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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD ZACATENCO
“DISEÑO DE UNA PRENSA HIDRÁULICA PARA EXTRAER O INTRODUCIR PERNOS Y BUJES DE
PARTES AUTOMOTRICES MEDIANTE EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO
FINITO”
T E S I S
PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN
INGENIERÍA MECÁNICA
PRESENTA:
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO
DIRIGIDA POR: M. en C. GABRIEL VILLA Y RABASA
MÉXICO D.F., ENERO 2005
DEDICATORIAS A MI MADRE GEÑA Porque aunque no estés conmigo en cuerpo, siempre te llevo en el corazón.
A MI PADRE VICTOR Por tu incondicional apoyo, gracias a ti
soy lo que soy y seré lo que seré.
A MI ESPOSA GISELA Porque eres mi compañera, mi fuente de inspiración y motivación además de apoyo y comprensión en los momentos difíciles de mi vida siempre con amor.
AL ING. ALFONSO CAMPOS VAZQUEZ Porque su apoyo es fundamental para
seguir adelante y cumplir mis metas.
A MIS HERMANOS Víctor Manuel, Ma. Eugenia y Ma. Guadalupe Porque son mi familia que quiero mucho y su apoyo es importante para mi.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Unidad
Profesional Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional por permitirme realizar mis estudios de posgrado.
Agradezco al Ing. Alfonso Campos Vázquez por ser un gran amigo y compañero, por su infinito apoyo y comprensión.
Agradezco muy en especial al M. en C. Gabriel Villa y Rabasa por su apoyo moral y académico, además de brindarme su amistad sincera.
Agradezco al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón por los conocimientos adquiridos durante las clases que impartió, así como los comentarios para la mejor realización de éste trabajo.
Agradezco al Dr. Luis Héctor Hernández Gómez por sus siempre acertados comentarios en los trabajos de investigación y felicitarlo por su gran profesionalismo además de ser un excelente ser humano.
Agradezco al M. en C. Ricardo López Martínez por sus consejos y revisión de éste trabajo.
Agradezco al M. en C. Jesús Silva Lomelí, por su valiosa participación en el
desarrollo de éste trabajo. Agradezco al M. en C. Abraham Rodríguez Galeotte (Carrrrnal) amigo y
compañero por su apoyo y amistad brindada.
Agradezco a los compañeros de la sección Juan Manuel Sandoval, Gabriel Serrano y Raúl Delgado por su amistad y apoyo.
Agradezco a todos los profesores e investigadores de la SEPI por los conocimientos brindados.
CONTENIDO
RESUMEN i ABSTRACT ii OBJETIVO iii JUSTIFICACIÓN iv ÍNDICE DE FIGURAS v ÍNDICE DE TABLAS vii SIMBOLOGÍA viii INTRODUCCIÓN x CAPITULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN
1.1 Mecánica de materiales. 1 1.2 Método de las secciones. 1 1.3 Definición de esfuerzo. 3 1.4 Tensor esfuerzo 5 1.5 Ecuaciones diferenciales de equilibrio. 9 1.6 Esfuerzo normal máximo en barras cargadas axialmente. 11 1.7 Esfuerzos cortantes. 14 1.8 Análisis de los esfuerzos normales y cortantes. 18 1.9 Deformación unitaria. 19 1.10 La prueba de tensión y la deformación unitaria normal 19 1.11 Esfuerzos principales en problemas bidimensionales. 22 1.12 Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales 24 1.13 Falla de un elemento. 26 1.14 Esfuerzo de diseño (trabajo). 27 1.15 Selección del factor de seguridad. 28 CAPITULO II. PRENSAS 2.1 Prensas. 31 2.2 Tipos de prensas. 32 2.2.1 Prensa inclinada. 35 2.2.2 Prensa de escote. 35 2.2.3 Prensa de puente. 36 2.2.4 Prensa de costados rectos. 36 2.2.5 Prensa de yunque. 38 2.2.6 Prensa de junta articulada. 38 2.2.7 Prensa dobladora 40 2.2.8 Cizallas de escuadrar. 41 2.2.9 Prensa de revçolver. 41 2.2.10 Prensa hidráulica. 42
2.2.11 Prensa de transferencia. 43 2.2.12 Máquina de cuatro correderas. 44 2.3 Mecanismos de transmisión para prensas. 46 2.4 Mecanismos de alimentación. 48 2.5 Antecedentes de la prensa a diseñar. 49 2.6 Descripción de la prensa a diseñar. 51 CAPITULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 3.1 Antecedentes históricos del método del elemento finito. 53 3.2 Campo de aplicación del método del elemento finito. 54 3.3 Método del elemento finito. 56 3.4 Fundamentos del método de elemento finito. 59 3.5 Procedimiento del método del elemento finito. 60 3.5.1 Discretización del dominio. 60 3.5.2 Seleccionar las funciones de interpolación. 60 3.5.3 Definir las propiedades de los elementos. 60 3.5.4 Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del
sistema, considerando las condiciones de frontera del espécimen.
61 3.5.5 Resolver el sistema de ecuaciones. 61 3.5.6 Efectuar cálculos adicionales. 62 3.6 Tipos de elementos en el método de elemento finito. 62 3.6.1 Elemento barra. 62 3.6.2 Elemento placa. 63 3.6.3 Elementos sólidos. 63 3.6.4 Sólidos axisimétricos. 64 3.6.5 Placa plana en flexión. 64 3.6.6 Cascaron axisimétrico. 65 3.6.7 Cascaron curvo. 65 3.7 Formulación de elementos finitos. 68 3.7.1 El método directo. 68 3.7.2 El método variacional. 68 3.7.3 Los métodos de los residuos ponderados. 68 3.8 Elementos isoparamétricos 68 3.9 Ventajas y desventajas del método del elemento finito 69 CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO 4.1 Descripción de los elementos a diseñar. 71 4.2 Generalidades acerca de vigas. 71 4.2.1 Tipos de vigas, de cargas y características. 72 4.2.2 Esfuerzo normal en vigas. 73 4.3 Generalidades acerca de elementos a tensión. 74 4.4 Esfuerzo en elementos a tensión. 75 4.5 Elementos a tensión con barrenos. 75
4.6 Áreas netas o efectivas. 76 4.7 Esfuerzo cortante en conexiones. 77 4.8 Generalidades acerca de columnas. 78 4.8.1 Ecuaciones de la AISC para columnas. 80 4.9 Análisis de la carga necesaria. 82 4.10 Análisis de la viga A y B. 83 4.11 Tornillos a Tensión. 85 4.12 Análisis de la columna. 88 4.13 Análisis de la viga D. 90 4.14 Análisis de la viga E. 94 4.15 Tornillos de sujeción. 95 4.16 Perfil “C” sometido a tensión. 96 4.17 Análisis de la viga C. 97 CAPITULO V. ANÁLISIS POR COMPUTADORA 5.1 Elementos analizados con computadora. 98 5.2 Análisis con computadora de la viga A y B. 98 5.3 Análisis con computadora de tornillos a tensión F. 99 5.4 Análisis con computadora de la columna G. 101 5.5 Análisis con computadora de la viga D. 102 5.6 Análisis con computadora de la viga E. 104 5.7 Análisis con computadora de los tornillos H sometidos a cortante doble. 106 5.8 Análisis con computadora del perfil “C” sometido a tensión. 107 5.9 Análisis con computadora del marco de carga de la prensa.
108
REFERENCIAS 110 BIBLIOGRAFÍA 112 CONCLUSIONES 113 TRABAJOS A FUTURO 114 ANEXO 115
RESUMEN
En el presente trabajo se desarrolla el diseño de una prensa hidráulica para dar servicio a talleres mecánicos; se hace el diseño mediante la mecánica de materiales con teorías que se encuentran dentro de los análisis elásticos calculando cada uno de los elementos que la componen, como son: vigas, columnas, elementos a corte, elementos a tensión, etc. Las ecuaciones matemáticas de la mecánica de materiales nos ayudan a determinar las dimensiones mínimas necesarias para que nuestros elementos trabajen dentro de ciertas condiciones de operación, obteniendo el dimensionamiento real del elemento; en algunas ocasiones el dimensionamiento está restringido por lo que se proponen dimensiones iniciales y en base a ellas se determinan las reales. Habiéndose obtenido el dimensionamiento real de cada elemento, para asegurarnos de que el diseño es correcto se analiza cada componente por métodos computacionales, en éste caso se utiliza el método del elemento finito, con aplicación de ANSIS, SOLIDWORK y COSMOS. Al final comparamos los esfuerzos máximos obtenidos en los métodos computacionales y los utilizados como esfuerzos de trabajo para el diseño, asegurándonos que los primeros sean menores que los segundos y así confirmar que el diseño de la prensa es correcto.
i
ABSTRACT
In the present work the design of a hydraulic press is developed to give service to mechanical factories; the design by means of the mechanics becomes of materials with theories that are within the elastic analyses calculating each one of the elements that compose it, as they are: beams, columns, elements to cut, elements to tension, etc.
The mathematical equations of the mechanics of materials help to determine necessary the minimum dimensions us so that our elements work within certain conditions of operation, obtaining the real sizing of the element; in some occasions the sizing is restricted reason why initial dimensions set out and on the basis of them the real ones are determined.
Having itself obtained the real sizing of each element, in order to assure to us
that the design is correct analyzes each component by computacionales methods, in this one case the method of the finite element is used, with application of ANSIS, SOLIDWORK and the COSMOS.
In the end we compared the maximum stress obtained in the computacionales
methods and the used ones as stress of work for the design, assuring to us that first they are minors who the seconds and thus to confirm that the design of the press is correct.
ii
OBJETIVO
Diseñar y analizar una prensa hidráulica para extraer o introducir bujes y pernos en partes automotrices mediante conceptos y ecuaciones básicas de la resistencia de materiales, así como los métodos modernos de análisis (Método de Elemento Finito) como base para un diseño óptimo, eficiente, confiable y competitivo, con el objeto de que se un producto al alcance de cualquier taller por pequeño que éste sea. iii
JUSTIFICACIÓN
En la gran mayoría de los talleres mecánicos automotrices pequeños se tiene la necesidad de extraer o introducir bujes, pernos, baleros, etc., en diferentes elementos. El comprar una prensa de gran capacidad genera un gasto considerable para esos talleres los cuales se ven afectados económicamente, es decir afectaría la poca liquidez de dichas microempresas, por lo que a pesar de ser necesario éste equipo le resulta prohibitivo su adquisición. Esto lo observé cuando cursaba el nivel medio superior, por lo que construí una prensa en el primer semestre de licenciatura en la ESIME Azcapotzalco en la carrera de Ingía. Mecánica. El resultado fue que sí servía pero carecía de un análisis profundo de elementos; es decir, fue hecha sin un diseño que respaldará el dimensionamiento, por lo que de ingeniería no tenia nada según el profesor. Por un tiempo funcionó pero después de un tiempo algunos elementos comenzaron a fallar, por lo que quedó abandonada. Es por ello que ahora ha surgido la inquietud de retomar el diseño de dicha prensa y realizarlo de forma adecuada, es decir, con todas las herramientas de diseño tanto matemáticas como computacionales para su óptimo funcionamiento, ya que debe ser económica y satisfacer necesidades de pequeños talleres mecánicos automotrices.
iv
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA TÍTULO PÁG CAPÍTULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN.
1.1 Seccionamiento de un cuerpo. 2 1.2 Componentes de la fuerza ∆P. 4 1.3 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el
sistema coordenado inicial. 5
1.4 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema girado un cierto ángulo.
6
1.5 Elementos de esfuerzo en un plano. 8 1.6 Elemento infinitesimal con esfuerzos y fuerzas de cuerpo. 9 1.7 Miembro con una distribución no uniforme del esfuerzo en la sección a-a. 13 1.8 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes entre las interfaces de
bloques unidos con pegamento.
16 1.9 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes y de aplastamiento en
tornillos.
17 1.10 Conexiones remachadas. 18 1.11 Condición de carga que causa un esfuerzo cortante crítico en dos planos de
soldadura de filete.
19 1.12 Máquina universal de pruebas (Cortesía de la MTS System Corporation) 21 1.13 Probeta cilíndrica de pruebas. 22 1.14 Funciones angulares para esfuerzos principales. 25 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro.
27
CAPÍTULO II. PRENSAS. 2.1 Prensa punzonadora revolver de hierro fundido, 1936. 31 2.2 Prensa inclinable de bastidor con escote de manivela simple con alimentación de
doble rodillo. Capacidad 1MN.
35 2.3 Diseños típicos de bastidores usados en prensas. 36 2.4 Toldo completamente formado con una carrera en una prensa cerrada de
palanca acodillada.
38 2.5 Prensa de junta articulada con bastidor de hierro fundido, capacidad 5.3 MN. 39 2.6 Prensa dobladora controlada por tarjetas. 40 2.7 Pasos del formado de tubo de gran diámetro en prensa. 41 2.8 Prensa revólver de 0.27 MN que usa computadora de control numérico. 42 2.9 Prensa de embutido de doble acción. 43
2.10 Prensa de transferencia con capacidad de 2.2 MN que produce 1600 placas terminales para arrancar por hora.
44
2.11 Secuencia de operaciones en una máquina de cuatro correderas. 45 2.12 Mecanismos de transmisión usados en prensa. 46 2.13 Prensa automática de alta velocidad con corredera de alimentación movida por
una flecha motriz. Capacidad 0.3 MN.
49 2.14 Parte estructural de la prensa a diseñar. 50 2.15 Vigas flexionadas. 51
v
2.16 Esquema simple de la prensa.
52
CAPÍTULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 3.1 Elemento barra. 62 3.2 Elemento placa en esfuerzo plano. 63 3.3 Elementos sólidos. 63 3.4 Sólido axisimétrico. 64 3.5 Placa plana bajo flexión. 64 3.6 Cascarón axisimétrico. 65 3.7 Cascarón curvo.
65
CAPÍTULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO. 4.1 Elemento sometido a carga axial. 74 4.2 Cortante simple (a) y cortante doble (b). 78 4.3 Representación y ecuaciones de columnas dependiendo de sus tipos de apoyo. 80 4.4 Diagrama de cuerpo libre y dimensiones de la viga A. 83 4.5 Diagramas V y M de la viga A. 84 4.6 Elemento columna. 88 4.7 Representación de cargas y apoyos en la viga D. 90 4.8 Diagramas V y M de la viga D. 93 4.9 Diagramas V y M de la viga E. 94
4.10 Tornillo de sujeción sometido a fuerza cortante doble.
95
CAPÍTULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA. 5.1 Esfuerzo en placas A y B. 98 5.2 Deformación en placas A y B. 99 5.3 Esfuerzos en los tornillos a tensión. 99 5.4 Esfuerzos en el apoyo de el tornillo a tensión. 100 5.5 Deformación en el tornillo a tensión. 100 5.6 Esfuerzos que se presentan en columna G. 101 5.7 Esfuerzos en el apoyo de la columna. 101 5.8 Deformación en la columna G. 102 5.9 Esfuerzos en el apoyo de la viga D. 102 5.10 Esfuerzos en la viga D. 103 5.11 Deformación 3D de la viga D. 103 5.12 Deformación 2D de la viga D. 104 5.13 Esfuerzos en los apoyos de la viga E. 104 5.14 Esfuerzos en la viga E. 105 5.15 Deformación en la viga E. 105 5.16 Esfuerzos en tornillos H sometidos a cortante doble. 106 5.17 Deformación en los tornillos H. 106 5.18 Esfuerzos en el perfil “C”. 107 5.19 Esfuerzos concentrados en los barrenos del perfil “C”. 107 5.20 Deformación en el perfil “C”. 108 5.21 Distribución de esfuerzos en el marco de carga de la prensa. 109 5.22 Deformación en el marco de carga de la prensa. 109
vi
ÍNDICE DE TABLAS
TABLA TÍTULO PÁG CAPÍTULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN. N/A
CAPÍTULO II. PRENSAS. N/A
CAPÍTULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 3.1 Variables típicas en un análisis por elemento finito.
55
CAPÍTULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO. 4.1 Valores de factor de reducción U. 77 4.2 Series estándar de roscas de tornillo UN y UNR, pulgadas. 86 4.3 Dimensiones básicas de tuercas hexagonales pesadas, contratuerca hexagonal
pesada, ranurada hexagonal pesada y almendrada pesada, pulgadas.
87
CAPÍTULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA. N/A
vii
SIMBOLOGÍA
P Carga aplicada a un cuerpo. ∆ Decremento de una cantidad. A Área transversal. σ Esfuerzo normal. τ Esfuerzo cortante. σ1, σ2 y σ3 Esfuerzos principales 1,2 y 3 respectivamente. dx, dy y dz Diferencial de “x”, “y” y “z” respectivamente. ∑ Sumatoria. N Newton. Lb Libra. m Metro. in Pulgada. τmax Esfuerzo cortante máximo V Fuerza cortante. τprom Esfuerzo cortante promedio. t , e Espesor. d Diámetro. MPa Mega pascales. Ksi Libas por pulgada cuadrada. Ao Área transversal original. L Longitud. Lo Longitud inicial. ε Deformación unitaria. mm Milímetros. θ Ángulo que define el plano del esfuerzo normal máximo o mínimo. α Ángulo a cual se inclina un plano. FS Factor de seguridad. MN Mega Newton. min Minuto. π Constante igual a 3.1416 E Módulo de elasticidad del material. ν Módulo de Poisson del material. u(x) y v(x) funciones de desplazamiento lineales M Momento. I Momento de inercia. “y” Distancia del centroide a cualquier punto de la sección transversal. S Módulo de sección. C Distancia máxima “y” Mmax Momento máximo. σt Esfuerzo normal de trabajo. τt Esfuerzo cortante de trabajo.
viii
Pcr Carga crítica. RE Relación de esbeltez. k Radio de giro de la sección transversal. CS Coeficiente de seguridad. Cc Relación de esbeltez límite. σadm Esfuerzo normal admisible. σpc Esfuerzo normal en el punto de cedencia. σcr Esfuerzo normal crítico. In Interferencia. dc Diámetro común. σe
tmax Esfuerzo tangencial máximo del exterior. σi
tmin Esfuerzo tangencial mínimo del interior. Pz Presión de zunchado. de Diámetro exterior. di Diámetro interior. GPa Giga pascales. h Altura. b Base. ix
INTRODUCCIÓN Toda máquina o estructura deberá soportar, transmitir y transformar las fuerzas a que se somete, cuando realizan el trabajo para las cuales fueron concebidas; esto se podrá lograr, si todos sus elementos están diseñados y fabricados apropiadamente. En la práctica de ingeniería tales condiciones se deben de cumplir con el mínimo gasto de un material dado. A parte del costo, a veces, como en el diseño de satélites la factibilidad y éxito de toda la misión puede depender del peso de una carga. El tema de la mecánica de materiales implica métodos analíticos para determinar la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los diversos elementos sometidos a cargas. De dichos métodos analíticos se deriva por lo tanto el diseño de máquinas o estructuras. El objetivo final del diseño mecánico es producir un dispositivo de utilidad que sea seguro, eficiente y práctico. Cuando se inicia el diseño de una máquina o de un elemento mecánico independiente, es importante definir las funciones y las especificaciones de diseño para el dispositivo por completo, es decir, definir el material a utilizar, las cargas que soporta, la forma de cómo está apoyado, etc. Al enfocarse en un diseño , el ingeniero debe establecer criterios que servirán de guía en los procesos de toma de decisiones inherentes a cualquier proyecto. Como para cada problema de diseño existen distintas alternativas en relación a su solución, cada una debe evaluarse en función de los criterios que integran la lista. Quizá no exista un mejor diseño, pero los diseñadores deben de trabajar para obtener el que resulte ser óptimo, esto es, el ingeniero del diseño debe maximizar los beneficios y reducir al mínimo las desventajas. A continuación se muestran los criterios generales en el diseño mecánico o de maquinaria:
• Seguridad. • Rendimiento. • Confiabilidad. • Facilidad para fabricar. • Disponibilidad de servicio o reemplazo de componentes. • Facilidad en cuanto operación. • Costo inicial bajo. • Costos de operación y mantenimiento bajos. • Tamaño reducido y de poco peso. • Poco ruido y escasa vibración; que opere con suavidad. • Uso de materiales accesibles y facilitar la compra de componentes. • Uso prudente de partes cuyo diseño es único junto con componentes en el mercado. • Que su aspecto resulte atractivo y adecuado para su aplicación.
x
Por lo anteriormente expuesto en el presente trabajo se analiza y diseña los componentes mecánicos y estructurales de una prensa de 5 toneladas, utilizando las teorías y ecuaciones de la resistencia de materiales (mecánica de materiales) validando el diseño por métodos computacionales, en éste caso se utilizó el método del elemento finito. El sofware utilizado para modelar los elementos fue SOLIDWORD y para hacer el análisis de ellos se utilizó el COSMOS y ANSYS, dependiendo de la complejidad del elemento.
