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ING. MSc. Olivia Brizuela Castillo

Modulo 2

Expresiones algebraicas

Polinomios

Objetivo general:

Al finalizar de estudiar este tema, era capaz de definir e identificar un polinomio, ordenarlo y completarlo, calcular su valor numérico y realizar las cuatro operaciones fundamentales con polinomios y ecuaciones lineales.

Objetivos específicos:

1. Definir constante y variable2. Definir una expresión algebraica real3. Definir y describir un polinomio4. Clasificar polinomios según el grado y el numero de términos5. Definir e identificar términos semejantes6. Reducir los términos semejantes en un polinomio7. Ordenar y completar un polinomio8. Calcular el valor numérico de un polinomio9. Definir y describir el procedimiento para sumar y restar polinomios10.Calcular la suma y la diferencia de polinomios11.Definir y describir el procedimiento para multiplicar polinomios12.Efectuar la división de polinomios13.Definir y aplicar las formulas de los productos notables14. Resolver ecuaciones lineales.

Desarrollo:

Variable:

Es un símbolo que puede representar cualquier elemento de un conjunto específico llamado dominio, el cual puede ser cualesquiera conjunto numérico desde N hasta R.

Constante:

Es una variable cuyo dominio consta de un solo elemento comúnmente se utilizan las ultimas letras del alfabeto para denominar a las variables y las primeras para las constantes, de tal manera que en la expresión a + x = c las letras a y c representan constantes, mientras que la x representa una variable.

Ejemplos:

34 x2 y; ax2 + bx + c = 0, mx + b = 0

1


En el caso de 34 x2 y, la x, y son variables ya que pueden tomar cualquier valor

del conjunto dominio. El número 34 es constante.

En ax2 + bx + c = 0 , la x es la variable, y a,b,c son constantes o elementos del conjunto numérico que se tome como dominio.

En m x + b = 0, la x es la variable, m, b son constantes.

Expresiones algebraicas reales

Muchas de las expresiones que usamos en algebra están formadas por combinaciones de constantes o numerales reales, variables o indeterminadas y símbolos de las operaciones de adición, multiplicación, sustracción, división, potenciación y radicación. Estas son llamadas expresiones algebraicas.

Ejemplos: a + 3b2 ,

x−x22−x ; a + x2 , 2x3 - 5x + 8x2 – 7

Polinomios

En la matemática, la escritura de números y letras o solo letras (que según ya hemos visto pueden representar constantes o variables) sin ningún signo de operación entre ellos, indica u ordena la operación de multiplicar y se les llama términos o monomios, en los cuales, el numero es el coeficiente y las letras las variables o indeterminadas.

Ahora bien, a una suma de monomios o términos como:

8x3 + 7x3 + 6x + 4, le llamamos polinomio y como todas las variables son equis, (elevadas a exponentes) decimos que tenemos un polinomio en x, lo que representamos por P(x), y se define de la siguiente manera:

Definición:

P(X) = anxn +anxn-1 +anxn-2 + ,,,a0

Donde n, n – 1 , n – 2 ,… son enteros positivos y an , an-1, a n – 2 , a n – 3 , … son los coeficientes secundarios

a1 es el coeficiente de x

En P(X) llamaremos a:

n = grado del polinomio

an = coeficiente principal

a0 es termino independiente (es el coeficiente de x0)

2


x variable o indeterminada en que esta definido el polinomio

Así que en el polinomio P(x) = 3x5 + 7x4 – 9x3 + 7x2 – 4x + 6 decimos que:

P(x) = es de grado 5, porque n = 5

El coeficiente principal es – 3 porque an = - 3

el termino independiente es a0 = 6

Ejercicio N.- 1

Identificar el grado, el coeficiente principal y el término independiente en los siguientes polinomios:

a) P(x) = - 9x + 2x3 – 7x2 + 4x5 – 2x6

b) P(x) = -8x4 + 10x3 – 5x6 + 2x7 + 6

Clasificación de polinomios

Según el grado se tienen los siguientes:

a) De grado ceroEs el de la forma: P(x) = k, donde k es un numero real. La variable en este caso se dice que esta elevada a la potencia cero.Ejemplos:

