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Imersão Matemática – Geometria Plana
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1. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0
exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que
associa a cada 0 x a a área da região indicada
pela cor cinza.
O gráfico da função y A(x) no plano cartesiano é
dado por
a)
b)
c)
d) 2. (Unesp) Na figura, o losango FGCE possui dois
lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área
é igual à área indicada em verde.
Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do
losango FGCE mede
a) 2 5 cm.
b) 2 6 cm.
c) 4 2 cm.
d) 3 3 cm.
e) 3 2 cm.
3. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo ABD
exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,
BC 1cm e CD 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a
a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 4. (Unesp) Uma peça circular de centro C e raio
12 cm está suspensa por uma corda alaranjada,
perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e
Q são de tangência dos segmentos retilíneos da
corda com a peça, e a medida do ângulo agudo ˆTPQ
é 60 .
Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a
distância de P até o centro C da peça. Adotando
3,1π e 3 1,7 nas contas finais, calcule o
comprimento total da corda. 5. (Fuvest) O retângulo ABCD, representado na
figura, tem lados de comprimento AB 3 e BC 4. O
ponto P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos
R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD,
respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e
intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é
paralelo a AB.
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Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da
soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo
CQP e do triângulo DQS, para x variando no
intervalo aberto 0, 3 , é
a) 61
8
b) 33
4
c) 17
2
d) 35
4
e) 73
8
6. (Fuvest) Uma bola de bilhar, inicialmente em
repouso em um ponto P, situado na borda de uma
mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A
bola atinge a borda no ponto R e é refletida
elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da
borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do
ângulo QPR.
a) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?
b) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a
trajetória da bola será perpendicular a PQ?
c) Supondo agora que 30 60 , encontre uma
expressão, em função de , para a medida a do
ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q
e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.
7. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r,
duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são
1P , 2P e 3P .
Calcule, em função de r,
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são
os segmentos ligando cada ponto 1P , 2P e 3P aos
dois vértices do triângulo T mais próximos a ele. 8. (Unicamp) A figura abaixo exibe um quadrilátero
ABCD, onde AB AD e BC CD 2 cm.
A área do quadrilátero ABCD é igual a
a) 22 cm .
b) 22 cm .
c) 22 2 cm .
d) 23 cm .
9. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma
parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de
parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida
em um quadrado central, de lado x, e quatro
retângulos laterais, conforme mostra a figura.
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Se o total da área decorada com cada um dos dois
tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual
a
a) 1 2 3
b) 2 2 3
c) 2 3
d) 1 3
e) 4 3 10. (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui
pernas articuladas AB e CD, conforme indica a
figura. Sabe-se que AB CD 1m, e que M é ponto
médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando
a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano
do chão e a medida do ângulo ˆAMC é 60 .
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e
da espessura do tampo e adotando 3 1,7, a altura
do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre a) 96 e 99.
b) 84 e 87.
c) 80 e 83.
d) 92 e 95.
e) 88 e 91.
11. (Fuvest) Os pontos A, B e C são colineares,
AB 5, BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C
e D pertencem a uma circunferência com centro em
A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento
BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P
a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. (Fuvest) Na figura, o retângulo ABCD tem lados
de comprimento AB 4 e BC 2. Sejam M o ponto
médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os
segmentos AM e AC interceptam o segmento BN
nos pontos E e F, respectivamente.
A área do triângulo AEF é igual a
a) 24
25
b) 29
30
c) 61
60
d) 16
15
e) 23
20
13. (Fuvest) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O
primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião
terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.
Note e adote:
cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28
Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W
Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E
Raio da Terra: 6.400 km
14. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura
abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e
ângulos ,α β e .γ
a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma
progressão aritmética (PA). Determine a medida do
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ângulo .β
b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma
progressão geométrica (PG) de razão q 2.
Determine o valor de tan .β
15. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de
centro em O e raio r tangencia o lado BC do
triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no
ponto E. Os pontos A, D e O são colineares,
AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em
função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
16. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de
raio r que tangencia internamente um setor circular de
raio R e ângulo central .θ
a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do
círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 17. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105 . b) 120 .
c) 135 . d) 150 . 18. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. 19. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC.
