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Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“
Bionik auf dem mathematischen Prüfstand
Optimallösungen als Ergebnis der Evolution
Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
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Der kubisch paraboloide Baumstamm
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20
15
10
5
00 5 10
Höh
e / m
R adius / cm
K ubische P arabel
2 ry
P
Theorie „Träger gleicher Festigkeit“
3)( ykyr
Form eines Kiefernstamms
Solarbetriebener
CO2-Sammler
Mast
Materialminimierung:
3zul )(/4)( yPyr
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Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße
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Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene
Kleine VeneArteriole
Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl
Aorta 10 1
Große Arterien 3 40
Arterienäste 1 600
Arterienzweige 0,6 1800
Arteriolen 0,02 40 000 000
Kapillaren 0,008 1 200 000 000
Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes
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Aorta
Arterienäste
10 10 103 96 z
5%+-
Große Arterien
Arterienzweige
Arteriolen
Kapillaren
10
1
0.1
0.01
100
Dmm
3 /10 zDDi
Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen
Genauigkeit !
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Gehirnzellen
Beinmuskeln
Armmuskeln
Herzantrieb
Blutneubildung
Mensch 10000 kJ
a b
Pumpleistung Herz [kJ] groß klein
Neubildung Blut [kJ] klein groß
a b
Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung
3 000 000 Blutkörperchen/s
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Qualitätsfunktion: dungBlutneubilHerzpumpe Zeit
brauchEnergieverZeit
brauchEnergiever
F
Gesetz von Hagen Poiseuille
4128
DQlp
opfenStrömungpropfenStrömungprHerzpumpe gkeitGeschwindiKraft F
RohrdungBlutneubil nRohrvolume VkF
n
i
n
iiii VkQpF
0 1ges
p
D Q
QpvFp
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n
i
n
iiii VkQpFF
0 0ges
n
i
n
iiii VkkVQpQpF
1 1000
Minimierungsproblem:
D0 D i
n
iii
n
i
ii
ii DklDklQD
QlQ
DQl
F1
2200
1404
0
00 128128min
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n
iii
n
i
ii
ii DklDklQD
QlQ
DQl
F1
2200
1404
0
00 128128min
Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:
00
DF 0
iD
F ni ,2,1
Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen
2
206
01024
kQ
D
2
26 1024
kQ
D ii
ni ,2,1
300 // QQDD ii
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D
0
0
D
D
D
300 // QQDD ii
Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab!
Q z0Q03
01 /1/ zDD Q1
Beispiel:
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Aorta
Arterienäste
10 10 103 96 z
5%+-
Große Arterien
Arterienzweige
Arteriolen
Kapillaren
10
1
0.1
0.01
100
Dmm
3 /10 zDDi
Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.
Bedingung für die Lösung:
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Hydraulik des Hämatokrits
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v
v
a
b
BlutzellenvolumenGesamtvolumenHämatokrit H =
Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ?
Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen
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Hoptimal = 43,3%
HMensch = 42 – 44%
HKamel = 28%
HSchaf = 32%
HSchwein = 41%
(mathematische Lösung)
Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms
Zeit
Künstliche H-Werte
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%
Schaf
H = 32%Evolution
Blu
tzel
lens
trom1,0
0,5
00
10 3020 40 6050
Hämatokrit H
Schwein
H = 41%Evolution
Hämatokrit H
1,5
1,0
0,5
0%0 10 3020 40 6050
Blu
tzel
lens
trom
Optimaler
Blutkörperchenstrom
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Geometrie der Bienenwaben
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Dumme Gärtner Schlaue Gärtner
g
v v
b
max22 vg
120optfür
134,022
bvg
g
g
g
b
Eingesparte Strecke
Hinzugefügte Strecke
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Zur “Mathematik” derBienenwaben
Am Boden der sechseckigenZellen der Bienenwabe siehtman die versetzt angeordnetenZellwände der Gegenseitedurchscheinen.
