informe recursividad funcion ackerman
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RECURSIVIDAD DE LA FUNCIÓN ACKERMANN
WILIAN FERNANDO PANTOJA CARVAJAL
CÓDIGO: 46091097
Presentado a:
Ingeniero RICARDO ANTONIO ZAMBRANO SEGURA
En la materia Laboratorio Estructuras de Datos II.
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
PROGRAMA INGENERÍA DE SISTEMAS
Popayán, Marzo de 2011
INFORME DE LABORATORIO No. 1: RECURSIVIDAD DE LA FUNCIÓN ACKERMANN
La recursividad consiste en el cuerpo de sentencias del sub algoritmo que se invoca al propio sub
algoritmo para resolver “una versión más pequeña” del problema original. Habrá un caso (o varios) tan
simple que pueda resolverse directamente. Es una alternativa diferente para implementar estructuras de
repetición.
FUNCION ACKERMANN: Función recursiva que toma dos números naturales como argumentos y
devuelve un número natural. Se define así:
PROPIEDADES:
Sea , (FRP = Función recursiva primitiva).
Sea .
Sea .
Sea .
Además la función de Ackerman (ACK(x) = fx(x)) no es FRP (función recursiva primitiva). La demostración de este teorema se
lleva a cabo por reducción al absurdo y utilizando el lema de que toda función recursiva primitiva está mayorada por una
función Ackermann.
Comenzamos suponiendo que , por tanto
Usando el lema de la mayoración, debe existir un k tal que
Pero entonces, como esto vale para todo x, también valdrá para x=k
, usando la definición, llegamos a que:
Lo cual es absurdo.
Esta función crece extremadamente rápido: el valor A(4,2) ya tiene 19.729 dígitos. Este crecimiento desmesurado se puede
utilizar para demostrar que la función computable f(n) = A(n,n) crece más rápido que cualquier función recursiva primitiva, y por
ello no es recursiva primitiva.
EJEMPLOS DE LA FUNCION ACKERMANN:
Números de A(m,n)
m\n 0 1 2 3 4 n
0 1 2 3 4 5 n + 1
1 2 3 4 5 6 n + 2
2 3 5 7 9 11 2n + 3
3 5 13 29 61 125
4 13 65533
A(3,265536
-3) A(3,A(4,3)) (n + 3 términos)
5 65533 A(4,65533) A(4,A(5,1)) A(4,A(5,2)) A(4,A(5,3))
6 A(5,1) A(5,A(5,1)) A(5,A(6,1)) A(5,A(6,2)) A(5,A(6,3))
BIBLIOGRAFÍA
Función de Ackermann. Wikipedia, en línea: URL:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Ackermann.