A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O
comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 20. (Unicamp) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com
comprimento de 1cm e um lado com comprimento de
xcm.
a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
21. (Fuvest) Uma das piscinas do Centro de Práticas
Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
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Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m2 b) 1.800 m2 c) 2.000 m2 d) 2.200 m2 e) 2.400 m2 22. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e
raio r está inscrita em um setor circular de centro C e
raio R, conforme a figura.
O ponto D é de tangência de BC com a
semicircunferência. Se AB s, demonstre que
R s R r r s.
23. (Fuvest)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os
novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’.
Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 24. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:
20, 15 e 10. AB BC AC
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que
3BD e traça-se o segmento DE paralelo ao lado
AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.
25. (Unicamp) Na figura abaixo, ABC e BDE são
triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,
respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o
comprimento do segmento CE é:
a) 5
a3
b) 8
a3
c) 7
a3
d) a 2 26. (Unicamp) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.
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a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que
cos( ) 3 / 4.θ Determine a distância d entre o ponto
C e o satélite. 27. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a
seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e
Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e
160km. Um dos alunos observou, então, que as
distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80 2 5 3
b) 80 5 2 3
c) 80 6
d) 80 5 3 2
e) 80 7 3
28. (Fuvest) O segmento AB é lado de um hexágono
regular de área 3 . O ponto P pertence à mediatriz
de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale
2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual
a
a) 2
b) 2 2
c) 3 2
d) 3
e) 2 3 29. (Fuvest)
Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à
reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO . Além
disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3
e BC 2 3 . Nessas condições, determine
a) a medida do segmento CD ;
b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. 30. (Unesp) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos 0,934 , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade
média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 31. (Fuvest) As circunferências C1 e C2 estão
centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma
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reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no
ponto P2 e intercepta a reta 1 2O O no ponto Q. Sendo
assim, determine a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2. 32. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 3
b) 2 3
c) 3 3
d) 3 2 3
e) 3 3 3 33. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o
pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 . c) 25,0.
d) 25,0 2 . e) 35,0. 34. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio
de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4
.Então, DM é igual a
a) 2
4
b) 2
2
c) 2
d) 3 2
2
e) 5 2
2
35. (Fuvest) No triangulo ABC da figura, a mediana
AM, relativa ao lado BC, e perpendicular ao lado AB.
Sabe-se também que BC 4 e AM 1. Se α é a
medida do ângulo ABC, determine
a) sen .α
b) o comprimento AC.
c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB.
d) a área do triangulo AMC.
36. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo
com catetos BC 3 e AB 4. Além disso, o ponto D
pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto
BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal
forma que DECF seja um paralelogramo. Se 3
DE ,2
então a área do paralelogramo DECF vale
a) 63
25
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b) 12
5
c) 58
25
d) 56
25
e) 11
5
37. (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma
bola branca na posição B e uma bola vermelha na
posição V, conforme o esquema a seguir.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e
de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q
deve-se jogar a bola branca? 38. (Unesp) A figura representa uma chapa de
alumínio de formato triangular de massa 1.250
gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao
lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado
AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700
gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor
percentual da razão de AD por AB.
Dado: 11 3,32.
a) 88,6. b) 81,2.
c) 74,8. d) 66,4. e) 44,0.
39. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à
circunferência de centro O e BC .α A reta OC é
perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB
mede 3
π radianos. Então, a área do triângulo ABC
vale:
a) 2
8
α
b) 2
4
α
c) 2
2
α
d) 23
4
α
e) 2α 40. (Fuvest) Na figura, B, C e D são pontos distintos
da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a
ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede б radianos.
Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é
igual a:
a) ð - (á/4) b) ð - (á/2)
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c) ð - (2á/3) d) ð - (3á/4) e) ð - (3á/2) 41. (Fuvest) A figura a seguir representa sete
hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior,
cujos vértices coincidem com os centros de seis dos
hexágonos menores. Então, a área do pentágono
hachurado é igual a:
a) 3 3
b) 2 3
c) 3 3
2
d) 3
e) 3
2
42. (Fuvest) Os comprimentos dos lados de um
triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também
que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo Â
mede 120°, então o produto dos comprimentos dos
lados é igual a:
a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 43. (Unesp) Uma certa propriedade rural tem o
formato de um trapézio como na figura. As bases WZ
e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km,
respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.
Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a
medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio
é:
a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3,7. 44. (Fuvest) O triângulo ACD é isósceles de base CD
e o segmento OA é perpendicular ao plano que
contém o triângulo OCD , conforme a figura:
Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3,
então a área do triângulo OCD vale
a) 16( 2)
9
b) 32( 2)
9
c) 48( 2)
9
d) 64( 2)
9
e) 80( 2)
9
45. (Fuvest) No retângulo ABCD da figura tem-se
CD e AD 2 . Além disso, o ponto E pertence à
diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é
perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo
ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então
BF mede
a) 2
.8
b) 2
.4
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c) 2
.2
d) 2
3 .4
e) 2. 46. (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que
cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a
esse triângulo, em centímetros, mede
a) 3
b) 2 3 c) 4
d) 3 2
e) 3 3
47. (Unesp) A figura representa um triângulo
retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de
reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.
Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do
trapézio ABED, em cm2, é
a) 84. b) 96. c) 120. d) 150. e) 192. 48. (Fuvest) Na figura, OAB é um setor circular com
centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD
é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor
circular.
Se AB = 2 3 e AD = 1, então a área do setor OAB é
igual a
a) 3
π
b) 2
3
π
c) 4
3
π
d) 5
3
π
e) 7
3
π
49. (Fuvest) A figura representa um retângulo ABCD,
com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento
CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de
interseção da diagonal AC com o segmento BE.
Então a área do triângulo BCF vale
a) 6
5
b) 5
4
c) 4
3
d) 7
5
e) 3
2
50. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta s passa pelo
ponto P e pelo centro da circunferência de raio R,
interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além
disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência
e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então
cos(α) vale
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a) ( 2)
6
b) ( 2)
3
c) ( 2)
2
d) 2( 3)
3
e) 3( 2)
5
51. (Fuvest) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se
que AD = 3 e DAB = 30°. Além disso, sabe-se que o
ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo
DAB.
a) Calcule AP.
b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero
ABCP é 21.
52. (Fuvest) Na figura a seguir, o triângulo ABC
inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre
o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a
BC é .α Nestas condições, o quociente entre a área
do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado,
em função de ,α pela expressão:
a) 22cos .α
π
b) 22sen 2 .α
π
c) 22sen 2 cos .α α
π
d) 2
sen cos2 .α απ
e) 22sen2 cos .α α
π
53. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se AC = 3, AB = 4
e CB = 6.
O valor de CD é
a) 17
12
b) 19
12
c) 23
12
d) 25
12
e) 29
12
54. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da
circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o
ângulo â mede 60° e sen á =( 3)
4.
a) Determine sen OAB em função de AB.
b) Calcule AB.
55. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são triângulos
retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2DE. Logo, a
medida de AE é
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a) ( 3)
2
b) ( 5)
2
c) ( 7)
2
d) ( 11)
2
e) ( 13)
2
56. (Fuvest)
Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o
mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao
quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas
suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro
das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem
lado 2 7 , determine r.
57. (Fuvest) A figura representa duas circunferências
de raios R e r com centros nos pontos A e B,
respectivamente, tangenciando-se externamente no
ponto D. Suponha que:
a) As retas t1 e t2 são tangentes a ambas as
circunferências e interceptam-se no ponto C.
b) A reta t2 é tangente às circunferências no ponto D.
Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios
R e r.
58. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado
1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1.
Logo, a área da região hachurada é
a) 1 -6
π
+ ( 3)
4
b) 1 -3
π
+ ( 3)
2
c) 1 -6
π
- ( 3)
4
d) 1 +3
π
- ( 3)
2
e) 1 - 3
π
- ( 3)
4
59. (Fuvest) Na figura a seguir A, B e D são
colineares e o valor da abscissa m do ponto C é
positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo
ABC é 5
2, determine o valor de m.
