INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCASUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ELECTRÓNICA DIGITALÁLGEBRA DE BOOLE

Ing. Marco Antonio Reyes González

La mayoría de las veces es factible reducir una ecuación booleana que describe el comportamiento de un circuito; esto es porque es mas económico producir una ecuación reducida que la ecuación original.

El algebra de conjuntos nos permitirá entender los teoremas y propiedades de los circuitos lógicos.

Postulados del Algebra de Boole.

Definición: El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto X el cual contiene dos o mas elementos y entre los cuales se definen dos operaciones básicas denominadas suma “OR” (+) y multiplicación “AND” (●), la cuales cumplen las siguientes propiedades:

Existencias de Neutros

Existen en X , el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro de la multiplicación (1), tales que para cualquier elemento de x tenemos que:

x + 0 = x

x ● 1 = x

Conmutativa

Postulados del Algebra de Boole.

Para cada x, z en X :

x + z = z + x

x ● z = z ● x Asociativa

Para cada w, x, z en X :

w + (x + z) = (z + x) + w

w ● (x + z) = (wx) +(wz)

Postulados del Algebra de Boole.

Distributiva

Para cada w, x, z en X :

w + (x ● z) = (w+x) ●(w+z) w ● (x + z) = (w●x)+(w●z)

Existencias de complementos

Para cada x en X existe un elemento único denominado x, tal que:

x + x = 1 x ● x = 0

Haciendo memoria

Un conjunto esta conformado por una serie especifica de elementos.

A B+ = C

Donde C = todos los elementos de A o Todos los elementos de B

Es equivalente a la operación “O” lógica (OR)

C esta conformado por elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo

Operación “Y” lógica ( AND)

Utilicemos los diagramad de Venn para comprender la relación entre los diversos conjuntos.

CONJUNTO UNIVERSAL, agrupa a todos los puntos del círculo cartesiano.Corresponde a el 1 (todo) en algebra Booleana.

Supongamos por un momento que el universo en el que vamos a trabajar es un plano y que los elementos que lo integran son los cuatro cuadrantes del círculo cartesiano. Bajo esta consideración podemos hablar de los siguientes conjuntos:

CONJUNTO “Y”, agrupa a todos los puntos del primero y segundo cuadrantes.

CONJUNTO NO Y, agrupa a todos los puntos del tercero y cuarto cuadrantes.

CONJUNTO X, agrupa a todos los puntos del primero y cuarto cuadrantes.

CONJUNTO NO X, agrupa a todos los puntos del segundo y tercero cuadrantes.

X + X

Y + Y

Operaciones de unión

X + YX + Y

X + Y X + Y

Operaciones de intersección

X ● Y X ● Y

X ● Y X ● Y

Veamos como expresar esto con circuitos de conmutación

Utilicemos switches o interruptores para ejemplificar el algebra de boole.

Los switches solo pueden tener 2 posiciones encendido (1) o Apagado (0).

La operación suma es una conexión en paralelo.

La operación multiplicación es una conexión en serie.

A

B

(A+B)

A B (A B)

=A

B

C

A

A

B

C

A ( B + C ) = A B + A C

A

B C =

A

B

A

C

A + B C (A + B) (A + C)=

Teoremas del Algebra Booleana.

Estos teoremas están basados en los postulados del algebra de Boole. Que vimos con anterioridad

1) Neutros

A (0) = 0 A + 1 = 1

2) Absorción

A + AB = A A ( A + B ) = A

3) Cancelación

A + A B = A + B A ( A + B ) = A B

A B + A B = B ( A + B ) ( A + B ) = B

Teoremas del Algebra Booleana.

4) Idempotencia

A A = A A + A = A

5) Consenso

AB + AC + BC = AB + AC (A+B)(A+C) (B+C) = (A+B)(A+C)

6) Teorema de Morgan

AB = A + B A + B = A B

Por su atención gracias.