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Inferências Geográfica:Inferência BayesianaProcesso Analítico HierárquicoClassificação contínua
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Análise Multi-Critério
Classificação continua (Lógica Fuzzy)
Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
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Classificação contínua
Análise Multi-Critério
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Classificação contínua
n Lógica convencional Paradoxo insolúvel
119900
117700
115500
114400
221100
Muito Muito baixabaixa
abaixo abaixo médiamédia
Acima Acima médiamédia
Muito Muito altaalta
AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta
baixabaixa
Eu sempre minto.
n Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições
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Classificação contínua
n A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,1] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência “fuzzy”
n Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua.
n Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 10%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.
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Lógica Fuzzyn Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (1960s), como um
meio de modelar incertezas da linguagem natural
n Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.
0
11
Falso
Verdade
Lógica Boleanaz
FF VV
F(z)
Lógica Fuzzyzz
VVFF
00
11
Falso
Verdade
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n Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como:Z : S = (z, f(z))
onde:
ü Z é referido como o “universo de discurso” para o subconjunto Fuzzy S
ü S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)].
ü z ∈ Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado).
ü f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a 1 (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade:
n O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade,n O valor Um (1) é usado para representar a condição de Verdade,n Valores intermediários são utilizados para representar o grau de
verdade.
“Conjunto Fuzzy”: Definição
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Conjuntos Fuzzy: exemplo
ü Exemplo: Altura de Pessoas ü S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta:ü " a que grau uma pessoa “z” é alta?ü Z : S = (z, f(z)) especialistas
00
11
BAIXO
ALTO
z
f(z)
1.5 2.1
0.50.5
nn Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38
≥<<−
≤=
1.2,11.25.16.0/)5.1(
5.1,0)(
zsezsez
zsezf
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Conjuntos Fuzzy: exemplo
n Outro exemplo - Declividade
f(z) = 0 se z ≤ α
f(z) = 1/[1+ α(z −β)2] se α < z < β
f(z) = 1 se z ≥ β
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 .025
40
Declividade
Mínimo (α) Máximo (β)
ff(z)(z) = = 0 se z ≤ 0.025
ff(z)(z) = = 1/[1+ 0.025(z −40)2] se α < z < 40
ff(z)(z) = = 1, se z ≥ 40
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n Na prática:Realizar mapeamento para espaço [0,1]¨ determinação de valores limites (mínimo e máximo)¨ estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide
Mapeamento para fuzzy
Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de
valoresvalores
f(z)f(z)
SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua
Análise Análise MultiMulti--CritérioCritério
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Operadores Fuzzy : E
Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.
µc = MIN (µa, µb, µc, ......)
µA, µB, µC, .. são os valores de pertinência nos mapas
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
0,000,400,60
0,000,550,70
0,300,600,50
µA µBµc = µA E µA
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Operadores Fuzzy : OU
Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização.
µc = Max (µa, µb, µc, ......)
µA, µB, µC, .. são os valores de pertinência nos mapas
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
1,000,400,65
0,200,550,75
0,400,650,75
µA µBµc = µA OU µA
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Operadores Fuzzy: Produto algébrico
µc = µi
onde µi é a função de pertinência para o i-ésimo mapa
O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de
valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.
∏=
n
i 1
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
0,000,160,39
0,000,300,52
0,120,390,37
µA µB µc
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Operadores Fuzzy: Soma algébrica
µc = 1- (1-µi)
Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição
do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada
uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50)
é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .
∏=
n
i 1
0,000,600,35
1,000,450,30
0,700,400,25
1,000,600,40
0,800,450,25
0,600,350,50
0,000,360,14
0,800,200,07
0,420,140,12
1,000,840,86
0,800,790,92
0,580,860,87
1 - µA
1 - µB1 - µA
µc(1 - µi)∏=
2
1i
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Exemplo Fuzzy em Legal
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Exemplo: Transformação Fuzzy
{//DeclaraçãoNumerico cromo ("Amostras");Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy");
//Instanciaçãocromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" );cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0,
Max=1);//Operação
cromofuzzy = (cromo < 0.20) ? 0 :(cromo > 1.855) ? 1 : 1/(1 + (0.424 * ((cromo - 1.855)^2)));
}
variável = expressao_booleana ? expressao1 : (bool ? Exp1 : exp2) ;
expressao2
expressao1
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Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
Análise Multi-Critério
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Suporte à Decisão - Conceitos Básicosè Decidir é escolher entre alternativas.
n Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.
n O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.
Onde è indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.
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Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
n Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:
¨ Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.
¨ Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação.
¨ Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.
¨ Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.
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A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
n Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?
n Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.
n Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.
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A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada
2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.
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AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIG
Fatores importantes: Fatores importantes: hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
11/61/8Sistema 3
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extremacom relação ao Sistema 3.
