il tempo cosmico amedeo balbi. in principio… dorè, la creazione
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Il tempo cosmicoIl tempo cosmico
Amedeo BalbiAmedeo Balbi
In principio…
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Dorè, La creazione
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Newton, De gravitatione (1666-1668):lo spazio è independente dal contenuto di materia, si estende indefinitamente, e dura in eterno.
Bentley, con l’approvazione di Newton, conclude che l’universo contiene una distribuzione uniforme e infinita di stelle, “progettata” in stato di equilibrio.
Perché non una distribuzione finita, stabilizzata dalla meccanica? Le motivazioni di Bentley erano essenzialmente teologiche.
Tempo di collasso di una distribuzione sferica e uniforme di punti, di massa totale M e raggio iniziale r0
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€
m˙ ̇ r = −GMm
r2
˙ r 2 = 2GM(1/r −1/r0)
tC = π r03 8GM( )
1/ 2= 3π 32Gρ 0( )
1/ 2
Il risultato è indipendente dal raggio iniziale del sistema.
Se ogni stella ha la stessa massa del Sole, e la distanza media tra stelle è 1 parsec, si ottiene un tempo di collasso di circa 20 milioni di anni.
In realtà, anche il modello di universo di Bentley e Newton (distribuzione uniforme e infinita di stelle) è problematico.1. La risultante delle forze gravitazionali agenti su ogni
massa è infinita2. La distribuzione di materia è in equilibrio instabile
Il tempo di instabilità gravitazionale, calcolato da Jeans, è molto simile al tempo di collasso:
€
tJ = 1 4πGρ 0( )1/ 2
€
tC = 3π 32Gρ 0( )1/ 2
Tempo di instabilità Tempo di collasso
In generale, la scala di tempi caratteristica dei processi guidati dalla gravità è:
€
t ≈ 1 Gρ( )1/ 2
Paradosso di Olbers (1823): perché il cielo notturno è buio?
In un universo infinito, eterno e statico, uniformemente pieno di stelle, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso
(in ogni direzione si osserva almeno una stella)
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Gusci sferici concentrici:
€
dV = 4πr2dr
Numero di sorgenti in ogni guscio:
€
N = 4πr2ndr
Luminosità di ogni guscio:
€
L∝N r2 = cost.
La luminosità del cielo notturno dovrebbe essere infinita!
Edgar Allan PoeEureka (1848)
“Se le stelle si susseguissero senza fine, lo sfondo del cielo presenterebbe una luminosità uniforme, come quella mostrata dalla Galassia, perché non esisterebbe punto di quello sfondo in cui non brilli una stella. L’unico modo, dunque, in cui potremmo comprendere i vuoti osservati dai nostri telescopi in tutte le direzioni, sarebbe di supporre che la distanza dallo sfondo invisibile sia così immensa che la luce non abbia ancora avuto il tempo di raggiungerci.”
Universo infinito, ma non eterno
spazio
tem
po
luce
Universo osservabile
ori
zzon
te
r=ct
Albert Einstein (1917)Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale
Assumendo che la distribuzione di materia nell’universo sia omogenea e isotropo, Einstein tenta di ottenere una soluzione statica. Ma:
“In order to arrive at this consistent view, we admittedly had to introduce an extension of the field equations of gravitation which is not justified”
€
Gμν − Λgμν =8πG
c 4Tμν
€
∇2φ = 4πGρ − Λ
€
Λ=4πGρSoluzione statica per:
Analogo newtoniano:
È interessante che, nei Principia, Newton aveva studiato anche una forma di legge gravitazionale del tipo:
costante cosmologica
€
F /m = CMr ⇒ Λ = 3CM
Vesto Slipher (1922)le linee spettrali delle “nebulose” (galassie) appaiono spostate verso la parte rossa dello spettro elettromagnetico
€
z ≡Δλ
λ≈
v
c
Interpretazione in termini di effetto Doppler:
Le altre galassie si stanno allontanando da noi
Redshift
Henrietta Leavitt (1912)Scoperta della relazione tra periodo e luminosità delle stelle Cefeidi
“It is worthy of notice […] that the brighter variables have longer periods.”
Hubble e Humason (1929)
“The results establish a roughly linear relation between velocities and distance among nebulae.”
Legge di Hubble:
€
v = H0d
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Costante di Hubble, H0
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La costante di Hubble introduce una scala di tempo in cosmologia.
€
tH =1 H0
€
d = vt0
v = d t0 ⇒ t0 =1 H0 = tH
Tempo di Hubble:
Se il moto è uniforme:
Misure iniziali di Hubble:
€
H0 = 500 km/s/Mpc
⇒ tH ≈ 2 Gy
Misure attuali:
€
H0 = 72 km/s/Mpc
⇒ tH ≈13.6 Gy
Ma, in generale, il tempo di Hubble non è l’età dell’universo.
Immaginiamo un momento iniziale per cui d=0. Qual è il tempo t0 trascorso da allora?
€
˙ a
a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
=8π
3Gρ −
k
a2
Friedman e Lemaître mostrarono per primi che l’equazione di Einstein prevede modelli di universo omogenei e isotropi in espansione.
A posteriori, si mostra (Milne e Mc Crea) che la dinamica di tali modelli è analoga a quella di una distribuzione di materia sferica e omogenea soggetta alla propria gravità.
Fattore di scala:
€
a = r r0
Eq. di Friedman:
In questa analogia k è una costante di integrazione. In relatività generale essa è legata alla curvatura spaziale dell’universo.
