instrumentação electrónica e medidas: instrumentação ...jpcoelho/iem/aulas_teoricas_c2.pdf ·...
TRANSCRIPT
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 1
Intensidade de Corrente Eléctrica
A intensidade de corrente eléctrica é a carga que a travessa a secção recta (S) de um condutor na unidade de tempo.
dqidt
= S.I. – Ampére (A)
- Ligando uma bateria a um condutorestabelece-se um campo eléctrico
- O campo eléctrico actua sobre osportadores originando o seu movimento.
-Por convenção os portadores sãocargas positivas.- A velocidade de arrastamento é daordem dos 4e-2 cm/s.
- Um portador para ser deslocado de 1 cm necessita de 25s!
n v t Si q q q v St t
ρ ρ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 2
Campo Magnético
- Estudo do magnetismo a partir de observações naturais
- A corrente eléctrica que percorre um condutor também produz efeitos magnéticos (Oersted. Sec. XIX)
- Os efeitos magnéticos podem ser aumentados: bobina
- No espaço que circunda um imã ou condutor existe um
CAMPO MAGNÉTICO
- Vector campo magnético –
- Fluxo de um campo magnético –
- Integral calculada sobre a superfície (aberta ou fechada)
B
∫ ⋅=Φ SdBB
- Considerar uma carga qo em repouso num campo magnético> Nenhuma força actua na carga> Carga movimentando-se com velocidade v
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 3
- Verifica-se uma força lateral F ortogonal a v
- Variando a direcção e sentido da velocidade verifica-se:
- F sempre ortogonal a v
- F não se mantém inalterado
- Existe uma direcção para v de tal modo que F=0
Se uma carga de prova qo passar por um ponto do espaço com velocidade v e sofrer uma força F perpendicular a v existe nesse ponto um campo magnético B que satisfaz a relação:
F qv B= × sin( )F qvB θ=em módulo...
Qual a força imprimida no caso de um condutor eléctrico?
Considerar:
- Condutor de comprimento efectivo L
- Percorrido por uma corrente eléctrica i
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 4
- Força imprimida num portador:
- Força imprimida em n portadores:
F qv B= ×
F n q v Bn q vt B i l B
t
= ⋅ ⋅ ×⋅ ⋅
= × = ⋅ ×BliF ×=
O vector l aponta no sentido da corrente eléctrica
- Sobre um segmento elementar do fio dl actua uma força... BldiFd ×⋅=
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 5
Exemplo de Aplicação...
?=F
Momento de Binário sobre uma Espira de Corrente
- Espira rectangular de comprimento C e largura L
- Campo Magnético Uniforme
- O eixo de rotação é perpendicular a B
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 6
- F2 e F4 Forças sobre a mesma linha de acção
F2 = F4 (não contribuem para o movimento do corpo)
Em módulo,
( )2 sin 90 cos( )F iCB iCBθ θ= − =
tendem a deformar os condutores...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 7
( )3 sin 90F iLB iLB= =Em módulo...
De onde também se tira que,
( )3 1 sin 90F F iLB iLB= = =
Para a posição ilustrada as forças não possuem a mesma linha de acção
MOMENTO DE BINÁRIO
r Fτ = ×
Note-se que a força é CONSTANTE e independente do ângulo...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 8
2 sin( ) sin( )2
sin( )
CF iLCB
iAB
τ θ θ
θ
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Em módulo...
Direcção perpendicular ao plano r.F
sin( )NiABτ θ=Para uma bobina com N espiras...
A reter...
- Um condutor, imerso num campo magnético, quando percorrido por uma corrente eléctrica sofre uma força.
- Por outro lado, uma espira sofre um binário.
- Se a corrente for constante a espira movimenta-se até que a linha de acção do par de forças (resultantes) coincida.
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 9
O Galvanómetro de Quadro Móvel
- Uma aplicação da teoria desenvolvida é em instrumentos analógicos de medida.
- Um desses instrumentos é o galvanómetro de quadro móvel. Consiste em,
> Um íman permanente, que produz um campo magnético entre seus pólos;
> Uma bobina, em forma de quadro plano, colocada nesse campo entre os pólos do íman.
> Dispositivo apontador (agulha) e escala graduada
- De modo a dotar o sistema de um restauro automático, uma mola é adicionada ao conjunto de modo a fornecer um binário de RESTITUIÇÃO.
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 10
Quadro Móvel: Bobina rectangular de fio condutor de cobre
Entreferro: Peça cilíndrica de Aço Macio
Circuito Magnético: Íman permanente
Suspensão da Equipagem Móvel:
- Apoio em Pivots : Pontas de aço afiado sobre esferas de safira sintética.