Esta tesis cuenta con cinco capítulos. El capitulo I nos Muestra toda la teoría de la
resistencia de materiales, desde el concepto de esfuerzo y deformación, hasta esfuerzo principales y cortantes máximo y mínimo, así como una breve explicación del ensayo de tensión simple. El capitulo II nos da una referencia de los tipos y formas de prensas hidráulicas, sus tipos de mecanismos de transmisión y alimentación, así como una breve descripción de la prensa a diseñar. El capitulo III muestra la teoría del método de elemento finito, fundamentos, procedimiento, tipos de elementos, formulación, ventajas y desventajas, etc. El capitulo IV es donde se realiza todo el diseño de los elementos de la prensa mediante las ecuaciones de diseño de la resistencia de materiales, se definen todos los componentes obteniendo las dimensiones mínimas necesarias para la carga que soportan. El capitulo V se verifican los diseños de los componentes mediante métodos computacionales, asegurando que los esfuerzos máximos presentados en los elementos sean menores a lo esfuerzos de trabajo utilizados en su diseño. Finalmente es importante destacar que el trabajo que aquí se presenta se encuentra dentro del proyecto de investigación dirigido por:
M en C GABRIEL VILLA Y RABASA “ANÁLISIS DE ESFUERZOS A TEJIDOS ORGÁNICOS Y ELEMENTOS MECÁNICOS
PARA SU PROCESAMIENTO”. Con clave CGPI 2003-0991.
xi
CAPITULO II. PRENSAS
CAPITULO I ESFUERZO Y DEFORMACION
1.1 Mecánica de materiales.
En toda construcción de ingeniería, a las partes componentes de una estructura o máquina se
deben asignar tamaños físicos definidos. Estas partes deben ser adecuadamente proporcionadas para
resistir las fuerzas reales o probables que puedan llegar a actuar sobre ellas.
El tema de la mecánica de materiales, o de la resistencia de materiales, como ha sido llamado
tradicionalmente, implica métodos analíticos para determinar la resistencia, la rigidez y la estabilidad
de los diversos miembros sometidos a carga.
El comportamiento de un miembro sometido a fuerzas depende no sólo de las leyes
fundamentales de la mecánica newtoniana que rigen el equilibrio de las fuerzas, sino también de las
características mecánicas de los materiales de que está hecho el miembro. La información necesaria
relativa a los materiales proviene de los laboratorios, donde los materiales son sometidos a la acción de
fuerzas conocidas con precisión y donde el comportamiento de probetas de ensayo es observado con
particular interés respecto a sus propiedades de ruptura, deformaciones, etc..
1.2 Método de las secciones
Uno de los problemas principales de la mecánica de sólidos es la investigación de la resistencia
interna de un cuerpo; es decir, la naturaleza de las fuerzas que se generan dentro de un cuerpo para
equilibrar el efecto de las fuerzas aplicadas externamente. Para tal fin se emplea un método uniforme
de enfoque. Se prepara un croquis completo del miembro bajo investigación, sobre el cual se muestran
todas las fuerzas externas que actúan sobre él en sus respectivos puntos de aplicación. Tal croquis se
denomina diagrama de cuerpo libre.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 1
CAPITULO II. PRENSAS
Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, incluidas las fuerzas reactivas causadas por los
soportes, así como el peso propio del cuerpo debido a su masa, son consideradas como fuerzas
externas. Además, como un cuerpo estable en reposo está en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre él
satisfacen las ecuaciones del equilibrio estático. Entonces, si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
como el mostrado en la figura l.l satisfacen las ecuaciones de equilibrio estático y se muestran todas
actuando en él, el croquis representa un diagrama de cuerpo libre. Luego, como la determinación de las
fuerzas internas causadas por las fuerzas externas es uno de los fines principales de esta ciencia, se pasa
una sección arbitraria por el cuerpo, separándolo completamente en dos partes.
El resultado de tal proceso puede verse en las figura 1.1, donde un plano arbitrario ABCD
separa el cuerpo original en dos partes distintas. A este proceso se le llamará método de las secciones.
Fig. 1.1 Seccionamiento de un cuerpo.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 2
CAPITULO II. PRENSAS
Entonces, si todo el cuerpo está en equilibrio, cualquier parte de él debe también estar en
equilibrio. Sin embargo, para tales partes de un cuerpo, algunas de las fuerzas necesarias para mantener
el equilibrio deben actuar en la sección cortada. Estas consideraciones conducen a la siguiente
conclusión fundamental: Las fuerzas aplicadas externamente a un lado de un corte arbitrario deben ser
equilibradas por las fuerzas internas desarrolladas en el corte o, brevemente, las fuerzas externas están
equilibradas por las fuerzas internas. Veremos luego que los planos de corte son orientados en
direcciones particulares para satisfacer requisitos especiales. El método de las secciones es el primer
paso en la resolución de todos los problemas en que se investigan fuerzas internas.
1.3 Definición de esfuerzo
En general, las fuerzas internas que actúan sobre áreas infinitesimales de un corte, son de
magnitudes y direcciones variables. En la mecánica de sólidos es particularmente importante
determinar la intensidad de esas fuerzas sobre las diversas porciones de una sección ya que la
resistencia a la deformación y a las fuerzas depende de esa intensidad. En general, tales fuerzas varían
de punto a punto y están inclinadas con respecto al plano de la sección. Es conveniente resolver esas
intensidades perpendicular y paralelamente a la sección investigada. Por ejemplo, las componentes de
un vector fuerza ∆P que actúa sobre un área ∆A se muestran en la figura l.2. En este diagrama
particular, la sección por el cuerpo es perpendicular al eje x y las direcciones de
∆Px y de la normal a ∆A coinciden.
Como las componentes de la intensidad de una fuerza por unidad de área, es decir, del esfuerzo,
son ciertas sólo en un punto, la definición matemática del esfuerzo es:
AP
AP
AP z
Axz
y
Axy
x
Axx ∆
∆=
∆
∆=
∆∆
=→∆→∆→∆
limlimlim000
τστ (Ecs 1.1)
Donde, en los tres casos, el primer subíndice de τ o σ indica que considera el plano
perpendicular al eje x y el segundo designa la dirección de la componente del esfuerzo.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 3
CAPITULO II. PRENSAS
La intensidad de la fuerza perpendicular o normal a la sección se llama esfuerzo normal en un
punto (σ). Es habitual llamar esfuerzos de tensión a los esfuerzos normales que generan tensión sobre
la superficie de una sección. Por otra parte, aquellos que empujan contra ella son esfuerzos de
compresión Las otras componentes de la intensidad de la fuerza actúan paralelamente al plano del área
elemental, esas componentes se llaman esfuerzos cortantes (τ).
∆P ∆PY
∆PZ
∆PX
Fig. 1.2 Componentes de la fuerza ∆P
.
Entonces los esfuerzos normales resultan de componentes de fuerzas perpendiculares al plano
de corte y los esfuerzos cortantes resultan de las componentes tangenciales al plano de corte.
Debe hacerse énfasis en que los esfuerzos multiplicados por las respectivas áreas sobre las que
ellos actúan dan fuerzas. En una sección imaginaria, una suma vectorial de esas fuerzas, llamada
resultante de esfuerzos, mantiene un cuerpo en equilibrio. En la mecánica de sólidos, las resultantes de
esfuerzos en una sección dada por lo general se determinan primero, y luego, aplicando las fórmulas ya
establecidas, se determinan los esfuerzos.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 4
CAPITULO II. PRENSAS
1.4 Tensor esfuerzo
Si. además de la sección implicada en el cuerpo libre de la figura 1.2, se pasa otro plano por el
cuerpo a una distancia infinitesimal y paralelo al primero, quedará aislada una rebanada elemental.
Entonces, si se pasan otros dos pares de planos normales al primer par, quedará aislado del cuerpo un
cubo de dimensiones infinitesimales. Este cubo se muestra en la figura l.3.
Todos los esfuerzos que actúan sobre él están identificados en el diagrama. Los primeros
subíndices sobre las τ y σ asocian el esfuerzo con un plano perpendicular a un eje dado; los segundos
subíndices designan el sentido del esfuerzo. Sobre las caras cercanas del cubo (es decir, sobre las caras
alejadas del origen), los sentidos del esfuerzo son positivos si ellos coinciden con los sentidos positivos
de los ejes. Sobre las caras del cubo hacia el origen, del concepto acción-reacción de equilibrio. los
esfuerzos positivos actúan en sentido opuesto al sentido positivo de los ejes.
Fig. 1.3 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema coordenado
inicial.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 5
CAPITULO II. PRENSAS
Fig. 1.4. Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema
girado un cierto ángulo.
Si en un punto se escoge un conjunto diferente de ejes, los esfuerzos correspondientes son como
se muestran en la figura l.3. Esos esfuerzos están relacionados, pero en general no son iguales a los
mostrados en la figura l.4. El proceso de cambiar esfuerzos de un conjunto de ejes coordenados a otro
se llama transformación de esfuerzos.
El estado de esfuerzo en un punto que puede ser definido por tres componentes sobre cada uno
de los tres ejes mutuamente perpendiculares (ortogonales), se llama en terminología matemática
tensor. Procesos matemáticos precisos se aplican para transformar tensores, incluidos los esfuerzos, de
un conjunto de ejes a otro. Un examen de los símbolos para los esfuerzos en la figura l.3 muestra que
hay tres esfuerzos normales: zzzyyyxxx στστστ === '' y seis esfuerzos cortantes: xzzxzyyzyxxy ττττττ ''''' .
En contraste, un vector fuerza P tiene sólo tres componentes: Px Py y Pz. Éstas pueden escribirse de
manera ordenada como un vector columna:
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 6
CAPITULO II. PRENSAS
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
PzPyPx
(Ec 1.2)
En forma análoga, las componentes de esfuerzo pueden ordenarse como sigue:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
στττστττσ
τττττττττ
(Ec 1.3)
Ésta es una representación matricial del tensor esfuerzo. Se trata de un tensor de segundo rango
que requiere dos índices para identificar sus elementos o componentes. Un vector es un tensor de
primer rango y un escalar es un tensor de rango cero. A veces, por brevedad, un tensor esfuerzo se
escribe en notación indexada como τij, donde se entiende que i y j pueden tomar las designaciones x,y y
z.
El tensor de esfuerzos debe ser simétrico es decir τij = τji, esto se infiere directamente de los
requisitos de equilibrio para un elemento. Existe la posibilidad de un cambio infinitesimal en esfuerzo
de una cara del cubo a otra y la posibilidad de la presencia de fuerzas de cuerpo (inerciales). Siempre se
debe cumplir entonces que: τxy = τyx..
En forma similar, tenemos que: τxz = τzx y τyz = τzy Por consiguiente, los subíndices para los
esfuerzos cortantes son conmutativos (es decir, su orden puede intercambiarse) y el tensor esfuerzo es
simétrico.. El hecho de que los subíndices son conmutativos significa que los esfuerzos cortantes sobre
planos mutuamente perpendiculares de un elemento infinitesimal son numéricamente iguales y que
∑Mz = 0 no se satisface por un sólo par de esfuerzos cortantes. Las puntas de las flechas de los
esfuerzos cortantes deben encontrarse en esquinas diametralmente opuestas de un elemento para que se
satisfagan las condiciones de equilibrio.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 7
CAPITULO II. PRENSAS
En la mayoría de las situaciones subsecuentes consideradas, más de dos pares de esfuerzos
cortantes rara vez actuarán simultáneamente sobre un elemento. Por consiguiente, los subíndices
usados antes para identificar los planos y sentidos de los esfuerzos cortantes resultan superfluos. En
tales casos, los esfuerzos cortantes serán designados por τ sin ningún subíndice. Sin embargo, debe
recordarse que los esfuerzos cortantes siempre se presentan en dos pares. Esta simplificación de la
notación puede usarse convenientemente para el estado de esfuerzo mostrado en la figura 1.5.
Y σy
σy
σx σx
τ
τ
X
Fig. 1.5 Elemento de esfuerzo en un plano
Los esfuerzos bidimensionales mostrados en la figura se denominan esfuerzos en el plano. En
representación matricial tales esfuerzos pueden escribirse como:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
00000
y
x
σττσ
(Ec 1.4)
Debe notarse que el sistema de ejes seleccionado inicialmente puede no dar la información más
importante sobre el esfuerzo en un punto. Entonces, usando los procedimientos de la transformación de
esfuerzos, los esfuerzos se examinan en otros planos. Usando tales procedimientos, se mostrará luego
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 8
CAPITULO II. PRENSAS
que existe un conjunto particular de coordenadas que diagonaliza al tensor esfuerzo, que entonces toma
la forma:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
000000
σσ
σ
(Ec 1.5)
Se debe notar la ausencia de esfuerzos cortantes. Para el caso tridimensional, se dice que los
esfuerzos son triaxiales, ya que son necesarios tres esfuerzos para describir completamente el estado de
esfuerzo. Para esfuerzo plano, σ3=0 el estado de esfuerzo es biaxial. Tales esfuerzos ocurren, por
ejemplo, en láminas delgadas sometidas a esfuerzo en dos direcciones mutuamente perpendiculares. En
miembros cargados axialmente, sólo queda un elemento del tensor esfuerzo; tal estado se denomina
uniaxial.
1.5 Ecuaciones diferenciales de equilibrio
Un elemento infinitesimal de un cuerpo debe estar en equilibrio. Para el caso bidimensional, el
sistema de esfuerzos que actúan sobre un elemento infinitesimal (dx)(dy)(l) se muestra en la figura 1.6.
En esta deducción, el elemento es de espesor unitario en la dirección perpendicular al plano del papel.
Y
σy τyx
X
σy
σx
τxy
σx
τyx
τxy
Fig. 1.6 Elemento infinitesimal con esfuerzos y fuerzas de cuerpo
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 9
CAPITULO II. PRENSAS
De la figura 1.6 se obtienen las siguientes ecuaciones:
dxx
xxx ∂
∂+=
σσσ dy
yy
yy ∂
∂+=
σσσ
(Ecs. 1.6)
dyyyx
yxyx ∂
∂+=
τττ dx
xxy
xyxy ∂
∂+=
τττ
Note que se toma en cuenta la posibilidad de un incremento en los esfuerzos de una cara del
elemento a la otra. Por ejemplo, como la razón de cambio de σx en la dirección x es ∂σx/ ∂x y se da un
paso de magnitud dx, el incremento es (∂σx/ ∂x )dx. La notación de derivada parcial tiene que usarse
para diferenciar entre las direcciones.
Las fuerzas inerciales o de cuerpo, como las causadas por el peso o por efectos magnéticos, se
designan X y Y y están asociadas con el volumen unitario del material. Con esas notaciones:
0)1()1()1)((
)1()1)(( ,0
=×+×−×∂∂
++
×−×∂∂
++→=Σ
dxdyXdxdxdy
dydydxFx
yxy
yxyx
xx
xx
ττ
τ
σσσ
(Ec 1.7)
Simplificando y recordando que τxy = τyx se cumple, obtenemos la ecuación básica de equilibrio
para la dirección x. Esta ecuación, junto con una análoga para la dirección y, tiene la forma:
0
0
=+∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂∂
Yyx
Xyx
yxy
yxx
στ
τσ
(Ec 1.8)
El equilibrio por momento del elemento, ∑Mz = O, se satisface ya que τxy = τyx .Puede
demostrarse que para el caso tridimensional, una ecuación típica de un conjunto de tres, es:
0=+∂∂
+∂∂
+∂∂ X
zyxzxyxx ττσ
(Ec 1.9)
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 10
CAPITULO II. PRENSAS
Observe que en la deducción de las ecuaciones previas, no se han usado las propiedades
mecánicas del material. Esto significa que esas ecuaciones son aplicables ya sea a material elástico,
plástico o viscoelástico. Es también muy importante notar que no hay suficientes ecuaciones de
equilibrio para determinar los esfuerzos desconocidos. En el caso bidimensional, dado por la ecuación:
0
0
=+∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂∂
Yyx
Xyx
yxy
yxx
στ
τσ
(Ecs 1.10)
En la ecuación anterior existen tres esfuerzos desconocidos, σx , σy y τxy y sólo dos ecuaciones.
Para el caso tridimensional, hay seis esfuerzos, pero sólo tres ecuaciones. Así entonces, todos los
problemas de análisis de esfuerzos son de forma interna estáticamente indeterminados.
Un procedimiento numérico que implica volver discreto un cuerpo en un gran número de
pequeños elementos finitos, en vez de los infinitesimales de antes, se usa ahora con frecuencia en
problemas complejos. Tal análisis con elementos finitos depende de las computadoras electrónicas de
alta velocidad para resolver grandes sistemas de ecuaciones simultáneas. En el método del elemento
finito, así como en el enfoque matemático, las ecuaciones de la estática son complementadas por las
relaciones cinemáticas y por las propiedades mecánicas del material.
1.6 Esfuerzo normal máximo en barras cargadas axialmente
En la mayor parte de las situaciones prácticas con barras cargadas axialmente, es conveniente
determinar directamente el esfuerzo normal máximo. Esos esfuerzos se desarrollan sobre secciones
perpendiculares al eje de la barra. Para tales secciones, el área de la sección transversal de una barra es
un mínimo y la componente de la fuerza aplicada es un máximo, lo que resulta en un esfuerzo normal
máximo.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 11
CAPITULO II. PRENSAS
La ecuación básica para determinar directamente el esfuerzo normal máximo en una barra
cargada axialmente se da aquí en la forma habitual, es decir, sin ningún subíndice. Sin embargo, los
subíndices se agregan con frecuencia para indicar el sentido del eje de la barra. Esta ecuación da el
esfuerzo normal máximo en una sección perpendicular al eje del miembro. Entonces,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡== 22
inlbo
mN
AP
areaFuerzaσ (Ec 1.11)
Donde P es la fuerza axial aplicada y A es el área de la sección transversal del miembro. Es
conveniente notar que el esfuerzo normal a dado por la ecuación 1.11 es una descripción completa del
estado de esfuerzo en una barra cargada axialmente. La ecuación 1.11 se aplica estrictamente sólo a
barras prismáticas (es decir, a barras que tienen área transversal constante). Sin embargo, la ecuación es
razonablemente exacta para miembros ligeramente ahusados. La resultante de esfuerzo para uno
uniformemente distribuido, actúa por el centroide del área de una sección transversal y garantiza el
equilibrio de un miembro axialmente cargado. Si la carga es más compleja, como la de la parte de
máquina mostrada en la figura 1.7, la distribución del esfuerzo no es uniforme. Aquí, en la sección a-a,
además de la fuerza axial P. se desarrolla también un momento flexionante M.
