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MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1
ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION
INDICE
I. INTRODUCCION 2
II. OBJETIVOS 3
III. MARCO TEORICO 4
IV. EJERCICIOS 11
V. CONCLUSIONES ...107
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ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
INTRODUCCION
La carrera de ingeniera civil es una rama muy amplia; en la actualidad realiza todo
tipo de proyectos los cuales incluyen toda clase de conocimientos, que se adquieren
a lo largo de la carrera; uno de los conocimientos ms grandes que debemos adquirir
son la mecnica de fluidos, esta rama es necesaria para todo tipo de proyectos: una
vivienda (instalaciones sanitarias), carreteras (canales), abastecimientos (diques,
tanques, compuertas), muros de contencin, represas, pilares de puentes, etc.
La rama de mecnica de fluidos, es compleja y conlleva varios temas y subtemas que
se deben estudiar de forma clara y comprensible; uno de los temas ms importantes
es la ecuacin de cantidad de movimiento, la cual nos sirve para poder disear
la estructura y calcular las fuerzas de movimiento de un fluido que actan en una
estructura como un puente, muro de contencin, etc.
La ecuacin de cantidad de movimiento es la magnitud fsica
fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en
cualquier teora mecnica. En mecnica clsica, la cantidad de movimiento se
define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante
determinado. En mecnica de fluidos se define como la rapidez de variacin de la
cantidad de movimiento en el volumen de control ms el flujo neto de cantidad de
movimiento que sale del volumen de control.
El presente informe tiene como objetivo principal, aprender y analizar de forma
clara la ecuacin de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicar dichos
conocimientos en la carrera de ingeniera civil.
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OBJETIVOS
2.1. OBJETIVO GENERAL.
Aprender y analizar de forma clara la ecuacin de cantidad de
movimiento, con el fin de poder aplicarla en un inters prctico.
2.2. OBJETIVO ESPECIFICO
Desarrollar la ecuacin de cantidad de movimiento, mediante la
aplicacin de la ley de la conservacin de cantidad de
movimiento de la materia situado en el seno del fluido en
movimiento.
Proporcionar informacin sobre la ecuacin de cantidad de
movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la
finalidad de hacer ms sencillo su manejo.
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MARCO TEORICO
1. INTRODUCCIN A LAS ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
La segunda ley de Newton, a menudo llamada ecuacin de cantidad de movimiento,
plantea que la fuerza resultante que acta en un sistema es igual a la velocidad de
cambio de la cantidad de movimiento del sistema cuando se mide en un marco de
referencia inercial; es decir,
La integral de la superficie de control del lado derecho representa el flujo de cantidad de
movimiento neto a travs de la superficie de control del fluido que entra y/o sale del
volumen de control.
Cuando se aplica la segunda ley de Newton la cantidad representa todas las fuerzas
que actan en el volumen de control. Las fuerzas incluyen las fuerzas superficiales
generadas por el ambiente al actuar en la superficie de control y las fuerzas de cuerpo
originadas por campos magnticos y gravitacionales. A menudo se utiliza la ecuacin de
cantidad de movimiento para determinar las fuerzas inducidas por el flujo.
Ejemplo:
La ecuacin permite calcular la fuerza en el soporte de un codo en una tubera o la fuerza
en un cuerpo sumergido en un flujo superficial libre.
Cuando se aplica la ecuacin de cantidad de movimiento el fluido circundante y en
ocasiones todo el conducto o recipiente se separa del volumen de control.
Ejemplo:
En la boquilla horizontal de la fig. (a) la boquilla y el fluido en esta estn aislados. Por lo
tanto se debe tener cuidado de incluir las fuerzas de presin mostradas y la fuerza. Es
La ecuacin de
cantidad de
movimiento se utiliza
principalmente para
determinar las fuerzas
inducidas por el flujo.
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conveniente utilizar presiones manomtricas de modo que la presin que acta en el
exterior del tubo sea cero. Por otra parte, se podra hacer seleccionando un volumen de
control que incluya solo el fluido que hay en la boquilla. En ese caso se tiene que
considerar las fuerzas de presin a la entrada y salida y la fuerza de presin resultante
de la pared interior de la boquilla en el fluido. Naturalmente, la fuerza
son iguales en cuanto a magnitud, como es obvio en un diagrama de
cuerpo libre de la boquilla que excluye el fluido. Si el problema es determinar la fuerza
ejercida por el flujo en la boquilla, se tiene que invertir la direccin de la fuerza
calculada Esto se ilustra con ejemplos al final de esta seccin.
Fuerzas que actan en el volumen de control de una boquilla horizontal.
a). el volumen de control incluye la boquilla y el fluido en ella.
b). el volumen de control incluye solo en la boquilla. Se omitieron las fuerzas de cuerpo.
ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
1.1. Formulacin General.
Podemos deducir la ecuacin de cantidad de movimiento a partir de la segunda ley de
Newton para un sistema, mediante procedimientos anlogos a los utilizados para deducir
las ecuaciones de continuidad y de la energa.
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La ecuacin de la cantidad de movimiento se deduce para una direccin arbitraria x,
despus se puede considerar para tres ejes mutuamente perpendiculares, y se obtiene la
ecuacin vectorial de la cantidad de movimientos por suma vectorial.
En el instante la cantidad de movimiento en la direccin dentro del sistema y del volumen
de control coincidente (Fig. 1) es:
En el instante + el sistema se ha desplazado un pequeo espacio a partir del volumen
de control. La cantidad de movimiento del sistema en la direccin se puede expresar
entonces como:
Donde:
: Flujo de cantidad de movimiento en la direccin x que sale del volumen de control
en el intervalo .
: Flujo de cantidad de movimiento en la direccin x que entra en el volumen de
control en el intervalo
Restando la ecuacin (2) y dividiendo entre :
Es decir, para una direccin X, la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en
el sistema, es igual a la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en el volumen
de control ms el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control
El primer trmino se puede expresar:
= (1)
(+) = (+) + (2)
(+)
(+)
(3)
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Segn la segunda ley de Newton
Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x dentro del
sistema.
El segundo trmino se puede escribir:
Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x dentro del
volumen de control.
El tercer trmino se puede expresar:
Salida neta por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x.
Donde es el ngulo que forma el vector velocidad y la normal hacia afuera
en un punto cualquiera de la superficie de control.
Reemplazando en las expresiones en (3):
Es decir, la ecuacin de la cantidad de movimiento para un volumen de control,
considerando la direccin, establece que la fuerza resultante que acta sobre el
fluido en el interior del volumen de control en la direccin es exactamente igual a
la suma de la variacin de la cantidad de movimiento en la direccin con el tiempo
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dentro del volumen de control y el flujo saliente neto, por unidad de tiempo, de la
cantidad de movimiento en la direccin a partir del volumen de control.
Para flujo permanente la cantidad de movimiento en la direccin X dentro del
volumen de control permanece constante, y:
Por analoga para las direcciones y de un sistema cartesiano de referencia:
Multiplicando la primera ecuacin por i, la segunda por j y la tercera por k,
vectores unitarios paralelos respectivamente a, X, Y, Z y sumando,
La ecuacin de la cantidad de movimiento para flujo permanente tiene la ventaja
de que no necesita informacin sobre las condiciones dentro del volumen de
control. Solo necesita para su aplicacin las fuerzas externas y el flujo saliente
neto de la cantidad de movimiento, por unidad de tiempo.
La ecuacin de la cantidad de movimiento se puede aplicar a la solucin de
problemas de flujo permanente en las formas dadas por las ecuaciones (5) y (6).
Fig.2. Volumen de control con entrada de flujo uniforme
y salida normal a la superficie de control
En tuberas y canales es posible elegir el volumen de control d modo que el flujo
de cantidad de movimiento que sale y que entra sean normales a las secciones
transversales (Fig.2). Si adems se considera que el lquido que circula es
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incompresible y la velocidad es constante en la superficie de entrada o de salida,
se tendr, siempre para flujo permanente y en una direccin:
Fig. 3 Flujo no uniforme a travs de una
Superficie de control
Para entrada o salida no uniforme de flujo por una porcin de la superficie de
control, donde la velocidad sea normal a la superficie (como en la Fig.3), en cada
seccin hay una distribucin de velocidades por lo que es necesario corregir los
flujos de cantidad de movimiento. Para ello se utiliza el coeficiente de Boussinesq
cuyo valor depende nicamente de la distribucin de velocidades en la seccin.
