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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría

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14/10/13

6 Trigonometría

INTERNET

LECTURA INICIAL

ESQUEMA

ACTIVIDAD

La primera civilización en medir el paso del tiempo, utilizando el ángulo solar y la longitud de la sombra que proyecta una vara clavada en el suelo, fue la civilización china.

3


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Aplicaciones trigonométricas

Busca en la web

Ángulos

Construye un astrolabio

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trigonometricas_operaciones_identidades/definici.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/indexactiv.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/indexactiv.htm

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trigonometricas_operaciones_identidades/definici.htm


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Esquema de contenidos

Trigonometría

Razones trigonométricas de

un ángulo agudo

Relaciones entre razones trigonométricas

Razones trigonométricas

30º

45º

60º

Resolución de triángulos

Aplicaciones De la trigonometría

Razones trigonométricas de un ángulo

Reducir al primer cuadrante

Complementario, opuesto y suplementario

Identidades y ecuaciones trigonométricas


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Conocimientos previos

SIGUIENTE

Una razón es el cociente entre dos números o cantidades comparables :

Llamamos proporción a la igualdad entre dos razones:

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes es 90º:

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es 180º:

Semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes cuando se cumple que:

* Sus ángulos son iguales:

* Sus lados son proporcionales:

Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno

de sus ángulos agudos

ab=

cd

ab

α+β=90º

α+β=180º


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Conocimientos previos

SIGUIENTE

Relaciones métricas en el triángulo:

Dado un triángulo ABC, siempre se cumple que:

➔El lado mayor es menor que la suma de los otros lados.

➔El lado menor es mayor que la diferencia de los otros dos lados

La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º


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Medida de ángulos

Se llama radián a la amplitud del ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide lo mismo que su radio. El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades, y su símbolo es rad.

SIGUIENTE

¿Cuántos radianes hay en una circunferencia?

Como la longitud de una circunferencia de radio r es una circunferencia completa mide:

L=2 r

Lr=

2 rr=2 rad

¿Cuál es la equivalencia entre grados y radianes?360º⇔2 rad

180º⇔ rad

¿Cuanto vale un radián? 1rad=180º=57º 17 ' 45 ' '

¿Cómo se pasa de grados a radianes, y viceversa?

60º=60º

180º⋅ rad=

3rad

4rad=

4rad

rad⋅180º=45º


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Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

Ángulo completo

Ángulo llano

Ángulo recto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º

CENTESIMAL 400 200 100

RADIANES

Medida de ángulos

SIGUIENTE

2 2


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Razones trigonométricas de un ángulo agudo

SIGUIENTE

Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados.

α

α

aa '=

bb '=

cc '


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Cateto opuesto Cateto contiguo

Hipotenusa

SIGUIENTE


α

α

aa '=

bb '=

cc '


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senoα=cateto opuesto de α

hipotenusa=ba


Hipotenusa

SIGUIENTE


α

α

aa '=

bb '=

cc '


ANTERIOR SALIR


coseno α=cateto contiguo de α

hipotenusa=ca


Hipotenusa

SIGUIENTE


α

α

aa '=

bb '=

cc '


hipotenusa=ba


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α

tangente α=catetoopuesto de αcateto contiguo de α

=bc


Hipotenusa

Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados.α

aa '=

bb '=

cc '

Las razones trogonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido


hipotenusa=ba

coseno α=cateto contiguo de α

hipotenusa=ca


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α


hipotenusa=ba1


Hipotenusa

c oseno α=cateto contiguo de α

hipotenusa=

ca1

Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados.α

aa '=

bb '=

cc '


tangente α=catetoopuesto de αcateto contiguo de α

=bc


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Otra razones trigonométricas de un ángulo agudo

cosecante α=cosec=ab=

1sen

cotangente deα=cb=

1tg


Hipotenusa

secante deα=ac=

1cos

aa '=

bb '=

cc '



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Razones trigonométricas del ángulo agudo

Ejemplo: Calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos α y β

senα=catetoopuestohipotenusa

=610=0,6

tg α=catetoopuestocateto contiguo

=68=0,75

sen β=cateto opuestohipotenusa

=810=0,8

cos β=cateto contiguohipotenusa

=6

10=0,6

tg β=cateto opuestocatetocontiguo

=86=1,34

SIGUIENTE

8,0108

hipotenusacontiguo cateto

os ===αc

Comprueba con la calculadora que = 36º 52' 12'' y =53º 7' 48''α β


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Si en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior entre a2:

Expresándolo de otra forma:

O lo que es lo mismo:

Relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo

222 acb =+

ba 2

ca 2

=1

b2

a2

c2

a2=

a2

a2

sen2cos2=1

BA

C

a

cc =α os

a

bsen =α

SIGUIENTE

Se denomina relación fundamental


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Otras relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo

sencos

=

baca

=b ·ac ·a

=bc=tg

BA

C

a

cc =α os

a

bsen =α

SIGUIENTE

1tg2=1

sen2

cos2=

cos2sen2

cos2

=1

cos2=sec2

1tg2=sec2

Comprueba que se cumple también:

1cotg2=cosec 2

tg=sencos


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Sea ABC un triángulo equilátero.

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º.

Trazamos una altura h.

Podemos calcular h en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras

h2+( l2 )2

= l2

h2= l 2−l 2

4

h2=

4l2−l 2

4

h2=

3l2

4

h=√ 3l2

4

h=l √3

2

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º

C

BA

h

SIGUIENTE


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Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º


l √32

sen30º=

l2l=

l2l=

12

cos30º=

l √32l=l √32l=√32

tg 30º=

12

√32

=2

2√3=

1

√3=√33

tg 60º=sen60ºcos60º

=

√3212

=2√3

2=√3

Las razones trigonométricas de los

ángulos de 30º y 60º son:

SIGUIENTE

cos60º=

l2l=

l2l=

12

sen60º=

l√32l=l √32l=√32


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Sea ABCD un cuadrado.

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º.

Trazamos la diagonal d.

Podemos calcular d en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras

222 lld +=

22 2 ld ⋅=

h=√2⋅l 2

h=l 2


B A

CD

SIGUIENTE


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Observa que:

sen 45º = cos 45º


l √2sen45º=

ll√2

=1√2=√2

2

tg 45º=ll=1

Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son:

22

2

1

2º45cos ===

l

l


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Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas.

X

Y

O

Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice estará en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda.

A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica.

1

Circunferencia goniométrica: razones de un ángulo cualquiera

SIGUIENTE

r = 1


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Cada ángulo queda determinado por sus coordenadas, (a,b), que indican un punto sobre la circunferencia, y se cumple que:

X

Y

O

Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice estará en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda.1


SIGUIENTE

a = cos α

b = sen α

sen=br=b1=b

r = 1cos=ar=a1=a

P (a , b)=(cosα , senα)

Esta forma de definir las razones trigonométricas de un ángulo nos permite generalizar las razones de cualquier ángulo de otro cuadrante.

P


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SIGNO DEL SENO

SIGNO DEL COSENO

X

Y

O 1

A

sen

α

cos α

sen

β

cos β

sen

γ

cos γ

sen

δ

cos δ

B

C D

El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1

-1

-1

1

++_ __ +

+


_

−1≤sen α≤1−1≤cos α≤1

SIGUIENTE


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Razones trigonométricas de los ángulos que coinciden con los ejes

Las razones trigonométricas que coinciden con los ejes coordenados: 0º o 360º, 90º, 180º y 270º vienen dadas en la siguiente tabla:

ÁNGULO >>>0º 90º 180º 270º 360º

SENO 0 1 0 −1 0

COSENO 1 0 −1 0 1

TANGENTE 0 No existe 0 No existe 0

SIGUIENTE

0 rad2

rad rad32

rad 2 rad


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Reducción de ángulos al primer cuadrante

Si un ángulo β está en el segundo cuadrante se puede poner como 180º −α, siendo α un ángulo del primer cuadrante.

II CUADRANTE

120º=180º−60º {sen120º=sen60º

cos120º=−cos60ºtg 120º=−tg 60º

SIGUIENTE

sen =sen cos =−cos

tan =−tan

αβ=180º−α

Suplementarios


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Si un ángulo β está en el tercer cuadrante se puede poner como 180º +α, siendo α un ángulo del primer cuadrante.

III CUADRANTE

SIGUIENTE

210º=180º30º {sen210º=−sen30ºcos 210º=−cos 30ºtg 210º=tg 30º

sen =−sen cos =−cos

tg =tg

α

β=180º+α

Difieren en 180º


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Si un ángulo β está en el cuarto

cuadrante se puede poner como 360º −α, siendo α un ángulo del primer cuadrante

IV CUADRANTE

SIGUIENTE

315º=360º−45º {sen315º=−sen45ºcos 315º=cos 45ºtg 315º=−tg 45º

sen =−sen cos =cos

tg =−tg

α

β=360º−α=−α

Opuestos


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Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos

El ángulo complementario

de un ángulo α mide (90º −α).

αβ −= º90

SIGUIENTE

α

90º−α


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αβ −= º90

El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual

amplitud pero que se mide en sentido

inverso, −α.

αβ −= º360

SIGUIENTE

α

90º−α

α

−α


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αβ −= º90

El ángulo suplementario de

un ángulo α mide (180º −α).

αβ −= º180

El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de

igual amplitud pero que se

mide en sentido inverso, −α.

αβ −= º360

α

90º−α

α

−α

α180º−α

sen90º−=coscos 90º−=sentg90º−=cotg

sen180º−=sencos 180º−=−costg 180º−=−tg

sen−=−sencos −=costg−=−tg


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Líneas trigonométricas: seno, coseno y tangente

αsenα

cosα

tgα

1er Cuadrante Todos los CuadrantesSIGNO DE LA TANGENTE

+-+ -


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Aplicaciones de la trigonometría

Calculamos la distancia entre las embarcaciones.

32

32

60º

30º

a

12=

32a

√32=d1

64d1

d2

b

√32=

32b

12=

d 2

36,95

m 95,36

48,1843,55

d 21

=−=

−=

d

d

ddistancia

64m=a

43m,55d1 =

95m,36=b

48m,182 =d

SIGUIENTE

95,36d

30º en 2=s

b32

30º cos =

64d

60º en 1=s

a32

60º cos =


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Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos

SIGUIENTE

Área de un triángulo

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

A=12base⋅altura=

12a⋅h

a

h

A

C B

b c

y como sen C=hbh=b⋅sen C

A=12a⋅b⋅sen C

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

A=12a⋅b⋅sen C=

12b⋅c⋅sen A=

12a⋅c⋅sen B


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SIGUIENTE

S12=12p⋅q⋅sen A B

S1=12p⋅h⋅sen A

S2=12q⋅h⋅sen B

S12=S1S212p⋅q⋅sen AB=

12p⋅h⋅sen A

12q⋅h⋅senB

sen AB=hqsen A

hpsenB

sen AB=sen A⋅cosBcos A⋅senB

Multiplicamos por2p⋅q

y como cos B=hq

y cos A=hp

:


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SIGUIENTE

sen(A−B)=sen [ A+(−B)]=

sen A−B=sen A cosB−cos A sen B

Por otra parte sabemos que cos x = sen (90º-x), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación podemos obtener:

cos(A+B)=sen [90º−(A+B)]=sen [(90º−A)+(−B)]==sen 90º−Acos −Bcos 90º−A sen −B =

=cos Acos Bsen A−sen B=cos AcosB −sen A sen B

cos AB =cos A cosB−sen A sen B

cos A−B =cos A cosBsen A sen B

Es decir:

Analogamente:

sen Acos(−B)+cos A sen(−B )


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Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos (otro modo)

SIGUIENTE

β

αβ

β

sen =BP=MN=NAAM=

OA⋅senAB⋅cos==cos ⋅sencos⋅sen

sen =sen⋅coscos⋅sen

cos =OP=ON−PN=ON−BM=

=OA⋅cos−AB⋅sen==cos⋅cos −sen⋅sen

cos−=cos⋅cos −sen⋅sen


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Tangente de la suma y la diferencia de dos ángulos

SIGUIENTE

tg =sen cos

=sen⋅coscos⋅sencos⋅cos−sen⋅sen

Dividiendo numerador y denominador por cosαcosβ

tg =

sen⋅cos cos cos

cos⋅sencos cos

cos⋅coscos cos

−sen⋅sencoscos

=tgtg

1−tg tg tg =tgtg

1−tg tg

tg −=sen −cos −

=sen⋅cos −cos⋅sen cos⋅cossen⋅sen

Dividiendo numerador y denominador por cosαcosβ

tg =

sen⋅cos cos cos

−cos⋅sencos cos

cos⋅coscos cos

sen⋅sencoscos

=tg−tg

1tg tg

tg −=tg−tg

1tg tg


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Razones del ángulo doble y el ángulo mitad

SIGUIENTE

sen2=2 sen cos

cos 2α=cos2α−sen2α={ (1−sen2α)−sen2

α=1−2 sen2α

cos2α−(1−cos2

α)=−1+2 cos2α

tg 2α=sen2αcos 2α

=2 senαcosα

cos2α−sen2α=

2 senα cosα

cos2α

cos2α

cos2α−sen2α

cos2α

=2 tgα

1−tg 2α

sen2=± 1−cos

2

cos2=± 1cos

2

tg2=±1−cos

1cos

Usando las razones de la suma de dos ángulos:

α⇔2

2α⇔

sen=sen⋅coscos⋅sen

cos =cos⋅cos−sen⋅sen


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Identidades trigonométricas

SIGUIENTE

Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable, x.Realizaremos operaciones en uno de los miembros hasta llegar a obtener el otro miembro:

sen xcos x 2=1sen2x

sen xcos x2=sen2xcos2 x2 sen x cos x=12 sen x cos x=1 sen2x

Ejemplos:

1−cos2 xsen2x

=tg x2

1−cos2 x

sen2x=

sen2x2 sen x cos x

=sen x

2cos x=

tg x2


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Ecuaciones trigonométricas

SIGUIENTE

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que la incógnita es un ángulo que aparece asociado a una razón trigonométrica. Para resolverlas conviene realizar transformaciones que consigan expresar todos los términos en función de un mismo ángulo y de una sola razón trigonométrica, o bien factorizarla.

2 tg x=2 tg x=1 x={ x=45º360ºk , k∈ℤx=225º360ºk , k∈ℤ

sen2x=sen x2sen x cos x=sen x sen x 2cosx−1=0sen x=0 x=180ºk , k∈ℤ

cos x=12 x={x=60º360ºk , k∈ℤ

x=300º360ºk , k∈ℤ

cos2 x−3 sen x=3 1−sen2 x−3sen x=3 sen2 x3sen x2=0{sen x=−2 no tiene sentido pues −1≤sen x≤1sen x=−1 x=270º360ºk , k∈ℤ

Ecuación de segundo grado:

Factorizando:

Expresada en función de una misma razón y ángulo (inmediata):

IMPORTANTE: Es necesario comprobar las soluciones porque algunas de ellas pueden no ser válidas


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Seno y coseno del ángulo triple: sen3x y cos3x

SIGUIENTE

sen3x=senx2x= senx cos2x−sen2x cosx ·2senxcosx=

=senx cos2 x−sen3 x2cos2 x senx= 3 senx cos2 x−sen3 x= 3 senx 1−sen2 x−sen3 x=

=3 senx−3sen3 x−sen3 x= 3 senx−4sen3 x

cos 3x=cos x2x=

=cos3 x−cosx sen2 x−2sen2 x cos x=

4cos3 x−3cos x

cosx cos2 x−sen2 x −senx 2senx cosx=

cos3 x−3cosx sen2 x= cos3 x−3cosx 1−cos2 x=

=cos3 x−3cosx3cos3 x=

Vamos a buscar una fórmula simplificada para calcular las razones del ángulo triple: sen3x y cos3x

senx cos2xcosx sen2x=

cosx cos2x−senx sen2x=


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Resolución de triángulos rectángulos

SIGUIENTE


SIGUIENTE

Para resolver triángulos rectángulos hay que tener en cuenta que:

A=90º

b2+c2=a2

B+C=90º

3. Sus dos ángulos agudos son complementarios

2. Sus lados cumplen el teorema de Pitágoras

1. Conocemos uno de sus ángulos, el ángulo recto.

4. Utilizaremos las razones trigonométricas de sus ángulos agudos

BA

C

sen B= ba

cos B= ca

tg B= bc

sen C= ca

cos C= ba

tg C= cb


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SIGUIENTE

Resolver un triángulo es obtener sus elementos desconocidos (longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos, el área) a partir de otros elementos conocidos.

a) Conocidos dos lados

b) Conocidos un lado y uno de los ángulos agudos

RECUERDA QUE:➔Uno de sus ángulos es recto.➔Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

➔Sus dos ángulos agudos son complementarios.

38 m

48º

sen 48º=h38h=38⋅sen48º=28,24m

Utilizaremos la razón trigonométrica que relaciona el ángulo y el lado conocido:

h

x

Aplicando el T.Pitágoras:

382=x2

h2 x2

=382−28,242

x=382−28,242

=646,50=25,43 m

48º N=90º N=90º−48º=42º

Aplicando el T.Pitágoras:

a2b2

=c2 b2

=13,752−7,52

b=132,81=11,52m

sen A=ac A=arcsen ac =arcsen 7,5

13,75 =33º 3 ' 21 ' '

A B=90º B=90º−33º 3 ' 21 ' ' º=56º 56 ' 39 ' '


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Teorema del seno (con la altura hC)

SIGUIENTE

Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:

sen A=hC

b hC=b · sen A

sen B=hCahC=a · sen B

Usando la altura hC obtenemos →a

sen A=

bsen B

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo, por ejemplo hA:

hAb

sen B=

c

sen C

a

sen A=

b

sen B=

c

sen Csen C=hA

bh A=b · sen C

sen B=hA

c hA=c · sen B

En el triángulo rectángulo AMC:

En el triángulo rectángulo BMC:

hA

Como b· sen A=a· sen B


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Teorema del seno 2 (con la altura hB)

SIGUIENTE

Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:

sen A=hB

chB=c · sen A

sen C=hBa hB=a · sen C

hBa

sen A=

c

sen C

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo:

hCb

sen B=

a

sen A

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

luego c⋅sen A=a⋅sen C

hB

sen A=hC

b hC=b · sen A

sen B=hCahC=a · sen B


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Interpretación geométrica del teorema del seno

SIGUIENTE

El teorema del seno se cumple tanto para el triángulo rojo ABC, como para el verde A'BD.

En este último observa que el lado opuesto a C es el diámetro de la circunferencia, luego 2R, por tanto tenemos:

a

senA '=

2Rsen90º

=2R

Por otro lado observa que A=A' pues abarcan el mismo arco BC

a

sen A=

a

senA '=2R

Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C=2R


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Teorema del coseno

SIGUIENTE

Dado un triángulo cualquiera, trazamos una altura que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos.

En el triángulo rectángulo AMC:hc

b→hc=b⋅sen A m

b→m=b⋅cos A

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CMB se tiene:

a2=(c−m)2+hc

2 sustituyendo los valores de h y m hallados anteriormente, tenemos:

a2=c−b⋅cos A2b⋅sen A2 →a2

=c2−2bc⋅cos A+b2

⋅cos2 A+b2⋅sen2 A⏟

factor común b 2

→a2=c2

−2bc⋅cos A+b2(sen2 A+cos2 A)⏟

sen2α+cos 2

α=1 a2

=c2b2

−2bc⋅cos A

De forma análoga se obtendrían las igualdades:

b2=a2c2−2ac⋅cos B c2=a2b2−2ab⋅cos C

sen A= cos A=


ANTERIOR SALIR

Teorema del seno vs coseno cuando calculamos ángulos de un triángulo

SIGUIENTE

Si el puede ser un ángulo agudo u obtuso (pertenecientes al 1er o 2º cuadrantes).

a2=c2b2−2bc⋅cos A

b2=a2c2−2ac⋅cos B

c2=a2b2−2ab⋅cos C

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

sen A=12; A

Si sen A=12 A={ 30º ∈ I Cuadrante

150º ∈ II Cuadrante

Salvo que tengamos datos suficientes del ejercicio, el TS nos obliga a discutir las soluciones.