Fig. 1.7 Miembro con una distribución no uniforme del esfuerzo en la sección a-a.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 12
CAPITULO II. PRENSAS
Un razonamiento similar se aplica a miembros cargados axialmente en compresión y puede
entonces usarse la ecuación 1.11. Sin embargo, debe tenerse cuidado al investigar los miembros en
compresión. Éstos pueden ser tan esbeltos que no se comporten de la manera esperada. Por ejemplo,
una caña de pescar común, bajo una fuerza de compresión axial pequeña, tiene la tendencia a pandearse
lateralmente y a colapsarse.. La ecuación 1.11 es aplicable sólo a miembros robustos cargados
axialmente en compresión (es decir, bloques cortos). Llamando bloque corto a un bloque cuya menor
dimensión es aproximadamente un décimo de su longitud
Algunas veces los esfuerzos de compresión aparecen cuando un cuerpo está soportado por otro.
Si la resultante de las fuerzas aplicadas coincide con el centroide del área de contacto entre los dos
cuerpos, la intensidad de las fuerzas o esfuerzo entre los cuerpos puede determinarse de nuevo con la
ecuación 1.11. Es costumbre llamar a este esfuerzo normal esfuerzo de aplastamiento. Numerosas
situaciones similares aparecen en problemas mecánicos bajo las arandelas empleadas para distribuir
fuerzas concentradas. Esos esfuerzos de aplastamiento pueden aproximarse dividiendo la fuerza
aplicada P entre el área correspondiente de contacto, obteniendo así un esfuerzo de aplastamiento
nominal.
Al aceptar la ecuación 1.11, debe tenerse en cuenta que el comportamiento del material está
idealizado. Cada partícula de un cuerpo se supone que contribuye igualmente a resistir la fuerza. Se
implica una perfecta homogeneidad del material por tal suposición. Los materiales reales, como los
metales, consisten en un gran número de granos, mientras que la madera es fibrosa. En materiales
reales, algunas partículas contribuyen más a resistir una fuerza que otras. Las distribuciones ideales de
esfuerzos no existen en realidad si la escala escogida es suficientemente pequeña. La verdadera
distribución de esfuerzos varía en cada caso en particular y es sumamente irregular, sin embargo, en
promedio, hablando estadísticamente, los cálculos basados en la ecuación 1.11 son correctos y, por
consiguiente, el esfuerzo promedio calculado representa una cantidad altamente significativa.
Es también importante notar que las ecuaciones básicas para determinar esfuerzos, tal como la
ecuación 1.11, suponen un material inicialmente libre de esfuerzos. Sin embargo, al ser fabricados, los
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 13
CAPITULO II. PRENSAS
materiales suelen ser alisados, resaltados, forjados, soldados, doblados y martillados. En las
fundiciones, los materiales no se enfrían uniformemente. Esos procesos pueden inducir altos esfuerzos
internos llamados esfuerzos residuales. En los problemas reales, tales esfuerzos residuales pueden ser
de gran tamaño y deben ser investigados cuidadosamente y luego sumados a los esfuerzos calculados
para el material inicialmente libre de esfuerzos. Ahora bien, como tenemos esfuerzos normales sólo en
una dirección el esfuerzo cortante máximo en una barra cargada axialmente es la mitad del valor del
esfuerzo normal máximo.
1.7. Esfuerzos cortantes
Algunos materiales de la ingeniería (por ejemplo, el acero al bajo carbono) son más débiles en
cortante que en tensión, y, bajo cargas grandes, se desarrollan deslizamientos a lo largo de sus planos
de esfuerzo cortante máximo.
De acuerdo con la ecuacion 1.11, esos planos de deslizamiento en una probeta a tensión forman
ángulos de 45° con el eje de la barra, y es donde se presentan los esfuerzos cortantes máximos
τmax=P/2A. Sobre las superficies pulidas de una probeta, esas líneas pueden ser observadas fácilmente y
se llaman líneas de Lüders(1). Este tipo de comportamiento del material corresponde a una falla dúctil.
En muchas aplicaciones rutinarias de la ingeniería, grandes esfuerzos cortantes pueden
desarrollarse en posiciones críticas. Determinar tales esfuerzos con precisión suele ser difícil, sin
embargo, suponiendo que en el plano de una sección se desarrolla un esfuerzo cortante uniformemente
distribuido, puede encontrarse fácilmente una solución. Usando este enfoque, el esfuerzo cortante
promedio τprom se determina dividiendo la fuerza cortante V en el plano de la sección entre el área
correspondiente A.
mN
22 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
inlb
AV
areafuerza
promτ (Ec 1.12)
En la figura 1.8 se muestran algunos ejemplos de dónde puede usarse convenientemente la
ecuación 1.12. En la figura l.8(a) se muestra un pequeño bloque unido con pegamento a otro bloque
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 14
CAPITULO II. PRENSAS
más grande. Separando el bloque superior del inferior por una sección imaginaria se obtiene el diagra-
ma de equilibrio mostrado en la figura l8(b). El pequeño par aplicado Pe, que genera pequeños
esfuerzos normales perpendiculares a la sección a-a, es comúnmente despreciado. Con base en esto,
τprom mostrado en la figura l.8(c), puede encontrarse usando la ecuación 1.12 dividiendo P entre el área
A de la sección a-a. Un procedimiento similar se usa para determinar τprom en el problema mostrado en
la figura l.8(d). Sin embargo, en este caso, dos superficies pegadas están disponibles para transferir la
carga aplicada P. El mismo enfoque, usando secciones imaginarias, es aplicable a miembros sólidos.
Fig. 1.8 Condiciones d
ING. ALEJANDRO ESCAM
(a
(b)
(c)
e carga que causan esfuerzos cortantes entre las inte
con pegamento
ILLA NAVARRO 15
(d
(e)
(f)
rfaces de bloques unidos
CAPITULO II. PRENSAS
Ejemplos de dos conexiones atornilladas se muestran en las figuras l.9(a) y (e). Esas conexiones
pueden analizarse de dos maneras distintas. Según una de ellas, se supone que un tornillo apretado
desarrolla una fuerza de apriete suficientemente grande tal que la fricción desarrollada entre las
superficies en contacto impide que la junta se deslice. Para tales diseños se emplean comúnmente
tornillos de alta resistencia.
Un enfoque alternativo ampliamente usado supone que ocurre un deslizamiento tal que la
fuerza aplicada es transferida primero a un tornillo y luego del tornillo a la placa conectora, como se
ilustra en las figuras l.9(b) y (f). Para determinar τprom en esos tornillos, se usa simplemente el área
transversal A de un tornillo en vez del área de la superficie de contacto de la junta para calcular el
esfuerzo cortante promedio. Se dice que el tornillo mostrado en la figura l.9(a) está en cortante simple,
mientras que el mostrado en la figura l.9(e) está en cortante doble.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
Fig. 1.9 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes y de aplastamiento en tornillos
En conexiones soldadas, requiere consideración otro aspecto del problema. En casos como los
de las figuras l.9(a) y (e), cuando la fuerza P es aplicada, una presión muy irregular se desarrolla entre
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 16
CAPITULO II. PRENSAS
un tornillo y las placas. La intensidad nominal promedio de la presión se obtiene dividiendo la fuerza
transmitida entre el área proyectada del tornillo sobre la placa. A éste se le llama esfuerzo de
aplastamiento. El esfuerzo de aplastamiento en la figura 1 .9(a) es ,/ tdPb=σ donde t es el espesor de
la placa y d es el diámetro del tornillo. Para el caso en la figura l.9(e), los esfuerzos de aplastamiento
para la placa media y las placas exteriores son d/ 11 tP=σ y d/ 2tP , respectivamente. 2=σ
El mismo procedimiento se aplica también a conexiones remachadas.
(a) (b) Fig. 1.10 Conexiones remachadas.
En el enfoque previo de diseño, ha sido despreciada la resistencia friccional entre las superficies
en contacto en los conectores. Sin embargo, si la fuerza de apriete desarrollada por un conector es
suficientemente grande y confiable, la capacidad de una junta puede ser determinada con base en la
fuerza de fricción entre las superficies en contacto. Esta condición se muestra en la figura 1.10. Con el
uso de tornillos de alta resistencia con rendimiento del orden de 100 ksi (700 MPa), éste es un método
aceptable en el diseño estructural de acero. El apriete requerido de tales tornillos se especifica
usualmente como aproximadamente el 70% de su resistencia a la tensión.
Para los fines de un análisis simplificado, se especifica un esfuerzo cortante permisible basado
en el área nominal de un tornillo. Esos esfuerzos se basan en experimentos. Esto permite que el diseño
de conexiones, al usar tornillos de alta resistencia, se lleve a cabo de la misma manera que para los
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 17
CAPITULO II. PRENSAS
tornillos o los remaches ordinarios.
Otra manera de unir miembros entre sí es por medio de soldadura. Un ejemplo de una conexión con
soldaduras de filete se muestra en la figura 1.11. El esfuerzo cortante máximo ocurre en los planos a-a
y b-b, como se muestra en la figura l.11(b). La capacidad de tales soldaduras es usualmente dada en
unidades de fuerza por unidad de longitud de soldadura.
Fig. 1.11 Condición de carga que causa un esfuerzo cortante critico en dos planos de soldadura de
filete
1.8 Análisis de los esfuerzos normales y cortantes
Una vez que la fuerza axial P o la fuerza cortante V, así como el área A, han sido determinadas
en un problema dado, pueden aplicarse fácilmente las ecuaciones 1.11 y 1.12 para calcular los
esfuerzos normal y cortante. Esas ecuaciones que dan, respectivamente, las magnitudes máximas de los
esfuerzos normal y cortante, son particularmente importantes, ya que determinan la demanda máxima
sobre la resistencia de un material. Esos esfuerzos máximos ocurren en una sección de área transversal
mínima y/o de fuerza axial máxima. Tales secciones se llaman secciones críticas.
En los problemas más simples, la sección crítica para el arreglo particular que se analiza puede
encontrarse usualmente por inspección. En otros problemas, esto puede requerir un extenso análisis, el
cual suele hacerse ahora con ayuda de una computadora.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 18
CAPITULO II. PRENSAS
Para el equilibrio de un cuerpo en el espacio, las ecuaciones de la estática requieren del
cumplimiento de las condiciones siguientes:
∑ ∑∑∑∑∑
==
==
==
0Mz 0Fz
0My 0Fy
0Mx 0Fx
(Ecs. 1.13)
1.9 Deformación unitaria
El esfuerzo puede relacionarse con la deformación por unidad de longitud de una probeta
usando medios experimentales para establecer una relación esfuerzo-deformación unitaria para un
material específico. Esta relación se llama modelo constitutivo de un material y expresa las
propiedades mecánicas más importantes de un material durante un proceso de carga. El modelo
constitutivo de un material se basa en resultados de experimentos que se llevan a cabo en condiciones
muy simples de carga. Cuando una relación constitutiva se combina con las ecuaciones de equilibrio y
compatibilidad, puede predecirse el comportamiento estructural general.
1.10 La prueba de tensión y la deformación unitaria normal
Las propiedades mecánicas de los materiales usados en ingeniería se determinan por medio de
experimentos efectuados sobre pequeñas probetas. Esos experimentos se llevan a cabo en laboratorios
equipados con máquinas de prueba, como la que se muestra en la figura 1.12, capaces de cargar en
tensión o en compresión.
Han sido desarrollados varios tipos de prueba para evaluar las propiedades de los materiales
bajo diferentes condiciones de carga, como carga estática de corta duración y cíclica, y también prue-
bas a largo plazo y de carga impulsiva. A través de los años, cada una de esas pruebas se ha
estandarizado de manera que pueden ser comparados los resultados obtenidos en diferentes
laboratorios. En los Estados Unidos, la American Society for Testing and Materials (ASTM) ha
publicado guías para efectuar tales pruebas y proporciona límites para los que el uso de un material
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 19
CAPITULO II. PRENSAS
particular se considera aceptable.
Fig. 1.12 Máquina universal de pruebas (Cortesía de la MTS System Corporation).
Uno de los experimentos más importantes es la prueba de tensión o compresión en la cual una
fuerza axial creciente P se aplica a una probeta cilíndrica como la de la figura 1.13. El área transversal
original Ao de la porción central de la probeta se calcula exactamente y dos marcas de calibración se
inscriben a una distancia Lo entre sí. La distancia Lo se llama longitud calibrada de la probeta. En un
experimento, el cambio en la longitud de esta distancia se mide por medio de un dispositivo llamado
extensómetro, Durante un experimento, el cambio en la longitud calibrada se registra como función de
la fuerza aplicada. Con la misma carga y una longitud calibrada mayor se observa una mayor
deformación que cuando la longitud calibrada es pequeña. Por tanto, es muy importante referirse a la
deformación observada por unidad de longitud calibrada (es decir, a la intensidad de la deformación).
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 20
CAPITULO II. PRENSAS
Si Lo longitud calibrada inicial y L es la longitud observada bajo una carga dada. el
alargamiento calibrado es ∆L = L – Lo. El alargamiento (o contracción) є por unidad de la longitud
calibrada inicial está dado por:
0LL∆
=ε (Ec. 1.14)
Esta expresión define la deformación unitaria en tensión (o en compresión}. Como esta
deformación unitaria está asociada con el esfuerzo normal, se llama comúnmente deformación unitaria
normal. Se trata de una cantidad sin dimensiones, pero es costumbre referirse a ella como si tuviera la
dimensión de mm/mm, in/in, m/m ó µm/m microdeformación unitaria). A veces la deformación
unitaria se da como un porcentaje de la longitud original. La cantidad є es por lo general muy pequeña.
Fig. 1.13 Probeta cilíndrica de pruebas
Como por lo general las deformaciones unitarias que se encuentran son muy pequeñas, es
posible emplear medios muy versátiles para medirte usando extensómetros eléctricos desechables.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 21
CAPITULO II. PRENSAS
Éstos se fabrican de alambre muy fino o laminitas muy delgadas que se pegan al miembro que
se está investigando. Cuando las fuerzas son aplicadas al miembro, el alargamiento o contracción de
los alambres o laminitas tiene lugar en forma concurrente con cambios similares en el material. Esos
cambios de longitud alteran la resistencia eléctrica del extensómetro que puede medirse y calibrarse
para indicar la deformación unitaria que está ocurriendo. Tales extensómetros, adecuados para diversas
condiciones ambientales, están disponibles en varias longitudes que varían entre 4 y 140 mm.
1.11 Esfuerzos principales en problemas bidimensionales
A menudo el interés se centra en la determinación del máximo esfuerzo posible, como es dado
por las ecuaciones de transformación de esfuerzo.
θτθσσσσ
σ 22cos22´` senyxyx
x+
−+
+= (Ec. 1.15)
θτθσσ
τ 2cos22
+−
−= senyxxy (Ec.1.16)
Por lo que se encuentran primero los planos en que tales esfuerzos ocurren. Para encontrar el
plano para un esfuerzo normal máximo o mínimo, la ecuación 1.15 se deriva con respecto a α y la
derivada se iguala a cero; es decir:
02cos22
=+−
−= θτθσσ
θσ
sendd yxx
( ) 2/2tan 1
yx
xy
σστ
θ−
= (Ec. 1.17)
Dónde el subíndice del ángulo θ se usa para designar el ángulo que define el plano del esfuerzo
normal máximo o mínimo. La ecuación 1.17 tiene dos raíces, ya que el valor de la tangente de un
ángulo en el cuadrante diametralmente opuesto es el mismo, como puede verse en la figura 11.14. Esas
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 22
CAPITULO II. PRENSAS
raíces están a 180° entre sí, y como la ecuación 1.17 es para un ángulo doble, las raíces de θ1 están a
90° entre sí. Una de esas raíces localiza el plano sobre el cual actúa el esfuerzo normal máximo; la otra
localiza el plano correspondiente al esfuerzo normal mínimo. Para distinguir entre esas dos raíces, se
usa una prima y una doble prima como notación.
Fig. 1.14 Funciones angulares para esfuerzos principales.
Antes de evaluar esos esfuerzos, observe cuidadosamente que si se quiere la posición de los
planos en que no actúan esfuerzos cortantes, la ecuación 1.16 debe hacerse igual a cero. Esto da la
misma relación que la ecuación 1.17. Por tanto, llegamos a una importante conclusión: Sobre planos
en que ocurren esfuerzos normales máximos o mínimos, no se tienen esfuerzos cortantes.
Esos planos se llaman planos principales de esfuerzo y los esfuerzos que actúan en esos planos,
o sea los esfuerzos normales máximo y mínimo, se llaman esfuerzos principales. Las magnitudes de
los esfuerzos principales pueden obtenerse sustituyendo los valores de las funciones seno y coseno
correspondientes al ángulo doble dado por la ecuación 1.17 en la ecuación 1.15. Entonces los
resultados se simplifican y la expresión para el esfuerzo normal máximo (denotado por σ1) el
esfuerzo normal mínimo (denotado por σ2) toma la forma
( ) 22
21minmax' 22 xy
yxyxox τ
σσσσσσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
−== (Ec. 1.18)
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 23
CAPITULO II. PRENSAS
Donde el signo positivo frente a la raíz cuadrada debe usarse para obtener σ1 y el signo negativo
para obtener σ2. Los planos en que esos esfuerzos actúan pueden determinarse usando la ecuación 1.17.
1.12. Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales
Si σx , σy y τxy son conocidos para un elemento, el esfuerzo cortante sobre cualquier plano
definido por un ángulo θ está dado por la ecuación 1.16 y puede hacerse un estudio del esfuerzo
cortante. Entonces, para localizar los planos sobre los que actúan los esfuerzos cortantes máximo o
mínimo, la ecuación 1.16 debe ser diferenciada con respecto a θ y la derivada igualada cero. Al hacerlo
así y simplificar los resultados, se obtiene:
( )
2/2tan 2
xy
yx
τσσ
θ−
= (Ec. 1.19)
Donde se pone el subíndice 2 a θ para designar el plano sobre el cual el esfuerzo cortante es
máximo o mínimo. Igual que la ecuación 1.17, la ecuación 1.19 tiene dos raíces, que de nuevo pueden
diferenciarse entre sí poniendo a θ2 una prima o una doble prima. Los dos planos definidos por la
ecuación son mutuamente perpendiculares. Además, el valor de tan2θ2 por la ecuación 1.18 es el
recíproco negativo del valor de tan 2 θ1 de la ecuación 1.17. Por consiguiente, las raíces para los
ángulos dobles de la ecuación 1.19 están a 90° de las correspondientes raíces de la ecuación 1.17. Esto
implica que los ángulos que localizan los planos de esfuerzo cortante máximo o mínimo forman
ángulos de 45° con los planos de los esfuerzos principales. La sustitución en la ecuación 1.15 de las
funciones seno y coseno correspondientes al ángulo doble dado por la ecuación 1.19 y determinadas
como se hizo antes en la figura 1.14, da los valores máximo y mínimo de los esfuerzos cortantes. Éstos,
después de efectuar algunas simplificaciones, son:
( ) 22
minmax
2 xyyx τ
σστ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±= (Ec. 1.20)
El esfuerzo cortante máximo difiere entonces del esfuerzo cortante mínimo sólo en el signo.
Además, como las dos raíces dadas por la ecuación 1.19 localizan planos a 90° entre sí, este resultado
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 24
CAPITULO II. PRENSAS
también significa que los valores numéricos de los esfuerzos cortantes sobre los planos mutuamente
perpendiculares son los mismos. El esfuerzo cortante más grande, independientemente del signo, será a
menudo llamado el esfuerzo cortante máximo.