El flujo saliente de cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, a travs de la
superficie para flujo no uniforme es:
O tambin:
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EXPRESIN DEL COEFICIENTE DE BOUSSINESQ ( ).
En una l.c.,
Cantidad de movimiento:
Cantidad de movimiento por unidad de tiempo, o flujo de cantidad de
movimiento
Flujo de cantidad de movimiento en toda la corriente =
En toda corriente;
Flujo de cantidad de movimiento utilizando la velocidad media: 2
Flujo real de cantidad de movimiento: 2
Igualando las dos expresiones:
2 = 2
=1
(
)2
Nota:
Cuando en la prctica no se indica su valor, es porque se est suponiendo que:
=1
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EJERCICIOS
1. En una instalacin de tubera matriz de agua potable en cerro de Pasco se tiene un
codo de 90o se quiere calcular la fuerza que ejerce el agua sobre el codo de 0.30
m de dimetro, cuando fluyen 38,75 m3/s y la presin manomtrica es de 8 bar.
SOLUCIN
Velocidad media
m/s 29,64,1
75,38
2
S
QV
Fuerza sobre el codo
)( 122211 VVmSpSpF
kN 286.300068.300286
29,675,38100015.01080* 25111
NF
VQSpF
x
x
300.286kN
068.300286
29,675,38100015.0108
0*
25
222
y
y
y
y
F
NF
F
VQSpF
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2. Sobre la banda transportadora que se mueve a una velocidad de 5 m/s, se
depositan 2 m3/s de aceite. El aceite tiene un peso especfico de 900 N/m3, sta
deja la tolva a una velocidad de 1 m/s y a continuacin tiene una cada libre de
una altura media de h=2 m, tal como indica la figura.
Calcular:
La componente horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el aceite sobre la
banda transportadora.
SOLUCION:
La fuerza horizontal que ejerce la grava sobre la bomba transportadora es debido a la
velocidad de 5 m/s, con que la grava abandona la banda. La fuerza vertical por otro lado,
es debida tanto al peso de la grava situada encima de la banda, con la accin de la grava
que incide sobre la banda al caer de la tolva.
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Eleccin de los ejes x, y.
Fuerzas exteriores al volumen de control.
- Peso de del aceite
- RX y RY : accin de la banda sobre la grava.
La velocidad de salida de la grava del volumen de control es v3 = 5 m/s. La velocidad de
entrada de la grava al volumen de control v2 es:
Aplicacin de la ecuacin en el eje X.
= ( ) = 3 =3
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= 900
3 ; =
23
; 3 = 5/
= 917.43
Eje Y:
= ( ) = (0 (2))3 = 2
= 2 + =2
+
Clculo del Peso del aceite (L = 3 m encima de la banda).
= = =
3 = 900
2
53
= 1080
=900 2 6.34
9.81+ 1080
= 2243.3
3. En una instalacin de una tubera expuesta a la intemperie que se realiza para
llevar agua a cerro de Pasco, se necesita construir unos soportes de concreto como
se muestra en la figura se quiere calcular la fuerzas de reaccin X, Y de soporte,
si sabemos que el agua fluye a 0.5 m3/s y se desva en el soporte con un Angulo
de 120 se ignora la friccin en el Angulo.
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SOLUCION
= (. )
rea de la tubera: = 2
4 = 0.0324 2
Velocidad del flujo: =
= 15.43
= (2 1) 2 = 2 ( ) 1 = 160 ( )
1 = 2
=
- = (2 (1)60) - = 1(1 (1)60)
- = 1(0.5) = 1000 0.5 (15.43)(0.5)
= 3857.5
= (2 1) 2 = 0
1 = 160 ( )
=
= (2 (1)60) = 1(0 + 160)
= 1(0.866) = 1000 0.5 (15.43)(0.866)
= 6681.19
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4. En la instalacin de una red de tubera se utilizan cajas de distribucin como se
muestra en la figura en la cual ingresa agua por 2 tuberas y sale por dos restantes
para la distribucin de agua como se muestra, se necesita saber Qu fuerza se
necesita para mantener quieta la caja?
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SOLUCION:
= (. )
=
= (3 3 60 + (2)(2) 60 + (1)(1) 45)
= (36 0.024 60 + (30)(0.033) 60 + (18)(0.030))
45
= 0.8614
= 1000 0.8614
= 861.4
= (. )
= ((4)(4) + 3 3 60 + (2)(2) 60 +(1)(1) 45)
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= (45 (0.021) + 36 0.024 60 + (30)(0.033) 60
+ (18)(0.030)) 45
= 0.13779
= 1000 0.13779
= 137.79
5. En el rio san juan se va a construir un vertedero como el que se muestra en la
figura. La velocidad es uniforme en las secciones 1 y 2, mientras que las lneas de
corriente son paralelas si las secciones se encuentran suficientemente lejos del
vertedero.
Despreciando perdidas y conociendo que h1 = 5 m y h2 = 0.7 m, calcular V1, V2
y la fuerza horizontal F ejercida por el agua sobre el vertedero.
Respuesta:
Utilizamos un volumen de control rectangular, con paredes verticales suficientemente
alejadas y horizontales
en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por unidad de profundidad.
Aplicando la conservacin de masa:
1. 1 = 2. 2
Aplicando de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:
1 +1
21
2 + 1 = 2 +1
22
2 + 2
Considerando p1 = p2 = presin atmosfrica, resulta:
12 2
2 = 2(2 1)
Despejando V2 de la conservacin de masa y reemplazando:
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1 = 22
1 + 2 1 = 1.298 /
2 = 9.272 /
= (. )
= + ,
Donde: , =
Integrando las fuerzas de presin:
, = (1 ) 1
0
(2 ) =
2(12 22)
2
0
Reemplazando
+ , = (2 1)
= (2 1)
2(12 22)
= (22 2 12 1)
2(12 22)
= 64344 /
6. Calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo
=37c
A1=0.5m2
P1=10N/m2
V1= 10 m/s
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A2=O.7m2
P2=12 N/m2
V2=8 m/s
P= 9810
N/m3
Q=10 m3/s
SOLUCION
P1A1 - P2A2cos - FX = pQ (V2cos - V1)
FX= pQ(V1-V2 cos) + P1A1 P2A2 cos
FX= 9810(10)(10-8cos37) + 10(0.5) 12(0.7) cos37
FX=354229.1432
FY- P2A2sen-W = = pQV2sen
Fy= pQV2sen + P2A2sen
Fy=9810(10)(8)sen37 + 12(0.7) sen37
Fy=472309.4854
7. Calcular la fuerza que se necesita para que el alabe permanesca en su sitio cuando
el flujo permanente de un chorro de agua golpe sobre el.
VO=10 m/s
A0=0.5 m2
P=9810 N/m3
=45
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SOLUCION:
FX= pQ(V1-V2 cos) + P1A1 P2A2 cos
Para Q= v0A0
FX=pQVo(1- cos) = pA0(V0)2(1- cos)
Fx= pA0(V0)2(1- cos)
Fx=143664.1230
Fy= pQV2sen
Para Q= V0A0
Fy=pQV0sen
Fy=pAo(V0)2 sen
Fy=9810(0.5)(102)sen45
Fy=346835.8762
8. Para el aliviadero mostrado, hallarla fuerza F, para retener la plancha de ancho b,
asumir que la presin en 1 y 2 se distribuye hidrostticamente y no hay perdidas
menores
SOLUCION:
Por continuidad:
De la ecuacin de cantidad de movimiento entre 1 y 2
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Reemplazando los valores de (1), (3) y (4) en (2)
9. Encontrar la fuerza ejercida por la boquilla sobre la tubera de la figura. Despreciar
las perdidas. Elfluido es aceite de peso especfico relativo 0.85, y.
Para determinar el caudal en volumen se escribe la ecuacin de Bernoulli aplicada
a la seccin 1anterior a la boquilla y a la seccin 2 aguas abajo del extremo de la
tobera la expresin es nula.
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Sea fig. (b) la fuerza ejercida sobre el cuerpo libre del lquido por la boquilla; entonces
10. En la instalacion de gran velocidad mostrada en la figura, calcular la fuerza que
el agua impone a la tuberia en el chiflon.
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SOLUCION
El rea de la boquilla del chifln y la tubera son respectivamente
El caudal
La presin en la seccin, antes del chifln, se calcula:
La fuerza que el agua impone a la tubera en el chifln se calcula de la ecuacin de
cantidad de movimiento
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11. calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo.
