infinito gazeta

7/24/2019 Infinito Gazeta

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Uma Brevssima Histria dos Infinitos

InfinitosThiago Augusto S. Dourado*

[email protected]

Todas as coisas so de tal natureza que,

quanto mais abundante a dose de loucura

que encerram, tanto maior o bem queproporcionam aos mortais.

Erasmo de Rotterdam

Introduo

A histria aqui contada comea, no cronologicamente, em Halle, uma cidade provincianado leste alemo, onde foi desencadeada na segunda metade do sculo XIX uma revoluo

protagonizada por um matemtico da Universidade Municipal local. George Cantor(1845-1918) deu o primeiro tiro esta tal revoluo quando colocou a simples questo: O quogrande o infinito?

O que decorreu de ento acabou por abalar as fundaes da matemtica e de todacincia em geral.

vlido salientar que muitos antes de Cantor, ao menos desde os gregos, de igual oumaior prestgio que ele, confrontaram a questo do infinito. Mas foi este matemtico russo,advindo da sofisticada So Petersburgo, quem fez a travessia transcendental que ningummais conseguira e encontrou a resposta, mas por isso pagou um alto preo. Cantor viriaa morrer a 6 de janeiro de 1918, louco, internado em um manicmio da Universidade de

Halle, e suas nicas companhias eram os soldados desfigurados oriundos da primeira guerramundial. A questo : O que poderia ele, um dos maiores matemticos de todos os tempos,ter visto que o levou a loucura?

*Departamento de Matemtica, Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF.

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1. O Infinito Potencial e o Infinito em Ato

Todo o mundo moderno baseado em curvas, trajetrias e foras e no mago destas coisasest o infinito. Ao se olhar microscopicamente para uma trajetria suave e lisa ver-se- que na realidade ela no lisa, , em verdade, composta de um nmero infinito desegmentos de retas infinitamente pequenos e cada segmento um instante em que noh movimentos, so como quadros de um filme que apresentados em seqncia do a

impresso de movimento.Desta forma, toda a coisa se baseia ento no conceito de infinito, e ele funciona, e o

fato de ele funcionar era o que bastava para os pensadores da poca, entretanto Cantorveioe protagonizou o pensamento de que se tudo se baseia no infinito tem-se de entend-lo,saber que funciona no deveria ser o suficiente.

Dizer que o infinito funciona significa dizer que o manuseio das relaes matemticasque envolvem este conceito so praticveis sem que seja necessrio um entendimentocompleto do mesmo, tal como se deu com o conceito de nmero durante um longo perododa histria.

Para que se compreenda as idias de Cantor importante observar e clarificar queexistem dois tipos de infinitos a considerar: o infinito potenciale o infinito em ato.

O conceito de infinito potencialest diretamente ligado a idia de sucesso infinita, isto, em sua dinmica operacional nunca se encontra o fim, ou seja, o processo de operarnunca finalizado. Em suma, o infinito potencial usado para processos que podem, emprincpio, continuar por um tempo maior que qualquer outro tempo, ou para objetos quepodem, em princpio, crescer mais do que qualquer outro objeto.

Entre a comunidade filosfica e a comunidade matemtica, o conceito de infinitopotencial sempre foi de fcil aceitao e no apresentava controvrsias, o desconforto que

vieram a sofrer estas comunidades se deu quando se almejou considerar a concretizao do

infinito potencial como um todo completo, um infinito em ato, ou seja, uma quantidade quecoloca um fim completo noprocesso de atuaodo infinito potencial. Neste caso o infinitono mais visto como um processo, mas sim uma quantidade infinita esttica. Para seter uma idia da complexidade deste conceito, Aristteles(384 a.C.-322 a.C.) considerava oinfinito potencial e afirmava no fazer sentidopensar em sua concretizao como um todocompleto, ou seja, um infinito em ato. Perante estes fatos, tem-se a questo: ser possveluma entidade completa e existente de tamanho infinito?

2. A Definio de Infinito

George Cantor foi um matemtico de primeira grandeza, seus trabalhos se estendem adiversos ramos da matemtica, inclusive rainha Teoria dos Nmeros, entretanto a suagrande obra foi sua polmica e revolucionria teoria do infinito, pela qual ele foi veneradoe execrado.

