initiation à la simulation des grandes échelles de la ......kader, b. temperature and...

Initiation à la simulation des grandes

échelles de la turbulence

Pr. Abbès AZZI

Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed Boudiaf

Faculté de Génie-Mécanique BP 1505 El-Mnaouar, 31000

Oran, Algérie e-mail : [email protected]

url : www.abbesazzi.com

Initiation à la Simulation des Grandes Echelles, Pr. Abbès AZZI

www.abbesazzi.com

Avant propos Ce manuel est conçu en vue d’être utilisé comme support du cours intitulé ‘Méthodes numériques II (Simulation des Grandes Echelles de la turbulence)’ faisant partie de l’enseignement théorique de la première année du diplôme de Magister1 à la faculté de Génie Mécanique de l’USTO2. Les disciplines concernées par ce cours sont ceux de la spécialité Génie Mécanique et Génie Maritime et plus spécialement les options : énergétique, machines thermiques et turbomachines. D’autres options ou éventuellement d’autres spécialités incluant dans leurs cursus l’enseignement des méthodes numériques et modélisation de la turbulence peuvent aussi bien intégrer ce cours dans leurs programmes. Le cours a été préparé durant un séjour post-doctoral financé par l’AUF3 durant l’année 2005 au sein de l’équipe MOST4 du laboratoire LEGI5 appartenant à l’INPGrenoble6. _______________________________________________________________________

1. Le Magister algérien est un diplôme équivalent au Bac+7. 2. Université des Sciences et de la Technologie d’Oran 3. Agence Universitaire de la Francophonie 4. MOdélisation et Simulation de la Turbulence, http://most.hmg.inpg.fr/ 5. Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industrielle,

http://www.legi.hmg.inpg.fr/ 6. Institut National Polytechnique de Grenoble, http://www.hmg.inpg.fr/


www.abbesazzi.com

Remerciement Je tiens à remercier en premier lieu le Pr. Olivier Métais pour son invitation à intégrer l’équipe MOST, son accueil et la réponse à toute mes attentes de ce séjour pos-doctorale. Je remercie aussi le Pr Marcel Lesieur, que je ne connaissais qu’à travers ces nombreuses publications et que j’ai eu l’honneur de rencontrer lors de mon séjour à MOST. Merci à Cécile Münch pour sa patience et sa disponibilité lors de mon initiation avec le code de l’équipe et les nombreux outils qui vont avec. Je remercie Patrick Bégou pour sa constante disponibilité, son grand dévouement à créer un climat sympa dans l’équipe à travers les pauses café et les discussions qui vont avec. Avec lui, j’ai beaucoup appris sur le système Linux et le Latex. Mes remerciements vont aussi à Mohammed Maidi, Guillaume Balarac, Achim Wirth et Souheil Elalimi, des collègues avec qui j’ai passé d’agréables moments. Merci à l’Agence Universitaire de la Francophonie pour le financement de ce séjour et plus spécialement Mme Sophie Villeret, pour sa gentillesse et sa disponibilité.


www.abbesazzi.com

Références bibliographiques Ce cours a été élaboré principalement autour des documents suivants : Métais, O., ‘Turbulence : Modélisation et simulation numérique’, Master mécanique des fluides et transferts, Institut National Polytechnique de Grenoble, 2004-2005. William K. George, ‘Lectures in Turbulence for the 21st Century’, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden. Davidson, D., An Introduction to Turbulence Models, Report 97/2, Dept. of Thermo and Fluid Dynamics, Chalmers, 1977. Les autres références citées par ordre alphabétique : Abe, K., A hybrid LES/RANS approach using an anisotropy-resolving algebraic turbulence model, International Journal of Heat and Fluid Flow 26 (2005)204 –222. Ackermann. C., and Métais, O., A modified selective structure function subgrid-scale model Journal of Turbulence 2 (2001). Antonia, R., Teitel, M., Kim, J., & Browne, L., Low-Reynolds-number effects in a fully developed turbulent channel flow, J. Fluid Mech. 236 (1992), 579–605. Benhamadouche, S., Jarrin, N. and Laurence, D., Lateral velocity fluctuations by Random point-Vortex method, Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, ©2003 Begell House, Inc. Boris, J., Grinstein, F., Oran, E., and Kolbe, R., New insights into Large-eddy simulation. Fluid Dyn. Res. 10 (1992), 199–228. Chassaing, P., Turbulence en mécanique des fluides, Cépadres-éditions, 2000. Chollet, J. P., and Lesieur, L., Parametrization of small scales of the three-dimensionnal isotropic turbulence utilizing spectral closures, J. Atmos. Sci., 38: 2747-2757, 1981. Comte, P., and Lesieur, M., Large-eddy simulation of compressible turbulent fows. In Lecture series Von Karman Institute Belgium,1998. David, E., Modélisation des écoulements compressibles et hypersoniques : une approche instationnaire, PhD thesis, Institut National Polytechnique de Grenoble, 1993. Deardorff, J. W., A numerical study of three dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers, J. Fluid Mech., Vol. 41, (part2), pp. 453-480, 1970.


www.abbesazzi.com

Deardorff, J. W., The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence. J. Fluid Engineering - Transaction of the ASME 95 (1973), 429–438. Dubief, Y., Simulation des grandes échelles de la turbulence de la région de proche paroi et des écoulements décollés, 2000. Thèse de Doctorat de l’Institut National Polytechnique de Grenoble. Fureby, C., & Grinstein, F., Monotonically integrated Large-Eddy Simulation of free shear flows. AIAA Journal 37, 5 (1999), 544–556. Gottlieb, D., and Turkel, E,. Dissipative two-four methods for time-dependent problems. Math. Comp., pages 703–723, 1976. Hébrard, J., ‘Transfert thermique des écoulements turbulents compressibles en conduites : étude par simulation numérique des grandes échelles’, PhD thesis INPG (2004). Hunt, J. C. R., Wray, A. A., and Moin, P., Eddies, stream and convergence zone in turbulent flows. Annual Research Briefs, 1988. Kader, B. Temperature and concentration profiles in fully turbulent boundary-layers. Int. J. Heat Mass Transf. 24, 9 (1981), 1541–1544. Lamballais E, Métais O., and Lesieur M., 1998 Spectral-dynamic model for Large-Eddy Simulations of turbulent rotating channel flow Theor.Comput.Fluid Dynam.12 149 –77 Lesieur, M., Voyage numérique dans l'univers de la turbulence, Séance solonnelle de réception des membres élus en 2003, 15 juin 2004, Académie des sciences. Lesieur, M., Turbulence in Fluids, Stochastic and numerical modelling, Kluwer Academic Publisher, second revised edition, 1990. Lesieur, M., and Métais, O., New trends in Large-eddy simulation of turbulence, Annu. Rev. Fluid Mech., f82, 1996. Lesieur, M., Turbulence in Fluids. Kluwer Academic Publishers, 1997. Lesieur, M., Turbulence et déterminisme, ISBN 2.7061.0777.4 Presses Universitaires de Grenoble, Maidi, M., ‘Etude et contrôle des jets ronds compressible par simulation des grandes échelles’, Thèse de doctorat, INGP, Grenoble, 2004 Métais, O., & Ferziger, J., ‘New Tools in Turbulence Modelling’, Les Houches School, May 21-31, 1996, Les editions de physique, Springer, 1997. Métais, O., and Lesieur, M., Spectral large-eddy simulation of isotropic and stably stratified turbulence, J. Fluid Mech., 239 : 157-194, 1992.


www.abbesazzi.com

Montreuil, E., Simulations numériques pour l’aérothermique avec des modèles sous-maille. Thèse de Doctorat, Université Pierre et Marie Curie (2000). Nicoud, F., and Ducros, F. Subgrid-scale stress modelling based on the square of the velocity gradient tensor. Flow, Turbulence and Combustion 62 (1999), 183–200. Oran, E., & Boris, J. Computing turbulent shear flows - A convenient conspiracy. Computers in Physics 7, 5 (1993), 523. Piomelli U., and Balaras, E., Wall-layer models for large-eddy simulations Annu. Rev. Fluid Mech. 2002. 34:349–74 Salinas, V., M., ‘Simulation des grandes échelles d’écoulements dans les canaux de refroidissement des moteurs de fusée’, PhD thesis INPG (1999). Sergent, M. E. Vers une Méthodologie de Couplage entre la Simulation des Grandes Echelles et les Modèles Statistiques. Phd Thesis, Ecole Central de Lyon, 2002 Smagorinsky, J., General circulation experiments with the primitive equations, Month. Weath. Rev., vol. 93, pp. 99-165, 1963. Tommy Kunhung Kim (2001), A Modified Smagorinsky Subgrid Scale Model for the Large Eddy Simulation of Turbulent Flow, PhD at University of California. Wilcox D. 2001. Turbulence modeling: an over-view, AIAA Paper No. 2001–0724. Washington, DC: Am. Inst. Aeronaut. Astronaut. Yaglom, A. M., ‘A. N. Kolmogorov as a Fluid Mechanician and Founder of a School in Turbulence Research’, Annu. Rev. Fluid Mech. 1994, 26: 1-22.


www.abbesazzi.com

Introduction Pour définir l’état d’un fluide en mouvement, quatre fonctions inconnues doivent être déterminées : les trois composantes du vecteur vitesse et la pression. Ces fonctions doivent être déterminées en chaque point du domaine spatial et à tout instant. Pour cela on a recours aux équations de Navier-Stokes qui relient ces paramètres et qui sont déduites à partir des lois physiques de conservation et des lois newtoniennes du mouvement. Pour que ces équations soient applicables aux écoulements de fluide, il faut supposer que le fluide en question est un milieu continu. L’hypothèse est faite qu’une particule fluide ayant une taille infiniment petite est en même temps très grande par rapport à l’échelle moléculaire. Cette supposition étant faite on peut représenter la trajectoire de la particule fluide par des équations de transport. En examinant les équations de Navier-Stokes deux termes traduisant deux processus assez différents se dégagent. Le terme de diffusion qui est de nature linéaire et représente la viscosité du fluide. L’autre terme qui est de nature non linéaire est le terme inertiel. L’effet de ces deux termes sur la nature de l’écoulement est représenté par le rapport vitesse/viscosité. Le nombre de Reynolds est la représentation adimensionnelle de ce critère. Au delà d’un nombre de Reynolds critique les effets inertiels l’emportent sur la viscosité du fluide et le régime est dit turbulent. Ces équations sont à dérivées partielles, non linéaires et forment un système couplé et n’ayant pas de solution analytique directe sauf bien sur pour des cas particuliers bien simplifiés (principalement en 2D). Toutefois, la communauté des chercheurs croie sans apporter de preuve mathématique en une solution déterministe1. C'est-à-dire que pour un ensemble de conditions initiales et aux limites bien définit la solution existe et elle est bien unique. A défaut de trouver une solution analytique au problème et moyennant le développement récent des capacités de stockage et de calcul la solution numérique prend de plus en plus de l’importance dans l’univers de la recherche et de l’industrie. La technique adoptée consiste en une décomposition du domaine de calcul (discrétisation) qui abouti à un ensemble d’équations algébriques remplaçant les équations aux dérivées partielles originales. Toutefois, à l’état actuel des moyens de calcul cette méthode de calcul directe n’est possible que pour des configurations assez simples et pour des régimes d’écoulement à faible nombre de Reynolds. La difficulté vient des exigences très lourdes sur les pas de discrétisation en espace et en temps. Pour contourner cette difficulté, et lever les contraintes précédentes sur le pas d’espace et de temps une décomposition du champ des vitesses et de pression en une valeur moyenne et une fluctuation instantanée s’avère indispensable. Cette méthode connue sous l’acronyme RANS pour Reynolds Averaged Navier Stokes Equations nécessite l’introduction d’un modèle de turbulence pour tenir compte de toutes les informations perdues lors de l’application de la moyenne aux équations de l’écoulement. Cette technique a été largement exploitée durant les trois décades précédentes sans qu’on puisse proposer un modèle universel satisfaisant pour tous les types d’écoulements sans l’intervention de constantes ad – hoc (Wilcox, 2001). La difficulté vient du fait que la turbulence représentée sous forme de viscosité turbulente est une propriété de l’écoulement et non du fluide. 1 Pour une intéressante discussion autour du terme déterministe, nous invitons le lecteur à consulter l’ouvrage : ‘Turbulence et

Déterminisme’ et plus spécialement le chapitre III, intitulé ‘Les tourbillons dans notre environnement’ par M. Lesieur et le

chapitre VIII, intitulé ‘Le déterminisme : Origines d’un mot, évaluation d’une idée’, par J. Gayon.