SOLUCION:
= (v2 v1) si: =111
= (v2cos - v1) + 22 cos - 11
- 22 sin W = v2sin
Donde: w=0
El peso es despreciable
12. Un chorro horizontal de agua de 5 cm de dimetro y una velocidad de 30m/s choca
contra la punta de un cono horizontal, el cual desva el agua en 45o respecto a su
direccin original. Cunta fuerza se necesita para sostener el cono contra el
chorro de agua?
Los efectos gravitacionales son de los que se hizo caso omiso
= 2 sin + 22 sin
V. DE SALIDA
W
2
1
P2V2A P2A2
P1A1 F
F
Y
VELOCIDAD DE
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SOLUCION:
= = = (1000/m3)(0.05)2
4(30/) = 58.90/s
De la figura:
= 2 cos 1 si: 1 = 2 = y 1 = 2 =
Entonces:
= (cos 1)
= 0 ( )
sustituimos los valores:
= (58.90/)(30m/s)(cos 45 1)(
1
1. /2)
FX = 518
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13. La fuerza que se necesita para que el alabe permanezca en su sitio, cuando el flujo
permanente de un chorro de agua golpea sobre l.
SOLUCION:
Entonces:
= (1 2 cos ) 11 22 cos
:
1 = 2 =
1 = 2 =
1 = 2 = = 0
=
Para
= (1 cos ) = 2(1 cos )
Para
= 2 sin + 22 sin
= 2 sin
NOTA:
Para este tipo de problema se debe
suponer que no hay cambios en la
velocidad y en el rea transversal del
chorro.
V0 A0
FY
VO
AO
FX
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14. Se muestra un trpode que sostiene una boquilla, la cual dirige un chorro de agua
de 5cm de dimetro proveniente de una manguera. La masa de la boquilla es de
10kg, cuando est llena con agua. El trpode puede suministrar una fuerza nominal
de soporte de 1800N. Un bombero estaba parado 60cm detrs de la boquilla y
resulto golpeado por esta cuando el trpode fallo repentinamente y solt la
boquilla. El lector ha sido contratado para reconstruir el accidente y despus de
probar el trpode ha determinado que, a medida que el flujo del agua aumento,
hizo caer al bombero a 1800N. En su informe final, debe dar la velocidad del
velocidad del agua y el flujo coherentes con la falla, as como la velocidad de la
boquilla cuando golpeo al bombero
Solucin:
Densidad del agua es 1000/3
Ecuacin general:
=
Dnde:
= 1
Para la fuerza aplicada en el trpode es , se asume una direccin x positiva.
= 0 = = 2
42
(1800) (1.
2
1) = (
1000
3)
(0.05)2
42
= 30.2775/
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Caudal
= =(0.05)2
4(30.2775
) = 0.059453/
Aceleracin de la boquilla:
=
=
1800
10(
1.2
1) = 180/2
=1
22 =
2
=
2(0.6)
180/2= 0.0816
= = (180
2) (0.0816) = 14.7/
15. Un bombero necesita ascender a un edificio de 10m de alto. Hay una manguera
grande llena con agua a presin que cuelga hasta abajo desde la parte superior del
edificio. El bombero construye una plataforma cuadrada y monta cuatro boquillas
de 5cm de dimetro que apuntan hacia abajo en cada una de las esquinas. Cuando
se conectan ramificaciones de la manguera puede producirse un chorro de agua
con una velocidad de 15m/s que sale por cada una de las boquillas. l, la
plataforma y las boquillas tienen una masa combinada de 150kg.
Determine:
a. La velocidad mnima del chorro de agua necesaria para elevar el sistema.
b. Cuanto ms la cantidad de movimiento har subir a jones, si este corta el
agua en el instante en que la plataforma alcanza los 10m arriba del suelo.
Cunto tiempo tiene para saltar de la plataforma al techo?
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SOLUCIN:
De lo mencionado podemos decir que:
La resistencia del aire es insignificante El flujo del agua es estable unidimensional, que se encuentra quieto
inicialmente para un = 0 Flujo uniforme entonces consideraremos el factor de correccin = 1 Densidad del agua es 1000kg/3
a) La masa total de del flujo de agua a travs de las 4 mangueras y el peso total
de la plataforma son:
= = 42
4 = 4 (
1000
3)
(0.05)2
4(
15
) = 118/
= = (150) (9.81
2) (
1
1.2
) = 1472
Ecuacin general:
=
La velocidad del chifln es mnima que acta en la plataforma igual a cero
= () 0
= = = 42
4
2
:
=
=
(.
)
(
)(. )
= . /
La ecuacin de cantidad de movimiento:
= () 0 =
-
MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 31
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= 1472 (118
) (
15
) (
1.2
1) = 298
Entonces la aceleracin y el tiempo ascendente a elevarse 10m y la velocidad en
ese momento se convierte en:
=
=
298
150(
1./2
) = 2.0m/s2
=1
22 =
2
=
2(10)
2/2= 3.2
= = (2
2) (3.2) = 6.4/
b) Cuando el agua se encuentra en 10m de altura, la plataforma desacelera
bajo la influencia de gravedad, durante un tiempo y la subida adicional por
encima de 10m en lo que favorece.
= 0 = 0 =0
=6.4/
9.81/2= 0.65
=
= (
.
) (. )
(.
)(. ) = .
-
MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 32
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16. En el reservorio de agua del AA.HH. Columna Pasco, fluye el agua a razn de
18.5 l/seg por una llave que est sujeta mediante una brida que tiene un grifo con
vlvula de compuerta. El dimetro interior del tubo en la ubicacin de la brida es
de 0.780 pulgadas (=0.02 m) y se mide que la presin en ese lugar a temperar
ambiente del agua, y H=2m . El peso total del conjunto de la llave, mas al agua
que est en su interior, es de 5,79 Kgf. Calcule la fuerza neta para mantener la
brida en su lugar, y no haya perda agua.
2 = 1 = =
=
2 4=
18.5
13
1000
(0.02 )2 4= 58,89 /
Tambien:
2 = 2 =1000
3 2 = 2000 /2
= = (1000
3) (18.5
13/1000) = 18.5 /
Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento:
=
Considerando que las componentes X y Z de las fuerzas que actan sobre la brida son
FRx y Frz. Suponga que tiene direcciones positivas. La magnitud de la velocidad en la
direccin x es +V1 a la entrada, pero 0 ala salida. La magnitud de la velocidad en la
direccin Z del agua es cero a la entrada, pero V2 a la salida. Tambin, el peso de la
llave y del agua dentro de elle acta en la direccin Z, como una fuerza del cuerpo.
-
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Ninguna fuerza de presin o viscosidad acta sobre el volumen de control elegido en la
direccin Z.
+ 2 = 0 1
= (2) 0
Reemplazando datos:
= (18,5
) (58.89
)
9.81
2 (2000
2)
(0,02)2
4= 112
= (18,5
) (58,89
) (
9,81
2) + 5,79 = 105
Entonces la fuerza resultante es:
= (112)2 + (105)2 = 154
17. En el reservorio de destilacin de la empresa EMAPA PASCO, que se muestra en
la figura. l agua fluye a razn de 350 l/seg; una compuerta que posibilita pasar
el caudal con una determinada abertura. El objeto es calcular la accin sobre
la placa para retener el flujo. Sabiendo que h1=3m; h2=1m; la placa tiene un ancho
de 2 m y que la presin en 1 y 2 se distribuye hidrostticamente.
SOLUCION:
Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento tenemos que:
Fp1 =
212 Fp2 =
222
-
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Por continuidad:
U. b. h1 = 2. . 2 2 =1
2
= . (. 1) U=U1
=(350
13
1000)2. 3
= 0,06 /
Reemplazando tenemos:
= . .12
2 . .
22
2+ . . . 1. (.
1
2 )
=1000
3. 2.
(3)2
2
1000
3. 2.
(1)2
2
+1000
3.0,06
. 2. 3. (
0,06
.3
2
0,06
)
1
9,81. /2
A=2651, 46 Kg-f
18. El tanque elevado de la Institucin Educativa COLUMNA PASCO; tiene una
conduccin que consta de un tramo vertical seguido de uno horizontal mediante
un codo de 90, saliendo el agua al exterior a razn de 0,05 l/s a travs de una
boquilla, tal como se muestra en la figura. Se pide:
a) Las fuerzas componentes paralelas, normales a la velocidad de aproximacin,
que se requieren para mantener el codo en su sitio y la direccin del mdulo.