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Como j colocado, o infinito em ato a concretizao do infinito potencial como umtodo completo, desta forma no se trata de um objeto em si, mas de vrios objetos cujatotalidade resulta numa quantidade chamada de infinito, ou seja, conjuntos cuja totalidadede seus elementos, a sua cardinalidade, como denominada, infinita. Por exemplo, ao sedizer que a cardinalidade do conjunto N dos nmeros naturais infinita no se est a sereferir a um nmero em especial, mas sim a totalidade destes nmeros. Escrever-se- Apara denotar a cardinalidade do conjunto A.

Dir-se- que os conjuntos A e B tm a mesma cardinalidade, A = B , se, e somentese, existe uma correspondncia um-a-um (bijetiva) entre os elementos de Ae os elementosde B . Neste caso, diz-se tambm que os conjuntos Ae B so do mesmo tamanho.

Em seus Elementos, Euclides ( 300 a.C.) coloca como fato fundamental a seguintenoo comum (axioma): o todo maior que suas partes. Richard Dedekind (1831-1916),entretanto, um grande amigo de Cantor e outro gigante da matemtica, fundador daTeoria Algbrica dos Nmeros, admitiu uma propriedade vislumbrada por Bernard Bolzano(1781-1848), que contrariava o axioma de Euclides, e em 1888, em um artigo intituladoWas sind und was sollen die Zahlen? (O que so e para que servem os Nmeros?), ele autilizou para apresentar uma definio de conjunto infinito (e conjunto finito): Um conjunto

A infinito se, e somente se, existe um subconjunto prprio1 B deA e uma correspondnciaum-a-um entreA eB ; e o conjuntoA ser finito se no for infinito.

Desta forma, enquanto o conjunto vazio, simbolizado por , finito, pois no possuinenhum subconjunto prprio, o conjunto N = {0, 1, 2, 3, . . .}, dos nmeros naturais poroutro lado, um conjunto infinito, pois existe uma correspondncia um-a-um, dada pelodobro, entre o conjunto dos nmeros naturais e o conjunto Pdos nmeros naturais pares:

Nmeros Naturais: 0 1 2 3 4 5

Nmeros Naturais Pares: 2 4 6 8 10 12

E assim, o conjunto Nde todos os nmeros naturais e o conjunto Pdos nmeros naturaispares tem a mesma quantidade de elementos, ou seja,existe a mesma quantidade de nmerosnaturais e nmeros naturais pares.

Neste exemplo tem-se um caso real que fere a intuio latente, se existe uma mesmaquantidade de nmeros naturais e nmeros naturais pares, aonde esto os nmerosnaturais mpares? O interessante que o conjunto N \ P dos nmeros naturais mpares,e o conjunto N tambm so do mesmo tamanho, pois como no caso acima, existe umacorrespondncia um-a-um, dada pelo dobro acrescido da unidade, entre os nmeros naturaise os nmeros naturais mpares. Assim, o conjunto dos nmeros naturais pares, o conjunto

de todos os nmeros naturais e o conjunto dos nmeros naturais mpares so dos mesmotamanho, possuem a mesma cardinalidade.Seguindo esta linha pode-se ver facilmente que se for retirado uma quantidade finita

qualquer de nmeros naturais do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto que resultacontinuar sendo infinito. A ttulo de exemplificao suponha que sejam retirados os

1 Por subconjunto prprio de Aentende-se qualquer subconjunto de Aque seja diferente de A.

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nmeros3 e 5 do conjunto dos nmeros naturais, ver-se- ento que o conjunto que resultacontinua a ser infinito, haja visto que se pode construir uma correspondncia um-a-um daseguinte forma:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 4 6 7 8 9 10

Esta propriedade pode ser formalizada de forma mais geral, como no seguinte teorema: Se

A um conjunto infinito ea1, . . . , an A, entoA\ {a1, . . . , an} um conjunto infinito.2

Cantor obteve ento, com o uso deste teorema, o seu primeiro avano na questo dotamanho do infinito: No existe nenhum conjunto que seja infinito e que tenha cardinalidademenor que a cardinalidade do conjunto dos nmeros naturais, ou seja, no existe infinito menor

que o infinito dos nmeros naturais. Desta forma que ele utilizou o smbolo 0para denotara cardinalidade dos nmeros naturais (o mesmo ser seguido aqui).

