Inductivităţi proprii şi mutuale. Energia magnetică

1. Inductivităţi proprii

Inductivitatea proprie a unui circuit este definită prin relaţia

IL

φ= ,

unde

dsB

S

⋅=φ ∫

este fluxul prin suprafaţa S delimitată de circuit, iar B reprezintă inducţia magnetică în punctele suprafeţei produsă de curentul I care străbate circuitul. Pentru o bobină cu N spire relaţia devine

INL

φ= ,

unde ϕ reprezintă fluxul magnetic printr-o spiră. Relaţia este valabilă dacă suprafaţa fiecărei spire este străbătută de acelaşi flux magnetic.

Aplicaţii

1. Se consideră o bobină cilindrică de lungime l foarte mare, având secţiunea transversală S, formată din N spire înfăşurate una lângă cealaltă într-un singur strat (Fig.1). Să se calculeze inductivitatea bobinei.

Fig.1

Rezolvare. În cazul bobine lungi putem accepta următoarele ipoteze simplificatoare: 1. Câmpul magnetic este practic concentrat în interiorul bobinei, în exterior fiind neglijabil. 2. Ȋn interiorul bobinei este uniform.

Ȋn aceste condiţii inducţia magnetică are expresia

l

INHB 00 µ=µ= .

Fluxul magnetic prin oricare spiră are aceiaşi valoare Φ=BS. Cu ajutorul relaţiei de definiţie a inductivităţii, obţinem

l

SN

I

SBN

INL

2

0µ==Φ

=

l

SNL

2

0µ=

Dacă umplem interiorul bobinei cu un mediu feromagnetic de permeabilitate µ (bobina cu miez de fier), inductivitatea bobinei creşte de µr ori:

l

SNL

2

r0µµ=

2. Pe un miez feromagnetic inelar, de secţiune transversală dreptunghiulară, sunt uniform înfăşurate N spire într-un singur strat. Grosimea inelului este h, raza interioară a, raza exterioară b, iar permeabilitatea materialului µ. (Fig.8.5). Să se calculeze inductivitatea bobinei. Rezolvare. Spirele fiind uniform repartizate, toate liniile de câmp magnetic se închid prin inel şi au formă circulară. Aplicând teorema lui Ampere pe o linie de câmp de rază r, obţinem: I.Nr2.H =π de unde rezultă

r2

INB

πµ=

Fig.8.5 Fig.8.6

Toate liniile de câmp fiind conţinute în miezul feromagnetic, fluxul prin fiecare spiră are aceiaşi valoare, fiind egal cu fluxul prin secţiunea transversală a inelului. Prin urmare

∫ ∫∫π

µ=µ=⋅=ΦS SS

r

sd

2

INsdHdsB

Pentru calculul integralei, alegem elementul de suprafaţă ds de formă unei o fâşii dreptunghiulare de dimensiune hxdr (Fig.8.6). Atunci

a

bln

2

hIN

r

rd

2

hIN b

aπ

µ=

π

µ=Φ ∫

În final,

a

bln

2

hN

INL

2

πµ=

Φ= .

3. Să se calculeze inductivitatea bobinei toroidale cu întrefier.

Rezolvare Aplicăm teorema lui Ampere pe o linie de câmp de rază r:

NI.Hl.Hdl.Hdl.Hdl.H FeFe

aerfier

=δ+=+= δΓ

∫∫∫

Pe de altă parte, neglijând efectul de bombare al liniilor de câmp în întrefier, δBBFe =

Obţinem astfel un sistem de două ecuaţii,

δ

δ

µ=µ

=δ+δ−π

HH

,NI.H)r2.(H

0Fe

Fe

de unde rezultă

)1(r2

NIH

rFe

−µδ+π=

Fluxul prin miez, care este şi fluxul fascicular, se obţine prin integrare pe suprafaţa transversală a miezului. Alegând elementul de suprafaţă ca în aplicaţia 8-2, rezultă

π−µδ+

π−µδ+

π

µ=

=π−µδ+π

µ=µ==Φ ∫∫∫

2/)1(a

2/)1(bln

2

NIh

2/)1(r

dr

2

NIhds.Hds.B

r

r

b

a rSS

În final, din (8.5) rezultă

π−µδ+

π−µδ+

π

µ=

2/)1(a

2/)1(bln

2

hNL

r

r2

2. Inductivităţi mutuale Inductivitatea mutuală dintre două circuite cuplate magnetic este definită prin relaţia

1

2121

IL

φ= ,

unde

2

S

121 dsB

2

⋅=φ ∫

reprezintă fluxul magnetic prin suprafaţa delimitată de circuitul 2, iar B1 este inducţia magnetică în punctele acestei suprafeţe produsă de curentul I1 care circulă prin primul circuit. Dacă circuitul 2 are N2 spire, fiecare străbătută de acelaşi flux ϕ21, atunci

1

21221

INL

φ= .