-
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SOLUCION:
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
1
+
12
2+ 1 =
2
+
22
2+ 2
Z1=Z2 V1=V2 P1/=P2/ P1=P2
P=.H= 1000*750= 750000 Kgf/m^2
V1=Q/A= (50
13
1000)/(. (1)2) 4) = 0,06 /
La ecuacin de cantidad de movimiento en el eje X y Y
= 1. 1. 1 + 1. 1
=1000
3
1
9,81 /2
0,053
0,06
+
750000
2 .
(1)2
4
= 589048,93
Fy=Fx=589048,93Kgf
Ladireccion es:
= tan1 (
) = 45
-
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19. A travs de una tubera de 50 cm de dimetro que tiene un codo de 90 circulan
600 l/m^2.Determinar las fuerzas componentes paralelas y normales a la
velocidad de aproximacin, que se requieren para mantener el codo en su sito.
Despreciar las perdidas.
SOLUCION:
Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:
1
+
12
2+ 1 =
2
+
22
2+ 2
Z1=Z2 , V1=V2 , V1=3,06 , 1
=
2
, P1=P2=7000 Kg/m^2 , P1=P=7000
Kg/m^2
La ecuacin de cantidad de movimiento en el eje x:
Fx=102*0,6*+7000*(*0,5^2/4)=1561,7 Kg-f = 1 1 1 + 1 1
= 2 2 2 + 2 2 , A1=A2 , 2 = 2 , P1=P2 , V2=V1
Fy=1561,7 Kg-f.
20. Resolver el problema cuando las perdidas en el codo vienen dadas por 0,6
V1^2/2g siendo V1 la velocidad de aproximacin, y comparar los dos resultados.
SOLUCION:
Tomando un volumen de control sobre el codo y situado en el plano horizontal X-Y.
a) Considerando sin prdidas en el tubo codo.
Fx=Fy=1561,7 Kg-f.
-
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1
+
12
2=
2
+
22
2
2
=
(12 22)
2+
1
=
Q=40000(Lt/min)*(min/60 seg)*(m^3/1000 Lt) = 0,67 m/seg
P1=1,5 Kg/m
V1=Q/A1= O,67/(*0,45^2/4)=4,212 m/seg D1=0,4
5 m
D2=
0,60 m
P2/=(4,212^2)-(2,369^2/19,6)+1,5*10^4/0,83*1000= 18.618 m S=O.83
P2= 18,618*=18,618*0,83=15452,92 Kg/m^2 Q=40000Lt/min
Dela ecuacin de la cantidad de movimiento:
= 1 . 1 + (.
) 1
= 15000 0.452
4+ (1000 0.67 4,212 0,83)/9.81
-
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Fy=2523.34 Kg
Fx= 4369.2+200,4=4569.63 Kg
b) En consideracin de prdidas en el codo la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2.
1
+
12
2=
2
+
22
2+
2 =12 22
2 +
1
=
1 22 0.612
2+
1
=
0,412 22
2+
1
2
=
4,2122 2,3692
19,12 0.6
4,212
1962+ 1,5
14
0.83 1000= 18,223
2 = 18,223 0,83 1000 = 15125,57 /2
= 1 1 + (
) 1 = 2623.34
= 2 2 + (
) 2 = (
0,62
4) 15125,57 + 200,4 = 4477,17
Conclusin sin perdidas Fy=2623,34 Kg Fx=4569,63 Kg
Conclusin con prdidas Fy=2623,34 Kg Fx=4477,17 Kg
21. El chorro de agua golpea perpendicularmente a una placa fija. Despreciando la
gravedad y la friccin, calcule la fuerza F en N requerida para mantener la placa
fija. Las cantidades a analizar se muestran en la figura.
-
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Utilizando un volumen de control que incluya tanto a la placa como al chorro que incide
y tomando = (ya que solamente en x se lleva a cabo el anlisis al considerar que el chorro se divide en dos partes iguales que hacen que en Y se anulen las fuerzas), se tiene: Se indicar slo la componente en la velocidad en x que es u.
= =
, =
= = (998 / 3 ) (0.05 ) 2
(8 /) 2
= 500
22. Una tubera de 60cm de dimetro, que transporta 900l/seg de un aceite (Dr=0,85),
tiene un codo de 90en un plano horizontal. La prdida descarga en el codo es de
1,10 m de aceite u la presin a la entrada de 3,00 kg/cm. Determinar la fuerza
resultante ejercida por el aceite sobre el codo.
Solucin:
con referencia a la figura el diagrama del cuerpo libre, que se muestra, pone de manifiesto
las fuerzas estticas y dinmicas que actan sobre la masa de aceite que ocupa el codo.
Dichas fuerzas se calculan as:
() 1 = 1 = 3,00 1
4(60)2 = 8480
-
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() 2 = 2, 2 = 1
2,
, 1 = 2
1 = 2, , 2 = (3,00 0,85 1000 1,10
104)
1
4(60)2 = 8220
()
1 = 2 =
= 3,2
1 + ( ) 1 = 2
8480 = (0,85 1000 0,9000
9,8) (0 3,2) = 250
= 8730
() , = 1 ,
1 + ( ) 1 = 2
8220 = (0,85 1000 0,900
9,8) (3,2 0) = +250
= +8270 .
Sobre el codo la fuerza resultante R acta hacia la derecha y hacia abajo, y su valor es
igual a:
= (8730) + (8270) = 12,025 = (8270
8730) = 43,4
-
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23. El rociador mostrado en la fig. Suministra agua que es descargada
tangencialmente desde los chiflones, en los extremos opuestos de un brazo cuya
longitud es de 2 = 0.60 y gira alrededor de su centro. La velocidad relativa
de descarga V en los chiflones de 6 m/s Y el dimetro de cada chifln en de 13
milmetros. Calcular la magnitud de la fuerza?
Solucin:
De la ecuacin de la cantidad de movimiento la fuerza dinmica que impulsa a cada
chifln es:
=
( 0)
Siendo el rea de cada chiflo y Q=va el gasto descargado por el mismo, la fuerza ser:
=
=
1000 (0.013) (6)
9.8 4
= 0.488
= 2 = 0.488 0.6 = 0.292 .
La fuerza F es entonces:
=
2=
0,292
0,15 = 1.952
24. Los chorros de un aparato de riego por aspersion tiene 3 cm de dimetro y salen
en direccin normal al radio de 60 cm. si la presin en las bases de las boquillas
es de 3.50 kg/cm Qu fuerza debe aplicarse sobre cada uno de los brozos a 30
cm del eje de giro, para mantener el espesor en reposo? (utilizer Cv =0.80 y Cc =
1.00)
Solucin:
-
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La reaccin producida por el chorro del aspesor puede calcularse por el principio de la
cantidad de movimiento. Ademas, como la fuerza que produce el cambio en la cantidad
de movimiento en la direccion X actua a lo largo del eje X no da lugar a ningun par.
Interesa por tanto la variacion de la cantidad de movimiento el la direccion Y. pero la
cantidad de movimiento inicial en la direccion Y en nula. La velocidad del chorro sera:
= 2 = 0,802(35,0 + )
= 21,0 /
As, = () = [1000
9,8
1
4(0,03)2 21,0 ] (21,0)
De donde = 31,8 dirigida hacia abajo y actuando sobre el agua. De aqu, la
fuerza que el chorro ejerce sobre el aspersor es de +31,8 kg y dirigida hacia arriba.
Finalmente.
= 0, (0,3) 0,6(31,8) = 0, = 63,3
25. Un viento de una velocidad de 80 Km/h choca una pancarta de sealizacin de
2.0m por 2.5m incidiendo normalmente a su superficie. Para una lectura
baromtrica normal. Cul es la fuerza que acta contra la seal? (w=1.200kg/m)
Solucin:
Para un chorro de fluido, de pequea seccin transversal, que incide sobre una placa en
reposo de grande dimensiones se ha visto que la fuerza ejercida por el fluido es,
() = () (
) () = x
La placa en reposo que se considera en este problema a una gran cantidad de aire. Su
cantidad de movimiento no se reduce a cero en la direccin X, como suceda en el caso
-
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del chorro de agua. Los ensayos realizados con placas que se mueven a travs de fluidos
de diferentes velocidades muestran que el coeficiente de resistencia vara con la relacin
de longitud a anchura y que su valor es prcticamente constante por encima de nmero
de Reynolds iguales a 1000. Es diferente que el objeto se mueva a travs de un fluido de
reposo o sea el fluido el que se mueva alrededor del objeto en
reposo; los coeficientes de resistencia y las resistencias totales son iguales en ambos
casos. La velocidad relativa es la magnitud significativa.
El coeficiente (Cd) se emplea en la siguiente ecuacin:
=
2
Esta ecuacin se escribe a veces para incluir la altura de velocidad, en la siguiente forma:
=
2
Utilizando Cd = 1,20 obtenido en el diagrama F,
= 1,20 (1,200
9,8) (5)
(80 1000 3600)
2= 181
26. Calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo.
SOLUCION:
11 22 = (2 1 )
= (1 2 ) + 11 22
-
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27. Una pieza especial consta de dos boquillas de dimetro 22 mm, que descargan a
la atmsfera cada una un caudal de 9 l/s. Esta pieza est unida en B a una tubera
hierro galvanizado de 125 mm de dimetro. Tanto la tubera principal como la
pieza especial se encuentran apoyadas en un plano horizontal. Se pide,
despreciando las prdidas de carga en la pieza especial:
a) Esfuerzos (Fuerzas Fx, Fy) que se producen en la unin.
Aplicando la ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:
22 = 2 W= 0
= (2 ) + 22 + 22
= 1 = 2
+
2
2+ =
1
+1
2
2+ 1 =
2
+2
2
2+ 2
Donde: 1 = 2 = 0 ademas, = 1 = 2
-
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a) Aplicacin de la ecuacin de la cantidad de movimiento
Fuerza de presin:
= = 279199 0.1252
4= 3426.3
Por lo tanto:
=23.682 1.472
19.6= 279199
+
2
2=
12
2
Calculo de velocidades
1 =
2
4
=0.009
(0.022)2
4
= 23.68
=
2
4
=0.018
(0.125)2
4
= 1.47
-
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Entonces los esfuerzos en la brida de unin son:
Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:
= (
)
+ = (11 )
3426.3 + = 1000(0.009 23.68 0.018 1.47)
= 3426.3 + 1000(0.009 23.68 0.018 1.47)
= 3666
() = 3666
= (11)
= 1000(0.009 23.68)
= 213 () = 213
-
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28. Se usa un codo de 45 para dirigir agua que circula con un gasto de 250 . La
presin en el punto A es de 1.48 1.48
2 . Calcular la fuerza ejercida por el
agua sobre codo, despreciando las prdidas de carga.
Velocidades en los puntos A y B:
Tomando Bernoulli en los puntos A y B:
Las fuerzas en A y B:
=
=
0.2504 (0.305)
2= 3.43 =
2
2+
+ =
2
2+
+
3.432
19.6+ 14.8 + 0 =
3.432
19.6+
+ 0.50
14.8 +
+ 0.50
= 1.43
2
= = 1.48 730 = 1080
= = 1.43 2920 = 4176
-
MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 48
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La cantidad de movimiento: Para fuerzas horizontales:
Para fuerzas verticales:
Entonces la fuerza ejercida por el agua ser:
4176 45 1080 =1000
9.8(0.250)(0.86 45 3.43)
2953 1080 = 25.5 (0.61 3.43)
1873 = 72
= 1945
4176 45 =1000
9.8(0.250)(0.86 45 0)
2953 = 15.5
= 2968.5
= 2 +
2 = 19452 + 2968.52
= 3549
-
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29. Se usa un codo de inversin tal que el flujo de agua realiza una vuelta en U de
180 que viene de una tubera horizontal a razn de 14
. El rea de la seccin
transversal del codo es de 113 2 y de 7 2 a la entrada y salida
respectivamente. La diferencia de elevacin entre los centros de las secciones de
entrada y salida es 0.3 m. Determine la fuerza de anclaje necesaria para sostener
el codo en su lugar.
SOLUCION:
Las velocidades en la entrada y salida son:
Bernoulli en 1 y 2
La componente vertical de la fuerza de anclaje en la conexin del codo y el tubo
es cero en este caso = 0, ya que no existe otra fuerza ni cantidad de movimiento
en esa direccin (se est despreciando el peso del codo y el agua). La componente
horizontal de la fuerza de anclaje se determina con base en la ecuacin de la
cantidad de movimiento en la direccin x. Ntese que la velocidad de salida es
negativa, puesto que se encuentra en la direccin x negativa, entonces se tiene:
1 = 14
(1000)(0.0113)= 1.24
1 = 14
(1000)(0.0007)= 20
12
2+
1
+ 1 =2
2
2+
2
+ 2 1 = (2
2 12
2 2 1)
1 = (1000)(9.81)[(20)2 (1.24)2
2(9.81) 0.3 0](
1
1000 2)
1 = 202.2 /2 = 202.2 KPa
-
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Por lo tanto la fuerza horizontal sobre la brida es de 2591 acta en la direccin X
negativa.
30. En la conexin de agua a un domicilio se utiliza un tubo de 1 de dimetro por la
cual fluye un caudal de 105 con una presin de 1.84
2 , la cual por medio
de una reduccin pasa a un dimetro de 3 4 . Determinar la fuerza que ejerce el
agua sobre la reduccin.
SOLUCION:
reas y velocidades
Aplicamos Bernoulli en 1 y 2:
1 =(0.0254)2
4= 0.0005
2 =(0.019)2
4= 0.0003
1 =0.105
0.0005= 210
2 =0.105
0.0003= 350
= (1.03)(14)(20 + 1.24) (1
1 2) (202.2)(0.0113)
= 306 2285
= 2591
-
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Aplicando la ecuacin de la cantidad de movimiento
31. Hallar el peso W en kilogramos que esta siendo sostenido por el chorro de agua
mostrado, si el diametro de la boquilla es de 8cm y la velocidad es Vo=15m/s. La
altura de esquilibrio H=3m.
12
2+
1
+ 1 =2
2
2+
2
+ 2
1
+1
2
2=
2
+2
2
2
2 = 1(2
2 12
2)
2 = 1.84(3502 2102
19.6)
2 = 7360
2
= 2 1
11 + =
(2 1)
(1.84)(0.0005) + =1000
9.81(0.105)(350 210)
0.001 + = 281.25
= 1498
= 1498
-
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Si V1 es la velocidad de entrada y aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento.
P1*A1-W=p*Q*(VSY-V1).. (1)
VSY=proyeccin de la velocidad de salida en el eje Y.
P1=Patm
0-W=p*Q*(0-V1)
W= p*Q*V1 (2)
Aplicando Bernoulli entre 0y1.
0+VO2
2.g+0 = 0+
VO2
2.g+H
V1=V02 2. g. H. (3)
Q=A0*V0. (4)
(4)(3) en (2)
W=p*A0*V0* V02 2. g. H
W=1000*15*0.082
4*152 2 9.8 H
W = 972N = 99.2Kg
-
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32. Fluye agua a razn de 5m/s por una llave que est sujeta mediante una brida que
tiene una valvular de compuerta parcialmente cerrada. l dimetro interior del
tubo es 0.4m y se mide que la presin manomtrica en ese lugar es 30Kg/m2.El
peso total del conjunto de la llave ms el agua es 25Kg, calcule la fuerza neta de
la brida.
SOLUCION
V2=V1=V=5m/s
0.42
4
=39.788m3
m=P.V=1000Kg/m3*5m/h
Se aplica la ecuacin de cantidad de movimiento
F = B. m. Vsal - B. m. Vent
Mdulo Vx = +V1 entrada
Mdulo Vx = 0 salida
Mdulo Vz = 0 entrada
Mdulo Vz = -V2 salida
Peso de llave y del agua en direccin de Z. Ninguna fuerza de presin viscosa acta
sobre el volumen de control elegido en direccin Z.
ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO A LO LARGO DE X, Z
FRX=P1man*A1 = 0-m*(+V1)
FRZ - Wllave - Wagua = m*(-V2) 0
Se despeja FRX,FRZ y se sustituyen los valores dados.
-
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FRX = -m*V1 - P1man*A1
FRX = -39.788*5000 -30* 0.42
4=-198943.7699
FRZ=-39.788*5000 25Kg = -198965.0
FR brida = 19894,7699i,198965k
33. Considere el flujo laminar a travs de una seccin recta muy larga de un canal de
agua que consta de un tubo circular con la componente axial de la velocidad dada
por:
V=2*Vprom*(1 - r2
R2)
R=radio de la pared interior del tubo
Vprom=velocidad promedio
Calcule el factor de correccin del flujo de la cantidad de movimiento atravez de una
seccin transversal del tubo para el caso donde el flujo en este representa una salida del
volumen del control.