3. Conjuntos Enumerveis

George Cantor havia conseguido vislumbrar um resultado fantstico, que dizia que todoconjunto infinito tem cardinalidade igual ou maior que a cardinalidade dos nmerosnaturais. Por outro lado, se todos os conjuntos infinitos tivessem cardinalidade nosuperior a cardinalidade de N, ento a questo do tamanho do infinito estaria resolvida,a saber, ter-se-ia que o infinito do tamanho do conjunto que contempla totalidade dosnmeros naturais. Ele ps-se ento de pronto a investigar esta questo, e em 1882, numtrabalho intitulado Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen(Fundamentos de uma Teoria Geral das

Multiplicidades. Uma Investigao Matemtico-Filosfica da Teoria do Infinito), introduziuo conceito de enumerabilidadede conjuntos: Um conjunto enumervel se, e somente se, um conjunto finito ou est em correspondncia um-a-um com o conjuntoN dos nmeros

naturais. Desta forma, a questo do tamanho do infinito se traduz, em princpio, a analisara enumerabilidade dos conjuntos.

Um fato intuitivamente claro aquele que diz que entre dois nmeros naturaisconsecutivos no existe nenhum nmero natural. Entretanto sabe-se que existem umainfinidade de fraes. E ainda, indo um pouco mais alm, entre duas fraes quaisquerexistem ainda uma infinidade de fraes. Vendo esta propriedade de se esperar que oconjunto Q dos nmeros racionais, de todas as fraes, tenha cardinalidade maior que a

cardinalidade dos nmeros naturais, ou seja, que seja no-enumervel, haja visto que entreduas fraes quaisquer existem [por si s] uma infinidade de fraes. Entretanto, ao analisara enumerabilidade do conjunto dos nmeros racionais, Cantor obteve a surpreendenteconstatao de que este conjunto do mesmo tamanho que o conjunto dos nmeros

2 A notao A \ B indica os elementos de Aque no so elementos de B.

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Ou seja, tem-se uma enumerao do conjunto do nmeros racionais, que pode serrepresentada mais explicitamente pelo seguinte:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 1 2 12

1

3 3 4 3

2

2

3

1

4

1

5 5 6 5

2

4

3

1

6

1

7

3

5

5

3

4. Tamanho do Infinito - Questo Encerrada?

Com as descobertas de Cantora questo do tamanho do infinito para estar chegando aofinal, tudo se fazia crer que o infinito do mesmo tamanho da totalidade dos nmerosnaturais. Mas foi ento que ele se props a encontrar uma maneira de mostrar que oconjunto R, dos nmeros reais, era enumervel, mas no obteve xito.

Ao considerar o conjunto de todos os nmeros reais, Cantorconstatou que este conjuntono era enumervel, mas era infinito, pois f : (1, 1) R, definida por f(x) = tan x

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uma bijeo e o intervalo (1, 1) uma parte prpria de R. Logo, a cardinalidade dos

nmeros reais, tambm chamado de contnuo, e por isso com o smbolo c, maior que acardinalidade do conjunto dos nmeros naturais. Em smbolos:

0 < c.

Isto porque ambas as cardinalidades so infinitas, e distintas entre si, e do fato de noexistir cardinalidade infinita que seja menor que 0= #N.

Para provar que o conjunto R dos nmeros reais no-enumervel, suficiente mostrarque o intervalo (0, 1) no enumervel. Suponha, entretanto, o contrrio, que (0, 1) sejaenumervel. Neste caso, existir uma correspondncia um-a-um entre N e o intervalo(0, 1),

de forma a poder se listar todos os elementos do intervalo da seguinte forma:

1 0, a11a12a13. . .

2 0, a21a22a23. . ....

0, a1a2a3. . ....

em que cada ajk {0, 1, 2, . . . , 9}. Considere agora o nmero D entre 0e 1 definido porD = 0, d1d2d3 . . ., onde d1 = a11+ 1, d2 = a22+ 1, d3 = a33+ 1 e assim por diante,

observando que seaii = 9entodi= 1. bastante claro queD est entre0 e 1, entretantoD no pode estar na lista acima, pois d1 = a11+ 1 a11, d2 a22, d3 a33, e assimsucessivamente, mostrando que o nmero D no est na lista. Portanto no se pode criaruma correspondncia um-a-um entre o conjunto dos nmeros naturais e o intervalo (0, 1).

