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INHALT DIGITAL+ Simulationen und Animationen

– zur Bearbeitung der Übungsaufgaben des Rechenbuchs – zum Vertiefen und Festigen des Wissens – für ein besseres Verständnis

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Bilder-Paket – Abbildungen und Tabellen aus allen Kapiteln des Rechenbuchs

mit Bildvorschau und Suche – Verwendung der Inhalte zur Unterrichtsvorbereitung und zur

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EUROPA-FACHBUCHREIHE

für Metallberufe

J. Burmester W. Escherich B. SchellmannJ. Dillinger R. Gomeringer C. Scholer

Rechenbuch MetallLehr- und Übungsbuch

33. Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG

Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 10307

Autoren:

Burmester, Jürgen Dipl.-Ing., Oberstudienrat Neheim

Dillinger, Josef Studiendirektor München

Escherich, Walter Studiendirektor München

Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen

Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Wangen i. A.

Scholer, Claudius Dipl.-Ing., Dipl.-Gwl., Studiendirektor Metzingen

Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:

Claudius Scholer, Metzingen

Bildentwürfe: Die Autoren

Bildquellen:

Universal Transmissions GmbH, Mühlhausen, © Gates (S. 271, Bild 1)

Heron Gruppe, Dornbirn, Österreich; www.robotunits.com (S. 271, Bild 3)

Bildbearbeitung:

Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern

33. Auflage 2020

Druck 5 4 3 2 1

Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-1857-1

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2020 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttps://www.europa-lehrmittel.de

Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 ErftstadtUmschlag: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 RimparUmschlagfotos: Sauter Feinmechanik GmbH, 72555 MetzingenDruck: RCOM Print GmbH, 97222 Rimpar

3

VorwortDas Rechenbuch Metall ist ein Lehr- und Übungsbuch für die Aus- und Wei-terbildung in Fertigungs- und Werkzeugberufen. Es vermittelt rechnerische Grund- und Fachkenntnisse, fördert und vertieft das Verständnis für techni-sche Abläufe und technologische Zusammenhänge. Das Buch eignet sich sowohl für den unterrichtsbegleitenden Einsatz als auch zum Selbststudium.

Angehende Zielgruppen:• Industriemechaniker • Fertigungsmechaniker • Feinwerkmechaniker • Technischer Produktdesigner • Zerspanungsmechaniker • Verfahrensmechaniker • Werkzeugmechaniker • Meister und TechnikerDer Inhalt wurde durch Animationen und interaktive Simulationen dem Stand der Technik angepasst, sodass sich die Lernfeldkonzeption in Verbindung mit digitalen Medien im Unterricht umsetzen lässt. Die digitalen Inhalte sind auch zur Darstellung auf kleinen Displays (Smartphone, Tablet) geeignet.Eine klare Gliederung in Teil A Fachrechnen, Teil B Simulationsaufgaben, Teil C Vertiefungsaufgaben und Teil D Projektaufgaben unterstützt die Arbeit des Anwenders.Im Teil A Fachrechnen bildet jeder Lernbereich eine in sich geschlossene Einheit mit identischem methodischem Aufbau. Nach der Einführung in das Fachgebiet werden die notwendigen Formeln hergeleitet und erläutert. Wich-tige mathematische und physikalische Zusammenhänge werden durch Ani-mationen verdeutlicht. Nachfolgende Musterbeispiele zeigen die technische Anwendung. Daran schließen sich Übungsaufgaben an, die nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Aufgaben mit höherem Schwierigkeitsgrad sind durch einen roten Punkt gekennzeichnet. Auf Simulationsaufgaben und weitere Vertiefungsaufgaben wird auf den einzelnen Seiten verwiesen.Der neue Teil B Simulationsaufgaben ermöglicht durch einfache Aufgaben einen schnellen Einstieg in die entsprechenden Themen. Durch den Einsatz der Simulationen werden Zusammenhänge erkennbar und die Lösungen kön-nen selbstständig überprüft werden.Der Teil C Vertiefungsaufgaben stellt einen Querschnitt durch alle Stoffge-biete dar und kann zur Leistungskontrolle und zur Prüfungsvorbereitung ver-wendet werden.Im Teil D Projektaufgaben wird die Unterrichtskonzeption nach Lernfeldern in besonderer Weise unterstützt. Die Projektaufgaben umfassen neben den fach-mathematischen Aufgaben auch Fragen der Technologie, Werkstofftechnik, Steuerungstechnik und Arbeitsplanung.Der Inhalt des Rechenbuches wurde in der 33. Auflage um 16 Seiten mit inter-aktiven Simulationen sowie Animationen erweitert. Die 13 Simulationen be-ziehen sich auf folgende Inhalte:

• Geradlinige Bewegung • Kreisförmige Bewegung • Hebelgesetz • Schiefe Ebene • Druck und Kolbenkraft • Hydraulische Presse • Elektrotechnik • Toleranzen • Passungen • Einfache Übersetzungen • BiegenDie beiden Lernbereiche Flaschenzug und Welle-Nabe-Verbindung wurden neu aufgenommen. Die „Lösungen“ zum Rechenbuch Metall ermöglichen nicht nur das Überprüfen der Ergebnisse, sondern enthalten außerdem den ausführlichen Lösungsweg der Aufgaben.

Kritische Hinweise und Verbesserungsvorschläge nehmen wir gerne entge-gen über lektorat@europa-lehrmittel de.

Im Sommer 2020 Autoren und Verlag

Technische Mathematik 9 … 64

Technische Physik 65 … 151

Prüftechnik und Qualitätsmanagement 152 … 171

Maschinenelemente 172 … 186

Fertigungsplanung 187 … 203

Fertigungstechnik 204 … 259

Simulationsaufgaben 260 … 272

Vertiefungsaufgaben 273 … 296

Projektaufgaben 297 … 333

Inhaltsverzeichnis4

InhaltsverzeichnisLernfeldkompass für Industrie- und Werkzeugmechaniker . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lernfeldkompass für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker . . . . . . . . . . . . . 7Mathematische und physikalische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Teil A – Fachrechnen

Technische Mathematik

Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Dezimales Zahlensystem. . . . . . . . . 9Duales (binäres) Zahlensystem . . . 9Hexadezimales Zahlensystem . . . . 10

Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . 11Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Klammerausdrücke (Klammerterm) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Strich- und Punktrechnungen. . . . . 11Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Radizieren (Wurzelziehen). . . . . . . . 17

Allgemeine Berechnungen . . . . . . . 19Schlussrechnung (Dreisatz-rechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 20Zeitberechnungen . . . . . . . . . . . . . . 21Winkelberechnungen. . . . . . . . . . . . 22

Technische Berechnungen . . . . . . . 24Formeln (Größengleichungen) . . . . 24Zahlenwertgleichungen. . . . . . . . . . 24Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . 25Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Rechnen mit physikalischen Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Umrechnen von Einheiten . . . . . . . 26Umstellen von Formeln. . . . . . . . . . 29Technische Berechnungen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . . . 32

Berechnungen im Dreieck. . . . . . . . 35Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . 35Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 38

Längen, Flächen, Volumen, Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Längen und Teilung. . . . . . . . . . . . . 44Flächen und Verschnitt . . . . . . . . . . 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Gleichdicke Körper, Masse-berechnung mithilfe von Tabellenwerten. . . . . . . . . . . . . . . . . 57Volumenänderung beim Umformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Diagramme und Funktionen. . . . . . 61Kreisdiagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . 61Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . 61Histogramm und Pareto diagramm 61Grafische Darstellungen von Funktionen und Messreihen . . . . . . 62