www.abbesazzi.com

Les grosses structures tourbillonnaires sont très anisotropiques et sont conditionnées entre autres par la configuration géométrique spécifique de l’écoulement considéré. Récemment et depuis que les moyens de calcul le permettent, une nouvelle technique s’impose de plus en plus même dans le domaine des applications industrielles. En partant des constations précédentes, l’idée est de séparer les échelles de la turbulence pour ne résoudre numériquement que les grosses structures tourbillonnaires et remplacer l’effet des plus petites par des modèles sous maille. La motivation vient du fait que les grosses structures ont un caractère anisotropique et sont responsables de tous les mécanismes d’échange. Le calcul directe des ces tourbillons donne aux résultats plus de crédibilité sans rendre le coût très prohibitif. D’autre part les plus petites échelles qui sont isotropes ont pour rôle principal la dissipation de l’énergie. Cette particularité rend plus aisé la construction d’un modèle universel pour modéliser leur interaction avec les structures calculées. En adoptant cette technique, on ne peut qu’être gagnant puisqu’en plus de leurs caractères isotropes, ces tourbillons sont d’autant plus petits que le nombre de Reynolds est élevé. En introduisant, le modèle on évite énormément d’effort de calcul par rapport au calcul DNS tout en gardant l’aspect déterministe de la solution. Cette technique appelée Simulation des Grandes Echelles (LES pour Large Eddy Simulation) est actuellement de plus en plus reconnus comme une technique complémentaire aux mesures expérimentales pour la compréhension, la prédiction et le contrôle des écoulements turbulents. Elle permet en particulier de visualiser la dynamique des structures tourbillonnaires à grande échelle. Le développement continu des moyens de calcul informatique a fait que l’obstacle sur les tailles-mémoires s’est atténué de lui-même. D’autres part les travaux sur les modèles sous maille modernes basés sur la structure locale et instantanée des plus petites échelles du champ résolu, tel que les modèles de fonction de structure (Lesieur & Métais, 1996), ont fait que la méthode devient de plus en plus compétitive pour aborder des écoulements industriels plus complexes. Ayant eu la chance de passer environ une année en recherche post-doctorale au sein de l’équipe MOST1 du LEGI2, nous avons voulu marquer notre passage par l’élaboration de ce modeste manuel destiné aux étudiants des universités algériennes. Notre idée est de rassembler sur le même document le maximum d’informations utiles, pratiques et simplement exposées sur la méthode de la simulation des grandes échelles. A notre connaissance, à l’état actuel cette technique reste assez méconnue au niveau des laboratoires de recherche des universités algériennes bien que sur le plan matériel on commence à ce doté de plus en plus de machines de calcul performantes. Nous espérons par cette action apporter un élément utile et indispensable pour amorcer une recherche dans ce sens. Au premier chapitre nous exposons des rappels de statistiques et de probabilités que nous estimons indispensable pour la compréhension de la théorie de la turbulence et des techniques de décomposition. Sans vouloir prétendre apporter un chapitre sur le thème assez complexe qu’est la théorie de la turbulence, nous présentons au deuxième chapitre une description sommaire de cette théorie. Juste l’essentiel pour pouvoir aborder le chapitre de la simulation des grandes échelles. Le troisième chapitre rappelle les notions fondamentales de l’approche statistique que l’étudiant est sensé avoir acquis durant son cursus de graduation. Enfin, nous attaquons le vif du sujet du présent cours en présentant la méthode de simulation des grandes échelles au chapitre quatre. Sur le cinquième et dernier chapitre nous exposons en détail l’approche numérique appliquée à un écoulement compressible.


www.abbesazzi.com

Chapitre I : Statistiques et Probabilités

Notions de moyenne Supposons une variable x qui prend n valeurs de façons aléatoire et indépendante. On définit :

La moyenne arithmétique

nN xN

X 1lim

NX La moyenne arithmétique N Le nombre de réalisations indépendantes

nx La valeur de la variable x à la nième expérience

La moyenne d’ensemble x

N

nnx

Nx

1

1lim Pour calculer la moyenne d’ensemble il faut réaliser un nombre infini d’expériences. Malheureusement, en pratique on ne pourra jamais réaliser ce nombre infini d’expérimentations. La moyenne d’ensemble calculée sera toujours tributaire du nombre de réalisations effectuées. On définit aussi : La moyenne spatiale :

D

nDdvx

D1lim

La moyenne temporelle :

T

T nTdtx

T21lim

Sous certaines conditions, on peut identifier la moyenne spatiale à la moyenne d'ensemble. De même pour des réalisations stationnaires, on peut identifier la moyenne temporelle à la moyenne d'ensemble. La fluctuation

Figure 1, Variation instantanée d’une variable x.

x(t)

t


www.abbesazzi.com

Deux fonctions indépendantes peuvent avoir la même moyenne sans toutefois avoir les mêmes valeurs instantanées. Pour faire la part des choses il faut s’intéresser au comportement des fluctuations autour de la valeur moyenne. En examinant les valeurs de nx (figure 1), il découle qu’elles prennent des valeurs aléatoires autour de la moyenne d’ensemble calculée précédemment.

'xxx xxx '

'x Fluctuation

Il est facile de déduire que 0' x , puisque xx

La variance

D’autre part ( 0'2 x ) est une fonction statistique très importante qui sera notée ‘variance’.

2

1

22 1lim'

N

nn xx

Nxxx (I-7)

La variance est égale au moment d’ordre deux moins le carré du moment d’ordre un. La variance comme la moyenne d’ensemble sont deux quantités non mesurables expérimentalement (impossibilité d’effectuer un nombre infini d’expériences). On définit aussi l’écart type comme la racine carré de la variance.

Figure 2, Deux fonctions ayant la même moyenne et la même fluctuation

mais pas le même comportement instantané. Deux fonctions ayant le même comportement instantané auront la même moyenne et la même variance. L’inverse n’est pas toujours vrai. Deux fonctions peuvent avoir la même moyenne et la même variance tout en se comportant différemment (figure 2). Pour les distinguer il faut faire appel à des moments d’ordre plue élevé. Le moment d’ordre m d’une variable aléatoire

N

n

mn

mm xxN

xxx1

1lim'

x(t)

t

x(t)

t


www.abbesazzi.com

Notions de probabilités

Figure 3, Fonction de densité de probabilité

L’histogramme de visualisation d’un événement aléatoire comporte sur l’axe des abscisses toutes les valeurs possibles de l’expérience et sur l’axe des ordonnées le nombre des valeurs enregistrées pour chaque valeur possible divisé par le nombre totale des réalisations (figure 3). La courbe délimitant l’histogramme pour un nombre infini d’expérimentation sera appelée fonction de densité de probabilité (probability density function, pdf). Cette fonction est toujours positive. Connaissant la densité de probabilité on peut calculer les grandeurs statistiques : Espérance mathématique (moyenne):

dxxPxx .

Moment d’ordre deux:

dxxPxx .22

Variance:

dxxPxx .'' 22

Moment d’ordre m:

dxxPxx mm .

Dissymétrie et aplatissement Appelés aussi Skewness et Kurtosis sont deux constantes sans dimension pour caractériser la forme de la fonction pdf.

232

3

Xx

XxS

;

22

4

Xx

XxK

(I-13)

Une pdf de forme symétrique a un skewness nul. Un skewness non nul indique donc une dissymétrie de la pdf. Le Kurtosis indique l’aplatissement de la courbe, plus la fonction pdf est plate plus son Kurtosis est faible. Une distribution gaussienne a un skewness égal à zéro et un kurtosis égal à 3.


www.abbesazzi.com

Souvent ce n’est pas une seule variable qui varie aléatoirement, mais se sont deux ou trois variables comme c’est le cas des trois composantes du vecteur vitesse. Dans ce cas en plus des quantités statistiques définit précédemment il utile de considérer des moments statistiques joint. Pour les deux composantes u et v du vecteur vitesse il existe trois moments de second

ordre2u ,

2v et uv . uv est appelée corrélation croisée, covariance croisée ou tout simplement corrélation.

2u et 2v sont les covariances ou tout simplement variances.


www.abbesazzi.com

Chapitre II : Quelques aspects théoriques

Qu’est ce que la turbulence ? Difficile à répondre, toutefois on peut décrire la turbulence par ces effets perceptibles. O. Métais (2004) dans son cours définit la turbulence par rapport à quatre caractéristiques importantes :

Mise en jeu de phénomènes instationnaires. Écoulement imprévisible d’un point de vue déterministe. Mise en jeu d’une grande gamme d’échelles spatiales et temporelles. Propriétés de mélange accrues par rapport à la diffusion moléculaire.

Dans le cours de William K. George, la turbulence est décrite comme un état d’écoulement de fluide caractérisé par une vorticité tri dimensionnelle chaotique et aléatoire. La turbulence est toujours synonyme d’écoulement tri dimensionnel et non stationnaire. Quand elle existe, ces effets dominent largement tous les autres phénomènes tels que la dissipation de l’énergie, le mélange, le transfert de chaleur et les frottements. Comprendre la turbulence a toujours été un chalenge pour les scientifiques et reste à nos jours un thème assez mystérieux sur lequel on ne dispose pas de beaucoup d’informations. Probablement, la seule et unique théorie exploitable qui existe à nos jours est celle initiée par le célèbre chercheur russe Andrei Nikolaevich Kolmogorov (voir biographie, Yaglom, (1994)). Vu le caractère imprévisible de l’écoulement turbulent, Kolmogorov était convaincu dès le début que l’outil mathématique principal et indispensable pour approcher ce phénomène est sûrement en rapport avec l’étude des statistiques et de la probabilité. L’approche déterministe1 quand à elle, fournit une quantité énorme de données ayant une apparence de comportement aléatoire qu’il est impossible de traiter sans un fondement théorique. Le recours à la théorie des statistiques et de la probabilité est donc incontournable pour traiter le désordre apparent ou réel dans les données. C’est pour cela que nous avons proposé au début de ce cours un chapitre de rappels sur les notions de moyennes et de probabilités. Un peu de théorie : (Théorie de Kolmogorov) En s’inspirant de l’approche de W. K. George, professeur à l’Université de Technologie Chalmers en Suède, on peut commencer par une tentation de description aussi claire que possible d’un écoulement turbulent (anatomie) avant d’essayer de comprendre les mécanismes qui le contrôle (fonctions physiologiques). Dans ce contexte, Leonardo da Vinci’s est probablement le premier à avoir eu recours à une technique de visualisation pour étudier la turbulence. A en croire la figure disponible sur le site de eFluids.com, Leonardo da Vinci’s représente l’écoulement turbulent sous forme de gros tourbillons ayant la taille de l’espace où le fluide peut évoluer sur lesquels viens se superposer un nombre plus important de tourbillons de plus petite taille. Cette description de la turbulence est tout à fait conforme avec la vision


www.abbesazzi.com

moderne décrivant la turbulence comme un ensemble de structures de grandes échelles différentes d’une configuration à une autre. Sur ces structures viens se superposer une turbulence à petite échelle approximativement homogène et isotrope localement.

Figure 1a : Leonardo da Vinci observant la turbulence : jet libre d’eau entrant dans un

bassin (http://efluids.com/efluids/gallery/gallery_pages/da_vinci_page.htm)

Figure 1b : Quelques schémas tirés des notes de Leonardo da Vinci


www.abbesazzi.com

La théorie de Kolmogorov, appelée aussi théorie des cascades d’énergie stipule que grâce à des interactions non linéaires, l’énergie cinétique est transférée à partir des plus grosses structures tourbillonnaires vers les moins grosses. Le phénomène se répètent en cascade jusqu’au plus petites structures dissipatives de Kolmogorov. Ces dernières dissipent l’énergie reçue de façon irréversible en énergie interne de chaleur. Les grosses structures tourbillonnaires reçoivent leurs énergies directement de l’écoulement moyen. De ce fait, l’action de dissipation de la viscosité se manifeste principalement au niveau des tourbillons de Kolmogorov qui sont d’autant plus petits que la viscosité est faible.

Figure 2 : Homogénéité des écoulements turbulents

Pour étudier la turbulence dans son état le plus simple, deux hypothèses très importantes sont introduites : l’homogénéité et l’isotropie. Selon Lesieur (1990), l’homogénéité et l’isotropie sont définit comme suit : Turbulence Homogène veut dire que toutes les propriétés statistiques (moyennées) sont invariantes par translation. Par conséquent, toutes dérivée spatiale des quantités statistiques est nulle. De même qu’un écoulement turbulent stationnaire est invariant par translation temporelle. La Figure 2 montre des exemples de configurations pouvant être supposées homogènes dans deux directions, homogènes dans une direction et non homogène respectivement. Turbulence Isotrope veut dire que les propriétés statistiques sont invariantes pour toute rotation par rapport à un axe.