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Gabarito:
Resposta da questão 1: [D] Calculando:
2 2 2a a xA(x) a 2 a a ax A(x) ax
2
O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão 2:
[E]
Desde que os losangos FGCE e ABCD são
semelhantes, temos
2(FGCE) 1k ,
(ABCD) 2 com k sendo a razão de
semelhança.
Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem
FG 1FG 3 2 cm.
AB 2
Resposta da questão 3: [C] Calculando:
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
Resposta da questão 4:
a) Calculando:
CQ 12 1sen 30 PC 24
2CP CP
PQ PQtg 60 3 PQ PT 12 3 20,4 cm
CQ 12
b) Calculando:
corda QT
240 240Arco QT 2 R 24 16
360 360
C PQ PT Arco 12 3 12 3 16 90,4 cm
π π π
π
Resposta da questão 5:
[A] Diante do exposto, pode-se desenhar:
A soma das áreas hachuradas será:
2 2 2
2
2
máx máx máx
x 3 (3 x) x 9 3x 8x 2xS(x) x (4 x)
2 2 2
1S(x) x 5x 9
2
5 4 ( 1) 91 61S y S
2 4 ( 1) 8
Resposta da questão 6:
a) Como a bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar, pode-se
concluir que o ângulo PRO ORZ .α Pelos
fundamentos da geometria plana, sabe-se que o
ângulo POR também é igual a .α Como os
segmentos OP e OR são iguais (raio da
circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ
também será igual a .α Assim, todos os ângulos do
triângulo PRO são igual, fazendo deste um triângulo
equilátero. Logo, 60 .α θ Caso 0 ,θ após a
primeira reflexão a trajetória também será paralela
ao diâmetro PQ.
b) Analisando a figura a seguir, como PO e OZ são
segmentos iguais (ambos são iguais ao raio da
circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ
será igual a .α Assim, pode-se escrever sobre o
triângulo retângulo:
3 90 180 3 90 30α α α θ
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c) Analisando a figura a seguir, pode-se escrever:
3 180 180 3 , para 30 60α θ α θ θ
Resposta da questão 7:
a) O triângulo equilátero descrito é o “externo” que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a:
Ou seja:
2r 3lado 2r 2r 2r lado 2r 3 1
tg 30 3
b) Considerando como A, B e C os vértices do
triângulo equilátero “externo” pode-se desenhar:
Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por:
azul amarelo
22
azul
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2azul
S S S
2r 3 1 3 r 2r 3 1lado 3 r ladoS 3 3
4 2 4 2
3r 3 1 3r 3 1 3r 3 2 3 1 3r 3 1
3 3r 6r 3r 3 3r 3r 3r 3r
S r 3 3
Resposta da questão 8: [B] Considere a figura.
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD,
temos
2 2 2 2 2 2 2BD BC CD 2 BC CD cosBCD BD 2 2 2 2 2
2
BD 2 2 2 cm.
Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os
triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes.
Logo, podemos concluir que AE 2 2 cm.
A resposta é dada por
2
1 1(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD
2 2
2 2 2 2 2 1 22 2
2 2 2
2 2 2
2cm .
Resposta da questão 9: [B] Observando que cada retângulo decorado tem
dimensões medindo (x 2) metros e 2 metros, vem
2 2x 2 2 (x 2) x 4x 8 0
x (2 2 3) m.
Resposta da questão 10:
[B]
Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é
60 , então os triângulos formados ( AMC e DMB)
são equiláteros com lado igual a 0,5. Logo, a
altura da mesa em relação ao chão será igual a 2h,
sendo h a altura de um dos triângulos equiláteros. Ou seja:
3 0,5 1,7h 0,425 2h 0,85 m 85 cm
2 2
Resposta da questão 11:
[D]
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Considere a figura, em que M é o ponto médio de
BD.
Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL,
pois MB MD, MP é lado comum e BMP DMP. Daí,
temos BP DP e, portanto, AP BP AC 5 2 7.