Technische Physik

Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Konstante Bewegungen . . . . . . . . . 65

Beschleunigte und verzögerte Bewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Darstellen von Kräften. . . . . . . . . . . 72Grafische Ermittlung von Kräften. . 72Rechnerische Ermittlung von Kräften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Drehmoment, Hebelgesetz . . . . . . . 76Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Umfangskraft und Drehmoment . . 80Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . 84Mechanische Energie. . . . . . . . . . . . 85Mechanische Leistung. . . . . . . . . . . 87Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Einfache Maschinen. . . . . . . . . . . . . 91

Rollen und Flaschenzüge . . . . . . . . 94

Fluidmechanik und Automation . . 95Druck – Einheiten und Druckarten . 95Kolbenkraft in Pneumatik und Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Luftverbrauch in der Pneumatik . . . 99Hydrostatik – Prinzip der hydrauli-schen Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Hydrodynamik – Volumenstrom . . 103Leistungsberechnung in der Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Logische Verknüpfungen . . . . . . . . 107

Werkstoffprüfung. . . . . . . . . . . . . . . 114Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . 120Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . 120Beanspruchung auf Druck. . . . . . . . 122Beanspruchung auf Flächen-pressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von Werkstoffen . . . . . . 124Beanspruchung auf Biegung . . . . . 126Beanspruchung auf Torsion (Verdrehung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Längen- und Volumenänderung . . 130Schwindung beim Gießen . . . . . . . 131Wärmemenge. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Ohmsches Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . 136Leiterwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . 137Temperaturabhängige Wider-stände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Schaltung von Widerständen . . . . . 139Elektrische Leistung bei Gleich-spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Wechselspannung und Wechsel-strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Elektrische Leistung bei Wechsel-strom und bei Drehstrom . . . . . . . . 148Elektrische Arbeit und Energie-kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Transformator. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Prüftechnik und Qualitätsmanagement

Maßtoleranzen und Passungen . . . 152Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Passungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . 158Prozesskennwerte aus Stichpro-benprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Statistische Berechnungen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . . . 162Maschinen- und Prozessfähigkeit. . 164Statistische Prozesslenkung mit Qualitätsregelkarten. . . . . . . . . . . . . 168

Maschinenelemente

Zahnradmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Stirnräder mit Geradverzahnung . . 172Stirnräder mit Schrägverzahnung . 173Achsabstand bei Zahnrädern . . . . . 174

Übersetzungen bei Antrieben . . . . 176Einfache Übersetzungen . . . . . . . . . 176Mehrfache Übersetzungen . . . . . . . 179

Welle-Nabe-Verbindung . . . . . . . . . 181Passfederverbindung. . . . . . . . . . . . 181

Schraubenverbindung. . . . . . . . . . . 183Schraubenverbindungen mit axialer Betriebskraft FB . . . . . . . . . . 183Schraubenverbindungen ohne Betriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Fertigungsplanung

Standgrößen (Standzeit, Stand-menge, Standweg, Standvo-lumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Durchlaufzeit, Belegungszeit . . . . . 188

Auftragszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Kostenrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . 193

Maschinenstundensatz . . . . . . . . . . 197

Deckungsbeitrag (Teilkosten-rechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Lohnberechnung . . . . . . . . . . . . . . . 201

Inhaltsverzeichnis 5

Fertigungstechnik

Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Schnittdaten und Anzahl der Schnitte beim Drehen . . . . . . . . . . . 204Drehzahl beim Drehen. . . . . . . . . . . 205Schnittkraft beim Drehen . . . . . . . . 206Schnittleistung und Antriebs-leistung beim Drehen . . . . . . . . . . . 207Rautiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Hauptnutzungszeit beim Drehen mit konstanter Drehzahl . . . . . . . . . 210Kegelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Fräsen (Stirnfräsen) . . . . . . . . . . . . . 214Schnittdaten und Drehzahl für das Stirnfräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Schnittkraft beim Fräsen (Stirn-fräsen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Schnittleistung und Antriebs-leistung beim Fräsen . . . . . . . . . . . . 216Hauptnutzungszeit beim Fräsen . . . 218

Bohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Schnittdaten und Drehzahl beim Bohren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Schnittkraft beim Bohren . . . . . . . . 221Schnittleistung und Antriebs-leistung beim Bohren . . . . . . . . . . . 222Hauptnutzungszeit beim Bohren, Senken, Reiben. . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Hauptnutzungszeit beim Längs-Rundschleifen . . . . . . . . . . . . 225Hauptnutzungszeit beim Umfangs-Planschleifen . . . . . . . . . . 227

Indirektes Teilen. . . . . . . . . . . . . . . . 229

Koordinaten in NC-Programmen . . 231Geometrische Grundlagen . . . . . . . 231

Abtragen und Schneiden, Haupt-nutzungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Trennen durch Schneiden. . . . . . . . 239Schneidspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Streifenmaße und Streifenaus-nutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Biegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Zuschnittermittlung . . . . . . . . . . . . . 243Rückfederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Zuschnittdurchmesser . . . . . . . . . . 247Ziehstufen und Ziehverhältnisse . . 248

Exzenter- und Kurbelpressen . . . . . 250Pressenauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . 250Schneidarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Spritzgießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Kühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Dosierung der Formmasse . . . . . . . 254Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Schmelzschweißen . . . . . . . . . . . . . 257Nahtquerschnitt und Elektroden-bedarf beim Lichtbogenschweißen 257

Teil B – Simulationsaufgaben

Konstante geradlinige Bewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Konstante kreisförmige Bewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Hebelgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Schiefe Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Druck und Kolbenkraft. . . . . . . . . . . 264

Hydraulische Presse. . . . . . . . . . . . . 265

Ohmsches Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . 266

Reihenschaltung und Parallel-schaltung von Widerständen . . . . . 267

Gemischte Schaltung von Wider-ständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268ISO-Toleranzen. . . . . . . . . . . . . . . . . 269ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Einfache Übersetzungen . . . . . . . . . 271Biegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Teil C – Vertiefungsaufgaben

Lernfeldkompass . . . . . . . . . . . . . . . 273Berechnungen im Dreieck. . . . . . . . 274Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . 275Bewegungen, Übersetzungen . . . . 276Kräfte, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Kräfte, Flächenpressung, Kennwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Kräfte an Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . 279

Maßtoleranzen, Passungen und Teilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Statistische Auswertungen . . . . . . . 281Maschinen- und Prozessfähigkeit. . 283Bohren, Senken, Reiben . . . . . . . . . 284Drehen, Fräsen, Schleifen . . . . . . . . 285Koordinaten in NC-Programmen . . 287Schneiden und Umformen . . . . . . . 288Schraub-, Stift-, Passfeder- und Lötverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 289

Wärmeausdehnung und Wärme-menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Hydraulik und Pneumatik . . . . . . . . 291Grundlagen der Elektrotechnik. . . . 293Elektrische Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Elektrische Antriebe und Steue-rungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Teil D – Projektaufgaben

Vorschubantrieb einer CNC-Fräs-maschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Hubeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Zahnradpumpe. . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Hydraulische Spannklaue . . . . . . . . 306

Folgeschneidwerkzeug . . . . . . . . . . 309

Tiefziehwerkzeug. . . . . . . . . . . . . . . 312

Spritzgießwerkzeug . . . . . . . . . . . . 315

Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . 318

Pneumatische Steuerung . . . . . . . . 321

Elektropneumatik – Sortieren von Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Frästeil Spannplatte . . . . . . . . . . . . 327

Drehteil Ritzelwelle . . . . . . . . . . . . . 330

Anhang: Referenznorm DIN EN 81346-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334

63Technische Mathematik: Diagramme und Funktionen

Aufgaben | Diagramme und Funktionen

1. Ingenieure im Maschinenbau. Die Anzahl der Ingenieure im Maschinenbau in der Bundes­republik Deutschland stieg im Jahr 1989 von 89 600 bis ins Jahr 2007 auf 148 200 (Tabel-le 2). Stellen Sie die Zunahme der Maschi­nenbauingenieure in einem Balkendiagramm dar. Wählen Sie dafür einen geeigneten Maßstab.