El sentido del esfuerzo cortante puede siempre ser determinado por sustitución directa de la raíz
particular de θ2 en la ecuación 1.16. A diferencia de los esfuerzos principales para los cuales no se
presentan esfuerzos cortantes sobre los planos principales, los esfuerzos cortantes máximos actúan
sobre planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La sustitución de θ2 de la ecuación
1.19 en la ecuación 1.15 muestra que los esfuerzos normales que actúan sobre los planos de los es-
fuerzos cortantes máximos son:
2'yx σσ
σ−
= (Ec. 1.21)
Por tanto, un esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos
que yx σσ + sea cero.
Si yx yσσ en la ecuación 1.20 son esfuerzos principales, xyτ es cero y la ecuación 1.20 se
simplifica a:
( )2min
maxyx σσ
τ−
±= (Ec. 1.22)
Los resultados de este análisis se muestran en la figura 1.15. La ecuación 1.17 muestra cla-
ramente que en ausencia de esfuerzos normales, los esfuerzos principales son numéricamente iguales al
esfuerzo cortante. El sentido de los esfuerzos normales se obtiene con la ecuación 1.17. Los esfuerzos
cortantes actúan hacia la diagonal DF en la dirección de los esfuerzos principales de tensión; véase la
figura l.15 (a).
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 25
CAPITULO II. PRENSAS
Y
Fσ1=⏐τxy⏐ σ2=⏐τxy⏐ F
X
(a) (b) (a) (b)
τxy
D
450
τxy
⏐τxy⏐
450
D
⏐τxy⏐
(c) (c)
Fig. 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro. Fig. 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro.
1.13 Falla de un elemento 1.13 Falla de un elemento
Se requiere que un diseñador seleccione un material y dimensione adecuadamente un elemento
para realizar una función especificada sin fallar.
Se requiere que un diseñador seleccione un material y dimensione adecuadamente un elemento
para realizar una función especificada sin fallar.
Falla se define como el estado o condición en el cual un elemento o una estructura deja de
realizar su trabajo para el cual fue concebido, de manera adecuada. Dentro de falla tenemos las
Falla se define como el estado o condición en el cual un elemento o una estructura deja de
realizar su trabajo para el cual fue concebido, de manera adecuada. Dentro de falla tenemos las
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 26
CAPITULO II. PRENSAS
siguientes condiciones:
Falla elástica.- Se presenta como resultado de una deformación elástica excesiva.
Falla por fluencia.- Se caracteriza por una deformación plástica excesiva. La resistencia de
fluencia, el punto de fluencia y el límite de proporcionalidad se usan como índices de la resistencia con
respecto a la falla por la fluencia de los elementos que están sujetos a cargas estáticas.
Falla por flujo plástico.- Se presenta como resultado de la deformación plástica excesiva
después de mucho tiempo bajo un esfuerzo constante. En máquinas o estructuras que están sujetas a
esfuerzos altos, temperatura alta, o ambos, durante mucho tiempo, el flujo plástico es una
consideración de diseño importante, y el límite de flujo es el índice de resistencia que se debe usar. El
límite de flujo plástico normalmente disminuye con el aumento de temperatura.
Falla por fractura.- Es una separación completa del material. La resistencia última de un
material es el índice de resistencia a la falla por fractura bajo cargas estáticas en las que no interviene el
flujo plástico.
1.14 Esfuerzo de diseño (trabajo)
La mayoría de los problemas de diseño incluyen muchas variables desconocidas. Normalmente,
se estima la carga que deben soportar la estructura o la máquina. La carga real puede variar
considerablemente de la estimación, especialmente cuando deben considerarse cargas para algún
tiempo futuro. Ya que la prueba generalmente daña el material, las propiedades de un material que se
usa en una estructura o máquina no pueden evaluarse directamente, sino que normalmente se
determinan haciendo pruebas en especimenes de un material similar. Aún más, los esfuerzos
verdaderos que existirán en una estructura o máquina son desconocidos porque los cálculos se basan en
suposiciones acerca de la distribución de los esfuerzos en el material.
Debido a esto y a otras variables desconocidas, se acostumbra diseñar para soportar la carga
necesaria para producir la falla, la cual es mayor que la carga real estimada, o usar un esfuerzo
admisible (o de diseño o trabajo), que esté por debajo del esfuerzo requerido para producir la falla.
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CAPITULO II. PRENSAS
Un esfuerzo de permisible se define como el esfuerzo máximo permitido en el cálculo de
diseño. El factor de seguridad (FS), puede definirse como la relación entre una carga que produce la
falla y la carga real estimada. El factor de seguridad también puede definirse como la relación entre la
resistencia de un material y el esfuerzo máximo calculado en el material. En forma de ecuación, el
factor de seguridad puede escribirse como:
real
falla
PP
FS =
real
fallaFSσσ
= (Ecs. 1.22)
FS
fallaadmisible
σσ =
1.15 Selección del factor de seguridad
La selección de un factor de seguridad que debe usarse en distintas aplicaciones es una de las
tareas más importantes de los ingenieros. Por una parte, si el factor de seguridad se elige demasiado
pequeño, la posibilidad de falla se torna inaceptablemente grande; por otra, si se elige demasiado
grande, el resultado es un diseño caro o no funcional. La elección de un factor de seguridad apropiado
para una determinada aplicación de diseño requiere de un acertado juicio por parte del ingeniero
basado en muchas consideraciones como las siguientes:
1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento bajo consideración.
La composición, resistencia y dimensiones del elemento están sujetas a pequeñas variaciones
durante la manufactura. Además las propiedades del material pueden alterarse y, con ello, introducir
esfuerzos residuales debido al calentamiento o deformación que puedan ocurrir durante la manufactura,
almacenamiento, transporte o construcción del material.
2. Número de cargas que pueden esperarse durante la vida de la estructura o máquina.
Para la mayoría de los materiales el esfuerzo último disminuye al aumentar el número de
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CAPITULO II. PRENSAS
aplicaciones de carga. Este fenómeno se conoce como fatiga y, si se ignora, puede provocar una falla
repentina.
3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseño, o que puedan ocurrir en el futuro.
Muy pocas situaciones de carga se conocen con certeza. La mayoría de las cargas de diseño son
aproximaciones. Además, las alteraciones futuras o cambios en el uso pueden introducir cambios en la
carga real. Para cargas dinámicas, cíclicas o de impulso, se requieren mayores factores de seguridad.
4. Tipo de falla que pueda ocurrir.
Los materiales frágiles comúnmente fallan de manera repentina, sin indicación previa de que el
colapso es inminente. Por otra parte, los materiales dúctiles, como el acero estructural, con frecuencia
sufren una sustancial deformación, llamada cadencia, antes de fallar, dando así una advertencia de que
existe una sobrecarga. Sin embargo, la mayoría de las fallas de estabilidad o por pandeo son repentinas,
sea frágil el material o no.
5. Incertidumbre debida a los métodos de análisis.
Todos los métodos de diseño se basan en ciertas suposiciones simplificadoras que se traducen
en que los esfuerzos calculados sean sólo aproximaciones de los esfuerzos reales.
6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas naturales
inevitables.
Un factor de seguridad mayor es necesario en localidades donde las condiciones como la
corrosión y la putrefacción son difíciles de controlar o hasta de descubrir.
7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa.
Los refuerzos y los elementos secundarios pueden diseñarse en muchos casos, con un factor de
seguridad menor que el empleado para los elementos principales.
Además de lo anterior, hay la consideración adicional relativa al riesgo para la vida y para la
propiedad que una falla produciría. Cuando una falla no implica un riesgo para la vida, sino sólo un
riesgo mínimo para la propiedad, puede considerarse el uso de un factor de seguridad menor. Por
último está la consideración práctica de que, a menos que se utilice un diseño cuidadoso con un factor
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CAPITULO II. PRENSAS
de seguridad no excesivo, una estructura o máquina puede no desempeñar la función para la que fue
diseñada.
Para la mayor parte de las aplicaciones estructurales y de maquinaria, los factores de seguridad
se establecen en las especificaciones de diseño o en los códigos de construcción elaborados por comités
de experimentados ingenieros que trabajan con sociedades profesionales, con la industria o con
agencias federales, estatales o municipales.
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CAPITULO II. PRENSAS
CAPITULO II PRENSAS
2.1 Prensas
La máquina utilizada para la mayoría de las operaciones de trabajo en frío y algunos en caliente,
se conoce como prensa. Consiste de un bastidor que sostiene una bancada y un ariete, una fuente de
potencia, y un mecanismo para mover al ariete linealmente y en ángulos rectos con relación a la
bancada.
En la fig. 2.1 se muestra una prensa punzonadora revólver para uso vinícola, que tiene una
garganta de 1.5 m de profundidad, de 16 a 32 estaciones de herramientas y una fuerza de 0.7 MN que
perforaría un perímetro de 625 mm en una placa de acero dulce de 6.3 mm.
FIG. 2.1 Prensa punzonadora revólver de hierro fundido, 1936.
Una prensa debe estar equipada con matrices y punzones diseñados para ciertas operaciones
específicas. Aunque algunas prensas se adaptan mejor que otras para cierto tipo de trabajo, la mayoría
de operaciones de formado, punzonado y cizallado, se pueden efectuar en cualquier prensa normal si se
usan las matrices y punzones adecuados. Esta versatilidad hace posible usar la misma prensa para una
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CAPITULO II. PRENSAS
gran variedad de trabajos y operaciones, lo cual es una característica deseable para las producciones pe-
queñas.
Las prensas tienen capacidad para la producción rápida, puesto que el tiempo de operación es
solamente el que se necesita para una carrera del ariete, más el tiempo necesario para alimentar el
material. Por consiguiente, se pueden conservar bajos costos de producción. Cualquier producto que se
pueda fabricar con metal delgado y que no requiera de una precisión extrema en las tolerancias
dimensionales, se puede producir económicamente en este tipo de máquina.
Tiene una adaptabilidad especial para los métodos de producción en masa, como lo evidencia su
amplia aplicación en la manufactura de piezas para automóviles y aviones, artículos de ferretería,
juguetes y utensilios para cocina.
2.2 Tipos de prensas
Es difícil hacer una clasificación de máquinas prensadoras, ya que la mayoría de ellas son
capaces de desarrollar varios tipos de trabajo. Por tanto, no es muy correcto llamar a una prensa, prensa
dobladora, a otra, prensa de repujado, y aún a otra, prensa recortadora, pues los tres tipos de ope-
raciones se pueden hacer en una máquina. Sin embargo, a algunas prensas diseñadas especialmente
para un tipo de operación, se les puede conocer por el nombre de la operación, como por ejemplo,
prensa punzonadora aprensa acuñadora. La clasificación más sencilla está en relación a la fuente de
energía (ya sea operada manualmente o con potencia).
Muchas de las máquinas operadas manualmente se usan para trabajos en lámina delgada de
metal, principalmente en trabajo en la obra, pero la mayor parte de maquinaria para producción se
opera con potencia. Otra forma de agrupar a las prensas, está en función del número de arietes o los
métodos para accionarlos.
La mayoría de los productores las nombran de acuerdo al diseño general del bastidor, aunque se
pueden designar de acuerdo con el arreglo de la transmisión de la energía o el propósito principal para
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CAPITULO II. PRENSAS
el que se usará la prensa. Los tipos más generales de clasificación de prensas son los siguientes:
Con respecto a la fuente de energía:
1. Manual.
2. Potencia.
• Mecánica
• Vapor, gas, neumática
• Hidráulica
Con respecto al ariete:
1. Vertical de simple efecto
2. Vertical de doble efecto
3. En cuatro correderas
4. De configuración especial
Con respecto al diseño del bastidor:
1. De banco
2. Inclinable
3. De escote
4. De puente
5. De costados rectos
6. Yunque
7. Columna
Con respecto al método de aplicación de potencia al ariete:
1. Manivela
2. Leva
3. Excéntrica
4. Tornillo de potencia
5. Cremallera y piñón
6. Junta articulada
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CAPITULO II. PRENSAS
7. Hidráulica
8. Palanca acodillada
9. Neumática
Con respecto al propósito de la prensa:
1. Cizallas de escuadrar
2. Cizallas de círculos
3. Dobladora
4. Punzonado
5. Extruido
6. Empalmado
7. Enderezado
8. Forzado
9. Acuñado
10. De transferencia
11. Roedora
12. Estirado
13. Revólver
14. Forja
Para seleccionar el tipo de prensa a usar en un trabajo dado, se deben considerar varios factores.
Entre éstos están el tipo de operación a desarrollar, tamaño de la pieza, potencia requerida, y la
velocidad de la operación.
Para la mayoría de operaciones de punzonado, recortado y desbarbado, se usan generalmente
prensas del tipo de manivela o excéntrica. En estas prensas, la energía del volante se puede transmitir al
eje principal, ya sea directamente o a través de un tren de engranajes. La prensa de junta articulada se
ajusta idealmente a las operaciones de acuñado, prensado o forja. Tiene una carrera corta y es capaz de
imprimir una fuerza tremenda. Las pensas para operaciones de estirado tienen velocidades más lentas
que las de punzonado y recortado.
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CAPITULO II. PRENSAS
Las prensas operadas hidráulicamente son en especial deseables para este trabajo. Cuando se
estira acero dulce, la práctica normal es la de no exceder 20 m/min; el aluminio y otros metales no
ferrosos se pueden trabajar a velocidades mayores de 45 m/min.
2.2.1 Prensa inclinada
En la fig. 2.2 se muestra una prensa inclinable de manivela doble con bastidor de escote. El
bastidor inclinado de la máquina ayuda a descargar de la prensa las piezas y desperdicios. Las piezas se
pueden deslizar por gravedad en una caja de carga, o el material se puede alimentar a las matrices por
medio de una canal. La mayoría de prensas de este tipo son ajustables y varían su posición desde la
vertical hasta un ángulo bastante inclinado.
Fig. 2.2 Prensa inclinable de bastidor con escote de manivela simple con alimentación de doble rodillo.
Capacidad 1MN.
Este arreglo se prefiere para trabajo diversificado de prensa, pues muchas tareas se hacen mejor
con la prensa en posición vertical; particularmente si las partes se descargan a través de la matriz. Las
prensas inclinables se usan frecuentemente en la producción de piezas pequeñas que implican doblado,
punzonado, recortado y operaciones similares.
2.2.2 Prensa de escote
Las prensas de escote o de bastidor en C se llaman así debido a la disposición de la abertura del
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CAPITULO II. PRENSAS
bastidor de la prensa, como se ilustra en la fig. 2.2. Tal diseño del bastidor se muestra también en la fig.
2.3, con algunos otros diseños comunes de bastidores. Las prensas de escote proporcionan un excelente
espacio libre alrededor de las matrices y permiten usar la prensa para piezas largas o anchas. Las
operaciones de estampado se pueden efectuar en una prensa de escote, usando frecuentemente la de
tipo inclinable.
Fig. 2.3 Diseños tipicos de bastidores usados en prensas
2.2.3 Prensa de puente
La prensa de puente ilustrada también en la fig. 2.3, se denomina así por la forma peculiar de su
bastidor. La parte más baja del bastidor, cerca de la bancada, es ancha, para permitir el trabajo en
lámina de metal de áreas grandes; la parte superior es angosta. Los cigüeñales son pequeños en relación
al área de la corredera y la bancada de la prensa, ya que estas prensas no están diseñadas para trabajo
pesado. Se usan para recortado, doblado y desbarbado.
2.2.4 Prensa de costados rectos
Conforme aumenta la capacidad de una prensa, se hace necesario aumentar la resistencia y
rigidez del bastidor. Las prensas de costados rectos son más fuertes, pues las grandes fuerzas son
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CAPITULO II. PRENSAS
soportadas hacia arriba en dirección vertical por los costados del bastidor; y hay poca tendencia a que
la alineación de punzones y matrices se vea afectada por el esfuerzo. Estas prensas se encuentran
disponibles para capacidades mayores de 11 MN. Las prensas de costados rectos se fabrican con
diversos medios de suministro de energía y diferentes métodos de operación. Para las prensas más
pequeñas, generalmente se usa una sola manivela o excéntrica, pero conforme aumenta el tamaño de la
pieza, se necesitan manivelas adicionales para distribuir la carga uniformemente en la corredera.
La corredera se puede suspender en posición, ya sea por una, dos o cuatro guías o puntos de sus-
pensión. Las prensas de doble efecto usadas ampliamente en las operaciones de embutido, tienen un
ariete externo que precede al punzón y sujeta al habilitado antes de la operación de punzonado. El
ariete externo es impulsado generalmente por un mecanismo especial de balancín o leva, mientras que
para el ariete interior, que lleva al punzón, es un mecanismo de manivela. En la fig. 2.4 ser muestra una
gran prensa cerrada de costados rectos con palanca acodillada de doble efecto. La presión se aplica a la
corredera en cuatro puntos. Esta es una ventaja característica de las prensas de áreas grandes debido a
que tal construcción previene la inclinación de la corredera con cargas desequilibradas. El mecanismo
de palanca acodillada en esta máquina es para controlar el movimiento del pisador del habilitado.
Un mecanismo de palanca acodillada, mostrado en la fig. 2.12, se puede describir como un
conjunto de dos o más barras tales que aunque unidas extremo a extremo no están alineadas, excepto
cuando la "rodilla" se endereza. Como consecuencia, se logra una gran fuerza en los extremos; al
momento en que se aplica esta fuerza, y cuando no hay movimiento en el pisador del habilitado, se le
conoce como periodo de detención. Esto es necesario para sujetar el habilitado en las operaciones de
embutido, y se recomienda frecuentemente tener un ligero paro en el punzón, para dejar que el metal se
ajuste adecuadamente bajo la presión.
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CAPITULO II. PRENSAS
Fig. 2.4 Toldo completamente formado con una carrera en una prensa cerrada de palanca
acodillada.
Los bastidores de costados rectos se usan también en las prensas hidráulicas en las que hay
impacto de cargas pesadas, tal como en el formado de material de calibre grueso, forjado en prensa,
acuñado y embutido profundo.
2.2.5 Prensa de yunque
Las prensas de yunque, como la ilustrada en la fig. 2.3, tienen un eje grueso que se proyecta
desde el bastidor de la máquina, en lugar de la bancada ordinaria. Donde está provista de bancada, se
acondiciona moviéndola hacia un lado al usar el yunque. Esta prensa se usa principalmente en objetos
cilíndricos que implican operaciones de empalmado, reborde de contornos, punzonado, remachado y
repujado.
2.2.6 Prensa de junta articulada
Las prensas proyectadas para el acuñado, calibrado y repujado fuerte, deben ser muy
voluminosas para soportar las grandes cargas concentradas que se les aplican.
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CAPITULO II. PRENSAS
La prensa mostrada en la fig. 2.5 está diseñada para este propósito, y está equipada con un
mecanismo de junta articulada para accionar la corredera. El eslabón superior o articulación de esta
prensa, está abisagrado en un extremo en la parte superior del bastidor y sujeto a un pasador en el otro.
El eslabón inferior está también sujeto al mismo pasador y el otro extremo a la corredera. Un tercer
eslabón está sujeto a los extremos del pasador y actúa en dirección horizontal para mover a la junta,
como se ilustra en la fig. 2.12. En cuanto se coloca a los dos eslabones de articulación en posición
rectilínea, la corredera ejerce una gran fuerza.
Este tipo de prensa siempre ha tenido uso amplio en el acuñado de monedas. De acuerdo a las
pruebas efectuadas por The United States Mint en Filadelfia, se requiere una fuerza de 0.9 MN para
lograr impresiones claras de monedas de medio dólar hechas en una matriz cerrada. Junto con el
acuñado de monedas, se pueden prensar en frío con este tipo de máquina, muchas otras piezas tales
como medallas, llaves ciegas, placas para automóvil, cajas para relojes y utensilios de plata.