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5. A Hierarquia Infinita de Infinitos

Sabendo que o infinito dos nmeros reais maior que o infinito dos nmeros naturais,surgem as questes: Ser que existem infinitos maiores que o infinito dos nmeros reais?Se houver, como obt-los? Nesta seo encontram-se as respostas a estas questes e aapresentao dos dois maiores teoremas de Cantor.

O conjunto formado de todos os subconjuntos de um dado conjunto A dito conjuntodas partesde A, e denotado por (A).

(5.1) Primeiro Teorema de Cantor. Se A um conjunto, finito ou infinito, ento a

cardinalidade de A (estritamente) menor que a cardinalidade do conjunto das partes de

A. Em smbolos:

A < (A) .

Demonstrao: Se A= , ento A= 0


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Para provar a desigualdade reversa, toma-se : {0, 1}N Ra funo definida por

(f) = 0, f(1) f(2) f(3) . . .

em que f {0, 1}N. Note que (f) um nmero decimal consistindo de 0s e 1s. Sef, g {0, 1}N so tais quefg , ento(f) = (g), pois os decimais que definem (f)e (g)so diferentes. Logo, : {0, 1}N R injetiva, e portanto c 20 .

Desta forma, c 20 e 20 c, e assim 20 = c.

6. A Hiptese do Contnuo, o Problema que Levou Cantor

Loucura

George Cantor j estava consagrado, tudo corria bem em sua vida, e ele acreditava quetudo isto era devido ao fato de ele ser guiado por Deus, mas foi ento que ele fez a questo

que fez por desenvolver parte substncia da matemtica do sculo XX, mas que tambmfez com que sua vida declinasse: J se sabe que o infinito dos nmeros naturais menor queo infinito dos nmeros reais - o contnuo, a questo : ser que existe um infinito que seja

maior que o infinito dos nmeros naturais e menor que o infinito dos nmeros reais? Cantor

a princpio sups que a resposta a esta questo seria negativa, e chamou a esta suposiode hiptese do contnuo, isto , ele sups que no existia nenhum cardinal xtal que

0 < x< 20.

O problema aparentemente parecia ser simples e Cantor comeou a trabalhar na

soluo, mas eis que a hiptese do contnuo se mostra no ser nada simples. Aps maisde dois anos trabalhando com afinco neste problema, em 1884, e com os ataques pessoaise profissionais que vinham sofrendo, originado de suas idias revolucionrias, e que iamse tornando cada vez mais intensos, Cantor pensa no ser mais capaz de suportar tudoaquilo, e no suporta! Em maio daquele ano ele sofre uma enorme crise nervosa, suafilha descreveu como a sua personalidade se transformou, as falas sem sentido seguidas desilncio absoluto e incomunicao total. Foi nesta poca que ele foi internado pela primeira

vez no Sanatrio Universitrio de Halle. Tudo em Cantormudou aps quela crise, ele dizaos amigos no saber se vai conseguir fazer (ou ensinar) matemtica novamente, pede ento, Universidade a qual era professor, autorizao para ministrar cursos de filosofia no lugar

dos cursos de matemtica, pedido que foi aceito sem maiores problemas. Mas apesar de eleafirmar no ser mais capaz de fazer matemtica, ele jamais para de trabalhar na hiptesedo contnuo.

Mittag-Lefler (1846-1927), um matemtico sueco, fundador da Acta Matehmatica, que eraum grande amigo de Cantor, a certa altura recebeu uma carta eufrica deste dizendo quehavia demonstrado a hiptese do contnuo e que a enviaria em algumas semanas. Mas, ao

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invs disso, trs meses mais tarde, uma segunda carta aparece, e nesta se pode perceber oconstrangimento de Cantor, nela ele dizia que sentia muito, que jamais deveria ter dito quehavia provado a hiptese do contnuo. Posteriormente, trs semanas aps a esta primeiracarta, Cantorenvia uma outra carta, e nela ele diz: Eu provei que a hiptese do contnuo

falsa.E o ciclo continua, ele prova que verdadeira, depois prova que falsa, para frentee para traz. Na verdade, o que Cantorestava fazendo de fato, era se levando loucura aospoucos. Por mais que tentasse obter xito de alguma forma suas tentativas eram frustradas

e ele no conseguia resolver a hiptese do contnuo, descreve ento o infinito como umabismo, um vcuo talvez, entre o que ele havia achado e o que ele sabia existir mas nopodia alcanar.