Tabelle 2: Zunahme der Ingenieure im Maschinenbau

Ingenieure im Maschinenbau in Tausend

89,6 94,1 102,4 114,1 130,9 139,8 148,2

Kalenderjahr 1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007

4. Beispiel:

Die Für den Durchmesser d = 2,6 mm ist der Wert für die Kreisfläche A aus dem Bild 3, vorherige Seite ab­zulesen.Lösung: Man zieht im Abstand d = 2,6 mm eine Par­

allele zur Ordinate. Durch den so gefunde­nen Schnittpunkt mit der Parabel zieht man eine Parallele zur Abszisse und liest auf der y­Achse den zugehörigen Wert A = 5,3 mm2 ab.

5. Beispiel:

Für die Kreisfläche A = 27,5 mm2 ist der zugehörige Durchmesser d aus dem Bild 3, vorherige Seite zu bestimmen.Lösung: Man sucht den Punkt A = 27,5 mm2 auf der

y­Achse und legt durch ihn eine Parallele zur x­Achse. Durch den Schnittpunkt mit der Parabel zieht man eine Parallele zur y­Achse und erhält auf der x­Achse den zugehörigen Wert d = 5,9 mm.

6. Beispiel:

Hyperbel4 Facharbeiter erledigen einen Auftrag in 300 Stun­den. Beim Einsatz von mehr Facharbeitern verringert sich die Zeit. In einem Schaubild ist die Auftragszeit in Abhängigkeit von der Zahl der Facharbeiter darzu­stellen.Lösung: Die einzelnen Zeiten werden nach folgen­

dem Ansatz errechnet:

Wenn man die errechneten Wertepaare in das Koordinatensystem einzeichnet und miteinander verbindet, erhält man eine Hy­perbel (Bild 1).

Tabelle 1: Auftragszeit in hAnzahl der Fach­arbeiter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Auftrags­zeit

1 200 600 400 300 240 200 171 150 133,3 120

1 300 4 1200

6

Facharbeiter braucht h h

Facha

· =

rrbeiter brauchenh

h·300 4

6200=

Anzahl der Arbeiter

ben

öti

gte

Stu

nd

en

Der Umfang des Auftrages ist konstanth

1200

900

600

300

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bild 1: Hyperbel

Hyperbeltafeln finden wenig Anwendung, weil ihre Aufstellung zeitraubend und umständlich ist. Durch die Verwendung logarithmisch geteilter Achsen wird die Hyperbel zu einer Linie gestreckt (Bild 2).

Anzahl der Arbeiter

ben

öti

gte

Stu

nd

en

Der Umfang des Auftrages ist konstanth1200

900

600

300

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bild 2: Logarithmisch geteilte Achsen

74 Teil A – Fachrechnen

Rechnerische Ermittlung von Kräften

Neben der grafischen Ermittlung von Kräften ist auch ihre Berech­nung unmittelbar aus dem Krafteck möglich.

Bezeichnungen:F, F1, F2, ... Kräfte N a, b, g, ... WinkelFr Resultierende, Ersatzkraft N A AnfangspunktFG Gewichtskraft N E Endpunkt

Grundlage der Berechnung von Kräften ist ein nicht maßstabsge­recht skizziertes Krafteck (Seiten 72 und 73).

• Wirken die Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie, werden die Einzelkräfte nach Größe und Richtung addiert bzw. subtrahiert.

• Wirken die Kräfte auf Wirkungslinien, die sich schneiden, so er­folgt die Berechnung über Winkelfunktionen bzw. über den Si­nus­ oder den Kosinussatz.

1. Beispiel:

Der Kranausleger (Bild 1) wird mit F = 1 200 N belastet. Ermitteln Sie die Kräfte im Zug­ und Druckstab.Lösung: Das skizzierte Krafteck (Bild 2) hat die Form eines rechtwinkligen

Dreiecks. Die Berechnung der Kräfte erfolgt über die Tangens­ und die Sinusfunktion. Der Winkel a wird aus Bild 1 ermittelt.

tan a = 400 mm700 mm

= 0,571; a = 29,7°

Zugkraft Fz : sin a = FFz

Fz = Fsin a

= 1 200 Nsin 29,7°

= 2 422 N

Druckkraft Fd : tan a = FFd

Fd = Ftan a

= 1 200 Ntan 29,7°

= 2 104 N

Zugstab

400

700

F =

120

0N

αDruck-stab

Bild 1: Kranausleger

FdF

α

E

A

Fz

Bild 2: Krafteck-Skizze

2. Beispiel:

Die Spannseile eines Zeltdaches sind nach Bild 3 verankert und über­tragen die Kräfte F1 = 80 kN und F2 = 100 kN.a) Wie groß ist die Resultierende Fr auf die Verankerung?b) In welcher Richtung wird die Verankerung belastet?Lösung: a) Das skizzierte Krafteck (Bild 4) hat die Form eines schiefwink­

ligen Dreieckes. Die Resultierende Fr wird über den Kosinus­satz berechnet.

Fr2 = F1

2 + F22 – 2 · F1 · F2 · cos g

g = 50° + b; b = 30° (Wechselwinkel an Parallelen) g = 50° + 30° = 80° Fr

2 = (80 kN)2 + (100 kN)2 – 2 · 80 kN · 100 kN · cos 80° = 6 400 (kN)2 + 10 000 (kN)2 – 2 778,371 (kN)2 = 13 621,629 (kN)2

b) Die Resultierende Fr belastet die Verankerung unter dem Winkel ar .

ar = 30° + d (Der Winkel d wird über den Sinussatz ermittelt)

50°

30°

F2 =

100kN

F 1 =80kN

Bild 3: Spannseile

50°

30°

F2Fr

F1αr

E

A

β

δ

γ

Bild 4: Kräfteplan

Fr (kN)= =13621 629 2, 116,712 kN

F F

FF

2

2 100

sin sin

sin· sin ·

δ γ

δγ

=

= =

r

r

kN ssin,

, ; ,80

116 7120 844 57 5

30

° = = °

= °

kN

r

δ

α ++ ° =57 5, 87,5°

F F

FF

2

2 100

sin sin

sin· sin ·

δ γ

δγ

=

= =

r

r

kN ssin,

, ; ,80

116 7120 844 57 5

30

° = = °

= °

kN

r

δ

α ++ ° =57 5, 87,5°

F F

FF

2

2 100

sin sin

sin· sin ·

δ γ

δγ

=

= =

r

r

kN ssin,

, ; ,80

116 7120 844 57 5

30

° = = °

= °

kN

r

δ

α ++ ° =57 5, 87,5°

92 Teil A – Fachrechnen

S. 279

Aufgaben | Schiefe Ebene, Keil

Reibungsverluste sind nur dann zu berücksichti­gen, wenn sie in der Aufgabe angegeben sind.