D’où twtvtu 2'2'2' et 0,0,0 '''''' wvwuvu . Ces deux hypothèses reviennent à dire que pour une THI (Turbulence homogène et isotrope) aucune direction de l’espace n’est privilégiée.

Spectre de l’énergie cinétique de turbulence

Figure 3 : Spectre de l’énergie cinétique de turbulence.

Périodicité suivant x Périodicité suivant x et z

Pas de périodicité


www.abbesazzi.com

La figure 3 montre le tracé du spectre de l’énergie cinétique de turbulence tKE , en fonction du nombre d’onde K . Le nombre d’onde est inversement proportionnel à la

taille du tourbillon ( l1

). En d’autres termes, la figure 3 représente l’énergie cinétique

turbulente contenue dans les tourbillons de différentes tailles. On distingue principalement trois zones différentes. Une première partie (Région I) complètement à gauche correspondant à des faibles nombre d’onde et des grandes échelles de tourbillons. Dans cette zone les tourbillons sont porteurs de la plus grande partie de l’énergie et sont insensible à la viscosité. Une deuxième partie (Région III) complètement à droite correspondant à des grands nombre d’ondes et par conséquent à des faibles échelles de tourbillons. Dans cette zone les plus petits tourbillons dissipatifs sont fortement influencés par la viscosité. Entre les deux zones, on distingue une région (Région II) appelée zone inertielle indépendante aussi bien des grandes échelles que des petites. L’étendu de cette zone est proportionnel au nombre de Reynolds de l’écoulement. Elle est d’autant plus large que la différence entre la taille des grands tourbillons et les petits est grande. La taille des plus gros tourbillons est déterminée par les limites géométriques du domaine de l’écoulement, alors que celle des plus petits est fonction de la viscosité cinématique et du taux de dissipation. Pour une situation d’équilibre le transfert de l’énergie des grandes échelles vers les petites est égal au taux de dissipation en chaleur. L’échelle spatiale des grands tourbillons énergétiques sera notée iL et est fonction de l’énergie cinétique de turbulence et du taux de dissipation ,kLi . L’unité de k étant 22 . sm et celle de 32. sm (énergie/temps). Utilisant une argumentation dimensionnelle du type ( ba

i kL ), l’échelle des grands tourbillons sera exprimée par la formule suivante :

23

kLi Une même argumentation dimensionnelle prenant en compte que l’échelle spatiale des petits tourbillons dissipatifs (de Kolmogorov) est fonction du taux de dissipation et de la viscosité cinématique donne l’expression suivante : (on rappelle que l’unité de la viscosité cinématique est 12. sm )

413 dl

Par la même argumentation dimensionnelle on définit l’échelle de vitesse et de temps des petits tourbillons.

41

dv ; 21

d La zone inertielle traduit l’écart entre les échelles caractéristiques des tourbillons d’où l’importance de quantifier cette différence par le rapport des deux échelles :

413

23

klL

d

i


www.abbesazzi.com

et en injectant l’expression du nombre

it

LkR .21

on obtient :

43

td

i RlL

Si tR est suffisamment grand, la zone inertielle est grande et correspond à une dominance des phénomènes d’inertie sur les effets de viscosité. Cette région est caractérisée par l’énergie transférée à travers le spectre par unité de temps (par exemple ) et la taille des tourbillons ( 1 ), d’où la relation suivante ( baE ). Par analyse dimensionnelle on trouve la fameuse loi de Kolmogorov qui s’écrit :

35

32

, KtCtKE K

Avec 5.1KC constante de Kolmogorov. C’est la loi de la puissance 35 représentant

le spectre de Kolmogorov.

Energie cinétique de turbulence : On intégrant la loi de Kolmogorov sur tout le spectre on doit retrouver l’énergie cinétique de turbulence par :

dKKEk .0

Et puisque la plus grande partie de l’énergie cinétique se trouve dans la première zone (Région I), l’intervalle d’intégration peut être réduit :

222

0 21. wvudKKEk

IK

Taux de dissipation de l’énergie cinétique de turbulence : En partant du principe que toute l’énergie cinétique est dissipée par les tourbillons de Kolmogorov, nous pouvons dire que l’énergie des grosses structures extraite de l’écoulement moyen est égale à . Par conséquent, on peut formuler en fonction des échelles caractéristiques des gros tourbillons (U et iL ). Une grosse structure perd son énergie en faveur d’une autre plus petite durant le temps t. Soit :

tU 2

Ce temps t, qui est en quelques sorte la durée de vie de la grosse structure est lié à ses échelles caractéristiques ( Ul ), d’où

lU 3

Estimation de la puissance de calcul nécessaire pour un calcul DNS: Une simulation directe résolvant toute les échelles spatiales de la turbulence possède ainsi plusieurs degrés de liberté et le nombre de points discret nécessaire pour une solution en simulation directe (3D) est lié au nombre de Reynolds par 49ReN .


www.abbesazzi.com

Les grandes et les petites échelles caractéristiques des tourbillons sont aussi liées à des échelles de temps. Par conséquent une solution complète des équations de Navier-Stokes passe par une discrétisation en espace et en temps. Le pas de temps utilisé est dicté par les conditions de stabilités de la méthode numérique. La condition CFL exige que ii uxt min , où ix représente la taille de la grille de calcul et iu la vitesse ponctuelle. Le minimum est utilisé pour la totalité du domaine de calcul et suivant toutes les directions. Ceci conduit généralement à un pas de temps largement plus petit que la plus petite échelle dissipative. L’autre variante consiste à prendre une échelle d’environ un dixième de la plus petite échelle dissipative. L’intégration doit être conduite sur un temps plus large que la plus grosse échelle temporelle de l’écoulement ULT i . Cette condition est nécessaire pour amortir l’influence non physique des conditions initiales sur la solution finale.

Exemple de calcul ‘DNS’: A titre d’exercice l’étudiant est appelé à estimer le temps de calcul nécessaire pour un écoulement de turbulence modérée ( 410tR ), dans un domaine ayant un étendu de

iL8 sur les trois directions. En supposant qu’on veut utiliser une grille de calcul ayant des mailles de dlx 2 et qu’on dispose d’un calculateur de 1 Gigaflops. Rép :

Estimation du maillage nécessaire pour une simulation numérique directe (DNS) : Le nombre de points de calcul dans une direction sera 4

34428 tdidi RlLlL .

Et pour les trois directions 49

64 tRN points. Estimation du temps nécessaire pour la simulation :

Temps caractéristique des grandes échelles kkti ,

Temps caractéristique des petites échelles 21

, ttd Pour assurer la stabilité il faut respecter la condition de CFL : le plus petit pas de temps correspond au temps nécessaire à la propagation de l’information à travers la maille. On peut aussi simplement utiliser le dixième du temps caractéristique des plus petites

échelles de turbulence, (10

dtt ).

Un temps de calcul global est aussi nécessaire, disons quatre fois l’échelle de temps des grandes échelles de turbulence, ( itT .4 ).

D’où le nombre d’itérations nécessaires 2

122

1

404040

kk

tt

tTM

d

i et

en fonction de tR

21

40 tRM Soit un ordinateur de puissance 1 Gigaflops (1 Giga d’opérations flottante par seconde, après calcul : 1210.31536 opérations par année). Le temps de calcul sera 8..103 MNT années de calcul.


www.abbesazzi.com

La figure et le tableau ci-dessous montrent un exemple de la lourdeur d’un calcul de type DNS.

DNS Le & Moin Re 5100 104 105 106

Nbre de noeuds 9.4 106 42.9 106 7.6 109 1.3 1012 Temps de

calcul Cray Y-MP

1100 h = 46 Jours

7000 h = 292 Jours

3.9 106 h = 450 ans

2.2 109 h = 253 000 ans

Les avantages de la simulation numérique directe sont essentiellement l’effet de ne faire appel à aucun modèle et la disponibilité de toutes les quantités à n’importe quelle position spatiale ou temporelle. L’inconvénient, c’est qu’elle est assez lourde et ne peut être appliquée que pour des faibles nombres de Reynolds et à des configurations géométriques assez simples. C’est pour cela qu’à l’état actuel des choses elle est limitée à la sphère des chercheurs de très haut niveau appartenant à des organismes publics ou semi-publics dotés de très gros moyens de calcul. Le but de ce type de recherche, étant principalement la formulation, le calage et la validation des modèles industriels, l’extrapolation des résultats obtenus à bas nombre de Reynolds pour des configurations plus proches de la réalité industriel et à haut nombre de Reynolds et enfin la compréhension des mécanismes fondamentaux de la turbulence. L’écoulement couche limite sur une plaque plane, en canal, en conduite, la marche descendante et les jets libres sont quelques applications entre autres qui on succité un grand intérêt des chercheurs et ont de ce fait été sujet de plusieurs calculs DNS. La simulation des jets est orientée vers le control des jets suivant les applications considérées. Par exemple en combustion on veut favoriser le mélange alors qu’en acoustique on veut minimiser le bruit par la réduction de l’écartement du sillage du jet. La marche descendante est considérée comme un bon prototype du décollement et du rattachement de la couche limite. Le but étant de contrôler le point de rattachement en manipulant les conditions à l’entrée.


www.abbesazzi.com

Chapitre III : Rappels sur l’approche statistique de la turbulence

L’écoulement d’un fluide newton est décrit par les équations de Navier-Stokes couplées à des conditions aux frontières adaptées. Les termes non linéaires de ces équations caractérisent le transfert d’énergie des tourbillons à grandes échelles vers les tourbillons de taille plus petite. L’approche statistique repose sur l’application d’une moyenne temporelle sur toutes les quantités de l’écoulement.

jjj uUU pPP Où :

tt

tjj dtU

tU

0

0

1lim

Quelques caractéristiques : UU 0u

VUVU VUVU ..

Les équations résultantes appelées équations moyennées de Navier Stokes (Reynolds Averaged Navier Stokes, RANS) font apparaître une nouvelle inconnue, d’où le problème de fermeture faisant appel à la modélisation de la turbulence. Beaucoup d’informations sur l’écoulement seront contenus dans ce nouveau terme appelé tenseur des contraintes de Reynolds. Les modèles proposés doivent être formulés en fonction des valeurs moyennes de l’écoulement. L’avantage de cette opération est que la solution devient ainsi plus lissée et nécessite un nombre de point largement plus petit que la méthode directe. Par contre la modélisation du tenseur des contraintes turbulentes introduit une source d’erreurs importante dans la description de l’écoulement. Les modèles du premier ordre reposent sur l’hypothèse de la viscosité turbulente de Boussinesq qui lie le déviateur des contraintes turbulentes au déviateur du tenseur de déformation.

k

l

l

kijkltij x

Ux

URdev

La première hypothèse pour simplifier le problème étant de considéré une viscosité isotrope. Ainsi en assurant une trace nulle pour le déviateur du tenseur de Reynolds, l’équation précédente s’écrit :

i

j

j

itijjiji x

UxU

uuuu212

31 ''

0''

0


www.abbesazzi.com

Cette hypothèse est le principal handicape de ce type de modèle, puisque une viscosité isotrope n’est valide que pour les plus petit tourbillons. Les grandes structures turbulentes sont largement non isotropes. La deuxième hypothèse est inspirée de la théorie cinétique des gaz stipulant que la viscosité turbulente est égale à un parcourt moyen de mélange que multiplie une vitesse d’agitation.

tmt ultx , Une autre formulation plus pratique de cette hypothèse consiste à tenir compte du fait que la viscosité turbulente dépend essentiellement de l’énergie cinétique de turbulence et de son taux de dissipation. Une analyse dimensionnelle de type

bat kC donne

l’expression suivante :

2kCt

Près d’une paroi solide on distingue la sous couche visqueuse ( 5y , yU ), la zone logarithmique ( 10030 y ) et le sillage loin de la paroi ( 100y ). La région ( 305 y ) est une zone tampon. L’équation exacte du transport de l’énergie cinétique de turbulence k :

222''

21

21 wvuuuk ii

Elle est obtenue en soustrayant l’équation instantanée de la vitesse de son équation moyennée, en multiplie par iu et enfin en introduit une moyenne.

ndissipatiovisqueuxtermepressionladeetvitessesdesnfluctuatiolaparDiffusionroductionPconvectionpartransportaireinstationnTerme

Production : yU

uv

toujours positive et importante pour les grosses structures

tourbillonnaires (Région I).