Resposta da questão 12:
[D] De acordo com o enunciado:
NFC AFB
2 xy 2x
4 y
2x3
x y 2 x 2x 24y
3
MEN MAN
1 ab 4a
4 b
1a5
a b 1 a 4a 14b
5
Assim, a área do triângulo AEF será:
AEF ABF ABE
AEF AEF
S S S
4 44 44y 4b 8 8 163 5S S2 2 2 2 3 5 15
Resposta da questão 13:
a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar
a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da
Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto
M a localização de Moscou:
Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se
que os arcos BA e CM são iguais e delimitados
pelo raio R da terra e um ângulo de
72 (56 16 ). Assim, pode-se calcular a distância
vertical percorrida por ambos os aviões:
72 R 2 RBA CM
180 5
π π
Para calcular a distância horizontal BC basta
considerar um arco de circunferência delimitado
pela distância de B até o eixo da terra e por um
ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:
B Eixo B EixoB Eixo
dist distcos16 0,96 dist 0,96R
R R
85 0,96R 16,32 RBC BC
180 36
π π
Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado
pela distância de A até o eixo da terra e por um
ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:
A Eixo A EixoA Eixo
dist distcos56 0,56 dist 0,56R
R R
85 0,56R 9,52 RAM AM
180 36
π π
Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões:
2 R 9,52 R 119,6 RAvião 1 BA AM
5 36 180
16,32 R 2 R 153,6 RAvião 2 BC CM
36 5 180
π π π
π π π
Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância.
b) A diferença das distâncias percorridas será igual a:
153,6 R 119,6 R 34 R 34 6400Avião 2 Avião 1 1208,9 km
180 180 180 180
π π π ππ
Resposta da questão 14:
a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus
termos será 180, pois a soma dos ângulos internos
de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se
escrever:
PA ( , , ) ( r, , r)
r r 3S 180 180 3 60
2
α β γ β β β
β ββ β
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b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-
se escrever:
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)
Pela lei dos cossenos, tem-se:
2 22 2 2 2 3
a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4
β β β
Pela relação fundamental:
2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4β β β β β
Por fim, calculando a tangente:
7sen 7 4 74tg tg
3cos 4 3 3
4
ββ β
β
Resposta da questão 15:
a) No AOE :Δ
22 2 2AE r 3r AE 8r AE 2r 2
AB 2r 3 r 3 r 2ADB ~ AEO AB AB
3r 22 2 r 2Δ Δ
b) No ACO,Δ temos:
2 2 2CO (2r r) r CO 3 r CO r 3
Resposta da questão 16: a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes
internamente, temos AC R, OB OC r e
BAO 30 . Logo, segue que
AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO,
vem
OB rsenBAO sen30
R rAO
r 1
R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
22
2
r r 26 .
60 R 3R
360
π
π
b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos
r 1sen sen .
2 R r 2 3
θ θ
Por conseguinte, vem
2
2
cos 1 2sen2
11 2
3
7.
9
θθ
Resposta da questão 17:
[B]
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado
da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com
CD ED.
Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE
é retângulo isósceles, com BE 2. Em
consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o
triângulo ABC é retângulo em B.
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no
triângulo BCE, encontramos CE 3.
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo
CDE, vem
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2 2 2 1( 3) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
Resposta da questão 18:
[C]
Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos
lados do triângulo, com x, r 0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos
x 3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m,
vem
13r 4r 5r 6 r .
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
223r 4r 1
6 1,5 m .2 2
Resposta da questão 19:
[C]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular
baixada de A sobre BC, e D é o ponto em que o
lado AC tangencia a circunferência de centro em O.
Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que
AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os
triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e,
assim,
AD DO 4 3
8AH HC HC
HC 6cm.
Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se
que BC 12cm.
Resposta da questão 20: a) Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos
ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,
2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,
2 2 2 2AE AD DE 3 1 4
e
2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1
x 5 cm.
b) É imediato que BAC 45 .
Do triângulo ACD, temos
CD 1tgCAD CAD arctg 45 .
2AC
Do triângulo ADE, vem
DE 1tgDAE DAE arctg 30 .
3AD
Do triângulo AEF, segue
EF 1tgEAF EAF arctg 30 .
