informatica informatica informazione mezzi mezzi fisici...

A. Morpurgo - Informatica per il Corso di laurea triennale in Tecniche di radiologia medica A.A. 2005/06

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LEZIONI 2 e 3 – Rappresentazione dell’informazione 1

Informatica

LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI


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Informatica

informatica

calcolatori

mezzi

programmi

informazioneproceduremezzi fisici

rappresentazione dell’informazione

(in bit)


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Grandezze digitali• Si chiama digitale una grandezza che può

assumere un insieme discreto (numerabile) di valori.

• Per esempio: il numero di granelli di sabbia di una spiaggia, il numero di stelle e pianeti nell’universo.

• Se la grandezza può assumere valori all’interno di un insieme finito, allora è detta finita.


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Grandezze analogiche

• Si chiama analogica una grandezza che può assumere un insieme non numerabile (cioècontinuo) di valori.

• Per esempio l’intensità di corrente che passa attraverso un filo


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Grandezze analogiche• Anche i numeri reali sono una grandezza

analogica.• Infatti, tra l’intero 1 e l’intero 2 esistono una

infinità non numerabile di altri numeri; per esempio tra i numeri 1,000000001 e 1,000000002 esistono una infinità non numerabile di altri numeri, per esempio il numero 1,0000000019999999 e il numero 1,00000000199999999; e così via.


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Analogico vs digitale• Digitale: da digit (ingl. “cifra”), relativo al calcolo

con elementi numerali.• I calcolatori moderni sono detti digitali, in quanto

possono lavorare soltanto con grandezze di tipo digitale e finite.

• tutte le informazioni vengono rappresentate con l’uso di segnali discreti in forma di numeri o caratteri:• numeri, istruzioni, testo• immagini statiche e in movimento• suoni


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Formato della memoria• Un registro a 32 bit di un processore, così come una

delle celle della memoria centrale, è formato da una serie di 32 circuiti

• Possiamo immaginarlo come una successione di 32 piccolissimi fili in cui può passare o meno la corrente


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Rappresentazione delle informazioni

• Pertanto nella memoria del calcolatore è possibile memorizzare esclusivamente sequenze di bit e il processore può trattare soltanto dati espressi come sequenze di bit.

• Inoltre la memoria del calcolatore ha una dimensione finita.


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Rappresentazione delle informazioni• Per formalizzare dati come numeri, testo, ecc., si utilizzano

simboli scelti da un insieme finito, detto alfabeto.• per i numeri usiamo {0, 1, 2, …, 9} e la virgola• per i testi usiamo {a, .., z, A, .., Z, 0, .., 9, ecc.}

• Ad un alfabeto associamo un insieme di regole di composizione che definiscono le successioni ben formate.• 12,35 è un numero (successione ben formata)• 19?48 no lo è• Casa è una parola• Ca%a non lo è


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Rappresentazione delle informazioni

• La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di un alfabeto il dato corrispondente è detta codice.

• Un codice mette quindi in relazione le successioni di simboli con il significato loro attribuito.


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Rappresentazione delle informazioni• Per i calcolatori si usa un alfabeto binario:• Alfabeto binario: costituito da due simboli

• convenzionalmente “0” e “1”• binit o bit (binary digit, cifra binaria): elemento

che assume un valore binario• il bit è anche l’unità elementare di informazione


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La codifica binaria• Avendo a disposizione un solo bit si possono

rappresentare • due elementi diversi: • si assegna al primo la codifica 0• al secondo la codifica 1


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La codifica binaria• Con 2 bit si possono rappresentare 4 = 22

elementi (oggetti, individui, ...) diversi, assegnando a ciascuno una codifica diversa:

• paperino codifica 00• qui codifica 01• quo codifica 10• qua codifica 11

• con 3 bit si possono rappresentare 8 = 23 elementi diversi• …..• con n bit si possono rappresentare 2n elementi diversi


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Codifica di oggetti• Per codificare un insieme finito di m oggetti distinti,

occorre assegnare ad ognuno di essi una codifica diversa.

• Poiché con n bit posso codificare m = 2n oggetti,la codifica di m oggetti richiede n = ⎡log2m⎤ bit.(Nota: ⎡log2m⎤ è il più piccolo intero ≥ log2m).


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Codifica di oggetti

LunedìMartedìMercoledìGiovedìVenerdìSabatoDomenica

0123456

000001010011100101110

Log27 ≈ 2.8⎡Log27⎤ = 3

Esempio: bit necessari:


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Codifica dei caratteri• I caratteri delle lingue occidentali (52 segni

alfabetici, 10 cifre, i segni di punteggiatura e altri caratteri che noi usiamo nei testi scritti) sono una grandezza digitale.