- Suspensão por Fita Metálica (ambos os extremos) ou Livre (apenas um extremo)
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 11
MOLA:
- Constituída por duas espiras em aço envolvendo o eixo em sentidos opostos
- Responsável por fornecer o binário de Restituição
- Lei de Hooke: Binário de Restituição Resultante
- Ajustando mecânicamente o binário de restituição ajusta-se um dos limites da escala
ATRITO:
- Proporcional à velocidade angular, i.e.
R Rkτ θ=
A Akτ θ=
( - constante de torção da mola)Rk
( - constante de amortecimento)Ak
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 12
Viu-se anteriormente que o binário ACTUANTE devido à corrente eléctrica é:
sin( )NiABτ θ=
Da 2ª Lei de Newton para o movimento angular:
ii
Iτ α=∑Neste contexto tem-se:
R A Iτ τ τ α− − =2
2R Ad dNiAB k k Idt dtθ θθ− − =
Da concepção do aparelho B é radial e logo o ângulo entre B e dl = 90º. Assim
NiABτ =
2
2 A Rd dI k k NiABdt dtθ θ θ+ + =
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 13
Caracterização Estática
- Nesta situação o equilíbrio dá-se quando o binário Actuante = Restituinte
Rk NiABθ =R
NAB ik
θ =
-Em regime permanente, o desvio é proporcional à intensidade da corrente eléctrica
- À constante
é dado o nome de sensibilidade á corrente.
R
NABk
Caracterização Dinâmica
2
2 A Rd dI k k NiABdt dtθ θ θ+ + =
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 14
Aplicando a transformada de Laplace vêm que,
2
( )( ) A R
s NABI s Is k s kΘ
=+ +
- Comportamento de um sistema de segunda ordem.
- Em sistemas de medida comerciais os parâmetros são determinados de modo a que a resposta seja criticamente amortecida.
- A frequência natural do sistema é:
- De onde se tira que, (período das oscilações não amortecidas)
- Nos aparelhos comerciais T ~ 1s
- O aparelho não consegue acompanhar variações com períodos inferiores a 1s
Rn
kI
ω =
2R
ITk
π=
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 15
Estudo de Caso: Galvanómetro Excitado por Corrente Sinusoidal
0( ) sin( )pi t I tω= onde 0 2 fω π=
- Considerar frequência natural de 2pi rad/s (T=1s)
e 50f Hz=
Four
ier
( ) ( )( )0 0( ) pII j
jω π δ ω ω δ ω ω= − − +
Aparelho de Medida:
- Criticamente Amortecido (zeta=1)
- Frequência natural de 2*pi rad/s (T=1s)
- Ganho Estático de K=110/Ip (º/ampere)
2
2 2
( ) 4( ) 4 4s K
I s s sππ π
Θ=
+ +
2
2 2
4( ) ( )4 4
j K I jj
πω ωπ ω πω
Θ =− +
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 16
( ) ( )( )2
0 02 2
4( )4 4
pIj K
j jπω π δ ω ω δ ω ω
π ω πωΘ = ⋅ − − +
− +
( ) ( )( )2
0 02 2
4( ) 1104 4
jj jπ πω δ ω ω δ ω ω
π ω πωΘ = − − +
− +
Considerando,
0
2
2 20
44 4
a jbj
ω ω
ππ ω πω
=
= +− +
( ) ( ) ( )( )0 0( ) 110 ( )j a jb a jbjπω δ ω ω δ ω ωΘ = + − − − +
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 0 0 0( ) 110j a jbjπω δ ω ω δ ω ω δ ω ω δ ω ωΘ = − − + + − − +
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 17
( ) ( )( )
( ) ( )( ))0 0
0 0
( ) 110j aj
b
πω δ ω ω δ ω ω
π δ ω ω δ ω ω
⎛Θ = − − +⎜
⎝
+ − + +
Transformada Inversa...
( )0 0( ) 110 sin( ) cos( )t a t b tθ ω ω= +
( ) 10( ) 110 sin( , tan bt a t onde
aθ ω ϕ ϕ − ⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0( ) 0.04 sin( 178º )t tθ ω≈ ⋅ −Conclusão...
- Ponteiro sem deflexão
- ( ) 0tθ ≈
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 18
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50From: U(1)
101 102 103-200
-150
-100
-50
To: Y
(1)
~ -40dB
O que aconteceria se a corrente tivesse valor médio não nulo?
0 1 0( ) sin( )i t I I tω= + A TF da soma é igual à soma das TF logo...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 19
A RETER....
- Um galvanómetro de quadro móvel comercial comporta-se como um filtro passa-baixo
- Quando exposto a uma solicitação variante no tempo muito mais rápida do que a sua constante de tempo predominante apresenta, aproximadamente, o valor médiodessa entidade.
