ingenierie financiere math

Universit du Qubec Montral Facult des sciences Dpartement de mathmatiques

Une introduction aux mathmatiques de lingnierie financire

Document de rfrence

Compos par : Mathieu Boudreault, Ph.D., F.S.A. Professeur adjoint Dpartement de mathmatiques Universit du Qubec Montral

Version du 6 septembre 2011 (avec une rvision des notions de thorie de lintrt et de probabilits) 2011 Mathieu Boudreault

Table des matires

Prface ix

0 Introduction 10.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Exemples de produits drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Notions darbitrage et de rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.5.2 Exercices supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I Modles temps discret pour lactif sous-jacent 9

1 Arbre binomial une priode 111.1 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Une simple rorganisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Thorme fondamental dvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 valuation avec la probabilit relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


2 Arbre binomial deux priodes 252.1 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Complment dinformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Thorme fondamental dvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv TABLE DES MATIRES

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.2 Exercices supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Gnralisations et applications de larbre binomial 413.1 Arbre binomial plusieurs priodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.2 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Options sur autres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Applications varies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


4 Arbres trinomiaux et marchs incomplets 574.1 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.2 Thorme fondamental dvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Arbres trinomiaux deux actifs risqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Applications actuarielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


II Modle de Black-Scholes 75

5 Mouvement brownien 775.1 Rappels et intuitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Mouvement brownien standard (MBS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3.2 Autres proprits du MBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 Mouvement brownien arithmtique (MBA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5 Mouvement brownien gomtrique (MBG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5.2 Estimation des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


TABLE DES MATIRES v

6 Introduction au calcul stochastique 956.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 Diffrentiation et intgration dterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 Diffrentiation et intgration stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Calcul stochastique dIto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.1 Exemples dapplication du lemme dIto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


7 Solutions au modle de Black-Scholes 1137.1 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2.1 quations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.2 Stratgies auto-finances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.3 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.3 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.4 Formule de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


8 Applications du modle de Black-Scholes 1318.1 Options sur autres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.1.1 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.1.2 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.1.3 Formule de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.2 Options exotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2.1 Options binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.2.2 Options asiatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2.3 Options barrire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2.4 Options composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.2.5 Options cart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2.6 Options dchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


9 Couverture de produits drivs 1479.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2 Rplication dans le modle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.3 Couverture delta-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.4 Couverture delta-gamma neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

vi TABLE DES MATIRES

9.5 Autres lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.6 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


III Modles et techniques avancs 161

10 Techniques de rduction de variance 16310.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.2 Variable antithtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.3 Variable de contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.4 chantillonage stratifi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.5 Autres techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


11 Introduction aux modles de taux dintrt alatoire 17711.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.2 Types de taux dintrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.3 Structure des taux dintrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.4 Arbre binomial pour le taux dintrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.4.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.4.2 Accumulation et actualisation en intrt stochastique . . . . . . . . . 18211.4.3 valuation de titres revenus fixes et ses drivs . . . . . . . . . . . 18411.4.4 Exemples dvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.5 Arbre binomial de Black-Derman-Toy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.5.1 Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.5.2 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.5.3 Exemple de calibration dans larbre de BDT . . . . . . . . . . . . . . 19411.5.4 Exemple dvaluation dans larbre de BDT . . . . . . . . . . . . . . . 197


12 Modles de base de taux dintrt temps continu 20112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20112.2 valuation de titres revenus fixes et ses drivs . . . . . . . . . . . . . . . . 203

12.2.1 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20312.2.2 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.3 Modles dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712.3.1 Rendleman-Bartter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712.3.2 Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

TABLE DES MATIRES vii

12.3.3 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


12.A Drivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.A.1 valuation par rplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.A.2 valuation neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

IV Annexes 221

A Rvision de notions lmentaires 223A.1 Thorie de lintrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A.1.1 Intrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.1.2 Valeur prsente et accumule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

A.2 Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227A.2.1 Fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227A.2.2 Variable alatoire et ses proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.2.3 Distribution de plusieurs variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . 238

A.3 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242A.4 Thorie de la mesure applique aux probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

A.5.1 Exercices de probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.5.2 Exercices de processus stochastiques et de thorie de la mesure . . . . 251

B Autres 257B.1 Formules importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.2 Table de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

viii TABLE DES MATIRES

Prface

Ce document de rfrence est lintention des tudiants qui sinitient lvaluation deproduits drivs laide des techniques mathmatiques de lingnierie financire. Les sujetscouverts sont les arbres binomiaux et trinomiaux, le mouvement brownien, le calcul stochas-tique (une introduction), le modle de Black-Scholes, la couverture dynamique (hedging),les options exotiques, les techniques de rduction de variance et les modles taux dintrtalatoire. Pour en apprcier pleinement le contenu, des bases mathmatiques en probabilitset en processus stochastiques sont fortement recommandes.Ce document peut galement servir la prparation de lexamen MFE/3F (Society of

Actuaries, Casualty Actuarial Society). Il faut toutefois noter que le syllabus de ces examensest couvert environ 80% dans ce document.Des exemples ou des exercices ont t traduits de certaines sources cites travers le

document. Hull rfre au livre de John C. Hull (2008) Options, futures and other derivatives, 7edition, Prentice-Hall.

ASM rfre au guide dtude ASM de lexamen MFE crit par Abraham Weishaus.Ldition 2007 a t utilise sauf avis contraire.

McDonald rfre au livre de Robert L. McDonald (2005) Derivatives Markets, 2e di-tion, Addison Wesley. Lerrata est disponible au site web

http : //www.kellogg.northwestern.edu/faculty/mcdonald/htm/typos2e_01.html.

Cvitanic et Zapatero (CZ) rfre au livre de Jaksa Cvitanic & Fernando Zapatero (2005)Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets, Prentice-Hall.

ix

x PRFACE

Chapitre 0

Introduction

0.1 Contexte

Un gestionnaire doit comprendre lvolution de chacun des actifs/produits financierscompris dans son portefeuille ;

Actif sous-jacent (underlying asset) : Actif de base transig sur les marchs financiers (bourse par exemple) dont la valeurfuture est incertaine ;

Exemple : action ordinaire dune compagnie, un baril de ptrole, un mga-wattdlectricit un endroit donn, une once dor ;

Le prix de lactif sous-jacent est tudi par les experts financiers ; Exemple : le prix aujourdhui dune action est li la valeur prsente espre dugain en capital et des dividendes futurs. Un analyste financier tudiera les prospectsde la compagnie et tablira un prix auquel celui-ci est prt acheter ou vendrelaction.

Les notions de finance corporative sont ncessaires lvaluation du prix dune action ; Lobjectif du cours nest pas dvaluer le prix que devrait avoir un actif sous-jacent t = 0.

Produit driv (derivative) ou droit conditionnel (contingent claim) : Actif financier dont le paiement la maturit dpend de la valeur dun actif sous-jacent ou de la ralisation dun vnement quelconque sous-jacent ;

Exemple : option sur une action (stock option). Loption est le produit driv etlaction est lactif sous-jacent ;

Exemple : driv climatique (weather derivative). Celui-ci peut payer 10$ le 1ermars lorsque la temprature moyenne en fvrier est infrieure -5C.

Autres exemples de produits drivs : drivs nergtiques (energy derivatives),drivs catastrophiques (catastrophe derivatives), drivs de mortalit (mortality de-rivative), etc.

Les produits drivs sont populaires car ils permettent de diversifier le risque et de senprmunir.

Ingnierie financire consiste au design et la couverture de produits financiers adaptsaux divers besoins ;

1

2 CHAPITRE 0. INTRODUCTION

Lobjectif du cours est de comprendre comment valuer et couvrir des produits drivsde base ; Par consquent, on prend le prix initial de lactif sous-jacent pour acquis (commeobserv) ;

0.2 Notations

Quelques dfinitions : St : prix de lactif sous-jacent au temps t ; T : chance (maturity) du produit driv ; K : prix dexercice (strike price) ; r : taux dintrt sans risque (risk-free rate) ;

En particulier, S0 correspond au prix observ aujourdhui pour acheter/vendre uneunit de lactif sous-jacent, qui sera livr aujourdhui. Appel prix au comptant (spot price) ; Pour t > 0, alors St est une variable alatoire ; De plus, {St, t 0} est un processus stochastique ;

Taux dintrt sans risque : Taux dintrt en vigueur pour un prteur/emprunteur qui na aucun risque defaillite ;

On peut donc prter et emprunter ce taux ; Paiement lchance dun produit driv (derivatives payoff ) : Gnralement fonction du prix du sous-jacent lchance du contrat ; Variable alatoire car fonction C (ST ) dune variable alatoire ; On notera aussi souvent CT = C (ST ) pour allger la notation ;

Juste prix (fair price) : Prix dun produit driv qui doit prvaloir sur les marchs financiers afin dviter lesopportunits darbitrage ;

Par consquent, C0 correspond au prix qui doit tre observ aujourdhui pour ache-ter/vendre une unit de ce produit driv ;

Pour t > 0, alors Ct est une variable alatoire ; De plus, {Ct, t 0} est un processus stochastique ; Un des objectifs du cours est donc de trouver le juste prix dun produit driv ;

0.3 Exemples de produits drivs

Trois exemples de produits drivs qui seront plus tudis : Options (surtout) ; Contrats terme ; Swap ;

Option : produit driv qui donne le droit (et non lobligation) son dtenteur dache-ter ou de vendre un actif sous-jacent un certain prix fix K, avant (amricaine) ou une date donne T (europenne).

0.4. NOTIONS DARBITRAGE ET DE RPLICATION 3

Note : (x)+ = max (x; 0) Paiement dune option dachat lchance :

position longue : (ST K)+position courte : (ST K)+

Paiement dune option de vente lchance :

position longue : (K ST )+position courte : (K ST )+

Contrats terme (de gr gr ou standardis) (forward ou futures) : produit drivqui oblige le dtenteur vendre ou acheter un actif sous-jacent une certaine dateT , un prix dtermin davance K. Paiement du contrat terme lchance :

position longue : ST Kposition courte : (ST K)

Swap : contrat qui relie deux parties dans lchange de flux financiers. Cet accordspcifie les dates o les paiements surviendront et la faon dont ils seront calculs. Plus important avec un taux dintrt stochastique. Nous y reviendrons donc plustard.