Schiefe Ebene1. Schrägaufzug (Bild 1). Eine Last FG = 600 N

wird mithilfe eines Schrägaufzuges auf einer Weglänge s = 7,5 m um die Hubhöhe h = 4 m gehoben. Wie groß muss die Kraft F sein?

2. Rampe. Eine Last von 3,6 kN wird auf 8 m lan­gen Gleitschienen auf eine 2,8 m hohe Rampe gezogen.

a) Welche Zugkraft ist hierzu notwendig? b) Wie lang müssen die Gleitschienen mindes­

tens sein, wenn die zur Verfügung stehen­de Zugkraft nur 1 000 N beträgt?

3. Schrägaufzug. Ein Wagen hat mit Ladung eine Gewichtskraft von FG = 45 kN. Er wird auf ei nem 300 m langen Schrägaufzug mit einer Zugkraft von F = 1 000 N hochgezogen. Wel­che Hubhöhe hat der Schrägaufzug?

4. Steigung (Bild 2). Auf der Fahrstrecke s = 3,5 km ist eine Höhe von 210 m zu über­winden. Welche Zugkraft F ist erforderlich, um den m = 6,5 t schweren Lkw bergauf zu zie­hen?

5. Ladebalken (Bild 3). Ein Kessel wird auf 4,8 m langen Ladebalken mit 650 N Zugkraft auf die 1,2 m hohe Ladefläche eines Güterwagens ge rollt.

a) Wie groß ist die Gewichtskraft des Kessels? b) Die am Kessel wirkende Normalkraft FN und

die Gewichtskraft FG sind rechnerisch mit­hilfe der Winkelfunktionen und zeichne­risch zu ermitteln.

Keil6. Rollbiegewerkzeug (Bild 4). Mit dem Rollbie­

gewerkzeug werden Blechstreifen eingerollt. Wie groß ist die im Seitenschieber auftreten­de Kraft F2, wenn auf den Keilstempel eine Kraft F1 = 2 400 N wirkt?

7. Keiltriebpresse (Bild 5). Wie groß ist die Stö­ßelkraft F2 der Keiltriebpresse, wenn die Kraft F1 = 12,5 kN, der Winkel a = 30° und die Rei­bungsverluste 60 % betragen?

Hu

bh

öh

e h

Kraftw

eg s

F

FG

Bild 1: Schrägaufzug

F

s = 3,5 km

FG = 65 kN

h

FN

FH

α

α

Bild 2: Steigung

4,8m

FN

FHFG

α

F = 650 N

1,2m

Bild 3: Ladebalken

F2

F1

Keilstempel

30°

Blech-halter

Blech-streifen

Seiten-schieber

s2

s1

Bild 4: Rollbiegewerkzeug

F2

F1

s2

s1

30°

Bild 5: Keiltriebpresse

93

S. 289

SchraubeDer Gewindegang einer Schraube entspricht einer schiefen Ebene, die um einen Zylinder gewickelt ist. Es gilt somit auch bei der Schraube die „Goldene Regel der Mechanik“. Mit Schrauben kön­nen sehr große Kräfte erzeugt werden.

Bezeichnungen:W1 zugeführte Arbeit N · m W2 abgegebene Arbeit N · mF1 zugeführte Kraft N F2 abgegebene Kraft Ns1 Weg der Kraft F1 m P Gewindesteigung mmFG Gewichtskraft N

Wird das Handrad der Spindelpresse (Bild 1) unter Einwirkung der Kraft F1 einmal gedreht, so wird der Umfang U = p · d zurückgelegt und dabei die Arbeit W1 = F1 · p · d verrichtet. Bei Vernachlässigung der Reibungsverluste entspricht der Arbeit W1 die Arbeit W2, die sich aus der Kraft F2 und dem Weg P (Steigung des Gewindes) be­rechnen lässt.

Kräfte an der Schraube

F1 · p · d = F2 · P

F1 = 120 N(Kraft wirktwaagerecht)

Gewinde-spindelP = 6 mm

Präge-stempel

Werkstück

F2

d = 1200

Handrad Mutter

Bild 1: Spindelpresse

Beispiel:

Die Spindelpresse (Bild 1) wird zum Prägen von Werkstücken ein gesetzt. Berechnen Sie die Prägekraft F2 mit den im Bild aufge führten Angaben.

Lösung: F1 · p · d = F2 · P

FF d

P21 120 1200

6= = =

· · · ·p pN mmmm

753988 N

Aufgaben | Schraube

1. Abzieher (Bild 2). Die Spindel des Abziehers hat ein Gewinde M36 ® 1,5 und wird über einen Hebel mit der Länge 220 mm und einer beidseitigen Handkraft von je 95 N betätigt. Welche Zugkraft F2 wird mit dem Abzieher ausgeübt? Die Reibungs­verluste sollen unberücksichtigt bleiben.

2. Spindelpresse. Eine Spindelpresse hat ein Handrad mit 400 mm Durchmesser und eine Spindel mit 10 mm Steigung. Das Handrad wird mit der Kraft F1 = 96 N gedreht.

a) Welche theoretische Presskraft F2 kann erreicht werden? b) Mit welcher Kraft muss das Handrad gedreht werden, um

eine Presskraft von 15 700 N zu erhalten? Die Reibungsver­luste bleiben dabei unberücksichtigt,

c) Wie groß muss die Handkraft sein, wenn bei 65 % Reibungs­verlusten die verlangte Presskraft erreicht werden soll?

3. Schraubstock (Bild 3). Mit welcher Handkraft F1 muss der Spannhebel des Schraubstocks gedreht werden, damit eine Spannkraft von 12 kN erreicht wird? Die Reibungsverluste betra gen 70 %.

4. Wagenheber (Bild 4). Der Wagenheber wird über eine Kurbel mit dem Halbmesser r = 125 mm betätigt.

a) Mithilfe des Kraftecks sind für die Last FG = 10 kN die Stan­genkräfte FJ und FJJ sowie die Kraft F2 in der Gewindespin­del zeichnerisch zu ermitteln.

b) Welche Handkraft F1 ist an der Kurbel aufzubringen bei 65 % Reibungsverlusten?

F1 =95 N

M36 x1,5

220

F2

F1 = 95 N

Bild 2: Abzieher

F1

F2

Tr 22x 5

250

Bild 3: Schraubstock

Gewinde-spindelTr 20 x 4

480

320

F1

r

FG = 10 kN

A

B

F2

F

F

F

Bild 4: Wagenheber

Technische Physik: Rollen und Flaschenzüge

179Maschinenelemente: Übersetzungen bei Antrieben

Mehrfache Übersetzungen

Bezeichnungen:na Anfangsdrehzahl 1/minne Enddrehzahl 1/mini Gesamtübersetzungsverhältnis –i1, i2, … Einzelübersetzungsverhältnisse –

Bei mehrfachen Übersetzungen werden die Eingangsdrehzahl und das Eingangsdrehmoment durch mehrere Zahnrad­ bzw. Riemen­scheibenpaare mehrfach geändert. Mehrfache Übersetzungen ent­stehen durch Verknüpfungen von Einzelübersetzungen. Zahnräder bzw. Riemenscheiben (Bild 1 und Bild 2), die auf einer Welle sitzen, haben gleiche Drehzahl und es gilt n2 = n3. Das Gesamtüberset­zungsverhältnis i wird aus der Anfangsdrehzahl na und der End­drehzahl ne berechnet.Aus den Einzelübersetzungsverhältnissen ergibt sich für das Ge­samtübersetzungverhältnis i:

Das Gesamtübersetzungsverhältnis kann darüber hinaus bei Zahn­rad­ und Zahnriementrieben über die Zähnezahlen, bei Flachrie­mentrieben über die Außendurchmesser und bei Keilriementrieben über die Wirkdurchmesser berechnet werden.

n2 = n3

z1

z2

z3

z4

i 1i 2

i

n1 = na

n4 = ne

Bild 1: Mehrfache Übersetzung mit Zahnrädern

n4 = ne

n2 = n3

i1

i2i

d1

d 3

d2d 4

n3

n2

n1 = na

Bild 2: Mehrfache Übersetzung mit Riemen

inn

inn

i i i

in nn n

n

11

22

3

41 2

1 3

2 4

= = =

= =

; ; ·

··

11

4nnn

= a

e

Gesamtübersetzungsverhältnis

inn

i i i

iz zz z

=

=

=

a

e

1 2

2 4

1 3

· ...

· ...· ...

iid dd d

i

=

>

2 4

1 3

1

· ...· ...

:Übersetzung inss LangsameÜbersetzung ins Schnellei < 1:

1. Beispiel:

Zahnradtrieb mit doppelter Übersetzung

na = 630 ; z1 = 50; z2 = 75; z3 = 35; z4 = 104 Zähne

Zu berechnen sind i1, i2, i, ne.

Lösung:

1min

izz

izz

i i

12

12

4

3

1

7550

1 51

10535

31

= = = = = = = =

=

,1,5 3

· , ·

;

i

in

nn

n

i

2 1 5 3

6

= =

= = =

4,5

a

ee

a330

1

4 5min,

·

=

=

1401

minoder

ean

n z11 3

2 4

6301

50 35

75 105

·

·min

· ·

·

z

z z= = 1440

1min

izz

izz

i i

12

12

4

3

1

7550

1 51

10535

31

= = = = = = = =

=

,1,5 3

· , ·

;

i

in

nn

n

i

2 1 5 3

6

= =

= = =

4,5

a

ee

a330

1

4 5min,

·

=

=

1401

minoder

ean

n z11 3

2 4

6301

50 35

75 105

·

·min

· ·

·

z

z z= = 1440

1min

izz

izz

i i

12

12

4

3

1

7550

1 51

10535

31

= = = = = = = =

=

,1,5 3

· , ·

;

i

in

nn

n

i

2 1 5 3

6

= =

= = =

4,5

a

ee

a330

1

4 5min,

·

=

=

1401

minoder

ean

n z11 3

2 4

6301

50 35

75 105

·

·min

· ·

·

z

z z= = 1440

1min

izz

izz

i i

12

12

4

3

1

7550

1 51

10535

31

= = = = = = = =

=

,1,5 3

· , ·

;

i

in

nn

n

i

2 1 5 3

6

= =

= = =

4,5

a

ee

a330

1

4 5min,

·

=

=

1401

minoder

ean

n z11 3

2 4

6301

50 35

75 105

·

·min

· ·

·

z

z z= = 1440

1min

2. Beispiel:

Riementrieb mit doppelter Übersetzungd1 = 375 mm; d2 = 125 mm; d3 = 160 mm; d4 = 80 mm;

na = 240 .

Zu berechnen sind i1, i2, i, ne.

Lösung:

1min

idd

idd1

2

12

4

3

125375

80160

= = = = = =mmmm

mmmm

13

112

13

12

161 2

=

= = = =

=

0,5

0,17i i i

in

n

· ·

;a

e

minmin

·nn

iea= = = =

2401

16

2401

6 144011

min

idd

idd1

2

12

4

3

125375

80160

= = = = = =mmmm

mmmm

13

112

13

12

161 2

=

= = = =

=

0,5

0,17i i i

in

n

· ·

;a

e

minmin

·nn

iea= = = =

2401

16

2401

6 144011

min

idd

idd1

2

12

4

3

125375

80160

= = = = = =mmmm

mmmm

13

112

13

12

161 2

=

= = = =

=

0,5

0,17i i i

in

n

· ·

;a

e

minmin

·nn

iea= = = =

2401

16

2401

6 144011

min

258 Teil A – Fachrechnen

Elektrodenbedarf aus TabellenIn der Praxis werden die Werte für Elektrodenabmessungen, spezifischen Elektrodenbedarf, Nahtmas­se und Elektrodenverbrauch Tabellen entnommen.

Bezeichnungen:Z Anzahl der verbrauchten Elektroden –zs Spezifischer Elektrodenbedarf Stück pro mL Schweißnahtlänge m

In Tabelle 1 sind Richtwerte für Lichtbogenhandschweißen von Materialien aus S355J0 für verschiede­ne Naht­ und Blechdicken für Kehl­ und V­Naht enthalten. Die Werte gelten nur für 100 % Ausbringung, Länge der Elektrode 450 mm und Öffnungswinkel 90° für Kehlnähte bzw. 60° für V­Nähte.

Elektrodenbedarf

Z = L · zs

Beispiel:

Für eine Blechdicke a = 10 mm ist eine 780 mm lange V­Naht mit einem Öffnungswinkel a = 60° und einer Spalt­breite s = 2 mm einseitig und in waagerechter Schweißposition zu schweißen. Mithilfe der Tabelle 1 ist die An­zahl der verbrauchten Elektroden zu berechnen.

Lösung: Nach Tabelle 1 Nahtplanung und Zahl der Elektroden:

1 Wurzellage: Z L z Z= = =·

, · .s

m Elektrm

0 78 433 12, ≈ 4 Elektroden 3,2 450 mm®

1 Fülllage: Z == = = ≈L z Z·, · .

,sm Elektr

m0 78 4

3 12 4 Elektrooden 4 450 mm®

1 Decklage: Z L z Z= =·,

sm0 78 · , .

,6 2

4 83Elektr

m= ≈ 5 Elektroden 5 450® mmm

1 Wurzellage: Z L z Z= = =·, · .

sm Elektr

m0 78 4

33 12, ≈ 4 Elektroden 3,2 450 mm®

1 Fülllage: Z == = = ≈L z Z·, · .

,sm Elektr

m0 78 4

3 12 4 Elektrooden 4 450 mm®

1 Decklage: Z L z Z= =·,

sm0 78 · , .

,6 2

4 83Elektr

m= ≈ 5 Elektroden 5 450® mmm

1 Wurzellage: Z L z Z= = =·, · .

sm Elektr

m0 78 4

33 12, ≈ 4 Elektroden 3,2 450 mm®

1 Fülllage: Z == = = ≈L z Z·, · .

,sm Elektr

m0 78 4

3 12 4 Elektrooden 4 450 mm®

1 Decklage: Z L z Z= =·,

sm0 78 · , .