Passo 1-Importância relativa dos fatores entre sistemas.
Critérios objetivos
Sistema 1 è Sistema 1 = 1 Sistema 2 è Sistema 3 = 6Sistema 2è Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 è Sistema 2 = 1/6Sistema 3è Sistema 1 = 1/8
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
11/61/8Sistema 3
155,1671,375Total
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
Passo 2-Normalizar colunas
0,0670,0320,091Sistema 3
0,4000,1940,182Sistema 2
0,5330,7740,727Sistema 1
Hardware
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores
0,063(0,091+0,032+ 0,067)/3 =Sistema 3
0,259(0,182+0,194+0,400)/3 =Sistema 2
0,678(0,727+ 0,774+0,533)/3 =Sistema 1
Vetor de MédiaCálculo da médiaHardware
Passo 3- Média de cada linha normalizadaØ representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema
0,0960,2510,653Serviço de ven.
0,7370,1860,077Software0,0630,2590,678hardware
Sistema 3Sistema 2Sistema 1FatorMatriz de avaliação dos três fatores
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Matriz de Comparação de Fatores
11/65Serviço de ven.
7,201,29214Total
618Software1/51/81hardware
Serviço de ven.SoftwarehardwareFator
Passo 4-Importância relativa entre os fatores.
0,1390,1290,357Serviço vendas.
0,8330,7740,571Software
0,0280,0970,072hardwareFator Matriz normalizada
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Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-
Pesos dos fatores.
Fator Matriz normalizada
0,208(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =Serviço vendas.
0,726(0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =Software
0,066(0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =hardware
Vetor de MédiaCálculo da pesosFator
0,559(0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)=Sistema 3
0,204(0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)=Sistema 2
0,236(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)=Sistema 1
O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é osistema 3. Então o mais adequado para aquisição
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Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso oparâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência
Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo
11/61/8Sistema 3
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
0,063Sistema 30,259Sistema 20,678Sistema 1
Vetor de MédiaHardware
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Razão de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma ponderada
1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063
=
1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,218
0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191
2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063
3,2713,1163,032
=Vetor de consistência =
Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência
Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência
µ = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140
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Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR
Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatórioconforme tabela abaixo.
RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de
RC deve ser menor que 0,10 para que a decisão seja consistente
IC = (µ -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070
1,3271,418
1,1250,904
1,246
0,5830,002IRn
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Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.
Superfícies normalizadas
Critério de importância relativa
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Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.
Superfícies normalizadas
Vetor de pesos
Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chega-se : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,012
Como o valor de RC < 0,10 conclui-se que a decisão foi consistente
O mapa final de potencialidade de cromo é obtidoMapa_pot_Cromo =
0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia
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Passos do AHP
n Passo 1:¨ Comparar os critérios dois-a-dois
n Passo 2:¨ Determinar vetor de consistência dos criterios ¨ Estimar Razão de consistência.
n Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 10%
n Passo 3:¨ Produzir os pesos (soma = 1.0) ¨ Fazer uma inferência por média ponderada
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n Interface
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
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Abordagem Bayesiana
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Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori
Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.
¨ probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano
¨ a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)
n P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)
¨ Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje
¨ P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia hoje
1
2
1 pode ser tratado com a priori em relação a 2
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Abordagem Bayesiana - Exemplos
Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco è > 250 ppm
Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico
rocha A e B è favorávelrocha C e D è desfavorável
Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)
Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos
Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação
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Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.
2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.
Notação è N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos
com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02
probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02
R
A
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Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
Nova evidencia:Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180
dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.
P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02
Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:
R
A
RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ A
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Técnica Bayesiana
P{D / A}é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a
célula está dentro da área de anomalia ‘A’.
RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ A
P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}é a proporção da área total
onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.
P{A} = N{A} / N{R}
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Técnica Bayesiana RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05
P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}
N{R} (10000)N{A} (6400)N{A} (3600)
D (9800)N{D∩A} (1)N{D∩A} (3420)Não Depósito (D)
D (200)N{D∩A} (20)N{D∩A} (180)Depósito (D)
Não Anomalia (A)Anomalia (A)
Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .
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Técnica Bayesiana
P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)
Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.
Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?
P{A / D} = 180/200=0.9
Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}
Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia
P(priori) * (Fatorevidência)
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Técnica Bayesiana
P{A / D} = 180/200=0.9
P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05
0,9/0,36 = 2,5 è fator multiplicativo
P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36
A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.
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Técnica Bayesiana
Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.
P{A} = (10000-3600)/10000=0.64
P{A / D} = 20/200=0.1
= 0,1/0,64 = 0,15625 è
A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.
P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125
Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.