0.4 Notions darbitrage et de rplication

Une des notions qui reviendra le plus souvent dans lvaluation de produits drivs estlabsence darbitrage ;

Il y a arbitrage lorsque les trois conditions suivantes sont remplies : (1) investissement nul (free lunch) ; (2) possibilit de gain ; (3) sans aucune possibilit de perte.

Lorsquun item peut sacheter et se vendre de faon simultane des prix diffrents,alors il y a une occasion darbitrage.

Exemple : Une obligation 2 ans coupons annuels de 7% se transige prsentement 95$. De plus, une obligation zro-coupon 1 an se transige 90$ (pour 100$ de principal)et une obligation zro-coupon deux ans se transige 81$ (pour 100$ de principal).

Est-ce quil existe une opportunit darbitrage ? Solution : Lobligation 2 ans devrait gnrer les flux financiers de 7$ et de 107$ aprs 1 an et2 ans respectivement.

On peut rpliquer cette obligation avec les obligations zro-coupon. En effet, il suffitde 0.07 unit de lobligation zro 1 an, et de 1.07 unit de lobligation zro deux ans.


Le prix de ce portefeuille est de

0.07 90 + 1.07 81 = 92.97$. Par consquent, il est possible de rpliquer de faon exacte les flux financiers delobligation coupons 2 ans, avec deux obligations zro-coupons. Lune se vend 95$ et le portefeuille de zros cote 92.97$.

Pour profiter de cette opportunit darbitrage, on prend une position longue dansles deux obligations zro-coupon et une position courte dans lobligation coupons.

t = 0, le profit est de 2.03$ i.e. +95 - 92.97. En vendant lobligation coupons, on sengage payer 7$ au temps t = 1 et 107$au temps t = 2.

Les obligations zro-coupon permettront de couvrir ces engagements. t = 1, on reoit un paiement de 7$ de lobligation zro-coupon 1 an et on procdeau paiement du coupon d.

t = 2, on reoit un paiement de 107$ de lobligation zro-coupon 2 ans et onprocde au paiement du principal et coupon d.

Les positions sont fermes t = 2. Les opportunits darbitrage peuvent exister mais doivent disparatre trs rapidement. Loffre et la demande des biens impliqus dans larbitrage vont squilibrer de tellesorte quune telle opportunit ne deviendra plus profitable.

Dans lexemple prcdent, laugmentation de la demande des obligations zro-couponpoussera leurs prix la hausse, et les ventes de lobligation coupons poussera sonprix la baisse. Ultimement, les prix squilibreront pour que les deux produits soientquivalents.

Lexemple prcdent nous amne la loi suivante, la loi dun seul prix. Loi dun seul prix (law of one price) : Afin dviter les opportunits darbitrage, deux produits financiers (ou portefeuilledactifs) produisant les mmes flux financiers dans tous les scnarios possibles, doiventavoir un prix identique.

Exemple dapplication de la loi dun seul prix : la relation de parit entre les optionsdachat et de vente europennes ;

Relation de parit entre les options dachat et de vente europennes : Il existe une relation dquilibre entre le prix des options dachat, de vente, du sous-jacent et du titre sans risque ;

Cette relation doit tenir afin dviter les opportunits darbitrage ; Elle peut tre drive selon les mmes arguments ; On considre deux portefeuille dactifs financiers : Portefeuille A : option dachat europenne et un montant dargent t = 0 deKerT ;

Portefeuille B : option de vente europenne et une action ; Paiement lchance de chacun des portefeuilles :

Ptf ST K ST > KA K + 0 K + (ST K)B (K ST ) + ST 0 + ST

0.4. NOTIONS DARBITRAGE ET DE RPLICATION 5

Dans le scnario ST K, les portefeuilles A et B paient K; Dans le scnario ST > K, les portefeuilles A et B paient ST ; Les deux portefeuilles ont les mmes flux financiers dans les mmes scnarios ; Ils doivent donc avoir la mme valeur t = 0. En appliquant la loi dun seul prix, on obtient que

Ptf A = Ptf B

CCall0 +KerT = CPut0 + S0

o CCall0 (CPut0 ) est la valeur t = 0 dune option dachat (de vente) europenne avec

maturit T et prix dexercice K. Lorsque des dividendes sont pays sur lactif sous-jacent, alors la relation de paritdevient

CCall0 +KerT = CPut0 + S0e

rdT

o rd est le taux de dividende continu. Lorsque les dividendes sont discrets, alors onremplace S0erdT par

S0 Do D est la valeur prsente (au taux sans risque) des dividendes verss jusqulchance du produit driv.

Dans lexemple sur les obligations, nous avons rpliqu les flux financiers de lobligation coupons laide dobligations zro-coupons ;

Dans la drivation de la relation de parit, nous avons rpliqu le portefeuille A laidedu portefeuille B ;

La notion de rplication est un concept crucial en ingnierie financire. La rplicationpermet de : Trouver le juste prix dun produit driv ; Trouver une faon de couvrir les flux financiers du produit driv (gestion desrisques) ;

valuation par rplication : Consiste trouver un portefeuille dactifs qui rplique de faon exacte les flux finan-ciers dans tous les scnarios possibles ;

Exemple : en utilisant lvaluation par rplication, quelle est la valeur aujourdhui (t = 0) dun contrat terme qui oblige le dtenteur acheter une action ordinaire deABC inc. au prix de 40$ dans 3 mois ?

Solution : Le contrat terme fixe 3 mois davance le prix auquel nous allons payer laction 40$.

Si le prix de laction savre tre infrieur 40$, tre entr dans un contrat termenaura pas t bnfique.

Si laction vaut plus de 40$ dans 3 mois, le contrat terme sera bnfique. Par consquent, le profit sur le contrat terme est de

ST 40o T = 0.25 (3 mois). Il sagit donc dune variable alatoire.


Pour rpliquer de faon exacte un tel paiement : Il suffit dacheter t = 0 une action : elle vaudra ST aprs 3 mois. On emprunte t = 0 la valeur prsente de 40$, i.e. 40erT . Aprs 3 mois, on devrarembourser 40$.

Le contrat terme vaut donc t = 0

S0 40erT .

Afin de rpliquer des produits financiers, nous avons appliqu de faon implicite leshypothses suivantes : Aucuns frais de transactions ; Titres financiers sont infiniment divisibles (on peut acheter des fractions de nimportequel actif financier) ;

Taux dintrt pour prter et emprunter est le mme : le taux sans risque ; moins davis contraire, ces hypothses seront toujours utilises dans les chapitres quisuivent.

0.5 Exercices

0.5.1 Examen MFE/3F

Mai 2007 : 1, 4 ; Mai 2009 : aucun ; Q&A (version du 18 aot 2010) : 1, 2, 25, 26, 40 ;

0.5.2 Exercices supplmentaires

Dans un march financier de type Arrow-Debreu, il existe autant dactifs sous-jacentsque de scnarios possibles. Un actif dArrow-Debreu paie un montant de 1$ t = 1 lorsquele scnario i se ralise et 0 sinon. On note par

S(i)1 =

{1, scnario ralis est i0, sinon.

Le prix t = 0 dun tel actif est S(i)0 .

1. Supposons quil existe seulement 2 tats de la nature (2 scnarios possibles), tels que

S(1)0 = S

(2)0 = 0.45.

Un produit driv payant 1$ dans tous les tats de la nature est introduit.

(a) Quelle est la nature dun tel produit driv ?

(b) Quel doit tre son juste prix pour viter les opportunits darbitrage ?

(c) Quel est le taux dintrt en vigueur dans ce march ?

0.5. EXERCICES 7

2. Supposons quil existe 3 tats de la nature (3 scnarios possibles), tels que

S(1)0 = S

(2)0 = 0.25

et S(3)0 = 0.47.

(a) Un produit driv payant 1$ dans tous les tats de la nature est introduit : sonprix est de 0.95. Est-ce que le prix du produit driv entrane des opportunitsdarbitrage ? Si oui, montrez comment vous pouvez exploiter cette opportunit ?

(b) Quel est le juste prix dun produit driv payant 10$ si ltat 1 ou 2 se ralise, et2$ sinon?

Premire partie

Modles temps discret pour lactifsous-jacent

9

Chapitre 1

Arbre binomial une priode

1.1 Modle

Dans ce chapitre, on sintresse valuer un produit driv sur un actif sous-jacentdont lvolution est dicte par un arbre binomial (Bernoulli) ;

March financier (une conomie) possde deux actifs transigs : Actif risqu (action ou autre actif sous-jacent) ; Valeur future est alatoire, do la notion dactif risqu ; Valeur initiale est connue ;

Actif sans risque (bon du Trsor, compte bancaire, etc.) ; Aucun risque de dfaut ; Taux dintrt en vigueur sur la priode est de r; Peut tre capitalis de faon priodique, ou de faon continue. Sera spcifi dansles exemples/problmes.

Actif sans risque B0 : prix de lactif sans risque t = 0 ; B1 : prix de lactif sans risque t = 1 ; On requiert B1 B0. Selon le contexte : Bt = B0ert (taux de rendement continument compos) ; Bt = B0 (1 + r)t (taux de rendement priodiquement compos) ;

Souvent : B0 = 1; Notation examen MFE : la dfinition de la notation B dans lexamen MFE estdiffrente. Plus de dtails un peu plus loin.

Actif risqu S0 : prix du sous-jacent t = 0 ; Connu et observ ;

S1 : prix du sous-jacent t = 1 ; Alatoire, inconnu ;

On suppose que S1 peut prendre deux valeurs possibles t = 1 : Su1 avec probabilit p; Sd1 avec probabilit 1 p;

11

12 CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL UNE PRIODE

La probabilit p est appele probabilit relle (observe ou physique) dobserver Su1 . Elle peut tre estime laide de donnes sur lvolution du prix de laction ;

Les valeurs de Su1 et Sd1 peuvent tre spcifies directement, ou elles peuvent treSu1 = S0u

Sd1 = S0d

o u > d sont des facteurs de croissance et dcroissance situs autour de 1. Finalement,

Sd1 < S0er < Su1

est une condition ncessaire pour la validit de larbre binomial une priode. Nous yreviendrons plus en dtails plus tard.

1.2 valuation par rplication

Rappel : lvaluation par rplication consiste trouver un portefeuille dactifs quirplique de faon exacte les flux financiers dans tous les scnarios possibles ;

Exemple : Supposons que les analystes dterminent quun modle raliste pour lvolution duprix de laction de ABC inc. est tel que laction pourrait gagner 10%.

