UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO - TRUJILLO

TEMA:HIPERBOLANOMBRE DEL CURSO:MATEMATICA 1PROFESOR:ENGELS RUIZ CHACONFEcHA: 20 de abril 2015

INTEGRANTES:

Tamayo Carranza, Edwin Eduardo Villena Daz, Jos Villacorta Olivares, Anderson Angulo Angulo, Kenedy

OBSERVACIONES:

1.-

2.-

3.-

4.-

INFOR:.............................................................................

EN NUMEROEN LETRAFIRMA DEL PROFESOR

INTRODUCCIONLas matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con incgnitas.Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...La utilizacin de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de clculo, bases de datos,...

1. MARCO TEORICOSe originaron con el matemtico Alemen Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716)Se emplearon en 1693 con relacin a los sistemas de ecuaciones lineales simultneas.En el siglo XVIII se contribuy al desarrollo de matrices.Cardano en 1545 en su obra ars magna la usa en matrices de oreden 2 presentado como una regla para la resolucin de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Esta primera frmula lleva el nombre de regula de modo.Cauchy fue el primero en emplear el trmino determinante con su significado moderno. Se encarg de realizar una sntesis de los conocimientos anteriores y public en 1812 la frmula y demostracin del determinante de un producto junto con el enunciado y demostracin de la regla de Laplace. Ese mismo ao Binet ofreci otra demostracin (incorrecta) para la frmula del determinante de un producto. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reduccin de endomorfismos.

2. OBJETIVOSGenerales: Dar a conocer elmtodo de evaluacin de determinantes por sus propiedades para la resolucin de matricesEspecficos: Identificar los tipos de matrices Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 o 3 por el mtodo de Gauss Conocer las principales operaciones con matrices.

MatricesSe llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Por ejemplo: Sea

Dos matrices de orden nm, son iguales si para todo Es decir, dos matrices son iguales si tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan la misma posicin en ambas matrices coinciden.

3. Tipos de matricesMatriz Cuadrada: Es aquella que tiene igual nmero n de filas que de columnas En ese caso se dice que la matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz es cuadrada de orden 3.Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n por . As, en elejemplo anterior, Los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son aquellos que estn situados en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. En otras palabras, la diagonal principal de una matriz ( ) ij A = a est compuesta por los elementos En el ejemplo anterior la diagonal principal estcompuesta por los elementos: Matriz Nula: Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente ejemplo se muestra la matriz nula de orden 32.

Ms adelante veremos que la matriz nula, respecto a la adicin y multiplicacin de matrices, juega un papel similar al nmero cero respecto a la adicin y multiplicacin de nmeros reales.Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada, A = (aij ) es diagonal si = 0 ij a para i j . Esdecir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal:

Matriz Unidad o identidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A continuacin mostramos la matriz unidad de orden 2.

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:

Este tipo de matrices tambin se conoce como matriz escalonada. En algunos casos se hace la distincin entre las matrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los elementos nulos de la matriz; los que estn por debajo o por encima de la diagonal principal.

4. Operaciones de matricesAdicin de matrices

EjemploConsideremos las siguientes matrices:

Las matrices A y B son de orden 32, mientras la matriz M es cuadrada de orden 3. Por tanto, no podemos calcular la suma de A y M y tampoco la suma de B y M, en cambio, s podemos sumar A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es, + Es fcil deducir las siguientes propiedades de la adicin de matrices de orden mxnConmutativa: A + B = B + A A, BMmxnAsociativa: A + B + C = (A + B) + C A, B, C MmxnElemento neutro (la matriz nula) A + O = O + AElemento opuesto AMmxn (A)Mmxn A + (A) = (A) + A = 0 Multiplicacin de una matriz por un nmeroSe denomina producto de un nmero por una matriz A Mmxn a una matriz C = (Cij) Mmxn cuyos elementos son de la forma Cij = aijEjemplo

Consideremos la matriz y el nmero -5 entonces, el producto de A por -5 es:

El producto de un nmero por una matriz satisface las siguientes propiedades:Distributiva mixta del producto respecto a la suma de nmeros reales

Asociativa mixta

Elemento neutroMultiplicacin de matricesSe denomina matriz producto de la matriz

Es decir, los elementos que ocupan la posicin , ij en la matriz producto, se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila i en la primera matriz por los elementos de la columna k de la segunda matriz. Observemos en detalle cmo se obtiene el elemento 23 c en el siguiente ejemplo:

=

Dos matrices se pueden multiplicar slo cuando el nmero de columna de la primera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda.En el siguiente ejemplo podemos ver adems cul es el orden de la matriz producto.

Inversa de una matrizUna matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz, que denotaremos por, que cumple.

Donde I es la matriz identidad. En ese caso se dice que A1 es la inversa de A .Por ejemplo, la matriz

es invertible y su inversa es

Ya que

Matriz traspuestaLa traspuesta de una matriz es la matriz es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas. La traspuesta de:

PROPIEDADES:Dada una matriz, siempre existe la traspuesta y adems es nica

DeterminantesA toda matriz cuadrada le podemos asignar un nmero real que denominaremos determinante Determinantes de orden 2

EJEMPLO:

Determinantes de orden 3Si A es una matriz 3x3, su determinate (de orden 3) vendr dado por: