Iniciación a la Resistencia de los Materiales

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN

MATERIALES ELÁSTICOSde J.A.G. Taboada

Texto de referencia:

PARTE 1 : Resistencia

Objeto:COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS

DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE MATERIALES.

CAPITULO II :

•TRACCIÓN - COMPRESION.

y

•CORTADURA

Lección 3 :2011

Lección 3 :• 3.1 .- Barra prismática sometida a tracción.

Influencia del peso propio.

Sólido de igual resistencia.

• 3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

• 3.3 .- Tracción y compresión hiperestáticas.

• 3.4 .- Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de montaje.

Alargamiento de un elemento

LF F

3.1 .- Barra prismática sometida a tracción.

• Longitud inicial

• Deformación longitudinal total

• Deformación longitudinal unitaria

• Relación Tensión deformación

• Deformación diferencial.

F

E F. L

L S.EF

E S

Li

= Lf - Li

Li

3.1 .- Influencia del Peso propio.

P = pe . L . S

Pxpe . S. x = ’x . S

’x = pe.x

max =F

S+ pe . L

F + P

F

L

S

x

x =FS + pe.xF + Px

S =

3.1 .- Influencia del Peso propio.

F + P

F

L

x

dx

x =FS + pe.x

F L

S E+

pe L2

2.E =

= pe.x ) .

0

L

( +dxE

F S

d = pe.x ) .+dxE

F S(

3.1 .- Sólido de igual resistencia

• Sólido de igual resistencia a la barra prismática tal que se cumple que la tensión sea la misma en todas sus secciones rectas.

x =F+ Px

Sx

= adm

F L

S E+

pe L2

2.E =

F L

S E+

pe SL·L

2·E·S =

3.1 .- Sólido de igual resistencia

F + P

F

L

x

dx

x =F+ Px

Sx

= adm

x+dx =F + Px + pe.Sx.dx

Sx + dSx

Sx = F

adm

. e( pe . x/ adm)

3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

F

F

dF

F’

’ d

dW = (F + dF) · d F · dF·L/SE+ dF·d

W =1

2F .

Teorema de Clapeyron

L

W = L

S. E

F . dF

0

F F 2. L

2 . S. E

= 2. S .E

2 . L=

3.2 .- Energía de deformación almacenada en una barra prismática sometida a tracción o compresión.

FW =

1

2F .

Teorema de Clapeyron

L

=F 2

2·S·E·Su =

V

W=

2·E

2 L2=

2

2 E=

2·E

2

Energía de deformación por unidad de Volumen

= F 2. L

2·S·E·V

a b

3.3 Tracción y Compresión Hiperestáticas

= 0

FRa RbRa + Rb + F = 0

Ecuaciones útiles : 1 => Fh = 0

Incognitas : 2 => Ra y Rb

Grado de Hiperestaticidad : 1

Ecuación de deformación : 1

+Rb *bS Eb =

a + b = L

F L

S E =

a + b = = 0

Rb*b - Ra*a = 0

-Ra *aS Ea =

Rb*b – (-F-Rb)*a = 0

Rb = -F*a / L Ra = - F*b / L

RaRa

RbRb

Tracción y Compresión Hiperestáticas

Concepto Symb Unidades Valor Fórmula A C B

Longitud Total L cm 1200 ====> ====> ====>

Long AC a cm 500Long BC b cm 700Fuerza F Kg 3500 F1+F2 + F = 0

Alargamiento Total cm 0 F*L*(S*E)-1

Alargamiento de AC cm 1,52E-02 F1*a*(S*E)-1

Alargamiento de BC cm -1,52E-02 F2*b*(S*E)-2

Fuerza en AC F1 Kg -2042 -F*b / L

Fuerza en BC F2 Kg -1458 -F*a / L

Sección Normal a X S cm2 32

Tensión en AC Kg/cm263,80 - F1*(S)-1

Tensión en BC Kg/cm2-45,57 + F2*(S)-1

Alargamiento Unit AC 3,04E-05 3,04E-05 /a

Alargamiento Unit BC -2,17E-05 -2,17E-05 /b

Tensión max ad ADM Kg/cm2

1200 FL/c.s.

Módulo de Young E Kg/cm2 2,10E+06

Calculo de Tracción - Compresión Hiperestáticas

= 0

Lf = Li + Li . (Tf - Ti )

