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GENRY RICARDEZ GARCIAING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
08/09/20112011
INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSATEMARIO 1° UNIDAD
INVESTIGACION DE OPERACIONES
CATEDRATICA: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO
INDICE1.1 DEFINICIÓN, DESARROLLO Y TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES............................................................................................................2
ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.................................2
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO)...........................................................3
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES............................4
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?.........................................5
CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN..........................................................................6
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES:..................................6
MODELOS: CLASIFICACIÓN.................................................................................7
CLASIFICADOS SEGÚN SU FUNCIÓN:..............................................................8
1.2 FORMULACIÓN DE MODELOS..........................................................................10
1.3 MÉTODO GRÁFICO..............................................................................................11
1.4 FORMAS ESTÁNDAR Y CANÓNICAS...............................................................13
1.5 MÉTODO SIMPLES...............................................................................................14
3.1.1 EXPLICACION GRAFICA DEL PROCESO SIMPLEX....................................14
1.6 TÉCNICAS CON VARIABLES ARTIFICIALES...................................................15
1.6.1 Método de la M...................................................................................................15
1.6.2 MÉTODO DE LAS DOS FASES........................................................................17
BIBLIOGRAFIA:...........................................................................................................22
1.1 DEFINICIÓN, DESARROLLO Y TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa
un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a
formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas
de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede
ser cualitativo o cuantitativo.
El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las
habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con
la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones.
El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de
herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la
toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con
problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere
de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.
La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases
cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad
para hacer planes a futuro.
En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los
métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e
inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e
instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que
requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa
sólida.
En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga
un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas
para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y
recomendaciones que se le presenten.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas,
cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la
administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada
investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares
prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos,
existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas
operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más
efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un
llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste
y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran
investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los
primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo
radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de
sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de
protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del
Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en la isla de campaña en el
pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades
bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la
explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la
complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a
primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo
a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO
durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los
enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década
de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de
operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta
disciplina se ha desarrollado con rapidez.
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer
investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se
aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o
actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es
esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado
de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la
constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud,
la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de
aplicaciones es extraordinariamente amplia.
La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de
operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la
investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el
método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones
se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de
operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la
formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El
siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático)
que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la
hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las
características esenciales de la situación como para que las conclusiones
(soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se
llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si
es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como
validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones
incluyen la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las
operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también
de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también
proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando
las necesite.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?
Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido
evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la
conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una
definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas,
aquí seleccionamos dos de las más aceptadas y representativas.
De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:
1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan,
unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las
componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También
dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan
interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia
con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de
autocorrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los
objetivos establecidos.
3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no
encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en
multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos
compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran
comunicarse con un lenguaje común.
4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a
través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para
resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran
Bretaña es la siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los
complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes
sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios,
en el gobierno y en la defensa.
CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN.
Una característica adicional, que se mencionó como de pasada, es que la
Investigación de Operaciones intenta encontrar la mejor solución, o la solución
óptima, al problema bajo consideración. En lugar de contentarse con sólo mejorar
el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun
cuando debe interpretarse con todo cuidado, esta “búsqueda de la optimalizad” es
un aspecto muy importante dentro de la Investigación de Operaciones.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES:
La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus
creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergia generada al
combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.
1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del
sistema interactúan normalmente un gran número de variables.
2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del
sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema
asumido del sistema real.
3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y
simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la
utilización de funciones matemáticas.
4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o
más de las técnicas desarrolladas por la IO.
5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del
problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores
cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo.
Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador
de decisiones.
6. Se implanta la solución en el sistema real.
MODELOS: CLASIFICACIÓN
Como acabamos de ver con anterioridad una de las fases de la aplicación
del método científico se basa en la construcción de modelos o formulación de
hipótesis. En nuestro caso nos centraremos en la construcción de modelos.
Aunque hay numerosas acepciones y definiciones de un modelo, hemos elegido la
de Aracil (1):
“ Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto
de la realidad, y tiene una estructura que está formada por los elementos que
caracterizan el aspecto de la realidad modelada y por las relaciones entre estos
elementos".