Si le prix observ de laction aujourdhui est de 100$ et que le taux dintrt (sansrisque, continument compos) est de 6%, quel est le juste prix (qui empche lesopportunits darbitrage) dune option dachat sur laction avec prix dexercice de105$ dune maturit dun an ?

Solution : On a que le prix de laction est reprsent par un arbre binomial une priode telque le prix est donn par larbre suivant.

110100

90

Bref, S0 = 100, Su1 = 110 et Sd1 = 90.

La valeur de loption la maturit est une variable alatoire prenant soit 5$ ou 0$.On cherche le prix dune telle option.

(110 105)+ = 5?

(90 105)+ = 0 On utilisera lvaluation par rplication. Par consquent, quel portefeuille dactifspermet de rpliquer un paiement de 5$ si le scnario # 1 (Su1 ) se ralise ET unpaiement de 0$ si le scnario # 2 (Sd1) se ralise ?

Quels actifs doit-on utiliser pour btir un tel portefeuille de rplication ? On utiliseles actifs disponibles sur le march, i.e. des actions (actif risqu) et des bons duTrsor (actif sans risque).

1.2. VALUATION PAR RPLICATION 13

Soit x la quantit dactions ncessaire dans le portefeuille de rplication pour repro-duire les paiements de loption.

Soit y la quantit de bons du Trsor ncessaire dans le portefeuille de rplicationpour reproduire les paiements de loption.

On veut

110 x+ e0.06 y = 590 x+ e0.06 y = 0.

En effet, dans le scnario # 1, le prix de laction est de 110$ et la valeur du titresans risque est de e0.06. Le paiement reproduire est de 5$ dans ce scnario.

De plus, dans le scnario # 2, le prix de laction est de 90$ et la valeur du titre sansrisque est aussi de e0.06. Le paiement reproduire est de 0$ dans ce scnario.

En rsolvant ce systme deux quations et deux inconnues, on trouve que

x = 0.25

y = 21.189702.

Par consquent, on trouve que pour rpliquer les paiements de loption dachat, ilsuffit dacheter 0.25 action et demprunter 21.19 units du titre sans risque.

Quel est le cot dune telle stratgie t = 0 ? Le cot de cette stratgie est de

100x+ y = 100 0.25 21.189702= 3.810298.

Appliquons cette stratgie t = 0. On achte 0.25 action quon finance partiellement avec un emprunt de 21.19$. Lecot net de la stratgie est de 3.81$.

t = 1, lorsque S1 = 110, alors le portefeuille vaut

110 x+ e0.06 y = 110 0.25 e0.06 21.189702= 5.

Lorsque S1 = 90, alors le portefeuille vaut

90 x+ e0.06 y = 90 0.25 e0.06 21.189702= 0.

On a rpliqu de faon exacte les flux financiers de loption dachat dans tous lesscnarios. Par consquent, par la loi dun seul prix, cette option dachat doit setransiger 3.81$ t = 0 afin dviter les opportunits darbitrage.

Portefeuille de rplication ou portefeuille rplicatif (replicating portfolio) : en-semble dactifs quun investisseur doit dtenir afin de rpliquer de faon exacte les fluxfinanciers dun produit driv, et ce, dans tous les scnarios possibles.

Notation :


(1)1 : le nombre daction quil faut dtenir dans la (premire) priode pour rpliquerun produit driv (correspond au x prcdent) ;

(0)1 : le nombre dunits du titre sans risque quil faut dtenir dans la (premire)priode pour rpliquer un produit driv (correspond au y prcdent) ;

Plus loin, il faudra mettre jour le portefeuille de telle sorte quon aura t. De plus,il se pourrait quil y ait plus dun actif risqu, donc (i)t , i = 1, 2, ...

De faon gnrale, supposons que les paiements du produit driv sont Cu1 et Cd1 lorsquelactif sous-jacent vaut Su1 et S

d1 respectivement.

De plus, le taux dintrt est r et est capitalis de faon continue. On a

(0)1 er + (1)1 Su1 = Cu1(0)1 er + (1)1 Sd1 = Cd1 .

On soustrait les quations pour liminer (0)1 er et on obtient directement

(1)1 =Cu1Cd1Su1Sd1

. (1.1)

Cette quantit est mieux connue sous lappellation de delta. Notation MFE : quivalent ;

De plus,(0)1 = e

r(Cu1 (1)1 Su1

) On substitue (1)1 et on obtient

(0)1 = e

r(Cu1 (1)1 Su1

)= er C

d1S

u1Cu1 Sd1Su1Sd1

. (1.2)

Notation MFE : attention, (0)1 correspond la notation B du livre de McDonald. Par la loi dun seul prix, on sait que le cot du portefeuille t = 0 doit correspondre auprix du produit driv t = 0. Sinon, il pourrait exister une opportunit darbitrage.

Par consquent, le cot de ce portefeuille aujourdhui estC0 =

(0)1 B0 +

(1)1 S0

= (0)1 +

(1)1 S0

et donc,

C0 = er Cd1Su1Cu1 Sd1

Su1Sd1+

Cu1Cd1Su1Sd1

S0 . (1.3)

Exemple (suite) : en utilisant les valeurs de lexemple, on trouve directement,

C0 = erC

d1S

u1 Cu1Sd1Su1 Sd1

+Cu1 Cd1Su1 Sd1

S0

= e0.060 110 5 90

110 90 +5 0

110 90 100= 3.8102980.

1.3. VALUATION NEUTRE AU RISQUE 15

1.3 valuation neutre au risque

1.3.1 Une simple rorganisation

Il existe une autre faon dapprocher le problme de lvaluation dun droit condition-nel.

Pour y parvenir, nous allons rorganiser lquation 1.3. Lexercice peut sembler futilepour linstant mais sera trs rvlateur mesure que nous avancerons dans le chapitre.

On a donc,

C0 = erC

d1S

u1 Cu1Sd1

Su1 Sd1+Cu1 Cd1Su1 Sd1

S0

= er(Cd1S

u1 Cu1Sd1

Su1 Sd1+ er

Cu1 Cd1Su1 Sd1

S0

)en isolant er. De plus,

C0 = er(Cd1S

u1 Cu1Sd1 + Cu1S0er Cd1S0er

Su1 Sd1

)= er

(Cd1

Su1 S0erSu1 Sd1

+ Cu1 S0e

r Sd1Su1 Sd1

)en utilisant un dnominateur commun et en isolant certains termes.

Finalement, posonsq S0erSd1

Su1Sd1. (1.4)

Si on dfinit Su1 = S0 u et Sd1 = S0 d, alors,

q =er du d

Le prix du produit driv qui empche les opportunits darbitrage estC0 = e

r (Cd1 (1 q) + Cu1 q)ce qui ressemble trangement esprance dune variable alatoire.

Nous verrons quil ne sagit pas dun hasard, mais avant, il faut voir quelques notionssupplmentaires.

1.3.2 Arbitrage

Nous avons suppos prcdemment queSd1 < S0B1 < S

u1

ou de faon quivalented < er < u. (1.5)


Observons ce qui se passe si cette condition nest pas remplie. Pour simplifier largu-ment, supposons que B0 = S0 = 1. (1) d < u < er : "Le titre sans risque est toujours plus profitable que le titrerisqu. Je vends le titre risqu pour 1$ et jachte le titre sans risque pour 1$. Voil !Impossible de perdre !"

(2) er < d < u : "Le titre risqu est toujours plus profitable que le titre sansrisque. Je vends le titre sans risque pour 1$ et jachte le titre risqu pour 1$. Voil !Impossible de perdre !"

(3) d < er < u : "Attention ! Mme si je vends un titre pour acheter lautre, il y a unepossibilit que je perde de largent t = 1." Donc, aucune opportunit darbitragedans ce cas.

Par consquent, la condition d < er < u empche les opportunits darbitrage entrelactif sans risque et lactif risqu (entre les titres disponibles sur le march).

Sachant que q = erdud , quel est limpact de labsence darbitrage (dans le march) sur

la valeur de q ? On peut facilement dduire que

0 < q < 1.

Par consquent, la condition dabsence darbitrage nous assure que q se comportecomme une probabilit.

Rappel : Nous avons tabli quil existe une probabilit (relle) p que le scnario # 1 (Su1 ) seralise.

Cette probabilit peut facilement tre estime laide de donnes sur le prix delaction.

Formellement, q est ce quon appelle une mesure de probabilit quivalente p carles vnements impossibles sont les mmes avec p quavec q.

Exemple (suite) : dans lexemple, on obtient

q =S0e

r Sd1Su1 Sd1

=100e0.06 90110 90

= 0.80918273.

On trouve que le prix de loption dachat qui empche les opportunits darbitrage est

C0 = er (Cd1 (1 q) + Cu1 q)

= e0.06 (0 (1 0.80918273) + 5 0.80918273)= 3.8102980

ce qui est videmment quivalent car nous avons obtenu q en rorganisant lquation1.3.

Exemple (suite) : supposons que lanalyste en charge dvaluer loption dachat men-tionne a estim que p = 0.85. Peut-on calculer le prix de loption qui devrait prvaloirsur les marchs financiers qui empche les opportunits darbitrage ?


Cela dpend. Quel est le bon taux dintrt pour escompter les flux financiers ? Cettequestion nest pas vidente rpondre car loption dachat est risque (on ne connaitpas sa valeur lchance) ! Par consquent, on ne peut pas escompter au taux sansrisque.

Toutefois, nous venons dutiliser le taux sans risque parce quune fois combin avecla probabilit q, on obtient le juste prix.

Nous allons formaliser largument dans la prochaine section.

1.3.3 Thorme fondamental dvaluation

Le thorme fondamental dvaluation des actifs financiers (fundamental theorem of as-set pricing) formalise le lien entre lvaluation par rplication et les questions soulevespar les derniers exemples.

Nous allons prsenter le thorme dans le contexte de larbre binomial une priode.Nous reprsenterons le thorme de faon plus gnrale lorsque des modles plus com-plexes seront abords.

Dabord, nous devons dfinir ce quest une martingale temps discret. Martingale (martingale) : processus stochastique {Xt, t = 0, 1, 2, ...} tel que

E [Xs|t] = Xt, t < so

t = {Xt, Xt1, Xt2, ..., X0}est linformation passe. Donc, tant donn linformation observe jusqu t, la valeur espre du processusdans le futur (et nimporte quel futur s) est la valeur prsente (observe t).

Il sagit dun processus qui retourne en moyenne sa valeur "initiale" (ou sa dernirevaleur connue).