Además si sen A1 o sen A−1∃ solución

El TC nos permite conocer perfectamente el ángulo si conocemos los tres lados del triángulo.

Si el puede ser un ángulo que pertenezca al 1er o 4º cuadrantes:

cos A=12; A

Si cos A= 12→ A={60º ∈ I Cuadrante

300º ∈ IV Cuadrante→>Σαi=180º

Si el puede ser un ángulo que pertenezca al 2º o 3er cuadrantes:

Si cos A=−12→ A={120º ∈ II Cuadrante

240º ∈ III Cuadrante→>Σαi=180º

cos A=−12; A

Con el TC no hace falta discutir las soluciones.


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Resolución de triángulos cualesquiera 1

SIGUIENTE

Se conocen tres lados : a = 4, b = 4.5 y c = 3. Nº de soluciones: Si existe es única (Existirá si el lado mayor es menor que la suma de los otros lados)

TC-TC

Aplica 1º el teorema del coseno para hallar el primer ángulo. Sería buena idea calcular primero el ángulo opuesto al lado mayor, que es el que puede ser obtuso.

Para hallar el 2º ángulo vuelve a aplicar el teorema del coseno.

Para el 2º ángulo puedes, si prefieres, utilizar el teorema del seno; directamente si ya has calculado el ángulo que puede ser obtuso, si no, empieza calculando el ángulo más pequeño (el opuesto al lado más pequeño) para asegurarnos que es agudo.


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SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo comprendido: c = 3 , b = 4 y A= 60ºNº de soluciones: únicaTC-TC

Aplica el teorema del coseno para hallar el lado a.

Ahora ya conocemos tres lados y podemos proceder como el caso anterior.


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SIGUIENTE

Se conocen un lado y dos ángulos: c = 3.6 , A= 45º y B =105º Nº de soluciones: Si existe es única ( )TS-TS

Determinamos el otro ángulo pues

Con el teorema del seno calculamos los otros lados.

Si A+ B<180º

A+ B+C=180º.


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Resolución de triángulos cualesquiera 4a

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 2 c = 4 A = 45º Nº de soluciones: 0TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo

Si no tiene solución.

C

sen C>1


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Resolución de triángulos cualesquiera 4b

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a= 3 c = 4 A= 35ºNº de sol.: 2TS-TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo

Si tenemos dos soluciones, uno de ellos obtuso.

En cada una de ellas calculamos el ángulo B y con el teorema del seno el lado b.

C

sen C>1


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Resolución de triángulos cualesquiera 4c

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 c = 6 A= 30º Nº de sol.:1TS-TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C.

Si sen C=1, C=90º y por tanto la solución es única.

Aplicando A+B+C=180º obtenemos B y con el teorema del seno el lado b.


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Resolución de triángulos cualesquiera 4d

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 b = 6 A= 30º Nº de sol.:1TS-TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B.

Aplicando de nuevo el teorema del seno obtenemos el lado b.


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Resolución de triángulos cualesquiera 4e

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 c = 4 A= 125ºNº de sol.:0TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C.

Si sen C>1 no tiene solución.


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Resolución de triángulos cualesquiera 4f

SIGUIENTE

Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a=3 c = 2 A= 125º Nº sol.:1TS-TS

Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B.

Aplicando de nuevo el teorema del seno obtenemos el lado b


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Aplicaciones de la trigonometría: T. Rectángulo – Doble tangente

SIGUIENTE

Halla la altura, x, que ha alcanzado la cometa.

sen48º=x

38→ x=38⋅sen38º

Halla la altura, y, del árbol que se encuentra al otro

lado del río. (Método de la doble tangente)

tg 32º=y

15+x

tg 50º=yx

}→15 tg 32º+x tg 32º=x tg 50º

15 tg 32º=x tg 50º−x tg 32º→x=15 tg 32º

tg 50º−tg 32º


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Aplicaciones de la trigonometría: TS – Doble tangente

SIGUIENTE

Hallar la altura, h, de los aviones. (Método de la doble tangente)

Como c=60 →a

sen112º=

60sen38º

→a=60⋅sen112º

sen38º=90,36u

Halla el área del triángulo si C=38º.

