Formelsammlung SRT – Steuerungs- und Regelungstechnik

Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-1

Inhaltsverzeichnis:

Thema Unterpunkt SeiteSteuer-/Regelungstechnik Allgemeine Definitionen 2-3Allgemeiner Aufbau einer Steuerung Diagramm 2-4 Kennzeichen 2-4Allgemeiner Aufbau einer Regelung Diagramm 2-4 Kennzeichen 2-4 Berechnungen 2-4Typen von Regelungen Definition 2-4Regeltechnische Symbole Sinnbilder und Erläuterungen 2-5Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes Definition Sprungantwort 2-6 Definition Rampenantwort 2-6Frequenzgang eines Regelkreisgliedes Definition 2-6Komplexe Übertragungsfunktion allgemein Formel 2-6Amplituden-Frequenzgang allgemein Formel 2-6Phasen-Frequenzgang allgemein Formel 2-6Komplexe Widerstände von Bauteilen Tabelle 2-7Elementares Regelkreisglied (RKG) allgemein Zeitverhalten allgemein 2-7 Frequenzverhalten allgemein 2-7RKG mit P-Verhalten Übergangsfunktion 2-8 Diagramm Sprunganwort 2-8 Kenngröße 2-8 Übertragungsfunktion 2-8 Amplitudengang 2-8 Phasengang 2-8 Diagramm Amplitudengang 2-9 Diagramm Phasengang 2-9 Diagramm Ortskurve 2-9RKG mit I-Verhalten Übergangsfunktion 2-10 Diagramm Sprunganwort 2-10 Kenngrößen 2-10 Übertragungsfunktion 2-10 Amplitudengang 2-10 Phasengang 2-10 Diagramm Amplitudengang 2-11 Diagramm Phasengang 2-11 Diagramm Ortskurve 2-11RKG mit D-Verhalten Übergangsfunktion 2-12 Diagramm Sprunganwort 2-12 Kenngröße 2-12 Übertragungsfunktion 2-12 Amplitudengang 2-12 Phasengang 2-12 Diagramm Amplitudengang 2-13 Diagramm Phasengang 2-13 Diagramm Ortskurve 2-13 Fortsetzung nächste Seite

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Fortsetzung Inhaltverzeichnis:

Thema Unterpunkt SeiteRKG mit P-T1-Verhalten Übergangsfunktion 2-14 Diagramm Sprunganwort 2-14 Kenngröße 2-14 Übertragungsfunktion 2-14 Amplitudengang 2-14 Phasengang 2-14 Diagramm Amplitudengang 2-15 Diagramm Phasengang 2-15 Diagramm Ortskurve 2-15Allgemeine Gleichung für Regelkreisglieder Diagramm 2-16 Formel 2-16Übersicht zusammengesetzte Funktionen D-T1 2-16 I-T1 2-16 P-T2 mit Dämpfung d > 1 2-16 P-T2 mit Dämpfung d ≤ 1 2-16 PI 2-17 PD 2-17 PID 2-17 PI-T1 2-17 PD-T1 2-18Erzeugen einer logarithmischen Einteilung Hilfestellung 2-18

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Allgemeine Definitionen:

- Steuern: Vorgang bei dem eine oder mehrere Eingangsgrößen andere Größen als Ausgangsgrößen aufgrund der dem System eigenen Gesetzmäßigkeiten beeinflussen. Kennzeichen: „offener Wirkungsablauf“

- Regeln: Vorgang bei dem eine physikalische Größe, die Regelgröße, fortlaufend erfasst und durch Vergleich mit der Führungsgröße im Sinne einer Angleichung an diese beeinflusst wird. Kennzeichen: „geschlossener Wirkungsablauf“

- Führungsgröße (Sollwert) w: Eine von außen vorgegebene und von der Steuerung / Regelung nicht beeinflusste Größe, die den (zeitabhängigen) Sollwertverlauf festlegt.

- Vergleicher: Bauteil zur Bildung der Regeldifferenz bzw. der Regelabweichung

- Regeldifferenz e: Die Differenz zwischen Istwert xi und Sollwert w. xwe −=

- Regelabweichung xd: Die Differenz zwischen Sollwert w und Istwert xi. wxxd −=

- Steuer- / Regeleinrichtung: Alle Bauteile, welche die Beeinflussung der Strecke über das Stellglied bewirken.

- Stellgröße y: Ist das Ausgangssignal des Stellgliedes und das Eingangssignal der Steuer- / Regelstrecke.