Dans le cas discret,

E [Xs|t] = Xt, t < s

E [Xt+1|t] = Xt, t = 0, 1, 2, ... Exemple : soit un processus AR(1) tel que

Xt = Xt1 + t, t = 1, 2, 3, ...

avec t N (0, 1), X0 connu et 0 = 0. Est-ce que ce processus est une martingale ? Solution : nous allons vrifier si la condition E [Xt+1|t] = Xt est remplie pour toutt 0. On a

E [Xt+1|t] = E [Xt + t+1|t]= E [Xt|t] + E [t+1|t]= Xt + 0

= Xt.


videmment, pour tout t,

E [Xt+1|t] = Xt, t = 0, 1, 2, ...

ce qui nest pas une martingale, car en moyenne, sachant le pass, le processus revient Xt plutt que Xt.

Exemple : supposons que

St = St1 Ut, t = 1, 2, ...

o Ut = {u, d} toute priode (i.i.d. comme U). Est-ce que le processus {St, t = 0, 1, 2, ...}est une martingale ?

Solution : on doit vrifier que

E [St+1|t] = St, , t = 0, 1, 2, ...

Or, on a

E [St+1|t] = E [St Ut+1|t]= St E [Ut+1]= St E [U ]

moins que E [U ] = 1, {St, t = 0, 1, 2, ...} nest pas une martingale. Le thorme fondamental stipule quen absence darbitrage dans un modle binomial une priode (tel que prsent dans ce chapitre), alors il existera toujours une probabilitq quivalente p, telle que le prix dun produit driv peut tre exprim comme : esprance prise avec une probabilit q; flux financiers escompts au taux sans risque ;

Linverse du thorme est galement vrai, i.e. si q est une probabilit valide, alors ilny a pas darbitrage.

Pour valuer un produit driv, alors

C0 = erEQ [C1]

o EQ [.] signifie une esprance prise avec la probabilit q. Si nous navions pas fait lexercice de rorganiser lquation 1.3, il serait impossible dedterminer quelle est la valeur de la probabilit q. Toutefois, le thorme fondamentalfournit une rponse ce sujet.

Condition martingale : la probabilit q doit tre telle que

S0 = erEQ [S1] ,

i.e. que la valeur prsente de lactif risqu est une martingale, avec la probabilit q. Vrifions que cest bel et bien le cas. On cherche une probabilit q telle que

S0 = erEQ [S1] .


Donc,erEQ [S1] = er

(q Su1 + (1 q) Sd1

)et pour que ce soit gal S0, on a

er(q Su1 + (1 q) Sd1

)= S0

et en isolant q, on obtient bel et bien

q =S0e

r Sd1Su1 Sd1

.

La condition dabsence darbitrage i.e. Sd1 < S0B1 < Su1 , nous assure que cette proba-

bilit est bien 0 < q < 1. Illustrons les implications du thorme fondamental. Illustration : Le thorme stipule quen absence darbitrage, alors q est une probabilit ; On sait que pour prvenir les opportunits darbitrage, on a besoin que Sd1 < S0B1 1000 S2 100.

Note : S22 est le carr du prix de lactif sous-jacent au temps t = 2.

(a) En utilisant lvaluation neutre au risque, trouvez le juste prix de ce produitdriv.

(b) En utilisant lvaluation neutre au risque, trouvez le juste prix de la version am-ricaine de ce produit driv, en assumant que le paiement est le mme en casdexercice prmatur.

4. (CZ) On considre les trajectoires suivantes dun actif sous-jacent.

i S0 S1 S2

1 50 55 572 50 55 483 50 47 484 50 47 41

On a que r = 0.02 (compos chaque priode). Un dividende de 3$ est vers t = 1(immdiatement aprs le dvoilement des prix t = 1). En utilisant lvaluation neutreau risque :

(a) Trouvez le prix dune option de vente amricaine avec prix dexercice de 45$ avecmaturit de 2 priodes.

(b) Trouvez le prix dune option dachat amricaine avec prix dexercice de 45$ avecmaturit de 2 priodes.

5. (GG) On considre le modle de march suivant o le taux dintrt est stochastiquemais prvisible. Les trajectoires de lactif sans risque ({Bt, t = 0, 1, 2}) et de lactif ris-qu ({St, t = 0, 1, 2}) (qui ne paie aucun revenu) sont donnes dans le tableau suivant.

i S0 S1 S2 B0 B1 B21 40 41 42.50 1000 1020 10402 40 41 40.20 1000 1020 10403 40 39 39.90 1000 1020 10304 40 39 39 1000 1020 1030

Un droit conditionnel payant

C2 = (max (S1, S2) 40)+est mis.

3.5. EXERCICES 55

(a) Dcrire laide dun arbre, lvolution de {St, t = 0, 1, 2} .(b) Montrez que ce modle de march nadmet pas larbitrage.

(c) Trouvez la stratgie qui permet de rpliquer les flux financiers de ce droit condi-tionnel, pour toutes les priodes, i.e. trouvez 1 et 2. Il sagit de votre portefeuillerplicatif.

(d) Dterminez le cot initial du portefeuille rplicatif.

(e) Trouvez la seule et unique mesure martingale quivalente pour ce modle.

(f) Vrifiez que le cot du portefeuille rplicatif est le mme qu laide de lvaluationneutre au risque.

(g) Un droit conditionnel D2 = 100 est mis (obligation zro-coupon). Quel est lejuste prix de ce droit conditionnel ?

6. Une banque dinvestissement europenne met une option de vente sur la devise am-ricaine dune dure de 6 mois. Vous utilisez un arbre binomial deux priodes. Voussavez que le taux dintrt sans risque en Europe est denviron 3% alors quil est de 1%aux tats-Unis. De plus, le taux de change courant est de 1.25$ par euro, la volatilitdu taux de change est de 20% (u est dfini selon CRR), et le prix dexercice de loptionest de 1.35$ par euro.

(a) Calculez la valeur de 1000 de ces options (en euro) t = 0 en utilisant lvaluationneutre au risque ;

(b) Sans mettre loption de vente, de quelle faon la banque dinvestissement peut-elle rpliquer les paiements de cette option chaque priode et chaque scnario ?

56CHAPITRE 3. GNRALISATIONS ET APPLICATIONS DE LARBRE BINOMIAL

Chapitre 4

Arbres trinomiaux et marchsincomplets

4.1 Modle

Dans ce chapitre, on sintresse valuer un produit driv sur un actif sous-jacentdont lvolution est dicte par un arbre trinomial ; Lactif sous-jacent peut prendre trois valeurs possibles la fin de la priode ;

March financier (une conomie) possde deux actifs transigs : Actif risqu (action ou autre actif sous-jacent) ; Actif sans risque (bon du Trsor, compte bancaire, etc.) ; Comme aux derniers chapitres ; Valeur au temps t = 0 et t = 1 donn par B0 et B1; Taux dintrt continument ou priodiquement compos ; Dterministe (non-alatoire) ;

Actif risqu S0 : prix du sous-jacent t = 0 ; Connu et observ ;

S1 : prix du sous-jacent t = 1 ; Alatoire, inconnu ;

On suppose que S1 peut prendre trois valeurs possibles t = 1 : Su1 avec probabilit pu; Sm1 avec probabilit pm Sd1 avec probabilit pd = 1 pu pm;

On a galement : Sd1 < Sm1 < S

u1 .

Similairement, les probabilits pu, pm et pd sont appeles probabilits relles, observesou physiques dobserver Su1 , S

m1 et S

d1 respectivement.

Finalement,Sd1 < S0

B1B0

< Su1

est une condition ncessaire pour la validit de larbre trinomial une priode. Nousy reviendrons plus en dtails plus tard.

57

58 CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHS INCOMPLETS

Arbre trinomial peut tre vu comme tant un arbre binomial + un risque supplmen-taire. Cest ce risque supplmentaire qui cre les difficults dans lvaluation par rplicationet lvaluation neutre au risque.

4.2 valuation par rplication

On dsire valuer un droit conditionnel sur S1 dans un arbre trinomial ; Une premire faon dapprocher le problme est de trouver le portefeuille qui rpliquerales paiements du produit driv en question ;

Rappel : lvaluation par rplication consiste trouver un portefeuille dactifs quirplique de faon exacte les flux financiers dans tous les scnarios possibles ;

Procdons laide dun exemple ; Exemple : supposons que le taux dintrt annuel est de 10% (compos priodique-ment). De plus, lactif sous-jacent est tel que S0 = 6 et S1 {7.7, 5.5, 3.3}. Une optionde vente avec prix dexercice de 7.70$ avec maturit de 1 an est mis. Quel devrait trele prix de cette option de vente afin dviter les opportunits darbitrage ?

Solution : on doit trouver la quantit du titre sans risque et du titre risqu quon doitpossder t = 0 de telle sorte que ce portefeuille ait les mmes paiements que loptionde vente, dans tous les scnarios. Soit x la quantit dactions ncessaire dans le portefeuille de rplication pour repro-duire les paiements de loption.

Soit y la quantit de bons du Trsor ncessaire dans le portefeuille de rplicationpour reproduire les paiements de loption.

De plus, la valeur du titre risqu et les paiements du produit driv sont :

S0 S1 C17.7 (7.7 7.7)+ = 0

6 5.5 (7.7 5.5)+ = 2.23.3 (7.7 3.3)+ = 4.4

Le systme dquations devient

7.7x+ 1.1y = 0

5.5x+ 1.1y = 2.2

3.3x+ 1.1y = 4.4.

En rsolvant les deux premires quations on obtient

x = 1, y = 7. De plus,

3.31 + 1.1 7 = 4.4ce qui signifie que le portefeuille [1, 7] permettra de rpliquer les paiements duproduit driv t = 1 dans tous les scnarios possibles.

4.2. VALUATION PAR RPLICATION 59

La valeur de ce droit conditionnel t = 0 (ou le juste prix) est le cot dacquisitionde ce portefeuille et correspond

(1)1 S0 +

(0)1 B0 = 1 6 + 7 1 = 1.

Exemple (suite) : dans lexemple prcdent, supposons que loption de vente a un prixdexercice de 6$. Est-il encore possible de construire un portefeuille de rplication ?