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Inferências Geográfica:Inferência BayesianaProcesso Analítico HierárquicoClassificação contínua
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Análise Multi-Critério
Classificação continua (Lógica Fuzzy)
Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
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Classificação contínua
Análise Multi-Critério
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Classificação contínua
n Lógica convencional Paradoxo insolúvel
119900
117700
115500
114400
221100
Muito Muito baixabaixa
abaixo abaixo médiamédia
Acima Acima médiamédia
Muito Muito altaalta
AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta
baixabaixa
Eu sempre minto.
n Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições
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Classificação contínua
n A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,1] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência “fuzzy”
n Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua.
n Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 10%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.
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Lógica Fuzzyn Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (1960s), como um
meio de modelar incertezas da linguagem natural
n Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.
0
11
Falso
Verdade
Lógica Boleanaz
FF VV
F(z)
Lógica Fuzzyzz
VVFF
00
11
Falso
Verdade
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n Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como:Z : S = (z, f(z))
onde:
ü Z é referido como o “universo de discurso” para o subconjunto Fuzzy S
ü S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)].
ü z ∈ Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado).
ü f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a 1 (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade:
n O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade,n O valor Um (1) é usado para representar a condição de Verdade,n Valores intermediários são utilizados para representar o grau de
verdade.
“Conjunto Fuzzy”: Definição
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Conjuntos Fuzzy: exemplo
ü Exemplo: Altura de Pessoas ü S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta:ü " a que grau uma pessoa “z” é alta?ü Z : S = (z, f(z)) especialistas
00
11
BAIXO
ALTO
z
f(z)
1.5 2.1
0.50.5
nn Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38
≥<<−
≤=
1.2,11.25.16.0/)5.1(
5.1,0)(
zsezsez
zsezf
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Conjuntos Fuzzy: exemplo
n Outro exemplo - Declividade
f(z) = 0 se z ≤ α
f(z) = 1/[1+ α(z −β)2] se α < z < β
f(z) = 1 se z ≥ β
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 .025
40
Declividade
Mínimo (α) Máximo (β)
ff(z)(z) = = 0 se z ≤ 0.025
ff(z)(z) = = 1/[1+ 0.025(z −40)2] se α < z < 40
ff(z)(z) = = 1, se z ≥ 40
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n Na prática:Realizar mapeamento para espaço [0,1]¨ determinação de valores limites (mínimo e máximo)¨ estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide
Mapeamento para fuzzy
Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de
valoresvalores
f(z)f(z)
SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua
Análise Análise MultiMulti--CritérioCritério
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Operadores Fuzzy : E
Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.
µc = MIN (µa, µb, µc, ......)
µA, µB, µC, .. são os valores de pertinência nos mapas
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
0,000,400,60
0,000,550,70
0,300,600,50
µA µBµc = µA E µA
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Operadores Fuzzy : OU
Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização.
µc = Max (µa, µb, µc, ......)
µA, µB, µC, .. são os valores de pertinência nos mapas
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
1,000,400,65
0,200,550,75
0,400,650,75
µA µBµc = µA OU µA
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Operadores Fuzzy: Produto algébrico
µc = µi
onde µi é a função de pertinência para o i-ésimo mapa
O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de
valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.
∏=
n
i 1
1,000,400,65
0,000,550,70
0,300,600,75
0,000,400,60
0,200,550,75
0,400,650,50
0,000,160,39
0,000,300,52
0,120,390,37
µA µB µc
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Operadores Fuzzy: Soma algébrica
µc = 1- (1-µi)
Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição
do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada
uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50)
é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .
∏=
n
i 1
0,000,600,35
1,000,450,30
0,700,400,25
1,000,600,40
0,800,450,25
0,600,350,50
0,000,360,14
0,800,200,07
0,420,140,12
1,000,840,86
0,800,790,92
0,580,860,87
1 - µA
1 - µB1 - µA
µc(1 - µi)∏=
2
1i
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Exemplo Fuzzy em Legal
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Exemplo: Transformação Fuzzy
{//DeclaraçãoNumerico cromo ("Amostras");Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy");
//Instanciaçãocromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" );cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0,
Max=1);//Operação
cromofuzzy = (cromo < 0.20) ? 0 :(cromo > 1.855) ? 1 : 1/(1 + (0.424 * ((cromo - 1.855)^2)));
}
variável = expressao_booleana ? expressao1 : (bool ? Exp1 : exp2) ;
expressao2
expressao1
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Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
Análise Multi-Critério
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Suporte à Decisão - Conceitos Básicosè Decidir é escolher entre alternativas.
n Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.
n O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.
Onde è indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.
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Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
n Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:
¨ Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.
¨ Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação.
¨ Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.
¨ Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.
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A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
n Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?
n Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.
n Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.
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A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada
2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.
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AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIG
Fatores importantes: Fatores importantes: hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
11/61/8Sistema 3
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extremacom relação ao Sistema 3.