- Strecken-Eingangsgröße y : Ist die Summe aus der Stellgröße y und der Versorgungs-Störgröße zV

- Last-Störgröße zL , Versorgungs-Störgröße zV Von außen wirkende Größen, welche die beabsichtigte Beeinflussung innerhalb der Steuer- / Regelstrecke beeinflussen.

- Steuer- / Regelstrecke: Derjenige Teil einer Anlage, innerhalb dessen eine Beeinflussung der Steuer- / Regelgröße durch das Stellglied erfolgen kann.

- Regel- / Steuergröße (Istwert) x: Diejenige Größe, die im Sinne einer Regelung / Steuerung beeinflusst werden soll. Bei der Regelung wird sie laufend mit der Führungsgröße (Sollwert) verglichen.

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Allgemeiner Aufbau einer Steuerung: Kennzeichen für eine Steuerung ist der „offene Wirkungsablauf“ Allgemeiner Aufbau einer Regelung (einschleifig): Kennzeichen für eine Regelung ist ein „geschlossener Wirkungsablauf“

xwe −= wxxd −= e = Regelabweichung xd = Regeldifferenz w = Führungsgröße bzw. Sollwert xi = Regelgröße bzw. Istwert Typen von Regelungen:

- Festwertregelung: Angleichung des Istwertes der Regelgröße x an einen von außen vorgegebenen zeitlich konstanten Sollwert

- Folgeregelung (Zeitplanregelung): Angleichung des Istwertes der Regelgröße x an, einen von außen vorgegebenen, durch die zeitveränderliche Führungsgröße w gesteuerten und damit veränderlichen Sollwert.

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Regelungstechnische Symbole:

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Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes:

Unter Zeitverhalten eines Übertragungsgliedes (Regelkreisglied) versteht man den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße bei bestimmter Änderung der Eingangsgröße. Dieser Verlauf heißt „Antwort des Gliedes“. Es gibt 2 verschiedene Antworten:

- die Sprungantwort: (für P, I, und T-Glieder) Die Eingangsgröße wird sprunghaft von 0 auf einen Endwert xe verändert. Für xE = 1 heißt der Sprung „Einheitssprung“

- die Rampenantwort: (für D-Glieder)

Die Eingangsgröße steigt stetig mit der gleichen Änderungsgeschwindigkeit txE∆∆ an.

Frequenzverhalten eines Regelkreisgliedes:

Als Eingangsignal des Regelkreisgliedes wird eine, in der Amplitude konstante und in der Frequenz veränderliche, Sinusschwingung angelegt. Als Ausgangssignal ergibt sich wiederum ein Sinussignal, das meist in der Amplitude und Phasenlage verändert ist. Daraus kann man Rückschlüsse auf das Frequenzverhalten des Gliedes ziehen.

Komplexe Übertragungsfunktion:

( )e

a

xxjF =•ω

F(j•ω) = komplexe Übertragungsfunktion (Ohne Einheit !!) xa = komplexe Ausgangsgröße xe = komplexe Eingangsgröße

Amplituden-Frequenzgang allgemein:

( ) 22

22

ImRe

ImRe

ee

aa

e

a

xx

xxxx

jF+

+==•ω

|F(j•ω)| = Betrag der komplexe Übertragungsfunktion (Ohne Einheit !!) |xa| = Betrag der komplexen Ausgangsgröße Rexa = Realanteil der komplexen Ausgangsgröße Imxa = Imaginäranteil der komplexen Ausgangsgröße

|xe| = Betrag der komplexen Eingangsgröße Rexe = Realanteil der komplexen Eingangsgröße Rexe = Imaginäranteil der komplexen Eingangsgröße

Phasen-Frequenzgang allgemein:

( )

••

=•ωωωϕ

jFjFj

(Re(Imarctan RAD einstellen !!!

φ(j•ω) = Phasenwinkel der komplexen Übertragungsfunktion ImF(j•ω) = Imaginäranteil der komplexen Übertragungsfunktion ReF(j•ω) = Realanteil der komplexen Übertragungsfunktion

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Komplexe Widerstände von Bauteilen: R = Widerstand in Ω G = Leitwert in S L = Induktivität in H C = Kapazität in F Elementares Regelkreisglied (RKG) allgemein: Folgende Kenngrößen sind für die Bestimmung des Verhaltens des Regelkreisgliedes ausschlaggebend: Zeitverhalten ( = Übergangsfunktion, Sprungantwort )

( ) ( )( )txtxth

E

A= ( ) ( ) ( )txthtx EA •=

h(t) = Übergangsfunktion des RKG (Sprungantwort) xE(t) = Eingangsgröße des RKG xA(t) = Ausgangsgröße des RKG Frequenzverhalten ( = Übertragungsfunktion)

( ) ( )( )ωωωjxjxjF

E

A= ( ) 22

22

ImRe

ImRe

EE

AA

xx

xxjF

+

+=•ω ( ) ( )

( )

=

ωωωϕjFjFj

ReImarctan RAD !!!