Solution : lvolution du titre risqu et les paiements du droit conditionnel sont :S0 S1 C1

7.7 (6 7.7)+ = 06 5.5 (6 5.5)+ = 0.5

3.3 (6 3.3)+ = 2.7 Pour trouver le portefeuille de rplication, le systme dquations rsoudre est

7.7x+ 1.1y = 0

5.5x+ 1.1y = 0.5

3.3x+ 1.1y = 2.7

ce qui est un systme de trois quations deux inconnues. Peut-on rsoudre un tel systme ? Malheureusement non car il ny a aucune solution. En effet, en rsolvant les deux premires quations, on a

x = 0.22727273, y = 1.5909091mais

3.30.22727273 + 1.1 1.5909091 = 1 = 2.7. Il nexiste donc pas de portefeuille qui puisse rpliquer les paiements de ce droitconditionnel. La rplication parfaite est impossible.

quel prix devrait se transiger un tel produit afin dviter les opportunits darbi-trage ? Il existe une infinit de prix qui empchent les opportunits darbitrage. Enfait, on aura que C0

[C inf0 , C

sup0

].

Par contre, en pratique, comment lacheteur et le vendeur sentendront-ils sur unprix unique ?

Il est fort probable que le prix offert et demand sera celui qui minimisera le risquede chacune des parties.

Par consquent, dautres hypothses devront tre utilises pour trouver un prixunique.

Comment se fait-il que dans le mme march, certains produits peuvent tre rpliqusalors que dautres ne peuvent ltre ? Il existe des droits accessibles et des droits non accessibles ;

Droit accessible (attainable claim) : un droit conditionnel pour lequel il existe unseul et unique portefeuille de rplication.

Exemple (suite) : dans le march financier prsent dans lexemple prcdent, quelsproduits drivs pourraient tre accessibles ? Autrement dit, que devraient tre lespaiements du droit conditionnel afin de trouver un portefeuille de rplication unique ?


Solution : on aS0 S1 C1

7.7 cu6 5.5 cm

3.3 cd

et le systme dquations devient

7.7x+ 1.1y = cu

5.5x+ 1.1y = cm

3.3x+ 1.1y = cd.

En gnral, ce systme dquations nadmet aucune solution la plupart du temps.Toutefois, lorsque la solution de

7.7x+ 1.1y = cu

5.5x+ 1.1y = cm

permet galement de rsoudre

3.3x+ 1.1y = cd

alors la solution est unique et le droit conditionnel est accessible. Utilisons la soustraction dquations pour rsoudre ce systme. En soustrayant lesdeux premires quations et les deux dernires quations, on a

2.2x = cu cm2.2x = cm cd.

Donc la condition daccessibilit est

cu cm = cm cd.

Dans le cas de loption de vente avec prix dexercice de 6$, on a

cu = 0, cm = 0.5, cd = 2.7

et pour loption avec prix dexercice de 7.70$, on a

cu = 0, cm = 2.2, cd = 4.4.

On remarque que la condition daccessibilit est rencontre dans le 2e cas seulement.Cest ce que nous avions not prcdemment.


4.3 valuation neutre au risque

4.3.1 Arbitrage

Nous avons suppos prcdemment que

Sd1 < S0B1B0

< Su1 .

Il est facile de voir quil sagit galement de la condition dabsence darbitrage danslarbre trinomial : Le titre risqu doit avoir la possibilit davoir un rendement plus petit ou plus grandque le titre sans risque ;

On peut donc aborder la version la plus gnrale du thorme fondamental dvaluationdes actifs financiers ;

4.3.2 Thorme fondamental dvaluation

Dans larbre binomial une ou plusieurs priodes, nous avons remarqu quil existe uneapproche alternative dvaluation des produits drivs : lvaluation neutre au risque.

En absence darbitrage, il existe une seule et unique mesure de probabilit neutre aurisque. Le prix dun produit driv qui empche les opportunit darbitrage : esprance sous la mesure neutre au risque ; flux financiers futurs escompts au taux sans risque ;

Comme nous avons vu en manipulant lquation du cot du portefeuille de rplica-tion, lexistence de lapproche neutre au risque est intrinsque lexistence dun telportefeuille ;

Quen est-il pour larbre trinomial (ou nimporte quel autre processus temps discret)pour reprsenter lvolution de {St, t 0} ?

Thorme fondamental dvaluation (pour larbre trinomial et nimporte quelautre processus temps discret) : en absence darbitrage, il existe au moins une mesureneutre au risque telle que la condition martingale est respecte, et vice-versa.

Condition martingale : dans larbre trinomial (ou nimporte quel processus tempsdiscret), la condition martingale est telle que

StBt

= EQ[St+1Bt+1

Ft] , t = 0, 1, 2, ... On note que Ft correspond linformation donne par toutes les trajectoires possiblesgnres par S0, S1, ..., St;

En termes de probabilits avances,Ft est la plus petite tribu gnre par S0, S1, ..., St. La consquence du thorme fondamental dvaluation est que le prix dun produitdriv est tel que

CtBt

= EQ[Ct+1Bt+1

Ft] , t = 0, 1, 2, ...Donc,

C0 =EQ[CTBT

F0]


lorsque B0 = 1. La premire tape consiste trouver la mesure neutre au risque valide dans le modlepour le titre risqu. Une fois que cette mesure est trouve, on value le produit drivrcursivement.

IMPORTANT : La mesure de probabilit neutre au risque na de sens que lorsquondsire calculer le prix sans arbitrage dun produit driv. Dans nimporte quel autrecontexte, cette mesure de probabilit ne fait aucun sens.

Illustration : supposons quun actif risqu est transig avec S0 connu et S1 {Sd1 , S

m1 , S

u1

}avec Sd1 < S

m1 < S

u1 .

Le thorme fondamental stipule quen absence darbitrage, alors il existe au moinsune mesure neutre au risque (mesure martingale quivalente ou MME) ;

On sait que pour prvenir les opportunits darbitrage, on a besoin que Sd1 < S0B1B0

0.5

ou0 < qm < 1

ce qui nest malheureusement pas plus informatif ! De plus,

0 < 1 qu qm < 10 < 1 (0.75 0.5qm) qm < 10 < 0.25 0.5qm < 1

0.25 < 0.5qm < 0.750.5 > qm > 1.5

ou0 < qm < 0.5.

Par consquent, lorsquon dtermine qm comme variable libre, alors elle doitrespecter 0 < qm < 0.5. De plus, qu = 0.75 0.5qm.

Lorsque qu est la variable libre, alors qm = 32 2qu. On applique

0 qu >

1

4

ou1

4< qu 1.01 (123x+ 53y)120x+ 51y > 1.01 (123x+ 53y)

ces trois conditions sont remplies simultanment et rpter en inversant lingalit.

4.5. APPLICATIONS ACTUARIELLES 69

Toutefois, nous avons trouv une MME valide dans ce contexte. Par le thormefondamental, lexistence dune MME implique labsence darbitrage.

On remarque que lajout dun second titre risqu a permis dans cet exemple de trouverun portefeuille de rplication unique ; Lorsque le second titre risqu nest pas redondant (qui peut tre rcrit comme unecombinaison linaire de lautre actif), alors ce titre permet de "complter" le march ;

Sil y a absence darbitrage, alors le march sera complet dans ce contexte.

4.5 Applications actuarielles

En assurance, il existe une gamme de produits dassurance vie et dannuits dont lepaiement / taux dintrt crdit dpend du rendement dun actif risqu : equity-linkedinsurance ;

Parmi ces produits existe les fonds distincts (segregated funds ou variable annuities) ; Plusieurs types de protection qui sont vendues : prestation de mortalit minimale garantie (PMMG) (guaranteed minimum death be-

nefit ou GMDB) ; prestation de survie minimale garantie (PSMG) (guaranteed minimum maturity be-

nefit ou GMMB) ; revenu minimal garanti (RMG) (guaranteed minimum income benefit ou GMIB) ; etc.

La diffrence avec les produits drivs conventionnels est lajout du risque de mortalit ; Important : la mortalit dun individu particulier nest pas transige sur les marchsfinanciers ;

March de lassurance est incomplet (du point de vue de lingnierie financire). Exemple : Lassur investit 100$ dans un produit dassurance particulier. Linvestissement initial crot avec un actif sous-jacent (par exemple un indice bour-sier). Toutefois, un rendement minimum garanti est offert dans le contrat.

Si les paiements ne dpendaient pas de la survie de lindividu, alors la compagniedassurance mettrait une option de vente au client (protective put) ;

Toutefois, dans la plupart des contrats de fonds distincts, la prestation de survie etde dcs est diffrente.

Supposons dans notre exemple quon a : Dcs : rendement minimum garanti de 3%; Survie : rendement minimum garanti de 1% ;

Lactif sous-jacent est une action dont lvolution est la suivante : S0 = 100 etS1 {90, 110}. Il sagit dun arbre binomial standard ;

Soit B1 la valeur dun titre sans risque avec taux dintrt de 5%. Comment peut-on valuer un tel produit ? Soit I1 = 1 si lindividu survit durant la priode et I1 = 0 sinon.


On ai S0 S1 I0 I1 C11 100 110 1 1 1102 100 110 1 0 1103 100 90 1 1 1014 100 90 1 0 103

Malheureusement, seulement S et B sont transigs sur le march financier. La mor-talit de cet individu nest pas transige sur les marchs financiers. Par consquent,comment peut-on rpliquer les paiements de 101 et 103 lorsque S1 = 90 ?

On a le systme dquations suivant :

(0)1 B1 +

(1)1 S

u1 = 110

(0)1 B1 +

(1)1 S

d1 = 101

(0)1 B1 +

(1)1 S

d1 = 103

pour lequel il nexiste aucune solution. La rplication est donc impossible. Soit qi la probabilit neutre au risque dobserver ltat de la nature i. La condition martingale implique

100 =110

1.05(q1 + q2) +

90

1.05(1 q1 q2)

ce qui indique une infinit de valeurs pour q1 et q2, et donc une infinit de mesuresneutres au risque.

Comment peut-on se sortir de ce ptrin pour trouver la valeur de C0 ? La mortalit est un risque facilement diversifiable pour un assureur : Le risque de mortalit est indpendant dun individu lautre ; Lassureur souscrit des milliers de polices dassurance-vie ; La mortalit des individus est indpendante de lvolution des marchs financiers ;

Lapproche suivante est souvent utilise pour trouver un prix unique :C0 = E

P[EQ[C1B

11

F0, I1]F0]avec

q S0B1 Sd1

Su1 Sd1.

Exemple (suite) : La probabilit neutre au risque dune augmentation dans larbre binomial est

q =105 90110 90 = 0.75.

Alors,

EQ[C1B

11

F0, I1 = 1] = 110 0.751.05

+101 0.25

1.05= 102.61905

ce qui correspond la valeur du produit dassurance en cas de survie.