Recuerda que , es decir, el

semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido por ellos.

tg 30º=h

2+ x

tg 55º=hx

}→2 tg 30º+ x tg 30º=x tg 55º

2 tg 30º=x tg 55º−x tg 30º→x=2 tg 30º

tg 55º−tg 30º

S= 12a⋅b⋅senC

S= 12a⋅c⋅sen B= 1

290,36⋅60⋅sen30º=1355,4 u2

a

b

c=60


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Aplicaciones de la trigonometría: TS – Doble tangente

SIGUIENTE

Determina la superficie del pentágono, conocido el lado a = 3 m. ¡OJO EL TRIÁNGULO NO ES EQUILÁTERO!

Como a=3 →R

sen54º=

3sen72º

→R=2,55m

Desde un punto a ras de suelo, los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6 m de altura (h), colocado sobre un acantilado, son 38° y 46°. Calcula la altura del acantilado. (Método de la doble tangente)

Llamando x a la distancia observador-acantilado:S= 1

2a⋅R⋅sen54º=1

23⋅2,55⋅sen54º=3,09m2

tg 46º=h+6x

tg 38º=hx

}

h

x


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Aplicaciones de la trigonometría: TC

SIGUIENTE

Para fijar la antena AB, se recurre a los tirantes BC y BD. Si la antena mide AB = 3 m, la longitud del tejado es AC = AD = 11 m, y si el ángulo de la antena con las dos vertientes del tejado es BAD=130º, hallar la longitud que se precisa para los tirantes BC = BD.

Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350 m, y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe ha sido defectuoso y la dirección de la pelota forma un ángulo de 20° respecto de la dirección hacia el hoyo. ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su pelota?

Si x=BC=BD → x2=32

+112−2⋅3⋅11⋅cos 130º=

=12,63m

x

TC : x2=1802

+3502−2⋅180⋅350⋅cos20º=191,05m


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Aplicaciones de la trigonometría: TS

SIGUIENTE

Se desea hallar la distancia entre dos puntos A y B del terreno; A no es accesible y B si lo es. Se recurre a un punto C y se mide CB = 56 m, BCA=55º y ABC=70º. Hallar la distancia AB

Como A=180º−55º−70º=55→x

sen 55º=

56sen55º

x=56m(En este caso se trata de un triángulo isósceles)

56 m


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¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra?

SIGUIENTE

Eratóstenes nació en Cirene ( antigua ciudad griega en la actual Libia) en el año 276 a. C (S III a. C) y se cree que era de origen caldeo. Fue matemático, astrónomo y geógrafo. Alrededor del año 255 a. C fue nombrado director de la Biblioteca de Alejandría por el rey Ptolomeo Evegetes. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y los números primos. Hemos podido conocer algo de sus trabajos, merced a comentarios y citas de otros autores.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría (Egipto), encontró un informe de observaciones sobre Siena (actualmente Asuán, Egipto), ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que esta ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer


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SIGUIENTE

Como hemos dicho sabía que un día determinado, al mediodía, en Siena (actualmente Aswan, Egipto), una ciudad ubicada a una distancia considerable de Alejandría hacia el sur, la luz del sol entraba de forma totalmente vertical dentro de un pozo profundo.

Eratóstenes también sabía que mientras que esto ocurría en Siena, no sucedía lo mismo en Alejandría.

Los rayos del Sol son todos paralelos entre sí, teniendo en cuenta la gran distancia que hay entre el Sol y la Tierra.

Los rayos del Sol entran de modo perfectamente vertical dentro del pozo ubicado en Siena, cuando el sol está exactamente sobre esta ciudad (el 21 de junio al mediodía).

En el mismo momento que en Siena los rayos del Sol entran al pozo como en la figura, en Alejandría los rayos entran formando un ángulo con la vertical; el gnomon (obelisco en la figura) proyecta cierta sombra.

Eratóstenes usó este procedimientoara calcular el perímetro de la Tierra: midió la sombra del gnomon en Alejandría. Conociendo la altura del gnomon, la longitud de su sombra, y la distancia entre Siena y Alejandría, calculó el perímetro terrestre.