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω |F(jω)| = Amplitudengang der Übertragungsfunktion φ(jω) = Phasengang der Übertragungsfunktion xE(jω) = komplexes Eingangssignal des RKG xA(jω) = komplexes Ausgangssignal des RKG

Scheinwiderstand Z Scheinleitwert Y

Widerst. R R

G 1=

Spule Ljω Ljω

1

Kondens. Cjω1 Cjω

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RKG mit P-Verhalten: xE Eingangssignal Übergangsfunktion h(t):

( ) PKth =

( )( ) P

E

A Ktxtx= ( ) ( )txKtx EPA •=

xA Ausgangssignal Kenngröße: KP Übertragungsfunktion F(jω):

( ) PKjF =ω ( ) PKpF = ( ) ( )PdBP KK log20•= Amplitudengang (für Bodediagramm):

( ) PKjF =ω ( ) ( )( )ωω jFL log20•= ⇒ ( ) ( )PKL log20•=ω

Phasengang (für Bodediagramm):

( ) °= 0ωϕ h(t) = Übergangsfunktion KP = Proportionalbeiwert Ohne Einheit und Zeitunabhängig !!!! (KP)dB = Proportionalbeiwert in dB xE(t) = Eingangsgröße des RKG xA(t) = Ausgangsgröße des RKG (Sprungantwort) F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion des RKG F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion des RKG |F(jω)| = Amplitudengang des RKG L(ω) = Amplitudengang des RKG in dB φ(jω) = Phasengang des RKG in °

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Amplitudengang P-Verhalten idealisiert: Phasengang P-Verhalten idealisiert: Ortskurve P-Verhalten idealisiert:

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RKG mit I-Verhalten: xE Eingangssignal

( ) ( )∫ ••=t

EI

A dttxT

tx0

1

Übergangsfunktion h(t):

( ) tKth I •=

tKxx

IE

A ∆•=∆ EIA xtKx •∆•=∆ xA Ausgangssignal

Kenngrößen: KI , TI ∆xA Übertragungsfunktion F(jω): ∆t

( ) IKjjF •=

ωω 1 ( ) IKp

pF •=1

1

1T

KI = ID K=ω 1

1TD =ω

I

e

Txv max

max =

Amplitudengang (für Bodediagramm):

( ) IKjF •=ω

ω 1

( ) ( )( )ωω jFL log20•= ⇒ ( ) ( ) ( )ωω

ω log20log20log20 •−•=

•= I

I KKL

Phasengang (für Bodediagramm):

( ) °−= 90ωϕ h(t) = Übergangsfunktion

KI = Integrierbeiwert in s1

TI = Integrationszeit in s

ωD = Durchtrittskreisfrequenz in s1 bei der L(ω) = 0dB ist

vmax = maximale Änderungsgeschwindigkeit in s1

xE = Eingangsgröße des RKG (konstant) xe max = maximale Eingangsgröße ∆xA = Änderung des Ausgangsgröße des RKG (Steigung) ∆t = Zeitspanne in s F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion des RKG F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion des RKG |F(jω)| = Amplitudengang des RKG L(ω) = Amplitudengang des RKG in dB φ(jω) = Phasengang des RKG in °

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Amplitudengang I-Verhalten idealisiert:

DekadedBSteigung 20

−=

Phasengang I-Verhalten idealisiert: Ortskurve I-Verhalten idealisiert:

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RKG mit D-Verhalten: xE Eingangssignal

( ) ( )dttxKtx E

DA •= ∆xE

Übergangsfunktion: ∆t

txKx E

DA ∆∆

•=

Da beim D-Verhalten die Sprungantwort xA Ausgangssignal keine Aussage über das Verhalten des RKG zulässt, wird hier eine Rampenantwort verwendet. Kenngröße: KD Übertragungsfunktion F(jω):

( ) DKjjF •= ωω ( ) DKppF •=

DDK ω

1=

DD K

1=ω

txxKE

AD

∆∆

=

Amplitudengang (für Bodediagramm):

