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Institut für Angewandte PhysikLINAC AG

Hochfrequenz-ResonatorenHochfrequenz Resonatoren

Prof. Dr. H. Podlech 1


MaxwellgleichungenMaxwellgleichungen

Bedeutung??



Maxwellgleichungen im VakuumMaxwellgleichungen im Vakuum



WellengleichungenWellengleichungen2. Maxwell-Gl.

Wellengleichung im VakuumHomogen, linear, 2. Ordnung




Es gibt kein E-Feld, dass senkrecht auf nsteht

Keine tangenziale E-Feldkomponente

Es gibt kein B-Feld, dass parallel zu nsteht

Keine normale B-Feldkomponente




Wellengleichung in Zylinderkoordinaten

Zahl der Knoten in Φ-Richtung

Zahl der Knoten in radialer Richtung

Zahl der halben Perioden in z-Zahl der halben Perioden in zRichtung



Lösungen Zylindrische Wellengleichung: TMLösungen Zylindrische Wellengleichung: TM



Lösungen Zylindrische Wellengleichung: TELösungen Zylindrische Wellengleichung: TE



Nullstellen der BesselfunktionNullstellen der Besselfunktion



ResonanzfrequenzResonanzfrequenz



TM010-Mode: E-FelderTM010 Mode: E Felder

m=0n=1

00n=1p=0

0

Ez=const.

0

0



TM010-Mode: E-FelderTM010 Mode: E Felder

2R

LL



TM010-Mode: B-FelderTM010 Mode: B Felderm=0n=1p=0p=0

0

ΒΦ=const

0

ΒΦ const. 0



TM010-Mode: B-FeldTM010 Mode: B Feld

00



TM010-Mode: B-FelderTM010 Mode: B Felder

2R

L



Verlauf der E- und B-FelderVerlauf der E und B Felder

E

BB



TM010-ModeTM010 Mode

??




Mantel Deckel



TM010-Mode: GüteTM010 Mode: Güte



TM010-Mode: GeometriefaktorTM010 Mode: Geometriefaktor

reiner Geometriefaktor



TM010-Mode: Geometriefaktor GTM010 Mode: Geometriefaktor G

1/R L

G=257 Ω



TM010-Mode: Impedanz RaTM010 Mode: Impedanz Ra



TM010-Mode: Ra/Q0TM010 Mode: Ra/Q0

Ua2 1/W 1/ω



TM010-Mode: BeispielTM010 Mode: Beispiel

Zylinderresonator mit R=7.65 cm, L=10 cm

f=1 5 GHzf=1.5 GHz

SL: Rs=20 nΩ

NL: σ=5 8e7 Ω-1m-1 (Cu)NL: σ=5.8e7 Ω 1m 1 (Cu)

Ua=1 MV

E =10 MV/mEa 10 MV/m

J1(2.405) ≈ 0.52



TM010-Mode: BeispielTM010 Mode: Beispiel

NormalleitungSupraleitung



Radiofrequenz-Quadrupole (RFQ)Radiofrequenz Quadrupole (RFQ)



RFQRFQ

Problem:

Strahl nach der Ionenquelle ist DC-Strahl mit kleiner Energie (1-100 keV)

Driftröhrenbeschleuniger benötigt gebunchten Strahl hinreichende hoher Energie (300 keV bis einigen MeV), je nach Frequenz

Früher:

Verwendung gepulster Gleichspannungsgeneratoren (z.B. Cockcroft-Walton)und Buncherstrukturen



RFQRFQ

Nachteile:

Nur gepulste Strahlen, kein Dauerstrichbetrieb geringerer mittlerer Strom

Große Vorbeschleuniger

Longitudinal kein sauberer Strahlg



RFQRFQ750 keV Cockcroft-Walton Generator für ProtonenProtonen


©Fermilab


RFQRFQ750 keV Cockcroft-Walton Generator für ProtonenProtonen und neuer RFQ


©Fermilab


RFQRFQ



RFQRFQ

Wünschenwert:

Vorbeschleuniger, der

• DC-Strahl zu 100% buncht

• Strahl fokussiert

• Strahl beschleunigt



RFQRFQ

Erfunden 1969 durch Tepliakov und KapchinskiyErfunden 1969 durch Tepliakov und Kapchinskiy

Durchbruch in der Beschleunigerphysik im Hinblick aufhohe mittlere Strahlströme für Protonen und Ionenhohe mittlere Strahlströme für Protonen und Ionen

Erster RFQ 1980 in Los Alamos realisiert

50% aller RFQ‘s weltweit aus Frankfurt (IAP)



