11 1001 9

8 10 1000 8

7 07 0111 7

6 06 0110 6

5 05 0101 5

4 04 0100 4

3 03 0011 3

2 02 0010 2

1 01 0001 1

0 00 0000 0

Esadecimale Ottale Binario Decimale



… una caratteristica dei sistemi a base 2k

se adottiamo per ciascuna cifra dell’alfabeto codice una codifica

in numerazione binaria

– ad esempio ottale: (0,1,2,3,4,5,6,7)

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

si ha che la codifica binaria indiretta coincide con quella diretta

– ad esempio: 778 = 111 1112 348= 011 1002

idem se codice esadecimale: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

– (0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001,

1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111)

– A916 = 1010 10012 FF16 = 1111 11112





i numeri periodici:

• il concetto di numero periodico è del tutto dipendente dalla base

di numerazione

• un numero periodico in una determinata base può non esserlo in

un’altra

• esempio: 1/3 è periodico nella base decimale ma nella base 3 è

esattamente rappresentato da 0.1;

0.110 è periodico in binario



CONVERSIONE DA BASE DECIMALE A BASE b Dato N>0 intero, in base decimale, convertirlo in base b:

• dividiamo N per b, otteniamo un quoto Q0 ed un resto R0 : N=Q0b+R0 • dividiamo Q0 per b, otteniamo un quoto Q1 ed un resto R1 :Q0=Q1b+R • Continuiamo a dividere Q0 finché Qn < b, o finchè dividendo Qn per b

il quoto è zero :

• Q1= Q2b+R2 • …………. • Qn-1= Qnb+Rn dove Qn < b

• Qn= 0 + Qn

… quindi:

N = Qnbn+1 + Rnb

n + Rn-1bn-1 + … + R1b +R0b

0

e quindi N nella base b la rappresentazione è:

QnRnRn-1 ........R1R0





Esempio:

conversione di 10268 decimale in base ottale

10268 : 8 1283 resto 4

1283 : 8 160 resto 3

160 : 8 20 resto 0

20 : 8 2 resto 4

2 : 8 0 resto 2

1026810 = 240348

cifra più significativa cifra meno significativa

Dividendo base Quoto Resto

10268 8 1283 4

1283 8 160 3

160 8 20 0

20 8 2 4

2 8 0 2



conversione in base binaria di 123 decimale

123 : 2 61 resto 1

61 : 2 30 resto 1

30 : 2 15 resto 0

15 : 2 7 resto 1

7 : 2 3 resto 1

3 : 2 1 resto 1

1 : 2 0 resto 1

12310 = 11110112

Esempio:

123 : 2

61 : 2

30 : 2

15 : 2

7 : 2

1 : 2

1

1

0

1

1

3 : 2

1

1 0





Aritmetica dei numeri naturali

• Algoritmi classici per la realizzazione delle operazioni

aritmetiche (noti dalle scuole elementari)

• le regole sono le stesse per tutti i sistemi di numerazione

posizionali (non solo quello decimale):

– per addizione e sottrazione numeri in colonna e riporto …,

– per moltiplicazione e divisione uso di tavole pitagoriche per

le singole cifre …

– un esempio … in decimale ... 1 1

4987 + 3232

8219

riporti



Aritmetica binaria

• Un numero viene rappresentato da una stringa di n bit

• L’intervallo rappresentato è: 0 y < 2n

ad esempio se n = 16 l'intervallo è [0, 65536)

Per le operazioni valgono le stesse regole della base decimale





Aritmetica binaria

• Addizione

• Stesse regole della aritmetica decimale

r a b s r'

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

r: riporto

a,b: addendi

s: somma

r’: nuovo riporto

1 1

0110 + 0111 =

1101

riporti

Somma Binaria

610 + 710 =

1310



Aritmetica binaria

• Sottrazione


0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 - 0 0 1 1 1 1 =

0 1 1 0 1 0

prestito

Sottrazione

Binaria

Minuendo Sottraendo Differenza Prestito

0 0 0

1 0 1

1 1 0

0 1 1 1

4110 - 1510 =

2610





Aritmetica binaria

110 101 = 110 000 110 11110

Prodotto Binario

• Prodotto


a b prodotto

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

610 510 =

3010



• nei calcolatori la rappresentazione interna di un numero

è finalizzata a rendere efficienti gli algoritmi per le

operazioni

• in genere è usata codifica a lunghezza fissa

– l’insieme di numeri rappresentati è finito

• sono usati sistemi posizionali

RAPPRESENTAZIONE INTERNA DEI NUMERI

ad eccezione dei numeri interi positivi (caso banale), è

effettuata una trasformazione del numero da

rappresentare in un altro numero “rappresentabile” ...