Ȋn mod similar se defineşte inductivitatea mutuală L12. Ȋntre cele două inductivităţi mutuale există relaţia de reciprocitate

2112 LL = .

Valoarea lor comună se notează cu M.

Aplicaţii

1. În planul unui conductor rectiliniu foarte lung este plasat un cadru dreptunghiular ca în Fig.8.11. Să se calculeaze inductivitatea mutuală dintre conductor şi cadru.

Fig.8.11

Rezolvare. Presupunem conductorul rectiliniu parcurs de curentul I1. Câmpul H1 într-un punct situat la distanţa r de conductor are expresia cunoscută

r

IH

π21

1 =

Fluxul magnetic prin suprafaţa cadrului este

∫∫ ∫ ∫π

µ=µ==⋅=Φ

22 2 2 S

2

S S

0

2

S

10212121r

sd

2

IdsHsdBsdB

Alegând ds2 de formă dreptunghiulară, cu baza dr şi înălţimea h, rezultă

a

bln

2

hI

r

rd

2

hI 0b

a

0

21π

µ=

π

µ=Φ ∫ ,

de unde

a

bln

2

h

IL

0

1

21

21π

µ=

Φ= .

2. Pe un miez inelar de secţiune dreptunghiulară, cu razele a, b>a şi înălţimea h, având permeabilitatea µ, sunt uniform bobinate două înfăşurări având N1, respectiv N2 spire. Să se calculeze inductivităţile mutuale L21 şi L12 şi să se verifice că sunt egale.

Rezolvare. Neglijând câmpul de dispersie, fluxul prin orice secţiune transversală a miezului are aceiaşi valoare, fiind totodată egal cu fluxul prin suprafaţa delimitată de oricare din spirele celor două bobine.

Presupunem bobina cu N1 spire parcursă de curentul I1. Aplicând teorema lui Ampere pe o linie de câmp magnetic obţinem

r

INB

π

µ=

211

1 .

Fluxul prin secţiunea transversală a miezului este atunci

a

bhIN

r

rdhINsdHdsB

b

aS S

ln22

1111111

πµ=

π

µ=µ=⋅=Φ ∫∫ ∫ .

Pentru inductivitatea mutuală L21 obţinem

a

bhNN

IN

INL ln

221

1

12

1

21221

πµ=

Φ=

Φ= .

Ȋn mod similar, dacă doar bobina 2 este parcursă de curentul I2

r

INB

π

µ=

222

2 ,

a

bhIN

r

rdhINsdHdsB

b

aS S

ln22

2222222

πµ=

π

µ=µ=⋅=Φ ∫∫ ∫ ,

de unde

a

bhNN

IN

INL ln

221

2

21

2

12112

πµ=

Φ=

Φ= .

Se observă că L12=L21.

Probleme propuse

1. Pe un miez toroidal, de secţiune dreptunghiulară, este plasată o bobină cu N spire. În axa de simetrie a torului se află un conductor rectiliniu foarte lung. Presupunând cunoscute dimensiunile şi permeabilitatea torului, să se calculeze inductivitatea mutuală dintre conductor şi bobina toroidală. 2. O linie bifilară Bf se găseşte în vecinătatea unui conductor rectiliniu F, ca în figura alăturată (vedere într-un plan transversal). Să se calculeze inductivitatea mutuală dintre conductor şi linia bifilară, pe o porţiune de lungime l. În ce poziţie trebuie plasată linia bifilară astfel încât inductivitatea mutuală să fie zero?

3. Două bobine cilindrice de aceiaşi lungime l, de raze R1 respectiv R2 > R1, sunt plasate coaxial una în cealaltă. Bobina exterioară are N2 spire, iar cea interioară N1. Să se calculeze L21 şi L12 şi să se verifice că sunt egale.

Energia câmpului magnetic Energia înmagazinată în câmpul magnetic dintr-un volum v are expresia generală

dvHB2

1W

v

m ∫ ⋅= .

Ȋn particular, energia înmagazinată în câmpul magnetic al unui circuit parcurs de curentul I şi având inductivitatea proprie L, are expresia

2m LI

2

1W = .

Ţinând cont că

IL

φ= ,

obţinem şi expresiile echivalente

L2

1I

2

1W

2

m

φ=φ= .

Ȋn cazul a două bobine cuplate magnetic, energia înmagazinată în câmpul acestora este

21222

211m IMIIL

2

1IL

2

1W ++= .

Aplicaţii

Un cablu coaxial are următoarele dimensiuni: raza conductorului interior a, razele conductorului exterior b>a, c>b, lungimea l. Să se calculeze inductivitatea proprie a acestuia.