• Il codice utilizzato da sempre per la codifica binaria dei caratteri è il codice ASCII(American Standard Code for Information Interchange), che utilizza 7 bit.


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Codifica dei caratteri• Il codice ASCII standard

• codifica 128 caratteri (cifre, lettere minuscole e maiuscole, simboli, caratteri di comando)

• la codifica rispetta l’ordine alfanumerico• Un byte contiene 8 bit, quindi avanza un bit.

Sfruttandolo è possibile fare controlli (bit di parità) o codificare altri 128 simboli.

• ASCII esteso:• primi 128 simboli: codificati come nel codice ASCII• dal 128 al 255: simboli aggiuntivi di alcune lingue

europee (å, ä, à, ă). Non è standard.


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La tabella ASCII32

! 33" 34# 35$ 36% 37& 38' 39( 40) 41* 42+ 43

, 44- 45. 46/ 470 481 492 503 514 525 536 547 55

8 569 57: 58; 59< 60= 61> 62? 63@ 64A 65B 66C 67

D 68E 69F 70G 71H 72I 73J 74K 75L 76M 77N 78O 79

P 80Q 81R 82S 83T 84U 85V 86W 87X 88Y 89Z 90[ 91

\ 92] 93^ 94_ 95` 96a 97b 98c 99d 100e 101f 102g 103

h 104i 105j 106k 107l 108m 109n 110o 111p 112q 113r 114s 115

t 116u 117v 118w 119x 120y 121z 122{ 123| 124} 125~ 126127


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Codifica dei caratteri• Un codice a 8 bit non è però sufficiente se si vuole

rappresentare un insieme di caratteri di cardinalitàmaggiore di 256 (es. caratteri cinesi).

• Per questo motivo è stato introdotto un codice a 16 bit per la rappresentazione dei caratteri, chiamato Unicode, che permette di rappresentare216 = 65.536 elementi distinti.• I primi 128 sono gli stessi del codice ASCII• I successivi per altri alfabeti (greco, cirillico, idoegrammi,

ecc.) e simboli speciali (matematici, grafici, ecc.)• Codice ISO: 32 bit per codificare 4 G caratteri

(alfabeti, insiemi di ideogrammi e simboli, ecc.).A. Morpurgo - Informatica per il Corso di laurea triennale in Tecniche di radiologia medica A.A. 2005/06

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Alcune tabelle UNICODE

(Fon

te: h

ttp://

ww

w.u

nico

de.o

rg)


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Rappresentazione dei numeri

Il numero cardinale quattro: cardinalitàdegli insiemi contenenti quattro elementi

rappresentazione 1: IIIIrappresentazione 2: IVrappresentazione 3: 4ecc.

• Vediamo come si possono rappresentare i numeri utilizzando solo due simboli (0 e 1).

• I numeri sono entità matematiche astratte; vanno distinti dalla loro rappresentazione


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Sistemi di numerazione

• Sistema di numerazione additivo: • il significato dei simboli che compongono un

numero è indipendente dalla posizione in cui compaiono

• Es. sistema con un unico simbolo, per l’unità• Es. sistema di numerazione romano, con i

simboli I, V, X, L, C, D, M.


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Sistemi di numerazione: il sistema decimale

/

0 1 8 9

...

...

148

///////////////////

2////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

////////////////////////////////////////

////////

148 = 1 . 102 + 4 . 101 + 8 . 100

Alle elementari ci facevano riempire fogli di stanghette:

Le cifre


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Convenzione

• Siamo così abituati a rappresentare i numeri nel sistema decimale

• che li pensiamo in tale sistema• Manterremo questa abitudine mentale; però, per non confondere i

numeri con la loro rappresentazione, useremo i colori:• 123 in nero indica la rappresentazione

• 123 in rosso indica il numero


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Sistemi di num.: il sistema binario

/

0 1 Le cifre

////

/

101101 = 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 = 5


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I primi 16 numeri binari

0 = 01 = 110 = 211 = 3100 = 4101 = 5110 = 6111 = 7

1000 = 81001 = 91010 = 101011 = 111100 = 121101 = 131110 = 141111 = 15


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Sistemi di numerazione: i sistemi posizionali

• Sistema di numerazione arabico: • introdotto in Europa nel Medio Evo • in base dieci: utilizza le dieci cifre 0, 1, …, 9• è una notazione posizionale: il valore di ogni

cifra dipende dalla sua posizione nella successione di simboli che rappresenta il numero.