,6 2

4 83Elektr

m= ≈ 5 Elektroden 5 450® mmm

Decklage

Wurzellage

a

Bild 1: Kehlnaht

60°

s

a

Decklage

Fülllage Wurzellage

Bild 2: V-Naht

Tabelle 1: Richtwerte für das LichtbogenhandschweißenNahtplanung für Kehlnähte (Bild 1)

Naht­dicke

a mm

Spalt s

mm

Anzahl und Art

der Lagen1)

Elektroden­ abmessungen

d ® Œ mm

spez. Elektro­denbedarf

zs

Stück/m

Nahtmasseje Lagen­

art ms

g/m

gesamt m

g/m3 – 1 3,2 ® 450 3,2 80 804 – 1 4 ® 450 3,6 140 14056

––

33

3,2 ® 4504 ® 450

8,68

215 310

215 310

8 –1 W2 D

4 ® 4505 ® 450

37

120 430

550

10 –1 W4 D

4 ® 4505 ® 450

312,3

120 745

865

12 –1 W4 D

4 ® 4505 ® 450

318,5

1201 125

1 245

1) W Wurzellage; D Decklage

Nahtplanung für V-Nähte (Bild 2)

Naht­dicke2)

a mm

Spalt s

mm

Anzahl und Art der La­gen1)

Elektroden­ abmessungen

d ® Œ mm

spez. Elektro­denbedarf

zs

Stück/m

Nahtmasseje Lagen­

art ms

g/m

gesamt m

g/m

4 11 W1 D

3,2 ® 4504 ® 450

32

75 80

155

5 1,51 W1 D

3,2 ® 4504 ® 450

42,9

100110

210

6 21 W2 D

3,2 ® 4504 ® 450

44,7

100185

285

8 21 W1 F1 D

3,2 ® 4504 ® 4505 ® 450

43,73,5

100145215

460

10 21 W1 F1 D

3,2 ® 4504 ® 4505 ® 450

446,2

100195380

675

1) W Wurzellage; F Fülllage; D Decklage 2) Nahtdicke ≈ Blechdicke

260 Teil B – Simulationsaufgaben: Konstante geradlinige Bewegungen

Simulationsaufgaben | Konstante geradlinige Bewegungen

vel.plus/RM18

1. Förderband. Ein Greifer legt Kisten auf ein Förderband, das mit einer Geschwindigkeit von v = 0,5 m/s betrieben wird.

a) Ermitteln Sie wie weit eine Kiste nach einer Zeit von t1 = 4 s, t2 = 8 s und t3 = 26 s befördert worden ist.

b) Nach welcher Zeit passiert eine Kiste die Wegpunkte s1 = 4 m und s2 = 11 m?

c) Die Gesamtlänge des Förderbandes beträgt Œ = 14 m. Wel-che Zeit wird für die gesamte Länge benötigt?

d) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen zurückgeleg-tem Weg der Kiste und der dafür benötigten Zeit. Zeichnen Sie mithilfe der Wertepaare aus den Aufgabenteilen a)–c) ein Weg-Zeit-Diagramm.

e) Wie ändert sich die Transportdauer der Kisten bei einer Hal-bierung der Geschwindigkeit?

f) Die Geschwindigkeit der Anlage wird auf v2 = 0,4 m/s redu-ziert. Die Aufgabenteile a) bis c) sind mit der reduzierten Geschwindigkeit zu berechnen.

2. Transportband. Die Bewegung eines Transportbandes wird durch Weg- und Zeitangaben beschrieben (Tabelle 1).

a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Transportbandes. b) Die fehlenden Werte sind zu ergänzen. c) Zeichnen Sie das Weg-Zeit-Diagramm.

3. Gurtförderer (Bild 1). Drei Gurtförderer besitzen unterschied-liche Geschwindigkeiten, die in einem Diagramm dargestellt sind.

a) Ermitteln Sie welches Band die höchste bzw. niedrigste Ge-schwindigkeit besitzt.

b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der Förderbänder und der jeweils zurückgelegte Weg nach t =10 s.

c) Zeichnen Sie die unterschiedlichen Bandgeschwindigkeiten in ein v-t-Diagramm ein.

0 4 8 12 16 20 24s

150

175

200

225

275

125

cm

100

75

50

25

t

s

Band 2

Band 1

Band 3

Bild 1: Gurtförderer

Simulationsaufgaben

Tabelle 1: Transportband

s [m] t [s]

? 10

5 25

? 30

8 ?

9 ?

? 60

262 Teil B – Simulationsaufgaben: Hebelgesetz

Simulationsaufgaben | Hebelgesetz

vel.plus/RM20

1. Zweiseitiger Hebel (Bild 1). An der linken Seite des Hebels wird durch Anhängen einer Masse m eine vertikale Kraft F1 nach unten ausgeübt. An der rechten Seite wird an unter-schiedlichen Stellen mit einem Kraftmesser nach unten ge-zogen, sodass die Stange wieder im Gleichgewicht horizontal steht. Es werden die Kräfte F1 und F2 sowie die dazugehörigen Hebelarme Œ1 und Œ2 gemessen.

a) Wie groß ist die Kraft F2, wenn F1= 20 N, Œ1 = 50 cm und Œ2 = 20 cm betragen?

b) Wie ändert sich die Kraft F2 bei kleiner werdender Hebel-länge Œ1?

c) Wie ändert sich die Kraft F2 bei größer werdender Hebel-länge Œ2?

d) Skizzieren Sie den Hebel mit den wichtigsten Bezeichnun-gen.

2. Versuchsreihe (Tabelle 1). Berechnen Sie die fehlenden Werte in der Versuchsreihe von Tabelle 1, damit der Hebel im Gleich-gewicht bleibt.

3. Drehmoment (Tabelle 2). a) Berechnen Sie die fehlenden Werte für die Aufgaben a)

bis c) der Tabelle 2. b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen links- und

rechtsdrehendem Moment im Gleichgewichtszustand? 4. Zange als Hebel (Bild 2). Ein dünner Draht soll mit einer Zange

durchtrennt werden. Die dazu notwendige Handkraft beträgt 18 N, der dabei wirksame Hebel ist 12 cm. Berechnen Sie die Kraft F2 an der Zangenspitze, wenn dort ein Hebel von 5 cm wirksam ist.

5. Kräfte an einem Nussknacker (Bild 3). a) Wodurch unterscheidet sich der „einseitige“ vom „zweisei-

tigen“ Hebel? b) Eine Walnuss soll durch einen Nussknacker geöffnet wer-

den. Erstellen Sie eine Skizze zum einseitig wirkenden He-bel, in dem Sie die Handkraft und die Kraft an der Walnuss eintragen sowie die beiden wirksamen Hebelarme.

c) Die Handkraft F1 soll 22 N betragen, die beiden Hebelarme 10 cm und 4 cm. Wie groß wird die Kraft F2 zum Zerlegen der Nuss?

l1 l2

Drehpunkt

0 N -10 N -20 N -30 N -40 N -F1

F2

m

Bild 1: Zweiseitiger Hebel

Tabelle 2: Drehmomenta b c

Kraft (N) ? 500 18Hebelarm (cm) 18 ? 45Drehmoment (Nm) 100 125 ?

Bild 2: Zange als Hebel

Bild 3: Nussknacker

Tabelle 1: VersuchsreiheF1 (N) l1 (cm) F2 (N) l2 (cm)

15 50 ? 5015 50 ? 4015 ? 25 3040 30 30 ?? 40 40 40? 50 50 40

275

Vertiefungsaufgaben | Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft

1. Aufteilen eines Flachstabes. Von einem 3 000 mm langen Flachstab werden mit einem 2,5 mm breiten Sägeblatt nach-einander Stücke mit folgender Länge abgeschnitten:

25 mm, 90 mm, 137 mm, 1 210 mm, 685 mm und 792 mm Wie lang ist das Reststück?