4AE
Portanto, tem-se
BAC CAD DAE EAF
45 45 30 30
150 .
α
Resposta da questão 21: [A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina.
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Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos
25 325 tg30 m.
3
Desse modo, a área da piscina é dada por
22
2
3 3 9 25 33 32 2 3
18753
2
1.623,8 m
e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima
da área da piscina. Resposta da questão 22: Considere a figura.
Os triângulos retângulos ODC e BAC são
semelhantes. Logo,
OC OD R r r
R sBC BA
R s r s R r
R s R r r s.
c.q.d. Resposta da questão 23:
a) A = 4 3 = 12.
b) No triângulo ADE, 3
sen .x
θ
Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:
1 1 3A 2x 4 sen 2x 4 12.
2 2 xθ
c) Considerando que 3
sen sen(180 ) .x
θ θ
S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)
S(A’B’C’D’) = 1 1 1 1
.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 122 2 2 2
θ θ θ θ
S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12
S(A’B’C’D’) = 60
Resposta da questão 24:
a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:
H 155.
h 3
b) H é a altura relativa ao lado AC.
Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:
p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2
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2 2
45 45 45 45A . 20 . 15 . 10
2 2 2 2
45 5 15 25A
2 2 2 2
3 .5.5.3.5.5A
4
3.5.5. 15A
4
AC.H 75 15
2 4
10.H 75 15
2 4
15 15H
4
=
Resposta da questão 25: [C]
2 2 2
2 22
2
a 3 a 2aNo CMB : cos30° x
x 2 x 3
a3 a a2No ENB : cos30° y
y 2 2y 3
ˆCBE 180 30 30 120
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE x y 2.x.y.cos120
4a a 2a a 1CE 2
3 3 23 3
5aCE
Δ
Δ
2 2
22
2a
3 3
7aCE
3
7CE a.
3
Resposta da questão 26:
a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra.
R 1cos 60
R R 2α α
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2 R 2 6400 12800km.
3 3 3
π π π
b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo
assinalado, temos:
2 2 2
2 2 2
2
d R (2R) 2.R.2R.cos
d 5R 4.R .(3/4)
d 2.R
d R 2
d 6400. 2 km
θ
Resposta da questão 27: [B]
Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que
representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas.
Sabendo que SPC 60 e CPG 90 , vem
SPG 150 . Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no
triângulo SPG, encontramos
2 2 2
2 2
SG SP PG 2 SP PG cosSPG
80 160 2 80 160 cos150
36400 25600 2 12800
2
6400 (5 2 3)
Portanto, SG 80 5 2 3 km.
Resposta da questão 28: [E]
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AB = a
26.a 3 23 a
4 6
Calculando a distância d pela área do triângulo assinalado:
1a d 2
2
1 2d 2
2 6
d 12
d 2 3
Resposta da questão 29:
a) Temos:
2
CD 8 3.2 3
CD 48
CD 4 3
b) No triângulo ADC, temos:
2 22 2 2(2r) 4 3 8 3 4r 192 48 r 36 r 6
c) 22 2 2 2h 3 3 6 h 36 27 h 9 h 3
6 3.3A A 9. 3
2
d) 3 1
sen 30 e = 120°6 2
α α β
Área pedida:
2
AOB.6
A A3
A 12 9 3
A 3 4 3 3
Δπ
π
π
Resposta da questão 30:
[E] Considere a figura.
Sabendo que ET 360km, ST 320km,
cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Lei
dos Cossenos, vem
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
ES ET ST 2 ET ST cos
ES 360 320 2 360 320 0,934
ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4
ES 232000 2 3 93,4
ES 232000 215100
ES 16900 ES 130km.
Portanto, como 13
13min h,60
temos que a velocidade
média pedida é dada por
130600km h.