También se pueden efectuar operaciones de calibrado, cabeceado en frío, enderezado,
estampado pesado y otras similares. Ya que la carrera de este tipo de prensa es corta y lenta, no se
adapta a las operaciones de embutido o doblado.
Fig. 2.5 Prensa de junta articulada con bastidor de hierro fundido; capacidad 5.3 MN.
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CAPITULO II. PRENSAS
2.2.7 Prensa dobladora
Las prensas dobladoras se usan para doblar, formar, rebordear, repujar, desbarbar y punzonar
lámina metálica de bajo calibre. Tales prensas pueden tener espacio para lámina de 6 m de ancho y 16
mm de espesor. La fig. 2.6 es una prensa dobladora controlada con tarjeta perforada que
automáticamente formará, punzonará y cortará a la longitud piezas de acero. Las tarjetas se pueden
producir con papel ordinario para perforar.
La capacidad de presión requerida de una prensa dobladora para un material dado, se determina
por la longitud de la pieza, el espesor del metal y el radio del doblez. El radio mínimo interior de
doblez se limita usualmente a un valor igual al espesor del material.
Para las operaciones de doblado, la presión requerida varía en proporción a la resistencia a la
tensión del material. Las prensas dobladoras tienen carreras cortas, y están equipadas generalmente con
un mecanismo impulsor de tipo excéntrico.
Fig. 2.6 Prensa dobladora controlada con tarjetas.
La fig. 2.7 ilustra dos prensas poco usuales que con material de calibre grueso se emplean en la
producción de tubería de 760 y 915 mm para sistemas de gasoductos. Como primer paso de la
operación, la prensa del tipo dobladora, flexiona a la gran placa en forma de “U”. A partir de esta
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CAPITULO II. PRENSAS
forma, se le comprime en una prensa "O" a presiones mayores de los 125 MPa dentro de una forma
tubular. Después de esta serie de operaciones de formado, se suelda por resistencia a la tubería, se
limpia y se revisa.
Fig. 2.7 Pasos del formado de tubo de gran diámetro en prensa.
2.2.8 Cizallas de escuadrar
Esta máquina se usa exclusivamente para cizallar láminas de acero y se fabrica tanto para
operación manual como operación con motor. Se pueden colocar láminas con un ancho mayor de 3 m.
Están provistas de pisadores hidráulicos cada 300 mm para prevenir cualquier movimiento de la lámina
durante el corte. En la operación, la lámina avanza sobre la bancada de manera que la línea de corte se
encuentre bajo la cuchilla. Cuando se acciona el pedal, los pisadores descienden" y las cuchillas cortan
progresivamente a lo largo de la lámina.
2.2.9 Prensa de Revólver
Las prensas de revólver se adaptan especialmente a la producción de piezas de lámina metálica
que tengan diversos modelos de agujeros de muchos tamaños. En las prensas convencionales de esta
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 41
CAPITULO II. PRENSAS
clase, se prepara una plantilla para guiar al punzón, y el tamaño del agujero se selecciona haciendo
girar un revólver que contiene los punzones.
La fig. 2.8 ilustra una prensa punzonadora de revólver de 0.3 MN con control de cinta, que
puede trabajar láminas de tamaños de 1200 a 1830 mm. La lámina se posiciona debajo del punzón a
una velocidad de la mesa de 6 m/min. Se pueden perforar agujeros mayores de 120 mm en acero de 9.4
mm de espesor, a razón de más de 30 por minuto con una precisión de 0.13 mm. Se pueden ajustar al
revólver 32 punzones diferentes.
Fig. 2.8 Prensa revólver de 0.27 MN que usa computadora de control numérico.
2.2.10 Prensa hidráulica
Las prensas hidráulicas tienen carreras más prolongadas que las prensas mecánicas y desarrollan
plena fuerza a lo largo de toda la carrera. Sin embargo, la capacidad de estas prensas es fácilmente
ajustable, y sólo se puede usar una fracción de la fuerza. También se puede ajustar la longitud de la
carrera como sea necesaria. Las prensas hidráulicas se adaptan especialmente a operaciones de
embutido profundo, debido a su movimiento lento y uniforme. También se usan para otras operaciones
numerosas que requieren de grandes fuerzas, tales como el aglomerado de metales en polvo, extruido,
laminado, moldeo de plástico y forjado. No se recomiendan para recortado fuerte y operaciones de
punzonado, ya que el choque del rompimiento es perjudicial para la prensa. El mantenimiento es mayor
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 42
CAPITULO II. PRENSAS
que para las prensas mecánicas, aun cuando la operación de la prensa es más lenta. Las prensas
hidráulicas pequeñas se asemejan a las prensas de costados rectos. Para trabajo de grandes áreas se usa
la de construcción tipo poste o de cuatro columnas.
La prensa hidráulica que se muestra en la fig. 2.9 está especialmente diseñada para hacer
embutidos profundos en toda clase de lámina metálica. El punzón principal de embutido, montado en la
corredera superior, se mueve en tándem con la corredera del pisador, el cual lo rodea debajo hasta que
hace contacto con el habilitado. La matriz descansa sobre la placa soporte; por debajo de ésta hay un
dado amortiguador que ayuda a mantener la presión en el habilitado o a expulsar la pieza formada.
Fijado el pisador en la corredera principal y el dado amortiguador libre, la prensa actúa como prensa
hidráulica de acción simple.
Fig. 2.9 Prensa de embutido de doble acción.
2.2.11 Prensa de Transferencia
Las prensas de transferencia siendo completamente automáticas, son capaces de realizar
simultáneamente operaciones consecutivas. El material se alimenta a la prensa en forma de rollos o
habilitados desde un apilamiento alimentador. En la operación, el material se mueve de una estación a
la siguiente por medio de un mecanismo sincronizado con el movimiento de la corredera. Cada matriz
es una unidad separada y está provista de un punzón que se puede ajustar independientemente desde la
corredera principal. La fig. 2.10 es una unidad de 2.2 MN y produce 1 600 placas terminales de
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CAPITULO II. PRENSAS
arrancador por hora.
Fig. 2.10 Prensa de transferencia con capacidad de 2.2 MN que produce 1600 placas terminales
para arrancar por hora.
El uso económico de las prensas de transferencia depende de la cantidad de producción, pues su
ritmo normal es de 500 a 1 500 piezas por hora. Los productos manufacturados con este equipo
incluyen faros para carrocerías, cascos para el tambor de freno, charolas para cubos de hielo, puertas
para refrigerador y piezas para estufas.
2.2.12 Máquina de Cuatro Correderas
La máquina de cuatro correderas tiene muchas ventajas sobre la punzonadora en las operaciones
complejas de formado de piezas pequeñas hechas de lámina metálica.
La máquina básica tiene cuatro correderas con transmisión de fuerza separadas 90" que se
controlan independientemente por levas para moverse en forma progresiva siguiendo un ciclo. La fig.
2.11 muestra la secuencia de operaciones para el formado de una grapa de ballesta.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 44
CAPITULO II. PRENSAS
Fig. 2.11 Secuencia de operaciones en una máquina de cuatro correderas.
La máquina de cuatro correderas se puede equipar con punzones, herramientas para corte y
recorte, dispositivos elevadores y selectores, taladros y en algunos casos, un punzón vertical. Las
herramientas se pueden hacer para girar, abrir o cerrar si la operación así lo requiere.
Se alimenta a la máquina de material enrollado, ya sea alambre o fleje, se endereza primero
pasándolo por unos rodillos montados en el bastidor.
Se pueden usar tolvas y posicionadores de precisión si las piezas se recortan previamente;
también se pueden emplear máquinas para soldar por puntos y a tope. El proceso puede ser casi
automático y permite la fabricación masiva de piezas.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 45
CAPITULO II. PRENSAS
2.3 Mecanismos de transmisión para prensas
La mayoría de mecanismos de transmisión para prensas que se usan para comunicar potencia a la
corredera, se muestran en la fig. 2.12.
Fig. 2.12 Mecanismos de transmisión usados en prensa,
La transmisión más común es la de manivela simple, la cual da a la guía un movimiento
armónico simple. En una carrera de descenso la corredera se acelera, alcanzando su velocidad máxima
a mitad de la carrera, entonces se desacelera. La mayoría de operaciones de prensa ocurren cerca de la
mitad de la carrera, a la velocidad máxima de la corredera.
La transmisión excéntrica da un movimiento como el de la manivela y se usa frecuentemente en
donde se requiere una carrera más corta. Sus proponentes argumentan que tiene una mayor rigidez y
una menor tendencia a la deflexión que una transmisión de manivela.
Se usan levas en donde se desea algún movimiento especial, tal como una detención en la parte
inferior de la carrera. Esta transmisión tiene cierta similitud con la transmisión excéntrica, excepto que
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CAPITULO II. PRENSAS
se usan rodillos seguidores para transmitir el movimiento a la corredera.
Las prensas de cremallera y engrane se usan solamente en donde se necesita una corredera muy
larga. El movimiento de la corredera es mucho más lento que en las prensas de manivela, y se obtiene
movimiento uniforme. Tales prensas tienen topes para controlar la longitud de la carrera y se pueden
equipar con alguna característica de retorno rápido para elevar la corredera de regreso a la posición
inicial. La prensa común de husillo es un ejemplo familiar.
La transmisión hidráulica se usa en muchas prensas para una gran variedad de trabajos. Se
adapta especialmente a presiones grandes y bajas velocidades en las operaciones de formado, prensado
y embutido.
En la transmisión de tornillo, la corredera se acelera por medio del disco de fricción que está
acoplado al volante; y conforme el volante se mueve hacia abajo, se le aplica una mayor velocidad. El
movimiento de la corredera es acelerado, desde el principio hasta el final de la carrera. Toda la energía
almacenada es absorbida por la pieza al final de la carrera. La acción se asemeja a la de un martinete,
pero es más lenta y hay menor impacto. A las prensas de este tipo se les conoce como prensas de
percusión.
Se usan diversos mecanismos de eslabón en las transmisiones para prensa, debido ya sea al tipo
de movimiento que tienen o a las ventajas mecánicas que desarrollan. Es de uso muy común la junta
articulada, debido a que tiene una gran ventaja mecánica cerca del final de la carrera cuando los dos
eslabones se aproximan a una línea recta. Debido a la gran capacidad de carga de estos mecanismos, se
usa para operaciones de acuñado y calibrado.
Las transmisiones excéntricas o hidráulicas se pueden sustituir por la de manivela que se
muestra en la figura 2.12 . Los mecanismos de palanca acodillada se usan primordialmente para fijar al
habilitado en la operación de embutido y se hacen en una variedad de diseños.
La corredera auxiliar en la figura es accionada por una manivela, pero se pueden usar
excéntricas o levas. El objeto principal de este mecanismo es obtener un movimiento que tenga un pe-
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 47
CAPITULO II. PRENSAS
riodo de detención adecuado de manera que se pueda sujetar efectivamente al habilitado.
2.4 Mecanismos de alimentación.
La seguridad es una consideración fundamental en las operaciones con prensa, y debe tomarse
toda precaución para proteger al operador. Siempre que sea posible, se debería alimentar el material a
la prensa por medios que eliminen cualquier posibilidad de que el operador tenga sus manos cerca de
las matrices. En los trabajos de producción prolongada, tales características se pueden lograr
económicamente de varias maneras.
Los dispositivos de alimentación aplicados a las prensas de tamaños mediano y pequeño tienen
la ventaja de alimentar rápido y de manera uniforme a la máquina en adición a las características de
seguridad.
Uno de los tipos comunes de mecanismos de alimentación es el de avance con doble rodillo que
emplea material enrollado y carretes para el desecho. La operación de los rodillos de avance está
controlada por un excéntrico en el cigüeñal a través de una articulación hacia una rueda de trinquete, la
cual jala al material a lo largo de la matriz. Cada vez que el ariete se mueve hacia arriba, los rodillos
giran y alimentan la cantidad adecuada de material para la siguiente carrera. Se puede variar la cantidad
de material alimentado a través de los rodillos, proporcionando a la máquina de un excéntrico variable.
En la Fig. 2.13 se muestra una prensa automática de alta velocidad equipada con un avance de
corredera. El desecho de esta prensa se corta en pequeñas longitudes para su fácil manejo, en lugar de
volverse a enrollar en el carrete de desecho. Para materiales pesados, se pueden usar rodillos para
enderezar, que actúan también como rodillos de avance. Otro tipo de dispositivo de avance es el
alimentador con cuadrante indicador de estaciones.
Este método está diseñado para recibir piezas simples que se han habilitado o formado
previamente en alguna otra prensa. También aquí la indicación está controlada por un excéntrico en el
cigüeñal a través de un mecanismo de eslabón adecuado hacia el cuadrante indicador. Cada vez que se
efectúa una carrera, el cuadrante indica una estación. Toda alimentación por parte del operador, tiene
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CAPITULO II. PRENSAS
lugar al frente de la máquina, lejos de las matrices. Las partes ligeras se pueden apilar en un depósito y
colocarse en posición por un dispositivo de succión. Se levanta una pieza de encima de la pila por
medio de dedos de succión y se coloca contra un tope calibrado en la matriz. El depósito de
alimentación se puede usar también con un mecanismo de movimiento alternativo que alimente las
piezas del fondo de la pila. La alimentación por gravedad se usa algunas veces en las prensas
inclinadas, resbalando el habilitado en cajas por encima de la matriz.
Fig. 2.13 Prensa automática de alta velocidad con corredera de alimentación movida por una flecha
motriz. Capacidad 0.3 MN.
2.5 Antecedentes de la prensa a diseñar.
Hace algunos años se intento diseñar la prensa en cuestión, pero no se logro cumplir con las
expectativas requeridas, además de que con el tiempo de uso, sufrió deformaciones plásticas excesivas,
por lo que se justifica el rediseño de ella en este trabajo. Cabe mencionar que en ese entonces no se
hizo un diseño completo de los elementos mecánicos y estructurales que formaban la estructura de la
prensa, por lo que se realizo sólo con cálculos empíricos.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 49
CAPITULO II. PRENSAS
En las figuras 2.14 se muestra la prensa, solamente la parte estructural, ya que actualmente esta
incompleta, le falta la parte hidráulica la cual es mediante un gato hidráulico de 2 toneladas de
capacidad colocado en la parte superior.
Fig. 2.14 Parte estructural de la prensa a diseñar.
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CAPITULO II. PRENSAS
En la figura 2.15 se muestra como se han flexionado permanentemente las vigas de perfil en
acero debido a la presión hidráulica que se ejerce en ellas.
Fig. 2.15 Vigas flexionadas.
2.6 Descripción de la prensa a diseñar.
En la figura 2.16 se muestra un bosquejo de lo que seria la prensa, anexando al final del trabajo
un dibujo completo con dimensiones y características.
Como se puede observar en el esquema, tendremos varios tipos de elementos debido a la acción
de la fuerza hidráulica. Por mencionar algunos: vigas, columnas, elementos sometidos a tensión,
tornillos, remaches, soldadura, etc, .
En el capitulo IV es dónde aplicaremos las ecuaciones de diseño de resistencia de materiales y
analizaremos cada elemento para determinar sus dimensiones mas adecuadas. El material a utilizar será
acero estructural determinando también cual sería el perfil mas adecuado.
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CAPITULO II. PRENSAS
Fig. 2.16 Esquema simple de la prensa
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
CAPITULO III EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO
3.1. Antecedentes históricos del método del elemento finito.
El principio básico del método del elemento finito ha sido empleado durante siglos en diferentes
formas. Todas ellas tienen la característica común de reemplazar un problema real por uno más simple,
haciendo uso de los llamados elementos finitos. Si el problema simplificado puede resolverse y la
solución obtenida representa una solución verdadera para el problema real y con una precisión
satisfactoria, entonces este método pasa a ser una herramienta poderosa y muy útil. A pesar de que el
desarrollo actual del método del elemento finito lo hace ser bastante más sofisticado que los conocidos
en la antigüedad, el esquema básico de sustituir un problema real mediante uno simplificado sigue
siendo el mismo.
Las primeras noticias que se tienen del empleo del método del elemento finito se remontan a
mucho más de dos mil años, en la antigua Grecia, cuando se aplicó este método a la geometría. Los
matemáticos de aquella época aproximaron el número trascendente π, substituyendo un círculo por un
polígono regular de muchos lados y obtuvieron de este modo resultados sorprendentemente precisos.
Arquímedes, uno de los mas grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos finitos para
determinar volúmenes de sólidos, el nombró a su procedimiento “método exhaustivo”. Éste método lo
llevo al umbral del cálculo. El método de elemento finito se empezó a desarrollar tal y como lo
conocemos en la actualidad en la década de los 40s.
La formulación general del método de la teoría matricial de estructuras, basado en los principios
energéticos fundamentales de la elasticidad (el principio de los trabajos virtuales de D´Alembert), se
debió a Argyris y Kesley(2).
En 1953, Levy(3) introdujo la formulación del método basándose en la matriz de rigidez. Levy
aplicó esta formulación para estudiar el comportamiento elástico de las alas tipo Delta en aeronaves,
resolviendo las ecuaciones planteadas con computadoras digitales. En esta época M. J. Turner formó un
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
pequeño grupo dentro de la compañía Boeing con el fin de desarrollar un método de análisis para
aplicar la formulación de la matriz de rigidez en cálculos dinámicos de estructuras. Como resultado, en
1956, Turner, Clough, Martin y Topp publicaron un artículo(4) considerado como la contribución clave
en el progreso del método del elemento finito. Este trabajo y el presentado por Argyris y Ke1sey(2)
dieron origen a que el método tuviera un desarrollo explosivo y que fuera aplicado extensamente en la
ingeniería.
El término "método del elemento finito" fue propuesto por Clough(5) en 1960, en una
publicación referente a problemas de elasticidad plana. El problema de la flexión de placas fué tratado
en primera instancia por Melosh(6) y por Adini y Clough(7), ambos trabajos fueron publicados en 1961 y
emplearon elementos finitos rectangulares.
En 1963, Grafton y Strome(8) publicaron un trabajo concerniente al estudio de conchas deldagas,
empleando un elemento finito cónico. Este trabajo introdujo el análisis axisimétrico para su aplicación
en conchas delgadas y recipientes sometidos a presión.
Melosh(9), en 1963, estableció las bases matemáticas para fundamentar el método del elemento
finito, convirtiéndolo en un área de estudio interesante para los académicos. Melosh reconoció que el
método del elemento finito es una variante del método de Rayleigh-Ritz y lo confirmó como una
técnica de uso general para manejar problemas continuos de elasticidad. Zíenkewicz y Cheung(10)
interpretaron el método del elemento finito de una manera más amplia, presentando la formulación
variacional del método.
Hasta 1967, los matemáticos e ingenieros trabajaron con el método del elemento finito
separados unos de los otros. Hoy en día ambos campos tienen conocimiento uno del otro, no obstante,
los matemáticos raras veces se interesan en los problemas de ingeniería.
3.2. Campo de aplicación del método del elemento finito.
En nuestro tiempo el avance en el campo de la computación ha sido grande, involucrando en
ello los adelantos en el desarrollo de software. Así se puede mencionar que en el área de diseño y
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
cálculo se tienen paquetes de gran potencia, dentro de los cuales se pueden mencionar, el COSMOS, I-
DEAS, SAP, CATIA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, NISA, PATRAN, etc.
Estos paquetes de diseño y cálculo, tienen algo en común, que su procedimiento de análisis se
basa en el método del elemento finito. La combinación entre éste método y el desarrollo de la
computación ha venido a dar como resultado una poderosa herramienta de análisis.