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SIGUIENTE

Sabemos que:

●La longitud de arco entre Siena y Alejandría es

Esta distancia era de 5.000 estadios

●El ángulo correspondiente a este arco es

●El ángulo que forman los rayos del Sol con el gnomon es

● por ser ángulos alternos-internos

Este ángulo resulto ser de 7º 12'=7,2º

●El radio de la Tierra es R.

●Los rayos del Sol llegan en forma paralela a la Tierra.

●La longitud de la sombra es

d S−A

α2

α1

α1=α2

l sombra


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SIGUIENTE

d2π R

= α360º

→R=360⋅d2πα

=180⋅dπ⋅α

Conociendo la tangente del ángulo, , y sabiendo que podemos obtener el valor

de con una calculadora.

Por otro lado, la proporción del perímetro total de la Tierra,

, que representa la longitud de arco, d, que une los puntos S (Siena) y A (Alejandría) sobre la superficie de la Tierra, es igual a la proporción que representa el ángulo

respecto del ángulo que da una vuelta entera, 360º.

De aquí se deduce

tg α α<90ºα

2⋅π⋅R

α

R=360º⋅5000 estadios

2π⋅7,2 º=250000estadios

Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160m (actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día.


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SIGUIENTE

Eratóstenes tuvo suerte porque conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente vertical al mediodía.

¿Se podría hacer el experimento sin saber dónde hay un lugar así? Veamos:

Las ciudades, A y B, ubicadas aproximadamente sobre un mismo

meridiano terrestre, están separadas por una distancia, d, en la

dirección norte-sur. Mediremos, el mismo día, el ángulo que

forman los rayos del sol con la vertical al mediodía en cada ciudad,

llamamos a estos ángulos

El ángulo que subtiende el arco que une los puntos A y B es la diferencia entre .

Por lo tanto,

αA y αB

d2π R

=αA−αB

360º→R=

360⋅d2π(αA−αB)


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SIGUIENTE

Proyecto Eratóstenes. Medición del radio de la Tierra

El proyecto consiste en la medición conjunta y simultánea del radio terrestre por parte de docentes y alumnado de escuelas de nivel medio de Latinoamérica. El método de medición está basado en el que usara Eratóstenes de Cirene hace dos mil trescientos años.

El desarrollo del Proyecto Eratóstenes es una propuesta conjunta del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, del Laboratorio Pierre Auger, Universidad Tecnológica Nacional, Regional Mendoza (Argentina) y de la Asociación Física Argentina.

Esta actividad es sencilla, no demanda gastos y es muy rica para desarrollar los temas de Matemáticas, Física, Astronomía, Geografía e Historia. Cada escuela debe registrarse en la web del proyecto y seguir las instrucciones de la medición simultánea prevista para las escuela participantes. Cada cálculo del radio terrestre requiere de al menos dos escuelas que midan sombras y longitudes de gnomones, cada una en su punto geográfico, durante el mediodía solar de un mismo día, cerca de los equinoccios, o eventualmente de días diferentes, cerca de los solsticios.

En este proyecto participan cada año escuelas de Argentina, Brasil, Uruguay, Bolivia, Perú, Venezuela, Colombia y México. La intención de los coordiandores del proyecto es sumar este año escuelas de España y Portugal.

Información Proyecto Eratóstenes: http://df.uba.ar/eratostenes

http://www.astronomia2009.es/doce_miradas/medida_radiotierra.wmv

http://df.uba.ar/eratostenes

http://www.astronomia2009.es/doce_miradas/medida_radiotierra.wmv


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Enlaces de interés

Acertijos matemáticos

IR A ESTA WEB

Problemas matemáticos

IR A ESTA WEB

http://www.acertijos.net/

http://problemate.blogspot.com/












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Actividad: Medición de arcos

Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad7b.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, en la figura de esta actividad aparecen trazadas dos circunferencias concéntricas. Observando los puntos móviles se deben resolver las actividades.Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/mat2/unidad7b.htm



inicio matemÁticas i 1º bach. unidad: 63...

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