• insieme X dei numeri da rappresentare

– X è un intervallo di numeri interi o reali

• insiemeY dei numeri rappresentati

– Y è un intervallo finito

• trasformazione di un numero xX in un numero yY

– regola di trasformazione: y = R(x)

• rappresentazione in cifre (sistema posizionale) di y

• codifica in bit delle cifre

Trasformazione e codifica



Overflow e underflow

• overflow: tentativo di rappresentare un numero esterno

all’intervallo

– se X è un intervallo di numeri interi allora Y deve avere

almeno la stessa cardinalità

• underflow: un numero reale x 0 viene rappresentato da y = 0

– X è un intervallo di numeri reali, rappresentati da Y

(intervallo finito) con un’approssimazione





Overflow e underflow

• Esempio di overflow:

Numero di bit per la rappresentazione: N = 4

1 1 1

1110 + 0111 =

10101

riporti

Somma Binaria

Il risultato è: 0101

che è ERRATO perché si ha overflow e si perde la cifra più

significativa (quella in rosso)



Parametri di un sistema di rappresentazione

• intervallo numerico e tipo del numero x da rappresentare

• regola di trasformazione y = R(x)

• condizione di overflow

• approssimazione e condizione di underflow (solo per i reali)

NB: se la base della numerazione della trasformazione non è binaria, la codifica del numero in binario è indiretta ...

• base di numerazione

• codifica delle cifre in binario

(se la base della numerazione è

diversa da 2)





• Y ed X coincidono,

• Numeri rappresentabili: 0 y < M

• M = bn

• b è la base di numerazione

– in pratica 2, 8, 16 … ma anche 10

• rappresentazione ad n cifre :

– Cn-1 Cn-2 ....C0 , dove 0 Ci < b

• condizione di overflow: x M

I numeri naturali



Rappresentazione con Aritmetica decimale

• Un numero viene rappresentato da d cifre decimali

• L’intervallo rappresentato è: 0 y < 10d

• per ogni cifra decimale si adotta una rappresentazione con k

bit per cifra: il numero è rappresentato da k d bit

– ad esempio, per d = 4, l’intervallo è [0, 9999);

– adottando un sistema 8-4-2-1 (k = 4) un numero è rappresentato

da 16 bit

– il numero 8012 è rappresentato dalla stringa 1000 0000 0001 0010 (codifica indiretta di un numero in binario: l’alfabeto codice intermedio è

costituito dalle codifica delle singole cifre decimali)





• poiché si adotta la codifica a lunghezza fissa ad n cifre (k bit),

– rappresentazioni estese a sinistra

– esempi: n=5, b=10 25410 ==> 0025410

n=5, b=2 410 ==> 001002

Proprietà importanti

il tentativo di rappresentare 32 … :

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0

… overflow



Interi relativi: rappresentazione in segno e modulo ...

• Intervallo: x (-M , M)

• rappresentazione (tradizionale) in segno e modulo: s, y

– s = sign(x) ------ y = |x|

• condizione di overflow: |x| M

• n cifre per rappresentare il suo modulo e una cifra che

precede le altre per rappresentare il segno

- in aritmetica binaria s = sign(x) è rappresentata da un bit:

s = 1 se x < 0; s = 0 se x 0

s y

15 14 0

x (-215, 215) intervallo aperto





... vantaggi e svantaggi

• vantaggio: coincide con la nostra usuale rappresentazione

• svantaggio: richiede il trattamento separato di segno e

modulo: algoritmi aritmetici più pesanti ...

... nei calcolatori, per ovviare agli svantaggi dell’aritmetica

della rappresentazione in segno e modulo, si adottano altre

rappresentazioni ...

es. complemento a uno



Rappresentazione di reali: virgola fissa

• virgola fissa (fixed point): rappresentazione di numeri con n

cifre, nella quale la posizione della virgola (o punto decimale)

che separa la parte intera da quella frazionaria è predeterminata:

Es.: n cifre intere + m decimali

Cn-1 Cn-2 .........C1 C0 . C-1 C-2...... C-m

• nella rappresentazione dei numeri frazionari (|x| < 1) la virgola è

in prima posizione: .078900

- se la virgola occupa una posizione fissa, non necessita di essere

rappresentata esplicitamente ...





Rappresentazione di reali: virgola mobile

• virgola mobile (floating point): un numero reale x è

rappresentato mediante la coppia (M, E), dove:

- x = M ·bE

- M è un numero frazionario o intero detto mantissa

- E è un numero intero detto esponente o caratteristica

- b è la base della numerazione (binaria nei calcolatori)

- è l’approssimazione della rappresentazione

…. più ‘coppie’ Mantissa, Esponente

Es.: dato il reale 13,78 (virgola fissa)

• 1,378 ·101

• 137,8 · 10-1

• 0,1378 · 102 (normalizzata) è quella comunemente usata



Rappresentazione di reali: virgola mobile

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