Aps este perodo, a hiptese do contnuo permaneceria inerte durante anos, at que,em 1938, Kurt Gdel (1906-1978), num trabalho intitulado The Consistency of the Axiomof Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory (AConsistncia do Axioma do Escolha e da Hiptese Generalizada do Continuum com os

Axiomas da Teoria dos Conjuntos), veio e tirou-a desta inrcia com um importante avano.Tinham entretanto surgido alguns paradoxos na teoria dos conjuntos, exigindo assim queesta teoria fosse melhor formalizada. A axiomtica dada por Ernest Zermelo (1871-1953) e

Abraham Fraenkel(1891-1965), acrescida do axioma do escolha considerada a mais eficienteformalizao da teoria dos conjuntos. O que Gdel fez, em relao a hiptese do contnuofoi fortalecer e ajudar fixar esta axiomtica a teoria dos conjuntos, pois ele prova que estahiptese e esta axiomtica eram consistentes: A negao da hiptese do contnuo no podeser provada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma de escolha, ou seja, eles

so consistentes. Isto , no h contradies entre e a hiptese do contnuo e estes axiomas.

Pode-se ento construir toda a teoria dos conjuntos, baseada no axioma da escolha e nos

axiomas de Zermelo-Fraenkel e assumir que a hiptese do continuum verdadeira.

Em 1963 no entanto, usando uma tcnica totalmente nova, chamada forcing, umjovem matemtico dos Estados Unidos, chamado Paul Cohen (1934-2007), demonstrou um

importante resultado envolvendo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, o axioma da escolha ea hiptese do contnuo: A hiptese do contnuo no pode ser provada a partir dos mesmosaxiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, eles so indepentes.

Em suma, a hiptese do contnuo no contradiz a teoria dos conjuntos baseada nosaxiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, entretanto somente com basenestes axiomas ela no pode ser provada, eles so insuficientes, ou independentes.

Desde sua primeira crise, Cantor passou perodos de idas e vindas no sanatrio deHalle, com internaes cada vez mais duradouras, at a sua morte em 1918, sozinho etomado pela loucura.

Justo no seria este texto se deixasse de mencionar que houve tambm matemticosde primeira grandeza que entraram em defesa de Cantor. O j citado Mittag-Lefler foium deles, mas, sobretudo, David Hilbert (1862-1943), um dos mais importantes matemticosde todos os tempos, tambm entrou abertamente em defesa das idias de Cantor. Parase ter uma idia da importncia de Hilbert, foi ele quem deu uma nova fundamentao matemtica no sculo XX, tambm trabalhou de forma significativa em quase todas as

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reas da matemtica: h a Teoria dos Nmeros de Hilbert, as Equaes Diferencias eas Equaes Integrais de Hilbert, os Espaos de Hilbert, a Geometria de Hilbert e etc.,alm de ter resolvido, antes de Einstein, as equaes da Teoria da Relatividade Geral. Foi eletambm quem praticamente pautou a pesquisa matemtica do sculo passado, quando,em 1900, no Congresso Mundial de Matemtica, em Paris, apresentou uma confernciaque continha os famosos 23 problemas, cuja solues foram objetos de desejos da maioriaesmagadora dos matemticos espalhados pelo mundo a fora. O primeiro problema desta

lista foi justamente a hiptese do contnuo. Para ilustrar a importncia do que Cantorhaviafeito, Hilbert disse a clebre e memorvel frase: Ningum poder nos tirar do paraso queCantor nos colocou.

Referncias

[1] Dauben, J. W. Georg Cantor - His Mathematics and Philosophy of the Infinite. PrincetonUniversity Press, Princeton, 1990.

[2] Halmos, P. R. Teoria Ingnua dos Conjuntos. Traduo de Lzaro Coutinho. Editora CinciaModerna, Coleo Clssicos da Matemtica, Rio de Janeiro, 2001.

[3] Lin, S-Y. T.; Lin, Y-F. Set Theory: An Intuitive Approach. Houghton, Mifflin Co., Boston,1974.

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