( ) DKjF •=ωω

( ) ( )( )ωω jFL log20•= ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )ωωω log20log20log20 •+•=••= DD KKL Phasengang (für Bodediagramm): ( ) °+= 90ωϕ

h(t) = Übergangsfunktion KD = Differenzierbeiwert in s

ωD = Durchtrittskreisfrequenz in s1 bei der L(ω) = 0dB ist

∆xE = Änderung der Eingangsgröße des RKG während ∆t ∆t = Zeitspanne in s xA = Ausgangsgröße des RKG (Rampenantwort) F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion des RKG F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion des RKG |F(jω)| = Amplitudengang des RKG L(ω) = Amplitudengang des RKG in dB φ(jω) = Phasengang des RKG in °

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Amplitudengang D-Verhalten idealisiert:

DekadedBSteigung 20

+=

Phasengang D-Verhalten idealisiert: Ortskurve D-Verhalten idealisiert:

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Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-14

RKG mit P-T1-Verhalten: xE Eingangssignal

( ) ( )

−••=

−111Tt

EA eKtxtx

Übergangsfunktion:

( )

−•=

−111Tt

eKth ( )

−•=

−111Tt

E

A eKxtx

xA Ausgangssignal

( )

−••=

−111Tt

EA eKxtx

Kenngröße: K1 , T1 Übertragungsfunktion F(jω):

( )1

1

1 TjKjF

•+=

ωω ( )

1

1

1 TpKpF•+

=

( ) ( )11 log20 KK dB •= 1

1TE =ω

Amplitudengang (für Bodediagramm):

( ) ( )[ ]( )21

11

11

TTKjF

•+•−•

=ω

ωω

( ) ( )( )ωω jFL log20•= ⇒ ( ) ( )[ ]( )

•+•−•

•= 21

11

11log20

TTKL

ωωω

Phasengang (für Bodediagramm): ( ) ( )1arctan T•−= ωωϕ RAD einstellen !!!

h(t) = Übergangsfunktion K1 = Proportionalbeiwert. Ohne Einheit und Frequenzunabhängig !!! T1 = Zeitkonstante in s xE = Eingangsgröße des RKG xA = Ausgangsgröße des RKG (Sprungantwort) F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion des RKG F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion des RKG |F(jω)| = Amplitudengang des RKG L(ω) = Amplitudengang des RKG in dB φ(jω) = Phasengang des RKG in °

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Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-15

Amplitudengang P-T1-Verhalten idealisiert:

DekadedBSteigung 20

−=

Phasengang P-T1-Verhalten idealisiert: Ortskurve P-T1-Verhalten idealisiert:

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Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-16

Allgemeine Gleichung für elementare Regelkreisglieder (RKG): In die allgemeine Gleichung werden die Kenngrößen des jeweils gegebenen RKG eingesetzt. Die übrigen Faktoren werden 0 gesetzt. Der Index für KP wird oft auch als Zahl angegeben, die das Zeitverhalten wiederspiegelt. Bsp.: Für P-T2 werden die Kennwerte K2, T1 und T2 angegeben.

( )( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nnn

DIP

TjTjTj

KjKj

KjF

•++•+•+

•+

•+

=ωωω

ωω

ω...1

1

22

21

( )( )

( ) ( ) ( )nnn

DIP

TpTpTp

KpKp

KpF

•++•+•+

•+

•+

=...1

1

22

2 σω += jp

F(jω) = Komplexe Übertragungsfunktion des RKG F(p) = Allgemeine Übertragungsfunktion des RKG KP = Proportionalbeiwert. Ohne Einheit und frequenzunabhängig !!!

KI = Integrierbeiwert in s1

KD = Differenzierbeiwert in s T1 = 1. Zeitkonstante in s T2

2 = 2. Zeitkonstante in s2 Tn = n. Zeitkonstante n = Grad der Zeitfunktion σ = Phasenverschiebung in ° Diagramm für allgemeine Gleichung:

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Übersicht zusammengesetzte Funktionen – D-T1, I-T1, P-T2:

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Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-18

Übersicht zusammengesetzte Funktionen – PI, PD , PID, PI-T1:

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Stand: 12.03.2002 Rev. 2 Seite 2-19

Übersicht zusammengesetzte Funktionen – PD-T1:

Erzeugen einer logarithmischen Einteilung: 1 Dekade 1 Dekade 1 Dekade

1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 300 500 1000

3 Teile 2 Teile 2 Teile 3 Teile 3 Teile 2 Teile 2 Teile 3 Teile 3 Teile 2 Teile 2 Teile 3 Teile

Für den Amplitudengang kann man sich das Zeichnen noch ein wenig vereinfachen, indem man die gleiche Anzahl an Teilen für eine Dekade und 0 – 20 dB verwendet. Dann entsprechen 20 db/Dekade einer 45°-Linie.