Dissipations : j

i

j

i

xu

xu

''

. de valeur importante pour les petites structures

tourbillonnaires (Région III). Dans la zone logarithmique règne un équilibre entre production et dissipation de la

turbulence, d’où: j

i

j

i

xu

xu

yU

uv

''


www.abbesazzi.com

Dissipation par fluctuation de la vitesse et de la pression (grandes échelles):

'

21 vk

yuvupv

y ii

sera remplacé par

yk

y k

t

(Loi de Fourier).

Le terme en pv sera simplement négligé.

Le terme visqueux :

yk

y comptabilisé avec le terme précèdent et moyennant

une viscosité apparente prendra la forme suivante

yk

y k

t

.

Enfin, L’équation de transport de l’énergie cinétique de turbulence k s’écrit:

kk

t Pyk

yykU

xkU

L’équation de transport du taux de dissipation de la turbulence

ji

ji

j

i

j

iijij xx

uuxu

xudd

''2''

'' .2

Pour les écoulements à haut nombre de Reynolds, en supposant une turbulence homogène toutes les dérivées spatiales des quantités turbulentes s’annulent. D’où:

j

i

j

i

xu

xu

''

.

L’équation de transport du taux de dissipation sera écrite par analogie :

211 CPC

yyyU

xU

kt

Une échelle de temps égale à k est introduite pour garantir la concordance en dimension.

21 CPCkyyy

Ux

Uk

t

Détermination des constantes du modèle:

C et 1C sont calibrées suivant des considérations de couche limite alors que 2C est estimée par rapport à l’atténuation de la turbulence loin d’une grille type ‘nid d’abeille’.


www.abbesazzi.com

C : Dans la zone logarithmique, les deux termes les plus important dans l’équation de k sont essentiellement la production et la dissipation et en plus ils sont en équilibre. Les autres termes sont négligeables.

kP0

2

yU

t , tt yU

2

,

22 kCuv ,

kuv

C 21

Les mesures expérimentales donnent un rapport kuv égale à 0.3, d’où la valeur de 09.0C

2C : Dans une soufflerie, pour créer la turbulence on place une grille ‘nid d’abeille’

afin de créer des gradient xU

et zU

. Loin de la grille la turbulence s’atténue,

l’écoulement s’uniformise, les gradients s’annulent et le terme de production dans les équations de k et de ainsi que la diffusion deviennent négligeables. Les équations de transports s’écrivent :

xkU

kC

xU

2

2

On supposant que l’atténuation de la turbulence suit une loi du type mxCk , l’équation de k donne 1

mmxCU qu’on injecte dans l’équation de pour trouver mmC 12 .

Les mesures expérimentales donnent 06.025.1 m , ce qui donne 92.12 C .

1C : Dans la zone logarithmique, en plus de la production et de la dissipation dans l’équation de , le terme de diffusion prend une valeur importante.

210 CPCkyy k

t

Plusieurs manipulations de cette équation permettent d’écrire

2

1

2

21C

CC qui

donne la valeur 0.11 C Les constantes ( 0.1k ) et ( 3.1 ) sont déterminées par des considérations d’optimisation du calcul numérique.


www.abbesazzi.com

Du fait que le modèle k est calibré par rapport à des écoulements cisaillés il comporte plusieurs faiblesses. La production de la turbulence est complètement faussée dans les zones des points d’arrêt où le gradient longitudinal de la vitesse prend des valeurs importantes contrairement à ce qui se passe dans une couche limite où ce gradient est complètement absent. Le modèle ne marche pas bien pour les écoulements à forte courbure faisant intervenir une forte anisotropie. Le cas des conduites à section droite carrée est aussi un cas problématique pour le model. Les écoulements secondaires dans les coins du canal ne sont pas captés. Le modèle k est basé sur une nouvelle variable k* ayant la dimension 1s .

kPyk

yykU

xkU

kk

t

*

kCPCkyyy

Ux

U t21

La viscosité turbulente est calculée par : kt Les modèles de second ordre font intervenir des équations de transport pour chaque composante du tenseur de Reynolds. Une hypothèse sur l’isotropie du taux de dissipation est introduite avec justesse puisque la dissipation intervient principalement au niveau des petits tourbillons qui ont justement la caractéristique d’être isotrope.

ijk

i

k

iij x

uxu

.32.2

''


www.abbesazzi.com

Chapitre IV : La Simulation des Grandes Echelles, SGE (Large Eddy Simulation, LES)

Récemment et grâce au développement spectaculaire des moyens de calcul, une nouvelle approche appelée Simulation des Grandes Echelles (en anglais, Large Eddy Simulation), à mi chemin entre la méthode de calcul directe et la résolution des équations moyennées est entrain d’être de plus en plus utilisée. D’après Chassaing (2000), les premiers résultats obtenus par cette méthode ont été publiés par Smogorinsky (1963) dans le domaine de la météorologie. Un peu plus tard Deardorff (1970) publia les premiers résultats LES dans une configuration de canal droit. Dans un calcul de simulation des grandes échelles on prend en compte les fluctuations de l’écoulement dans le temps tout en distinguant les différentes échelles. L’objectif est atteint par l’utilisation d’un filtre spatial permettant de simuler d’une manière déterministe les tourbillons de taille supérieur au filtre imposé et ne modéliser que les tourbillons de taille plus petite. L’avantage d’une telle technique est la réduction appréciable du nombre de points de discrétisation nécessaire par rapport à celui exigé par la méthode de calcul directe. Les équations issues de cette filtration seront appelées les équations filtrées de Navier-Stokes. Elles ont la même forme que les équations RANS avec un tenseur des contraintes sous maille (SubGrid Scale stress tensor, SGS) au lieu du tenseur des contraintes turbulentes. Du fait que la plupart des échelles de turbulences sont calculées directement et seulement les échelles sous mailles sont modélisées, le tenseur SGS prend moins d’importance que le tenseur de Reynolds. Par conséquent, des modèles assez simples peuvent être utilisés. Depuis le premier modèle de Smagorinsky (1963), la méthode est actuellement en développement continu en vue d’être intégrée dans le calcul des écoulements industriels. A la différence des méthodes statistiques qui ne fournissent que des valeurs moyennes, la simulation des grandes échelles donne un accès direct aux tourbillons et structures cohérentes permettant d’interpréter les statistiques calculées (Lesieur, 2003). La méthode ‘LES’ est incontournable à chaque fois qu’on a besoin d’accéder aux quantités instantanées de l’écoulement comme par exemple pour détecter les pics de pollution ou prédire les contraintes dues aux chocs thermiques d’un jet chaud impactant une paroi froide. La ‘LES’ permet aussi de valider et calibrer les modèles statistiques de la turbulence pour des nombres de Reynolds largement supérieur à ce que peut faire la ‘DNS’ (Métais, 2005). Les cas tests largement calculés par cette méthode sont essentiellement; l’écoulement dans un canal droit, la marche descendante, l’écoulement dans un canal avec un cube comme obstacle et les jets libres. Plusieurs travaux appliquant la ‘LES’ à une multitude de configurations de plus en plus complexes sont continuellement publiés. Habituellement aussi bien pour la ‘DNS’ que pour la ‘LES’, les chercheurs s’arrangent pour utiliser des domaines d’écoulement assez simple en vue de minimiser au maximum les erreurs de discrétisation liées aux méthodes numériques. Ceci permet l’étude assez précise de certains effets spécifiques de la turbulence et simplifie la procédure de l’interprétation des résultats et des conclusions. Dans cette optique, les méthodes spectrales sont largement utilisées en rapport avec leur grande précision. En 1982, Moin & Kim (1982) publient les résultats de calculs ‘LES’ de l’écoulement incompressible dans un canal à faible nombre de Reynolds. Ils ont été suivi en 1987 par


www.abbesazzi.com

d’autres calculs ‘DNS’ (Kim et al., 1987). Les résolutions utilisées sont très importantes et les méthodes spectrales très précises ont fait que les résultats numériques sont en parfait accord avec les mesures expérimentales y compris pour des corrélations d’ordre élevées. Ces calculs sont devenus par la suite des bases de données très importantes et très utilisées par les chercheurs. Elles offrent l’avantage de permettre aux chercheurs l’accéder directement à toute les grandeurs désirées.

Les Equations filtrées de la turbulence L’état d’un fluide incompressible en mouvement est décrit par le champ de la vitesse et de la pression relié par les équations instantanées de Navier-Stokes

,1 2

jj

i

ij

ij

i

xxu

xp

xu

utu

,0

j

j

xu

Où et représentent la masse volumique et la viscosité cinématique respectivement. L’intérêt de l’application d’un filtre est de laisser passer les bas nombres d’onde correspondant aux grandes échelles et bloquer les grands nombres d’onde. Pour un filtre de type passe-bas de largeur , le nombre d’onde CK représente la limite entre le champ résolu et le champ modélisé. Toute quantité f scalaire ou vectorielle, sera décomposée en deux parties. La partie résolue et la partie modélisée (sous-maille).

tzyxftzyxftzyxf ,,,,,,,,, ' txftxftxf ,,, '

En appliquant un filtre spatial à une quantité f on obtient l’expression suivante

,,,,3

ydyxGtyftxfR

Où G est un filtre vérifiant la condition suivante

.1,3

ydyxGR

Un filtre qui peut s’écrire sous la forme yxG

est dit filtre homogène d’où :

,,,,33

ydyGtyxfydyxGtyftxfRR


www.abbesazzi.com

Le filtre appliqué doit lisser la fonction pour effacer les petites fluctuations de sorte à pouvoir utiliser une grille de calcul assez grossière pour représenter la quantité f . Ce filtre est de ce fait caractérisé par une largeur correspondant à la taille de la plus petite échelle de longueur qu’il peut capter. Généralement on s’arrange à ce que la largeur du filtre soit égale ou à défaut supérieur à la largeur de la maille de calcul utilisée par la méthode numérique. Les échelles plus petites que le filtre et qui ne sont pas captés par celui-ci seront définit en tant qu’échelles sous maille (SubGrid Scales, SGS)

,' fff La somme du champ filtré et le champ sous maille doit être équivalente au champ de la quantité non filtrée. Contrairement à ce qui se passe avec la méthode RANS, dans la méthode LES on ne moyenne pas sur le temps d’où la dépendance de la variable filtrée aussi bien de l’espace que du temps. Le tableau ci-dessous montre quelques particularités de la moyenne filtrée par rapport à la moyenne temporelle utilisée par la méthode ‘RANS’. Moyenne temporelle (RANS) Moyenne spatiale (LES)

0' fff 0' fff La relation suivante est généralement vraie pour un filtre quelconque

.0' fff L’égalité suivante est vérifiée pour un filtre homogène :

ii xf

xf

Variation instantanée d’une fonction f

Application d’un filtre spatial (LES) Application d’une moyenne temporelle (RANS)


www.abbesazzi.com

Tableau 1: Les filtres Filtre La fonction du filtre Filtre droit dans l’espace spectral (Spectral cut-off Passe-bas)

autrementkif

xG x

01ˆ

iic

iicii yxk

uxkyxG

sin

3,2,1i

Filtre Gaussian

2

221

2

6exp6 xxG

c

ii k

kkG ,

24expˆ 2

3,2,1i Filtre droit dans l’espace physique (Top-hat ou box filter)

autrement

yxyxG ii

ii

0211 3

2

2sin

ˆ

i

i

i

k

kkG

3,2,1i Le tableau 1 représente les trois filtres les plus utilisés par la méthode LES. Dans le cas où correspond à la maille de calcul, le filtre droit dans l’espace physique correspond exactement au filtre implicite associé à la discrétisation d’une fonction. C’est le filtre utilisé par défaut avec la méthode de volumes finis. On note aussi que l’utilisation d’un maillage de densité non uniforme, par exemple raffiné près d’une paroi solide implique une non homogénéité au filtre associé. Ceci est dû principalement à la non vérification de la propriété de commutativité énoncée plus haut. Le filtre gaussien présente l’avantage de garder le caractère gaussien dans l’espace spectral. En pratique le filtre Gaussien et le droit dans l’espace spectral ne peuvent être utilisé que dans les directions homogènes. Ils sont réservés par conséquent aux méthodes spectrales. Propriétés souhaitables pour un filtre: Linéarité et commutativité avec les opérateurs de dérivation aussi bien spatiales que temporelle. Dans beaucoup de cas la commutativité n’est pas toujours vérifiée, mais il est généralement admis que les erreurs introduites sont minimes.