A partir de este concepto de modelo se pueden obtener distintas
clasificaciones (icónico, analógicos, simbólicos, etc.), sin embargo, solo estamos
interesados en los modelos matemáticos, es decir, los modelos formales basados
en la lógica matemática, y se basan en un conjunto de relaciones matemáticas
(tales como ecuaciones, inecuaciones, relaciones lógicas, etc.) que se
corresponden con las relaciones del mundo real (tales como relaciones
tecnológicas, leyes físicas, restricciones del mercado, etc.).
No vamos a entrar en esta polémica, sino que lo único que queremos es
poner de manifiesto que los modelos deben usarse como una herramienta más
para la toma de decisiones y que deben valorarse en su justa medida, ya que
difícilmente es comprensible un problema complejo sin una mínima modelización,
aunque también hay que reconocer que no es posible modelar la totalidad de las
situaciones reales.
Con anterioridad nos hemos referido a tipos de modelos basados en sus
formas de representación (icónico, analógicos, simbólicos), no obstante podemos
establecer otros tipos de clasificaciones de los modelos matemáticos:
CLASIFICADOS SEGÚN SU FUNCIÓN:
Modelos predictivos: Este tipo de modelos nos informan del
comportamiento de la variable en un futuro, es decir, lo que debería ser. A este
tipo de modelos corresponden aquellos basados en técnicas estadísticas y/o
econométricas, es decir, modelos de previsión.
Modelos evaluativos: Una técnica evaluativa corresponde a medir las
diferentes alternativas, y así poder comparar los resultados de ellas. Este tipo de
modelos se corresponden con los denominados árboles de decisión.
Modelos de optimización: Se trata de modelos que tratan de identificar
un óptimo (por lo general, el óptimo global) del problema, es decir, buscan la mejor
de las alternativas posibles. Estos métodos son los que están basados en las
técnicas de programación matemática.
Otra clasificación de los modelos se basa en la realidad que pretender modelar, así
podemos hablar de:
Modelos deterministas versus modelos estocásticos. En los modelos
deterministas todos los datos del problema se conocen con absoluta certeza,
mientras que cuando esto no es así tenemos los modelos estocásticos. Por lo
general los modelos más realistas son los modelos estocásticos, pero tienen la
dificultad de poderlos resolver adecuadamente, y muchas de las técnicas aplicables
a los modelos estocásticos tratan de reducir el problema a su versión determinista
para poderlo resolver.
Modelos estáticos versus modelos dinámicos. En un modelo estático la
variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en los modelos
dinámicos la variable fundamental, y de la que dependen las restante variables
relevantes. Además, el variable tiempo se considera como una variable continua.
Una vez establecida una serie de clasificaciones de los modelos, es conveniente
plantear una medida de su solución, ya que el objetivo de plantear el modelo es el
poderlo resolver y extraer de la solución los resultados necesarios para la toma de
decisiones. El nivel de re solubilidad de los problemas es función de tres
características fundamentales:
a) El tamaño del problema: El número de variables y ecuaciones que contiene.
Cuanto mayor sea este número, más difícil de resolver es.
b) La clase del problema: Lineal, Entero y No lineal, y además por ese orden,
es decir, los problemas lineales son "fácilmente" resolubles, mientras que los
no lineales son "intrínsecamente" difíciles de resolver.
c) El tipo de instancias utilizadas: Ciertas o deterministas, con riesgo
(conocemos las probabilidades de ocurrencia), con incertidumbre
(conocemos los resultamos posibles pero no las probabilidades de
ocurrencia) y turbulencia (no conocemos nada).
1.2 FORMULACIÓN DE MODELOS La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es
construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una
aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las
alternativas de solución.
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables
dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el
propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la
efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las
restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo.
Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos,
que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter
inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que
utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
PRUEBA DEL MODELO
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar
identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar.
VALIDACIÓN DEL MODELO
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las
dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor
conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de
entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de
modelo se comporten de una manera factible.
1.3 MÉTODO GRÁFICO.El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL,
representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el
objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables.
Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o
imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método
es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones
tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:
1. Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que
satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores
posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan
sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual
se produce la ecuación de una línea recta.
4. Trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada
restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la
flecha situada sobre la línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones
satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto
factible.
6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de
soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección
en la cual aumenta la función objetivo.
7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante
la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la
dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 Restricciones: X1 + 2X2 <=6 (1) 2X1 + X2 <=8 (2) -X1 + X2 <=1 (3) X2 <= 2 (4) X1 >= 0 (5) X2 >= 0 (6)
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene:
X1 + 2X2 = 6 (1) 2X1 + X2 = 8 (2) -X1 + X2 = 1 (3) X2 = 2 (4) X1 = 0 (5) X2 = 0 (6)
1.4 FORMAS ESTÁNDAR Y CANÓNICAS.
Un problema de programación lineal puede ser establecido en diferentes formas equivalentes a través de manipulaciones apropiadas. Dos formas en particular serán de bastante utilidad. Estas son las formas Estándar y Canónica. Un problema lineal se dice que está en la forma estándar sí;
a) Todas las restricciones son igualdades b) Todas las variables son no-negativas c) Las limitaciones ( lado derecho de la restricción) son positivas
El Método Simplex, está diseñado para ser aplicado únicamente hasta que el problema se encuentre en la forma Estándar. La forma Canónica es también de bastante utilidad, especialmente en explorar la relación de Dualidad. Un problema de P.L. está en la forma canónica si para un problema de:
Maximización, las variables son no-negativas y las restricciones son del tipo ≤
Minimización, las variables son no-negativas y las restricciones son del tipo ≥
Considere el siguiente problema de P.L. en forma canónica
Dónde: A= Matriz de coeficientes de las variables en el sistema de ecuaciones de (mxn) aij= coeficiente de la variable j en la restricción i
x=Vector solución (nx1) xj= Variable j
bi= Lado derecho de la restricción i (Limitación i)
C=Vector de costos o utilidades (1xn) cj= Coeficiente de la variable j en la función objetivo
1.5 MÉTODO SIMPLES
El método Simplex es un algoritmo iterativo para resolver de una forma eficiente los problemas de P.L de gran tamaño. Fue desarrollado primeramente en 1947 por C.B. Dantizg y sus colaboradores en el Departamento de las Fuerzas Aéreas de U.S. Se han realizado posteriormente algunas, revisiones en el método para conseguir incrementar su eficiencia de cálculo pero el método es básicamente el mismo. El método Simplex y sus variantes se han programado y codificado para todos los tipos y tamaños de ordenadores
3.1.1 EXPLICACION GRAFICA DEL PROCESO SIMPLEX
Ya se ha apuntado en el proceso de solución grafica que la búsqueda de una solución óptima debe hacerse únicamente en los vértices de espacio factible de solución. Esto es fácil de comprender en un problema con solo dos variables y tres restricciones, pero en problemas mayores se necesita un procedimiento para identificar y evaluar todos los vértices.
En el método Simplex, la búsqueda comienza, normalmente, en el origen y se desplaza al vértice adyacente que incremente el valor de la función objetivo. Cuando alcanza el nuevo vértice, la búsqueda se desplaza hacia otro nuevo adyacente que sea mejor que el último. El proceso continua hasta que no se puede lograr ninguna mejora.
El proceso Simplex siempre alcanza la solución óptima (si existe tal solución). Puesto que en cada iteración mejora la función objetico y hay solo un numero finito de vértices en la zona de factibilidad. Igualmente se alcanzara el óptimo independiente de donde comience el proceso.
1.6 TÉCNICAS CON VARIABLES ARTIFICIALESExisten problemas de programación lineal que no proporcionan una solución
básica inicial. Esta situación se presenta cuando al menos una de las restricciones es del tipo (<=) o (=). Para este propósito se desarrollan 2 métodos basados en el uso de variables artificiales: El método M o de penalización y la técnica de 2 fases.