Radiofrequenz-QuadrupoleRadiofrequenz Quadrupole



Radiofrequenz-Quadrupole

Mechanische Modulation führt zu longitudinalen l kt i h F ld B h d B hl i

Radiofrequenz Quadrupole

elektrischen Feldern zum Bunchen und Beschleunigen



RFQ TheorieRFQ Theorie

• Ableiten des Potentials im modulierten QuadrupolkanalQ p

• Berechnung der elektrischen Felder

• Aufstellung der Bewegungsgleichung

• Ladungsfreier Raum ohne Magnetfeld

• Quasi-statische Approximation




Separation der Variablen mittels des Ansatzes für das Potential




Durch Einsetzten dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung erhält man ein System von entkoppelten DGL:man ein System von entkoppelten DGL:

Dabei sind k und k zunächst unbekannte Konstanten


Dabei sind kθ und kz zunächst unbekannte Konstanten



Obwohl der modulierte Quadrupolkanal nicht perfekt periodisch ist,kann von „Quasi-Periodizität“ ausgegangen werden, da sich diekann von „Quasi Periodizität ausgegangen werden, da sich dieParameter wie Zellenlänge, Modulation und Apertur von Zelle zuZelle nur sehr langsam ändern.




Durch Einsetzen der Symmetriebedingungen in die entkoppeltenDGL erhält man schließlich die allgemeine Lösung der Laplace-DGL erhält man schließlich die allgemeine Lösung der LaplaceGleichung in einem Quadrupolkanal mit modulierten Elektroden(KV- bzw. Kapchinsky-Teplyiakov-Potential):

U A lit d i h d El kt dU0: Amplitudenspannung zwischen den ElektrodenI2n: Modifizierte Besselfunktion der Ordnung 2nK: Wellenzahl der sinoidalen ModulationA nd A Konstanten die sich a fgr nd derA0n und Aνn: Konstanten, die sich aufgrund derRandbedingungen ergeben und die von a und m abhängen




In Realität kann für einen RFQ das Potential vereinfachtgeschrieben werden, indem nur die beiden ersten Terme (n=1)geschrieben werden, indem nur die beiden ersten Terme (n 1)verwendet werden (2-Term-Potential):

Mit d P i di ität b di d d R db di dMit den Periodizitätsbedingungen und der Randbedingung, dassdie Elektrodenoberfläche eine Äquipotentialfläche ist, lassen sichA0n und Aνn bestimmen:



RFQ TheorieRFQ TheorieDurch Differenzieren des Potentials lassen sich die elektrischenFelder bestimmen:

▬

k t i h


kartesisch



▬

Der erste Term von Ex und Ey beschreibt den fokussierenden bzw.defokussieren Teil aufgrund des Quadrupolfeldes. während jeweils derzweite Term die HF-Defokussierung darstelltzweite Term die HF-Defokussierung darstellt.

Ez liefert die Beschleunigungskraft auf den Strahl




Für m=1 (unmoduliert) wird A10 bzw A null und wir erhalten denreinen Quadrupol ohne Beschleunigung.p g g

Für steigende Modulation m wächst A an. Dadurch steigen Ez undgleichzeitig die transversalen defokussierenden Terme, was zurAbschwächung der gesamtfokussierenden Kraft führt.




Energiegewinn pro Zelle:

Der Energiegewinn pro Zelle ist unabhängig von der Zellenlänge!!

Dadurch nimmt für höhere Teilchengeschwindigkeiten dieBeschleunigungseffizienz ab

RFQ nicht für Elektronen geeignet

Maximal einige Prozent der Lichtgeschwindigkeit




Bewegungsgleichung

Hillsche Gleichung vom Matthieu-Typ

wobei Ω<<ω und ε<<1 ist

Ω ist die Betatronfrequenz



Verlauf der Modulation für FAIR p-Linac RFQVerlauf der Modulation für FAIR p Linac RFQ



Beispiel einer StrahldynamiksimulationBeispiel einer Strahldynamiksimulation



352 MHz 4-Vane RFQ352 MHz 4 Vane RFQ



36 MHz IH-RFQ GSI36 MHz IH RFQ GSI



175 MHz cw 4-Rod RFQ (MYRRHA/FRANZ)175 MHz cw 4 Rod RFQ (MYRRHA/FRANZ)



217 MHz 4-Rod RFQ MedAustron217 MHz 4 Rod RFQ MedAustron



200 MHz Protonen 4-Rod-RFQ Fermilab200 MHz Protonen 4 Rod RFQ Fermilab



35 MHz Spiral-RFQ ISAC/TRIUMF35 MHz Spiral RFQ ISAC/TRIUMF


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