Universidad Jos Mara VargasFacultad de IngenieraCtedra: Resistencia de MaterialesPeriodo: Agosto-Diciembre 2013

VIGAS CONTNUASMTODO DE LA DISTRIBUCIN DE MOMENTOSHARDY CROSSS

Profesor:Charbel Rachwan

Integrantes:Biasetti, Giovanni E.Martnez, Gabriela L.

Caracas, Octubre de 2013INTRODUCCINEn 1930 el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of Continuous Frames en la revista American Society Civil Engineering, el mtodo de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El mtodo de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El clculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es ms, una vez comprendido el mecanismo del mtodo, las operaciones matemticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Adems, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisin, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de seccin constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El mtodo de Cross es un mtodo de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisin en el clculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. ste permite seguir paso a paso el proceso de distribucin de momentos en la estructura, dando un sentido fsico muy claro a las operaciones matemticas que se realizan. El presente conjuga explcitamente los conceptos de vigas continuas y el mtodo de Cross; proponiendo el desarrollo prctico de su aplicacin y, un enfoque ideal para la comprensin clara del tema, basado en el estudio de trminos bsicos y en el planteamiento detallado de los procedimientos de clculo.

VIGAS CONTNUASLas vigas son elementos fundamentales en la construccin, sean stas de la ndole que fuera. Ser el tipo, calidad y fin de la construccin lo que determinar medidas, materiales, y sobre todo,su capacidad de sostener y contener pesos, presiones, tensiones y flexiones. En principio, es importante definir que en la teora de vigas se contempla aquello que es denominado resistencia de los materiales, siendo posible calcular la resistencia del material con que est hecha la viga, y adems analizar sus tensiones, desplazamientos y el esfuerzo que puede soportar.Se denominan continuas las vigas soportadas por ms de dos apoyos que no poseen articulaciones intermedias, poseen vnculos superabundantes a los que corresponden incgnitas estticamente indeterminadas.Entre las caractersticas ms resaltantes, estn que resultan ms econmicas que una serie de tramos independientes porque, en igualdad de luces y cargas, se encuentran sujetas a momentos flectores menores. Tambin presentan mayor rigidez a la accin de cargas dinmicas. Por el contrario, como todas las vigas hiperestticas, estas son sensibles a la cedencia de los apoyos, que puede alterar de forma peligrosa las condiciones estticas.El estudio de una viga continua, y de cualquier estructura compleja en general, se facilita y se puede realizar con mtodos sencillos, y a veces de forma inmediata, cuando los nodos, pudiendo rotar, no sufren desplazamientos. Si se considera una viga de nodos rgidos y sin desplazamientos, excluidas las deformaciones elsticas, es posible calcularla aplicando el Mtodo de Cross.

MTODO DE DISTRIBUCIN DE MOMENTOS (CROSS) El Mtodo de Cross, desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos estn perfectamente rgidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real es necesario realizar dos pasos:1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo. 2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra. En el mtodo de distribucin de momentos, cada articulacin de la estructura a ser analizada, es fijada a fin de desarrollar los momentos en los extremos fijos. Despus cada articulacin fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no est en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El mtodo de distribucin de momentos en trminos matemticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteracin.En disposicin de aplicar el mtodo distribucin de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado. Momentos de empotramiento en extremos fijos: son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas. Rigidez a la Flexin: Larigidez flexional(EI/L) de un miembro es representada como el producto delmdulo de elasticidad(E) y elSegundo momento de rea, tambin conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es el valor exacto pero es laRazn aritmticade rigidez de flexin de todos los miembros. Coeficientes de reparto: Los factores de distribucin pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados llevados por cada uno de los miembros. Coeficientes de transmisin: Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razn de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisin.Valores tpicos: 0,5 para nodos sin empotramiento y 0 para nodos empotrados. Convencin de signos: Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convencin de signos] usual en ingeniera, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios. Estructuras de marcos: Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el mtodo de distribucin de momentos.

EJERCICIO PRCTICO MTODO DE CROSSLa viga continua de la siguiente figura, es de seccin constante y homognea; encontrndose perfectamente empotrada en sus extremos. Calcular los momentos en los apoyos.

Figura 8-21 Fuente: Pytel & Singer. Resistencia de Materiales

Comenzando con el clculo de la rigidez relativa utilizando la frmula siguiente: Dnde:I= Representa la Inercia, el cual es un valor desconocido y se toma el mnimo comn mltiplo de las longitudes de las luces L= Representa la longitud del tramo. En este caso las rigideces relativas sern nmeros enteros y sencillos.

Rgidez Relativa Mnimo Comn Multiplo4 = 2 x 2 26 = 2 x 32 y el 3 2 x 3 = 12

Se calculan los valores del Factor de Distribucin FD, utilizando la siguiente frmula: Factor de Distribucin Asumiendo que todos los nodos son fijos, mediante la tabla 7-2 se obtienen los valores de los Momentos de Empotramiento Perfecto MEP.

Momentos de Empotramiento PerfectoTramo AB= Tramo BC= FD

0 0,40,6 0

MEP+2000 -4000+8000 -8000

Desequilibrio

Equilibrio

TRANSMISIN+4000

-4000

-4000*0,6-4000*0,4

-1600-800

-2400 -1200

MOMENTOS FINALES+1200 -5600+5600 -9200

Se ha supuesto una convencin de signos positiva a los momentos de la izquierda de la luz y signos negativos a la derecha de la luz de la respectiva viga. Al dejar libre el nodo B, el momento desequilibrado es 8000-4000=4000 N.m, por lo que el momento a distribuir entre las barras es -4000 N.m para que la suma total de momentos en B sea nula, como se ha mencionado. Utilizando los valores de los FD, a la izquierda de B le corresponde 0,4 (-4000)=-1600 N.m y; a la derecha 0,6 (-4000)=-2400 N.m.Ahora se transmiten la mitad de dichos valores, con su mismo signo, a los extremos opuestos. As -1600 aplicado a la izquierda de B transmite -800 a A, y -2400 aplicado a la derecha de B transmite -1200 a C. Como A y C estn perfectamente empotrados, y as han de quedar, absorben estos momentos transmitidos y la distribucin ha concluido.Los valores finales del momento en cada apoyo se obtienen sumando algebraicamente para cada uno de los valores de la columna vertical que se indica en el cuadro. Si se quiere estos momentos finales se pueden convertir en momentos flexionantes convencionales, cambiando el signo a la izquierda de cada tramo.REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Pitel, A. y Singer, Ferdinand. (1987). Resistencia de Materiales (4a ed.). Mexico: Alfaomega.

Recursos Electrnicos Ing. Williams Lpez. Marzo 2007. Teora de Estructuras-Mtodo de Cross-http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/teoria-de-estructuras-metodo-de-cross.

Ingeniera Rural. Noviembre 2001. Bases del Mtodo de Cross.http://www.uclm.es/area/ing_rural/trans_const/temas6y7.pdf

Medios Audiovisuales Profesor Jaramillo. (2011). Solucion de una Viga hiperestatica por el Mtodo de Cross. [audiovisual]. Colombia.

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