il teorema di pitagora. osservando un pavimento…
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Il teorema di Il teorema di
PitagoraPitagora
Osservando un Osservando un pavimento…pavimento…
TEOREMA DI PITAGORA:TEOREMA DI PITAGORA:In un triangolo rettangoloIn un triangolo rettangolola somma delle aree dei la somma delle aree dei
quadratiquadraticostruiti sui cateticostruiti sui cateti
è uguale all’area del è uguale all’area del quadrato quadrato
costruito sull’ipotenusa.costruito sull’ipotenusa.
Ma sarà vero Ma sarà vero
per per qualsiasiqualsiasi triangolo? triangolo?
??
Dimostrare Dimostrare un teorema… un teorema…
… o fare un puzzle?… o fare un puzzle?
Una dimostrazione Una dimostrazione del teorema di del teorema di
PitagoraPitagora- Primo Metodo - Primo Metodo
“Puzzle” -“Puzzle” -
Un’altra Un’altra dimostrazione dimostrazione del teorema di del teorema di
PitagoraPitagora- Secondo Metodo - Secondo Metodo “Puzzle” -“Puzzle” -
Prolunghiamo il lato orizzontale superiore del quadrato costruito sul cateto maggiore
Prolunghiamo il lato verticale destro del quadrato costruito sul cateto minore, fino ad incontrare il segmento precedentemente costruito
Tracciamo la parallela al cateto maggiore a partire dal vertice in alto a destra, fino ad incontrare la perpendicolare
Misuriamo la lunghezza di quest’ultimo segmentoColoriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute
Riportiamo questa lunghezza sul primo segmento costruito a partire dal piede della perpendicolare verso sinistra
Dall’estremo sinistro tracciamo verso l’alto il segmento perpendicolare fino ad incontrare il lato superiore del quadrato
Ruotiamo opportunamente ciascun pezzo per poter ricomporre il puzzle
Sistemiamo i pezzi del puzzle in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti
IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!!!COMPLETO!!!
E ancoraE ancoraun’altra un’altra
dimostrazione dimostrazione del teorema di del teorema di
PitagoraPitagora- Terzo Metodo “Puzzle” - Terzo Metodo “Puzzle” --
Tracciamo le diagonali del
quadrato costruito sul
cateto maggiore per individuarne
il centro
Tracciamo la parallela
all’ipotenusa passante per il
centro del quadrato
Tracciamo la perpendicolare all’ipotenusa
passante per il centro del quadrato
Coloriamo con colori
differenti le porzioni del
quadrato così ottenute e il
quadrato costruito sull’altro
catetoMuoviamo ora i
pezzi così ottenuti in modo da
ricoprire il quadrato costruito
sull’ipotenusa
IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!!COMPLETO!!!!
Osservazioni sulleOsservazioni sullecostruzioni delle costruzioni delle
dimostrazionidimostrazioniVariazione della misura Variazione della misura
dei catetidei cateti
Riconsideriamo la prima costruzione fatta…
Ora riduciamo la differenza fra le lunghezze dei cateti del triangolo e ripetiamo la suddivisione del quadrato costruito sull’ipotenusa
Si noti come il triangolo formatosi in alto a destra sia piccolo rispetto all’esempio precedente.
Si osserva quindi che la misura di tale triangolo dipende dalla differenza della lunghezza dei due cateti.
Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele.I quadrati costruiti sui cateti, quindi, sono congruenti.
Ripetiamo la prima costruzione fatta…Prolunghiamo i lati dei quadrati costruiti sui catetiColoriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute
Muoviamo ora i pezzi così ottenuti in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti
IL PUZZLE È IL PUZZLE È COMPLETO!COMPLETO!!!!!
In questo caso, i due segmenti sono sufficienti alla costruzione del puzzle.
Si ottengono così quattro pezzi fra loro congruenti!
e infine,e infine,con un po’ di con un po’ di
immaginazione,immaginazione,si possono creare si possono creare
disegni…disegni…un po’ particolari…un po’ particolari…
L’albero di PitagoraL’albero di Pitagora
““Le forme create dal matematico, Le forme create dal matematico,
come quelle create dal pittore o dal poeta, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; devono essere belle;
le idee, come i colori o le parole, le idee, come i colori o le parole,
devono legarsi armoniosamente. devono legarsi armoniosamente.
La bellezza è il requisito fondamentale: La bellezza è il requisito fondamentale:
al mondo non c'è posto perenne al mondo non c'è posto perenne
che per la matematica bella”che per la matematica bella”Godfrey Harold HardyGodfrey Harold Hardy, , Apologia di un matematicoApologia di un matematico, , 19401940