P(x) = 4 , p(y) = - 12 ; P(z) = /6 p(a) = - 3

b) De primer grado o linealEs el polinomio de la forma: P(x) = mx + b, donde m y b son números reales, x es la variable con exponente uno.Ejemplos:P(x) = 3x – 6 , P(x) = - 4x p(x,y) = 2x + 3y p(a, b, c) = 2abc. c. De segundo grado o cuadráticoEs el polinomio de la forma: P(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales, la x es la variable con exponente máximo 2.Ejemplo:P(x) = 2x2 + 3x – 6; P(x) = 3x2 + 4, P(x) = 5x2 + 6x, p(x) = 2x2 P(x,y) = x2 + 2xy + y2

También hay polinomios de tercer grado, cuarto, quinto, etc. Y es determinado por el mayor exponente de la variable.

Según el número de términos, se tienen los siguientes:

a) Monomio: es el polinomio que tiene un solo termino

Ejemplos: P(x) = 4x3, P(x) = - 12 x; P(x,y) = 4x2 y ; P(a) = - 4

b) Binomio: es el que consta de dos términos:

3


Ejemplos P(x) = 3x – 2 ; P(x) = 4x2 – 9 , P(x) = 5x3 + 2x2

c) Trinomio: es el que consta de tres términos:Ejemplos: P(x) = x2 + 2x + 1 P(x, y) = x2 + 2xy + y2 ; P(z)= z4 –z 2 + 3

d) Si la expresión consta de cuatro términos o más, se le llama comúnmente polinomio.Ejemplo: P(x) = 4 – 5x3 – 2x + 3x2 ; P(x,y)= 2x4 + 3x3y – 5x2y2 – 2xy3 + y4

Términos semejantes:

Llamaremos términos semejantes a todos aquellos que difieren solo en sus coeficientes pero que tiene exactamente el mismo factor literal. Así por ejemplo:

6 a2 b, - 34 a2b y 3.5 a2b son términos semejantes.

Ahora bien, si en un polinomio aparecen varios términos semejantes, se deben reducir para trabajar en forma más simplificada y ordenada.

Reducir los términos semejantes en el siguiente polinomio:

P(x, y) = 2x3 – 4xy2 + 6x2y - 3x3 + 2x4 + 3x3y – 2xy2 – 2x2y – 2y3

Orden y completacion de un polinomio.

Como hemos visto en la definición de un polinomio P(x), el primer termino o sumando debe ser aquel en el que la variable aparece con mayor exponente, y luego los de menor. A esta forma de colocación se llama orden descendente. Como el orden de los sumados no altera la suma, podemos escribirlos también comenzando con el exponente menor al mayor. En este caso se llama orden ascendente. Así el polinomio P(z) = 7z2 – 6z4 – 2z5 + 8z + 9 al ordenarlo en forma descendente quedaría:

P(z) = -2z5 – 6z4 + 7z2 + 8z + 9 o sea escribimos los términos comenzando con el mayor exponente hasta el menor en forma sucesiva, y ascendentemente seria:

P(z)= 9 + 8z + 7z2 – 6z4 – 2z5. En este polinomio no se encuentra el termino con exponente tres, entonces debemos completarlo, escribiendo 0z3, el cual por tener coeficiente cero, no altera el polinomio.

Luego P(x) en su forma canónica (ordenada y completa) queda así:

P(z) = -2z5 – 6z4 + 0z3 + 7z2 + 8z + 9 (orden descendente)

P(z) = 9 + 8z + 7z2 + 0z3 – 6z4 – 2z5 (orden ascendente)

Ejercicio n.- 2

Ordenar y completar los siguientes polinomios:

P(x) = -8x4 – 10x + 6x5 + 6x – 2x3 + x2 – 5

4


P(y) = 5y7 – y8 + 4y3 – y + 1

Valor numérico: de un polinomio no es más que el número real que le corresponde al sustituir las variables por los valores dados y efectuados los cálculos indicados.

a. P(x) = 3x2, al calcular su valor numérico para x = 2 seguimos los siguientes pasos:

P(2) = 3(2)2 sustituyendo la x por 2

P(2) = 3(4) calculando primero la potencia de 2

P(2) = 12 multiplicando 3 por 4

Luego el valor numérico de p(x) = 3x2 para x = 2, es 12

b. , Calcular el valor numérico de P(a) = -2 a2 + 3 a – 2 para a = - 2

Ejercicios n.- 3

1) Calcular P(-1) , si P(x) = 3x4 + 2x3 – 7x2 + 8x – 92) Calcular P(a, b) = a2 – 2ab + b2 para a = 1, b = 23) Calcular p(1), si p(z) = 6z5 – 2z4 – z3 + 3z2 + 5z + 1

Operaciones con polinomios

Como los polinomios representan números reales, podemos efectuar con ellos, las mismas operaciones que efectuamos con los números reales, así que podemos sumarlos, restarlos, multiplicarlos, dividirlos, etc.

Suma de polinomios

Para sumar dos o más polinomios:

a) Ordenamos cada polinomio (es recomendable completar el primer polinomio)

b) Escribir los polinomios en columna, teniendo cuidado de colocar en una misma columna los términos semejantes o sea los que tienen la misma parte literal.

c) Sumamos los coeficientes de los términos semejantes copiando la parte literal de los mismos.

Ejemplo:

a. Efectuar P(x) + Q(x) siendo:

P(x) = 4 – 7x5 – 6x4 – 9x2

Q(x) = -3x5 + 5x + 2x3 + 7x2 + 9x4 – 2

b) efectuar R(x ) + s(x) , siendo:

5


R(x) = 3x3 + 2xy2 – 5x2y + y3

S(x) = -5xy2 + 6x3 – 2x2y

Resta de polinomios:

Definición:

Dados p(x) y Q(x) , P(x) – Q(X) = P(x) + (-Q(x))

Efectuar: Q(x) - P(x) , siendo

P(x) = -2x3 + 7x5 – 6x4 + 8x – 9x2 + 4 y

Q(x) = -3x5 + 5x + 2x3 + 7x2 + 9x4 – 2

Ejercicios n.- 4

Efectuar las siguientes operaciones siendo:

P(x) = -8x6 2x5 + 4x4 -2x3 + 7x2 – 6x + 1

Q(x) = -2x6 + 4x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 9x – 3

R(x) = 10x6 + x5 + 5x4 – 8x3 + 9x2 – 6x + 2

S(x) = 6x6 + 2x5 – 3x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 7

a) P(x) + Q(x) + R(x)b) Q(x) + R(x) + S(x)c) P(x) – Q(x)d) S(x) – P(x)e) [P(x) + R(x)] – S(x)f) Q(x) + [R(x) – S(x)]

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de monomio por monomio

Para multiplicar un monomio por otro, multiplicamos primero los coeficientes de los monomios y enseguida copiamos la parte literal que aparezca en los monomios. Si hay letras comunes se suman los exponentes.

Ejemplos:

a) Multiplicar: 3x5 por 2x6

b) Multiplicar 4x3y2 por 5x4 y5 z3

c) Multiplicar – 6 a2 b5 c4 por 3ab2

Multiplicación de un binomio por un monomio:

Para multiplicar un binomio (polinomio de dos sumandos) por un monomio:

6


a) Ordenamos el binomio b) Multiplicamos el monomio por cada término del binomio aplicando la

propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Ejemplos:

a) Multiplicar 3x2 + 7x por 2x

Para multiplicar un polinomio por otro:

a) Ordenamos los polinomios (es recomendable completar el polinomio multiplicado)

b) Multiplicamos cada termino de un polinomio por todos y cada uno de los términos del otro

c) Sumamos los productos así obtenidos

Ejemplo:

Multiplicar P(x) por Q(X), siendo:

P(x) = -3x5 + 7x4 + 4 + 5x2 – 6x

Q(x) = 8x2 – 7x + 1

Ejercicio n.- 5

Dados los polinomios:

P(x) = 4x3 – 7x2 + 8x – 6 ; Q(x) = 3x2; S(x) = 2x – 3 ; T(x) = 5x – 2

; X(x) = 5x2 + 9x – 2

Calcular:

a) P(x) . Q(x)b) Q(x) . T(x)c) P(x) . T(x)d) X(x) . T(x)

División de polinomios:

Dados los polinomios P(x) y D(x) con D(x) ≠ o llamaremos cociente y lo

representaremos por P(x) ÷ D(x), o P ( x )D(X )

Al polinomio Q(x) tal que P(x) = Q(x) D(x)

En la división de polinomios es preciso tener presente el grado de los mismos para que la respuesta sea otro polinomio, de manera que el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor.