• Es. 1234 = 1x103 + 2x102 + 3x101 + 4x100


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• In generale, per un numero composto di ncifre si ha che:

cn–1 cn–2 ...c1 c0 = = cn–1x10n–1 + cn–2x10n–2 + … + cn–2 ...c1x101 + c0x100

• Si chiamano cifre piú significative quelle associate ai pesi maggiori.

• La cifra cn–1 è la piú significativa e c0 è la cifra meno significativa.


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Sistemi di numerazione in base B

• Se la base della numerazione è B, si hanno a disposizione B cifre, comprese tra 0 e B–1.

cn cn–1 ...c1 c0 =

= cn. Bn + cn–2

. Bn–1 + … + c1. B1 + c0

. B0

= Σi:0..n ci. Bi



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Codifica binaria - numeri naturali• Esempio:101100due = (1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20) dieci

= (32 + 8 + 4)dieci = 44dieci.

• Tramite m cifre in base B è possibile rappresentare Bm numeri naturali, da 0 a Bm-1.


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Codifica binaria - numeri naturali• Con una successione di n bit si

rappresentano i 2n numeri naturali, da 0 a 2n–1

• Per i numeri naturali si usano di solito 32 bit• 232–1 = 4.294.967.295 ≅ 4x109

• Raddoppiando la lunghezza, il massimo numero rappresentabile aumenta esponenzialmente. Se si utilizzano 64 bit• 264–1 ≅ 1,6x1019


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Sistemi di num. usati in informatica

• Base 2: quella in cui lavora il calcolatore• cifre 0,1

• Base 10: quella dell’utente umano• cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

• Base 8: per abbreviare i numeri binari• cifre 0,1,2,3,4,5,6,7

• Base 16: per abbreviare i numeri binari• cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F


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Fare i conti: proprietà notevoli

• (pn1) 1 seguito da n 0 rappresenta Bn; ad es.• base 2: 100000 = 25

• base 10: 100000 = 105

• base 8: 100000 = 85

• base 16: 100000 = 165

• (pn2) n cifre massime rappresentano Bn-1; ad es:• base 2: 11111 = 25 - 1• base 10: 99999 = 105 - 1• base 8: 77777 = 85 - 1• base 16: FFFFF = 165 - 1


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Dalla rappresentazione al numero

• Si applica la definizione• cn cn–1 ...c1 c0 = cn

. Bn + cn–2. Bn–1 + … + c1

. B1 + c0. B0

• Esempi• base 2: 1011 = 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 =• base 8: 2705 = 2 . 83 + 7 . 82 + 0 . 81 + 5 =• base 16: 3F01 = 3 . 163 + 15 . 162 + 0 . 161 + 1 =


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Dal numero alla rappresentazione• Si usano divisione intera div e resto mod, e si applica la:• proprietà notevole delle rappresentazioni in base B:• n = cn cn–1 ...c1 c0 = cn

. Bn + cn–2. Bn–1 + … + c1

. B1 + c0. B0

• n mod B è rappresentato dalla cifra c0 (la meno significativa della rappresentazione di n in base B)

• n div B è rappresentato dalle cifre precedenti• Ad es., nella base 10:

• 1537 mod 10 = 7 è rappresentato da 7• 1537 div 10 = 153 è rappresentato da 153

• La rappresentazione emerge attraverso divisioni intere successive, raccogliendo i resti, che corrispondono alle cifre, partendo da quella meno significativa


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Dal numero alla rappresentazione

numero div base quoziente resto6 div 2 = Cifra posto 0

div 2 = Cifra posto 1

div 2 = Cifra posto 2

6 = 110

Ad esempio, se si vuoleconvertire in base 2,

si ripete ladivisione interaper 2

e si raccolgonoi quozienti interied i resti comecifre

Le cifre ottenute corrispondonoalla rappresentazione binaria

3 0

3 1 11 0 1


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Dal numero alla rappresentazionenumero divisore quoziente resto

71 2 35 1 cifra bin. menosignificativa

35 2 17 117 2 8 1

8 2 4 04 2 2 02 2 1 01 2 0 1 cifra bin. piú

significativa1

71dieci = 1000111dueA. Morpurgo - Informatica per il Corso di laurea triennale in Tecniche di radiologia medica A.A. 2005/06

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Conversioni basi 8,16 - base 2

• La conversione dalla base 2 alla base 8 può essere fatta per parti, considerando volta per volta una tripla di cifre binarie.

• Es. 001.010.110.111 = 1267otto

• La conversione dalla base 2 alla base 16 può essere fatta per parti, considerando volta per volta una quadrupla di cifre binarie.