SOLUCION
Se calcula el factor de correccin del flujo de cantidad de movimiento.
Factor de correccin del flujo de la cantidad de movimiento
B*1
Ac*(
V
Vprom)
2*dAc . (1)
En (1) se sustituye V por el perfil dado la velocidad y se integra dnde:
dAc = 2 rdr
B*1
Ac*(
V
Vprom)
2*dAc =
4
R2* (1
r2
R2R
0) 2 rdr
-
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Se define una nueva variable de integracin
Y = 1 - r2
R2 Dy = 2 rdr/R2
Y=1 , r=0 Y=0 , r=R
Se integra
B = -4 Y20
1dY = -4(
Y3
3) =
4
3
Se a calculado B para una salida, pero se habra obtenido el mismo resultado si se hubiera
considerado la seccin transversal del tubo como una entrada de volumen de control.
34. Se acelera agua mediante una boquilla hasta alcanzar una magnitud promedio de
velocidad 10m/s despus choca ,el chorro de agua se dispersa en toda direccin
en el plano de la placa .Determine la fuerza necesaria para impedir que la placa se
mueva horizontalmente debido al chorro de agua.
SOLUCION
Se traza el volumen de control en tal forma que contenga la placa completa y corte
normalmente el chorro de agua y la barra de soporte.
Ecuacin de cantidad de movimiento para el flujo unidimensional estacionario en reposo.
F = B. m. Vsal - B. m. Vent
V1,X = V1 y V2,X=0
-FR = 0 B.m.V1
-
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FR = B.m.V1 = 1*(10Kg)*(10m/s)*(N
1Kgm/s2) = 100N
35. Un chorro de agua que sale de una tubera estacionaria con velocidad de 15m/s y
la rea del chorro = 0.05m2 incide contra un alabe curvo montado en un carrito
como se muestra en la figura. El alabe modifica la direccin del chorro en un
Angulo =50.Calcular en valor de M necesario para mantener el carrito en
reposo.
SOLUCION
Vc=volumen de control
Rx, Ry =componentes de la fuerza necesaria para mantener en reposo el Vc.
SUPOSICIONES
El flujo es estacionario La magnitud de la velocidad a lo largo del alabe es constante Las propiedades del fluido son uniformes en las secciones 1 y 2 Fax=Fbx=0 Flujo incomprensible
Rx = u(p. v. dA)A1
+ u(p. v. dA)A2
= -u1.(p.V1.A1) + u2(p.V2.A2)
DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD
Rx = (u2-u1)(p.V1.A1)
Las velocidades respecto al volumen de control son.
u1=V u2 = Vcos
V1 =V V2 = V
-
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SUSTITUYENDO
Rx=V (cos 1)(P.V.A) = P.V2. (cos 1).A = -M
M = p.V2. (1 cos ).A
36. Un orificio en pared delgada de 150 mm de dimetro situado a una profundidad
de 7,5 m sobre la pared de un depsito descarga un caudal de 180 l/s de agua. El
chorro incide sobre una pantalla plana, inclinada 60 con la horizontal. Para
mantener dicha pantalla en esa posicin hay que aplicar frente al chorro una fuerza
de 180 kg en direccin perpendicular a la pantalla.
Suponiendo constante la altura del depsito, calcular:
a) los coeficientes de los orificios Cc, Cv, y Cd.
b) Reparto de caudales en la pantalla.
Nota: Suponer nulo el rozamiento en la placa.
Resolucin.
a) Coeficientes de los orificios Cc, Cv, y Cd.
Velocidad terica v1t del chorro:
-
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1 = 2(7.5) = 12.12 /
Caudal terico del chorro:
=0.152
412.12 = 0.2143
3
= 214.3 /
Coeficiente de caudal: =1
=
180
214.3= 0.8
Aplicacin de la Ecuacin del Teorema de la Cantidad de Movimiento.
= [ ]
1) Eleccin del Volumen de Control, (indicado en el dibujo).
2) Fuerzas exteriores al Volumen de Control.
La presin exterior al Volumen de Control es atmosfrica. Por tanto se anula. El peso
del lquido del Volumen de Control se considera despreciable. La fuerza en direccin x
de la placa sobre el Volumen de Control, no existe por la no existencia de rozamiento en
la placa.
Rx = 0
La fuerza en direccin y: Ry = F = 180 kg = 1764 N.
3) Las velocidades en las secciones 1, 2 y 3 del flujo son idnticas, si se aplica la Teora
General de labes, donde las prdidas de carga y las diferencias de cota son despreciables.
v1 = v2 = v3
4) Direccin Y
= [
]
= [0 1(160)]
-
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= 1160
1 =1764
1000(0.18)(60)= 11.32 /
Coeficiente de velocidad: =1
1=
11.32
12.12= 0.933
Coeficiente de contraccin: =
=
0.84
0.933= 0.9
Direccin X:
= [
]
0 = [(22 33) 11 cos 60]
Como: v1 = v2 = v3
2 3 = 1 cos 60
Aplicando la Ecuacin de la Continuidad:
2 + 3 = 1
Resolviendo este sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:
2 = 1(1 + cos 60)
2= 135 /
3 = 1(1 cos 60)
2= 45 /
-
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37. Una rueda de una turbina Pelton es alimentada por un inyector situado en la cota
125. La tubera forzada es de acero comercial de 500 mm y 1400 m de longitud.
Si el dimetro del chorro es de 9 cm y el factor de paso de la boquilla es 0,025 con
la energa cintica a la salida, calcular:
a) Caudal circulante. b) La velocidad del chorro. c) La velocidad u de los labes para que la potencia obtenida sea la mxima,
suponiendo nulas las prdidas por rozamiento del chorro a su paso por el labe o
cazoleta.
d) Par y potencia obtenida por la turbina. e) Velocidad del chorro a la salida del rodete.
Resolucin.
a) Clculo del caudal circulante:
Aplicacin de la ecuacin de Bernoulli del embalse hasta el chorro:
= = 1
Las prdidas de carga en la tubera forzada se calculan por medio de la expresin de
Hazen-Williams: = 1.852( )
( ) = 0.006
( ) =
0.006
50= 0.00012
-
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Coeficiente de Hazen-Williams = 140
1 = = 9.22108 (
( )1.852
)
4.75 9.22 108 ( )
1.852 0.0251
2
2= 125 +
12
2
Donde 1 =4
2=
4
0.092= 157.9 (
3 )
Solucin: = 510 1 = 80.2
1 = 1
Suponiendo despreciables las prdidas en la cazoleta:
1 = 2 = 3 = (1 )
Aplicacin del teorema de la Cantidad de Movimiento, al labe:
= [ ]
= [2(1 ) cos 2 3(1 ) cos 2 (1 )]
Siendo: 2 + 3 = 1 = 510
= (1 ) (1 + cos 2)
Fx = Fuerza transmitida al rodete = Rx ()
Potencia til = = (1 ) (1 + cos 2)
-
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Obtencin de u para mxima potencia:
= (1 + cos 2)(1 ) = 0 =
12
Por tanto: =80.2
2= 40.1
= =()
60; =
60
=
6040.1
1000= 0.766
Fuerzas:
(1 ) (1 + cos 2) = 1030.510(80.2
80.2
2)(1 + 6) = 40773 N
= = 407730.766
2= 15607 .
= = 4077340.1103 = 1634
= 40.1
= = 40.1
Teorema del coseno:
22 = 2 + 2 2 6
2 = 4.2
38. En un vertedero bidimensional como el que se muestra en la figura fluye agua. La
velocidad es uniforme en las secciones 1 y 2, mientras que las lneas de corriente
son paralelas si las secciones se encuentran suficientemente lejos del vertedero.
-
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Despreciando prdidas y conociendo que h1 = 5 m y h2 = 0.7 m, calcular V1, V2 y la fuerza
horizontal F ejercida por el agua sobre el vertedero.
Respuesta:
Utilizamos un volumen de control rectangular, con paredes verticales suficientemente
alejadas y horizontales en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por
unidad de profundidad.