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La división de un monomio entre otro

Para dividir un monomio entre otro seguimos los siguientes pasos:

1. Dividimos el signo del monomio que está actuando de dividendo entre el signo del monomio que está actuando de divisor, obteniéndose así el signo que llevara el cociente.

2. Dividimos el valor absoluto del coeficiente del dividendo entre el valor absoluto del coeficiente del divisor y ese resultado será el valor absoluto del coeficiente del cociente.

3. Con la parte literal hacemos lo siguiente: con las letras comunes del dividendo y divisor, se copian las mismas en el cociente y se les coloca como exponente la diferencia del exponente del dividendo con el del divisor, y si el dividendo tiene otras variables que no las tiene el divisor, estas se copian en el cociente exactamente iguales.

En el caso de las letras comunes y con exponentes iguales en ambos términos, se elimina puesto que su exponente queda cero, esto, porque todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.

Ejemplos:

a. Dividir – 10 a2 b3 ÷ 5 ab2

b. Efectuar: -18x9 y5 ÷ (-6x7 y2 )c. Efectuar: 12 m3n ÷ 3mn d. Efectuar: -5x2y5az7 ÷ 2y2z5

División de un polinomio entre otro:

Para efectuar la división de un polinomio entre otro, seguimos los siguientes pasos:

a) Primero ordenamos los dos polinomios en forma descendente, dejando el espacio correspondiente a potencias (exponentes) que hagan falta o completando tal como lo explicamos anteriormente.

b) Colocamos los polinomios a dividir en la forma conocidaP(x) D(x)

c) Ahora procedemos a dividir el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor, formándose así el primer termino del cociente.

d) Ahora, multiplicamos ese término encontrado por el polinomio D(x) y se resta del polinomio dividiendo P(x)

e) Esa diferencia encontrada constituye el nuevo dividendo, cuyo primer término se divide entre el primer termino del divisor, este nuevo término del cociente se multiplica por el divisor, y el producto se resta del dividendo, obteniéndose así el nuevo dividendo y así sucesivamente, hasta que el exponente del primer termino del dividendo sea menor que el exponente del primer termino del divisor.

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Ejemplo

a) Si P(x) = 8x3 + 4 – 6x2 + 2x4 – 26x; D(x) = 4 + 2xb) Si P(x) = 23x + 15x3 – 12 – 14x2 y D(x) = - 3 + 5x

Dividir P(x) ÷ D(x)

Ejercicios n.- 6

1. Dividir:a) Y4 – 10y2 + 15y – 5y3 entre -5yb) -3x3 + 9xy2 – 6x2 y entre 3xc) 8 a9 b2 – 20 a 5b6 – 10 a 7b4 + 12 a 3b8 entre 2 a2

d)2. Dividir:

a) 2 a4 – a3+ + 7 a – 3 entre 2 a + 3b) X4 – 2x – 1 – x2 entre x2 – 1 – xc) 2x – 2x3 + x4 – 1 entre x2 – 2x + 1d) Y6 – 5y5 + 31y2 – 8y + 21 entre y3 – 2y – 7

Productos notables

Se le llama producto notable al resultado de la multiplicación de expresiones que cumplen determinadas condiciones y que por lo tanto, darán como producto otras expresiones fácilmente identificables. Entre los productos notables más comunes están:

1) Suma por la diferencia de dos números(a + b) (a – b) = a2 – b2

2) El cuadrado de la suma de dos números(a + b)2 = a2 – 2 ab + b2

3) El cuadrado de la diferencia de dos números(a – b)2 = a2 – 2ab + b 2

4) El cubo de la suma de dos números(a + b)3 = a3 + 3 a 2b + b3

5) El cubo de la diferencia de dos números(a – b)3 = a3 – 3 a 2b + 3ab2 – b3

Ejercicios n.- 7

Resuelva los productos notables

1. (2x + 5)2

2. (3x – 2)2

3. (10a + b) (10a – b)4. (5x – 1)3

5. (4x + 2)3

6. (6y – 1) (6y + 1)

División sintética

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La división sintética que es un procedimiento utilizado en la división de un polinomio p(x) entre un binomio de la forma x + a, donde x es la variable del polinomio y a es un numero entero.