El método del elemento finito se basa principalmente en análisis matricial y su uso ha alcanzado
las áreas de transferencia de calor, mecánica de fluidos, hidráulica, electromagnetismo, estructuras, etc.
Dentro del análisis estructural podemos resolver estructuras reticulares como vigas, marcos,
armaduras, columnas y estructuras continuas como placas, cascarones, membranas, etc. Así también se
pueden llevar a cabo análisis dinámicos y problemas no lineales geométricos o por material.
En la tabla 3.1. se muestran las variables típicas en un análisis por elemento finito.
VARIABLES TÍPICAS EN EL ANÁLISIS POR ELEMENTO FINITO
APLICACION PRIMARIO ASOCIADO SECUNDARIO
Análisis de esfuerzos Desplazamiento.
Rotación.
Fuerza.
Momento.
Esfuerzo.
Criterio de falla.
Error estimado.
Transferencia de
calor.
Temperatura. Flujo. Flujo interior.
Error estimado.
Flujo potencial. Función
Potencial
Velocidad
Normal
Velocidad
Interior
Error estimado
Navier - Stokes Velocidad
Presión
Presión Error estimado
Potencial eléctrico Campo eléctrico Densidad de flujo Error estimado.
Potencial magnético Flujo magnético Densidad de
corriente
Error estimado
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.3. Método del elemento finito.
El método del elemento finito(11), (12), (13), (14) y (15) es una técnica de análisis numérico empleada
para obtener soluciones aproximadas para una amplia variedad de problemas de ingeniería. En la
actualidad, se sabe que en muchas situaciones es necesario resolver estos problemas obteniendo
soluciones numéricas aproximadas en vez de soluciones exactas.
Las alternativas que el analista puede elegir para solucionar problemas son numerosas. Una
posibilidad consiste en hacer planteamientos a priori que simplifiquen el problema de manera que
pueda resolverse. En algunas ocasiones este procedimiento funciona; pero lo usual es que se resuelve
un problema similar que aproxima la solución del problema real pero que conduce a respuestas muy
imprecisas o erróneas. Ahora que se dispone de computadoras digitales poderosas, la alternativa más
viable consiste en retener la complejidad del problema y tratar de encontrar una solución numérica con
alto grado de aproximación
La aparición de la computadora alteró radicalmente la capacidad disponible para resolver
ecuaciones diferenciales parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la
mayoría de los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el
fenómeno que se modela (temperatura, presión o desplazamiento) es muy grande.
Muchos son los métodos aproximados que se han desarrollado para el análisis numérico; el
método que más se ha empleado es el de diferencias finitas. Los modelos de diferencias finitas (el cual
está formado por ecuaciones diferenciales formuladas para un arreglo o red de puntos) se mejora
conforme se emplean una mayor cantidad de puntos. Esta técnica puede usarse para solucionar
problemas complejos; pero, en aquellos casos en los que se tienen geometrías irregulares o
especificaciones de condiciones de frontera poco usuales, el método de las diferencias finitas se torna
difícil de emplear. .
En tiempos más recientes se ha desarrollado el método del elemento finito, el cual es también
un método aproximado de análisis numérico. A diferencia del método de las diferencias finitas, el cual
contempla la región modelada como un arreglo o red de puntos, el método del elemento finito emplea
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
un arreglo de varias subregiones o elementos de tamaño muy pequeño y que están interconectados
entre sí. El modelo por elementos finitos de un problema, ofrece una aproximación por elementos de
las ecuaciones gobernantes.
La premisa básica del método del elemento finito es que el dominio de estudio puede modelaras
o aproximarse analíticamente, reemplazándolo por elementos discretos perfectamente ensamblados.
Como dichos elementos pueden ser colocados en una gran variedad de posiciones y dimensiones, se
puede usar para representar aun las formas más complejas.
Con el fin de recalcar el principio básico del método del elemento finito, se reproduce la
definición dada por L. J. Segerlind(27) en lo concerniente a este principio: "El concepto fundamental del
método del elemento finito consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como
la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse por un modelo discreto compuesto de
una serie de funciones continuas pieza a pieza, definidas en un número finito o subdominios.
Las funciones continuas pieza a pieza se definen empleando los valores de la cantidad continua
en un número finito de puntos en su dominio".
Dichas series de funciones continuas se eligen comúnmente de manera que aseguren la
continuidad del comportamiento de éstas a través del medio continuo completo; aun en los casos en que
los campos elegidos no aseguren continuidad, se pueden obtener soluciones satisfactorias.
Si el comportamiento de una estructura se rige por una sola ecuación diferencial, entonces, tanto
el método del elemento finito, como el método de las diferencias finitas, pueden aplicarse para obtener
una solución satisfactoria de la ecuación. Pero si es necesario emplear distintas ecuaciones diferenciales
para describir el comportamiento de un medio continuo, ya sea porque éste está compuesto de varios
materiales o que las propiedades físicas del material no son homogéneas, únicamente el método del
elemento finito puede aplicarse directamente.
Del mismo modo que otros procedimientos numéricos alternativos, empleados para solucionar
problemas prácticos en el campo de la mecánica del medio continuo, el método del elemento finito
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. La principal ventaja de este método
reside en la capacidad de ser automatizado para formar ecuaciones y la habilidad que tiene para
representar estructuras irregulares y complejas, así como condiciones de frontera diversas.
Como se mencionó antes, el método del elemento finito posee una alta capacidad para
representar formas complejas, mientras que el método de las diferencias finitas presenta muy serias
dificultades para discretizar formas complejas.
Cabe aclarar que el método del elemento finito cuando emplea la formulación variacional
calcula, en primera instancia, los desplazamientos en los nodos de los elementos. Además, para obtener
una solución satisfactoria, realiza varias iteraciones con todos los elementos, esto es, parte de los
resultados obtenidos en una primera iteración, para repetir los cálculos de desplazamiento y, de este
modo, mejorar paulatinamente resultados posteriores que van aproximando a los reales, repitiendo este
procedimiento es posible alcanzar un factor de exactitud elegido por el usuario del método.
Una vez que se encuentran los desplazamientos de los nodos, éstos pueden traducirse en
deformaciones y posteriormente en esfuerzos. Para calcular los esfuerzos a partir de las deformaciones,
se emplea la ley de Hooke (Ecuaciónes 3.1) en dos dimensiones, que establece que:
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---------- (3.1)
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.4. Fundamentos del método de elemento finito.
En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, la variable bajo consideración (ya
sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo, o alguna otra cantidad) tiene una infinidad de
valores, ya que es una función de cada uno de los puntos que forman el cuerpo o dominio de estudio.
Como consecuencia de ésto, el problema tiene un número infinito de incógnitas El método del
elemento finito discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas,
mediante la división del dominio en elementos y expresando al mismo tiempo el campo de incógnitas
en términos de funciones aproximadas para cada elemento.
Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son definidas en
términos de los puntos nodales. El comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos
viene dado por los valores nodales del campo de la variable y las funciones de interpolación para los
elementos. Para el método del elemento finito, los valores nodales en el campo de la variable se
convierten en las nuevas incógnitas. Una vez que se resuelven las incógnitas, las funciones de
Interpolación definen la variable a través del ensamble de los elementos.
Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tamaño, como de la cantidad de
elementos usados, así como de las funciones de interpelación empleadas. No se deben elegir funciones
arbitrariamente, porque no se cumplirían las condiciones de compatibilidad requeridas. Normalmente
se eligen funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas a través de
los límites de los elementos adyacentes.
El método del elemento finito posee una característica que lo hace único entre los métodos
numéricos aproximados. Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos
individuales antes de ensamblarlos para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha
característica es que si se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible
encontrar la rigidez para cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar
posteriormente la rigidez de la estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce
considerando varios problemas simplificados.
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.5. Procedimiento del método del elemento finito.
El método del elemento finito es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes
rasgos como:
3.5.1. Discretización del dominio.
El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio en elementos. Puede emplearse una
amplia variedad de formas de elementos y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear
diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se analiza una estructura
que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no sólo es deseable sino necesario,
emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y
número de elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el análisis puede apoyarse en la experiencia
de otros analistas para guiarse.
3.5.2. Seleccionar las funciones de interpolación.
El siguiente paso es asignar los nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de
interpolación para representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un
escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas, ocasiones, pero no siempre, se
seleccionan polinomios como funciones de interpelación para la variable porque éstos se integran y
diferencian fácilmente. El grado del polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada
elemento, de la naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de
continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la
variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.
3.5.3. Definir las propiedades de los elementos.
Una vez que ha sido establecido el modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los
elementos y sus funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones
matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar ésto se puede
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles de el método del elemento finíto: la formulación
directa, la formulación variacional, la formulación de los pesos residuales o la formulación del balance
de energía La formulación variacional es generalmente la más conveniente, pero para cualquier
aplicación, la selección de la formulación depende completamente de la naturaleza del problema.
3.5.4 Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del sistema,
considerando las condiciones de frontera del espécimen.
Para determinar las propiedades de todo el sistema modelado por la red de elementos, se deben
"ensamblar" las propiedades de todos los elementos. Esto es, se requiere combinar las ecuaciones
matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o sistema. Las ecuaciones matriciales
para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un sólo elemento, excepto que éstas
contienen muchos más términos, porque incluyen a todos los nodos.
La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un
nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que
comparte dicho nodo. El ensamble de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y
usualmente se hace empleando computadoras digitales.
Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser solucionadas, deberán modificarse para
introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen
término un análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una forma
adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado, los resultados obtenidos serán
poco confiables.
3.5.5. Resolver el sistema de ecuaciones.
El proceso de ensamble del paso anterior, establece una serie de ecuaciones simultáneas, las
cuales pueden resolverse para obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es
lineal, se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son la Eliminación de Gauss, el
método de Eliminación de GaussSeidel, o la descomposición de Cholesky(12); si las ecuaciones son no-
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
lineales, su solución es más difícil de obtener. Puede emplearse el método de Newton-Raphson, el
método de Sustituciones Sucesivas(16), o algún otro método iterativo para resolver sistemas de
ecuaciones no-lineales.
3.5.6. Efectuar cálculos adicionales.
En muchas ocasiones deseamos usar la solución de los sistemas de ecuaciones para calcular
otros parámetros importantes. Por ejemplo, en un problema de elasticidad plana, la solución del sistema
de ecuaciones da como resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible
calcular tanto las deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos, así como en los
centroides de los elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, así como
otras magnitudes que sean de interés para los usuarios del método del elemento finito.
3.6. Tipos de elementos en el método de elemento finito.
Los tipos de elementos finitos más comunes se pueden clasificar de la siguiente manera:
3.6.1. Elemento barra.
Éste es el elemento más común dentro de la familia de los elementos finitos. Cuando se
combina con elementos del mismo tipo, describen estructuras como las armaduras y marcos. Cuando se
combinan con elementos de otro tipo como los elementos placa, forman estructuras atiesadas.
Fig. 3.1 Elemento barra. ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 62
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.6.2. Elemento placa.
Los elementos finitos básicos son las placas delgadas cargadas en su propio plano (la condición
de esfuerzo plano), y podemos tener elementos triangulares y cuadriláteros.
Fig. 3.2 Elemento placa en esfuerzo plano.
3.6.3. Elementos sólidos.
Son la generalización tridimensional de los elementos en esfuerzo plano. El tetraedro y el
hexaedro son las formas más comunes de los elementos tridimensionales, y son esencialmente para
modelos analíticos de problemas de mecánica de sólidos y rocas y de estructuras para plantas
nucleares.
Fig. 3.3 Elementos sólidos.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 63
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.6.4. Sólidos axisimétricos.
Uno de los campos de aplicación más importante dentro del método de elemento finito es el
análisis con sólidos axisimétricos. Una gran variedad de problemas de ingeniería caen en ésta categoría
incluyendo tanques de acero y de concreto, recipientes de contenido nuclear, rotores, pistones, flechas y
escapes de cohetes. En estos elementos tanto la carga como la geometría, usualmente son axisimétricos.
Fig.3.4 Sólido axisimétrico.
3.6.5. Placa plana en flexión.
Son usados no sólo entre sí, sino también junto con cascarones y miembros de pared delgada.
Las formas geométricas son análogas a las de los elementos en esfuerzo plano, con mayor énfasis
también en las formas triangulares y cuadriláteras.
Fig. 4.5 Placa plana bajo flexión.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 64
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.6.6. Cascaron axisimétrico.
Tienen la misma importancia en aplicaciones prácticas que los sólidos axisimétricos, aunque
aquí las formulaciones se derivan de la teoría de la membrana. Dentro de esta formulación está la
diferencia con respecto a los elementos placa en flexión y tensión y sirve para identificar problemas
clave.
Fig. 3.6 Cascarón axisimétrico.
3.6.7. Cascaron curvo.
Cuando una estructura está curva, es preferible usar elementos cascaron curvo para los modelos
analíticos. Dentro de las ventajas está la habilidad para describir de forma más adecuada la geometría
de una superficie curva. Existe un gran número de alternativas para formular este tipo de elementos.
Fig. 3.7 Cascarón curvo.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 65
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
Para realizar un análisis mediante el método del elemento finito, es necesario comenzar con la
discretización del dominio de estudio, de este modo se idealiza la región física de interés. Así, por
ejemplo, una estructura puede idealizarse empleando elementos axiales, mientras que las regiones
planas pueden ser discretizadas con elementos en forma de polígonos, como es el triángulo, y los
sólidos por elementos poliédricos , como es el tetraedro.
Si se desea subdividir una superficie cerrada empleando poliedros debe tenerse en cuenta la
siguiente propiedad de los poliedros: V - E + F = 2, donde V es el número de vértices, E es el número
de aristas y F es el número de caras. Entonces V - E + F es un invariante para los poliedros. Esto
significa que si se divide cualquier superficie cerrada en F regiones mediante E arcos que unan en pares
V vértices, entonces la expresión V-E+F es independiente del método que se emplee para dividir la
superficie.
Para una superficie plana idealizada, como una red de polígonos, la relación VE+F =1,
mientras que para un toroide, ésta es V-E+F=0. A los números 2, 1 y 0 se les denomina "característica"
de la superficie, de modo que una esfera se dice que tiene característica 2.
Conforme las investigaciones en el campo del método del elemento finito se han hecho más
sofisticadas y requieren de discretizaciones más exactas, ha sido preciso emplear elementos de forma
complicada. Los problemas idealizados con elementos unidimensionales, en los cuales se presenta una
flexión excesiva, no pueden manejarse adecuadamente empleando elementos axiales simples, con
funciones de desplazamiento lineales u(x) y v(x).
De este modo, se deriva el elemento curvo empleando una expansión cúbica para la función de
desplazamiento v (x). . Adicionalmente, para considerar factores tales como la deformación del cuerpo
rígido y estados de deformación permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos con
refinamiento.
El analista puede seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos finitos:
1. Elementos de forma simple sin refinamiento.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 66
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
2. Elementos de forma simple con refinamiento.
3. Elementos de forma complicada con refinamiento.
Así, también los elementos finitos pueden clasificarse dependiendo de la dimensionalidad
involucrada, por lo que se tiene:
1. Elementos unidimensionales (axiales).
2. Elementos bidimensionales.
3. Elementos tridimensionales.
Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero por lo
general se representan esquemáticamente como un segmento de línea. El área de la sección transversal
puede variar a lo largo de su longitud, no obstante que para muchos problemas el área es constante.
El empleo más común de estos elementos es en problemas de transferencia de calor y en
problemas estructurales qué involucran miembros que soportan fuerzas axiales (tipo armadura).
Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia, son el triángulo y
el cuadrilátero. La capacidad de modelar fronteras curvas se obtiene agregando nodos intermedios en
los lados del elemento. Es posible emplear ambos tipos de elementos en un mismo dominio, siempre
que éstos tengan la misma cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes. El
espesor de los elementos puede ser constante, o bien, puede variar en función de las coordenadas del
elemento.
Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos y en
ambos, los elementos lineales sólo presentan lados rectos, mientras que los elementos de orden superior
pueden tener superficies curvas.
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
3.7. Formulación de elementos finitos.
La matriz característica del elemento finito tiene diferentes nombres en problemas de distintas
áreas. En mecánica estructural se le llama matriz de rigidez, y nos relaciona fuerzas con
desplazamientos en nodos. En conducción de calor esta se llama matriz de conductividad, y nos
relaciona temperaturas con flujos en los nodos.
Existen tres maneras importantes de derivar la matriz característica del elemento:
3.7.1. El método directo.
Éste está basado en razones físicas. Limitado a elementos muy simples, pero tiene un valor de
estudio debido a que este aumenta el entendimiento del concepto físico del método del elemento finito.
3.7.2. El método variacional.
Es aplicable a problemas que pueden ser establecidos por ciertas expresiones integrales tal
como la expresión de la energía potencial.
3.7.3. Los métodos de los residuos ponderados.
Son particularmente formulados para problemas en los cuales las ecuaciones diferenciales son
conocidas, pero no son funcionales para poder establecer como variacional.
3.8. Elementos isoparamétricos.
Cuando se tienen dificultades en idealizar superficies o fronteras curvas usando elementos con
lados rectos y superficies planas, se requiere emplear elementos con lados y/o caras curvas. Estos
elementos son paramétricamente equivalentes con sus elementos rectilíneos correspondientes, por ello
se les denomina ''elementos isoparamétricos”.Las funciones de coordenadas ε1 (x,y) y ε2 (x,y) serán en
general curvilíneas Dichas funciones de coordenadas relacionan las coordenadas cartesianas x, y con
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 68
CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
los sistemas de coordenadas curvilíneas de los elementos isoparamétricos. Además, los elementos
adyacentes deben coincidir entre ellos con una sola interfase de modo que sus lados sean determinados
únicamente por los puntos nodales comunes.
3.9. Ventajas y desventajas del método del elemento finito
Dentro de las principales ventajas que presenta el método del elemento finito, se enumeran las
siguientes:
1. Es aplicable a todos los problemas de la mecánica del medio continuo, y problemas físicos en
general, que sean gobernados por ecuaciones diferenciales.
2. Es factible aplicarse a elementos compuestos de diferentes materiales, con propiedades físicas
distintas.
3. Pueden modelarse cuerpos con frontera de forma irregular, empleando elementos finitos con
lados rectos, aproximando la forma de la frontera; o bien, usar elementos con lados curvos y de
este modo modelar exactamente la frontera del dominio de estudio.
4. El tamaño y forma de los elementos puede variar. De esta forma, la malla de elementos finitos
se refina y/o expande, según se requiera, para analizar aquellas áreas consideradas críticas.
5. Este método posee la capacidad de analizar cuerpos con condiciones de frontera discontinua o
mixta, sin dificultades.
6. Los programas de cómputo desarrollados para un determinado problema pueden generalizarse
para resolver cualquier problema del mismo tipo. Esto es, si se escribe un programa para
determinar la distribución de esfuerzos en una barra prismática, puede emplearse dicho
programa para resolver los problemas de este mismo tipo, que surjan. El desarrollo de este tipo
de programas de cómputo está limitado por la capacidad de memoria de las computadoras y por
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CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO
el costo asociado con la elaboración de dichos programas; no obstante, en la actualidad, estos
dos factores han sido superados con computadoras de gran capacidad y de costo reducido.