Aplicando la conservacin de masa:
11 = 22
Aplicando la integral de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:
1 +1
21
2 + 1 = 2 +1
22
2 + 2
Considerando p1 = p2 = presin atmosfrica, resulta:
122
2 = 2(2 1)
Despejando V2 de la conservacin de masa y reemplazando:
1 = 22
1 + 2
Evaluando:
1 = 1.298
; 2 = 9.272
Aplicamos conservacin de momento en el mismo volumen de control, utilizando presin
atmosfrica nula para simplificar. Siendo F la fuerza del vertedero y Fs, x la fuerza
superficial:
-
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+ , = (. ).
Integrando las fuerzas de presin:
, = (1 ) 1
0
(2 )2
0
=
2(1
2 22)
Reemplazando y evaluando los flujos de momento resulta:
= [2221
21 1
2(1
2 22)]
Y evaluando:
= 64344
39. Los pilares de un puente estn separados una distancia entre ejes de 8.20 m. Aguas
arriba el tirante es 4.00 m y la velocidad media del agua 4.50 m/s. Aguas abajo el
tirante es 2.50 m. despreciando la pendiente del rio y las prdidas por friccin,
encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.
Respuesta:
Se elige un volumen de control, como el indicado, de 8.20 m de ancho y limitado por las
secciones (1) y (2).
= 11 = 11 = 147.63
2 =
2=
2= 7.2 /
-
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Suponiendo distribucin hidrosttica de presiones en las secciones 1 y 2, la ecuacin de
la cantidad de movimiento escrita en la direccin de la corriente es:
1 2 =
(2 1)
Asumiendo que sobre el agua acta la fuerza F hacia la izquierda.
Despejando:
= 1 2
(2 1)
Reemplazando:
1 =1
21
2 = 65600
2 =1
22
2 = 25625
Y los valores conocidos de Q, V1 y V2
Se obtiene:
= 648.85
40. La Tee mostrada en la figura pertenece a los accesorios de una Red de
Distribucin de un Sistema de Agua Potable de la Localidad de Huayllay.
Despreciando las perdidas, determinar las componentes segn x e y de la fuerza
necesaria para mantener en su posicin la Tee. El plano de la Tee es horizontal.
Respuesta:
-
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Siendo: 3 = 1 2 = 115 /
a) Calculo de velocidades:
1 =41
12 =
40.22
0.02652= 398.88 /
2 =42
22 =
40.105
0.02652= 190.37 /
3 =43
32 =
40.115
0.02652= 208.50 /
b) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli: Siendo Z1=Z2=Z3
En (1) y (2):
1
+1
2
2=
2
+2
2
2 2 = 1 +
2(1
222) 2
= 6277207.82 /2
En (1) y (3):
1
+1
2
2=
3
+3
2
2 3 = 1 +
2(1
232) 3
= 5908629.17 /2
c) Aplicacin del Teorema de la Cantidad de Movimiento:
Direccin Y
= [
]
33 = (33) = (33) + 33
= 5703.07 ()
Direccin X
= [
]
+ 11 22 = (22 11) = (22 11) + 22 11
-
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= 3453.83 ()
41. El agua de un canal descubierto de una boca toma fluye por debajo de la
compuerta de descarga o esclusa, como se muestra en la figura. El flujo es
incompresible y uniforme en las secciones 1 y 2. Puede suponerse que en estas
secciones la distribucin de presiones es hidrosttica porque las lneas de corriente
del flujo son esencialmente rectilneas en dichas secciones. Determinar la
magnitud y la direccin de la fuerza que acta sobre la compuerta de 1 m de ancho.
Solucin:
Utilizamos un volumen de control rectangular, con paredes verticales suficientemente
alejadas y horizontales en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por
unidad de profundidad.
Es volumen de lquido que pasa a travs de una seccin transversal en la unidad de tiempo.
Aplicando la conservacin de masa:
1 1 = 2 2
Aplicando de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:
1 +1
21
2 + 1 = 2 +1
22
2 + 2
Considerando p1 = p2 = presin atmosfrica, resulta:
1 = 1.5
-
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12 2
2 = 2(2 1)
Despejando V2 de la conservacin de masa y reemplazando:
1 = 22
1 + 2
Sin embargo por dato tenemos:
1 = 0.2
2 = 5.33
1 = 1.5 2 = 0.0563
= (. )
= + ,
Donde: , =
Integrando las fuerzas de presin:
, = (1 ) 1
0
(2 ) =
2(1
2 22)
2
0
Reemplazando
+ , = (1 2)
= (2 1)
2(1
2 22)
= (22 2 1
2 1)
2(12 22)
= 103(5.332 1.5 1 0.22 0.0563 1) 103 9.81
2(1.52 0.05632)
= 31590.395
()
-
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42. Una pieza especial consta de dos boquillas de dimetro 30 mm, que descargan a
la atmsfera cada una un caudal de 15 l/s. Esta pieza est unida en B a una tubera
hierro galvanizado de 175 mm de dimetro. Tanto la tubera principal como la
pieza especial se encuentran apoyadas en un plano horizontal. Se pide,
despreciando las prdidas de carga en la pieza especial:
Presin en A (Pa).
Esfuerzos (Fuerzas FX, FY) que se producen en la unin.
-
MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 70
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Resolucin.
a) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:
BA = B1 = B2
+
+
2
2= 1 +
1
+1
2
2= 2 +
2
+2
2
2
Tomando presiones manomtricas: P1=P2=0. Adems Z1=Z2=ZB.
+
2
2=
12
2
Calculo de las velocidades:
1 =4
12 =
4 0.15
0.152= 8.488
=4(2)
22 =
8 0.15
0.152= 16.977
Por lo tanto:
=16.9772 8.4882
19.6= 11.018 = 108086.193
b) Aplicacin del teorema de la cantidad de movimiento:
1) Eleccin del Volumen de Control C.
2) Eleccin de los ejes x, y, z.
3) Fuerzas exteriores al Volumen de Control.
-
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Fuerza de presin: = = 279199 0.152
4=
1910.041
Rx, Ry: accin de la pieza sobre el fluido.
4) Clculo de velocidades.
1 = 8.488
= 16.977
5) Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:
= (
)
= + = (2 )
= 3246.3 + 103[0.15 8.488 0.15 16.977]
= 1277.657 (() = 5.73 )
= = (1) = 103 0.15 8.488 = 1.273 ( ()
= 1.273 )
Los esfuerzos en la brida de unin son:
43. A travs del codo de 90 mostrado en el diagrama fluye agua en estado
estacionario. La presin absoluta a la entrada del codo es 21 KPa y el rea de la
seccin transversal es 0.002 m2. El rea de la seccin transversal a la salida es
0.002 m2 y la velocidad es de 16 m/s. La presin de descarga (suponemos para
este ejercicio) es la atmosfrica.
5.730KN
1.273KN
-
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Determine la fuerza necesaria para mantener el codo en su lugar.
Solucin:
SUCCION DE FONDO
a) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:
1= 21 KPa
1 = 0.25 m
1= 16 m/s
1 +1
+1
2
2= 2 +
2
+2
2
2
2(1 +1
+1
2
2) = 2
17.404 / = 2
-
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= 111 + 222
= 103 (17.404
0.002 2)
= 35.275
= 111 + 222
= 103 (16
0.002 2)
= 32.429
44. Un aceite de peso especifico relativo 0,75 fluye por un codo convergente de 120,
colocado en posicion horizontal. El diametro aguas abajo es de 600 mm y la
presin de 0,8 kg/cm2 .El diametro aguas arriba es de 750 mm y el caudal de 100
m3/mn.
Despreciando las perdidas de energia debidas al codo, se pide:
a) Componentes de la fuerza (paralela y normal a la velocidad de aguas abajo) que soporta
el codo.
V2
2
1
y
-
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Nota: Se despreciaran las energas de posicin.
Solucin:
Por continuidad:
= 100 3
1
60 = 1.667
3
11 = 22=Q
1 =4 (1.667
3
)
0.7502= 3.773
2 = (3.773
)
0.7502
0.6002= 5.896
Aplicando Bernoulli:
1 +1
+1
2
2= 2 +
2
+2
2
2
Tomando presiones manomtricas: P1=? ; P2=0.8 kg/cm2. Adems Z1=Z2
1
1 +1
2
2=
2
+2
2
2
1
1 =2
+2
2
2
12
2
1
=8000
2
7357.5+
(5.896 )
2
19.62
(3.773 )
2
19.62= 3.585
1 = 26374.379
c) Aplicacin del teorema de la cantidad de movimiento:
-
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Eleccin del Volumen de Control C.