www.abbesazzi.com

Après introduction d’un filtre homogène les équations instantanées de Navier-Stokes seront appelées équations de Navier-Stokes filtrées et prendront la forme suivante

,1 2

j

ij

jj

i

ij

ij

i

xT

xxu

xp

xuu

tu

,0

k

k

xu

Où jijiij uuuuT est le tenseur sous maille SGS contenant les informations des échelles de turbulence plus petites que la largeur du filtre appliqué. Les équations filtrées ci-dessus sont semblables aux équations moyennées utilisées dans la méthode RANS et peuvent normalement être résolus par les mêmes méthodes numériques associées à un modèle SGS. Cependant les équations filtrées contiennent plus d’informations sur l’écoulement que les équations moyennées donnant ainsi moins d’importance au modèle SGS que celle du modèle de Reynolds. Une illustration de la supériorité des équations filtrées sur les équations moyennées est l’identité de Germano qui n’a pas d’équivalence dans la méthode RANS. Cette identité relie algébriquement les contraintes SGS pour différents niveaux de filtres. Cette particularité sera utilisée ultérieurement pour la détermination des constantes du modèle SGS. Naturellement, pour résoudre le système des équations filtrées il faut imposer des conditions aux limites pour les variables iu et p . Le fait que le champ des vitesses et de la pression est moyenné sur les mailles des frontières ajoute une difficulté à la pose des conditions aux frontières qui deviennent non évidentes. D’autre part, le tenseur sous maille SGS peut être modélisé en termes de champ filtré ou à travers des équations de transport. Dans ce contexte toute la stratégie des modèles RANS (modèles de premier et de second ordre, modèles à zéro une ou deux équations) sont applicable ici. Le tenseur SGS peut être décomposé comme suit

jijiij uuuuT

''jjiijiij uuuuuuT

''''jiijjijijiij uuuuuuuuuuT

RCLTij Où L est appelé tenseur de Leonard (1974), C le tenseur croisé (Grande échelle - petite échelle) et le dernier terme R représente les tensions de Reynolds. Question : En considérant l’expression du tenseur sous maille précédente, vérifier que si le filtre possède les propriétés uu et 0' u , le tenseur sous maille se réduit au tenseur de Reynolds. Réponse :

uuuuL uuuu uuuu 0 uuuuC '' uuuu '' 0


www.abbesazzi.com

Ceci montre clairement la différence qui existe entre le tenseur sous maille SGS et le tenseur de Reynolds. Dans une situation idéale toute l’information perdue par l’application du filtre doit être introduite à travers le modèle SGS. Malheureusement, en pratique il est très difficile de formuler une relation exacte entre le filtre et le modèle SGS. La seule façon de mesurer l’effet du filtre sur le modèle SGS et de filtrer ensuite dé filtrer la solution à travers des mesures expérimentales ou des calcul DNS. Dans une situation idéale le filtre est imposé de façon à ce que les grandes échelles de la vitesse sont calculées directement et par conséquent le modèle SGS est indépendant de la structure macroscopique de l’écoulement. Comme il est proclamé en exhibant les avantages de la LES le modèle SGS prend très peut d’importance et normalement des modèles universels peuvent facilement être construit. Malheureusement pour les écoulements à domaine de calcul assez complexe cette condition n’est pas toujours vérifiée à cause des limites de stockage des machines de calcul. De ce fait, une partie relativement importante du champ des vitesses se trouve piégée à l’intérieur des mailles de calcul. Dans une situation pareille, il faut trouver un bon modèle SGS pour reproduire les caractéristiques principales de l’écoulement. Dans la méthode LES, les erreurs viennent aussi bien de la résolution physique déterminée par la largeur du filtre appliqué que du modèle SGS lui-même. Pour cela il est désirable que les erreurs dues à la méthode numérique soient largement plus petites que les termes du modèle SGS. Si par exemple on utilise une méthode numérique à bas ordre il faut s’arranger pour que le filtre appliqué soit plus large que la grille numérique [44]. Cependant, pour un problème donné et un ordinateur spécifique, il faut s’arranger à résoudre le champ des vitesses le plus finement possible et compenser les erreurs dues au champ non résolu par le choix d’un bon modèle SGS. Une fois la grille de calcul fixée, l’utilisation d’un filtre plus large aide à s’assurer que les erreurs du modèle SGS soient plus larges. Dans la méthode LES il est très important de pouvoir différencier l’origine des différents sources d’erreurs. Les modèles SGS Le champ de vitesse résolu par la méthode LES contient plus d’informations que celles contenues dans le champ des vitesses moyennées (RANS). Ce surplus d’informations peut être utilisé dans la formulation du modèle SGS lui-même. Dans le cas d’une turbulence homogène, la tache principale du modèle SGS est de permettre une dissipation correcte de l’énergie du champ filtré vers l’échelle sous maille. Ce but est généralement atteint avec un modèle assez simple tel que les modèles à zéro équation. Les modèles suivants appartiennent à cette classe de modèle : le modèle de Smagorinsky [43], le modèle spectral [13], le modèle mixte [8], le modèle des similarités des contraintes [43] et le modèle de la vitesse estimée [18]. Plusieurs études ont montrées que ces modèles sont dissipatifs et ne peuvent prédirent la dissipation négative appelée communément ‘backscatter’ [10], [58]. Une solution consiste à ajouter un terme ‘stochastic’ au tenseur des contraintes SGS pour modéliser le comportement aléatoire du ‘backscatter’. Plusieurs études [11], [46], [58] ont montré une nette amélioration du modèle SGS modifié par cette technique, surtout près des parois solides où apparaît le phénomène du ‘backscatter’. Pour identifier le mécanisme d’interaction entre les grandes échelles de la turbulence (calculées) et les petites échelles (modélisées), il faut écrire des équations de transport


www.abbesazzi.com

pour chacune d’elles. Cette interaction se manifeste sous forme d’échange d’énergie, dissipation de l’énergie et sa redistribution dans l’espace (voir cours de Métais, 2005).

L’énergie cinétique des grandes échelles : 22 iiuuq

V

j

i

j

i

IV

jjiij

j

P

j

iij

II

jj

I

xu

xu

xqupu

xxuuq

xtq

sm

2

0

22

21

L’énergie cinétique des petites échelles : 22 ijsmq

V

j

i

j

i

j

i

j

i

IV

j

smiiiijjiijii

j

P

j

iij

II

jsmj

I

sm

xu

xu

xu

xu

xquppuuuuuuuu

xxu

uqxt

q

sm

2

0

22

2121

L’examen des deux équations de transport précédentes révèle que le terme de communication entre le transport des deux échelles est bel et bien la production sous maille smP qui apparaît dans les deux équations affectée de signe différent, ce qui est produit dans l’une est capté dans l’autre.

i

j

j

iij

j

iijsm x

uxu

xuP

21

Si txPsm , est positive, l’énergie est transférée à partir des grandes échelles vers les échelles sous maille. Ce phénomène complètement compatible avec la théorie de Kolmogorov est appelé ‘Forward scatter’. Dans des situations particulières (par exemple, deux tourbillons se joignent et forme un seul grand tourbillon), un phénomène inverse peut exister. Dans ce phénomène appelé ‘Backward scatter’ le terme txPsm , est négatif et le transfert d’énergie se fait des échelles sous maille vers les grandes échelles.

Fermeture des équations de transport Par analogie aux méthodes utilisées avec les équations moyennées RANS, on utilise l’hypothèse de la viscosité turbulente et de la diffusivité turbulente pour fermer les équations filtrées.

ijti

j

j

itijij Dtx

xu

xutxTuT ,2,

31


www.abbesazzi.com

Contrairement à la modélisation statistique où toutes les échelles de la turbulence sont modélisées, ici on ne modélise que les échelles sous maille qui acceptent facilement l’hypothèse d’isotropie de la viscosité turbulente. Les équations fermées s’écrivent :

,1

i

j

j

it

jiji

j

i

xu

xu

xxPuu

xtu

TupP 031

,0

j

j

xu

De même pour l’hypothèse de diffusivité on retrouve l’équation suivante :

,

jtC

jj

j xxu

xt

Faiblesses de l’hypothèse de viscosité turbulente L’isotropie : Déjà mentionné précédemment, bien que ce ne soit pas une faiblesse aussi importante que dans le cas de la modélisation statistique. La non séparation entre les grandes et les petites échelles : Dans la théorie cinétique des gaz (milieux continus), l’hypothèse de la viscosité moléculaire est basée sur la considération d’une échelle suffisamment grande par rapport à l’échelle moléculaire. Cette séparation existe physiquement pour approuver cette théorie. Dans le cas de la viscosité turbulente cette séparation n’existe pas puisque le spectre de la turbulence est continu. Hypothèse de longueur de mélange : L’hypothèse de la viscosité turbulente étant retenue, il faut trouver une formulation pour la viscosité turbulente. Toutes les variantes utilisées dans les équations moyennées peuvent être envisagées. L’hypothèse la plus simple étant celle de longueur de mélange

*, ultx mt Pour la longueur caractéristique des échelles sous maille ml , la taille du filtre est la proposition la plus naturelle et la plus simple à retenir. Reste à déterminer la vitesse d’agitation caractéristique *u . Une première proposition consiste à poser

smku *

avec

txutxutxk iism ,,21, ''


www.abbesazzi.com

et enfin écrire une équation de transport pour smk Dans cette dernière équation le terme de dissipation sera fermé par la formule suivante

23''

' , sm

j

i

j

ism

kxu

xu

tx

Cette procédure comportant une équation supplémentaire à résoudre est assez lourde et peu utilisée. On lui préfère des procédures sans équations à résoudre et par conséquent plus simple.

Le modèle Smagorinsky, 1963 : Le modèle sous maille est supposé modéliser la turbulence dans la zone inertielle (II), où la turbulence pour les grands nombres de Reynolds est indépendants aussi bien des grands tourbillons de la zone (I) que des plus petites structures de la zone (III). Dans la zone inertielle, la turbulence dépend essentiellement du taux de dissipation et de l’échelle intégrale de la turbulence.

D’où : bSa

sgs C L’analyse dimensionnelle donne la relation suivante

343

1 Ssgs C

Et en introduisant l’hypothèse de l’isotropie de la dissipation et de l’équilibre

ijijsgs SS2 D’où :

ijijsgsSSsgs SSCC 2443

SCSsgs2

Où ( ijij SSS 2 ) représente le module du tenseur de déformation et SC la constante de Smagorinsky. Pour simplifier nous dirons que le modèle de Smagorinsky est basé sur trois hypothèses importantes (Cours de Métais, 2005):

Hypothèse de viscosité turbulente Hypothèse de longueur de mélange La longueur caractéristique correspond à l’échelle intégrale des échelles sous

maille. Détermination de la constante SC : Dans le modèle LES de Smagorinsky il n y a qu’une seule constante à déterminer ce qui représente un grand avantage (Dans le modèle statistique k il faut déterminer cinq constantes).


www.abbesazzi.com

En partant d’une hypothèse de turbulence homogène isotrope (THI) et en utilisant le symbole . pour les moyennes d’ensemble, le taux de dissipation de l’énergie cinétique résolue (de 0 au nombre d’onde CK ) est donnée par :

CK

ijijt dKKEKSS0

22.2

Loi de Kolmogorov dans la zone inertielle : KCKEK 3

4

32

43.

smKijij CSS

d’où 232

232

3

.34

ijijKsm SSC

L’hypothèse d’équilibre introduit :

23

22232 .2.22.2 ijijSijijijijSijijtsm SSCSSSSCSSP

En égalisant avec l’expression de la dissipation précédente, on trouve

23

2343

231

ijij

ijijKS

SS

SSCC

Tenant compte de la constante de Kolmogorov ( 5.1KC ), on calcule la constante de Smagorinsky ( 17.0SC ). Bien que ce soit la valeur théorique de la constante de Smagorinsky, beaucoup d’auteurs chercheurs proposent d’autres valeurs pour des cas d’applications bien spécifiques (Deardoff, 1973). Pour un maillage uniforme et isotrope, la largeur du filtre est choisie proportionnellement à la largeur de la grille. Dans le cas d’un maillage non isotrope la formule suivante est souvent utilisée

,31zyxeq

Faiblesses du modèle Smagorinsky

1. Comportement trop dissipatif

2. Comportement incorrect en région proche paroi En effet dans la zone proche paroi il existe une sous couche visqueuse d’épaisseur 5y à caractère laminaire où la relation suivante est vérifiée yu .

