işığın elektromanyetik tanımlanması: madde ortamında elektromanyetik...

Işığın Elektromanyetik Tanımlanması:

Madde Ortamında Elektromanyetik Dalga

© 2008 HSarı 2

İçerik

• Madde içinde Maxwell denklemleri

• Dielektrik ortamda Maxwell denklemleri

• Metal ortamda Maxwell denklemleri

• Maddenin optik sabitleri arasındaki ilişki

© 2008 HSarı 3

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga

Boşluk için yukarıdaki denklemi çözüp ve hem E hem de H alanının dalga denklemini sağladığını göstermiştik

Şimdi bu denklemleri maddesel bir ortam içinde çözmeye çalışalım

Birbirinden farklı iki tür ortamdan bahsedebiliriz. Bunlar;

Durum I: J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0

Durum II: J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0

Maxwell denklemleri

(1)

(2)

(3)

(4)

0∇ =� �

.H

ot

µ∂

∇× = −∂

�

� � HE

ot

ε∂

∇× = +∂

�

� � �EH J

o

ρ

ε∇ =� �

.E

© 2008 HSarı 4

Farklı Optik Ortamlar

Dielektrik Ortam: J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0

Metalik Ortam: J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0

e e

e e

e e

Metalρ=0, J≠0

Dielektrikρ=0, J=0

Net yük yoğunluğu sıfırdır ve serbest dolaşan yük bulunmaz

Net yük yoğunluğu sıfırdır Ancak serbest dolaşan yük(elektron) bulunur

© 2008 HSarı 5

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga

• Maddenin, dış elektrik alan etkisine tepkisi nasıldır?

• Bu elektrik alan elektromanyetik dalgayı oluşturan elektrik alan (optik alan) bileşeniolduğunda maddenin tepkisi nasıl olur?

• Bu tepkinin frekansa bağlılığı nasıldır?

• Malzemenin elektrik alana tepkisini karakterize eden nicelikler ile maddenin optik sabitleri arasındaki ilişki nasıldır?

© 2008 HSarı 6

Dielektrik Ortam-1Durum I: J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam)

ρserbest=0

Dielektrik ortam olduğu için E alanını ortamın karakteristiğini yansıtacak şekilde yeniden ifade etmemiz gerekmektedir

Çünkü dış elektrik alan E, ortamdan dolayı değişikliğe uğrayacaktır

Dielektrik malzemeleri (SiO2 gibi) mükemmel yalıtkan olarak düşüneceğiz

ot

µ∂

∇× = −∂

�

� � HE

ot

ε∂

∇× =∂

�

� � EH

0∇ =� �

.H

0∇ =� �

.E

© 2008 HSarı 7

Kutuplanma Vektörü-1

EA

+ -

VA

+ -

E=E, P=0

EA

+ -

VA

+ -

E≠E, P≠0

e

e

e

e

e

e

EnetEind

EP

Dış elektrik alanın malzeme üzerindeki toplam etkisi malzemenin Kutuplanma (Polarizasyon) Vektörüolarak adlandırılır.

Malzemenin elektriksel karakteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için Kutuplanma vektörükullanırız

Uygulanan dış alan madde içinde:• İndüksiyon yolu ile elektrik dipoller oluşturur (önceden olmayan dipoller-atomun yük yoğ. değişmesi gibi)• Var olan dipollerin (dış alan olmadan da var olan dipollerin, örneğin su molekülünde olduğu gibi) alan ile aynı doğrultuya getirilmesini sağlar

C+ C+O-

Po=0

H+ H+

O-

Po

© 2008 HSarı 8

Kutuplanma Vektörü

Malzeme içindeki net elektrik alanEnet=E-Eind

+e- e

E

P

Enet

-q +qp

d

Aralarındaki mesafe d olan ikizıt yükün dipol momenti (p)

-Ze

-Ze

E

P

+Ze+Ze

E=0

Polarizasyona katkı, atom içinde var olan atom ve moleküllerden gelmektedir

Malzemeyi oluşturan bir atomun polarizasyona katkısını düşünelim

µatom=Bir atomun dipol momentidir

µµµµatom=qd

© 2008 HSarı 9

Kutuplanma Vektörü

( )= ρ µA atomN

AP

Malzemenin elektriksel karakteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için kutuplanma vektörü(Polarizasyon Vektörü) kullanırız. Buna göre Polarizasyon vektörü

P= Polarizasyon vektörü

Büyüklüğü |P| dipol moment/hacimP=

Yönü ise dipol momentin yönündedir

Dipol momenti ise p=qd şeklindedir. Burada q yük, d ise yükler arasındaki uzaklıktır.

