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Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 336 1
Il sistema di riferimento cartesiano
Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due
semirette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi
cartesiani.
L’asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale.
L’asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale.
Il piano cartesiano si può dividere in quattro settori
denominati quadranti; essi sono numerati dal primo in
alto a destra e si procede in senso antiorario.
Il punto di intersezione degli assi è detto origine.
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2
La distanza tra due punti
AB xB xA 4 2 4 2 6 6
I caso I due punti hanno la stessa ordinata
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A 2; 2
B 4; 2 e
REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto
della differenza delle rispettive ascisse. In simboli:
AB xB xA
Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi.
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La distanza tra due punti
AB yB yA 4 3 7 7
II caso I due punti hanno la stessa ascissa
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A 2; 3
B 2; 4 e
REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi
uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza
delle rispettive ordinate. In simboli:
AB yB yA
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 337
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La distanza tra due punti
III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse
Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:
A 1; 2
B 4; 2 e
REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si
calcola la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento
AB sugli assi cartesiani. In simboli.
AB xA xB 2 yA yB
2
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto
tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x
e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il
teorema di Pitagora:
AB 32 42 916 25 5
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 338
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Le coordinate del punto medio di un segmento
REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme
delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli:
MxA xB
2;
yA yB
2
xM 2 4
2
2 4
22
2 1
Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del
segmento di estremi
A 2; 3
B 4; 5 e
Applichiamo direttamente la formula:
yM 3 5
2
35
22
2 1
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 338
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Il concetto di funzione
DEFINIZIONE. Una relazione R da un insieme A verso un insieme B, che associa ad ogni elemento
di A uno ed uno solo elemento di B, prende il nome di funzione.
Il dominio di una funzione è l’insieme degli elementi che hanno un’immagine in B.
a A
Il codominio di una funzione è l’insieme degli elementi che hanno una controimmagine in A.
b B
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 339
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Le funzioni empiriche
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
Ge
nn
aio
Fe
bb
raio
Ma
rzo
Ap
rile
Ma
gg
io
Giu
gno
Lu
glio
Ag
osto
Se
tte
mb
re
Ott
ob
re
Nove
mbre
Dic
em
bre
mm
di pio
ggia
Mesi dell’anno
Consideriamo la quantità di pioggia caduta nei vari mesi dell’anno in una località e disegnamone il
grafico.
Una funzione di questo tipo viene detta empirica perché non è possibile stabilire un legame fra il
mese dell’anno e i millimetri di pioggia.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 341
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Le funzioni matematiche
DEFINIZIONE. La funzione matematica è un tipo di
funzione in cui il variare della y rispetto alla x avviene
sulla base di un meccanismo fisso che può essere
espresso mediante una precisa formula matematica.
Per mezzo di questa formula i valori assunti dalla y (in
seguito al variare della x) possono essere determinati
con precisione e sicurezza.
e si legge << y uguale effe di x >>
y f x
e si legge << f è tale da portare x in y >>
f : x y
Indicando con x gli elementi dell’insieme A (dominio) e
con y gli elementi dell’insieme B (codominio) possiamo
dire che
In simboli possiamo scrivere che
oppure
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 341
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La funzione di proporzionalità diretta
DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,
dimezzando … l’una, raddoppia, triplica, si dimezza … anche l’altra.
DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.
In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di
proporzionalità diretta abbiamo:
y
x m
y mxquindi con m ≠ 0
La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il
coefficiente di proporzionalità diretta.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 343
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Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx
DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel
piano cartesiano da una retta passante per l’origine.
Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione
y 3x
in cui il coefficiente di proporzionalità è 3.
Il grafico della funzione y = 3x è una retta passante per l’origine degli
assi, quindi generalizzando possiamo dire che:
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 344
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre
una retta passante per l’origine, inoltre:
se m > 0 la retta appartiene al 1° e 3° quadrante;
se m < 0 la retta appartiene al 2° e 4° quadrante.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 345
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx:
se m = 1 la retta è la bisettrice del 1° e 3° quadrante;
se m = −1 la retta è la bisettrice del 2° e 4°
quadrante.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 345
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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta
PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più
l’inclinazione della retta si avvicina all’asse y.
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La retta nel piano cartesiano
È importante notare che l’equazione generica di una retta
y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità
diretta.
Rappresentiamo nel piano la funzione
y 2x 3
PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e
q costanti) rappresenta l’equazione di una retta; m è il
coefficiente angolare e q rappresenta l’ordinata
all’origine.
Più in generale:
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 348
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Le equazioni di rette particolari
PROPRIETÀ. y = k (con k costante) è l’equazione di una retta
parallela all’asse delle x.
Rette parallele all’asse x
Se k > 0 le rette parallele all’asse x appartengono al semipiano
positivo delle ordinate;
se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle
ordinate;
se k = 0 la retta coincide con l’asse x e la sua equazione diventa
y = 0; diremo allora che y = 0 è l’equazione dell’asse x.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 348
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Le equazioni di rette particolari
Se h > 0 le rette parallele all’asse y appartengono al semipiano
positivo delle ascisse;
se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle
ascisse;
se h = 0 la retta coincide con l’asse y e la sua equazione diventa
x = 0; diremo allora che x = 0 è l’equazione dell’asse y.
PROPRIETÀ. x = h (con h costante) è l’equazione di una
retta parallela all’asse delle y.
Rette parallele all’asse y
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 349
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Le equazioni di rette particolari
PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente
angolare. In simboli, date:
Rette tra loro parallele
r || s
m m
r : y mx q
s : y m x q
se e solo se
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 349
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Le equazioni di rette particolari
PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il
coefficiente angolare della prima è l’antireciproco dell’altro.
In simboli, date
Rette tra loro perpendicolari
rs
m 1
m
r : y mx q
s : y m x q
se e solo se ovvero
m m 1
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 349
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L’intersezione di una retta con gli assi cartesiani
REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di
una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si
ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i
valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due
punti.
Troviamo, ad esempio, i punti d’intersezione con gli assi
della retta
y 5
2x 5
se x 0 y 5 A 0 ; 5
se y 0 x 2 B 2 ; 0
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 350
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Equazioni di rette
FORMULA. La relazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per un
punto P(x0; y0) e di coefficiente angolare m è
y y0 m x x0
FORMULA. La relazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per i punti
A(x1; y1) e B(x2; y2) è
y y1
y2 y1
x x1
x2 x1
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 350
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La funzione di proporzionalità inversa
DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,
dimezzando … l’una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia … l’altra.
DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante.
In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di
proporzionalità inversa, abbiamo:
x y k
y k
x
con x 0
La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il
coefficiente di proporzionalità inversa.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 353
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La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k
DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è
rappresentata nel piano cartesiano da un’iperbole
equilatera.
Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di
equazione
y 16
x
Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di
iperbole equilatera. In generale:
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 354
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La proporzionalità quadratica e la parabola
DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in
proporzionalità quadratica quando la relazione che le
lega si può esprimere con una formula del tipo:
y ax2
PROPRIETÀ. I punti di una parabola hanno la stessa distanza da un punto fisso (F) chiamato
fuoco, e da una retta fissa (d), chiamata direttrice.
La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata
nel piano cartesiano da una curva, chiamata parabola, i
cui punti godono della seguente proprietà:
La formula precedente rappresenta la funzione di
proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di
coefficiente di proporzionalità quadratica.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 357
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La proporzionalità quadratica e la parabola
DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax2 (con a ≠ 0) è l’equazione di una parabola avente
come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine degli assi.
In particolare
• se a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto;
• se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 358