• Es. 0010.1011.0111 = 2B7sedici


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Conversioni basi 8,16 - base 2• Le basi 8 e 16 si usano perché si hanno le

conversioni illustrate in figura:

3 4 2 7

011 100 010 111 1111 1010 0101 1000

F A 5 8

Si ha cioè un passaggio molto semplice


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lunghezze base 10 - base 2• La situazione non è così semplice per la base 10,

perché 10 non è potenza di 2• La prima potenza di 10 vicina ad una potenza di 2 è:

• 103 ~ 210 = 1024• Per questo 1 K = 1024

• 1 K = 210

• 1 K ~ 103


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Aritmetica finita

• A livello hardware i calcoli numerici vengono eseguiti dalla ALU (Unità Logico Aritmetica), che si trova nella CPU e lavora con i registri della CPU

• Siccome i registri hanno lunghezza prefissata L, numeri la cui rappresentazione binaria richiede piùdi L cifre non sono rappresentabili.

• Si usa dunque un’aritmetica finita, cioè con un numero massimo di cifre binarie disponibili.


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Aritmetica finita• Nell’aritmetica finita dei calcolatori

• i numeri relativi sono rappresentati in complemento, come vedremo

• i numeri “reali” sono rappresentati in virgola mobile, come vedremo

• Siccome il numero di cifre massimo è limitato, la precisione raggiungibile nella rappresentazione dei numeri reali è limitata; abbiamo le seguenti precisioni:• semplice32 bit• doppia 64 bit• estesa 128 bit


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Aritmetica finita• La rappresentazione grafica dei numeri sulla retta permette di

comprenderne alcune proprietà

• Per comprendere le proprietà dell’aritmetica finita occorre passare alla rappresentazione su circonferenza

0

0


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Aritmetica finitaSe usiamo una cella di 3 bit abbiamo

• 000 +1 001 +1 010 +1 011 +1 100 +1 101 +1 110 +1 111• 111 +1 1000;

• ma, siccome abbiamo solo 3 bit: 111 +1 000• cioè si torna a 0.• Le operazioni in aritmetica finita possono dare

risultati diversi da quelli attesi• 610 + 310 = 910• 1102 + 0112 = 10012, che con tre bit diventa 0012 = 110 !!!

• Si ha l’aritmetica dell’orologio.


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Gli errori di overflow• L’intervallo dei numeri rappresentabili con un

fissato numero di bit è limitato• Eseguendo un’operazione su numeri

rappresentabili, può accadere che il risultato esca dall’intervallo rappresentabile; in tal caso si dice che• si ha un errore di overflow

• ESEMPIO con 8 bit• Caso di valori assoluti: massimo rappresentabile = 255

• 150 + 150 dà overflow perché 150 + 150 = 300 > 255


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Numeri frazionariRappresentazione con la virgola:cn..c0,c-1..c-k= cnBn + .. + c0B0 + c-1B-1+ .. + c-kB-k

Per passare dalla rappresentazione in base B al numero si applica la definizione:• cn..c0,c-1..c-k = cnBn + .. + c0B0 + c-1B-1+ .. + c-kB-k

• Esempio col numero binario 101,01• tralasciando il contributo nullo delle cifre 0:

101,01 = 1 . 22 + 1 . 20 + 1 . 2-2 = 4 + 1 + 1/4 = 5,25


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Analogico vs digitale• Il computer può lavorare soltanto con grandezze di

tipo digitale e finite.• Non tutte le grandezze che vorremmo

rappresentare sono digitali (es: il colore, il suono, le forme).

• È pertanto necessario trasformare le informazioni da analogico a digitale, e codificarle (in particolare in modo binario, cioè come sequenze di bit) prima di poterle trasmettere al computer.


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Segnale analogico

• Può assumere qualunque valore (event. in un intervallo).

• È continuo in ampiezza.• È continuo nello spazio e/o nel tempo.


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Segnale digitale

• Può assumere un insieme finito di valori• è discreto in ampiezza

• È una sequenza di numeri.• è discreto nel tempo (e/o nello spazio)


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Trasformazione da analogico a digitale

• Abbiamo visto la rappresentazione dei numeri reali.

• Si procede in modo analogo per digitalizzare(discretizzare) grandezze fisiche analogiche: l’operazione si chiama quantizzazione.

• Se la grandezza fisica varia in modo continuo nel tempo e/o nello spazio, occorre effettuare anche un’operazione di campionamento.