2. Masse von Normprofilen, Blechen und Rohren. Berechnen Sie mithilfe eines Tabellenbuches die Masse von

a) 40 m L-Profil EN 10056-1 – S235 – 70x50x6, b) 125 m2 Stahlblech, 4,5 mm dick, c) 85 m Rohr DIN EN 754, 50x10 aus Al 99,5.

3. Haken (Bild 1). An Haken aus verzinktem Stahl werden die Vorhänge einer Schweißkabine aufgehängt. Der Draht wird in der Biegemaschine von einer Rolle abgezogen, gerade gerich-tet, abgeschnitten und danach gebogen.

a) Welche Länge muss abgeschnitten werden? b) Wie viel g wiegen 2 500 Haken?

4. Rohrhalter (Bild 2). Der 30 mm breite Rohrhalter wird aus 3 mm dickem Aluminiumband gebogen. Um die Berechnung zu vereinfachen, sind die Maße (28,72), (55,15°), (64,62°) und (18,38) angegeben, obwohl sie sich aus den anderen Maßen ergeben.

a) Wie groß ist die gestreckte Länge des Rohrhalters? b) Wie viel wiegt ein Halter?

5. Blechteil (Bild 3). Die trapezförmigen Blechteile werden auf der Ober- und der Unterseite 5 µm dick verkupfert.

a) Wie groß ist die verkupferte Fläche? b) Wie viel Gramm Kupfer werden für den Überzug von 1 650

Blechteilen benötigt?

6. Abschreckbehälter (Bild 4). Der rechteckige Behälter dient zum Abschrecken von Werkstücken beim Härten. Er hat die Innenmaße 2 m ® 1,2 m ® 0,7 m und wird mit 1450 — Öl gefüllt. Das Öl hat die Dichte ρ = 0,85 kg/dm3.

a) Welches Volumen hat das Abschreckbecken? b) Wie viel mm liegt der Ölspiegel unter dem Beckenrand? c) Welche Masse hat das eingegossene Öl?

7. Blasenspeicher (Bild 5). In Blasenspeichern wird unter Druck stehende Hydraulikflüssigkeit gespeichert, die eine im Spei-cher eingebaute stickstoffgefüllte Blase zusammendrückt. Der Mantel des Blasenspeichers besteht aus einem zylindrischen Teil, der an beiden Enden durch einen Kugelabschnitt abge-schlossen wird. Zu berechnen sind

a) das Volumen des Speichers ohne Berücksichtigung der Blase,

b) die Gewichtskraft des eigentlichen Gehäuses, wenn dieses aus Stahl besteht und durchschnittlich 5 mm dick ist.

Zur Vereinfachung der Berechnung soll angenommen wer-den, dass der zylindrische Teil des Speichers beidseitig durch je eine vollständige Halbkugel abgeschlossen ist.

40

ø3

ø10

ø1630°

Bild 1: Haken

(64,62°)

(55,15°)

ø40

50

(18,38)

5

(28,72)

R123

R12

Bild 2: Rohrhalter

t = 5ø30

60

80

120

Bild 3: Blechteil

� = 2,0 m b=1,2m

h=

0,7

m

Bild 4: Abschreckbehälter

Stick-stoff

Öl

Sø280

Sø280

400

Bild 5: Blasenspeicher

Teil C – Vertiefungsaufgaben: Längen, Flächen, Volumen, Masse, Gewichtskraft

279Teil C – Vertiefungsaufgaben: Kräfte an Bauteilen

Vertiefungsaufgaben | Kräfte an Bauteilen

1. Deckenschwenkkran (Bild 1). In der Montage-halle eines Betriebes soll ein Deckenschwenk-kran an der Hallendecke mit vier Schrauben, die einen Abstand Œ1 = 600 mm haben (Bild 2), befestigt werden. Der Schwerpunkt s des Aus-legers befindet sich einen Meter von der Drehachse entfernt. Die Laufkatze kann maxi-mal 2,5 Meter bis zum Anschlag fahren.

a) Berechnen Sie die Kräfte, die in den Schrauben bei A und B auftreten, wenn die Laufkatze am Anschlag steht und dabei eine Kraft von 12 kN wirkt.

b) Der Deckenkran wird mit vier Schrauben M 16, Festigkeitsklasse 8.8, befestigt (Bild 2). Prüfen Sie, ob die Schrauben den Anforde-rungen genügen, wenn 2,5-fache Sicherheit gegen plastische Verformung zu gewähr-leis ten ist?

c) Welche Beanspruchungsarten treten in den Schrauben, in der Säule, im Ausleger und in der Laufkatze auf? Geben Sie für jeden Fall auch die verursachenden Kräfte an.

d) Die Säule, Rohr 200 × 10, wird durch den Ausleger mit F2 und die Laufkatze mit F3 auf Biegung beansprucht. Berechnen Sie das dadurch auftretende Biegemoment in der Säule und die Sicherheit gegen plastische Verformung, wenn die Säule aus S275JR gefertigt ist.

2. Kräfte an einer Greifbacke (Bild 3). Die Greif-backe des Spannzylinders wird mit Kolben-kraft (einfachwirkender Zylinder) geöffnet.

Für den Spannzylinder kann aus den Herstel-lerdaten entnommen werden:

– Kolbendurchmesser D = 40 mm, – Betriebsdruck pe = 6 bar, – Kolbenhub s = 16 mm.

a) Berechnen Sie die Kolbenkraft beim Aus-fahren des Kolbens bei einem Wirkungs-grad von 80 %.

b) Mit welcher Kraft FN drückt der Zylinderkol-ben auf den Greifer?

c) Wie ändert sich die Kraft FN, wenn der Win-kel des Kolbens vergrößert wird?

d) Berechnen Sie den Luftverbrauch in l/h, wenn pro Minute der Zylinder vier mal aktiv wird.

�1

A B

�2

�3

Säule

Laufkatze

F1 = 4 kN

F2 = 3 kN

F3 = 12 kN

Ausleger

F1

F2

S

F3

Bild 1: Deckenschwenkkran

8.8

600

600

Bild 2: Befestigungsplatte

40°

Faxial

FNFN

Bild 3: Kräfte an einer Greifbacke

295Teil C – Vertiefungsaufgaben: Elektrische Antriebe und Steuerungen

Vertiefungsaufgaben | Elektrische Antriebe und Steuerungen

1. Drehstrom-Asynchronmotor (Bild 1). Der Kleinverdichter einer transportablen Prüfanlage wird durch einen Drehstrom-Asyn-chronmotor angetrieben.

Berechnen Sie aus den auf dem Typenschild angegebenen Da-ten

a) die aufgenommene Wirkleistung im Nennbetrieb, b) den Wirkungsgrad, c) das Nenndrehmoment.

2. Schleifscheibenantrieb (Bild 2). An einer Schleifscheibe wird zum Schleifen eine Leistung von 2 kW benötigt.

a) Welche Leistung muss der Elektromotor an die Schleifspin-del abgeben, wenn von dieser Leistung durch Reibung in den Spindellagern und durch Luftwiderstand 5 % verloren gehen?

b) Wie groß ist die Stromstärke in den Zuleitungen des Dreh-strommotors, wenn dieser an einer Spannung von U = 400 V liegt? Der Leistungsfaktor cos j beträgt 0,80 und der Wirkungsgrad des Motors nM = 0,90.