1.6.1 MÉTODO DE LA M.
Pasos:
i. Expresar el modelo original en la forma estándar e igualar a cero la función objetivo.
ii. Sumar del lado izquierdo de cada ecuación, correspondiente a las restricciones del tipo ³ y/o =, una variable no negativa. Estas variables se llaman variables artificiales y su adición causa una alteración a las restricciones correspondientes esta dificultad es superada garantizando que las variables artificiales serán igual a cero (Z=0) en la solución final. Esto es alcanzado asignando un valor de penalización muy grande, por unidad, a estas variables en la función objetivo. Tal valor de penalización será designado por +M, si es un problema de maximización y -M para un problema de minimización con M>0.
iii. El uso de variables artificiales proporcionan una solución inicial básica, sin embargo para ello los coeficientes en la función objetivo deben ser igual a cero, para lograrlo usamos el procedimiento (algoritmo) del método simplex.
Las variables artificiales solamente proporcionan un mecanismo matemático para obtener una primera solución básica, el efecto de estas variables en la solución final es cancelado por el valor de penalización muy alto en la función objetivo. Estas variables son ficticias y no tienen alguna interpretación física ni económica directa en términos del problema original.
Ejemplo: Resolver el siguiente modelo de programación lineal por el método penal Min Z = 4x1 + x2
S.A.3x1 + x2 = 34x1 + 3 x2 ³ 6x1 + 2 x2 # 3xj³0 (j =1,2)
i. Expresar el modelo original en la forma estándar e igualar a cero la función objetivo.
Z - 4x1-3x2+0x3-0x4+ =0S.A.3x1 + x2 = 34x1 + 3 x2 -x3 = 6x1 + 2 x2 +x4 = 3xj³0 (j =1, 2, 3, 4,)
ii. Sumar del lado izquierdo de cada ecuación una variable artificial, identificada por W a cada una de las restricciones que en el modelo original sean del tipo = y ³, así mismo penalizar la función objetivo. Para el ejemplo que nos ocupa la primera y la segunda ecuación requieres de una variable artificial por lo que se identificarán por W1 y W2 respectivamente. La penalización en la función objetivo, es realizada restando un coeficiente M a cada una de las variables artificiales que se hayan sumado a las ecuaciones de restricción, para este ejemplo se penaliza la función objetivo dos veces, asignando un coeficiente –M para W1 y otro coeficiente –M para W2.
Min Z - 4x1 - x2 - MW1-MW2+ 0x3- 0x4=0S.A.3x1 + x2 + w1 = 34x1 + 3 x2 - x3 + w2 = 6x1 + 2 x2 + x4 = 3xj³0 (j =1,2, 3, 4)wj³0 (j =1,2)
La tabla inicial es:
iii. Generando la solución inicial básica, haciendo ceros los coeficientes –M del renglón de la función objetivo de la tabla inicial simplex.Haciendo cero coeficiente-M de la variable artificial W1; matemáticamente:
MRp+R0
M (3 1 0 0 1 0 3) + -4 -1 0 0 -M -M 0 3M-4 M-1 0 0 0 –M 3M
Haciendo cero coeficiente-M de la variable artificial W2, matemáticamente: MRp+R0
M (4 3 -1 0 0 1 6) + 3M-4 M-1 0 0 0 –M 3M 7M-4 4M-1 -M 0 0 0 9M
Sustituyendo valores se tiene la siguiente tabla que corresponde a la solución inicial básica no-óptima.
1.6.2 MÉTODO DE LAS DOS FASES.
Pasos:Como su nombre lo indica, consiste en resolver problemas en dos
fases:
i. Expresar el modelo original en la forma estándar e igualar a cero la función objetivo.
ii. Sumar del lado izquierdo de cada ecuación, correspondiente a las restricciones del tipo ³ y/o =, una variable no negativa. Estas variables se llaman variables artifíciales y su adición causa una alteración a las restricciones correspondientes esta dificultad es superada garantizando que las variables artificiales serán igual a cero (W0=0) en la solución óptima de la primera fase.
