imÁgenes fractales ¿cÓmo se hacen? · 2008. 6. 15. · la gráfica de f(x) •nos movemos...
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SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES
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Sistema dinámico = Recurrencia
x0 → x1 → x2 → x3 → x4········f f f f
Problemas: •Hacia donde evoluciona la órbita de x0según iteramos f.
•Como varía este comportamiento segúnvaría el punto inicial
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•La ecuación de Maltusxk+1 = xk + d xk = (1+d) xk =c xk .
Solución: xk =ck x0. •La curva de Verhulst
xk+1 = xk + d xk(1- xk)=(1+d) xk - d xk2La población máxima admisible es 1 (normalizando). Si se pasa de 1 el crecimiento se hace negativo.
•La parábola logística de May
xk+1 = c(1- xk) xk.
Ejemplos de sistemas dinámicos
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1,1.25,1.5625,1.953125,2.4414062,3.05175781,3.81469726,4.76837158,5.96046447,7.45058059,9.31322574,11.6415321,14.5519152,18.1898940,22.7373675,28.4217094,35.5271367,44.4089209,55.5111511,69.3889389,86.7361737,108.420217,135.525271,169.406589,211.758236,264.697796,330.872245,413.590306,516.987882,646.234853,807.793566,1009.74195,1262.17744,1577.72181,1972.15226,2465.19033,3081.48791,3851.85989,4814.82486,6018.53107,7523.16384,9403.95481,11754.9435,14693.6793,18367.0992,22958.8740,28698.5925,35873.2407,44841.5508,56051.9386,70064.9232,87581.1540,109476.442,136845.553,171056.941,213821.176,267276.471,... → ∞
Si xk+1=xk+0.25xk = 1.25xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos
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1,0.75,0.5625,0.421875,0.3164062,0.23730468,0.1779785156,0.1334838867,0.1001129150,0.0750846862,0.0563135146,0.0422351360,0.0316763520,0.0237572640,0.0178179480,0.0133634610,0.0100225958,0.00751694685,0.00563771014,0.00422828260,0.00317121195,0.00237840896,0.00178380672,0.00133785504,0.00100339128,0.00075254346,0.000564407595,0.000423305696,0.000317479272,0.00023810945,0.000178582090,0.000133936568,0.00010045242,0.000075339319,0.000056504489,0.00004237836,0.000031783775,0.000023837831,0.00001787837,0.000013408780,0.000010056585,0.00000754243,0.000005656829,0.000004242621,... → 0
Si xk+1=xk-0.25xk = 0.75xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos
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0.75,0.046875,0.011169433593,0.002761169336,0.0006883863201575175,0.0001719781111079343,0.0000429871336593085299989340515355,0.0000107463214414120716856412916155,0.00000268655148949688738320380729340,0.000000671636067984495416314901905875,0.000000167908904222371899660288287527,0.0000000419772190072429456256570833410,0.0000000104943043112890075109046634555,0.00000000262357605028964613324140329980,0.000000000655894010851623710396995870855,0.000000000163973502605356689231491497321,0.000000000040993375644617344918705645092,0.000000000010248343910734222017991,... → 0
Si xk+1 = 0.25 (1- xk) xk, para x0=0.75 se obtieneAlgunos cálculos
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0.3333333333333333333,0.8888888888888888888,0.3950617283950617284,0.9559518366102728242,0.1684316907668762969,0.5602498252491506198,0.9854798342297872498,0.0572373222248731686, 0.2158448446775968347,0.6770233908148037284, 0.8746508764177170517,0.4385468831977460203,0.9848940577411541184,0.0595110110692731829,0.2238778025231441105,0.6950261282422087962,0.8478592372114141141,0.5159758043467725043,0.9989790947018945790,0.0040794522019108850,0.0162512410865728378,0.0639485529988756988,0.2394365422729027386,0.7284267379891967940,0.7912849014864593527,0.6606124246640946797,0.896814596174,...
Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos
saltamos 1000 términos...,
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0.9744108786922241935,0.0997372727138869626,0.3591589965819308070,0.9206552470247656876, 0.2921966526021334323,0.8272710752409663280, 0.5715745732424870259,0.9795083218606234410, 0.0802870770656350231,0.2953642492875672233, 0.8324968381214362733,0.5577834105569896086, 0.9866443098576095273,0.0527092627328437062,0.1997239854200150394,0.6393372602718426376, 0.9223405115997471334,0.2865139690466554279, 0.8176948583511504130,0.5962799079089698985,0.9629207173321611022,0.1428176378587095985,0.4896830407006723094,0.9995742414032640635, 0.0017023093054129675,0.0067976457937666879, 0.0270057512217166961,... → ¿?
Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos
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Análisis gráfico
La órbita de cualquier punto en [0,1) tiende a 0
Sea f(x)=x2
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•Empezamos en un punto p en el eje OX. •Nos movemos verticalmente hasta intersecarla gráfica de f(x)
•Nos movemos verticalmente - hacía arriba o hacía abajo - hasta intersecar la gráfica de f(x).
•Nos movemos horizontalmente hasta intersecar la diagonal y=x.
•Se repiten los pasos 3 y 4 para generar nuevos puntos.
Análisis gráfico
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>analisisgrafico:=proc(f,p,n,d,e)>local p0,p1,a,l,k,b,p2;>p0:=plot([[p,0]],x=d..e,d..e,style=point,symbol=BOX);>p1:=plots[display]([plot(f,x=d..e,y=d..e,color=blue),
plot(x,x=d..e,y=d..e,color=black,linestyle=4)]):> a:=evalf(p);> l:=[[a,0]];> for k from 1 to n do;> b:=f(a);> l:=[op(l),[a,b],[b,b]];> a:=b;> od; > b:=f(a); l:=[op(l),[a,b]]: > p2:=plot(l,d..e,d..e,style=line,color=red):> plots[display]({p0,p1,p2},scaling=constrained);> end:
Análisis gráfico
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Sea L:I⊂IR→IR una aplicación lineal, esto es, L(x)=a·x con a∈IR. La órbita de 1 es
La órbita de un punto genérico p es 1, a, a2, a3, a4, a5, a6, ...
p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p ...
Dinámica de las aplicaciones lineales
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excepto para p=0 que se tiene
Si a=1: p, p, p, p, p, p, ... → p0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0
Si |a|1: p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p, ... → ∞
Si a=-1: p, -p, p, -p, p, -p, ... oscilaexcepto para p=0 que se tiene
0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0
Dinámica de las aplicaciones lineales
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Análisis gráfico para f(x)=ax (0
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Análisis gráfico para f(x)=ax (-1
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Análisis gráfico para f(x)=ax (a>1)
La órbita de cualquier punto de IR tiende a en módulo a ∞
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Análisis gráfico para f(x)=ax (a
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Análisis gráfico para f(x)=ax (a=1)
Cualquier punto de IR es invariante
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Análisis gráfico para f(x)=ax (a=-1)
El punto 0 es invariante.La órbita de cualquier punto de IR-{0} es p→-p→p
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Puntos fijosSea f:I⊂IR→IR.
ξ es un punto fijo de f si f(ξ)= ξ.
Teorema. Sea f:I⊂IR→IR continua.Si la órbita de un punto converge a un punto ξ, ξ ha de ser un punto fijo.
ξ es un punto eventualmente fijo fk+1(ξ)=fk(ξ).
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Puntos fijos atractivosSea f:I⊂IR→IR.
existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U, lim fk(x)=ξ.(ξ atrae las órbitas de los puntos de un entorno)
ξ es un punto fijo atractivo de f si:
El conjunto {x∈I | lim fk(x)=ξ} es la cuenca de atracción de ξ.
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Ejemplo de puntos fijos atractivos
f(x)=x3
La cuenca de atracción de 0 es (-1,1)
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Caracterización de puntos fijos atractivos
Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|
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Puntos fijos repulsivosSea f:I⊂IR→IR.
ξ es un punto fijo repulsivo de f si:existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U-{ξ}, existe k tal que fk(x)∉U.(ξ repele las órbitas de los puntos de un entorno)
Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|>1 entonces ξ es un punto fijo repulsivo.
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Ejemplo de punto fijo repulsivo
f(x)=x(1/3)
0 repele todos los puntos de (-1,1)
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Puntos fijos indiferentesSi f∈C1(I) y ξ es un punto fijo tal que |f´(ξ)|=1 entonces x es un punto fijo indiferente.
Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|
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Ejemplo de punto fijo indiferente atractivo
f(x)=x-x3
La cuenca de atracción de 0 contiene a (-1,1 )
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Puntos fijos indiferentes repulsivos
Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|>1 para los x cercanos a ξ, entonces ξ es un punto fijo indiferente repulsivo.
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f(x)=x+x3
Ejemplo de punto fijo indiferente repulsivo
0 repele todos los puntos de IR
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Puntos fijos indiferentes
Ejercicio. ¿Qué ocurre si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f´(x)=1, 0ξ?