Eleccin de los ejes x, y, z.
Fuerzas exteriores al Volumen de Control.
Fuerza de presin: 1 = 1 = 26374.379 0.7502
4=
11651.844
Rx, Ry: accin de la pieza sobre el fluido.
Clculo de velocidades.
1 = 3.773
2 = 5.895
Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:
= 111 + 222 ()
= + 22 + 1160 ()
1 = (3.773
) 60 = 2.218
2 = 5.896
Reemplazando valores en la ecuacin II:
= + (26374.379 0.7502
4) 60 + 78480
0.6002
4
= + 29038.381
Luego en la ecuacin I:
= + 29038.381 = 2.218
750 3.773
0.7502
4+ (5.896
)
2 750
0.6002
4
-
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= 24439.487 = 24439.487
Calculamos la fuerza resultante de :
1 = 3.773
60 = 3.052 /
= (3.052
) 750 3.773
0.7502
4= 3815.970
45. La boquilla de una manguera de incendios tiene 3 cm de diametro interior, y esta
acoplada a un tubo cilindrico de 8 cm de diametro, igualmente interior. Cuando la
boquilla se abre, la manguera proporciona un caudal de 40 l/s. Se pide:
a) Carga en la boquilla.
b) Resultante de las fuerzas que el acoplamiento de la boquilla con el tubo debe
resistir cuando la boquilla esta abierta, y cuando esta cerrada.
Solucin:
Por continuidad:
= 40
1
1000 = 0.04
3
-
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11 = 22=Q
1 =4 (0.04
3
)
0.082= 7.958
2 = (5.958
)
0.082
0.032= 42.368
Aplicando bernulli:
1 +1
+1
2
2= 2 +
2
+2
2
2
Tomando presiones manomtricas: P1=? ; P2=0 kg/cm2. Adems Z1=Z2
1
+1
2
2=
22
2
1
=2
2
2
12
2
1
=(42.368
)
2
19.62
(7.958 )
2
19.62= 88.263
1 = 865858.83
= (2 1)
= 103 0.04
3
(42.368
7.958
) = 1376.4
-
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46. El chorro de agua que sale por una tobera es de 10 mm de dimetro y choca contra
una superficie semiesfrica. Halle la fuerza que haya que realizar para a superficie
semiesfrica no sufra desplazamiento alguno, aplquelo para que el caso del
caudal volumtrico entrante sea de 0.001m3/s. y comente las hiptesis realizadas.
El empuje que el chorro de fluido ejerce sobre la superficie semiesfrica tiene la misma
magnitud y sentido contrario a la fuerza que hay que ejercer para que la semiesfera no se
desplace. La figura muestra un esquema de las fuerzas actuantes sobre la semiesfera.
La ecuacin de cantidad de
movimiento establece:
Se trabaja con presiones relativa y rgimen permanente:
Suponiendo que la velocidad de entrada y de salida es la misma:
Reemplazando:
Siendo la expresin de la fuerza de la reaccin en funcin del caudal de entrada.
Para el agua y un caudal entrante de : 0.001m3/s, la fuerza tendr un valor de:
F= -25.46
-
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47. Un bote requiere 20 KN de empuje para mantenerlo en movimiento a 25 km/h.
a) Cuantos m3/s de totala del sistema agua deven ser tomados y expulsados por un
tubo de 55mm para atener ese movimiento?
b) Cual es el rendimiento total del sistema de bombeo tiene un rendimiento del
60%?
Solucion.-
a)
Tenemos que densidad= 1000m/s
Velocidad del vote v=25 km/h=6.94m/s
Movimiento absoluto del agua en las secciones1 y 2
velocidad absoluta(seccion 1)=0
-
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-
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48. Una rueda de una turbina de Emapa.es alimentada por un inyector de cota 4215.
La tubera es de acero comercial de 500 mm y 1400 m de longitud .Si el dimetro
del chorro es de 9 cm y el factor de paso de la boquilla es de 0.025 con la energa
cinetica a la salida calcular:
a) El caudal circundante
b) La velocidad del chorro
c) La velocidad de u de los alabes para que la potencia obtenida sea la mxima
suponiendo nulas las perdidas por rozamiento del chorro a su paso por el alabe o
cazoleta.
d) Par y potencia obtenida por la turbina.
e) Velocidad del chorro a la salida del rodete.
Solucin.-
a)
Aplicacin de la ecuacin de Bernoulli en el embalse del chorro.
Las perdidas de carga expresada por Hazen Williams
-
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d)
e)
f)
-
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49. Se dirige una corriente de aceite (sg = 0.90) hacia el centro de la base de una placa
metalica plana, con objeto de mantenerla fria durante una operacion de soldadura
en un proyecto mecanico de la planta de cementacion de cobre de Agua Mina.
La placa pesa 550 N. Si la corriente tiene 35 mm de diametro, calcule su velocidad para
que pueda levantar la placa. La corriente choca con la placa en forma perpendicular.
-
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50. Un conjunto de persianas desva una corriente de aire caliente sobre partes
pintadas, como se ilustra en la figura. Las persianas estan giradas un poco para
que distribuyan el aire de manera uniforme sobre las partes. Calcule el par que se
requiere para girar las persianas hacia la corriente, cuando esta fluye a una
velocidad de 10 pies/s. Suponga que todo el aire que llega a una persiana se desvia
con el angulo en que la persiana se encuentra. El aire tiene una densidad de 2.06
x 10 s/pie3. Utilice = 45.
Calculando para una longitud de 20 pul.
-
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Asume Rx la medida de ventilacin a 2.5 desde el pivote
Momento:
51. sobre la banda transportadora q ue se mueve a una velocidad de 5 m/s, se depositan
2m3/s de grava. La grava tiene un peso especifico de 20kn/m2, esta deja la tolva
auna velocida de 1m/s y a continuacion tiene una caida libre de una altura media
de h=2m tal como s eindica en la figura.
a) Calcular la componete horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la grava sobre la
banda transportadora.
b) El par necesario para que la banda realice el trabajo.
SOLUCION:
A) La fuerza horizonta que ejerce la grava sobre la bomba ransportadora es devido
a la velocidada de 5m/s, con que la grava avandona la banda. Lafuerza verticala
por otrao lado es devido al peso de la grava situada encima de la banda, con accion
de la grava que incide sobre la banda al caer la tolva.
Se aplica el teorema de cantida de movimiento en un dterminado volumen de control
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Se eligen lo ejes X,Y:
Las fuerzas anteriores al volumen de control
Peso de la grava
Rx y Ry: accion de la banda sobre la grava.
La velocidada de salida de la grav del volumne de control es v=5m/s.La velocidada de
entrada de la grava entrada al volumen de contro es:
La aplicacin de la ecuacion en el eje x es:
-
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52. Un barco se desplaza a 30km/h. la velocidad del agua en la este que deja es de 24
km/h respecto al agua sin perturbar calculara e rendimiento de la propulsin.
Esquema de las velocidades relativas del agua respecto ala hlice que se desplaza a una
velocidad v hacia ala izquierda a travez de un fluido estacionario
La fuerza ejercida por la hlice es la nica fuerza extrema que actua en direccin axial si
el volumen de control elegido es el formado por las secciones 1 y 4 y la frontera de la
estela de desplazamiento:
Como la velocidad no varia a travs de las hlice entre 2 y 3 la misma fuerza vale:
Donde A es el rea barrida por las aspas de la hlice, Aplicando Bernoulli para la corriente
entre las secciones 1 y 2 y entre las secciones 3 y 4 se puede despejar:
P1-P2
La potencia util de la helice vale:
La potencia perdida en la propulcion de la energia cinetica por unidad de tiempo que
queda en la estela de deslizamiento.
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Potencia total requerida en la propulsin;
Rendimiento de la propulsin
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53. Un orifio en una ared delgada de 150mm de diametro situado a una profundidad
de 7.5 sobre la pared de un deposito descarga un caudala de 180ml/s de agua . el
chorro incide sobre una pantalla plana inclinada 60para matener dicha pantalla
en esa posicion hay que aplicara fernte al chorro una fuerza de 180 kg en direccion
perpendicular a la pantalla.calcular:
a) Los coeficientes de los orificios
b) Reparto de caudales en la pantalla( sin rozamiento)
Solucin:
Para los coeficiente de los orificios Cv, Cc y Cd
Velocidad terica del chorro:
Caudal terico del chorro
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