La principal desventaja del método del elemento finito, estriba en que, debido a la gran cantidad
de cálculos requeridos aun para resolver problemas simples, es indispensable el empleo de programas
de cómputo y el uso de computadoras en general. Adicionalmente en aquellos casos en los cuales es
necesario cambiar varias veces la geometría del dominio de estudio, este método requiere generar para
cada cambio de geometría, una malla diferente, lo cual hace que el análisis sea lento y tedioso. Esto
ocurre, por ejemplo, cuando se optimizan entalladuras, lo cual requiere de una variación de la
geometría del dominio, y por ende, es necesario generar varias mallas de elementos finitos
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
CAPITULO IV ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.1 Descripción de los elementos a diseñar.
Dentro de la prensa se presentan varios tipos de elementos dependiendo de la forma de
aplicación de su carga, en éste capítulo se presentará de forma muy general la teoría de mecánica de
materiales de cada elemento es decir sus principios y ecuaciones para posteriormente hacer el diseño de
cada elemento.
Los elementos de que se compone la prensa son los siguientes:
1. Viga.
2. Elementos a tensión.
3. Tornillos.
4. Columna.
El análisis se hará con diferentes perfiles de acero, comparándolos y determinando cual sería el
mejor para cada elemento.
4.2 Generalidades acerca de vigas.
Los elementos que soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se
llaman vigas. En general las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales
constantes. Las vigas pueden considerarse entre los elementos estructurales mas importantes. Como
ejemplos se encuentran los miembros usados para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un
puente o ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos
de los huesos del cuerpo humano funcionan como vigas.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 71
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento
flexionante internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la viga. Para poder
determinar la variación de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes, nos ayudamos de diagramas
los cuales ilustran dicha variación y lo más importante, nos muestran los valores máximos que
utilizamos para el diseño.
4.2.1 Tipos de vigas, de cargas y características.
Podemos tener muchas combinaciones en cuanto a cargas y características de la viga, por
ejemplo una clasificación general de cargas aplicadas en una viga es la siguiente:
1. Carga concentrada.- Suponemos que se aplica en un punto.
2. Carga uniformemente repartida.- Carga aplicada uniformemente a lo largo de una longitud.
3. Carga uniformemente variable.- carga aplicada linealmente gradual desde un valor cero a un
máximo a lo largo de una longitud.
Una clasificación en cuanto los tipos de apoyos en una viga es la siguiente:
1. Viga simplemente apoyada.- Aquella que no tiene voladizos, es decir en su inicio y fin de
longitud se encuentra un apoyo.
2. Viga con voladizos (1 o 2).- En uno o en dos extremos no termina o inicia en apoyo.
3. Viga en cantiliver.- en un extremo está empotrada y en otro libre.
4. Viga continua.- Es aquella que tiene mas de dos apoyos.
Las vigas de acuerdo al número de incógnitas se pueden también dividir en isostáticas e
hiperestáticas. Las vigas isostáticas son aquellas en que las ecuaciones de equilibrio son suficientes
para resolverlas y las hiperestáticas son las que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para
resolverlas y requerimos ecuaciones de la geometría de la deformación.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 72
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.2.2 Esfuerzo normal en vigas.
En vigas se presentan dos esfuerzos, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. Para diseñar una
viga siempre consideramos el esfuerzo normal, ya que el esfuerzo cortante en valores máximos es muy
pequeño en comparación con el esfuerzo normal, por lo que tenemos la siguiente ecuación:
yI
M=σ ............(Ec. 4.1)
Esta ecuación representa el esfuerzo en cualquier punto de la viga, considerando a M que es el
momento flexionante en ese punto, I momento de inercia de la sección transversal e y que es la
distancia del centroide a la fibra mas alejada en la sección transversal.
Si se tienen los valores máximos de M que lo obtenemos del diagrama y la máxima distancia
“Y” que le vamos a llamar C, entonces tendremos el máximo esfuerzo normal en la viga. Para diseño
en perfiles de acero nos valemos de un módulo que llamamos módulo de sección y lo representamos
con la letra S y su ecuación es:
CIS = ..........(Ec. 4.2)
Por lo que la ecuación 4.1 queda:
SM
=σ ..........(Ec. 4.3)
Para diseño tendremos que:
t
MAXMSσ
= ..........(Ec. 4.4)
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 73
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Obteniendo el módulo de sección buscamos en las tablas del apéndice A y determinamos las
dimensiones y tipo de elemento a utilizar.
4.3 Generalidades acerca de elementos a tensión.
Es común encontrar elementos sujetos a tensión en puentes, armaduras, torres y miembros
usados como tirantes. Una ventaja es que en estos elementos no existe pandeo, es decir para su análisis
suponemos que la línea de acción de la carga que afecta a dicho elemento pasa por todos los centroides
de las secciones transversales resistentes, a este tipo de carga se le llama carga axial y es la forma más
simple en el análisis de elementos mecánicos. Este tipo de carga se muestra en la figura 4.1.
Este tipo de elemento nos ayuda a determinar algunas propiedades mecánicas de materiales,
mediante la prueba de tensión simple.
P
P
A
Fig. 4.1 Elemento sometido a carga axial.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 74
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.4 Esfuerzo en elementos a tensión.
Como es obvio en elementos a tensión sólo se presentan esfuerzos normales y la ecuación para
calcularlos simplemente es la fuerza axial entre el área resistente. Cabe aclarar que el área resistente
siempre es perpendicular a la fuerza y la ecuación es:
AP
=σ ..........(Ec. 4.5)
Para diseño requerimos el área mínima por lo que el esfuerzo será el esfuerzo de trabajo y la
ecuación queda:
t
PAσ
= ..........(Ec. 4.6)
4.5 Elementos a tensión con barrenos.
Un elemento sin agujeros y sometido a una carga de tensión puede resistir, sin fracturarse
perfectamente la carga para la que fue concebido. Pero por otra parte tenemos un elemento a tensión
con agujeros para tornillos, éste puede fallar por fractura en la sección neta que pasa por los agujeros.
Ésta carga de falla puede ser más pequeña que la carga para el cual se diseñó.
Se debe tomar en cuenta que la parte del elemento que tiene un área transversal reducida por los
agujeros, es muy corta comparada con su longitud total y que seguramente la falla se presentaría dónde
están dichos agujeros.
En éste trabajo los elementos a tensión los diseñaremos bajo dos criterios, mediante el área neta o
efectiva y concentración de esfuerzos.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.6 Áreas netas o efectivas.
La presencia de un agujero en un elemento a tensión, incrementa los esfuerzos, aún si el agujero
está ocupado por un tornillo. Se tiene menos área sobre la que puede distribuirse la carga y habrá
concentración de esfuerzos a lo largo del borde del agujero.
La tensión se supone uniformemente distribuida sobre la sección neta del elemento. El término
área neta de la sección transversal o simplemente área neta se refiere al área bruta de la sección
transversal menos las de las ranuras, muescas y agujeros. Por ejemplo en la fabricación de estructuras
de acero para conectarse con tornillos, los agujeros se hacen con diámetro 1/16 pulgada mayor que el
correspondiente al tornillo. Además se considera que el punzonado del agujero daña o aún destruye
1/16 de pulgada más del metal circundante, por tanto el área de los agujeros que se resta corresponde a
un diámetro 1/8 de pulgada mayor que el diámetro nominal del conector.
Para el diseño de éste tipo de elementos, se calcula el área mínima requerida, a ésta se le
suma el área estimada de agujeros, el resultado será el área mínima requerida para soportar la carga
considerando los agujeros es decir el área neta mínima requerida como se muestra en la ecuación 4.7:
( ) ndeU
PAt
Min +=σ
..........(Ec. 4.7)
Donde:
P- Carga a la que se somete el elemento.
σt- Esfuerzo de trabajo.
U- Factor de reducción de 0.90, el cual es para considerar la distribución no uniforme y concentración
del esfuerzo de la tabla 4.1.
n- Número de agujeros.
d- Diámetro del agujero.
e- Espesor propuesto del patín o alma.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
U=0.90 Los perfiles W, M o S con anchos de patín no menores a dos tercios de sus
peraltes y las estructurales cortadas de esos perfiles, siempre que la conexión sea
por patines, deben tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de
la fuerza.
U=0.85 Los perfiles W, M o S que no cumplan las condiciones del párrafo anterior, T
estructurales cortadas de esos y otros perfiles, incluyendo secciones armadas,
deberán tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de la fuerza.
U=0.75 Todos los miembros con conexiones atornilladas o remachadas con solo dos
conectores por hilera en la dirección de la fuerza.
Tabla 4.1. Valores de factor de reducción U.
4.7 Esfuerzo cortante en conexiones.
Las cargas aplicadas a una estructura o máquina generalmente se transmiten a los elementos
estructurales a través de conexiones que emplean tornillos, remaches, pernos, clavos etc. En todas éstas
conexiones, uno de los esfuerzos inducidos mas significativos es el esfuerzo cortante.
A la fuerza que genera un esfuerzo cortante se le llama fuerza cortante y se representa
generalmente con la letra V, debe notarse que en este caso el área transversal resistente es paralela a la
fuerza V.
Se pueden presentar casos de cortante doble o cortante simple, dependiendo de cuantas áreas
resistente del tornillo son las que actúan, en la figura 4.2 se representa cuando se presentaría cortante
doble o cortante simple.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
(a)
(b)
Figura 4.2 Cortante simple (a) y cortante doble (b).
La ecuación para calcular el esfuerzo cortante es:
AV
=τ ..........(Ec. 4.8)
Como en éste caso vamos a diseñar, se requiere de un esfuerzo cortante permisible o de trabajo
y despejar el área por lo que para diseño tendríamos:
t
VAτ
= ..........(Ec. 4.9)
con la ecuación anterior calculamos el área mínima necesaria para la carga soportada y el
material.
4.8 Generalidades acerca de columnas.
Cuando un elemento se somete a una carga de compresión y éste elemento es largo y esbelto la
carga puede ser suficientemente grande como para que se deflexione lateralmente, para ser específicos,
los elementos largos sometidos a una fuerza de compresión axial se llaman columnas y la deflexión
lateral que sufren se llama pandeo.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Con frecuencia el pandeo de una columna puede conducir a una repentina y dramática falla de
una estructura o mecanismo y por tanto debe de presentarse una especial atención en el diseño de
columnas de modo que sean capaces de soportar con seguridad las cargas sin pandearse.
La carga axial máxima que una columna puede soportar cuando está a punto de pandearse se
llama carga crítica (Pcr). Para una columna ideal se puede determinar el valor de dicha carga crítica en
función de su longitud y su sección transversal, Euler fue el que determinó esa ecuación que es la
siguiente:
2
2
LEIPcr
π= ..........(Ec. 4.10)
Dónde:
E-Módulo de elasticidad del material.
I-Momento de inercia mínimo de la sección transversal.
L-Longitud del elemento.
Una medida de flexibilidad de la columna es la relación de esbeltez es decir, la relación que
existe entre la longitud del elemento y el radio de giro (k) de la sección transversal.
kLRE = ..........(Ec. 4.11)
AIk = ..........(Ec. 4.12)
Las ecuaciones anteriores de Pcr y RE son para condiciones ideales, pero la forma en que está
apoyada la columna también afecta, por lo que en la figura 4.3 se presentan las ecuaciones para analizar
columnas dependiendo de la forma en que están apoyadas.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Empotrada - Libre
( )
kLRE
REE
LEIP
CR
CR
2
4
2
2
2
2
=
=
=
πσ
π
Doblemente empotrada
( )
kLRE
REE
LEIP
CR
CR
2
4
2
2
2
2
=
=
=
πσ
π
Doblemente articulada
( )
kLRE
REE
LEIP
CR
CR
=
=
=
2
2
2
2
πσ
π
Empotrada – Articulada
( )
kLRE
REE
LEIP
CR
CR
7.0
404.2
2
2
2
2
=
=
=
πσ
π
Fig. 4.3 Representación y ecuaciones de columnas dependiendo de sus tipos de apoyo.
4.8.1 Ecuaciones de la AISC para columnas.
Para el diseño de columnas regularmente recurrimos a las ecuaciones de la American Institute
of Steel Construction (AISC), las cuales dependiendo de la relación de esbeltez indican si se trata como
una columna intermedia o larga, también la relación de esbeltez depende como ya se vió anteriormente
de cómo esté apoyada la columna. Dicha comparación se basa en un número llamado relación de
esbeltez límite Cc que depende directamente de la geometría del elemento y su propiedades.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Las ecuaciones características son las siguientes:
Si RE < Cc se considera columna intermedia
( )( )3
3
81
83
35
cc CRE
CRECS −+= ..........(Ec. 4.13)
( )( ) CSCRE PC
cadm
σσ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−= 2
2
21 ..........(Ec. 4.14)
Si RE > Cc se considera columna larga
CS=1.92 ..........(Ec. 4.15)
2
2
)(2512
REE
admπσ = ..........(Ec. 4.16)
En el análisis de las partes a compresión en máquinas sigue los mismos principios descritos
anteriormente, una de las fórmulas más ampliamente usadas en diseño de máquinas para columnas
intermedias de acero es la de J.B. Jonson que se muestra a continuación:
Si L/k=Cc
CSEkL
PCPC
admσ
π
σσ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−= 2
2
41 ..........(Ec. 4.17)
Si L/k>Cc
CScr
admσ
σ = ..........(Ec. 4.18)
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.9 Análisis de la carga necesaria.
Si consideramos que para un caso extremo de ajuste en prensa entre un eje y un balero, perno,
buje, etc., para un diámetro exterior de 17 cm e interior de 8 cm como máximo se tiene una
interferencia de 0.010mm. Como tenemos la interferencia, para calcular la fuerza axial necesaria para
extraer un elemento, se puede analizar mediante las ecuaciones de Lamé para cilindros compuestos de
pared gruesa, cuya ecuación es:
[ minmax ti
tec
EdIn σσ −= ] ..........(Ec. 4.19)
Para el elemento exterior se tiene el esfuerzo tangencial máximo:
zie
iezt
e PddddP 5688.122
22max =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=σ ..........(Ec. 4.20)
Dejamos el esfuerzo tangencial en función de la presión de zunchado y calculamos ahora el
esfuerzo tangencial mínimo para el elemento interior.
zti P−=minσ ..........(Ec. 4.21)
Sustituyendo en la ecuación de interferencia los esfuerzos, el diámetro común y el módulo de
elasticidad (200Gpa) obtenemos la presión de zunchado.
( )[ ]
MPaP
PPx
x
z
zz
7321.9
5688.110200
08.0101 95
=
−−=−
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 82
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Con la presión de zunchado podemos calcular la fuerza normal (N) que se presenta en las
superficies en común, considerando un espesor de contacto e=39mm con la normal ya calculamos la
fuerza mínima necesaria de extracción considerando el coeficiente de rozamiento (µ=0.39).
)039.0)(08.0)((107321.9 6 ππ xedPAPN czz ===
.3792202.37)95392)(39.0(
392.95
kgFkNNF
kNN
====
=µ
De este análisis determinamos que la capacidad de la prensa debe ser de 4 toneladas. Pero
comercialmente el gato hidráulico de botella más próximo superior en capacidad es de 5 toneladas es
decir 49050 N.
4.10 Análisis de la viga A y B.
Lo que buscamos es el diseño de nuestra viga, por lo que partimos de datos como el esfuerzo
máximo, CS, relación base y altura, longitud, etc. En la figura 4.4 se muestran el diagrama de cuerpo
libre y dimensiones de la viga.
12 plg.=0.3048m
h b
24525N 24525N
5 Ton = 49050N
Fig. 4.4 Diagrama de cuerpo libre y dimensiones de la viga.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 83
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Si se considera que: σmax=250Mpa, CS=1.6, b/h=5, se tendrán los siguientes diagramas:
12 plg.=0.3048m
0.1524m
24525N 24525N
V
x
24525N
24525N
M
x
5 Ton = 49050N
(-)
(+)
(-)
MMáx
Fig. 4.5 Diagramas V y M de la viga.
Del diagrama sabemos que para determinar el momento flexionante máximo su ecuación es:
mNL
PabM Máx −=== 61.37373048.0
)1524.0)(1524.0(49050
Para diseñar secciones rectangulares se necesita el esfuerzo de trabajo (σt) y la relación b/h por
lo que se propone b/h = 5; ahora calculamos dicho esfuerzo y posteriormente las dimensiones.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 84
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
MPaxCSMáx
t 25.1566.110250 6
===σσ
cmmx
hb
Mht
Máx 06.30306.0)5(1025.156
)61.3737(6
)(
63 63
====σ
Por lo tanto se requiere de una altura h = 31.75mm. y una base b = 158.75mm., la longitud
acotada en la figura 4.4 es sin considerar todavía la distancia de los barrenos de los tornillos a los
extremos de la viga lo cual se analizará mas adelante. Del análisis de los tornillos a tensión se requiere
un diámetro de 19.05mm. Por lo tanto se requiere que la distancia de los barrenos al extremo de la viga
sea como mínimo de 2 veces mayor que el diámetro del tornillo, esto es, una distancia de 1 ½ plg
=0.0381m. Por lo que la placa tendrá de longitud total:
L=0.3048+2(0.0381)=0.381m=15plg
4.11 Tornillos a Tensión.
Se tendrán 2 tornillos unidos a la viga superior A e inferior C los cuales soportarán una carga de
24525N cada uno por lo que es el caso de carga axial. Como al retirar la carga éstos elementos sufren
una carga de impacto se considerará un coeficiente de seguridad de 2.5.
MPaMPaCSMáx
t 1005.2
250===
σσ
246 1045.2
1010024525 mx
xPA
AP −===⇒=
σσ
445.2
22 dcmA π==
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
cmd 76.1)45.2(4==
π
Como los tornillos son largos se recomienda un diámetro exterior de cuerda d=19.05mm. Se
especifica la designación del tornillo y tuerca en base a la tabla 4.2 y 4.3.
Tabla 4.2 Series estándar de roscas de tornillo UN y UNR, pulgadas. Hilos por pulgada Tamaño nominal Diámetro mayor
básico Gruesa (UNC) Fina (UNF) Extrafina (UNEF)
0 0.0600 80
1 0.0730 64 72
2 0.0860 56 64
3 0.0990 48 56
4 0.1120 40 48
5 0.1250 40 44
6 0.1380 32 40
8 0.1640 32 36
10 0-1900 24 32
12 0.2160 24 28 32
¼ 0.2500 20 28 32
5/16 0.3125 18 24 32
3/8 0.3750 16 24 32
7/16 0.4375 14 20 28
½ 0.500 13 20 28
9/16 0.5625 12 18 24
5/8 0.6250 11 18 24
¾ 0.7500 10 16 20
7/8 0.8750 9 14 20
1 1.000 8 12 20
1 1/8 1.1250 7 12 18
1 ¼ 1.2500 7 12 18
1 3/8 1.3750 6 12 18
1 ½ 1.5000 6 12 18
Fuente. Series estándar de roscas del libro fundamentos de diseño de mecánica, sujeciones, uniones y
conexiones. Shigley.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Tabla 4.3 Dimensiones básicas de tuercas hexagonales pesadas, contratuerca hexagonal pesada,
ranurada hexagonal pesada y almendrada pesada, pulgadas.
Hexagonales pesadas Almendrada hexagonal
Altura H
Tamaño nominal
D Anchura W
Lisa o ranurada Contratuerca
Anchura W Altura H
¼ ½ 15/64 11/64 7/16 9/32
5/16 9/16 19/64 13/64 ½ 21/64
3/8 11/16 23/64 15/64 9/16 13/32
7/16 ¾ 27/64 17/64 11/16 29/64
½ 7/8 31/64 19/64 ¾ 9/16
9/16 15/16 35/64 21/64 7/8 39/64
5/8 1 1/16 39/64 23/64 15/16 23/32
¾ 1 ¼ 47/64 27/64 1 1/8 13/16
7/8 1 7/16 55/64 31/64 1 5/16 29/32
1 1 5/8 63/64 35/64 1 ½ 1
1 1/8 1 13/16 1 7/64 39/64 1 11/16 1 5/32
1 ¼ 2 1 7/32 23/32 1 7/8 1 ¼
1 3/8 2 3/16 1 11/32 25/32 2 1/16 1 3/8
1 ½ 2 3/8 1 15/32 27/32 2 1/4 1 ½
Fuente. Series estándar de roscas del libro fundamentos de diseño de mecánica, sujeciones, uniones y
conexiones. Shigley.