4.6. RSUM 71

De plus,

EQ[C1B

11

F0, I1 = 0] = 110 0.751.05

+103 0.25

1.05= 103.09524

ce qui correspond la valeur du produit dassurance en cas de dcs. Par consquent,

C0 = 102.61905 PrP(I1 = 1) + 103.09524 Pr

P(I1 = 0) .

Nous sommes dans un march incomplet, alors il peut exister plusieurs prix quiempchent les opportunits darbitrage. Par consquent, la manire la plus intuitivede calculer PrP (I1 = 1) est dutiliser une table de mortalit.

On a PrP (I1 = 1) = 0.98 et donc,

C0 = 102.61905 0.98 + 103.09524 0.02= 102.62857.

Lassureur peut facilement rpliquer les paiements en cas de survie en utilisant lestechniques du chapitre 1. Par contre, pour 2% des assurs, la couverture sera im-parfaite car lassur dcdera. Lassureur assume donc le risque dimpecfection de lacouverture (hedging).

4.6 Rsum

Est-ce que ce quon vient de voir invalide tout ce quon a vu en mathmatiques actua-rielles, en finance, en marketing, etc. ? NON!

La conclusion est que lingnierie financire est la science mathmatique de lvaluationde produits drivs en sachant les prix observs des actifs sous-jacents. Il faut trouver le prix qui empche les opportunits darbitrage. Cest le concept cl comprendre.

En assurance, en finance et en marketing, on soccupe souvent de trouver le prix desactifs sous-jacents, pas le prix des produits drivs ;

En assurance, il est impossible de rpliquer les paiements dun contrat dassurance-vieavec les actifs qui se transigent New York, Montral, Chicago, etc. La vie dun individu nest malheureusement pas un risque couvert sur les marchsfinanciers.

Le march de lassurance est incomplet en termes dingnierie financire. De plus, il est impossible pour un assur de vendre le contrat dune compagnie et deprotger sa position avec le contrat dune autre compagnie.

Par consquent, plusieurs prix peuvent exister pour le mme contrat. Sil existait un produit financier qui couvrait la vie dun invididu et qui tait transig tous les jours sur les marchs financiers (I1 par exemple), alors les techniques detarification prcdentes sappliqueraient.


Similairement, pour les autres produits, lunicit de ceux-ci rend la rplication quasi-impossible, et donc lexploitation dopportunits darbitrage sans risque trs difficile. Est-il possible de construire nous-mmes un iPod pour moins cher et den exploiterun profit sans risque ?

Thorme fondamental dvaluation des actifs financiers Si le modle admet des opportunits darbitrage, alors il nexiste pas de MME (me-sure neutre au risque) et vice versa ;

Si le modle nadmet pas dopportunits darbitrage, alors il existe au moins uneMME (mesure neutre au risque) et vice versa ; (March complet MME unique) Prix unique (cot de rplication, valeurespre sous Q, valeur espre ajuste sous P)

(March incomplet MME multiple) Prix multiple mais si le droit est acces-sible, alors le prix est unique.

4.7 Exercices

4.7.1 Examen MFE/3F

Mai 2007 : aucun ; Mai 2009 : aucun ; Q&A (version du 18 aot 2010) : 3, 27 ;

4.7.2 Exercices supplmentaires

Les exercices nots CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exer-cices nots GG proviennent des notes de cours de Genevive Gauthier (reproduits avec sonautorisation).

1. Dans un arbre trinomial une priode, vous avez que S0 = 27 et S1 {23, 28, 32}. Deplus, B0 = 1 et B1 = 1.1.

(a) Montrez quil nexiste pas darbitrage entre le titre risqu et le titre sans risque.

(b) Quelles sont les conditions ncessaires afin quun droit conditionnel mis dans cemarch soit accessible ? Est-ce que le march est complet ?

(c) Trouvez la ou les mesures neutres au risque dans ce march financier.

(d) En utilisant lapproche par rplication et lapproche neutre au risque, quel estle prix ou les prix qui empchent les opportunits darbitrage pour une optiondachat europenne avec prix dexercice de 30$.

2. (CZ) Dans un march financier quelconque, vous avez que

i S(1)1 S

(2)1 S

(3)1

1 90 0 02 100 0 53 120 15 25

4.7. EXERCICES 73

avec S(1)0 = 100, S(2)0 = 5 et S

(2)0 = 10. En utilisant un portefeuille de rplication, quelle

doit tre la valeur dun titre sans risque qui paie 1$ dans tous les tats de la nature ?Par consquent, quel est le taux dintrt (compos annuellement) en vigueur dans cemarch ?

3. (GG) Nous travaillons partir du modle de march illustr dans le tableau suivant.

i S0 S1 S2 C21 2 2 2 02 2 2 3 03 2 4 3 04 2 4 4 15 2 4 6 3

On note que B0 = 1.12, B1 = 1.11 et B2 = 1. En gnral, nous ne connaissons pas lavraie mesure de probabilit qui prvaut sur . Par contre, chacun des intervenantssur le march prsume, selon ses connaissances, dune certaine mesure de probabilitP. Lun deux croit que le prix dune part du titre risqu sera, au temps t = 2, vraisem-blablement infrieur 3 dollars. Cest pourquoi il offre sur le march loption dachatdu titre risqu avec un prix dexercice de K = 3, cest--dire que le droit conditionnelC2 reprsentant la valeur de loption dachat au temps t = 2 est C2 = (S2 3)+ .(a) Dcrire laide dun arbre, lvolution de {St, t = 0, 1, 2} .(b) Montrez que ce modle de march nadmet pas larbitrage.

(c) Trouvez la stratgie qui permet de rpliquer les flux financiers de ce droit condi-tionnel, pour toutes les priodes, i.e. trouvez 1 et 2. Il sagit de votre portefeuillerplicatif.

(d) Dterminez le cot initial du portefeuille rplicatif.

(e) Trouvez les mesures neutres au risque (mesures martingales quivalentes) pour cemodle.

(f) Dterminez, pour chacune des mesures neutres au risque, la valeur actualiseespre du droit conditionnel C2. Que constatez-vous ?

(g) En fonction de votre rponse en g), est-ce que le droit conditionnel est accessible ?Est-ce que le march est complet ?

4. (GG) Le processus stochastique {Bt, t = 0, 1, 2} reprsente lvolution du prix dunepart dun titre non-risqu. Un second processus stochastique {St, t = 0, 1, 2} reprsentelvolution du prix dune part dun titre risqu. Lvolution temporelle de ces titres estdonne dans le tableau suivant.

i S0 S1 S2 B0 B1 B21 1 1 1 1 1.1 1.22 1 1 2 1 1.1 1.23 1 2 1 1 1.1 1.34 1 2 2 1 1.1 1.35 1 2 3 1 1.1 1.3


Madame va Hachette dtient, au temps t = 0, le portefeuille (Eva)2 = (Eva)1 = [3, 4]

constitu de trois parts du titre sans risque et de quatre parts du titre risqu. MonsieurYvan LeProduit, lui, possde au mme moment le portefeuille (Yvan)2 =

(Yvan)1 =

[2, 9] qui comprend une dette de deux parts du titre sans risque et neuf parts du titrerisqu. Monsieur Yvan LeProduit offre madame va Hachette loption dchangerleur portefeuille au temps t = 2, cest--dire que si la valeur X(Eva)2 au temps t = 2 duportefeuille dva est infrieure celle du portefeuille dYvan, X(Yvan)2 , va changerales portefeuilles et ralisera un profit de X(Yvan)2 X(Eva)2 sinon, elle conservera sonportefeuille et son profit sera nul.Indice : laide de (Eva)2 et

(Yvan)2 , calculer la valeur de X

(Eva)2 et X

(Yvan)2 dans chacun

des tats de la nature. Ensuite, pour chacun des i, calculer le paiement du droitcomme tant

(X

(Yvan)2 X(Eva)2

)+.

(a) Dcrire laide dun arbre, lvolution de {St, t = 0, 1, 2} et {Bt, t = 0, 1, 2} .(b) Dterminez selon quelles mesures de probabilit les processus de prix actualisssont des martingales.

(c) Justifiez pourquoi ces mesures sont aussi appeles mesures neutres au risque.

(d) Vrifiez que le modle de march nadmet pas larbitrage.

(e) Dterminez, pour chacune des mesures trouves en c), la valeur actualisee esprede cette option (le prix de loption).

(f) Expliquez pourquoi le prix de loption calcul selon les mesures martingales nestpas unique.

(g) Est-ce que ce droit conditionnel est accessible ? Est-ce que le march est complet ?

Deuxime partie

Modle de Black-Scholes

75

Chapitre 5

Mouvement brownien

5.1 Rappels et intuitions

Arbre binomial pour lactif sous-jacent : Supposons quon projette la valeur dun actif sous-jacent sur un intervalle de tempsfini [0, T ] ;

Lintervalle de temps [0, T ] est divis en n sous-intervalles de temps : 0,t, 2t, ..., Tt, T n+ 1 priodes t = T/n. Notation : t = 0,t, 2t, ..., T t, T ou k = 0, 1, ..., n sont quivalents.

Actif risqu : St+t = StUt+t avec Ut+t = {u, d} et Ut+t i.i.d. dune priode lautre ;

Supposons que u et d sont dtermins selon CRR. Que se passe-t-il lorsque t 0 ? Lensemble des valeurs prises par ST ressemblera de plus en plus une loi lognormale ; Similairement pour chacune des valeurs prises par St, t < T. Par consquent, la loi de St converge vers une loi lognormale mesure que t 0.

Nous allons formaliser largument dans les paragraphes qui suivent. Dans ce chapitre et les suivants, nous allons nous intresser aux applications du mou-vement brownien en ingnierie financire.

5.2 Construction du mouvement brownien

Supposons quon conduise lexprience suivante : Sur un intervalle de temps [0, T ], on lance une pice de monnaie non biaise n fois ; Lexprience est conduite t = t, 2t, 3t, ..., T o t = T/n; chaque tirage, on gagne

t$ si le rsultat est pile et on perd

t$ si le rsultat

est face. On dbute 0, et il est possible davoir une richesse ngative.

77

78 CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN

On dfinit la notation suivante :Xi {+1 (pile),1 (face)}Yi

{t,

t}

=tXi.

Yi reprsente le gain/la perte chacun des tirages. La pice de monnaie est bien balance, i.e.

Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = 1) = 0.5ce qui implique

Pr(Yi =

t)= Pr

(Yi =

t)= 0.5

et ce pour tout i = 1, 2, ..., n. De plus, la nature de lexprience fait en sorte que les Xisont i.i.d. et les Yi galement.