Avec *uuu

et 00

*

y

ydud

u

Un développement en séries de Taylor près des parois donne les relations suivantes :


www.abbesazzi.com

....,,,.,,,.,,,,,, 33

221 ytzyxaytzyxaytzyxatzyxu

....,,,.,,,.,,,,,, 33

221 ytzyxbytzyxbytzyxbtzyxv

....,,,.,,,.,,,,,, 33

221 ytzyxcytzyxcytzyxctzyxw

En appliquant l’équation de continuité il découle que 0,,,1 tzyxb

D’où la conclusion suivante : yu ; 2 yv et yw Dans la formulation du modèle de Smagorinski

122

12212112 ..2.,.2 SSCStxuvvuuuuuT St

Quand 0y , 012 T puisque le terme 12S aura une valeur finie en relation avec la variation linéaire de la vitesse près de la paroi. Alors que suivant ce qui a été dit précédemment 312

yT et doit s’annuler rapidement. Sur le plan pratique le modèle Smagorinsky présente les faiblesses suivantes : Nécessité d’utiliser une fonction d’amortissement (type van Driest) dans la zone proche paroi. La constante dépend du type de l’écoulement. L’effet du modèle ne s’atténue pas dans les régions laminaires de l’écoulement Comme solution deux propositions existent :

Relier l’échelle de distance à une fonction d’amortissement de type loi de Van Driest 251

yeyf . Cette technique permet d’annuler la viscosité turbulente sur la paroi. Toutefois, cette solution ne résout pas les problèmes de relaminarisation observés dans la zone de transition sur une plaque plane

Proposer une formulation de la constante yCS en fonction de la position spatiale. C’est la variante appelée modèle dynamique.

La version dynamique du modèle est supposée éviter ces faiblesses. La constante est calculée localement est instantanément et il n y a plus besoin d’utiliser une fonction d’amortissement dans les zones proche paroi. Sur le plan pratique le calcul de la constante peut aboutir à des valeurs négatives qui peuvent provoquer des instabilités dans l’avancement de la simulation numérique. Ceci se traduit par des contraintes encore plus lourdes sur le pas de temps assurant la stabilité des calculs. D’autre part pour une configuration d’écoulement donnée l’utilisation du modèle standard de Smagorinsky affecté de la constante optimale s’avère plus précis que l’utilisation de la version, dynamique. Dans une tentative assez récente, Nicoud & Ducrous (1999) ont proposé un modèle basé sur une combinaison judicieuse des opérateurs des tenseurs de déformation et de rotation. Le modèle baptisé WALE ((Wall-Adapting Local Eddy-Viscosity) possède un comportement asymptotique près des parois solides.

3. Absence du ‘backscatter’ : On a : ijijtijijsm SSSTtxp 2.,


www.abbesazzi.com

Avec une viscosité turbulente positive, la production sous maille est toujours positive et l’énergie aura toujours un seul sens, celui des grandes échelles vers les plus petites. Ce phénomène qui est globalement vrai peut exister en sens inverse localement.

Modèle sous maille de similarité : La formule exacte du tenseur sous maille comporte le terme inconnu

jiuu . L’idée de base de ce modèle est de supposer la similitude suivante ii uu , ce qui permet d’écrire :

''''jiijjijiji

Simij uuuuuuuuuuT

RCLT Simij

''jiuuR

''ii uu

jjii uuuu

jjii uuuu

jjii uuuuC ''

jjii uuuu ''

jjjiii uuuuuu

jiji uuuuL

D’où RCLT Simij ===> jiji

simij uuuuT ..

Le tenseur sera complètement définit par le champ filtré. Pour vérifier l’existante d’une bonne corrélation entre le tenseur sous maille et le tenseur des déformations longitudinales auquel il est lié par ijtij ST 2 On fait des calculs DNS, qu’on filtre et compare à ce que donne le modèle sous maille en question. Le tracé sur un graphe devrait donner naissance à un nuage de point dans la direction de la bissectrice. Les tests ont montrés un mauvais comportement du modèle de Smagorinsky alors que le modèle de similitude témoigne d’une bonne corrélation. Malheureusement, ce modèle présente le grave défaut de ne pas dissiper (ou peu) l’énergie à grande échelle.

Le modèle mixte Ce modèle propose une formulation tenant compte du modèle de similitude pour son bon comportement et une formulation Smagorinski pour la dissipation.

ijSjijimixte

ijij SSCuuuuTT ...2.. 2


www.abbesazzi.com

Le modèle dynamique L’idée de ce modèle est de proposé une formulation spatio temporelle de la constante txCS , . L’idée a été avancée par Germano en 1992 à l’Université de Stanford et passe par une procédure de double filtrage. L’application d’un premier filtre de largeur donnant naissance à un champ filtré noté u sera suivi d’un autre filtrage de largeur de maille , avec 1 et donnant naissance à un autre champ noté u~ .

Le tenseur inconnu dans les équations de Navier-Stokes aura la forme iijiij uuuu ~~ (le deuxième terme est superposé de tild : j’ai mis barre parce que ça n’existe pas avec le Word). Le tenseur connu sera noté ijijjiij uuuu ~~

Le tenseur sous maille : jijiij uuuuT .

jijiij uuuuT .~

L’identité de Germano s’écrit : ijijij TT ~

Et en utilisant le modèle de Smagorinsky

ijijijij CSSCTuT ..2....2.31 2

ijijijllij CSSC ..2~

.~

...2.31 2

ijijijllijdevij CC ..2..2

31

Finalement on se retrouve avec cinq équations pour une seule inconnue, ce qui pose problème. Pour surmonter cette complication, il a été supposé que csteC d’où :

ijij cc ~.

C’est une hypothèse assez forte puisqu’on sait que la constante C a une forte variation en temps et en espace.

ijijijijllijdevij txCCC .,.2~..2..2

31

avec ijijij ~

L’avantage du modèle dynamique réside dans le fait qu’il n y a plus aucune constante à définir avant de commencer les calculs. Le modèle est aussi capable d’atténuer la viscosité dans les régions laminaire de l’écoulement. Finalement, ce modèle autorise le phénomène du back scatter. Parmi ces faiblesses, il a été trouvé que la constante de Smagorinsky calculée est étroitement lié à la largeur du filtre utilisé alors que le modèle est calé sur une indépendance entre ces deux paramètres. Une autre faiblesse réside dans le fait qu’en autorisant le backscatter, le processus peut diverger si une valeur négative de la viscosité persiste assez longtemps et dans une zone assez large du domaine de calcul. Une astuce consiste à imposer une limite inférieur pour stabiliser les calculs (T., K., Kim, 2001)


www.abbesazzi.com

Méthode de contraction de Germano Approche des moindres carrée

2

.21,

ij

ijdevijtxC

Dans cette formulation, rein n’empêche la constante C de prendre des valeurs négatives et par conséquent capter le phénomène du ‘backscatter’. Par contre la viscosité turbulente négative peut engendrer des instabilités numériques. Une des alternatives pour contourner ce problème est de faire des moyennes sur les directions d’homogénéité de la turbulence. Ou encore des moyennes suivant les trajectoires de la particule fluide. Modèle à une équation de transport : Par analogie à l’équation de transport de l’énergie cinétique de turbulence dans la méthode RANS, on peut construire l’équation de transport suivante :

23sgs

kj

sgssgsg

jsgsj

j

sgs kCP

xk

xku

xtk

sgs

21sgsksgs kC ijijsgsk SSP

sgs2

La détermination de la constante C se fait à travers la loi 35 de Kolmogorov.

23sgskC

3223

23

sgs

sgs

kCCk

D’où 23

23

CC .On utilisant la valeur de 5.1C on trouve 93.0C

En remplaçant 2

S et sgsk par leurs expressions respectives on trouve

343234

2132

23

23 CCCk

D’où 094.023 23

CCk

Modèle dynamique à une équation de transport : L’instabilité numérique du modèle dynamique de Germano et al. (1991) cité un peu plus haut est généralement contournée par l’homogénisation suivant certaines directions spécifiques de l’écoulement. Malheureusement, pour les écoulements industriels cette homogénité directionnelle peut ne pas exister. Ainsi le modèle dynamique à une équation est formulé pour surmonter cette difficulté.


www.abbesazzi.com

23sgs

kj

sgseff

jsgsj

j

sgs kCP

xk

xku

xtk

sgs

ijsgsk SkPsgs

212 21

hom2 sgseff kC

Quelques développements récents: Dans ce qui suit nous allons présenter des nouveaux types de modèles sous maille développés et utilisés par l’équipe MOST du LEGI.

Modèle de la viscosité turbulente spectrale : Ce modèle développé par Chollet et Lessieur (1981) est basé sur la théorie EDQNM. La viscosité turbulente est reliée à l’énergie disponible à la coupure tkE c , , et au nombre d’onde de coupure ck par :

21,

,

c

c

ct k

tkEkktk

Où

ck

k est une fonction approximativement constante et vaut 267.0 quand 0k .

Elle vaut 1 quand ckk . Sous cette forme, la formule n’est applicable que pour la turbulence homogène, lorsqu’on utilise l’espace spectral pour résoudre les équations de Navier Stokes.

Modèle de la fonction de structure : A partir de la formulation précédente, Métais et Lesieur (1992) ont proposés une transposition dans l’espace physique

21

23 ,32,

c

cKt k

tkECtx

Où 4.1KC est la constante de Kolmogorov. Dans le cas d’une turbulence homogène et isotrope, ckE est calculée par :

rtxutrxutxF ,,,,2

Où l’opérateur . désigne la moyenne d’ensemble.

21

223 ,,~105.0, txFCtx Kt

Où txF ,,~2 est calculée par :

2

,,1,,

2

,,,,1,,2~~~~

61,~

kjikjikjikjikji uuuutF

2

,1,,,

2

,,,1,~~~~

kjikjikjikji uuuu

2

1,,,,

2

,,1,,~~~~

kjikjikjikji uuuu


www.abbesazzi.com

Ce modèle a été utilisé avec succès à la simulation de la turbulence homogène et isotrope (Métais et Lesieur, 1992). Toutefois, en raison de sa sensibilité aux grandes échelles, il a été constaté qu’il était très dissipatif pour certains écoulements transitionnels ou quasi-bidimensionnels. L’approche dynamique du modèle de Smagornsky évoquée un peu plus haut et qui consiste à une utiliser un double filtrage pour ajuster localement et à chaque incrémentation temporelle la constante SC , peut aussi bien être utilisé avec le modèle de la fonction de structure (Lamballais & Métais).

Modèle de la fonction de structure sélective : En 1993, David a proposé une version dite ‘sélective’ du modèle de la fonction de structure. Cette variante du modèle consiste à faire agir la viscosité turbulente uniquement dans les régions où l’écoulement est fortement tridimensionnel. Le modèle ne devrait pas agir en régime laminaire ou en début de transition. La technique adoptée consiste à comparer la vorticité locale résolue avec sa moyenne instantanée sur son voisinage. Un haut niveau de turbulence à petite échelle est détecté par l’existence d’un grand angle entre la vorticité locale et la vorticité moyenne. La vorticité moyenne est calculée par :

txxtxxtx ,~,~61,~

11

txxtxx ,~,~22

txxtxx ,~,~

33

La viscosité est alors calculée par :

txxFtxCtxx ssft ,,~,,, 20

Avec

autrement

txsitx

0

,1, 0

0

Où 104.0ssfC et 200

Ce modèle a montré un bon comportement lors de son application aux écoulements dans des canaux à section droite avec chauffage (Salinas, 1999 et Hébrard, 2004). Toutefois, une discussion de ce modèle montre que pour un maillage assez fin où la largeur de la maille tend vers zéro peut induire une égalité entre la vorticité locale et la vorticité moyenne calculée sur les nœuds voisins. Cette égalité peut empêcher le modèle d’entrer en action indépendamment de l’état de la turbulence. En d’autres termes on peut dire que la valeur critique de l’angle de sélection dépend de la résolution locale du maillage utilisé (Ackermann and Méetais, 2001).