De las tablas 4.2 y 4.3 tenemos que para un diámetro nominal de ¾ de pul.=19.05mm gruesa
(UNC) se tienen 10 hilos por pulgada, especificación del tornillo ¾-10UNC. Con respecto a las tuercas
de sujeción se tiene que para un diámetro nominal de tornillo de ¾ para una tuerca hexagonal lisa se
requiere que tenga una altura H=47/64 pul=18.65mm. y una anchura W=1 ¼ pul=31.49mm.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.12 Análisis de la columna.
El elemento que ejercerá la fuerza de la prensa lo consideramos como columna, el análisis se
hará como ya se mencionó por las fórmulas de la AISC. En la figura 4.6 se muestra la longitud y la
carga a la que se somete el elemento.
49050N
0.381m
49050N
Figura 4.6 Elemento columna.
Se considera que está empotrada libre, por lo tanto se tiene que la relación de esbeltez límite es:
84.12710250
)10207(226
922
===x
xECcPC
πσπ
Considerando la columna como larga y de las condiciones de Euler en los apoyos se va tener
que:
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
162
642
2
4
2 dd
d
AIk ===
π
π
por lo tanto k=d/4
ddkLRE 048.3
4
)381.0(22===
CSkL
EAP
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=π
mmmdEdd
45.2702745.0)2()048.3(
)4(490502
22
2 ==⇒=π
π
Ahora verificamos que con ese diámetro se cumpla la relación entre la relación de esbeltez y la
relación de esbeltez límite.
8.12711102745.0048.3
<==kL
Por lo tanto la suposición de que es columna larga es equivocada. Ahora suponemos que será
intermedia.
CSEkL
PCPC
admσ
π
σσ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−= 2
2
41
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= 292
26
2 )10207(4)048.3(102501)4(49050dx
xd ππ
mmmd 28028.0 ==
Ahora verificamos que con ese diámetro se cumpla la relación entre la relación de esbeltez y la
relación de esbeltez límite.
8.12786.108028.0048.3
<==kL
Si se cumple la relación por lo tanto el diámetro determinado es correcto. Se requiere un
diámetro d = 28mm =1 1/8 pulg.
4.13 Análisis de la viga D.
Se requiere que la prensa tenga un ancho de 24 pulgadas y la viga inferior “C” de 15 pulgadas
de la misma longitud que la viga superior 1, se supone que en sus apoyos está empotrada la viga
superior 2 por lo tanto es una viga hiperestática:
64.37 kN/m
4.5 plg 0.114 m
4.5 plg 0.114 m
15 plg 0.381 m
Figura 4.7 Representación de cargas y apoyos en la viga.
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CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
)381.0(37.640 −+==Σ BA RRFy
)22.4(52.24 EcRR BA ⇒=+
)3045.0)(381.0(37.64)609.0(0 +−+−==Σ↵− BAAB MMRM
)23.4(46.7609.0 EcMMR BAA ⇒=−+−
Ahora escribimos la ecuación general de momento desde cero hasta el último tramo:
>−
><−<+>−
><−<−><+><−=2
495.0495.037.642
114.0114.037.640 xxxxxRxMM AA
2202
2495.0
237.54114.0
237.64
>−<−>−<+><−><=−= xxxRxMMdx
YdEI AA
1332 495.0
637.64114.0
637.64
2CxxxRxMEI A
A +>−<−>−<+><−><=θ
214432 495.0
2437.64114.0
2437.64
62CxCxxxRxMEIY AA +><+>−<−>−<+><−><=
Condiciones de frontera si x=0, θ=0 y Y=0, por lo tanto C1 y C2 son cero. Obtenemos las
ecuaciones definitivas:
332 495.0637.64114.0
637.64
2>−<−>−<+><−><= xxxRxMEI A
Aθ
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 91
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4432 495.024
37.64114.024
37.6462
>−<−>−<+><−><= xxxRxMEIY AA
La otra condición de frontera es si x=0.609m la pendiente y flecha también es cero, por lo tanto:
De la ecuación de θ:
332 495.0609.0637.64114.0609.0
637.64609.0
2609.00 >−<−>−<+><−><= A
ARM
)24.4(28.1185.0609.00 EcRM AA ⇒+−=
De la ecuación de Y:
4432 495.0609.024
37.64114.0609.024
37.64609.06
609.02
0 >−<−>−<+><−><= AA RM
)25.4(1605.00376.0185.00 EcRM AA ⇒+−=
Resolviendo el sistema de ecuaciones (4.22), (4.23), (4.24) y (4.25) obtenemos las reacciones:
RA=12.26kN
RB=12.26kN
MA=1.62kN-m
MB=1.62kN-m
Trazando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 92
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
64.37 kN/m
4.5 plg 0.114 m
4.5 plg 0.114 m
15 plg 0.381 m
V
M
x
x
12.26kN
12.26kN
0.94kN-m
1.62kN-m 1.62kN-m
(+)
(-)
(+)
(-)
Figura 4.8 Diagramas V y M de la viga.
Del diagrama obtenemos que el momento flexionante máximo es:
MMAX=1.62kN-m.
336
336.10036.1
1025.1561062.1 cmmx
xMSt
MAX ====σ
Del manual del IMCA página 47 (VER ANEXO) buscamos un módulo de sección “S” de un
perfil “L” de lados iguales y encontramos que S=11.60 cm3, por lo que obtenemos un perfil de
especificación 76mmX8mm, esto es 7.6 cm de lado por 0.8 cm de espesor.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 93
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
4.14 Análisis de la viga E. 4.14 Análisis de la viga E.
Considerando el caso mas desfavorable que es cuando tenemos una carga concentrada en el
centro de la viga y que ésta está simplemente apoyada se tiene que:
Considerando el caso mas desfavorable que es cuando tenemos una carga concentrada en el
centro de la viga y que ésta está simplemente apoyada se tiene que:
24.525kN
0.3045m 0.3045m 0.3045m 0.3045m
12.262kN 12.262kN kN
V V
x x
x x
M M MMAX
12.262kN 12.262kN
12.262kN 12.262kN
(-)
(+)
MMAX
(+)
Figura 4.9 Diagramas V y M de la viga. Figura 4.9 Diagramas V y M de la viga.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 94
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
( ) mkNL
PabM MAX −=== 733.3609.0
)3045.0)(3045.0(525.24
3346
389.231089.23
1025.15610733.3 cmmxxxMS
t
Max ==== −
σ
Del manual del IMCA pagina 47 (VER ANEXO) buscamos un módulo de sección “S” de un
perfil “L” de lados iguales y encontramos que S=24.41 cm3, por lo que obtenemos un perfil de
especificación 89mmX13mm, esto es 8.9 cm de lado por 1.3 cm de espesor.
4.15 Tornillos de sujeción.
Cada tornillo carga la mitad de la carga total es decir 24525N, pero como se tienen 2 vigas D, el
elemento está sujeto a cortante doble como se muestra en la figura 4.9, por lo que el área resiste
solamente 12262.5N. para calcular el diámetro mínimo requerido se tiene que:
Figura 4.10 Tornillo de sujeción sometido a fuerza cortante doble.
La ecuación de esfuerzo cortante es la siguiente:
ττ VA
AV
=⇒=
El esfuerzo cortante de trabajo es τt=80Mpa, por lo tanto:
2246 06.31006.3
108024525 cmmx
xA === −
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 95
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
406.3
2dA π==
cmd 97.1=
Se requiere un diámetro de 1.97 cm, recurrimos a la tabla 4.1 y determinamos que es un
diámetro nominal de 7/8 plg. Cuya especificación es 7/8-9UNC.
4.16 Perfil “C” sometido a tensión.
El perfil “C” está sometido a tensión y además tiene agujeros de 7/8 pul. = 22.22mm para
acoplar con la viga D, resiste una carga de 24.525kN y su análisis es el siguiente, como mínimo un
área de:
barrenost
Min nAU
PA +=σ
Para calcular el área de los barrenos es (d)(e) es decir diámetro por espesor, por lo que
tendremos que proponer espesores de perfiles y determinar cual es el correcto, además el diámetro de
los agujeros es 7/8 plg, pero recordando lo que se vió en áreas netas debemos de sumarle 1/8 de plg =
3.175mm, por lo que el diámetro de los agujeros es 1 pul = 0.0254m.
De la página 52 y 53 del manual del IMCA (VER ANEXO) proponemos un espesor de patín de
tf = 6.93mm =6.93x10-3m y tenemos:
22436
61.51061.5)1093.6)(0254.0(2)75.0(1025.156
24525 cmmxxx
AMin ==+= −−
Buscamos un perfil que tenga esa área o mayor y encontramos: CE 76mmx6.10kg/m.
Verificamos que esa área soporte la carga es decir:
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 96
CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO
2434 1015.4)1093.6)(0254.0(21068.7 mxxxAefectiva
−−− =−=
NxxAUP efectivat 48.48744)1015.4)(1025.156(75.0 46 === −σ
2452484.48744 >
Podemos decir entonces que ese perfil soporta perfectamente la carga, no podemos reducirlo
puesto que en el manual del IMCA es el mas pequeño. Se necesita un perfil CE76x6.10 para el
elemento a tensión.
4.17 Análisis de la viga C.
Ésta viga depende del peralte del elemento a tensión lo que nos dará su máximo valor de ancho
b=3pul.. Y su espesor será el mismo de las vigas A y B, h=1 ¼ pul., así como una longitud de
L=15pul.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 97
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
CAPITULO V ANÁLISIS CON COMPUTADORA
5.1 Elementos analizados con computadora.
Cada uno de los componentes de la prensa que se diseñaron en el capitulo IV, ahora se
analizarán con métodos computacionales para demostrar que efectivamente el diseño está dentro de los
valores límites de esfuerzo y deformación y no se presentará falla alguna.
El método computacional empleado en algunos elementos fue el programa SOLIDWORKS con
COSMOSX y en otros por su sistema de cargas o geometría más complicada se realizaron en ANSYS.
5.2 Análisis con computadora de la viga A y B.
Tenemos el análisis de la viga A y B la figura 5.1 muestra el esfuerzo que se presenta y la figura
5.2 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y deformaciones están
dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.
Fig. 5.1 Esfuerzo en placas A y B
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 98
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.1 Deformación en placas A y B.
5.3 Análisis con computadora de tornillos a tensión F.
Ahora tenemos el análisis de los tornillos a tensión en la figura 5.3 y 5.4 muestra los esfuerzos
que se presenta y la figura 5.5 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los
esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.
Fig. 5.3 Esfuerzos en los tornillos a tensión.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 99
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.4 Esfuerzos en el apoyo de el tornillo a tensión.
Fig. 5.5 Deformación en el tornillo a tensión.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 100
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
5.4 Análisis con computadora de la columna G.
Ahora tenemos el análisis de la columna G sometida a compresión en la figura 5.6 y 5.7 muestra
los esfuerzos que se presenta y la figura 5.8 muestra la deformación. Como se puede observar y
comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es
correcto.
Fig. 5.6 Esfuerzos que se presentan en columna G.
Fig. 5.7 Esfuerzos en el apoyo de la columna.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 101
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.8 deformación en la columna G.
5.5. Análisis con computadora de la viga D.
Ahora tenemos el análisis de la viga D en la figura 5.9 y 5.10 muestra los esfuerzos que se
presenta con unidades en N/m2 y las figuras 5.11 y 5.12 muestra la deformación en metros. Como se
puede observar y comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo
que el diseño es correcto.
Fig. 5.9 Esfuerzos en los apoyos de la viga D.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 102
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.10 Esfuerzos en la viga D.
Fig. 5.11 Deformación en 3D de la viga D.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 103
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.12 Deformación 2D de la viga D.
5.6 Análisis con computadora de la viga E.
Ahora tenemos el análisis de la viga E en la figura 5.13 y 5.14 muestra los esfuerzos que se
presentan y la figura 5.15 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y
deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.
Fig. 5.13 Esfuerzos en los apoyos de la viga E.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 104
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.14 Esfuerzos en la viga E.
Fig. 5.15 Deformación en la viga E.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 105
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
5.7 Análisis con computadora de los tornillos H sometidos a cortante doble.
Ahora tenemos el análisis de los tornillos H, en la figura 5.16 muestra los esfuerzos que se
presentan en N/m2 y la figura 5.17 muestra la deformación en metros. Como se puede observar y
comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es
correcto.
Fig. 5.16 Esfuerzos en tornillos H sometidos a cortante doble.
Fig. 5.17 Deformación en los tornillos H.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 106
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
5.8 Análisis con computadora del perfil “C” sometido a tensión.
Ahora tenemos el análisis del perfil “C”, en la figura 5.18 y 5.19 muestra los esfuerzos que se
presentan y la figura 5.20 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y
deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.
Fig. 5.18 Esfuerzos en el perfil “C”.
Fig. 5.19 Esfuerzos concentrados en los barrenos del perfil “C”
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 107
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.20 Deformación en el perfil “C”.
5.9 Análisis con computadora del marco de carga de la prensa.
Ahora analizaremos por métodos computacionales el marco de cargas, es decir ya no los
componentes por separado sino que en conjunto; de igual manera se observa que los esfuerzos y
deformaciones están dentro de los valores límites por lo tanto el diseño de todo el conjunto es correcto.
En la figura 5.21 se muestra la distribución de esfuerzos en N/m2. y en la figura 5.22 se muestra la
curva elástica de deformación.
Con estos análisis computacionales se cumple el objetivo de estar 100% seguros de que el
diseño mecánico de los elementos de la prensa es válido, además de poder comparar análisis
matemáticos de mecánica de materiales con métodos computacionales como el COSMOS y ANSYS.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 108
CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA
Fig. 5.21 Distribución de esfuerzos en el marco de carga de la prensa.
Fig. 5.22 Deformación en el marco de carga de la prensa.
ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 109
REFERENCIAS
1. También conocidas como líneas de Piobert. Nombradas en honor, respectivamente de los citados investigadores alemán y Francés del siglo XIX.
2. J.H.Argyris y S. Kesley, Energy Theorems and Structural Analysis. Butterworth, London, 1960.
3. S. Levy, Structural Analysis and Influence Coeficients for Delta Wings. Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 20, No. 7, pp 449-454, 1953.
4. M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp, Stiffnes and Deflection Analisys of Complex Structures.
Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 23, No. 9, pp 805-823, 1956.
5. R. W. Clough, The Finite Element Method in Plane Stress Analysis. Procedings of the Second Conference on Electronic Computation, American Society of Civil Engineers, pp 345-377, New York, 1960.
6. R. J. Melosh, A. Stiffnes Matrix for the Analysis of Thin Plates in Bending. Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 28, No. 1, pp 34-42, 1961. 7. A. Adini and R. W. Clough, Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method. Report to National Science Foundation, Grant G7337, 1961.
8. P. E. Grafton and D. R. Strome, Analysis of Axisymetric Shells by the Direct Stiffnes Method.
Journal of the American Institute of Aeoronautics and Astronautics, vol. 1, No. 10, pp 1631-1637, 1963.
9. R. J. Melosh, Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method. Journal of the American Institute of Aeoronautics and Astronautics, vol. 1, No. 7, pp 1631-
1637, 1963.
10. O. C. Zienkiewicz and Y. R. Cheung, The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics.
Mc Grraw Hill, London, 1977.
110
11. L. J. Segerlind, Applied Finite Element Analysis. Jhon Wiley & Sons, U.S.A., 1976.
12. K. H. Huebner and E. A. Thornton, The Finite Element Method for Engineers. Jhon Wiley & Sons, 2nd. Edition, U.S.A., 1982.
13. H. C. Martin and G. F. Carey, Introduction to Finite Element Analysis. Theory and Applications.
Mc. Graw Hill, U.S.A., 1973.
14. R. D. Cook, Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Jhon Wiley & Sons, 2nd. Edition, U.S.A., 1981.
15. J. A. Ortega y L. H. Hernández, Análisis del Elemento Finito y sus Aplicaciones a la Ingeniería. Sección de estudios de Posgrado e Investigación. ESIME, México, 1985.
16. B. Carnaham, H. A. Luther and J. O. Wilkes, Applied Numerical Methods. Jhon Wiley & Sons, U.S.A., 1969.
111
BIBLIOGRAFÍA
• Mecánica de Materiales. Ferdinand P. Beer. Editorial Mc. Graw Hill.
• Mecánica de Sólidos.
Egor P. Popov. Editorial Pearson Education.
• Mecánica de Materiales.
R. C. Hibbeler. Editorial Pearson.
• Mecánica de Materiales.
Riley. Editorial Limusa Wiley.
• Análisis de Estructuras.
Mc Cormac. Editorial Alfaomega.
• Diseño de Estructuras de acero.
Mc. Cormac. Editorial Alfaomega.
• Diseño de Elementos de Máquina.
Robert L. Mott. Editorial Prentice may.
• Procesos de Manufactura Versión SI.
B. H. AMSTEAD. Editorial CECSA.
• Resistencia de Materiales.
E. J. Hear. Editorial Interamericana.
• Método de Elemento Finito.
G. Urriolagoitia Sección de estudios de Posgrado e Investigación. ESIME, México.
• Manuales de aplicación SOLIDWORK, COSMOS y ANSYS.
• http://www.hidrafresa.com/lomipower.htm
112
CONCLUSIONES
Debido al presente trabajo se ha llegado a las siguientes conclusiones:
• La construcción de cualquier elemento o máquina mediante conocimiento empírico no siempre es correcta y puede fallar.
• La utilización de los modelos matemáticos de la Mecánica de Materiales es siempre válida, usándolos de manera adecuada, pues se observa que el diseño de los elementos mecánicos de la prensa son correctos al compararlos con los resultados de los métodos computacionales.
• Es importante en cualquier diseño contar con una herramienta tan valiosa como los métodos computacionales de análisis, es éste trabajo se utilizó el Método del Elemento Finito; para el modelado y análisis nos valimos de dos software, para las partes de sencillo análisis se uso SOLIDWOK y COSMOS; para las partes mas complejas se usó ANSYS.
• El uso del Método del Elemento Finito simplifica el diseño mecánico es decir se confirma el diseño; además se observa que los resultados por métodos computacionales y los resultados por análisis matemáticos (Mecánica de Materiales), son muy cercanos, lo que verifico el correcto diseño.
• Al comparar la primer prensa construida y la prensa del diseño, se observan cambios importantes en el dimensionamiento de los elementos, debido a estos cambios la primer prensa construida falló, pues no estaba diseñada sólo construida mediante aproximaciones empíricas.
113
TRABAJOS A FUTURO
• Desarrollar el diseño hidráulico de la prensa, es decir, no utilizar un gato hidráulico, sino un pistón; esto debido a la recomendación del Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón.
• Realizar el diseño con nuevos materiales o aleaciones parta reducir peso.
• Determinar los esfuerzos en la soldadura y determinar cual es la más correcta.
• Estudiar el Método del Elemento Finito para casos más complejos.
• Realizar el estudio de costo para verificar que efectivamente su construcción no sea cara y se cumpla el objetivo de que esté al alcance de cualquier taller mecánico por pequeño que éste sea.
• Realizar el análisis para automatizar la prensa hidráulica.
114
ANEXO 115
Del manual del Instituto Mexicano de Construcción de Acero (IMCA):
116
117
118
119