Valor Médio e Valor Eficaz de um Sinal
Valor Médio: Valor Eficaz:
0
1 ( )T
oV v t dtT
= ∫ 2 2
0
1 ( )T
RMSV v t dtT
= ∫ Se um sinal ( )v t for composto por um conjunto de n componentes com
valores eficazes 2 21 ,...,ef efV Vn , então o valor eficaz do sinal é dado
simplesmente por: 2 2 2 21 2 ...RMS RMS RMS RMSV V V Vn= + + +
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 20
EXEMPLO:
Calcular o valor médio e o valor eficaz da onda comutada da figura subsequente em função do angulo de disparo.
Projecto de Aparelhos de Medida DC
-Amperímetros
- Voltímetros
-Ohmímetros
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 21
Amperímetros e Voltímetros DC
- Apresenta-se o princípio de detecção, em CC, de amperímetros e voltímetrosanalógicos.
- Elemento motor do tipo electromagnético de quadro móvel.
- Relação linear entre a corrente e a deflexão do quadro.
- Correntes de fim-de-escala da ordem das dezenas de microampére:
microamperímetro
- Características a considerar no projecto de instrumentos DC de medida:
- Corrente de fim-de-escala (IAF)
- Resistência Interna (Ra)
- Com base nessas características deduz-se a relação entre a corrente no uA e a grandeza a medir.
- É com base nessa relação que a escala é graduada.
- Um aparelho que integre diferentes funções de medida é denominado por MULTÍMETRO
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 22
Amperímetro DC- Valores de fim-de-escala típicos de um motor EM (~40uA e 100 uA)
- Mesmo os circuitos electrónicos de baixa potência excedem esses valores.
COMO AMPLIAR A GAMA DE MEDIDA????
- Divisor de Corrente... coeficiente de ampliação da escala
(ITF – Nova corrente de fim de escala)TF
AF
ImI
=
- No circuito <m> depende de RA e RS
- Relação entre correntes:
SA in
S A
RI IR R
= ⋅+
- Quando I_in=ITF -> IA=IAF
S S AAF TF
S A S
R R RI I mR R R
+= ⋅ ⇒ =
+
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 23
Qual o novo valor da resistência interna?
// A Sin A S
A S
R RR R RR R
= =+
- Na prática os instrumentos de medida possuem mais do que uma gama de medida
Solução:1
1TF
AF
ImI
= 21
TF
AF
ImI
= 31
TF
AF
ImI
=
Problema associado à transição de escalas...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 24
Solução: Configuração Ayrton
- Contorna o problema de impedir que o uA fique inserido directamente no circuito de medição
- Apresenta valores de resistência interna ligeiramente superiores.
Exemplo de Aplicação:
Dimensione um Amperímetro DC, para ambas as configurações, com três escalas de medida:
- 100 mA,1A,10 A
Considerando, como base, um elemento motor com IAF=40 uA e Ra=2450 R.R:
R1=0,98;R2=0,098;R3=0,01
(Ayrton) R1=0,88;R2=0,088;R3=0,01
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 25
Voltímetro DC
- Com a associação de uma resistência em série com o uA obtemos, após própria graduação da escala, um voltímetro.
- A lei de graduação resulta directamente da Lei de Ohm
( )AV R R I= + ⋅
Resistência Interna IN AR R R= +
Habitualmente definida a partir da SENSIBILIDADE e do valor de fim-de-escala
IN FER S V= ⋅
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 26
-Sensibilidade S
- Expressa em ohm/volt
- Indica o valor da resistência por cada volt de tensão de fim-de-escala.
Qual a resistência interna para as escalas 10, 20 e 50 V de um voltímetro com sensibilidade 10KΩ/V?
1
AF
SI
=
Exemplo de Aplicação
Dimensione o voltímetro com três escalas sabendo que IAF=40uA, Ra=2450R, V=10, 20 e 50V
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 27
Ohmímetro
- Como o nome indica permite obter, directamente, o valor de uma resistência eléctrica.
- Duas estratégias de implementação distintas:
- Ohmímetro Série
- Ohmímetro Paralelo
Ohmímetro Série
- Constituído pela associação série de uma bateria, um uA e uma resistência de ajuste.
-Para uma correcta utilização é necessário proceder ao ajuste de zero:
1º Curto circuitar as pontas de prova
2º Ajustar o potenciómetro até se obter a máxima deflexão no ponteiro
( I = IAF)
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 28
0XA
VR IP R
= ⇒ =+
Condição de Ajuste de Zero...
AF in Ain
VI onde R R PR
= = +
P é sintonizado de modo que AFI I=
Na situação de medida de uma resistência desconhecida Rx...
in X
VIR R
=+
FACTOR DE DEFLEXÃO: Desvio presente sobre desvio máximo
AF
IDI
= Como nos elementos de quadro móvel a relação entre o desvio e a corrente é linear o factor de deflexão permite graduar a escala...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 29
in
in X
RDR R
=+
Se Rx=0 D=100%
Se Rx=Rin D=50%
D=0% sse Rx for infinita!