Rezolvare. Presupunem conductorul central parcurs de curentul I într-un sens, şi conductorul exterior parcurs de acelaşi curent dar în sens opus. Aplicând teorema lui Ampere obţinem următoarele expresii pentru H:

1. 0<r<a 2a2/IrH π= ;

2. a<r<b r2/IH π= ;

3. b<r<c ))bc(r2/()rc(IH2222 −π−= ;

4. r>c H=0.

Pentru calculul inductivităţii ne vom folosi de relaţia

2m LI

2

1W = .

Energia magnetică o vom calcula cu relaţia

dvH2

dvH.B2

1W

2

vv

m ∫∫µ

== ,

integrala efectuându-se pe întreg volumul ocupat de câmp. Întrucât H este funcţie de distanţa r de la punctul curent la axul cablului, vom alege drept element de volum un tub de rază r,grosime dr şi lungime l: dv=2πrldr. Descompunem integrala în patru componente, corespunzător celor patru subdomenii.

1. 0<r<a: ∫ ∫π

µ=π⋅π

⋅µ

=µ

=

1

1

v

a

0

2

02

42

2020

m16

lIdrlr2r

a4

I

2dvH

2W .

2. a<r<b: ∫ ∫π

µ=π

π

µ=

µ=

2

2

v

b

a

2

022

2020

ma

bln

4

lI

r

drlr2

4

I

2dvH

2W .

3. b<r<c ∫ ∫ π⋅

−

−−

µ=

µ=

3

3

v

c

b

2

22

22

2

020

m drlr2bc

br1

r

1

2dvH

2W .

4. r>c 0W4m =

Ţinând cont că grosimea conductorului exterior (tresa metalică) este mică în comparaţie cu grosimea stratului de dielectric şi a conductorului central, pentru simplificarea calculului se poate neglija energia înmagazinată în acest volum: 0~W

3m = . Energia înmagazinată în câmpul magnetic al

cablului coaxial este atunci

+

πµ== ∑

= a

bln

4

1

4

lIWW

2

0

4

1kmm k

, de unde

+

π

µ==

a

bln

2

1

8

1l

I

W2L

0

2

m.

Pe unitatea de lungime a cablului inductivitatea este atunci

a

bln

28L

00'

π

µ+

π

µ= .

Termenul µ0/8π, care corespunde fluxului ce se închide prin conductorul central, se numeşte inductivitate interioară L’int. Este interesant de observat că această inductivitate nu depinde de raza conductorului. Termenul (µ0/2π)ln(b/a), care corespunde fluxului ce se închide prin dielectricul dintre cele două conductoare ale cablului, se numeşte inductivitate exterioară L’ext. Inductivitatea interioară a conductorului exterior s-a neglijat. Pentru un cablu coaxial industrial (RG-58U, fabricaţie USA), cu a=16.10

-3 inch, b=58.10-3

inch, rezultă L’int=0,05 µH/m, L’ext =0,258 µH/m. În calculele mai puţin pretenţioase se poate deci considera L’≅ L’ext.

Probleme propuse

1. Un conductor rectiliniu de rază a, foarte lung, este parcurs de curentul I. Ce energie este înmagazinată în câmpul magnetic din volumul delimitat de două plane paralele, perpendiculare pe conductor, situate la distanţa l unul de celălalt? Comentaţi rezultatul. 2. Două bobine cilindrice lungi, de raze R1, R2>R1, având inductivităţile L1, L2, parcurse de curenţii constanţi I1, respectiv I2, sunt situate una faţă de celălalt la o distanţă suficient de mare pentru a putea neglija cuplajul magnetic dintre ele. Exprimaţi energia magnetică Wm a sistemului de bobine. Se introduce complet bobina mică în bobina mare, coaxial, în două variante: 10 bobinele sunt parcurse de curenţi în acelaşi sens; 20 bobinele sunt parcurse de curenţi în sensuri contrare. Exprimaţi energiile magnetice Wm1 şi Wm2 ale celor două sisteme şi comparaţiile cu energia Wm corespunzătoare stării iniţiale. Care din cele două configuraţii este stabilă şi care nu? Ce se va întânpla cu bobina mică în configuraţia instabilă ? 3. O bobină cilindrică lungă are n1 spire pe unitatea de lungime, bobinate strâns una lângă alta, într-un singur strat, şi raza R1. În această bobină este introdusă, pe o distanţă x, o altă bobină cilindrică lungă, având n2 spire pe unitatea de lungime şi raza R2<R1. Presupunând că câmpul magnetic produs de o bobină lungă este localizat numai în interiorul bobinei şi că este uniform, să se determine: a) inductivitatea mutuală dintre cele două bobine; b) energia magnetică Wm a sistemului, dacă bobinele sunt parcurse de curenţii constanţi I1, respectiv I2; reprezentaţi grafic dependenţa Wm(x).