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Campionamento

• Campionamento: il segnale viene misurato a intervalli discreti• la frequenza di campionamento è il numero di

campioni rilevati in un intervallo (di spazio o di tempo)

• se la frequenza di campionamento è troppo bassa si perde una parte del segnale

La trasformazione di un segnale da analogico a digitale consiste di due passi:


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Un segnale analogico

y = sin x, x ∈ [0, 2π]


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Campionamento (2)

21 campioni su [0, 2π]: frequenza di campionamento ≈3.34


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Campionamento (3)


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Campionamento (4)


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Campionamento (5)

È possibile trattarli con il calcolatore?

Valori campionati:


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Quantizzazione• Quantizzazione: i valori possibili che ciascun elemento

del campione può assumere sono fissati.• Ogni elemento del campione viene “arrotondato” in

modo da assumere un valore dell’insieme prefissato• i livelli di quantizzazione sono generalmente

fissati a intervalli regolari• Se il livelli di quantizzazione sono troppo pochi

non si riescono a rappresentare passaggi di valore graduali


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Quantizzazione (2)

Quantizzazione di [-1, 1] in 20 livelli


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Quantizzazione (3)


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Quantizzazione (4)

Punti campionati Punti quantizzati


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Quantizzazione (5)

0., 0.3, 0.5, 0.8, 0.9, 1., 0.9, 0.8, 0.5, 0.3, 0., -0.4, -0.6, -0.9, -1., -1., -1., -0.9, -0.6, -0.4, 0.

Valori campionati quantizzati:


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Errato campionamento


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Rappresentazione delle forme

• Le forme sono elementi di tipo analogico, perché costituite da un tratto continuo.

• Per rappresentare in modo digitale una forma la si inscrive in una griglia.


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Rappresentazione delle forme• Più fitta è la griglia, più la digitalizzazione

sarà fedele all’originale.

5x5 10x10


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Rappresentazione delle forme• Ogni elemento della griglia prende il nome di

pixel (picture element) e può essere pieno, vuoto, o occupato parzialmente.

• Se è parzialmente pieno, lo si approssimerà alla situazione più vicina (pieno o vuoto)

• Il contenuto delle celle della griglia è l’immagine digitalizzata


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Rappresentazione delle immagini• Per rappresentare immagini più complesse si possono

utilizzare gradazioni di grigio.• Si fissa un insieme di toni di grigio e ad ogni elemento

della griglia viene associata la codifica binaria del grigio che meglio l’approssima.

• Se si usano 8 bit per pixel si possono rappresentare immagini con 256 livelli di grigio.

• Se la griglia contiene n elementi e si possono utilizzare m toni di grigio, la codifica dell’immagine richiederàcirca n . log2m bit.


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Rappresentazione delle immagini• Un approccio analogo viene utilizzato per le immagini

a colori.• Se si vogliono rappresentare immagini complesse,

come ad esempio un paesaggio o un ritratto, garantendo una buona risoluzione dell’immagine e una fedeltà cromatica, allora le esigenze in termini di occupazione di memoria crescono molto velocemente.

• Infatti:• occorre una buona digitalizzazione dello spettro

cromatico (grandezza analogica) per poter mantenere le sfumature;

• la griglia deve essere abbastanza fitta per non perdere i particolari dell’immagine.


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8 toni di grigio - 3 bit000001010011100101110111


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256 toni di grigio - 1 byte


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Rappresentazione dei colori

• Metodo con tavolozza (o palette): si codifica un numero finito di colori da cui scegliere per colorare i pixel.

• Se la tavolozza contiene 2m colori, sono necessari m bit.


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Rappresentazione dei colori• È possibile ricostruire un colore sommando

le lunghezze d'onda di tre colori primari.• Ad esempio nei monitor le sorgenti

luminose sono fosfori colorati: rosso, verde, blu (Red, Green, Blue - RGB).

• Il metodo RGB (Red Green and Blue) sfrutta questo approccio.


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Rappresentazione dei colori• Il metodo RGB (Red Green and Blue) prevede di

associare 3 byte ad ogni pixel, un byte per il rosso, uno per il verde e uno per il blu.

• In totale sono rappresentabili: 28 =256 sfumature per ciascun colore primario.

• Ad ogni pixel sono quindi associati 3.8= 24 bit, e si possono rappresentare 224 = circa 16,8 milioni di colori diversi.

• Il numero di bit per pixel è detto profondità del colore.


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Colori primari

4 bit per componente 8 bit per componente


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Colori composti4 bit / colore

8 bit / colore


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Da 8 a 1 bit per colore


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Gestione della risoluzione• Per visualizzare uno schermo alla risoluzione

di 1024x768 pixel sono necessari 18.874.368 bit, ovvero 2.35 MB

• Le schede video tipicamente in commercio sono capaci di risoluzioni superiori e gestione di colori a 32 bit.

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