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Puntos periódicosSea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto periódico de f si ∃k t.q. fk(ξ)= ξSe llama periodo de ξ al menor k t.q. fk(ξ)= ξ
Todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} sonperiódicos de periodo kξ es eventualmente periódico si existen p y k tales que fk+p(ξ)= fp(ξ)
ξ es k-periódico si y solo si ξ es punto fijo de fk
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Puntos periódicos atractivos (repulsivos)Sea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto k-periódico atractivo (repulsivo) de f si y solo si ξ es un punto fijo atractivo (repulsivo) de fk.
La cuenca de atracción de {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}es el conjunto {x∈I | lim (fk)n(x)∈ {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}}
Si f es continua, todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} son atractivos (o repulsivos) simultáneamente.
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Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto k-periódico tal que |(fk)´(ξ)|1, entonces x es un punto k-periódico repulsivo.
Puntos periódicos atractivos (repulsivos)
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Ejemplo de ciclo atractivo
f(x)=-x1/3
Cuenca de atracción:IR-{0}
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f(x)=-x3
Ejemplo de ciclo repulsivo
El ciclo {-1,1} repele todos los puntos deIR-{0,1,-1}
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Los puntos fijos indiferentes son poco frecuentes, aunque en familias de sistemas dinámicos siempre aparecerán para alguna aplicación. Su aparición lleva emparejada cambios bruscos de comportamiento (bifurcaciones).
Bifurcaciones
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Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
f0.4(x)=x2+0.4
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f0.25(x)=x2+0.25
Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
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f0.1(x)=x2+0.1
Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).
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Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
f0.75(x)=0.75·x·(1-x)
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f1(x)=x·(1-x)
Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
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f1.5(x)=1.5·x·(1-x)
Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))
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Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
f0.7(x)=0.7·(x-x3)
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f1(x)=(x-x3)
Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
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f1.3(x)=1.3·(x-x3)
Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))
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Sea f:[a,b]→IR continua tal que f([a,b])⊃[a,b]. Entonces f tiene al menos un punto fijo.
a ba
b
Teorema del punto fijo
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Teorema de Sarkovskii
Sea f: IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo r.Entonces, para todo k5>7>.....>2*3>2*5>2*7>.............
.............>4*3>4*5>4*7>.....>8>4>2>1, f tiene algún punto periódico de periodo k.
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Teorema de Li y Yorke (Periodo 3 implica caos).Sea f:IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
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I1 I1
I0I0
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
Supongamos a
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I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
Cada par de Ai´s tienen a lo sumo un punto común
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I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
A lo sumo un Ai contiene a b y otro a c
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I1 I1
I0I0I0I0I0I0
A0
A1
An-1An-2
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
A lo sumo un Ai contiene a b y otro a c
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Existe f : IR → IR continua con un 5-ciclo sin 3-ciclos
f3([3,4])=[0,3]
f3([0,1])=[1,4]f3([1,2])=[2,4]f3([2,3])=[0,4]
Solo puede existir un 3-ciclo en [2,3] pero ahí f3 es decreciente
porque
Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)
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Aplicaciones topológicamente conjugadasSea f:D → D un sistema dinámico.
f
D E
h
h-1
x
f (x)
Sea E otro espacioy sea h:D → E un homeomorfismo.
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f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Sea g:E → E, dada por g(y)=hfh-1(y).Entonces g es un sistema dinámico.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
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f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Como g=hfh-1⇒gn=hfnh-1⇒la órbita de y por g es la imagen por h de la órbita de (h-1(y)) por f. Como f=h-1gh ⇒ fn=h-1gnh⇒la órbita de x por f es la imagen por h-1de la órbita de h(x) por g.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
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f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Si a es un punto k-periódico de f, entonces h(a) es un punto k-periódico de g. Si además h´ no se anula en la órbita de a ⇒ (gk)´(h(a))= (fk)´(a). En particular, a y h(a) tienen el mismo carácter.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
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f
D E
h
h-1 y
h-1(y)
f h-1(y)
h f h-1(y)
g=h f h-1
Se dice que f y g sin topológicamente conjugadas e inducen dinámicas equivalentes.
Aplicaciones topológicamente conjugadas
SISTEMAS DINÁMICOSSistema dinámico = RecurrenciaEjemplos de sistemas dinámicosAlgunos cálculosAlgunos cálculosAlgunos cálculosAlgunos cálculosAlgunos cálculosAnálisis gráficoAnálisis gráficoAnálisis gráficoDinámica de las aplicaciones linealesDinámica de las aplicaciones linealesAnálisis gráfico para f(x)=ax (0