Este procedimiento, se llama sintético porque trabaja únicamente con los coeficientes del dividendo y con el valor de a del divisor y opera de la siguiente manera:

1. Se escribe en forma ordenada y completa el polinomio dividendo.2. Se escriben en línea horizontal los coeficientes de P(x) formando así un

renglón.3. Se deja libre un renglón debajo del anterior y se pasa una raya horizontal

bajo el mismo.4. Se traza una línea vertical a continuación del último coeficiente de P(x).5. Se escribe el valor de a al otro lado de la vertical trazada y al mismo nivel

que los coeficientes de p(x).6. Se copia bajo la horizontal y exactamente en la misma columna, el valor del

primer coeficiente.7. Se multiplica este coeficiente por el valor de a, se copia este producto bajo

el segundo coeficiente (en el renglón libre) y se resta de ese segundo coeficiente, anotando la diferencia bajo la horizontal.

8. Luego se multiplica esta diferencia por a y se repite el procedimiento hasta que escribimos la última diferencia.

9. El resultado de la división estará dado así:El primer coeficiente del cociente será el primer número escrito bajo la horizontal y su parte literal será la variable x elevada a un exponente menor en una unidad que el grado de p(x). El segundo coeficiente del cociente será el segundo número escrito bajo la horizontal, y parte literal estará elevado a un exponente menor en una unidad que el término anterior y así sucesivamente.

El último número bajo la horizontal es el residuo de la división.

Ejemplos:

Dividir P(x) = 3x2 + 5x + 3 entre D(x) = x + 2

Ejercicio n.- 8

1. dividir 4x4 + 7x3 – 14x2 + 2x – 3 entre x + 32. dividir 6x2 – 5x + 6 – 8x4 entre x – 23. dividir 2x3 – 7x2- 7x + 12 entre x – 4

GUIA DE ESTUDIO

1. Escribir a la derecha de cada expresión, es o no es según si la misma es o no es polinomio.

a) P(x) = 5x2 – 2 + 34

10


b) P(x) = 6x + x2

c) P(a) = 5

3a2−a+3

d) P(x,y)= 45x + 3x3y2 + 8

e) P(z) = z3+1z+3

f) P(x) = 3x + 5x-3 + 3

g) P(X) = 2 π x + √3x2

h) P(x,y,z) = 3x2 y 1/2 z – 4xy2 z-3 + 12y

2. Identifique el grado, el coeficiente principal y el término independiente en cada uno, de los siguientes polinomios.a) P(x) = -9x + 2x3 -7x2 + 4x5 – 2x6

b) P(x) = -8x4 + 10x3 – 5x6 + 2x7 - 12

3. Clasificar los siguientes polinomios, de acuerdo al número de términos.a) P(x) = 6x2 – 5b) P(x) =- 2 √3 c) P(x,y)= x2 – 2xy + y2 + 3d) P(x,y) = x2 – y2

e) P(x,y) = - 13 x3 y4

f) P(x,y) = 2x2 – 5xy + 6y2

g) P(x,y,z) = 5x3 + 2x2 yz2 – 3xy2z3 + 12 y3 z4 – 3z5

4. Reducir los términos semejantes en cada uno de los siguientes polinomios.a) P(x) = 7x2 – 8x2 + x2 – 3x2 – x2

b) P(x) = 3 – 4x3 + 5x2 – x3 + 2x2 – 3

c) P(x) = 12x3 -

23 x3 + x3 -

14 x3 – 2x3

5. Completar y ordenar en cualquier forma los siguientes polinomios.a) P(x) = -8x4 – 10x + 6x6 + x2 – 5

b) P(y) = 5y6 - 12 y8 +

45 y3 – y + 1

6. Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios según el valor dado para la o las variables.a) P(-1), si P(x) = 3x4 + 2x3 – 7x2 + 8x – 9b) P(3), si P(x) = -x5 – 6 + 2xc) P(1), si P(z) = 1 – 2z4 + 3z2 – 6z5 + 3z2 – 5zd) P(2, -4), si P(x,y) = 3x3 + 2x2y + 5xy2 + y3 - 3