Au lieu de reprsenter la richesse dun joueur, on peut utiliser cette exprience pourreprsenter le dplacement dune particule le long dune droite.

SoitW (n)T la richesse du joueur la fin des n tirages (ou la position finale de la particule la fin de lexprience). On a donc

W(n)T

ni=1

Yi

=T

ni=1Xin

.

Notons que W (n)0 = 0 (la richesse initiale est nulle) et que pour 1 k n

W(n)kt =

ki=1

Yi.

Quels sont les moments de W (n)T ?

E[W

(n)T

]= E

[T

ni=1Xin

]=

Tn n E [X] = 0

Var[W

(n)T

]=

T

nVar

[ni=1

Xi

]= T Var [X] = T

car les Xi sont i.i.d. comme X et Var [X] = 1. Quelle est la loi de W (n)T lorsque n ? Le thorme central limite stipule quen

i=1Xin

N (0, 1)

lorsque n.

5.2. CONSTRUCTION DU MOUVEMENT BROWNIEN 79

En dfinissant

WT limn

W(n)T

=T lim

n

ni=1Xin

on obtient doncWT W0 N (0, T )

lorsque n ou t 0. On rpte les mmes arguments sur deux intervalles disjoints [t1, t2] et [t3, t4] parexemple, avec 0 t1 < t2 < t3 < t4 T On obtient

Wt2 Wt1 N (0, t2 t1)Wt4 Wt3 N (0, t4 t3) .

Puisque les tirages Xi sont tous i.i.d., alors on dduit que Wt2Wt1 est indpendantde Wt4 Wt3 .

Par consquent, les accroissements (i.e. Wt+t Wt) du mouvement brownien sonti.i.d. et distribus selon une loi normale de moyenne 0 et de variance t.

Attention : Wt2 Wt1 est indpendant de Wt4 Wt3 ; Mais Wt1 ,Wt2 ,Wt3 et Wt4 sont des v.a. dpendantes ! En effet, les Yi qui servent construire Wt1 sont galement inclus dans Wt2. On effectue n tirages de Yi sur lintervalle [0, T ] avec t1 < t2 < T . Pour illustrer, on effectue 1000 tirages i.i.d. de X jusqu t1 et 2000 tirages (au total)pour aller jusqu t2. Alors,

Wt1 Y1 + ...+ Y1000Wt2 Y1 + ...+ Y1000 + Y1001 + ...+ Y2000

= Wt1 + Y1001 + ... + Y2000

et Wt2 dpend de la ralisation de Wt1. Par construction

WT = limn

W(n)T =

t lim

n(X1 +X2 + ...+Xn)

implique que le mouvement brownien est une marche alatoire. On peut galement dduire, de la construction du modle, que

Wt+t Wt =tZt+t

o W0 = 0 et Zt+t N (0, 1). De plus, les Zt sont i.i.d. comme Z. Utile lorsquon veut procder la simulation du mouvement brownien.


5.3 Mouvement brownien standard (MBS)

Nous procdons une prsentation plus formelle du mouvement brownien (standard)(MBS).

Le processus stochastique {Wt, t 0} est un mouvement brownien sil remplit chacunedes 4 proprits suivantes : (1) W0 = 0; (2) Wt Ws obit une loi normale de moyenne 0 et de variance t s (pour s < t) (3) Les accroissements suivants sont indpendants. Pour 0 t1 < t2 < ... < tn, alorsles v.a. Wt2 Wt1 ,Wt3 Wt2, ...,Wtn Wtn1 sont indpendantes.

(4) Toute trajectoire issue de {Wt, t 0} est continue en t. Commentaires et interprtations : (1) Il sagit seulement dune convention. On peut dmarrer le mouvement browniende nimporte quel point sans en changer le comportement. En effet, on peut utiliserla dfinition suivante

W t w +Wtlorsque le processus dmarre avec W 0 = w ce qui implique que {W t , t 0} est unMBS galement. Cette translation naffecte pas le comportement du processus.

(2) La variabilit du mouvement brownien ne dpend que de la longueur de tempsde lintervalle considr t s.

(3) Sans perte de gnralit, si t2 t1 = t3 t2 reprsentent deux journes cons-cutives, alors les variations du mouvement brownien dune journe lautre sontindpendantes.

(3) La 3e condition implique que

Cov (Wt,Ws) = min (t, s) .

En effet, lorsque s > t

Cov (Wt,Ws) = Cov (Wt,Ws Wt +Wt)= Cov (Wt,Ws Wt) + Cov (Wt,Wt)= 0 + t

car les accroissements sont indpendants. Lorsque t > s, alors on obtient

Cov (Wt,Ws) = s

ce qui impliqueCov (Wt,Ws) = min (t, s) .

(4) Mme si le mouvement brownien est continu en tout point, il nest pas diffren-tiable, et ce pour tout t. Donc, la fonction est continue mais tellement irrgulire chaque point quelle nest pas drivable.

Le mouvement brownien est un processus markovien. Soit Fs lensemble dinformation gnre par la trajectoire du mouvement brownienjusqu s (s < t). Alors,

Wt| Fs Wt|Wscar le MBS est une marche alatoire.

5.3. MOUVEMENT BROWNIEN STANDARD (MBS) 81

Donc, il est inutile de connaitre toute la trajectoire avant s car seule la valeur duprocessus s est importante.

Par consquent,E [Wt| Fs] = E [Wt|Ws] , s < t.

Le mouvement brownien est une martingale. Rappel : une martingale est un processus stochastique {Xt, t 0} tel que

E [Xt| Fs] = Xs, s t. En effet,

E [Wt| Fs] = E [Wt|Ws] (markovien)= E [Wt Ws|Ws] +Ws= Ws.

Interprtation : la meilleure prvision quon peut faire pour la valeur future dunmouvement brownien est sa valeur courante.

Similairement, tant donn ce qui est observ jusqu s (indiqu par Fs), alors enmoyenne, le mouvement brownien retourne sa dernire valeur connue.

Exemple : est-ce que {W 2t t, t 0} est une martingale ? Solution : oui en effet. On complte dabord le carr :

(Wt Ws)2 =W 2t 2WtWs +W 2sce qui indique que

W 2t = (Wt Ws)2 + 2WtWs W 2set donc

E[W 2t t

Fs] = E [(Wt Ws)2 + 2WtWs W 2s tFs]= E

[(Wt Ws)2

Fs]+2E [WtWs| Fs] E

[W 2sFs] t.

On a

E[(Wt Ws)2

Fs] = t sE [WtWs| Fs] = E [(Wt Ws)Ws| Fs] + E

[W 2sFs]

= 0 +W 2s

car Ws est connu. Finalement,

E[W 2t t

Fs] = t s+ 2W 2s W 2s t= W 2s s.

Exemple : Une particule se dplace continument sur une ligne droite partir de la position 0.Sa position, en fonction du temps, est donne par un MBS {Wt, t 0}.


Quelle est la distribution de la position de la particule aprs une priode ? W1 N (0, 1) .

Quelle est la probabilit que la particule se retrouve au moins 2 units droite(+2) en 3 units de temps ? On cherche Pr (W3 > 2). On a

Pr (W3 > 2) = Pr (N (0, 3) > 2) = 1 (2 0

3

)= 1

(23

)= 0.1241.

Calculer un intervalle de confiance 95% de la position de la particule aprs 10priodes sachant quaprs 5 priodes, la particule est la position -1. W10 W5 N (0, 5) en gnral. On sait que W5 = 1, on a donc

1 1.965.

quoi ressemble une trajectoire dun mouvement brownien ? Nous allons simuler unede ces trajectoires dans Excel.

5.3.1 Simulation

La simulation est une technique qui permet dapproximer numriquement une quantitdifficile valuer ;

Elle consiste crer un chantillon alatoire synthtique partir dune variable ala-toire ;

Un ordinateur muni dun gnrateur de nombres uniformes permet de gnrer de telschantillons ; Dans Excel, saisir ALEA() dans 1000 cellules diffrentes permet de raliser un chan-tillon alatoire de 1000 ralisations dune v.a. uniforme U ;

Afin de gnrer des ralisations de X, on utilise la mthode inverse (inverse transformmethod) : Principe :

F1X (U) X. Preuve :

Pr(F1X (U) x

)= Pr

(FX

(F1X (U)

) FX (x))= Pr (U FX (x))= FX (x) .

Il faut donc gnrer un nombre uniforme et ensuite, la ralisation de X est obtenueen valuant U dans la fonction quantile ;

Exemple : pour simuler une ralisation dune loi normale standard dans Excel, onutilise

=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())

5.3. MOUVEMENT BROWNIEN STANDARD (MBS) 83

Par consquent, pour simuler une trajectoire dun MBS On sait que

Wt W0 normale (0,t)W2t Wt normale (0,t)

...

Wnt W(n1)t normale (0,t)

et ces v.a. sont i.i.d. Donc, pour simuler une trajectoire de n priodes dunMBS, on simule n v.a. normalescentres et rduites : Zt, Z2t, ..., Znt;

Par la suite,

Wt = W0 +tZt

W2t = Wt +tZ2t

...

Wnt = W(n1)t +tZnt.

Important : on sait que Wt N (0, t). Alors, pourquoi ne pas simuler directementW1,W2, ... en sachant que

W1 N (0, 1)W2 N (0, 2)

...?

En fait, les v.a. W1,W2, ... sont dpendantes. Par consquent, il faudrait tenircompte de la covariance qui existe entre ces v.a. Simuler les accroissements Wkt W(k1)t est donc plus simple.

5.3.2 Autres proprits du MBS

Variation totale : soit

VT limn

ni=1

W (n)it W (n)(i1)t . La variation totale est la "distance" ou la longueur du chemin parcouru par le MBSsur [0, T ] .

Puisque le MBS est compos dune infinit de petits pas en haut et en bas, on peutmontrer que

VT n.


En effet,

VT = limn

ni=1

W (n)it W (n)(i1)t= lim

n

ni=1

|Yi| = limn

ni=1

tXi=

T lim

n

ni=1

Xin

=T lim

n

ni=1

1n=.

La distance parcourue est infiniment grande, mme sur un intervalle de temps fini. Variation quadratique : soit

VQ limn

ni=1

(W

(n)it W (n)(i1)t

)2.