RELAÇÃO LINEAR??
- A escala apresenta-se mais espaçada para baixos valores de resistência.
- Melhor resolução em torno do fim-de-escala logo as medidas devem ser tomadas nesse quadrante
- O meio da escala obtém-se quando a resistência a medir é igual à resistência interna.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Rx/ohm
Def
lexã
o/%
Rin=100R
01/81/41/23/41D∞7Rin3RinRinRin/30Rx
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 30
Efeito do Envelhecimento da Bateria
Considerar um Ohmímetro série com as seguintes características:
- V=10V; IAF=1 mA; Ra=100R
Condição de Ajuste de Zero,
P=(10/0.001)-Ra=9900R
Resistência Interna = Resistência de Meia-Escala
Rin=10 000 R
Se V->8V então Rin->8 000R implica erro absoluto de 2000 ohm’s! (25%)
A reter...
-O erro depende da sensibilidade da resistência interna ao valor da resistência de ajuste.
- Uma forma de minimizar o problema....
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 31
Exemplo de Aplicação
- Sabendo que V=3V, IAF=1mA e Ra=50 R, determine P e R (do circuito do acetato anterior) de modo que a Resistência de Meia Escala seja 2Kohm
O Ohmímetro Paralelo
-Usado na medição de resistências de baixo valor
- O interruptor S destina-se a interromper o circuito quando o aparelho não está a ser utilizado.
- O ajuste de fim de escala neste caso é o “ajuste de infinito”
AFA
VIR P
=+
Medição de Rx...
XA
A X
RI IR R
=+
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 32
Factor de
Deflexão>>> //A X X
AF X A X in
I R RD DI R P R R R
= ⇒ = =+ +//A X
VIR P R
=+
Conclusão:
- A escala deste ohmímetro é contrária à do anterior
- A meia escala consegue-se quando Rx=Rin
- Sensibilidade positiva
- Como normalmente Ra baixo Rin é ainda menor logo o dispositivo é apenas usado para a medição de baixos valores de resistência.
Amperímetros e Voltímetros AC
Grande parte dos instrumentos de medida AC medem o valor máximo ou médio e indicam o seu valor eficaz
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 33
-Técnica sem erros de medição apreciáveis se a forma de onda for sinusoidal pura.
- A detecção do verdadeiro valor eficaz é independente da forma de onda de entrada.
Detecção do Valor Médio
- Modelo elementar de um voltímetro AC
- Lembre que o elemento motor funciona como integrador (fpb)
- Indica o valor médio da corrente que o atravessa.
- Se o sinal tiver valor médio nulo o motor não apresenta deflexão: solução alterar o sinal de modo a que o seu valor médio seja não nulo.
- Uma possibilidade: Rectificação de Meia-Onda
( ) sin( )Pv t V tω=
Se o díodo é ideal...
( ) sin( )P
A
Vi t tR R
ω=+
para a alternância positiva...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 34
O valor médio da corrente é:
2
0
1 ( )T
Po
II i t dtT π
= =∫ onde PP
A
VIR R
=+
Relação entre o valor de pico da tensão e a corrente média...
( ) ( ) 0P A P AV R R I R R Iπ= + = +
O valor eficaz de um sinal sinusoidal está relacionado com o valor de pico por...
2P
efVV = o que leva a: ( ) 02ef AV R R Iπ
= +
- Esta relação permite graduar a escala do voltímetro!
- Esta relação é apenas aproximada dada a não linearidade do díodo
Outras desvantagens:
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 35
-Escala não linear em torno de valore de tensão baixos
- Como a corrente reversa não é nula, o valor médio efectivo será ligeiramente inferior
- A frequência do sinal afectam o funcionamento do circuito (não só o uA como o Díodo: tende a comportar-se como um curto às altas frequências)
-Impedância de entrada inconstante:
-R+Ra no semi-ciclo positivo
- ~Rd(inversa) no semi-ciclo negativo
ALTERNATIVA:
Rs – serve para definir um ponto de funcionamento para D1
Maior constância da resistência interna...
Instrumentação Electrónica e Medidas: Instrumentação Analógica 36
( // )in A SR R R R≈ +
inR R≈
Normalmente Ra//Rs<<R logo Rin~RaA resistência interna pode ser expressa a partir da Sensibilidade AC
in AC efR S V= ⋅
Onde
1
0.45 0.45AC DCD
S SI
= = ⋅
Exemplo de Aplicação
- Determinar a lei de graduação
- Determinar a sensibilidade