Autres Une approche assez astucieuse appelée MILES (pour Monotone Integrated LES) (Oran et Boris, 1993) (Fureby et Grinstein, 1999) tire profit du fait de la similitude entre l’effet diffusif des schémas numériques de convection et le rôle de diffusif escompté du modèle sous maille lui-même. L’idée introduite par Boris et al. (1992) est de n’utiliser aucun


www.abbesazzi.com

modèle sous maille tout en utilisant un schéma numérique décentré pour forcer la diffusion numérique.


www.abbesazzi.com

Chapitre V: Formalisme Compressible Dans ce chapitre nous allons présenter la formulation des équations du modèle mathématique résolus ainsi qu’une approche numérique basée sur la méthode des différences finis. La compressibilité d’un fluide reflète en générale son aptitude à changer de masse volumique sous l’effet du changement de la pression. Cette relation est contrôlée par le module d’élasticité E tel que

0

Ep

L’eau qui est quasiment incompressible a un module d’élasticité d’environ 20000 fois plus grand que celui de l’air. D’après l’équation de Bernoulli, la variation de la pression est reliée au mouvement du fluide par

2

21 Up

Moyennant les deux équations précédentes, un écoulement incompressible vérifiant la relation 10 vérifie l’inégalité suivante

121 2

EU

On introduisant la vitesse du son définit par l’équation de Laplace

0

2

Ea

Et le nombre de Mach définit par

aUM

La condition d’incompressibilité se formule ainsi : 22 M

La principale caractéristique d’un écoulement compressible par rapport à un écoulement incompressible réside dans le fait qu’on ne peut pas séparer les aspects cinétiques et thermodynamiques de l’écoulement. Les équations de quantité de mouvement sont fortement couplées avec l’équation de l’énergie. Pour un écoulement compressible l’équation de l’énergie fait toujours partie du système à résoudre. Les propriétés physiques du fluide sont à priori dépendantes de sa température. Toutefois pour une fourchette de température pas étendue les paramètres PC , VC , Pr et sont considérés comme constantes. Seule la viscosité moléculaire et la conductivité thermique varient en fonction de la température. Pour KT 120 La formule de Sutherland reproduit d’une manière satisfaisante cette variation.

1

10

23

00 STST

TT

TT

Où KT 5.2730 est la température de référence pour laquelle msKgT /10716.1 50

et KS 6.1001 pour l’air.


www.abbesazzi.com

Le nombre de Prandtl pour l’air est généralement égal à 0,71 et jusqu’à ( 6M ) l’air suit le comportement d’un gaz parfait 4.1 . Les effets de gravité liés à la variation de la masse volumique sont introduits par le nombre de Froude

LgUFr

2

Les équations de Navier-Stokes compressibles écrites dans un système de coordonnées Cartésiennes.

GxF

tU

i

i

G

xF

xF

xF

tU

3

3

2

2

1

1

Où U est le vecteur des variables conservatives : TeuuuU ,,,, 321

L’énergie totale par unité de volume: 323

22

212

1 xguuuTCe V

L’effet de gravité qui est supposé parallèle à l’axe 3Ox est introduit par le terme source.

TgG 0,,0,0,0 Les flux dans les trois directions spatiales notés iF sont donnés par :

iijji

ii

ii

ii

i

i

xTueu

uuuuuu

u

F

33

22

11

Pour un fluide Newtonien, le tenseur des contraintes est définit par : ijijij S 2

Où ij est l’indice de Kronecker et ijS est la partie déviatrice du tenseur des taux de déformation

ij

j

i

i

jij U

xu

xu

S

.32

21

Le système est complété par l’équation d’état du gaz parfait

TRp Où VP CCR et VP CC Pour l’air : 11..06,287 KKgJR Tenant compte de l’équation d’état, l’énergie interne par unité de volume s’écrit :

323

22

212

11

xguuupe


www.abbesazzi.com

Adimensionnement des équations On définit les grandeurs de référence suivantes : Longueur *L , vitesse *U , temps ** UL , densité * , température *T , viscosité * , pression *** TRp , énergie *** TRp . Et les nombre sans dimensions suivants :

*

***ReLU

, **

*

*

**

pU

TRU

aU

M , *

2*

LgUF et

*

*Pr

PC

ijiji

iii

iii

iii

i

i

xuS

Mupe

SpM

uu

SpM

uu

SpM

uu

u

F

1PrReRe2

Re21

Re21

Re21

2

3323

2222

1121

Introduction du filtre SGE Après introduction du filtre le système d’équations aura la forme suivante :

GxF

tU

i

i

avec

ijiji

iii

iii

iii

i

i

xT

uSM

upe

SpM

uu

SpM

uu

SpM

uu

u

F

1PrRe1

Re2

Re121Re121

Re121

2

3323

2222

1121


www.abbesazzi.com

et

323

22

21

2

21xguuu

Mpe

En s’inspirant de la méthode utilisée avec les équations moyennées on applique le filtre de Favre (1965) (moyennes pondérées par la masse volumique)

~ ~

Le vecteur des variables conservatives prend la forme :

TeuuuU ~,~,~,~, 321 avec

ijiji

iii

iii

iii

i

i

xTuSMupe

SpM

uu

SpM

uu

SpM

uu

u

F

1PrRe1

Re2

Re121Re121

Re121

~

2

3323

2222

1121

et TgG 0,,0,0,0

L’équation filtrée des gaz parfait s’écrit : Tp ~

Et celle de l’énergie :

323

22

21

2

21xguuu

Mpe

323

22

21

2

21

~xguuu

MTe

La formulation précédente des flux dans les trois directions est quelque peu complexe, puisqu’elle fait apparaître deux types de filtre en même temps. Pour simplifier, on définit le tenseur des contraintes sous mailles par

jijiij uuuu ~~ Que l’on reformule sous forme d’une partie isotrope et une deuxième partie déviatrice :


www.abbesazzi.com

ijuijijuijuijij 31

31

31

D’où:

ijuijjiji uuuu 31~~

Et en remplaçant dans l’expression du flux filtré, on obtient :

ijiji

iijiui

iijiui

iijiui

i

i

xTuSMupe

SMpM

uu

SMpM

uu

SMpM

uu

u

F

1PrRe1

Re2

Re12

31~~

Re12

31~~

Re12

31~~

~

2

33

2

23

22

2

22

11

2

21

L’équation de l’énergie s’écrit :

3321

22~~~

221~

1~ xguuu

MMTe u

On définit une macro température notée et une macro pression , tel que (Metais et Lessieur, 1992):

uM

p 3

2 ,

u

MT

2

1~ 2

L’équation d’état Tp ~ s’écrit:

uM

6

532

Pour les gaz mono atomique, le fait que 35 , annule la contribution de la partie isotrope et simplifie l’équation d’état des gaz parfait qui s’écrit :

L’équation de l’énergie prend la forme suivante :

3321

2~~~

21~ xguuuMe

On introduit le flux de chaleur sous maille par l’expression suivante :

iii ueupeQ ~~ D’où la nouvelle forme du flux filtré :


www.abbesazzi.com

ijijii

iijii

iijii

iijii

i

i

xT

uSM

Que

SM

uu

SM

uu

SM

uu

u

F

1PrRe1

Re2~~

Re121~~

Re121~~

Re121~~

~

2

3323

2222

1121

La fermeture du système se fait par introduction du concept de la viscosité et de la diffusivité turbulente, soit

ijtij S~2 it

ti x

Q

Pr

Le modèle de diffusivité turbulente ci-dessous souffre d’une faiblesse due au fait que la formulation proposée induit une parfaite corrélation de colinéarité entre le flux de chaleur turbulent et le gradient de température résolue. Les données collectées par mesures expérimentales et par calcul direct prouve que ce n’est pas toujours le cas. Ainsi, d’autres modèles plus sophistiqués et autorisant la dépendance du flux de chaleur turbulent suivant les trois composantes du gradient de température résolue ont été proposés. La forme finale du flux filtré est donc :

it

tjiji

itii

itii

itii

i

i

xuSMue

SM

uu

SM

uu

SM

uu

u

F

PrPrRe1~~

Re2~~

~Re

21~~

~Re

21~~

~Re

21~~

~

2

3323

2222

1121

Implémentation numérique


www.abbesazzi.com

Puisque dans la méthode SGE on décompose les variables en une partie GS (Grid-Scale) et une partie SGS (Sub-Grid-Scale), le résultat de la simulation ne dépend pas seulement du modèle SGS mais aussi du schéma de discrétisation utilisé pour calculé la partie GS. Les résultats obtenus par la méthode de simulation des grandes échelles LES sont aussi étroitement liés à l’implémentation numérique du code de calcul. Spécialement pour les configurations d’écoulements assez complexes il ne faut pas que les erreurs dues à la méthode numérique l’emportent sur les erreurs du modèle SGS. Les méthodes spectrales, réputées pour leurs grandes précisions, utilisent le développement d’une fonction dans une base orthogonale. La méthode spectrale, basée sur les séries de Fourier permet de résoudre des problèmes périodiques (conditions aux limites homogènes). On a besoin de passer de l’espace spectral vers l’espace physique et inversement. Pour une quantité xu périodique tel que xuLxu l’expression suivante est vraie

,expˆ xikluxu ll

Où xu est la transformation Fourrier de xu . Dans une discrétisation numérique, un nombre fini de termes N est retenu tel que xuxu N . Dans ce cas la dérivée spatiale de la fonction prend la forme simplifiée suivante

,expˆ xikluikxudxd

l

N

Nll

N

Cette formule présente le grand avantage de ne pas introduire d’erreurs comme c’est le cas dans la méthode des différences finies. C’est ce qui rend la méthode spectrale très précise dans le cas des problèmes à géométries assez simple. Une méthode à différences finies de second ordre introduit une erreur de dérivation de l’ordre de 2x , avec NLx x 2 . Dans le cas d’une turbulence homogène, les séries de Fourier sont appliquées dans les trois directions puisqu’elles sont tous périodiques. Pour le cas de l’écoulement plan sur une plaque, la condition de périodicité n’est pas vérifiée pour la direction perpendiculaire à la paroi. Dans ce cas les séries de Chebyshev [45] remplacent celles de Fourier. D’autre part, pour éliminer les fluctuations du champ de pression une formulation vitesse-vorticité des équations de Navier-Stokes est utilisée à la place de la formulation classique en variables primitives. Concernant la discrétisation temporelle, un schéma implicite est utilisé pour les parties linéaires des équations alors qu’un schéma explicit est appliqué aux parties non linéaires. Le code de calcul développé sera personnalisé en fonction de la machine sur laquelle il sera exécuté. Machines parallèles avec mémoire commune où mémoires séparées et processeur scalaire ou vectoriel.


www.abbesazzi.com

Méthode des différences finies Fig. 4.1 –Volume de contrôle autour du point (i,j,k) Cela revient à résoudre le système de forme conservative suivant :

0

zG

yF

xE

tU

Après discrétisation :

021,,

21,,,

21,,

21,,,

21,,

21

,,1,,

z

GG

y

FF

x

EE

tUU

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kjinkji

nkji

Où t est le pas de temps, et x , y et z sont respectivement les pas d’espace suivant les directions x, y et z. E, F et G représentent, respectivement, les flux selon les trois directions x, y et z. Ceci revient à dire que la variation temporelle de la quantité n

kjiU ,, au point (i,j,k) est

égale au flux total nkjiU ,, à travers la surface du volume de contrôle entourant le point

(i,j,k). Ayant recours au développement en séries de Taylor les valeurs des flux aux facettes du volume de contrôle seront exprimés en fonction du champs calculé au points (i,j,k) suivant l’ordre de précision voulue. Comte et Lesieur (1998) proposent des formulations de schéma précis jusqu’à l’ordre r =7. Un exemple de schéma centré d’ordre deux :

nkji

nkji

n

kjiEEE ,,,,1,,

21 2

121

Un autre schema d’ordre 4. n

kjin

kjin

kjin

kjin

kjiEEEEE ,,1,,,,1,,2,,

21 12

1127

127

121

En générale la discrétisation temporelle est fractionnée sur au moins deux étapes. La première étant le pas prédicteur et la seconde le pas correcteur. Pour des raisons de stabilité et de diffusivité numérique Dubief (2000) propose l’interpolation alternée suivante pour une discrétisation d’ordre deux en espace. Prédicteur :

zGG

ty

FFt

xEE

tUUn

kjin

kjin

kjin

kjin

kjin

kjinkji

n

kji,,1,,,,,1,,,,,1

,,21

,,

Correcteur :


www.abbesazzi.com

zGGt

yFFt

xEEtUUU

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kjinkji

n

kjin

kji

21

1,,21

,,21

,1,21

,,21

,,121

,,,,

21

,,1,, 2222

1

Pour une discrétisation d’ordre quatre en espace, Gottlieb et Turkel (1976) proposent le schéma suivant: Prédicteur :

zGGG

t

yFFF

tx

EEEtUU

nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

nkji

nkjin

kji

n

kji

687

687

687

2,,1,,,,

,2,,1,,,,,2,,1,,,,

21

,,

Correcteur :

zGGGt

yFFFt

xEEEtUUU

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kji

n

kjinkji

n

kjin

kji

687

2

687

2687

221

21

2,,21

1,,21

,,

21

,2,21

,1,21

,,21

,,221

,,121

,,,,

21

,,1,,

En raison du caractère explicit du schéma précédent, deux critères de stabilité doivent être satisfait : Critère CFL (Courant-Fredrichs-Levy) : Ce critère est en rapport avec les termes convectifs de l’équation gouvernante. Il traduit le fait que toute information convectée à la vitesse iu ou cui ne doit pas parcourir une distance, en un pas de temps t une distance supérieure à la taille de la maille de calcul.

max

,,

cw

zcv

ycu

xCt cfl

Où cflC est une constante prédéfinit suivant en fonction de la méthode numérique utilisée et c est la vitesse du son locale. Critère visqueux : Il est de type :

max

222

,,

zyxCt vis

Où visC est une constante à adapté suivant la stabilité des calculs (par exemple : 0.2)


www.abbesazzi.com

Quelques aspects d’ordre pratique

Conditions aux frontières (entrée) Le résultat d’une simulation aux grandes échelles est très sensible à l’état de la turbulence à l’entrée du domaine de calcul, d’où une attention particulière à la prescription des conditions aux limites à l’entrée. Le problème vient du fait qu’il faut continuellement alimenter l’entrée du domaine de calcul par un champ instationnaire représentant le plus fidèlement possible l’état de la turbulence à l’entrée. En général, on dispose du profile moyen de la vitesse débitante. Sur ce profil moyen il faut appliquer une perturbation instantanée en fonction de l’état de la turbulence. Plusieurs variantes sont envisageables : L’application classique d’un bruit blanc à l’entrée (à caractère isotrope) : no production : atténuation.