Passo 1-Importância relativa dos fatores entre sistemas.
Critérios objetivos
Sistema 1 è Sistema 1 = 1 Sistema 2 è Sistema 3 = 6Sistema 2è Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 è Sistema 2 = 1/6Sistema 3è Sistema 1 = 1/8
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
11/61/8Sistema 3
155,1671,375Total
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
Passo 2-Normalizar colunas
0,0670,0320,091Sistema 3
0,4000,1940,182Sistema 2
0,5330,7740,727Sistema 1
Hardware
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Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores
0,063(0,091+0,032+ 0,067)/3 =Sistema 3
0,259(0,182+0,194+0,400)/3 =Sistema 2
0,678(0,727+ 0,774+0,533)/3 =Sistema 1
Vetor de MédiaCálculo da médiaHardware
Passo 3- Média de cada linha normalizadaØ representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema
0,0960,2510,653Serviço de ven.
0,7370,1860,077Software0,0630,2590,678hardware
Sistema 3Sistema 2Sistema 1FatorMatriz de avaliação dos três fatores
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Matriz de Comparação de Fatores
11/65Serviço de ven.
7,201,29214Total
618Software1/51/81hardware
Serviço de ven.SoftwarehardwareFator
Passo 4-Importância relativa entre os fatores.
0,1390,1290,357Serviço vendas.
0,8330,7740,571Software
0,0280,0970,072hardwareFator Matriz normalizada
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Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-
Pesos dos fatores.
Fator Matriz normalizada
0,208(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =Serviço vendas.
0,726(0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =Software
0,066(0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =hardware
Vetor de MédiaCálculo da pesosFator
0,559(0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)=Sistema 3
0,204(0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)=Sistema 2
0,236(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)=Sistema 1
O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é osistema 3. Então o mais adequado para aquisição
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Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso oparâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência
Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo
11/61/8Sistema 3
611/4Sistema 2
841Sistema 1
Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware
0,063Sistema 30,259Sistema 20,678Sistema 1
Vetor de MédiaHardware
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Razão de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma ponderada
1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063
=
1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,218
0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191
2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063
3,2713,1163,032
=Vetor de consistência =
Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência
Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência
µ = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140
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Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR
Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatórioconforme tabela abaixo.
RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de
RC deve ser menor que 0,10 para que a decisão seja consistente
IC = (µ -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070
1,3271,418
1,1250,904
1,246
0,5830,002IRn
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Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.
Superfícies normalizadas
Critério de importância relativa
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Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.
Superfícies normalizadas
Vetor de pesos
Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chega-se : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,012
Como o valor de RC < 0,10 conclui-se que a decisão foi consistente
O mapa final de potencialidade de cromo é obtidoMapa_pot_Cromo =
0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia
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Passos do AHP
n Passo 1:¨ Comparar os critérios dois-a-dois
n Passo 2:¨ Determinar vetor de consistência dos criterios ¨ Estimar Razão de consistência.
n Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 10%
n Passo 3:¨ Produzir os pesos (soma = 1.0) ¨ Fazer uma inferência por média ponderada
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n Interface
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
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Abordagem Bayesiana
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Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori
Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.
¨ probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano
¨ a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)
n P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)
¨ Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje
¨ P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia hoje
1
2
1 pode ser tratado com a priori em relação a 2
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Abordagem Bayesiana - Exemplos
Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco è > 250 ppm
Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico
rocha A e B è favorávelrocha C e D è desfavorável
Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)
Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos
Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação
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Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.
2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.
Notação è N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos
com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02
probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02
R
A
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Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação
Nova evidencia:Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180
dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.
P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02
Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:
R
A
RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ A
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Técnica Bayesiana
P{D / A}é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a
célula está dentro da área de anomalia ‘A’.
RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ A
P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}é a proporção da área total
onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.
P{A} = N{A} / N{R}
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Técnica Bayesiana RA
DR ∩ A
A ∩ D
A ∩ D
D ∩ AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05
P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}
N{R} (10000)N{A} (6400)N{A} (3600)
D (9800)N{D∩A} (1)N{D∩A} (3420)Não Depósito (D)
D (200)N{D∩A} (20)N{D∩A} (180)Depósito (D)
Não Anomalia (A)Anomalia (A)
Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .
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Técnica Bayesiana
P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)
Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.
Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?
P{A / D} = 180/200=0.9
Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}
Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia
P(priori) * (Fatorevidência)
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Técnica Bayesiana
P{A / D} = 180/200=0.9
P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05
0,9/0,36 = 2,5 è fator multiplicativo
P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36
A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.
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Técnica Bayesiana
Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.
P{A} = (10000-3600)/10000=0.64
P{A / D} = 20/200=0.1
= 0,1/0,64 = 0,15625 è
A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.
P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125
Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.
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