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Das Angrenzungsproblem
Gartenzaun
Bienenwabe
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Zelle von Fejes Tóth
Bienenwabe
Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution
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Eine Science-Fiction-Geschichte
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Planet der Halslinge
Alpha Tauri
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Magnesium
Osmium
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Evolution auf dem Evolution auf dem extrasolaren Planetenextrasolaren Planeten
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2204
Erdlinge
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Riesen-Halsling
Großer Halsling
Gemeiner Halsling
Kleiner Halsling
Zwerg-Halsling
Vermessung der extraterrestrischen Halslinge
Halslänge = 60,0 m Halsgewicht = kg 4522000 Kopfgewicht = 20340000 kg
Halslänge = 12,0 m Halsgewicht = kg 16180 Kopfgewicht = 162700 kg
Halslänge = 5,0 m Halsgewicht = 755,3 kg Kopfgewicht = 11770 kg
Halslänge = 1,0 m Halsgewicht = 2,702 kg Kopfgewicht = 94,17 kg
Halslänge = 0,30 m Halsgewicht = 0,040 kg Kopfgewicht = 2,542 kg
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010 210 410 810
-210
010
20
40
710
kg
kg610
Zwerg-Halsling
Kleiner Halsling
Gemeiner Halsling
Großer Halsling
Riesen-Halsling
Kopfgewicht
Ha
lsg
ew
ich
t
1
1Anstieg = 7/6
Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge
Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
!
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Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere
S L7/6
-210 010 210 410kg
-210
010
210
410
kg
Anstieg = 7/6
Sk
ele
ttg
ewic
ht
S
Lastgewicht L
Elefant
MenschHund
Katze
Kaninchen
Ratte
Maus
Theorie für minimales Gewicht
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010 210 410 810
-21 0
01 0
20
40
71 0
k g
k g610Kugellast L
Trä
ge
rgew
ich
t G
1
1Anstieg = 7/6
60 m
12 m
5 m
0 ,3 m
1 m
Theorie für minimales Trägergewicht
G L7/6
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P
l
r
d
2
43
64ulerE
l
dEP
Aus & KopfKopfKopfEuler VgPP
KopfKopf 2
43
64 gldE
V
Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten
3
34
Kopf rV ldV 2
4Bein lr Es kommen die Gleichungen hinzu:
6/72/1
4
3/2
KopfKopf
Bein 438
VE
gV
Euler Knickung
l variabel lr
6/7KopfBein VV
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Isometrie
Allometrie
Beltistometrie
(gleich)
(anders)
(bester)
Mit gleichem Maß
Mit anderem Maß
Mit bestem Maß
Was ist Allometrie ?
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Elen-AntilopeWasserbock
Weißschwanzgnu
SpringhaseSuniböckchen Gazelle
Löwenjunges
AntilopeGinsterkatzeZebramungo
Rattenkänguruh
Zwergmungo
Eichhörnchen
Zwergmaus
Körpergewicht10 10 10 10 10 10-3 -1-2 0 1 2 3kg10
10-1
100
101
102
103
ml/s
Sau
ers
toffv
erb
rauc
h
Anstieg = 4/5
10-2
Sulzer RD-90Cooper Bessemer V-250
NordbergDaimler-Benz 609
Allison V-1710
Chrysler 340
Continental C115
Lycoming GO-290AHonda 450
McCulloch M2-10
Enya 60-4C
Webra Speedy
Anstieg = 4/5
Motorgewicht
10
10 10 10 10 10 10-1 10 2 3 4 5kg
Lu
ftdu
rchs
atz
0
101
102
103
104
l/s
10
Von der Zwergmaus zur Elenantilope
Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel
Beltistometrie
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MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung
Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung
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Vergleich von Leistung und Gewicht:
Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen
Leistung: 22 000 kW
Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g
Leistung: 0,99 kW
1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel.
Sie leisten zusammen 1 000 000 kW.
Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !
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Ende