*

*

*

wwvv

uyfu

1.0 et *u , *v et *w 1,1 Une autre technique proposé par sergent (2002), et adaptée par Benhamadouche et al. (2003), consiste à remplacer le bruit blanc sur le profil des vitesses par une distribution aléatoire de vorticité 2D sur le plan d’entrée. Une méthode plus directe et naturelle est adoptée par l’équipe MOST du LEGI (Salinas, 1999 et Hébrard, 2004). La technique consiste à caler un canal périodique à l’entrée du domaine de calcul considéré. Le caractère périodique du canal permet d’alimenter le domaine de calcul par des conditions à l’entrée plus réaliste que la technique du bruit blanc citée plus haut. La principale contrainte introduite par cette technique réside dans un effort supplémentaire de calcul et de mémoire de stockage engendré par le canal périodique.

Densité de la grille de calcul : Le point le plus critique d’une simulation à grande échelle est probablement lié à la taille et à la qualité de la grille de calcul. La vulnérabilité se fait sentir surtout dans la zone proche d’une paroi solide. Ceci est dû principalement au fait que la technique LES est calée sur l’hypothèse d’une turbulence homogène et isotrope avec une coupure supposée être dans la zone inertielle. Malheureusement, en s’approchant d’une paroi solide les structures turbulente deviennent de plus en plus petites et nécessite l’utilisation d’un maillage raffiné dans cette zone. La taille des structures turbulente diminue non seulement dans la direction perpendiculaire à la paroi mais aussi dans la direction longitudinale et transversale. Du coup il devient assez difficile d’assurer un maillage adéquat. Un maillage assez lâche et fortement anisotrope ne permet pas d’assurer l’hypothèse de la coupure dans la zone inertielle et compromet la validité du modèle sous maille lui même. Il est d’usage de s’assurer que les mailles proches paroi assurent aux moins les conditions suivantes


www.abbesazzi.com

50 x ; 2 y et 20 z (Leschziner, Abe, 2005, Chapman, 1979). Le nombre de points necessaires pour une bonne résolution d’une couche limite turbulente est proportionnel à 8.1Re Lvszyx NNN , ce qui est très proche des conditions de la DNS. D’après Piomelli et Balaras (2002), il a été estimé que pour un écoulement canal à 610Re , 99% des points nécessaires au calcul sont situés dans la zone de la couche limite.

Traitement des résultats de la simulation : La technique de simulation des grandes échelles produit un flux important de données qu’il est très important de savoir exploiter. Les résultats sont sous forme de fichiers instantanés et filtrés des trois composantes de la vitesse, de la pression et de la température en chaque point du domaine de calcul. Deux options s’offrent pour l’exploitation de ces résultats. La première variante consiste à produire des animations et des vues instantanées sur des plans prédéfinit ou encore des iso surfaces tridimensionnelles. La deuxième variante consiste à dé filtrer les résultats pour comparer les champs moyens aux mesures expérimentales disponibles. Dans ce contexte on a recours à la technique des méthodes statistiques. Pour la visualisation on parle souvent de structures cohérentes. Une structure cohérente est définit comme un tourbillon ayant un temps de vie supérieur au temps de retournement local (Lesieur, 1997). Pour identifier les structures cohérentes il est important d’avoir recours à certains outils mathématiques bien spécifiques. L’équipe MOST du LEGI privilégie l’utilisation de l’outil appelé critère Q (Hunt et al. 1988). Le critère Q basé sur le deuxième invariant du tenseur des vitesses. Il comporte une partie symétrique S et une autre partie anti symétrique :

i

j

j

iij x

uxuS

21

i

j

j

iij x

uxu

21

Il est définit par :

22

21 SQ

Du fait de sa définition, une valeur positive du critère Q indique une zone où la vorticité l’emporte sur les contraintes de cisaillement. Ce qui peut être utilisé comme moyen de localisation des tourbillons (structures cohérentes). La figure ci-dessous montre un exemple de visualisation des structures cohérente d’un jet rond compressible effectué par l’équipe MOST (Maidi, 2005).

Isosurfaces instantanées du critère Q colorées par la vorticité longitudinale d’un jet rond

à Mach 0.7 et Re=25000. (Maidi, 2004)


www.abbesazzi.com

La figure ci-dessous montre un exemple de visualisation des tourbillons cohérents colorés par la température

(a) Structures cohérentes (critère Q) en proche paroi dans un conduit à section droite

carré,

Pour pouvoir accéder aux valeurs moyennées, il faut définir aussi bien le temps de simulation nécessaire pour commencer la collecte des statistiques que la durée de l’opération de collecte elle même. Il est évident que les premiers résultats de la simulation sont affecté par les conditions initiales et que la solution ne peut être considère comme quasi stationnaire qu’après un certain temps initial. Pour cela on définit plusieurs échelles de temps : L’échelle de temps acoustique Elle correspond au temps nécessaire à une onde acoustique pour traverser le domaine de

calcul depuis l’entrée principale jusqu’à la sortie principale. Il est définit par : clc

ac

Où Lc est l’échelle de longueur caractéristique correspondant à la plus courte distance entre l’entrée principale et la sortie principale de l’écoulement dans le domaine de calcul et c est la vitesse du son.

Si on définit la fréquence acoustique maxi fmax, l’échelle de temps sera : max2

1far

L’échelle de temps convective C’est le temps de transport d’une perturbation non acoustique entre l’entrée principale et

la sortie principale. Il est définit par : in

cv UAV

Où V est le volume du domaine de calcul, A la surface du plan d’entrée et Uin est la vitesse débitante moyenne. L’échelle de temps de turbulence C’est le temps approximatif de durée de vie de la plus grosse structure

turbulente :,t

tti u

l


www.abbesazzi.com

Le temps de durée de vie de la plus petite structure est définit par : ,c

ctc u

l

Où lc est l’échelle de coupure du filtre imposé. Discussion Normalement, on peut commencer à collecter les résultats pour les statistiques à partir d’un temps acoustique ou convectif. Si la turbulence est générée par la complexité géométrique et qu’il n y a aucune influence thermique, quelques multiples du temps acoustique sont suffisantes pour commencer la collecte des statistiques. Cependant, pour s’assurer que la turbulence engendrée par l’entrée atteint la sortie il faut au moins un temps convectif. Dans le cas de grosses zones de circulations, plusieurs temps sont nécessaires avant de commencer la collecte des statistiques. D’autre part, le temps de collecte des résultats doit durer au moins 10 cycles de la plus basse fréquence du phénomène (acoustique ou turbulent).

Cependant, il est raisonnable de retenir dix fois clc

ac ou dix fois,t

tti u

l .

Description des structures tourbillonnaires dans la zone proche paroi. La dynamique proche paroi, dans la zone 5 < y + < 50, est gouvernée par l’existence de courants longitudinaux de grandes et petites vitesses, appelés streaks en anglais. Les courants à grande vitesse ont tendance à venir impacter la paroi créant un frottement localement plus fort que le frottement moyen. A l’inverse, les courants à petite vitesse ont tendance à expulser du fluide loin de la paroi. Ces structures tourbillonnaires de proche paroi semblent avoir des tailles en unités de paroi indépendantes du nombre de Reynolds (Lesieur, 1997): elles possèdent une longueur moyenne 1000

x , une largeur 25

y et un espacement moyen entre elles de l’ordre de 100z (Montreuil, 2000). La

figure ci-dessous montre un exemple de visualisation des streaks en région proche paroi à y+=15. Les calculs proviennent d’une LES d’un conduit de section droite carré à

6000Re hD chauffé discrètement par le bas (Azzi et al., 2005). Les structures

représentées sur cette figure ont un rôle fondamental sur le champ fluctuant du scalaire.

(b) Streaks à y+=15, (Azzi et al., 2005).


www.abbesazzi.com

Transferts thermiques en proche paroi L’expérience montre que les profils moyens de couches limites thermiques présentent la même topologie que ceux de la couche limite dynamique à un facteur près désigné par le nombre de Prandtl Prt donnant le rapport des épaisseurs de couches limites dynamiques et thermiques. La couche limite thermique présente donc trois zones caractéristiques en proche paroi : _ une sous-couche conductive : yT Pr , pour y + < 5 Pr _ une zone tampon _ une zone logarithmique :

yT ln12.2 où Prln12.23.1Pr85.3 231 Cette zone s’étend à partir de :

Pr2:1Pr y 30:1Pr y

31Pr12:1Pr y Où

TTT

T w , avec

w

f

yT

uT

T est appelée température de frottement. Voir Kader, 1981 pour plus de détails et pour une formulation permettant de raccorder et d’unifier ces résultats sous une forme générale. Les fluctuations de température en proche paroi sont dues aux transferts convectifs turbulents, dont la composante principale du tenseur des flux de chaleur sous-maille est

''Tv dans le cas d’une couche limite turbulente orientée suivant y. Les fluctuations proches paroi d’un scalaire proviennent donc des impacts de fluide provenant de l’extérieur de la couche limite dynamique sur la paroi, cette dernière étant à une température différente. Cette dynamique est clairement visualisée à la figure ci-dessous. Celle-ci représente une coupe transversale de température dans un écoulement de conduit carré chauffé discrètement par le bas. (L’écoulement moyen se fait dans la direction normale au plan de coupe). Ce calcul est issu d’une Simulation des Grandes Echelles, à 6000Re

hD , 5.0M et 71.0Pr . Les vecteurs vitesse représentés aident à la visualisation des éjections et des impacts de fluide sur la paroi, responsables des fluctuations de température dans la couche limite.


www.abbesazzi.com

Conclusion Tout au long de ce manuel, nous avons exposé la méthodologie utilisée lors d’une simulation des grandes échelles de la turbulence. Nous avons construit le texte sur l’idée que le lecteur est familiarisé avec les méthodes statistiques de modélisation de la turbulence. Notre conclusion, est qu’en réalité la LES est relativement moins compliquée que la méthode RANS. Du moins du coté théorique et formulation des modèles. La méthode RANS commence par moyenner les équations de Navier-Stokes et ensuite résoudre les équations résultantes, alors que la LES consiste à résoudre les équations instantanée et seulement ensuite moyenner les résultats. Cet inversement de l’ordre de la procédure se traduit par une simplification du coté modélisation mais aussi par un effort supplémentaire de calcul et de traitement des résultats. L’effort est bien sur payé par une vision plus détaillé du phénomène étudié et la possibilité de capter des phénomènes qui serait complètement invisible lors du lissage effectué par la méthode RANS. Par exemple le phénomène des éjections de température près d’une paroi chauffée ou encore les pics de température lors d’un phénomène instationnaire. L’augmentation continu de la puissance des calculateurs et la diminution de leurs coût d’une part et le développement d’une multitude d’outils de visualisation assez sophistiqué et disponibles en public domain font que la simulation des grandes échelles est de plus en plus accessible aux chercheurs issues de laboratoires à faible budget. Par la publication de ce modeste travail, nous espérons encourager nos étudiants à ce lancer dans des calculs de ce type.

initiation à la simulation des grandes échelles de la ......kader, b. temperature and...

Documents