Il sagit dune forme de distance. On peut montrer que cette limite converge vers

VQnT. En effet,

VQ = limn

ni=1

(W

(n)it W (n)(i1)t

)2= lim

n

ni=1

Y 2i = limn

ni=1

(tXi

)2= T lim

n

ni=1

X2in

= T limn

ni=1

1

n= T.

Ce rsultat implique que les variations dordre plus leves (3, 4, etc.) convergentvers 0. Important lorsquon introduira le calcul stochastique ;

On peut galement montrer que le mouvement brownien croisera toutes les valeursdans R au moins une fois.

5.4 Mouvement brownien arithmtique (MBA)

Un mouvement brownien arithmtique est un MBS auquel on ajoute un coefficient dedrive (drift en anglais) et un coefficient de diffusion (ou volatilit) (diffusion ouvolatility en anglais) .

5.4. MOUVEMENT BROWNIEN ARITHMTIQUE (MBA) 85

Aussi appel mouvement brownien gnralis ou processus de Wiener gnralis Soit WAt un MBA. Alors,

WAt t+ Wtavec W0 = 0.

On en dduit les proprits suivantes : WA0 = 0; WAt WAs obit une loi normale de moyenne (t s) et de variance 2 (t s)(pour s < t)

Les accroissements de WAt sont indpendants. Les trajectoires

{WAt , t 0

}sont continues en t.

En effet : WA0 = 0 car W

A0 = 0 + W0 =W0 = 0;

WAt WAs = (t+ Wt) (s+ Ws) = (t s) + (Wt Ws) et selon les pro-prits du MBS, alors

WAt WAs NormaleE[WAt WAs

]= (t s)

Var[WAt WAs

]= Var [ (Wt Ws)] = 2 (t s) .

Avec 0 t1 < t2 < t3 < t4 T , on a

WAt2 WAt1 = (t2 t1) + (Wt2 Wt1)WAt4 WAt3 = (t4 t3) + (Wt4 Wt3)

et puisquon sait que Wt2 Wt1 et Wt4 Wt3 sont indpendants, alors WAt2 WAt1 estindpendant de WAt4 WAt3 .

On peut dmarrer le MBA la valeur w t = 0 en utilisant la dfinition

WAt = w + t+ Wt.

Un MBA est un processus markovien i.e. WAtFs WAt WAs .

Un MBA nest pas une martingale sauf si = 0. En effet,

E[WAt

Fs] = E [WAt WAs ] (markovien)= E

[WAt WAs

WAs ]+WAs= (t s) +WAs .

Exemple : Une particule se dplace continument sur une ligne droite partir de la position 0.Sa position, en fonction du temps, est donne par un MBA

{WAt , t 0

}avec une

tendance vers la gauche = 1 et une diffusion = 4. Quelle est la distribution de la position de la particule aprs une priode ? WA1 N ( 1, 2 1) = N (1, 16) .

Quelle est la probabilit que la particule se retrouve au moins 2 units droite(+2) en 3 units de temps ?


On cherche Pr (WA3 > 2). On aPr (W3 > 2) = Pr

(N( 3, 3 2) > 2)

= Pr (N (3, 48) > 2)= 1

(23

48

)= 1

(548

)= 0.2352.

Calculer un intervalle de confiance 95% de la position de la particule aprs 10priodes sachant quaprs 5 priodes, la particule est la position -1. En gnral, WAt WAs N ( (t s) , 2 (t s)) ou

WA10 WA5 N (1 5, 16 5) On sait que WA5 = 1, on a donc

6 1.9616 5.

5.4.1 Simulation

On sait queWAt WA0 normale

(t, 2t

)WA2t WAt normale

(t, 2t

)...

WAnt WA(n1)t normale(t, 2t

)et ces v.a. sont i.i.d.

Donc, pour simuler une trajectoire de n priodes dun MBA, on simule n v.a. normalescentres et rduites : Zt, Z2t, ..., Znt;

Par la suite,WAt = W

A0 + t+

tZt

WA2t = WAt + t+

tZ2t

...

WAnt = WA(n1)t + t+

tZnt.

Important : on sait queWAt N (t, 2t). Alors, pourquoi ne pas simuler directementWA1 ,W

A2 , ... en sachant que

WA1 N(, 2

)WA2 N

(2, 22

)...?

Pour la mme raison pourquoi nous ne simulons pas un MBS de cette faon car cesv.a. sont dpendantes.

5.5. MOUVEMENT BROWNIEN GOMTRIQUE (MBG) 87

5.5 Mouvement brownien gomtrique (MBG)

On obtient un mouvement brownien gomtrique (MBG) en prenant lexponentielledun mouvement brownien arithmtique. Le MBG est souvent utilis comme modle de base pour reprsenter lvolution duprix dun actif sous-jacent car sa valeur est toujours positive.

Soit {St, t 0} un MBG et{WAt + w, t 0

}un MBA qui dmarre w. Alors,

St = exp(WAt + w

)= eweW

At .

ouln (St) = w +W

At .

En posant S0 = ew, alorsSt = S0 exp

(WAt

)ou

ln (St) = ln (S0) +WAt .

Exemple : observons le comportement du MBG sur une priode [t, t+ 1]. On aSt+1 = St exp (+ (Wt+1 Wt))

car

St+1 = S0 exp ( (t+ 1) + Wt+1)

St = S0 exp (t+ Wt)

et donc le ratio des deux donne le rsultat dsir. En prenant le logarithme, on obtient

lnSt+1St

= + (Wt+1 Wt)= + Z

o Z N (0, 1). On peut interprter cette quantit comme si le rendement prio-dique sur laction suit une loi normale de moyenne et variance 2.

Le MBG est un processus markovien i.e. St| Fs St|Ss. Le MBG nest pas une martingale. En effet,

E [St| Fs] = E [St|Ss] (markovien)= SsE

[StSs

Ss]= Ss exp

((t s)

(+

2

2

)).

Si = 122, alors le processus {St, t 0} sera une martingale.


Important : les moments de St sont relis la fonction gnratrice de moments (f.g.m.)de la loi normale.

Soit X N (X , 2X), alors

MX (a) = E[eaX

]= exp

(aX +

2Xa2

2

).

Comment applique t-on ce rsultat au MBG? Premirement,

E [St| F0] = E [S0 exp (t+ Wt)| F0]= S0e

tE [exp (Wt)| F0] .Puisque Wt N (0, t) alors,

E [exp (Wt)| F0] = MWt () = exp(t2

2

)et donc,

E [St| F0] = S0et+0.52t. Quelle est la variance de St ? On a

E[S2tF0] = E [S20 exp (2t+ 2Wt)F0]

= S20e2tE [exp (2Wt)| F0]

= S20e2tMWt (2)

= S20e2t exp

(t42

2

)= S20e

2t+22t.

La variance peut tre calcule comme

Var [St| F0] = E[S2tF0] E [St| F0]2

= S20e2t+22t

(S0e

t+0.52t)2

= S20e2t+22t S20e2t+

2t

= S0e2te

2t(e

2t 1).

De plus,E [Sat | F0] = E [Sa0 exp (at+ aWt)| F0]

= Sa0eatE [exp (aWt)| F0]

= Sa0eatMWt (a)

= Sa0eat exp

(ta22

2

).

5.5. MOUVEMENT BROWNIEN GOMTRIQUE (MBG) 89

La covariance entre deux MBG deux moments diffrents peut aussi tre calculefacilement. En effet,

Cov (St, Ss) = E [StSs] E [St] E [Ss] .

Nous avons calcul les esprances E [St] et E [Ss] prcdemment. Il nous reste qucalculer

E [StSs] = E [S0 exp (t+ Wt)S0 exp (s+ Ws)]

= S20e(t+s)E [exp ( (Wt +Ws))] .

Or la loi de (Wt +Ws) est simplement normale avec moyenne nulle et variance

Var [ (Wt +Ws)] = 2 (t+ s+ 2Cov (Wt,Ws))

= 2 (t+ s+ 2min (t, s)) .

Soit X = 0 et 2X =

2 (t+ s+ 2min (t, s)). Alors,

E [exp ( (Wt +Ws))] = MX (1)

= exp

(1

2

(2 (t+ s+ 2min (t, s))

))et finalement, en combinant les termes on obtient

E [StSs] = S20e

(t+s)e0.5(2(t+s+2min(t,s))).

Finalement, pour s < t, on a

St = S0 exp (t+ Wt)

Ss = S0 exp (s+ Ws)

et donc,StSs

= exp ( (t s) + (Wt Ws)) .

Par consquent,

E [St| Fs] = SsE [exp ( (t s) + (Wt Ws))| Fs]= Sse

(ts)MWtWs ()

= Sse(+0.52)(ts), s < t.

lexamen MFE, il faut tre trs laise avec ces quantits, ou du moins, tre trs laise dans la manipulation de la f.g.m. de la loi normale pour le calcul des momentsdun MBG.

Exemple : Lvolution du prix dune action obit un MBG avec = 0.07, = 0.3 et S0 = 100. Quelle est la distribution du prix de laction aprs une priode ?


lnS1 lnS0 N ( 1, 2 1) = N (0.07, 0.32). En dautres termes, S1/S0 LN (0.07, 0.32)

Quelle est la probabilit que le prix de laction soit suprieur 120$ dans 3 priodes ? On cherche Pr (S3 > 120). On a

Pr (S3 > 120) = Pr (lnS3 > ln 120)

= Pr (lnS3 lnS0 > ln 120 lnS0)= Pr

(N(3, 32

)> ln 1.2

)= Pr (N (0.21, 0.27) > ln 1.2)

= 1 (ln 1.2 0.21

0.27

)= 0.52124.

Calculer un intervalle de confiance 95% du prix de laction aprs 10 priodes sachantquaprs 5 priodes, le prix de laction est 92$. En gnral, lnSt lnSs N ( (t s) , 2 (t s)) ou

lnS10 lnS5 N(5 0.07, 5 0.32)

On sait que S5 = 92, on a donc

lnS10 ((ln 92 + 0.35) 1.96

5 0.32

)ou

S10 92e0.351.9650.32 .

5.5.1 Simulation

On sait queSt+t = St exp

(WAt+t WAt

).

En effet,

St = S0 exp(WAt

)St+t = S0 exp

(WAt+t

)et le ratio des deux donne le rsultat dsir.

Donc, pour simuler une trajectoire de n priodes dun MBG, on simule n v.a. normalescentres et rduites : Zt, Z2t, ..., Znt;

Par la suite,

St = S0 exp(t+

tZt

)S2t = St exp

(t+

tZ2t

)...

Snt = S(n1)t exp(t+

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