13
60
Resposta da questão 31:
a) x2 + 92 = 152 x = 12
b) 9.12
A 12.3 902
c) y 3
3x 12 y 4y 12 12
Logo, A = 12.(12 4)
962
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Resposta da questão 32: [C]
A = 3.A1 + A2 +3. A3
A = 3.12 + 2
o1 3 13 .1.1.sen120
4 2
A = 3 +3 3 3
4 4
A = 3 + 3
Resposta da questão 33: [B]
No triângulo ABC oABC 45 , aplicando o teorema
dos senos, temos:
o o
50 BCBC. 2 50 BC 25 2
sen45 sen30
No triângulo BDC, temos:
o h 1 hsen30 h 12,5 2
225 2 25 2
Resposta da questão 34:
[B]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:
2 2 214 1 1 1 1
2. . .cos4 2 2 2 2
Resolvendo, temos
3cos
4 e que cos
o3( 180 )
4
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
222
222
1 1(AD) 1 2. .1.cos
2 2
1 1 3(AD) 1 2. .1.
2 2 4
AD = 1 3
14 4
AD = 2
2
Resposta da questão 35:
a) No ABM: 1
sen2
α ( 30α e 60 )β
b) No ABM: 22 2AB 1 3 AB 3
22 2
22 2
AC 4 3 2 4 3 cos
3AC 4 3 2 4 3 AC 7
2
α
c) No BHC : h
sen30 h 24
d) AMC 180 60 120
1 1 3 3A 1 2 sen120 1 2
2 2 2 2
Resposta da questão 36:
[A]
2 2 2(AC) 4 3 AC 5
3x y 2DBE ~ ABC x 1,24 3 5
e y 0,9
A base do paralelogramo será 3 0,9 2,1 e sua
altura será x 1,2.
Logo, sua área será:
21 12 252 63A 2,1 1,2
10 10 100 25
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Resposta da questão 37:
1 2 3~ ~
1,2 x x 0,4
0,9 y 0,8 y
Δ Δ Δ
Aplicando a propriedade da proporção
Nas duas últimas razões:
1,2 x x 0,4
0,9 y 0,8 y
1,2 x x 0,4
0,9 0,8
Resolvendo, temos:
6x
17
Resposta da questão 38: [D]
2 2ADE
ABC
AAD AD 1250 700 AD 550 AD 11 AD 3,32 AD0,664 66,4%
AB A AB 1250 AB 1250 AB 5 AB 5 AB
Δ
Δ
Resposta da questão 39: [B]
rad 603
π
OC AB ABC é isósceles
60ACB 30
2
(ângulo inscrito)
21A sen30
2 4
αα α
Resposta da questão 40: [C]
ˆABD x
ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x
- xˆˆABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 2
No triângulo AOB:
- x - x + (ângulo externo)
2
2 = 2 2x x
3x 3 2
3 2x
3
2x
3
Δ π
πΔ
πα π
α π π
π α
π α
απ
Portanto, ˆABO 2 /3π α
Resposta da questão 41: [E] Resposta da questão 42:
[D] Resposta da questão 43:
[E] Resposta da questão 44:
[B] Resposta da questão 45:
[E] Resposta da questão 46:
[B] Resposta da questão 47:
[B] Resposta da questão 48:
[C]
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Resposta da questão 49: [B] Resposta da questão 50: [D] Resposta da questão 51:
a) AP = 3 (2 3)
b) AB = 31
2
Resposta da questão 52: [E]
Considerando o ponto O como centro e R o raio da circunferência, temos no triângulo assinalado:
x
sen 2 x R sen(2 )R
α α
y
cos 2 y R cos(2 )R
α α
Calculando a área do triângulo ABC, temos:
2 2 2 2
2 2
2x(y R) 2R sen(2 ) (R R cos(2 ))A R sen(2 )(1 cos(2 )) R sen(2 )(1 cos sen )
2 2
2R sen(2 ) cos
α αα α α α α
α α
A razão entre a área do triângulo ABC e a área do círculo será dada por:
222
2
2R sen(2 ) cos 2sen(2 ) cos
R
α αα α
ππ
Resposta da questão 53:
[E] Resposta da questão 54:
a) sen OAB =
( 3)
4 AB
b) AB = [( 13) 1]
6
Resposta da questão 55:
[C] Resposta da questão 56:
r = ( 7 )[( 2 ) - 1]
Resposta da questão 57:
R r . R . r
2
.
Resposta da questão 58:
[C] Resposta da questão 59:
m = 2 +(5 2)
2