Yoğunluğu ρ, atomik kütlesi A olan bir maddenin hacim başına atom sayısı

Kutuplanma (Polarizasyon) vektörü

µatom=Bir atomun dipol momentidirV=HacimP=∑µµµµ/V

© 2008 HSarı 10

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-3

P(E)=P0+εoχχχχ(1)E+(χχχχ(2).E).E+...

Burada χ elektriksel alınganlıktır (electric susceptibility) ve madenin optik özelliklerini incelemede oldukça önemli bir parametredir

χχχχ(1)= 1. dereceden elektriksel alınganlıkχχχχ(2)= 2. dereceden elektriksel alınganlık (doğrusal olmayan optik parametresi)

Birçok malzeme için Po sıfırdır (Dış elektrik alan olmadan var olan polarizasyon, Örneğin H2O)

Sadece birinci dereceden katkıyı göz önüne alırsak

P(E)=εoχ(1)E

Uygulanan dış elektrik alan ile P arasında nasıl bir ilişki vardır?

Burada χ(1) skaler bir niceliktir. Fakat en genel olarak χ matris formundadır. Çünkü malzemeler izotropik ve homojen olmayabilir. İzotropik ortamda (ve kübik kristallerde) ortamdaki yön önemli değildir. E, D ve P vektörleri paralel ve ε, n ve χ skaler niceliklerdir. Böyle bir ortamda elektromanyetik dalganın hızı ilerleme yönünden bağımsız olacaktır.

C+ C+O-

P=0H+ H+

O-

P

© 2008 HSarı 11

Optik Ortamlar

homojen ortam

n=sabit

inhomojen ortam

n(r)

(a) Homojenlik (Homogenous)

(b) İzotropiklik (İsotropic)

(c) Dağıtkanlık (Dispersive)

(d) Çizgisellik (NonLinearity)

y

x

izotropik ortam

nx=ny=nz=sbt

anizotropik ortam

nx=sbt≠ny=sbt ≠nz

dağıngan olmayan ortam

v(ω)=sabit

dağıngan ortam

v(ω)

çizgisel ortam

P α E

çizgisel olmayan ortam

P α E2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

P(E)=P0+εoχχχχ(1)E+χχχχ(2).E2+...

© 2008 HSarı 12

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-4İzotropik olmayan malzeme için P vektörünü tanımlarsak:

Px=εoχxExPy=εoχyEyPz=εoχzEz

Burada elektriksel alınganlıklar farklı yönler için en genel olarak farklı olabilir χx≠χy≠χz. Örneğin izotropik olmayan bir malzemeye y doğrultusunda dış bir elektrik alan uygulandığında, malzemeyi oluşturan atom veya molekülleri Ey doğrultusunda hizaya getirmek Ex doğrultusunda hizaya getirmekten eğer χx>χy ise daha

kolaydır

Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D (malzeme içindeki alan)uygulanan dış elektrik alan EA, polarizasyondan dolayı madde içinde oluşan

elektrik alan Eind, net elektrik alan Enet arasındaki ilişki

Enet=E-Eindşeklinde olacaktır. Yani madde içindeki elektrik alan her zaman uygulanan dış alandan daha küçüktür.

E’yi P cinsinden yazarsak yer değiştirme vektörü D’yi

D=ε0(E+P)

şeklinde tanımlarız. P’yi uygulanan alan cinsinden (1. dereceden katkı alınarak) ifade edersek

P(E)=ε0χχχχ(1)E

E cinsinden D yer değiştirme vektörü

D=εo(E+ χχχχ(1)E) => D=(εo+εoχχχχ)E => D=εE

y

z

x

© 2008 HSarı 13

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-5ε≡εo(1+χ) kısaltması yapılırsa ε niceliğine maddenin elektriksel geçirgenliği

D=εE

Burada D kutuplanabilen madde içersindeki toplam (net) elektrik akıdırDolayısı ile yük yoğunluğunu ve Maxwell denklemini D cinsinden şu şekilde yazabiliriz

Elektrik ÖzelliklerE => D (D=εoE+P =>D=εE)Gauss yasasında εo => εD=Elektriksel yerdeğiştirme

22

2t

∂∇ = µε

∂

�

� EE

22

0 2t

∂∇ = µ ε

∂

�

� EE

İki sabit µ ve ε, malzemenin özelliğini belirler. Optikte (yani EM dalgalarda) µ≈µ0 olarak alınabileceği için biz sadece ε’nin özellikleri ile ilgileniriz. Dielektrik ortamda dalga denklemini