€
T ≡1
2m˙ r 2 =
1
2m˙ r 0
2 ˙ a 2
U ≡ −GMm
r= −
4πG
3mρr0
2a2
€
⇒ T + U ≡ E = cost.= −2k mr02
I casi con energia positiva, negativa o nulla (k<0, k>0, k=0) corrispondono a tre diversi comportamenti dinamici dell’espansione.
Nell’analogia con la sfera autogravitante la costante k è legata all’energia meccanica del sistema
tempo
fatt
ore
di sc
ala
E>0
E=0
E<0
€
a1 2da =8πGρ 0
3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 2
dt
⇒ a∝ t 2 3
L’universo si espande per sempre, ma la velocità di espansione tende a zero.
€
˙ a 2 =8π
3
Gρ 0
a− k
0 =8π
3
Gρ 0
amax
− k
Il moto si arresta e si inverte ad un tempo finito:
€
amax =8π
3
Gρ 0
k
€
˙ a 2 → −k > 0
La velocità di espansione è sempre positiva, il moto non si arresta mai.
€
k = 0(critico)
€
k > 0(legato, “chiuso”)
€
k < 0(slegato, “aperto”)
La velocità di espansione dell’universo varia con il tempo e dipende dal modello.
€
˙ a
a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
=8π
3Gρ −
k
a2
La legge di Hubble vale per ogni tempo, a patto di definire un parametro di Hubble dipendente dal tempo:
Quindi, la scala di tempo caratteristica dell’espansione (il tempo di Hubble) varia col tempo:
tempofa
ttore
di sc
ala
Il tempo di Hubble non è l’età dell’universo
tH
t0
(k=0)
oggi
prestissimo
t~10-35s Grande unificazione, inflazione
presto t~10-12s Unificazione elettro-debole
vivace t~10-7s Transizione quark-adroni
allegro t~100 s Sintesi dei nuclei leggeri
moderato t~300 000 anni Formazione dell’idrogeno
andante t~10 000 anni Epoca della materia
largo t~13.7 miliardi di anni
Oggi
Il tempo di Hubble scandisce il ticchettìo del metronomo cosmico
Non tutte le epoche sono uguali
L’introduzione della costante cosmologica nell’equazione di Friedman permette di realizzare un modello in cui l’espansione avviene sempre allo stesso ritmo:
Modello di De Sitter, espansione esponenziale:
Questo tipo di andamento, senza un’origine temporale, era ipotizzato nel modello dello stato stazionario, ormai abbandonato.
Nel modello stazionario, la coincidenza tra il tempo di Hubble misurato e il tempo caratteristico di vita di una stella (t~10 miliardi di anni) è inspiegabile.
Diagramma colore-magnitudine per 40 mila stelle vicine al Sole
I tempi dell’evoluzione stellare
M5: 2106 M, distanza 0.8 kpc
Gli ammassi globulari contengono milioni di stelle che si sono formate nella stessa epoca e sono molto antiche.
Possiamo usarli per stimare l’età dell’universo.
Colore
Magnit
udin
e
Diagramma colore magnitudine dell’ammasso M5
Sequenza principale
Ramo delle giganti rosse
Punto del “turnoff”
Ramo orizzontale
Il punto in cui si interrompe la sequenza principale indica l’età dell’ammasso.
Le età degli ammassi globulari più antichi sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.
Le nane bianche sono oggetti densissimi, lo stadio finale di stelle di massa simile a quella del Sole, compresse in un volume inferiore a quello terrestre.
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La nebulosa dell’Elica
L’unica sorgente di energia nelle nane bianche è il loro calore residuo.
Dalla temperatura delle nane bianche si ottiene quindi una stima della loro età.
Le nane bianche più deboli sono le più antiche, e possono essere usate per stimare l’età dell’universo.Le età delle nane bianche più deboli sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.
Dal punto di vista teorico, per calcolare l’età dell’universo bisogna integrare l’equazione di Friedman.
Un caso semplice. Universo di Einstein - De Sitter, k=0.
Densità critica:
La radiazione di fondo nelle microonde:
lo stato dell’universo 380 000 anni dopo il big bang
La radiazione di fondo nelle microonde:
lo stato dell’universo 380 000 anni dopo il big bang
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http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/current/google_sky/
La composizione del cosmo è oggi nota con grande precisione.
Con questi parametri, si ottiene un’età dell’universo di 13.7 miliardi di anni, del tutto in accordo con quella degli altri indicatori.
Ma le cose sono più complicate.
Che significato fisico ha il tempo t=0?
Come si curano le condizioni di energia e densità infinità del big bang?
a
t
Singolarità
Agostino, Confessioni, Libro XI
“Ecco come rispondo a chi domanda che cosa faceva Dio prima di fare il cielo e la terra. Non come fece quel tale che eluse con una battuta di spirito l'aggressività della domanda, rispondendo, dicono: "Preparava la Geenna per chi indaga gli abissi". Ridere non basta per capire. No, non rispondo a questo modo: preferirei allora una risposta come "Quello che non so, non lo so", che almeno risparmia la facile ironia per chi solleva una questione profonda e il plauso per chi dà una risposta falsa.”
InflazioneUna fase di espansione esponenziale, trainata dall’energia dello spazio vuoto (costante cosmologica).
a
t
Inflazione eterna: un insieme di universi che si auto-riproducono
Modello ciclico (ekpyrotico)