7. Dados los siguientes polinomiosa) P(x) = -3x3 + 4x5 – 7x2 + 8x – 2b) Q(x) = -4 + 9x3 – 5x2 + 7x5 + 2x4 – xc) R(X) = - x + 2x6 – 7x4 + 8x2 – 1

11


d) S(X) = 8X6 + 2X4 – 3X3 + 4X – 3

Calcular:

a) P(x) + Q(x)b) P(x) + R(x)c) R(x) + S(x)d) P(x) + S(x)

8. Dados los polinomiosa) P(x) = -8x6 – 2x5 + 4x4 – 2x3 + 7x2 – 6x + 1b) Q(x) = -2x6 + 4x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 9x – 3c) R(x) = 10x6 + x5 + 5x4 – 8x3 + 9x2 – 6x + 2d) S(x) = 6x6 + 2x5 – 3x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 7

Calcular las siguientes restas:

a) P(x) - Q(x)b) C(x) – R(x)c) P(x) – R(x)d) Q(x) – S(x)e) S(x) – P(x)

9. Efectuar las operaciones indicadas para los siguientes polinomios definidos en R.a) (8 a + 5b – 5 a2b3) – (2b + 8 a + 3 a2b3)b) (7x3 – 5y3 + 2xy) – (6x3 + 4y + 3xy)c) (-3pg + 7p2 – 5g) – (4g2 + 2g – 3g2)

d) (35 x2y – 2xy +

32 z) – (4x2y +

53xy +

15z)

10.Aplicar los productos notables y el triangulo de pascal para calcular los siguientes productos:a) (c – d)0

b) (2m +3 n)3

c) (4f – 7s)2

11.Calcular las siguientes divisiones entre monomiosa) 64 a6b8c5 ÷ - 16 a5b4c5

b) - 12 x3y4 ÷

34 x2y3

c) m3n4 ÷ 12m2nd) √12 r2s ÷ - √2 re) -

34 a3b2c ÷ 6 a3b2c

f)34 a2b ÷ √2

g) −5 cd2 ÷ 6cdh) a2 b3 c4 ÷ 3ab2c4

3

12. Dividir aplicando la división sintética.

12


a) (x2 + 11x + 30 ) ÷ (x + 6) b) (2x5 – 3x3 – 3x2 + 5x – 6 – 2x4) ÷ (x – 2)

c) (2m4 – 5m3 + 12m2 -

72 m – 21) ÷ (m – 3)

d) (5b4 + 4b3 – 55 – 148b2 + 26b) ÷ (b – 5) (4x3 – 10x + 3 – 17x2) ÷ (x + 5)

ECIACIONES

Definición: ecuación es una igualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifican o es verdadera para determinados valores de las incógnitas , es decir que una ecuación es una igualdad condicionada.

Ejemplos : 3x + 5 = 2x + 6 ; x2 + 2x = 3 ; √ x+2 = 6, etc

El valor de x que hace verdadera la preposición abierta es llamado el conjunto solución de dicha preposición. El conjunto solución de 5x + 4 = 24, es 4.

Cada elemento del conjunto solución es llamado una raíz de la ecuación, y al proceso de encontrarlo se le llama resolución de la ecuación.

Ecuación de primer grado

Es aquella que tiene la forma ; ax + b = c donde a ≠0 ,a, b,,c £ a los reales.:

Para encontrar al conjunto solución de una ecuación lineal con una variable, se hace uso de los axiomas de la igualdad.

Si se suman o se restan el mismo número a cantidades iguales, dichas sumas o restas son iguales

Si se multiplican o dividen por el mismo numero cantidades iguales los productos o cocientes son iguales.

Ejemplos de ecuaciones lineales con una variable (incógnita)

1. Encontrar el conjunto solución de: 2m + 3 = 15

Solución:

2m + 3 = 15

2m + 3 + (-3) = 15 + (-3) (suma de opuestos)

2m + 3 – 3 = 15 – 3

2m = 12

2m (12 ) = 12 (

12 ) (multiplicación de reciprocos)

13


2m2 =

122

m = 6 es la respuesta.