= T

= - T. E

=

Ra Rb

Tensiones por variaciones térmicas

T

F = S *

RaS *

Ra = Rb = - .S = - .T.E

= 0 = /E + .DT

3.4 Tensiones originadas por variaciones térmicas o defectos de Montaje.

Concepto Symb Unidades Valor Fórmula A L B

Longitud Total L cm 1200

Long AC a cm 600

Long BC b cm 600 F1 A C B F2

Fuerza F Kg 10000 - (F1+F2) ====> ====> ====>

Variación Temperatura T ºC 35 F

Alargamiento Total cm 0 * T*L+F*L*(S*E)-1

Alargamiento de AC cm 0,29 * T*a+F1*a*(S*E)-1

Alargamiento de BC cm -0,42 * T*b+F2*b*(S*E)-2

Fuerza en A F1 Kg -4081,3 -F*b / L+ * T*E

Fuerza en B F2 Kg -5918,8 -F*a / L - * T*E

Sección Normal a X S cm24

Tensión en AC Kg/cm21020 - F1*(S)-1 + * T*E

Tensión en BC Kg/cm2-1480 + F2*(S)-1+ * T*E

Alargamiento Unit AC - 0,00049 /a

Alargamiento Unit BC - -0,00070 /b

Tensión max ad ADM

Kg/cm21200

FL/c.s.

Coef dilat Térmica ºC-11,25E-05

Módulo de Young E Kg/cm22,10E+06

Calculo de Tracción - Compresión Hiperestáticas

= 0

0 = 0/E

= + 0

= Ra Rb

Tensiones por defectos de Montaje

0

F = S *

RaS *

Ra = Rb = + .S = - 0·S

t = 0 = - /E + 0/E

Si 0 es positivo (tracción) las reacciones son a compresión

Lección 4 :

• 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones.

• 4.2 .- Círculos de Mohr.

• 4.3 .- Planos y tensiones principales.

• 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson.

• 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.

Deformación Trasversal

y = - x

coeficiente de deformación trasversal o de Poisson

y

x

Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)

x = x

E+ -

y

E -

z

E + T

y = y

E+ -

x

E -

z

E + T

z = z

E+ -

x

E -

y

E + T

Invariante lineal de deformaciones

Invariante lineal de tensiones

e = x + y + z

= x + y+ z

Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)

Invariante lineal de deformaciones

Invariante lineal de tensiones

e = x + y + z

= x + y+ z

x = x

E+ -

y

E -

z

E + T

0

E+

y = y

E+ -

x

E -

z

E + T

0

E+

z = z

E+ -

x

E -

y

E + T

0

E+

4.1.- Matriz de Tensiones

x d = nx d + yx d + zx d

y d = xy d + ny d + zy d

z d = xz d + yz d+ nz d

x

y

z

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz

cosenos directores[ [ [ u

4.3.- Tensiones y direcciones principales

1

2

3

1 2 3

2

3

1

Direcciones principales

1

2

3

x

y

z

=

=>

x = 1

y = 2

z = 3

=>

12 2

2 32

x2 y2 z2+ + = 1

4.2.- Círculo de Mohr

13 2

C1

O1

C2

O2

C3

O3

n

n

p

’p

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz x

y

z

x

cos

cos(90-0

F/S

x

F

n = u = (F/S . cos ) . 1 . cos = F/S . cos2

N

n

2

= (F/S . sen ) . 1 . cos = F/S . (sen 2)

2

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz 1

2

3

x

cos

cos(90-0

nx

ny

x

Fx

n = nx. cos2 + ny. cos2 (90 – ) =

N

n

2

Fy

1

2

nx+ ny 2

+nx- ny

2cos 2 n =

nx- ny

2sen 2 =

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

Fx

N

n

2

Fy

1

2

nx- ny

tan 2=

nx+ ny 2

+ nx- ny

2 1 = )2(

nx+ ny 2

- nx- ny

2 2 = )2(