iii. FASE I Formular un nuevo modelo, reemplazando la función objetivo del modelo original por la sumatoria de las variables artificiales que se sumaron en el paso anterior. La nueva función objetivo será entonces de Minimizar sujeta a las restricciones del problema original (en esta fase la función objetivo siempre será de minimizar, sin importar que la función objetivo del problema original sea de maximizar o minimizar). Si el problema tiene el espacio de soluciones factibles, el valor mínimo (optimo) de la nueva función objetivo será de cero (lo cual indica que todas las variables artificiales son cero). Si
esto ocurre podremos continuar con la fase dos de lo contrario, si el valor mínimo es mayor que cero el problema es terminado ya que esto indica que no existe espacio de soluciones factibles.
iv. FASE IIConsiderar la solución básica óptima de la fase I como una solución inicial para el problema original, en esta fase, de la tabla optima de la fase I se eliminan las columnas de las variables artificiales y se sustituye la función objetivo por la del problema original, Toda vez que se comprueba que se tiene una solución inicial básica-factible no-óptima se procede con los pasos normales del algoritmo del método simplex, hasta obtener, si existe, la solución óptima.
Ejemplo Minimizar Z=4x1+x2 S.A. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ³ 6 x1 + 2x2 # 3 xj³0 (j =1,2)
Solución:
i. Expresar el modelo original en la forma estándar e igualar a cero la función objetivo.
Z - 4x1-3x2+0x3-0x4 =0S.A.3x1 + x2 = 34x1 + 3 x2 -x3 = 6x1 + 2 x2 +x4 = 3xj³0 (j =1, 2, 3, 4,)
ii. Sumar del lado izquierdo de cada ecuación una variable artificial, identificada por W a cada una de las restricciones que en el modelo original sean del tipo = y ³, Para el ejemplo que nos ocupa, la primera y la segunda ecuación requieren de una variable artificial cada una, es decir, W1 y W2 respectivamente.
3x1 + x2 + w1 = 34x1 + 3 x2 - x3 + w2 = 6x1 + 2 x2 + x4 = 3xj³0 (j =1,2, 3, 4)wj³0 (j =1,2)
iii. FASE I Formular un nuevo modelo cuya función objetivo será de Minimizar, se identificará por W0 y será igual a la sumatoria de las variables artificiales, es decir, W0 = W1+W2.
Min W0 - W1-W2=0S.A.3x1 + x2 + w1 = 34x1 + 3 x2 - x3 + w2 = 6x1 + 2 x2 + x4 = 3xj³0 (j =1,2, 3, 4)wj³0 (j =1,2)
La tabla inicial de la primera fase es:
i. Segunda fase Debemos considerar la solución básica óptima de la fase I como una solución inicial para el problema original, en esta fase, de la tabla optima de la fase I se eliminan las columnas de las variables artificiales y se sustituye la función objetivo por la del problema original, Toda vez que se comprueba que se tiene una solución inicial básica-factible no-óptima se procede con los pasos normales del algoritmo del método simplex, hasta obtener, si existe, la solución óptima. Para nuestro ejemplo, la tabla inicial de la segunda fase es:
Como podemos observar, al sustituir la función objetivo de la primera fase por la función objetivo del modelo original, la solución pierde su estructura básica
porque los coeficientes de X1 y X2 en la función objetivo son diferentes de cero, en este caso son –4 y –1 respectivamente, para restaurar la estructura básica lo que procede es hacer ceros el –4 y el –1 (coeficientes de X1 y de X2 en la función objetivo).
Haciendo cero coeficiente –4 de X1 4Rp + R0
4(1 0 1/5 0 3/5) -4 -1 0 0 0 0 -1 4/5 0 12/5
Haciendo cero coeficiente –3 de X1
1Rp + R0
1(0 1 -3/5 0 6/5) -0 -1 4/5 0 12/5 0 0 1/5 0 18/5
BIBLIOGRAFIA:
http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm
METODOS CUANTITATIVOS VOLUMEN Io EDUARDO VICENS SALORT o ANGEL ORTIZ BASo JUAN JOSE GUARCH BERTOLIN
http://www.investigacion-operaciones.com/Metodos_Solucion_PL.htm
http://hemaruce.angelfire.com/ FORMA_CANONICA_Y_FORMA_ESTANDAR.pdf
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE:
http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/InvOperac- 1-Virginia/InvOperac/UMD/Unidad%204/Contenido/metodopenal_.htm