µ≈µ0 olduğu için yazabiliriz

cvv mortam <εµ

≅µε

=≡0

11Madde içinde Elektromanyetik dalganın(ışığın) hızı

ε=maddenin elektriksel geçirgenliği

Manyetik ÖzelliklerH => B (B=µoH+µoM => B=µH)µo => µB=Manyetik akı

© 2008 HSarı 14

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-6

0 0

0

0

1( )

1( )m

cn

v

µ ε ε

ε

µ ε

≡ = =

Kırılma indisi (n) tanımı

Kırılma indisi ışığın boşluktaki hızının (c), madde içindeki hızına (vm) oranıdır

Dielektrik sabiti (κ) tanımı ise:

Madde ortamındaki (Dielektrik) EM dalganın(ışığın) hızını boş uzay çözümleri ile karşılaştıralım

Yukarıda bulunan sonuçlar dielektrik ortam için geçerlidir

0

1

µε=

o

cBoş uzaydaki EM’nın hızıεµ

=0

1mv

Madde ortamında EM’nın hızı

2no

=ε

ε≡κ (κ-ksi okunur)

Gerçekte ε ve κ frekasına bağlıdır ama şimdilik incelemelerimize bunu dahil etmeyeceğiz

© 2008 HSarı 15

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-6Madde ortamındaki (Dielektrik) EM dalganın(ışığın) hızını boş uzay çözümleri ile karşılaştıralım

-1.0003Hava

-1.5-1.7Cam

4.2InSb

3.8InAs

3.5InP

3.2AlAs

1.433.6GaAs

0.674.0Ge

1.123.5Si

-1.333Su

-1.0000Boşluk

Bant AralığıKırılma İndisiMadde

© 2008 HSarı 16

z

E(z)

z=0Boş uzay dielektrik

t

E(t)


Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri

E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)

km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)

ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)

vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)

v

c

km

ko ωω

© 2008 HSarı 17

Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-1

Durum II: İletken Ortamİletken ortamda ρserbest=0 ve J≠0 (iletkenlerde serbest taşıyıcılar oldukça fazladır >10

26 m-3)

Maxwell Denklemleri:

Yukarıdaki Maxwell denklemlerini çözebilmek için J ile uygulanan elektrik alan E arasında bir ilişki türetmemiz gerekmektedir

Eğer işlemlerimizi doğrusal malzemelere, ki bu malzemeler Ohm yasasının geçerli olduğu malzemelerdir, sınırlandırırsak J ile E arasındaki bağıntıyı

J=σE (Doğrusal iletken için Ohm yasası) şeklinde yazarız. Burada σ=iletkenliktir ( ρ=1/σ)

0∇ =� �

.H

ot

µ∂

∇× = −∂

�

� � HE

ot

ε∂

∇× = +∂

�

� � �EH J

0∇ =� �

.D

ot

µ∂

∇× = −∂

�

� � HE

ot

∂∇× = +

∂

�

� � �EH Eε σ

© 2008 HSarı 18


( . )( , ) mi k z toz t e−ω +φ=

� �

E E ( . )( , ) mi k z toz t e−ω +φ=

� �

H Ho

o

B

E=mv

Bu iki denklemi çözmek yerine, dielektrik ortam için bulduğumuz çözümlere yeni terimler ekleyerek iletkenortam için optik sabitleri türetebiliriz

Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri

E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)

km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)

vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)

Dalga denklemi için üstel gösterim kullanırsak

i∇× = + ω� � �

E H i∇× = + ω� � �

E H

( )i∇× = σ + ε − ω� � � �

H E E ( )i∇× = ε − ω� � �

H E

( )( )

ii

σ∇× = − ω + ε

− ω

� � �

H E

İletken Dielektrik

ot

µ∂

∇× = −∂

�

� � HEo

t

∂∇× = +

∂

�

� � �EH Eε σ

© 2008 HSarı 19

İletken ortamda elektrik alan için yazılan

( )i nz i Kz tc c

oE(z,t) E e

+ − +

=� �

ω ωω φ

olduğunu gösterin.