Cs = {6}

2. Resolver la ecuación 2 – 4x = x – 23

Solución:

2 – 4x + (-2) = x – 23 + (-2) (suma de opuestos)

(2 – 2) – 4x = x – 23 – 2

-4x = x – 25

-4x + (-x) = x – 25 + (-x) (suma de opuestos)

-4x – x = x – x – 25

-5x = -25

-5x ( 15 ) = - 25 (

15 ) (multiplicación de reciprocos)

- 5x5 =

−255

- x = - 5

- x (-1) = - 5 (-1) (multiplicado por – 1)

X = 5 respuesta.

Cs = {5}

Comprobación:

2 – 4x = x – 23

2 – 4 (5) = 5 – 23

2 – 20 = 5 – 23

-18 = - 18

Un método más práctico para la resolución de ecuaciones es el de la transposición de términos.

14


La transposición de términos consiste en pasar los términos de uno al otro miembro, cada término pasa efectuando la operación inversa.

Ejemplos:

3. Resolver: :5x + 4 = 24

Solución:

:5x + 4 = 24

5x = 24 – 4

5x = 20

X = 205

X = 4

Cs = {4}

4. Resolver: 3x + 6 = 5x – 10

Solución:

3x – 5x = -10 – 6

-2x = -16

X = −16−2

X = 8

Cs = { 8}

5. Resolver : x - 45 x – 2 = 0

Solución: comprobación

X - 45 x – 2 = 0 x -

45 x – 2 = 0

X - 45 x = 0 + 2 10 -

45 x – 2 = 0

15 x = 2 10 – 8 – 2 = 0

15


X = 2(5) 0 = 0

X = 10

Cs = { 10}

6. Resolver: 23 a - 23 = 12

23 a -

23 = 12

23 a = 12 +

23

23 (19) -

23 = 12

23 a =

383

383 -

23 = 12

a = 383 ÷ (

23 )

363 = 12

a = 19 12 = 12

Cs = {19}

7 Resolver : 9x – (5x + 1) – { 2 + 8x – (7x –5)} = -9x

Solución: se suprimen los paréntesis, tomando en cuenta la regla de los signos. Si el signo que antecede al paréntesis es negativo, los términos encerrados en el, cambian de signo, si el signo es positivo no cambian. Si existen varios signos de agrupación empezamos por eliminar los mas interiores. En nuestro ejemplo, procedemos como sigue:

9x – 5x – 1 – { 2 + 8x – 7x + 5} = -9x

9x – 5x – 1 – 2 - 8x + 7x – 5 = -9x

9x – 5x – 8x + 7x + 9x = 1 + 2 + 5

12x = 8

X = 812

X = 23

16


Cs = { 23 }

8 Resolver: 8 ( x – 3) – (6 – 2x) = 2 (x + 2) – 5 (5 – x)

Solución:

8x – 24 – 6 + 2x = 2x + 4 – 25 + 5x

8x + 2x – 2x – 5x = 4 – 25 + 24 + 6

3x = 9

X = 3

Cs = { 3}

9 Resolver :3x4 +

16 =

4712

Solución: como los términos de la ecuación son fracciones, o sea que los coeficientes de los términos son números racionales (fraccionarios), para encontrar el conjunto solución de dicha ecuación, se procede como sigue:

El denominador común es 12, luego:

3 (3x ) + 2 ( 1 ) = 4712

9x + 2 = 4712 (12)

9x + 2 = 47

9x = 47 – 2

X = 459

X = 5 respuesta

Cs = {5}

GUIA DE ESTUDIO

Resolver las siguientes ecuaciones en forma abreviada.

1. 7 x + 8 = 15

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2. 4 x – 7 = 103. 6 x + 9 = 3 x – 7

4.8 x+67 = 5 x – 6

5. 10 x−1=8 x+36. 0.02 x + 1 = 0.08 x +37. 7 x – 2 ( x + 3 ) = 3 ( x – 1 )8. 3x – 4 x+ 5x = 0

9.25 x + 3x =

34 x – 1

10.52 x -

35 x = 2

18

ing. msc. olivia brizuela castillo web viewy6 – 5y5 + 31y2 – 8y + 21 entre y3 – 2y...

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