3. Heizlüfter (Bild 3). Der 50-W-Motor eines Heizlüfters hat einen Widerstand von 1 200 O und kann mit zwei Drehzahlen betrie-ben werden. Bei der großen Drehzahl liegt der Motor an 230 V. Bei der kleinen Drehzahl wird die Spannung am Motor durch einen Vorwiderstand auf 125 V herabgesetzt.

Berechnen Sie die Größe des Vorwiderstandes für den Betrieb bei kleiner Drehzahl.

4. Elektrohydraulische Steuerung (Bild 4). Bei der Steuerung von zwei Hydrozylindern werden durch das Relais -KF1 die Betäti-gungsmagnete -MB1 und -MB2 von zwei Wegeventilen gleich-zeitig geschaltet. Nach den Datenblättern haben die Spulen des Relais -KF1 und der Betätigungsmagnete -MB1 und -MB2 folgende elektrischen Kennwerte:

Da das Relais nach dem Anziehen nur einen Haltestrom von 100 mA benötigt, wird vor den Selbsthaltekontakt ein Vorwi-derstand Rv geschaltet.

Zu ermitteln sind a) die Widerstände der Spulen, b) der Gesamtwiderstand beim Schalten, c) die Größe des Vorwiderstandes.

Hersteller

�N = 4,83 A

Typ D 130 C 90/2 Baujahr 2008

UN = 400 V

PN = 2,2 kW

nN = 2820/min

cos φN = 0,82

Bild 1: Typenschild eines Dreh-strom-Asynchronmotors

P1

P =2 kWU = 400 V

P2

Bild 2: Schleifscheibenantrieb

R1

U =230 V

R1

R2R2

U1=125 V

U2

großeDrehzahl

kleineDrehzahl

Bild 3: Heizlüfter-Schaltung

Werte beim Schalten Spulen-KF1 -MB1 -MB2

Spannung in V 24 24 24Stromstärke in mA 200 500 500Leistungsaufnahme in W 4,8 12 12

–SF2

–SF1

–KF1

–KF1 –MB1 –MB2

–KF1–KF1

Rv

L+

L–

Bild 4: Elektrohydraulische Steuerung

296 Teil C – Vertiefungsaufgaben: Kalkulation

Vertiefungsaufgaben | Kalkulation

Alle Aufgaben sind zur Lösung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm geeignet, z. B. Excel.

1. Vertreterprovision. Ein Hersteller muss vom Verkaufspreis 7 % Vertreterprovision bezahlen. Wie groß ist dieser Betrag und wie hoch wird der Verkaufspreis des Werkstückes, wenn die Her-

stellkosten 450,– €, die Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkosten 15 % und der Gewinnzuschlag 10 % betragen?

2. Lagerbüchse. Für einen Auftrag zur Herstellung einer Lagerbüchse betragen die Materialeinzelkos-ten 5,88 €, Materialgemeinkosten 6 %, Fertigungslöhne 11,86 €, Fertigungsgemeinkosten 310 %, Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkosten 14 %. Der Gewinnzuschlag beträgt 10 %. Wie hoch ist der Verkaufspreis?

3. Fertigungskosten. Nach der Trennung in die maschinenabhängigen und lohnabhängigen Gemeinkos ten, in einer neu geschaffenen Kostenstelle „CNC-Bohrmaschine“, ergeben sich für die Kalkulation eines Auftrages über die Fertigung von Getriebegehäusen, folgende Werte:

Maschinenstundensatz 85,– €/h, Belegungszeit der Maschine 12 Stunden, Fertigungslohn 25,– €/Std; Auftragszeit für den Fertigungslohn 10 Stunden, Restgemeinkostenzuschlag 130 %.

Berechnen Sie die Fertigungskosten dieser Getriebegehäuse.

4. Stanzwerkzeug. Bei einem Stanzwerkzeughersteller sind drei Werkzeugmaschinen im Einsatz. Die Maschinenstundensätze betragen für die Drehmaschine 35,– €/h und für die Fräsmaschine

55,– €/h. a) Für eine neue CNC-Maschine ist der Maschinenstundensatz bei einer geplanten Maschinenlauf-

zeit von 1 400 Stunden zu berechnen: Wiederbeschaffungspreis 210.000,– € Raumkosten 12,– €/m2 Monat Nutzungsdauer 10 Jahre Energiebedarf 20 kW Kalkulatorische Zinsen 8 % Energiekosten 0,25 €/kWh Raumbedarf 20 m2 Instandhaltung 200,– €/Monat b) Ermitteln Sie die Selbstkosten für ein Werkzeug unter Berücksichtigung folgender Angaben: Fertigungsmaterial 1.000,– € Auftragszeit 20 h Materialgemeinkosten 10 % Belegungszeit Drehmaschine 8 h Restgemeinkosten 180 % Belegungszeit Fräsmaschine 10 h Verwaltungsgemeinkosten 10 % Belegungszeit CNC-Maschine 12 h Fertigungslohnkosten 25,– €/h

5. Kleinbehälter. Ein Hersteller von Kleinbehältern aus Stahl ist gezwungen, seinen Verkaufspreis um 30 % zu reduzieren, um seinen bisherigen Marktanteil zu behaupten. Die bisherige Absatz-menge beträgt 2 000 000 Stück bei einem Verkaufspreis von 3,– €/Stück und variablen Kosten von kv = 1,80 €/Stück. Die fixen Kosten betragen 480.000,– €.

a) Wie hoch sind die Deckungsbeiträge vor und nach der Preissenkung? b) Wie wirkt sich die Preissenkung bei der angegebenen Absatzmenge auf den Gewinn aus? c) Berechnen Sie die Gewinnschwelle vor und nach der Preissenkung. d) Wie viel Stück müssten zusätzlich produziert bzw. verkauft werden, um bei vermindertem Preis

keine Gewinneinbuße hinnehmen zu müssen?

6. Kostenvergleich. Für einen neuen Auftrag über 10 000 Teile/Jahr stehen folgende drei Anlagen zur Wahl.

Fixe Kosten Variable KostenAnlage I 50.000,– € 8,– €/StückAnlage II 75.000,– € 3,– €/StückAnlage III 95.000,– € 1,50 €/Stück

a) Stellen Sie den Gesamtkostenverlauf der drei Anlagen in einem Diagramm dar. b) Berechnen Sie Grenzstückzahlen. Für welche Anlage entscheiden Sie sich?

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297Teil D – Projektaufgaben: Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine

ProjektaufgabenVorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine

12 14 13 11

9

8

7

4

5

2

631

19 18 17 10 16 15 20

Steigung P = 5 mm

z2= 36

z1= 25

vf= 1…2000 mm/min

vE= 5 m/min

Teileliste (Auszug)Pos. Benennung Pos. Benennung Pos. Benennung

1 Drehstrommotor 8 Spindel-Riemenscheibe 15 Kugelgewindemutter2 Nabe 9 Obere Anstellmutter 16 Lagerbock3 Tellerfeder 10 Kugelgewindespindel 17 Rillenkugellager4 Reibscheibe 11 Distanzhülse 18 Loslagerbock5 Untere Anstellmutter 12 Radialdichtring 19 Maschinentisch6 Motor-Riemenscheibe 13 Lagerdeckel 20 Lagerflansch7 Zahnriemen 14 Schrägkugellager