Ödev 3.1:

22

2o ot t

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

� E EE µ ε µ σ

diferansiyel dalga denkleminin çözümünün

© 2008 HSarı 20


∇×� �

H ε̂

ˆi

σε ≡ + ε

− ωˆ i

σε ≡ ε +

ω

ˆo-iµ ε∇ × =

� � �

H E

22

2ˆ

0µ εt

∂∇ =

∂

�

� EE

2 20

ˆmk− = −� �

E Eµ εω

1

ˆm ov

k= =

ω

µ ε

Yukarıdaki iki ortam için denklemlerini karşılaştırırsak εεεε yerine gibi dielektrik sabit tanımı yapabiliriz

=>

İletken durumunda yeni dalga denklemi

Elektromanyetik dalganın iletken içinde ilerleme hızı

( )( )

ii

σ∇× = − ω + ε − ω

� � �

H E( )i∇× = ε − ω� � �

H E

Dielektrik İletken

ε iletken durumunda karmaşık sayı!

© 2008 HSarı 21


κε

ε===

omv

cn

ˆˆˆ

m o

c εn

v ε= = = κ

m(k .z )i toE(z,t)= E e

−ω +φ� �

nc

kn

cv

kmm

m

ωω=⇒==

Kompleks ε’nin anlamı nedir? Dielektrik (σ=0) durumunda kırma indisi

Dielektrik sabiti gerçek iletken durumunda kırma indisi

Dolayısı ile en genel durumda n’nin karmaşık bir nicelik olduğunu söyleyebiliriz. Peki gerçekte karmaşık n ne demektir?

Dielektrik durumunda

ˆmk n

c

ω=

n̂ n iK= +

=mk

Bunu iletken durumu için genelleştirirsek

Burada

Madde içindeki dalga sayısı

K=Maddenin sönüm katsayısı (extinction coefficient of medium) (kırılma indisinin sanal kısmı)

Dielektrik sabiti kompleks

ˆ ( )mk n iKc

= +ω

© 2008 HSarı 22


ˆ ( )mk n iKc

ω= +

nc

kmω

=)Re(

Kc

kmω

=)Im(

( )i nz i kz tc c

oE(z,t)= E e

ω ω + −ω +φ

� �

i nz tKzcc

oE(z,t)= E e e

ω ω −ω +φ−

� �

sin( )Kz

cE(z,t) e nz tc

ω− ω

= − ω + φ

� �

oE

z

E(z,t)


z

E(z,t)

z=0Boş uzay iletken

Genlik z değişkenine yani yayılma doğrultusuna bağlı. Κ > 0 için genlikte azalma söz konusudur.Ortamın optik özelliği iki parametre ile verilir bunlar n ve Κ dır.

Genliğin e-1değerine düştüğü z değerine (δ) “sızma derinliği (penetration dept) ” denir

e-1=1/2.7≈1/3

Bakır (morötesi λo=100 nm) δ=0.6 nm(kızılaltı λo=10 000 nm) δ=6 nm

δ

Eo/e

© 2008 HSarı 23

Maddenin Optik Sabitleri

ˆ ( )mk n iKc

ω= +

zI I e−α= o

Parlaklık I=cεo

( )i nz i kz tc c

oE(z,t)= E e

ω ω + −ω +φ

� �

i nz tKzcc

oE(z,t)= E e e

ω ω −ω +φ−

� �

Maddenin soğurma katsayısı (boyutu=1/uzunluk)

( )i nz tc

oE(z,t)= E eω

−ω +φ� �n

ckm

ω=

Burada Kc

ω=α

2

E alanını mutlak değerinin zaman ortalamasını alırsak

© 2008 HSarı 24

Özet

Maddenin optik sabitleri

Gerçek kısmı => n=kırılma indisi,Sanal kısmı => Κ=yok etme (extinction) katsayısı

Madde ortamında elektromanyetik dalganın hızı vm=c/n

0 0

0

0

1( )

1( )m

cn

v

µ ε ε

ε

µ ε

≡ = = Kırılma indisi

0

1

µε=

o

cBoş uzaydaki EM’nın hızıεµ

=0

1mv

Madde ortamında EM’nın hızı

Kırılma indisi en genel durumda karmaşık sayı ile ifade edilen bir niceliktir

© 2008 HSarı 25

Özet

εo: Boş uzayın elektrik geçirgenliğiµo: Boş uzayın manyetik geçirgenliği

χ Elektrik alınganlıkP Kutuplanma (birim hacim başına dipol momenti)ε Maddenin elektrik geçirgenliğiεr=ε/εo Nispi geçirgenlikn=(εr)

1/2 Kırılma indisi

κ=ε/εo Maddenin dielektrik sabitiK=σ/εοω Yok etme (Extinction) katsayısı

Maddenin optik sabitleri

n=Kırılma indisiΚ= Yoketme indisi (Extinction katsayısı )

iKnn̂ +=

işığın elektromanyetik tanımlanması: madde ortamında elektromanyetik...

Documents